函数的应用与图像

函数图像的特点和应用函数图像是数学中重要的概念之一。

简单来说，函数图像是指通过一个函数所能形成的所有点的集合所构成的曲线或直线。

对于每一个输入值，函数都会输出一个输出值。

函数图像将这些输入输出点联系在一起，形成了一个几何图形。

函数图像的特点在创建函数图像时，需要考虑一些因素，如定义域，值域，奇偶性，单调性，周期等。

这些因素决定了函数图像的特点，其中一些特点是：1. 函数图像的对称性函数图像可以有对称以及不对称的形式，其中最常见的是关于x轴或y轴对称。

例如，函数y = x²在原点处对称，而函数y = sin(x)在原点处不对称。

2. 函数的单调性从某个点开始，如果函数值单调上升或下降，则称为单调递增或递减。

函数图像在递增或递减中形成了一个连续的曲线。

3. 函数的周期性周期性是指函数以固定间隔重复的性质。

例如，正弦函数是一个周期性函数，其周期为2π。

周期可以用来研究函数的性质。

4. 函数的局部极值表示函数的最大值或最小值。

在函数图像上，局部极值为函数图像上的转折点，是函数图像上的重要特点。

5. 函数的渐进线函数图像的渐进线是指函数趋近于某个值时在某一个方向的极限曲线。

例如，在函数y = 1/x中，当x趋近于0时，y趋近于无穷大。

这条线便是x轴的渐进线。

应用函数图像不仅仅是学习数学的基础，还在科学和工程中经常被使用。

其中一些应用包括：1. 统计学在统计学中，函数图像经常被用来显示数据的变化。

例如，在管理学中，函数图像被用来表示市场需求。

2. 物理学物理学中的很多概念和理论都可以用函数图像表示。

例如，自由落体物体的高度和时间之间的关系，可以用二次函数y = 1/2 gt²表示，其中g是重力加速度，t是时间。

3. 工程学工程学中的很多信息可以通过函数图像来表示，例如，用调和振动函数来表示钢桥的弹性行为，或者使用多项式函数来建模。

4. 经济学宏观经济学中的一些关键概念也可以用函数图像来表示。

上节课知识检测一、基本内容1．利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：2、会画基本函数图像（一次(两点想x 取0，，y 取0（或X 取1）)、反比例（三点（x 取1/2、1,2）对称轴、对称中心）、二次(对称轴\顶点\开口)、幂(四点x 取0,1/2,1,2对称)、指数(三点x 取-1,0,1)、对数(三点Y-1,0,1)、对勾(两部分相等时X 值点)、三角(x 取五点；对称轴、对称中心)）3.掌握画图像的基本方法：（1）描点法（2）图像变换法．平移、伸缩、翻折 （3）讨论分段法(1)平移变换：y ＝f (x ) ――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位 y ＝f (x －a )； y ＝f (x ) ―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )10111ωωωω<<>−−−−−−−−→，伸原的倍，短原的长为来缩为来 y ＝f (ωx )；y ＝f (x ) ――――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍 y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)；y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.二、易错点1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图像关于y 轴对称与两个函数的图像关于y 轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．三、基本考点及例题 考点一 作图像画函数图像的一般方法1、直接法．（1）描点法 （2）经验法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；2、图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3、分段函数：分别作出每段区间的图像，注意：分段函数是一种特殊的函数，自变量在不同范围内取值时，对应的解析式不同，但无论分段函数共有几段，它始终是一个函数，而不是多个函数。

函数的图像及其性质研究与应用函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。

在实际应用中，函数的图像是我们研究和分析函数性质的重要工具之一。

本文将从几个方面来探讨函数的图像及其性质的研究与应用。

一、函数的图像函数的图像是指函数在坐标系中的表示形式。

通常我们用平面直角坐标系来表示函数的图像，其中横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

函数的图像可以通过绘制函数的关系式来得到。

例如，对于一元函数y=f(x)，我们可以通过给定自变量x的值，计算相应的因变量y的值，然后在坐标系中绘制这些点，最终得到函数的图像。

函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质。

通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、奇偶性、周期性等特征。

例如，对于增函数来说，函数的图像随着自变量的增大而上升；对于周期函数来说，函数的图像在一个周期内重复出现。

二、函数的性质研究函数的性质研究是数学中的一个重要分支，它帮助我们深入理解函数的行为规律。

函数的性质包括但不限于增减性、奇偶性、周期性、单调性等。

1. 增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增减趋势。

对于一元函数来说，如果函数在某个区间内的导数大于零，则函数在该区间内是增函数；如果函数在某个区间内的导数小于零，则函数在该区间内是减函数。

通过研究函数的增减性，我们可以确定函数的极值点和拐点，进而帮助解决最优化问题。

2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性。

对于一元函数来说，如果函数满足f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，则函数是偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于纵轴对称。

奇偶性的研究有助于简化函数的运算和化简复杂的表达式。

3. 周期性周期函数是一类具有重复性质的函数。

对于周期函数来说，存在一个正数T，使得对于任意的x，函数满足f(x+T)=f(x)。

周期函数的图像在一个周期内重复出现，因此我们只需要研究一个周期内的行为即可。

一次函数图像及应用一、函数图像的定义一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

二、一次函数的图像及性质三、小试身手1、画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象2、直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_________，•图象经过第________象限，y随x增大而_________．3、分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？（1）k>0 b>0 （2）k>0 b<0（3）k<0 b>0 （4）k<0 b<04、在同一直角坐标系中画出下列函数图象，并归纳y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中b对函数图象的影响．１．y=x-1 y=x y=x+1２．y=-2x+1 y=-2x y=-2x-1练习巩固1、例1 小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．2、Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？3、从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出水14万吨．从Ａ地到甲地50千米，到乙地30千米；从Ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨·千米）最少．4、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同．设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y 1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别是x之间函数关系如下图所示．每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？四、课后习题1.当x <0时,函数y =-2x 的图象在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.直线x y 3-=过点(0,0)和点A.(1,-3)B.(1,3)C.(-1,-3)D.(3,-1)3.函数x y 2=与x y 3-=的共同特点是A.图象经过一､三象限B.图象经过二､四象限C.图象经过原点D.y 随着x 的增大而增大4.函数y =-x 21+1和y =x 21+1的图象交于一点,这点的坐标是A.(1,21) B.(-1,23) C.(1,0) D.(0,1)5.函数x m y )1(-=(1≠m ),y 随着x 的增大而增大,则A.m <0B.m >0C.m <1D.m >19.下面图象中,不可能是关于x 的一次函数y =mx -(m -3)的图象的是10.在同一个直角坐标系中,对于函数①y=-x-1,②y=x+1,③y=-x+1,④y=-2(x+1)的图象,下列说法正确的是A.通过点(-1,0)的是①和③B.交点在y轴上的②和④C.相互平行的是①和③D.关于x轴对称的是②和③32.某公司市场营业员销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示.由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是A.310B.300C.290D.28033.如图,OA,BA分别表示甲､乙两名学生运动的一次函数图象,图中s和t分别表示运动路程和时间,根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快A.2.5米B.2米C.1.5米D.1米34.一游泳池长90米,甲､乙二人分别在游泳池相对两边同时朝另一边游泳,甲的速度是3米/秒,乙的速度是2米/秒,图中的实线和虚线分别为甲､乙与游泳池一边的距离随游泳时间的变化而变化图象.若不计转向时间,则从开始起到3分钟止他们相遇的次数为A.2次B.3次C.4次D.5次。

高考数学中的函数图像变换及其应用高考数学作为广大学生面临的一大挑战，其中数学分值占比不容忽视，其中函数图像变换的相关知识成为了考生备考重点之一。

本文将介绍这些知识，并探讨其相关应用。

一、函数图像的平移平移是函数图像变换中最基本的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置来实现的。

其中，平移的方向与距离是决定平移效果的两个重要因素。

对于一般的函数y=f(x)，将它的图像向右平移a个单位长度的方法如下：设新函数为y=f(x-a)，则各个点的实际位置为（x+a，y），根据平移的原理，需要将这些点在坐标系中向左平移a个单位长度即可实现。

类似地，将函数图像向左平移a个单位长度的方法就是y=f(x+a)，而将其上移或下移b个单位长度的方法分别为y=f(x)+b 和y=f(x)-b。

函数图像的平移主要应用于研究函数图像的周期性，以及改变其输出值区间、控制其渐进线等方面。

二、函数图像的伸缩伸缩也是函数图像变换中常用的一种方法，它是通过改变函数图像沿x、y轴的长度比例来实现的。

对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿x轴方向压缩k倍的方法如下：设新函数为y=f(kx)，则每个点的实际位置为（x/k，y），因此只需将这些点在坐标系中沿x轴方向伸缩k倍即可。

类似地，函数图像沿y轴方向压缩k倍的方法为y=kf(x)，而沿x、y轴方向伸缩k倍的方法分别为y=f(x/k)和y=kf(kx)。

函数图像的伸缩主要应用于研究函数图像的单调性、极值、导数等性质，以及折线图、曲线图的绘制等方面。

三、函数图像的旋转旋转是函数图像变换中相对复杂的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置和形状来实现的。

对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿原点逆时针旋转α角的方法如下：设新函数为y=f(xcosα+ysinα)，则原函数中每个点的坐标（x，y）将变为（xcosα+ysinα，-xsinα+ycosα），按照旋转的原理，需要将这些点在坐标系中沿逆时针方向旋转α角度即可实现。

2022年高考数学总复习：函数的图像及其应用例1 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1)，－x 2＋2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f (x )在[2,4]上的大致图象是( A )[解析] 方法一：因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)，当x ∈[2,4]时，x －2∈[0,2]．又x ∈[0,2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1)，－x 2＋2x ，x ∈[1，2]， 所以x ∈[2,4]时，f (x )＝2f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －2)，x ∈[2，3)，－2(x －2)2＋4(x －2)，x ∈[3，4] ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(x －2)，x ∈[2，3)，－2(x －3)2＋2，x ∈[3，4]， 结合选项知A 选项正确．方法二：因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)，所以当x ∈[2,4]时f (x )的图象可看作由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1)－x 2＋2x ，x ∈[1，2]的图象沿x 轴方向向右平移两个单位，再把图象上各点的横坐标不变、纵坐标伸长到原来的2倍得到．(2)已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时恒有f (x )<12，则实数a 的取值范围是[12，1)∪(1,2]. [解析] 由题意可知a x >x 2－12在(－1,1)上恒成立，令y 1＝a x ，y 2＝x 2－12， 由图象知：⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a －1≥(－1)2－12， 或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 1≥12－12， 所以1<a ≤2或12≤a <1. 『规律总结』(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．G 跟踪训练en zong xun lian 1．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( A )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x[解析] 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C ．若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A ．2．现有四个函数：①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( D )A．④①②③B．①④③②C．③④②①D．①④②③[解析]由于函数y＝x sin x是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y＝x cos x 为奇函数，且当x＝π时，y＝－π<0，故函数②对应第三个图象；函数y＝x|cos x|为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y＝x·2x为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D．。

函数图像的基本特征与应用函数图像是数学中的重要内容之一，函数通常是指一个变量集合与另一个变量集合之间的映射关系。

在我们日常生活中，很多经济、科学和技术问题都可以用函数来描述。

通过观察函数图像的形态，我们可以发现很多特征，了解函数的性质，对于问题的解决有极大的帮助。

本文将介绍函数图像的基本特征与应用。

一、函数的基本特征函数图像的基本特征有：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和渐近线等。

1. 定义域和值域函数的定义域和值域是该函数的两个基本元素。

其中，定义域是指函数所能取到的所有自变量的取值范围，值域是指函数在定义域内所能取到的所有因变量的取值范围。

在函数图像中，定义域通常是横轴上的一段区间，值域通常是纵轴上的一段区间。

2. 单调性函数的单调性是指当定义域内的自变量增大时，函数值是单调递增还是单调递减。

如果函数单调递增，其图像将呈现出从左向右逐渐上升的曲线形态，如果函数单调递减，则图像将呈现出从左向右逐渐下降的曲线形态。

3. 奇偶性函数的奇偶性是指，当自变量变为相反数时，函数值是否改变。

如果函数在变化后值不变，则称函数为偶函数，反之为奇函数。

偶函数的图像通常呈现出轴对称的形状，奇函数的图像通常呈现出中心对称的形状。

4. 周期性函数的周期性是指，如果存在一个正数T，使得对于所有自变量x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数就具有周期T。

周期函数的图像通常呈现出一段重复出现的形态，可以用周期推断函数的性质。

5. 渐近线当函数的定义域趋于无穷时，函数图像可能会趋于一条直线，这个直线称为函数的渐近线。

函数的渐近线可以判断函数的增长趋势和极限值。

二、函数图像的应用函数图像的应用非常广泛，既可以用于科学和工程领域中的建模，也可以用于纯数学研究。

以下是几个常见的应用。

1. 数值计算我们可以用函数图像的形态来计算函数在某些特定点的值。

当自变量x取某一具体值时，函数图像的纵坐标即是函数的值。

同时，我们还可以用函数图像的单调性、奇偶性等特征来进行加速计算，这对于数据密集的计算任务有很大的优化效果。

函数的图像变换及应用一、 图像变换 1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； （2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到．考点一 图像画法 1、 函数112-+=x x y 图象的对称中心为 2、 若函数)(x f y =的图像过点（1，1），则)4(x f -的图像一定经过 3、 若函数)2(log 2+=x y 的图像与)(x f y =的图像关于1=x 对称，求出)(x f4、函数y=ax 2+ bx 与y= ||log b ax (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是5、 把曲线cos 210y x y +-=沿x 轴方向向右平移2π个单位，再沿y 轴方向向下平移一个单位，则得到的曲线方程是6、 函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是7、 函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ).8、函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是9、已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是ABCDAD二、图像在方程中的应用1、 关于x 的方程243x x a x -+-= ，恰有三个不等实根，则a 的值是 2、 关于x 的方程243x x mx -+=，有四个不等实根，则m 的取值范围是 3、 已知函数()f x 对一切实数x 满足(1)(1)f x f x +=-，若方程()0f x =有且仅有三个实根，则这三个实根之和为4、 已知函数()f x 满足(2)()f x f x += ，且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程4()log f x x =的根的个数是 三、 图像在不等式中的应用1、 不等式2log 0a x x -<在1(0,)2x ∈时恒成立，则实数a 的取值范围是 2、 已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，当(1,1)x ∈-时，均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是练习题：1、 实数m 在什么范围，方程221x x m --=有四个互不相同的实数根2、 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]3、 设x 1，x 2，x 3分别是方程x ＋2x ＝1，x ＋2x ＝2，x ＋3x ＝2的根，则x 1，x 2，x 3的大小顺序为________4、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=。

数学中的函数图像的绘制与应用在数学中，函数是一个非常重要的概念。

而函数图像则是对函数进行可视化的一种方式，它可以让我们更加直观地理解函数的特征和性质。

本文将探讨函数图像的绘制方法、常见的函数图像形态及其应用。

一、函数图像的绘制方法函数图像绘制是一种基于函数的可视化表示方法。

为了绘制函数图像，我们需要先确定要绘制的函数。

这样才能在坐标系内绘制出函数的图像。

下面将介绍如何在笛卡尔坐标系中绘制常见的函数图像。

1. 直线函数的图像绘制直线函数方程为y=kx+b（其中k、b为常数），其图像通常是一条斜率为k，截距为b的直线。

这里以y=2x+1为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。

（2）确定坐标：通过设定变量的值进行逐一计算；或设置x轴和y轴的单位间隔，根据方程中的值确定函数图像上的点坐标。

（3）依据坐标绘图：在坐标系中依照前面计算出来的坐标，描绘出直线。

2. 幂函数的图像绘制幂函数的方程通常具有以下形式：y=x^n（其中n为常数）。

幂函数的图像形态与其幂指数的正负有关。

当幂指数为正数时，函数的图像呈现出向上的凸形状；当幂指数为负数时，函数的图像则呈现出向下的凹形状。

以y=x^2为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。

（2）确定坐标：通过设定变量的值进行逐一计算；或设置x轴和y轴的单位间隔，根据方程中的值确定函数图像上的点坐标。

（3）依据坐标绘图：在坐标系中依照计算出来的坐标，连结相邻的点形成一条曲线。

由于幂函数的曲线通常比较平滑，因此绘制时需要分段绘制（例如x<0部分，x=0的位置，x>0部分等），并且需要足够细致。

3. 三角函数的图像绘制三角函数具有周期性的特点，也就意味着可以将函数图像沿周期区间翻折并重叠，以此来推出整个函数图像的形态。

以下以正弦函数y=sin(x)为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。

函数的图像性质及应用初中函数的图像性质指的是函数的图像在平面直角坐标系中的特点和规律。

函数的图像性质与函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等相关，具有一定的规律和特殊性质。

函数的图像性质在数学中有广泛的应用，尤其在解决实际问题中起到重要的作用。

首先，函数的图像性质与函数的定义域和值域密切相关。

函数的定义域是指函数所能取得自变量的值的范围，而函数的值域是指函数所能取得因变量的值的范围。

函数的定义域和值域决定了函数图像的可观察范围。

例如，定义域和值域都是实数集的线性函数，其图像为一条直线；定义域和值域是正实数集的平方函数，其图像是一条右开口的抛物线。

其次，函数的图像性质与函数的单调性密切相关。

一个函数在定义域上的单调性描述了函数在自变量取值方向上的变化趋势。

函数可以是递增（自变量增大，函数值也增大）、递减（自变量增大，函数值减小）或者既递增又递减、既递减又递增。

根据函数的单调性，可以判断函数图像在坐标系中的走势。

例如，递增的线性函数的图像是一条上升的直线，递减的线性函数的图像是一条下降的直线。

再次，函数的图像性质与函数的奇偶性密切相关。

一个函数在定义域上的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，即函数图像关于坐标原点对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，即函数图像关于y轴对称。

根据函数的奇偶性，可以判断函数图像在坐标系中是否存在对称性。

例如，奇函数的图像关于坐标原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

最后，函数的图像性质与函数的周期性密切相关。

一个函数在定义域上的周期性描述了函数图像在横轴上的重复性。

周期函数满足f(x)=f(x+T)，其中T为正实数，表示函数图像在横轴上重复出现的距离。

根据函数的周期性，可以判断函数图像在坐标系中的周期性特点。

例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，其图像在坐标系中呈现出波形的重复性。

函数的图像性质在数学中有广泛的应用。

首先，在代数与几何中，函数的图像性质可以帮助我们判断函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用★知识网络1a > ）1(02．底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y 轴对称.例如：指数函数的图像x a y =与)1,0(≠>=-a a a y x的图象关于y 轴对称3．指数函数的性质：定义域：R ； 值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1.当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.4．利用复合函数的单调性判断形如)(x f a y =的函数的单调性：若1>a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调增（减）区间；若10<<a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调减（增）区间；5.指数型的方程和不等式的解法(Ⅰ)形如b a b a b a x f x f x f <>=)()()(,,的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法；(Ⅱ)形如02=++C Ba a xx 或)0(02≤≥++C Ba ax x的形式，可借助于换元法转化为二次方程或不等式求解。

考点1 指数幂的运算1． （湛江市09届统考）计算：100.256371.5()86-⨯-+ 2.=-⋅63a a ————————考点2 指数函数的图象及性质的应用 题型1：由指数函数的图象判断底数的大小 3．下图是指数函数（1）y=a x ，（2）y=b x ，（3）y=c x ，（4）y=d x 的图像，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ） A ．a b c d <<<<1; B ．b a d c <<<<1； C ．a b c d <<<<1；D ．b a c d <<<<1 [名师指引] 1的妙用题型2：解简单的指数方程4． 方程33131=++-xx的解是_________题型3：利用函数的性质解题5．不等式1622<-+x x的解集是___________6．（广东恩城中学09年模拟）不论a 为何正实数,函数12x y a +=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________7．（广东广雅中学09届月考）已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．8．（08年安徽改编）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则)3(f 、)0(g 、)2(f 的大小关系为——————————考点3 与指数函数有关的含参数问题9．（广州六校09届联考）已知函数()22x x af x =-, 将()y f x =的图象向右平移两个单位, 得到()y g x =的图象.(1) 求函数()y g x =的解析式;(2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式;二． 对数及对数函数1．对数的概念如果ab=N （a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作logaN=b ab=N ⇔logaN=b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 2．对数的运算性质loga （MN ）=logaM+logaN. loga N M=logaM －logaN.logaM n =nlogaM.（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）3．对数换底公式：logb N =bN a a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.4．对数函数的图像及性质①函数y=loga x （a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下a <11))②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）； 值域：R ； 过定点（1，0）当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。

一次函数的图像与应用一、引言一次函数是数学中常见且重要的一类函数类型。

它的图像呈现出一条直线的特点，具有简洁的数学表达形式和广泛的应用。

本文将分析一次函数的图像特征，并探讨其在实际问题中的应用。

二、一次函数的定义与表达形式一次函数又称为线性函数，其定义域和值域通常为实数集。

一次函数的一般表达形式为：f(x) = ax + b其中，a和b为常数，且a≠0。

函数图像为一条直线，斜率为a，截距为b。

三、一次函数的图像特征1. 斜率的意义一次函数的斜率代表了图像上每单位水平位移对应的垂直位移，即函数的变化率。

当斜率为正值时，图像呈现上升趋势；当斜率为负值时，图像呈现下降趋势；当斜率为零时，图像为水平线。

2. 截距的意义一次函数的截距代表了函数图像与y轴的交点，即当x=0时的函数值。

它反映了一次函数图像在垂直方向上的位置。

3. 变量对函数图像的影响一次函数的图像特征由斜率a和截距b决定。

增大a的绝对值会使图像更陡峭或更平缓，而改变b的值则会上下平移整个图像。

四、一次函数的应用1. 直线运动模型一次函数在直线运动模型中有着广泛的应用。

假设一个物体以固定速度运动，则其位移与时间的关系可以用一次函数表示。

斜率代表了物体的运动速度，截距则代表了物体在起点的位置。

2. 成本与收益分析在商业领域中，一次函数可以用来分析成本与收益之间的关系。

设某产品的生产成本与销售量之间呈现线性变化关系，则一次函数可以描述成本与销售量之间的关系。

商家可以通过分析这个函数来确定最大利润的销售量。

3. 折旧与资产价值在会计领域中，一次函数被用于计算资产的折旧和价值变化。

资产价值随着时间的推移而减少，这种变化可以用一次函数来描述。

斜率表示每年的折旧额，截距代表了初始价值。

4. 温度变化模型一次函数在气象学中也有重要的应用。

温度随着时间的变化通常呈现线性关系。

通过查找一次函数的斜率和截距，我们可以预测未来一段时间内的温度变化趋势。

五、总结一次函数作为一种常见的数学模型，具有简洁的形式和广泛的应用。