3.1微分中值定理

第一节 微分中值定理与导数应用
罗尔（Rolle）定理 罗尔（ ） 设函数 f ( x ) 满足条件： 满足条件： (1) f ( x )在闭区间[a , b] 上连续; 上连续; (2) 内可导; f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导; (3) 在区间端点的函数值相等，即 f (a ) = f (b ), 在区间端点的函数值相等， 那末在 ( a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使得函数 在该点的导数等于零， f ( x ) 在该点的导数等于零，即
利用泰勒公式证明不等式
上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1]0, max f ( x ) = 2, 证明在 证明在(0,1)至少存在一 至少存在一
0 ≤ x ≤1
点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ −16. 证
0 ≤ x ≤1
矛盾, 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾,∴ 为唯一实根 .
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (Lagrange)
如果函数f 满足下列条件 如果函数 (x)满足下列条件 (1) 在闭区间 b]上连续； 在闭区间[a, 上连续 上连续； (2)在开区间(a, b)内可导； )在开区间( )内可导； 那末在(a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使等式 f ( b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 成立. 成立.
即
f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f ( 0)].
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)

证明 设 f (x) arcsin x arccos x ，则
f (x) 1 1 0 ， x (1，1) ， 1 x2 1 x2
所以 f (x) C ， x (1，1) ．
又因为 f (0) arcsin 0 arccos0 0 ，所以 f (x) f (0) ，结论得证．
又因为
H (x) F(x)[G(b) G(a)] G(x)[F(b) F(a)] ，
所以
H ( ) F( )[G(b) G(a)] G( )[F(b) F(a)] 0 ．
又因为 x (a ，b) 时，G(x) 0 ，则 G( ) 0 ，G(b) G(a) 0（ G(x) 在[a ，b] 上
设
F ( x)
，
G(x)
是
x
x0
时的无穷小量，即
lim
x x0
F ( x)
lim
xx0
G(x)
0
，且
F (x) ， G(x) 在 (x0 ，x) （或 (x ，x0 ) ）内可导，且 G(x) 0 ，令 F(x0 ) 0 ，
G(x0 ) 0 ，则由柯西中值定理可知
lim
x x0
F (x) G(x)
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2 ) ． 假设 f ( ) 0 ，所以 f (x2 ) f (x1) 0 ，而 x1 ， x2 在区间 I 上的选取是任意 的，因此 f (x) 在区间 I 上是一个常数．
3.1.2 拉格朗日中值定理
例 4 证明 arcsin x arccos x ， x (1，1) ． 2
例 2 证明 f (x) x(x 2)(x 4)(x 6) 1的导函数 f (x) 有 3 个零点分别位 于区间 (0 ，2) ， (2 ，4) ， (4 ，6)

内可导，且 f (x) 0. 则y f (x) 一定是常数函数.
证 x1, x2 [a,b]，且 x1 x2
则 y f (x)在 x1, x2 上连续，在( x1, x2 )内可导，
由拉格朗日中值定理的条件，
至少存在一个 ( x1, x2 )
使 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( )( x1 x2 ) f ( ) 0. f (x1) f (x2) 0
件 f (a) f (b).
F(x) 0
结 论
f ( ) 0
f ( ) f (b) f (a)
ba
f ( ) f (b) f (a) . F( ) F(b) F(a)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
21
2.三个中值定理之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F(x) x Cauchy
(a
x
b)
则曲线上点(X，Y )
(F(a), f (a))A o F(a)
F ( )
D
X F (b)
处的切线的斜率为：dY f ( x) ， dX F ( x)
而弦 AB的斜率为 f (b) f (a) ，假定点C 对应于 F(b) F(a)
参数x ， 那么点C 处的切线平行于弦AB，
则有 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0, 使 f (x1) 0.
f (x) 在 x0, x1之间满足罗尔定理的条件
则至少存在一个 （在x0, x1 之间）使得 f () 0.

f ( n1) ( x0 ) 其中 Rn ( x) ( x x0 )n1 拉格朗日余项 (n 1)!
这里的 是 x0 与 x 之间的某个值。
3-1 微分中值定理
在泰勒公式中，如果取 x0 0 时，得到带有拉格朗日余项的麦克劳林 （Maclaurin）公式
f ''(0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) f (0) f '(0) x x x 2! n! Rn ( x)
3-1 微分中值定理
考点3：利用罗尔（Roller）中值定理证明方程根的存在性
例 : 不用求出函数 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 的导数，说明方程
f '( x) 0 有几个实数根，并指出他们所在的区间。
零点定理 例: 证明方程 x 3x 1 0 在区间 (0,1) 内有唯一的实根。
定理3.2 ：罗尔（Rolle）中值定理： 如果函数 f ( x) 满足下列条件： （1）在闭区间 [a, b]上连续 （2）在开区间 (a, b) 内可导 （3）且 f (a) f (b) 则有：至少存在一点 (a, b) 使得 f '( ) 0 注意：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理当 f (a) f (b) 时的一种特例。
f (b) f (a) f '( ) g (b) g (a) g '( )
注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 g ( x) x 时的一种特例。
3-1 微分中值定理

g ( x) cos x 在区间 [0, ] 上是 例: 验证函数 f ( x) sin x ， 2 否满足柯西中值定理的条件，并求出柯西中值定理结论中 的 。