学习讲义(选修)_二项分布

二项分布的知识点一、二项分布的定义。

1. 基本概念。

- 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率为1 - p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k，k = 0,1,2,·s,n，称随机变量X服从二项分布，记作Xsim B(n,p)。

- 例如，抛一枚质地均匀的硬币n = 5次，每次正面朝上（设为事件A）的概率p=(1)/(2)，那么正面朝上的次数X就服从二项分布Xsim B(5,(1)/(2))。

2. 独立重复试验的条件。

- 每次试验只有两种结果：事件A发生或者不发生。

- 任何一次试验中事件A发生的概率都是一样的，即p不变。

- 各次试验中的事件是相互独立的，即一次试验的结果不会影响其他试验的结果。

二、二项分布的概率计算。

1. 利用公式计算。

- 已知n、p和k，直接代入公式P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k计算。

- 例如，n = 3，p=(1)/(3)，求k = 2时的概率。

- 首先计算组合数C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3×2!)/(2!×1!)=3。

- 然后P(X = 2)=C_3^2×((1)/(3))^2×(1-(1)/(3))^3 -2=3×(1)/(9)×(2)/(3)=(2)/(9)。

2. 利用二项分布概率表（如果有）- 在一些情况下，可以查询专门的二项分布概率表来获取概率值，这样可以避免复杂的计算，尤其是当n较大时。

不过在考试等情况下，通常还是要求掌握公式计算。

三、二项分布的期望与方差。

1. 期望E(X)- 若Xsim B(n,p)，则E(X)=np。

- 例如，若Xsim B(10,(1)/(5))，则E(X)=10×(1)/(5)=2，这表示在大量重复试验下，事件A发生的平均次数为2次。

二项分布知识点关键信息项：1、二项分布的定义2、二项分布的参数3、二项分布的概率计算公式4、二项分布的期望与方差5、二项分布的适用条件6、二项分布的实例应用11 二项分布的定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数X 的概率分布。

在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为 1 p 。

111 伯努利试验的特点伯努利试验具有以下两个特点：每次试验只有两种可能的结果，即成功或失败；每次试验的结果相互独立，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。

112 二项分布的概率质量函数二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

12 二项分布的参数二项分布有两个参数：试验次数 n 和每次试验成功的概率 p 。

121 试验次数 nn 表示独立重复进行的伯努利试验的总数。

122 成功概率 pp 表示每次伯努利试验中成功的概率，0 ＜ p ＜ 1 。

13 二项分布的概率计算公式131 组合数的计算组合数 C(n, k) ＝ n! ／（k! （n k)！），其中 n! 表示 n 的阶乘。

132 概率的具体计算示例例如，在 5 次独立重复的试验中，每次成功的概率为 04，求成功 3 次的概率。

首先计算组合数 C(5, 3) ＝ 5! ／（3! 2!）＝ 10 ，然后计算概率P(X ＝ 3) ＝ 10 04^3 06^2 。

14 二项分布的期望与方差141 期望二项分布的期望 E(X) ＝ np 。

142 方差二项分布的方差 Var(X) ＝ np(1 p) 。

15 二项分布的适用条件151 独立试验每次试验的结果相互独立，不受其他试验的影响。

152 固定概率每次试验成功的概率 p 保持不变。

153 二分类结果试验结果只有两种互斥的类别，如成功和失败、是和否等。

二项分布知识点在概率论和统计学中，二项分布是一个非常重要的概念。

它在许多实际问题中都有着广泛的应用，比如质量控制、医学研究、市场调查等等。

首先，咱们来理解一下什么是二项分布。

简单说，二项分布描述的是在一系列独立的相同试验中，成功的次数的概率分布。

这里面有几个关键的条件需要注意。

一是试验是独立的，这意味着每次试验的结果不会受到之前试验的影响。

二是每次试验只有两种可能的结果，通常我们把其中一种称为成功，另一种称为失败。

而且，每次试验成功的概率都是固定不变的。

举个例子来说，抛硬币就是一个典型的二项分布的例子。

抛硬币时，正面朝上或者反面朝上就是两种可能的结果，每次抛硬币正面朝上的概率都是 05（假设硬币是均匀的），而且每次抛硬币的结果都不会受到之前抛硬币结果的影响。

那么，怎么来计算二项分布的概率呢？这就需要用到一个公式：P(X=k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) 。

这里的 n 表示试验的总次数，k 表示成功的次数，p 是每次试验成功的概率，C(n, k) 表示从 n 次试验中选取 k 次成功的组合数。

比如说，我们进行 5 次抛硬币的试验，想知道恰好有 3 次正面朝上的概率。

那么 n ＝ 5，k ＝ 3，p ＝ 05 。

先计算组合数 C(5, 3) ＝ 10 ，然后代入公式计算：P(X ＝ 3) ＝ 10 05^3 05^2 ＝ 03125 。

二项分布有一些重要的特征。

比如，它的均值（也就是期望）是np ，方差是 np(1 p) 。

还是以抛硬币为例，如果抛 10 次硬币，每次正面朝上的概率是 05 ，那么均值就是 10 05 ＝ 5 ，方差就是 10 05 05 ＝ 25 。

在实际应用中，二项分布能帮助我们解决很多问题。

比如在质量控制方面，如果我们知道生产某种产品的次品率是固定的，通过抽样检验，就可以利用二项分布来估计这批产品中次品的数量范围。

再比如在医学研究中，如果我们想知道一种新药物对某种疾病的治疗效果，假设有效是成功，无效是失败，通过对一定数量的患者进行试验，也可以用二项分布来分析药物的有效率。

高中数学二项分布知识点
高中数学中，二项分布是离散概率分布的一种重要形式，它描述了在
一系列独立的随机试验中，成功的次数的概率分布。

下面是关于高中数学
二项分布的知识点：
1.二项分布的定义：
二项分布指的是在进行了n次独立的、相同的试验中，成功的次数X
服从二项分布的概率分布，记作X~B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示
每次试验成功的概率。

2.二项系数：
在二项分布中，成功的次数为k的概率为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-
p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。

3.二项分布的期望和方差：
二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。

4.二项分布的性质：
(1) 二项系数的和为1，即Σ[P(X=k), k=0 to n] = 1
(2)二项分布是离散分布，且概率密度函数的图形呈现出左偏的形态。

(3)当n很大时，二项分布可以近似地用正态分布来表示。

5.二项分布的应用：
(1)在质量检验中，二项分布可以用来计算生产批次中合格品的数量。

(2)在医学研究中，二项分布可以用来计算罹患其中一种疾病的患者数量。

(3)在市场调查中，二项分布可以用来计算顾客购买其中一种产品的概率。

(4)在投资分析中，二项分布可以用来计算只股票在未来一段时间内上涨或下跌的概率。