函数第一轮复习教案

第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。

祝你取得优异的成绩！。

一．课题：函数的奇偶性二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． （二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； 3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 4．设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用． （三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩． 解：（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-，∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．例2．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f ． 解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例3．（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩． （2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ B ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<- 例4．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++，若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤． ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+，若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+．综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +，当12a >，函数()f x 的最小值是34a +．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数．（参见《高考A 计划》教师用书57P ）（四）巩固练习：《高考A 计划》考点10智能训练6．五．课后作业：《高考A 计划》考点10，智能训练2，3， 8，9，10，11，13．。

中考一轮复习一次函数教学设计一、教学内容分析一次函数是初中数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，它的研究方法具有一般性和代表性，是进一步研究反比例函数及二次函数的基本工具，也是学习高中代数、解析几何及其他数学分支的重要基础。

这部分的难点是构建一次函数模型解决实际问题的能力以及综合运用所学知识解决、分析问题的能力，学好这部分知识对发展学生的数学应用意识和建模能力起着至关重要的作用。

一次函数在中考中常常考察一次函数关系式的确定、图像和性质、一次函数的实际应用、一次函数与反比例函数、二次函数的综合题等.，二、学情分析大部分学生都感觉函数比较难，有些学生对一次函数的性质与图像遗忘了，还有些同学上新课时对这部分知识没有理解，学好这部分知识很重要一点就是会用数形结合思想去解决问题、构建一次函数模型解决实际问题，目前这两部分都是学生的难点，综合复习时与其他知识联系也较多，所以对于解决综合题学生感觉难度也较大。

鉴于以上分析本节课分三个模块来进行复习，第一模块复习一次函数的定义、图像及性质，第二模块复习确定一次函数的表达式，第三模块复习用一次函数解决实际问题。

三、教学目标、重难点分析新课标指出，三维目标是紧密联系的一个有机整体，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。

因此确定本节课的教学目标为：知识目标：1、掌握一次函数的系统知识，提高学生解题能力。

2、利用数形结合思想，解决函数问题，破解中考难点。

过程与方法：通过问题的解决体会用数形结合解题的优越性，培养学生的观察能力。

情感目标：体会数学来源于生活，增强用数学的意识教学重点：一次函数的图像、性质，确定一次函数的表达式以及实际应用。

教学难点:一次函数的实际应用，数形结合的灵活运用。

四、教学媒体：电子白板、几何画板、课件五、教学过程分析一次函数复习学习目标：（1）结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。

城东蜊市阳光实验学校一．课题：函数的图象二．教学目的：1．纯熟掌握根本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质；3．可以正确运用数形结合的思想方法解题．三．教学重点：纯熟根本函数的图象并掌握图象的初等变换．四．教学过程：〔一〕主要知识：1．作图方法：描点法和利用根本函数图象变换作图；2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．〔二〕主要方法：1．平移变换：〔1〕程度平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或者者向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；〔2〕竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或者者向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：〔1〕函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； 〔2〕函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； 〔3〕函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； 〔4〕函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．3．翻折变换：〔1〕函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保存()y f x =的x 轴上方部分即可得到； 〔2〕函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保存()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4．伸缩变换：〔1〕函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a>或者者压缩〔01a <<〕为原来的a 倍得到； 〔2〕函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a>或者者压缩〔01a <<〕为原来的1a倍得到． 〔三〕例题分析： 例1．〔高考A 方案考点16“智能训练第5题〞〕函数()y f x =与()y g x =的图像如以下图： 那么函数()()y f x g x =⋅的图像可能是〔A 〕例2．说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数321x y --=+的图像．解：方法一： 〔1〕将函数2x y =的图像向右平移3个单位，得到函数32x y -=的图像；〔2〕作出函数32x y -=的图像关于y 轴对称的图像，得到函数32x y --=的图像； 〔3〕把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像．方法二： 〔1〕作出函数2x y =的图像关于y 轴的对称图像，得到2x y -=的图像； 〔2〕把函数2x y -=的图像向左平移3个单位，得到32x y --=的图像； 〔3〕把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像．例3．〔高考A 方案考点16“智能训练第11题〞〕如以下图所示，向高为H 的水瓶,,,A B C D 同时以等速注水，注满为止；〔1〕假设水深h 与注水时间是是t 的函数图象是以下图中的a ，那么水瓶的形状是C ；〔2〕假设水量v 与水深h 的函数图像是以下图中的b ，那么水瓶的形状是A ；〔3〕假设水深h 与注水时间是是t 的函数图象是以下图中的c ，那么水瓶的形状是D ；C 0)个单位长度〔1〕写出曲线1C 的方程；〔2〕证明曲线C 与1C 关于点(,)22t s A 对称； 〔3〕假设曲线C 与1C 有且仅有一个公一一共点，证明：24t s t =-． 解：〔1〕曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；〔2〕证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点， 那么有1212,2222x x t y y s ++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程， 得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=--- 即3222()()y x t x t s =---+可知点222(,)B x y 在曲线1C 上．反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上． 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．〔3〕证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公一一共点，∴方程组33()()y x x y x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解， 消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t =-． hh例5．〔高考A 方案考点16，智能训练12〕〔1〕试作出函数1y x x=+的图像； 〔2〕对每一个实数x ，三个数2,,1x x x --中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？假设是，作出其图像，讨论其性质〔包括定义域、值域、单调性、最值〕；假设不是，说明为什么？解：〔1〕∵1()f x x x =+，∴()f x 为奇函数，从而可以作出0x >时()f x 的图像， 又∵0x>时，()2f x ≥， ∴1x=时，()f x 的最小值为2，图像最低点为(1,2)， 又∵()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上是增函数， 同时1()(0)f x x x x x=+>>即以y x =为渐近线， 于是0x >时，函数的图像应为以下图①，()f x〔2〕y13()()x x ==()x 的图像是图③中实线[1,[-(,1),[0,1)-∞-；当1x =±时，函数有最小值1；函数无最大值． 〔四〕稳固练习：1．函数32()f x ax bx cx d =+++的图像如右图所示，那么〔A 〕五．课后作业：高考A 方案考点16，智能训练3，7，9，15，16． x ③ x x ②。

新安中学2008届高三数学第一轮总复习函数的单调性教案课题：函数的单调性教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 教学过程： （一）主要知识：1．函数单调性的定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

2．设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在是减函数。

3．复合函数单调性的判断． （二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数； （4）单调函数的性质法；（5）图象法；（6）复合函数的单调性结论等 （三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．例2．设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为 ．例4．（2004福建）定义在R 上的偶函数f x 满足2f x f x ，当3,4x 时，2f x x ，则（ ）11sinsincos223333sin1cos1sincos22A f f cosB f fC f fD f f例5．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．（五）高考回顾：考题1（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（D ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 考题2（2005上海） 若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是( A )(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值考题3（2005天津）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（B ）A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(考题4 (2005重庆)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (D )(A) (∞,2)； (B) (2,∞)； (C) (∞,2)⋃(2,∞)；(D) (2,2)。

§2.11函数的零点与方程的解考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案A解析由图象可知，B ，D 选项中函数无零点，A ，C 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点．2．函数y ＝3x －ln x 的零点所在区间是()A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)答案B解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y ＝3x在(0，＋∞)上单调递减；y ＝－ln x 在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y ＝3x －ln x 为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x ＝2时，y ＝32－ln 2>0；当x ＝3时，y ＝1－ln 3<0，两函数值异号，所以函数y ＝3x －ln x 的零点所在区间是(2,3)．3．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案B解析由f ′(x )＝e x ＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)答案B解析由题意得，f (x )＝ln x ＋2x －6，在定义域内单调递增，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，则f (2)f (3)<0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究用二分法求函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，故有12n ≤0.1，解得n ≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x 1＋12x＝0，x 2＋log 2x 2＝0,33x -－log 2x 3＝0，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 2<x 3<x 1答案A解析设函数f (x )＝x ＋2x ，易知f (x )在R 上单调递增，f (－1)＝－12，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0，由函数零点存在定理可知，－1<x 1<0.设函数g (x )＝x ＋log 2x ，易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，＝－12，g (1)＝1，即(1)<0，由函数零点存在定理可知，12<x 2<1，设函数h (x )－log 2x ，易知h (x )在(0，＋∞)上单调递减，h (1)＝13，h (x 3)＝0，因为h (1)>h (x 3)，由函数单调性可知，x 3>1，即－1<x 1<0<x 2<1<x 3.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)(多选)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案AD解析f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e－1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )－12log |x |的零点个数是()A ．5B ．4C ．3D ．2答案D解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝12log|x|的图象如图所示，则y＝f(x)－12log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为() A．404B．405C．406D．203答案C解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2020,2023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个．故f(x)在[0,2023]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0,2023]上有406个根．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)x|，x>0，x2－2x，x≤0，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为() A．3B．7C．5D．6答案B解析根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图如图所示，由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为7.(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f (x )－x 2，x ≤2，3(x －1)，x >2，g (x )＝kx －3k ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为()A ．(22－6,0)B ．(23－6,0)C ．(－2,0)D ．(25－6,0)答案D解析作出函数f (x )－x 2，x ≤2，3(x －1)，x >2的图象，如图所示，设与y ＝4－x 2相切的直线为l ，且切点为P (x 0,4－x 20)，因为y ′＝－2x ，所以切线的斜率为k ＝－2x 0，则切线方程为y －4＋x 20＝－2x 0(x －x 0)，因为g (x )＝kx －3k 过定点(3,0)，且在切线l 上，代入切线方程求得x 0＝3－5或x 0＝3＋5(舍去)，所以切线的斜率为k ＝25－6，因为函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，由图象知，实数k 的取值范围为(25－6,0)．命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.－∞，43 B.0，43C ．(－∞，0) D.43，＋∞答案B解析由f (x )＝3x －1＋ax x＝0，可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)因此实数a 思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <3B ．1<a <3C ．1<a <2D ．a ≥2答案A解析因为函数y ＝2x ，y ＝－2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －2x－a 在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内得，f (1)×f (2)＝(2－2－a )(4－1－a )＝(－a )×(3－a )<0，解得0<a <3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f (x )x >0，2x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有3个零点，则实数a的取值范围为()A ．(－1,0)1C.0{－1}答案B解析设h (x )＝ln xx(x >0)，则h ′(x )＝1－ln xx 2，令h ′(x )>0，得0<x <e ，令h ′(x )<0，得x >e ，所以函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e.因为函数g (x )＝f (x )－a 有3个零点，所以方程f (x )＝a 有3个解．作出函数y ＝f (x )和y ＝a 的图象如图所示，所以a 1课时精练1．(2022·焦作模拟)设函数f (x )＝2x ＋x3的零点为x 0，则x 0所在的区间是()A ．(－4，－2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(2,4)答案B解析易知f (x )在R 上单调递增且连续，f (－2)＝14－23，f (－1)＝12－13>0，所以x 0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为()A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0,0.5)，f (0.375)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25)答案D解析因为f (0)f (0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x 0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f f (0.25)．3．函数f (x )2－2x －3，x ≤0，2x －3x ＋4，x >0的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析当x ≤0时，令f (x )＝x 2－2x －3＝0，得x ＝－1(x ＝3舍去)，当x >0时，令f (x )＝0，得log 2x ＝3x －4，作出y ＝log 2x 与y ＝3x －4的图象，如图所示，由图可知，y ＝log 2x 与y ＝3x －4有两个交点，所以当x >0时，f (x )＝0有两个零点，综上，f (x )有3个零点．4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则实数m 的取值范围为()－53，(0，＋∞)－∞，－53∪(0，＋∞)D.－53，答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，1)<0，3)≥0，<0，＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是－53，5．已知函数f (x )－x ，x <0，＋|x －1|，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)答案A 解析因为函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，所以函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，1<m ≤2，即m 的取值范围是(1,2]．6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2答案C 解析函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点，即为y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的交点的横坐标，作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示．可知x 2<x 3<x 1.7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6答案ABC 解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )x ，x ∈[0，π]，sin x ，x ∈ π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝12x＋1D．f(x)＝|log2x|－1答案BCD解析选项A，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若f(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则12x＋1＝x0，可得x20－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝3＋52，故该函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，故该函数是“不动点”函数．9．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．答案1解析由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.10．(2023·苏州质检)函数f (x )满足以下条件：①f (x )的定义域为R ，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )；③当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x )恰有两个零点，请写出函数f (x )的一个解析式________．答案f (x )＝x 2－1(答案不唯一)解析因为∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，因为当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (x )恰有两个零点，所以f (x )图象与x 轴只有2个交点，所以函数f (x )的一个解析式可以为f (x )＝x 2－1(答案不唯一)．11．已知函数f (x )2x ，x >0，x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．如图，在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y轴上的截距．由图可知，当a ≤1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )有两个交点，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )x －1|，x ≤1，－2)2，x >1，函数y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则123422x x x x ++＝________.答案12解析y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，即y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝a的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x 3＋x 4＝4.因为1－12x ＝22x－1，所以12x ＋22x ＝2，故123422x x x x ++＝12.13．已知函数f (x )＝|e x －1|＋1，若函数g (x )＝f 2(x )＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案A 解析令t ＝f (x )，则函数g (t )＝t 2＋(a －2)t －2a ，由t 2＋(a －2)t －2a ＝0得，t ＝2或t ＝－a .f (x )＝|e x －1|＋1x ，x ≥0，－e x ，x <0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，当t ＝2时，方程f (x )＝|e x －1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f (x )＝|e x －1|＋1＝－a 必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a <2，即－2<a <－1.14．已知函数f (x )＝x ＋1x －sin x －1，x ∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f (x )的所有零点之和为________．答案0解析因为函数f (x )＝x ＋1x－sin x －1＝1x －sin x ，所以f (x )的对称中心是(0,0)，令f (x )＝0，得1x＝sin x ，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x，y ＝sin x 的图象，如图所示，由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f (x )有8个零点，由对称性可知，零点之和为0.15．(2023·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，若关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为()D ．(0，e －1)答案B 解析∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )关于直线x ＝1对称，又f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )关于直线x ＝0对称，作出函数y ＝f (x )与直线y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，要使关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有5个交点，m >e －1，m <e －1，即e －16<m <e －14.16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案，4e 2解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2ex .令h (x )＝x 2ex ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e h (2)＝4e2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ，4e 2.。

城东蜊市阳光实验学校第三中学高考数学一轮复习函数的单调性与最值教案①利用函数的单调性．②定义法：先求定义域，再利用单调性定义．③图象法：假设f(x)是以图象形式给出的，或者者者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 5.函数的最值 设函数y ＝f(x)的定义域为I ，假设存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有．(2)存在x0∈I ，使得.那么，我们称M 是函数y ＝f(x)的．最值与函数的值域有何关系？【提示】函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。

(1) 求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x 取了某个值时的对应值，故函数获得最值时，一定有相应的x 的值．前提自测 1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，那么 (D) 2．假设函数y ＝ax 与y ＝－x b在(0，＋∞)上都是减函数，那么y ＝ax2＋bx 在(0，＋∞)上是 (B) A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减 D ．先减后增. 3．函数()f x =223x ax -+在区间(],2-∞上是单调函数,那么实数的取值范围是a≥2.4．设x1，x2为y ＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0； ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0；其中能推出函数y ＝f(x)为增函数的命题为__①_③_____5.函数2()23f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3,最小值2,那么正数m 的取值范围1≤m≤2.6.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数 自主﹒﹒探究 例1答案：a ＞0:f(x)为减函数。

a ＜0:f(x)为增函数。