学习讲义(选修)_二项分布

二项分布的知识点一、二项分布的定义。

1. 基本概念。

- 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率为1 - p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k，k = 0,1,2,·s,n，称随机变量X服从二项分布，记作Xsim B(n,p)。

- 例如，抛一枚质地均匀的硬币n = 5次，每次正面朝上（设为事件A）的概率p=(1)/(2)，那么正面朝上的次数X就服从二项分布Xsim B(5,(1)/(2))。

2. 独立重复试验的条件。

- 每次试验只有两种结果：事件A发生或者不发生。

- 任何一次试验中事件A发生的概率都是一样的，即p不变。

- 各次试验中的事件是相互独立的，即一次试验的结果不会影响其他试验的结果。

二、二项分布的概率计算。

1. 利用公式计算。

- 已知n、p和k，直接代入公式P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k计算。

- 例如，n = 3，p=(1)/(3)，求k = 2时的概率。

- 首先计算组合数C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3×2!)/(2!×1!)=3。

- 然后P(X = 2)=C_3^2×((1)/(3))^2×(1-(1)/(3))^3 -2=3×(1)/(9)×(2)/(3)=(2)/(9)。

2. 利用二项分布概率表（如果有）- 在一些情况下，可以查询专门的二项分布概率表来获取概率值，这样可以避免复杂的计算，尤其是当n较大时。

不过在考试等情况下，通常还是要求掌握公式计算。

三、二项分布的期望与方差。

1. 期望E(X)- 若Xsim B(n,p)，则E(X)=np。

- 例如，若Xsim B(10,(1)/(5))，则E(X)=10×(1)/(5)=2，这表示在大量重复试验下，事件A发生的平均次数为2次。

二项分布知识点关键信息项：1、二项分布的定义2、二项分布的参数3、二项分布的概率计算公式4、二项分布的期望与方差5、二项分布的适用条件6、二项分布的实例应用11 二项分布的定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数X 的概率分布。

在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为 1 p 。

111 伯努利试验的特点伯努利试验具有以下两个特点：每次试验只有两种可能的结果，即成功或失败；每次试验的结果相互独立，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。

112 二项分布的概率质量函数二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

12 二项分布的参数二项分布有两个参数：试验次数 n 和每次试验成功的概率 p 。

121 试验次数 nn 表示独立重复进行的伯努利试验的总数。

122 成功概率 pp 表示每次伯努利试验中成功的概率，0 ＜ p ＜ 1 。

13 二项分布的概率计算公式131 组合数的计算组合数 C(n, k) ＝ n! ／（k! （n k)！），其中 n! 表示 n 的阶乘。

132 概率的具体计算示例例如，在 5 次独立重复的试验中，每次成功的概率为 04，求成功 3 次的概率。

首先计算组合数 C(5, 3) ＝ 5! ／（3! 2!）＝ 10 ，然后计算概率P(X ＝ 3) ＝ 10 04^3 06^2 。

14 二项分布的期望与方差141 期望二项分布的期望 E(X) ＝ np 。

142 方差二项分布的方差 Var(X) ＝ np(1 p) 。

15 二项分布的适用条件151 独立试验每次试验的结果相互独立，不受其他试验的影响。

152 固定概率每次试验成功的概率 p 保持不变。

153 二分类结果试验结果只有两种互斥的类别，如成功和失败、是和否等。

二项分布知识点在概率论和统计学中，二项分布是一个非常重要的概念。

它在许多实际问题中都有着广泛的应用，比如质量控制、医学研究、市场调查等等。

首先，咱们来理解一下什么是二项分布。

简单说，二项分布描述的是在一系列独立的相同试验中，成功的次数的概率分布。

这里面有几个关键的条件需要注意。

一是试验是独立的，这意味着每次试验的结果不会受到之前试验的影响。

二是每次试验只有两种可能的结果，通常我们把其中一种称为成功，另一种称为失败。

而且，每次试验成功的概率都是固定不变的。

举个例子来说，抛硬币就是一个典型的二项分布的例子。

抛硬币时，正面朝上或者反面朝上就是两种可能的结果，每次抛硬币正面朝上的概率都是 05（假设硬币是均匀的），而且每次抛硬币的结果都不会受到之前抛硬币结果的影响。

那么，怎么来计算二项分布的概率呢？这就需要用到一个公式：P(X=k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) 。

这里的 n 表示试验的总次数，k 表示成功的次数，p 是每次试验成功的概率，C(n, k) 表示从 n 次试验中选取 k 次成功的组合数。

比如说，我们进行 5 次抛硬币的试验，想知道恰好有 3 次正面朝上的概率。

那么 n ＝ 5，k ＝ 3，p ＝ 05 。

先计算组合数 C(5, 3) ＝ 10 ，然后代入公式计算：P(X ＝ 3) ＝ 10 05^3 05^2 ＝ 03125 。

二项分布有一些重要的特征。

比如，它的均值（也就是期望）是np ，方差是 np(1 p) 。

还是以抛硬币为例，如果抛 10 次硬币，每次正面朝上的概率是 05 ，那么均值就是 10 05 ＝ 5 ，方差就是 10 05 05 ＝ 25 。

在实际应用中，二项分布能帮助我们解决很多问题。

比如在质量控制方面，如果我们知道生产某种产品的次品率是固定的，通过抽样检验，就可以利用二项分布来估计这批产品中次品的数量范围。

再比如在医学研究中，如果我们想知道一种新药物对某种疾病的治疗效果，假设有效是成功，无效是失败，通过对一定数量的患者进行试验，也可以用二项分布来分析药物的有效率。

高中数学二项分布知识点
高中数学中，二项分布是离散概率分布的一种重要形式，它描述了在
一系列独立的随机试验中，成功的次数的概率分布。

下面是关于高中数学
二项分布的知识点：
1.二项分布的定义：
二项分布指的是在进行了n次独立的、相同的试验中，成功的次数X
服从二项分布的概率分布，记作X~B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示
每次试验成功的概率。

2.二项系数：
在二项分布中，成功的次数为k的概率为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-
p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。

3.二项分布的期望和方差：
二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。

4.二项分布的性质：
(1) 二项系数的和为1，即Σ[P(X=k), k=0 to n] = 1
(2)二项分布是离散分布，且概率密度函数的图形呈现出左偏的形态。

(3)当n很大时，二项分布可以近似地用正态分布来表示。

5.二项分布的应用：
(1)在质量检验中，二项分布可以用来计算生产批次中合格品的数量。

(2)在医学研究中，二项分布可以用来计算罹患其中一种疾病的患者数量。

(3)在市场调查中，二项分布可以用来计算顾客购买其中一种产品的概率。

(4)在投资分析中，二项分布可以用来计算只股票在未来一段时间内上涨或下跌的概率。

二项分布知识点对于很多人来说，二项分布可能是一个比较陌生的概念。

但实际上，它是概率论中非常重要的一种概率分布，常常被应用于实际问题的解决中。

一、二项分布的定义二项分布（Binomial distribution）是一种离散型概率分布，它描述的是独立重复试验中成功次数的概率分布。

其中，“独立”指的是每次试验不会受到前一次试验结果的影响，“重复”指的是试验可以进行多次，“成功”指的是每次试验成功的概率。

二项分布的数学表达式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功的次数为k的概率，n表示试验次数，p 表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。

二、二项分布的性质1. 期望值与方差二项分布的期望值与方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

2. 大数定理大数定理是概率论中的一条基本定理，用于描述随机事件的平均值会随着实验次数的增加而趋于稳定。

在二项分布中，当试验次数n越大，成功概率p越小时，二项分布越趋近于正态分布。

3. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一条重要定理，用于描述当随机事件独立重复多次时，这些事件的和的分布趋近于正态分布。

在二项分布中，当试验次数n越大时，二项分布的形状趋近于正态分布。

三、二项分布的应用二项分布常常应用于实际生活中的问题中，例如：1. 产品合格率问题假设一个工厂制造的产品合格率为90%，每生产100个产品取样检验，成功率不变，求生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率。

解：由于每个产品是否合格是一个二项分布，因此可以使用二项分布来求解。

令X为合格的数量，n=100，p=0.9，由于要求至少95%的合格率，因此可以计算X≥95的概率：P(X≥95) = 1 - P(X<95) = 1 - Σ i=0…94 (100 i) * 0.9^i * 0.1^(100-i) ≈ 0.021因此，生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率为2.1%左右。

二项分布及其应用【知识要点】1、条件概率的定义和性质（1）定义：一般地，设A,B 为两个事件，且 ，称)()()(A P AB P A B P =为在 的条件下， 的条件，)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率。

（2）性质：①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 ②如果B 和C 是两个互斥事件，则2、事件的相互独立性设A ，B 为两个事件，如果 ，则称事件A 与事件B 相互独立。

如果事件A 与B ，那么A 与-B ,-A 与B ，-A 与-B 也都3、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验成为 。

4、二项分布若设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()__________,P X k ==其中k 的取值为_________.此时随机就是X 服从二项分布，记为 ，并称P 为成功概率。

【典型例题】1、甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%求：甲市为雨天，乙市也为雨天的概率 乙市为雨天，甲市也为雨天的概率2、加工某种零件需经过三道工序。

设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响。

(1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。

3、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率4、从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率； （Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布.【巩固练习】1、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为 （ ） A.41004901C C - B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .2、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.793、国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ) A.5960 B.35 C.12 D.1604、如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率 都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( )A.18B.14C.12D.1165、位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 （ )A ．(12)3B ．25C (12)5 C ．35C (12)3D ．25C 35C (12)56、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 （ ）A. 0．216B.0．36C.0．432D.0．648 7、已知随机变量服从二项分布，，则(等于 ( )A.B. C.D.8、设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则等于 ( )A. B. C. D.9、设随机变量的概率分布列为，则的值为 （ ）A B C D10、甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（ ）A.B.C.D.二. 填空题1、设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________________．2、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．3、某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是________．4、三人独立地破译一个密码，它们能译出的概率分别为、、，则能够将此密码译出的概率为________．三. 解答题1、甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．2、一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．3、某单位有6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） （1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几个人同时上网的概率小于0.3。

《二项分布与超几何分布》讲义一、引言在概率统计的学习中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的概念。

它们在实际生活中的应用广泛，例如质量检测、抽样调查、生物遗传等领域。

理解这两种分布的特点和区别，对于正确解决概率问题至关重要。

二、二项分布（一）定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。

（二）特点1、每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

2、每次试验的成功概率 p 保持不变。

3、各次试验相互独立。

（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数）（四）期望与方差期望 E(X) ＝ np方差 D(X) ＝ np(1 p)（五）应用举例假设某射手每次射击命中目标的概率为 08，进行 5 次射击，求命中目标 3 次的概率。

解：这里 n ＝ 5，p ＝ 08，要求 P(X ＝ 3)。

P(X ＝ 3) ＝ C(5, 3) 08^3 （1 08)＾（5 3)＝ 10 0512 004＝ 02048三、超几何分布（一）定义超几何分布是统计学上一种离散概率分布，描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数 X 的概率分布。

（二）特点1、总体分为两类。

2、抽取的样本数量 n 小于总体数量 N。

3、抽样方式为不放回抽样。

（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 N、M 和 n 的超几何分布，记为 X ～H(N, M, n)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n)（四）期望与方差期望 E(X) ＝ n M ／ N方差 D(X) ＝ n M ／ N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1)（五）应用举例一批产品共有 100 件，其中次品有 10 件，从中随机抽取 5 件，求抽到次品数 X 的概率分布。

高中二项分布讲义
二项分布是一种离散型的概率分布，指在一次实验中，成功和失败两种结果的概率分布。

其中，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

在n次试验中，成功的次数X服从二项分布B(n,p)。

二. 二项分布的性质
1. 期望值：E(X) = np
2. 方差：Var(X) = np(1-p)
3. 概率计算公式：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，C(n,k)为组合数，表示从n个元素中选出k个元素的组合数。

三. 二项分布的应用
1. 生产质量控制：判定一个产量是否符合质量要求，可以用二项分布计算出在一定数量的检验中，质量合格的概率。

2. 投资决策：计算在一定次数的投资中，获利或亏损的概率，以便做出合理的投资决策。

3. 舆论调查：用统计方法进行舆论调查时，采用二项分布来计算出一定样本量中正面或负面反应的概率。

四. 二项分布的注意事项
1. 二项分布只适用于单次试验中只有两种结果的情况，且两种结果的概率相等。

2. 二项分布的应用需要根据实际情况进行适当的参数选择，如样本量、成功概率等。

3. 在计算中应注意组合数的计算方法，以免出现错误。

五. 结语
二项分布是一种十分重要的概率分布，具有广泛的应用。

在实际应用中，我们需要深入了解其概念、性质和应用方法，并且注意一些细节，以保证计算结果的正确性。