江苏南通市2014届高三第二次调研测试数学

A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数）　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。

2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）第二次学情调研数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 若集合A ={0, 1}，集合B ={0, −1}，则A ∪B =________．2. 复数Z 满足(1+i)Z =|1−i|，是Z 的虚部为________．3. 抛物线y =−4x 2的准线方程是________．4. 若ac >0且bc <0，直线ax +by +c =0不通过第________象限．5. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．6. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为________．7. △ABC 中，若sin(π−A)=35，tan(π+B)=125，则cosC ＝________．8.如图所示为函数f(x)=2sin(ωx +ϕ)(ω>0, π2≤ϕ≤π)的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f(−1)=________．9. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=λ(λ≠0)的一条渐近线方程是y =2x ，则离心率e 的值为________． 10. 下列有关命题的说法正确的是________．①命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为：“若x 2=1，则x ≠1”；②已知x >0时，(x −1)f′(x)<0，若△ABC 是锐角三角形，则f(sinA)>f(cosB)； ③命题“若x =y ，则sinx =siny”的逆否命题为真命题；④命题“∃x ∈R 使得x 2+x +1<0”的否定是：“∀x ∈R 均有x 2+x +1>0”．11. 已知A(−2, 0)，B(2, 0)，点P 在圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)上，满足PA 2+PB 2=40，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是________．12. 定义在R 上的函数f(x)满足：f′(x)>1−f(x)，f(0)=6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x +5（其中e 为自然对数的底数）的解集为________．13. O 为△ABC 的外接圆圆心，AB =10，AC =4，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM →⋅AO →=________．14. 已知函数y =f(x)是定义域为R 的偶函数． 当x ≥0时，f(x)={516x 2(0≤x ≤2)(12)x +1(x >2)，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+b =0，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知向量a →=(sinx, 34)，b →=(cosx, −1)． (1)当a → // b →时，求cos 2x −sin2x 的值；(2)设函数f(x)=2(a →+b →)⋅b →，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =√3，b =2，sinB =√63，求 f(x)+4cos(2A +π6)（x ∈[0, π3]）的取值范围．16.在正四面体ABCD 中，点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF:FC =DE:EA =2:3．证明：（1）EF // 平面ABC ； （2）直线BD ⊥直线EF ．17. 某小区想利用一矩形空地ABCD 建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD =60m ，AB =40m ，且△EFG 中，∠EGF =90∘，经测量得到AE =10m ，EF =20m ．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一条直线交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场．（1）假设DN =x(m)，试将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数，并注明函数的定义域； （2）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积． 18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴两个端点为A ，B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM →⋅OP →为定值．(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数f(x)=x ⋅lnx ，g(x)=ax 3−12x −23e ．（1）求f(x)的单调增区间和最小值；（2）若函数y =f(x)与函数y =g(x)在交点处存在公共切线，求实数a 的值；（3）若x ∈(0, e 2]时，函数y =f(x)的图象恰好位于两条平行直线l 1:y =kx ；l 2:y =kx +m 之间，当l 1与l 2间的距离最小时，求实数m 的值．20. 已知函数f(x)=ax 2+bx +1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R)，F(x)={f(x),x >0−f(x),x <0．（1）若f(−1)=0，且函数f(x)的值域为[0, +∞)，求F(x)的表达式；（2）设mn <0，m +n >0，a >0，且函数f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)是否大于0？ （3）设g(x)=lnx+1e x，当a =b =1时，证明：对任意实数x >0，[F(x)−1]g′(x)<1+e −2（其中g′(x)是g(x)的导函数）．第Ⅱ卷（理科加试）（总分40分，考试时间30分钟）21. 将曲线y =2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y =sinx ，求变换矩阵M 的逆矩阵． 22. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα (t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB|的最小值． 23. 已知动圆过定点F(0, 2)，且与定直线L:y =−2相切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F(0, 2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ ．24. 设x =3是函数f(x)=(x 2+ax +b)e 3−x ，(x ∈R)的一个极值点． （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求f(x)的单调区间； （2）设a >0，g(x)=(a 2+254)e x，若存在ξ1，ξ2∈[0, 4]，使得|f(ξ1)−g(ξ2)|<254成立，求实数a 的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）第二次学情调研数学试卷（理科）答案1. {−1, 0, 1}2. −√223. y =116 4. 四 5. √556.2√23π 7. 1665 8. 2 9. √5或√52 10. ②③ 11. (1, 9) 12. (0, +∞) 13. 2914. (−52, −94)∪(−94, −1) 15. 解：(1)∵ a → // b →， ∴ 34cosx +sinx =0，∴ tanx =−34，cos 2x −sin2x =cos 2x −2sinxcosxsin 2x +cos 2x=1−2tanx 1+tan 2x=85.(2)f(x)=2(a →+b →)⋅b →=√2sin(2x +π4)+32， 由正弦定理得，asinA =bsinB ，可得sinA =√22， ∵ a <b ， ∴ A <B , ∴ A =π4，f(x)+4cos(2A +π6)=√2sin(2x +π4)−12，∵ x ∈[0,π3]，∴ 2x +π4∈[π4,11π12]，所以√32−1≤f(x)+4cos(2A +π6)≤√2−12.16. 证明：（1）因为点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF:FC =DE:EA =2:3，… 所以EF // AC ，… 又EF ⊄平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，所以EF // 平面ABC ．…（2）取BD 的中点M ，连AM ，CM ，因为ABCD 为正四面体，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ，… 又AM ∩CM =M ，所以BD ⊥平面AMC ，… 又AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥EF ，… 又EF // AC ，所以直线BD ⊥直线EF ．…17. 当DN =20m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m 2．18. 解：(1)∵ 四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形， ∴ F 1F 2=2OA =2√2， ∴ b =c =√2， ∴ a 2=b 2+c 2=4, ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)， 则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0) 直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0.∵ x 1=−124(y 02−8)y 02+8，∴ x 1=−2(y 02−8)y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8，∴ OP →=(−2(y 02−8)y 02+8，8yy 02+8).∴ OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4（定值）.(3)设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ，MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)则由MQ →⋅DP →=0得 −4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0，从而得m =0.∴ 存在Q(0, 0)满足条件.19. 解：（1）因为f ′(x)=lnx +1，由f ′(x)>0，得x >1e ，所以f(x)的单调增区间为(1e ，+∞)，又当x ∈(0,1e)时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,1e)上单调减，当x ∈(1e ，+∞)时，f ′(x)>0，则f(x)在(1e ，+∞)上单调增， 所以f(x)的最小值为f(1e)=−1e．（2）因为f ′(x)=lnx +1，g′(x)=3ax 2−12，设公切点处的横坐标为x ∘，则与f(x)相切的直线方程为：y =(lnx ∘+1)x −x ∘， 与g(x)相切的直线方程为：y =(3ax ∘2−12)x −2ax ∘3−23e ， 所以{lnx ∘+1=3ax ∘2−12−x ∘=−2ax ∘3−23e ， 解之得x ∘lnx ∘=−1e ，由（1）知x ∘=1e，所以a =e 26．（3）若直线l 1过(e 2, 2e 2)，则k =2，此时有lnx ∘+1=2（x ∘为切点处的横坐标）， 所以x ∘=e ，m =−e ，当k >2时，有l 2:y =(lnx ∘+1)x −x ∘，l 1:y =(lnx ∘+1)x ，且x ∘>2， 所以两平行线间的距离d =√1+(lnx +1)2，令ℎ(x)=xlnx −(lnx ∘+1)x +x ∘，因为ℎ′(x)=lnx +1−lnx ∘−1=lnx −lnx ∘， 所以当x <x ∘时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)在(0, x ∘)上单调减； 当x >x ∘时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)在(x ∘，e 2)上单调增，所以ℎ(x)有最小值ℎ(x ∘)=0，即函数f(x)的图象均在l 2的上方， 令t(x)=x 2ln 2x+2lnx+2，则t′(x)=2xln 2x+4xlnx+4x−2xlnx−2x(ln 2x+2lnx+2)2=2xln 2x+2xlnx+2x (ln 2x+2lnx+2)2>0，所以当x >x ∘时，t(x)>t(x ∘)， 所以当d 最小时，x ∘=e ，m =−e ． 20. 解：（1）因为f(−1)=0，所以a −b +1=0， 因为f(x)的值域为[0, +∞)，所以{a >0△=b 2−4a =0，所以b 2−4(b −1)=0⇒b =2，a =1，所以f(x)=(x +1)2， 所以F(x)={(x +1)2，&x >0−(x +1)2，&x <0；（2）因为f(x)是偶函数，所以b =0，即f(x)=ax 2+1， 又a >0，所以F(x)={ax 2+1，&x >0−ax 2−1，&x <0，因为mn <0，不妨设m >0，则n <0，又m +n >0，所以m >−n >0，此时F(m)+F(n)=am 2+1−an 2−1=a(m 2−n 2)>0， 所以F(m)+F(n)>0；（3）因为x >0，所以F(x)=f(x)=ax 2+bx +1， 又a =b =1，则F(x)−1=x 2+x ， 因为g(x)=lnx+1e x，所以g ′(x)=1x−lnx−1e x则原不等式证明等价于证明“对任意实数x >0，(x 2+x)⋅1x−lnx−1e x<1+e −2，即1+x e x⋅(1−xlnx −x)<1+e −2．先研究 1−xlnx −x ，再研究1+x e x．①记m(x)=1−xlnx −x ，x >0，m′(x)=−lnx −2， 令m′(x)=−lnx −2=0，得x =e −2，当x ∈(0, e −2)时，m′(x)>0，m(x)单增；当x ∈(e −2, +∞)时，m′(x)<0，m(x)单减． 所以，m(x)的最大值m(e −2)=1+e −2，即1−xlnx −x ≤1+e −2． ②记n(x)=1+x e x，x >0，n′(x)=−xe x <0，所以n(x)在(0, +∞)单减， 所以，n(x)<n(0)=1，即1+x e x<1．综上①、②知，g(x)=1+x e x(1−xlnx −x)≤1+x e x(1+e −2)<1+e −2．即原不等式得证，对任意实数x >0，[F(x)−1]g ′(x)<1+e −2． 21. 解：设将曲线y =sinx 变换为y =2sin4x 对应的变换矩阵为N =[ab cd]，由[a b cd][xy ]=[x′y′]，则{x′=ax +byy′=cx +dy， ∵ 将曲线y =sinx 变换为y =2sin4x ， 对应的坐标关系为： {x =4x′y =y′2，∴ {x′=x4y′=2y，∴ { a =14b =0c =0d =2， 矩阵N =[14002]．变换矩阵M 的逆矩阵为[14002]．22. 解：（1）由ρsin 2θ=4cosθ，得(ρsinθ)2=4ρcosθ， ∴ 曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ．（2）将直线l 的参数方程代入y 2=4x ，得t 2sin 2α−4tcosα−4=0． 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则t 1+t 2=4cosαsin 2α，t 1t 2=−4sin 2α，∴ |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√(4cosαsin 2α)2+16sin 2α=4sin 2α， 当α=π2时，|AB|的最小值为4．23. 解：（1）依题意，圆心的轨迹是以F(0, 2)为焦点，L:y =−2为准线的抛物线上 因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x 2=8y（2）∵ 直线AB 与x 轴不垂直，设AB:y =kx +2．A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{y =kx +2y =18x 2.可得x 2−8kx −16=0，x 1+x 2=8k ，x 1x 2=−16抛物线方程为y =18x 2，求导得y′=14x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是 k 1=14x 1，k 2=14x 2，k 1⋅k 2=14x 1⋅14x 2=116x 1⋅x 2=−1所以，AQ ⊥BQ 24. 解：（1）∵ f(x)=(x 2+ax +b)e 3−x∴ f′(x)=(2x +a)e 3−x −(x 2+ax +b)e 3−x =−[x 2+(a −2)x +b −a]e 3−x ， 由题意得：f′(3)=0，即32+3(a −2)+b −a =0，b =−2a −3， ∴ f(x)=(x 2+ax −2a −3)e 3−x 且f′(x)=−(x −3)(x +a +1)e 3−x 令f′(x)=0得x 1=3，x 2=−a −1．∵ x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3−x，(x∈R)的一个极值点∴ x1≠x2，即a≠−4故a与b的关系式b=−2a−3，(a≠−4)．①当a<−4时，x2=−a−1>3，由f′(x)>0得单增区间为：(3, −a−1)；由f′(x)<0得单减区间为：(−∞, 3)，(−a−1, +∞)；②当a>−4时，x2=−a−1<3，由f′(x)>0得单增区间为：(−a−1, 3)；由f′(x)<0得单减区间为：(−∞, −a−1)，(3, +∞)．（2）由（1）知：当a>0时，x2=−a−1<0，f(x)在[0, 3]上单调递增，在[3, 4]上单调递减，∴ f(x)min=min{f(0),f(4)}=−2(a+3)e3，f(x)max=f(3)=a+6．∴ f(x)在[0, 4]上的值域为[−2(a+3)e3, a+6]．又g(x)=(a2+254)e x，在x∈[0, 4]上单调递增，∴ g(x)在x∈[0, 4]上的值域为[a2+254，(a2+254)e4]．由于(a2+254)−(a+6)=(a−12)2≥0，∴ 若存在ξ1，ξ2∈[0, 4]，使得|f(ξ1)−g(ξ2)|<254成立，必需{a>0(a2+254)−(a+6)<254，解得0<a<3．∴ a的取值范围是(0, 3)．。

(第10题图)(第9题图) 南通市2014届高三数学参考答案与评分建议 数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ．答案：3． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ．答案：-2i ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ．答案：16．6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ．答案：25． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位(第8题图)(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+= ▲ ．答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y +-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 答案：ln31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA+-=⋅⋅=12-． ····················4分因0<C <π，···············6分 故C =23π．·······················8分(2)由余弦定理，得13cos 14A =．··············11分 在△ADC 中，AD =72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =194，于是CD．·· 14分16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．(第15题图)BAC解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ·············3分，因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ··········4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形，所以ME ∥NF ．··· 1分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·····14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π． 所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分(第17题图)图1图2所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b+=，将(1，1)代入得221112b b +=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．··················5分 (2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．········· 10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以2112S OM x x =⋅-= ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ··········16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ·································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···············16分 20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a-与曲线y =g (x )=e x x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1ex x-=0，得x =1．列表：·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e )．于是题设等价于0<12a -<1e⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分(2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02x x x x --<，于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)， 故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心(1C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1解：因 a 、b 、c ＞0，故 2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分，a =b =c =13时，取“=”．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。

南通市2014届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．【答案】{}13x x -<≤．2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】18．3． 复数i 1iz =-（其中i 为虚数单位）的模为▲ ． ．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 【答案】76．5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】48．6． 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()4+∞，．7． 若函数32()fx x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-，则b 的值为 ▲ ． 【答案】3-．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的▲条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）（第5题）【答案】充要．9． 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲ ．10y +--=．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 【答案】－36．11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ． 【答案】3415．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为▲ ． 【答案】14π313． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ． 【答案】114．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）sin()sin A B C-的值．PABCDE （第16题）【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=， 亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分（方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分（方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分（2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分 由正弦定理得s i n ()c o sc o s s i n A B a B bA C c --=22cos cos 169725ac B bc A c c --===． ………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．PABCDE（第16题）FM 因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分（2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥． 因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）． 【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分（2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天， 浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分 因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a --.令44a --≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-≈．……… 14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x y a b ab+=>>所围成的封闭图形的面积为C 1上的点到原点O．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分 （2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分 因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=， 即()()222182y x +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分 ②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+= （i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分（方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分（解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． ……………15分当k ＝0，S △AMB 116129=⨯=>；当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． ……………16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OM k k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+， 又22112OA OM OA OM +⋅≥，于是169OA OM ⋅≥， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1）19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t SrS t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑． 【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nS n S =，即21n S a n =．… 2分当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立． 故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分（2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分（3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分20．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =，求(1)(1)a t --的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a=时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s sx x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122e x x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a --+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）（第21—A 题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．【解】设ab cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，． 再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ab c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分于是PQ的中点M ()1cos cos 2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分从而ABCDD 1A 1B 1C 1E（第22题）()()2222cos cos 2sin sin 222cos d MA ααααα==+++=+ ………………………… 6分因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|， 所以|1|||1(x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分又a ≥2，故21|a -|≥3． 所以|1||x ax a-++-≥．…………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)．所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分（2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)． 又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()2201CE x y λλ=+-=+，n 2·120CD y z =-+=，所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，，．因为二面角D 1—EC —D 的大小为π4，则1212|||⋅=n n|n n ．解得λ=±233－1．又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1． (10)分23.（本小题满分10分）设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有{}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）； （2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数． 【解】（1）当3n =时，131a a ==． 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，， 所以212a =或21a =或22a =．故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分（2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件：77181111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)．反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ．显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1．当k 给定时，{b n }的取法有77C C k kk -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。

．分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上70分，共5小题，每小题14一、填空题：本大题共．．．．．．．．．▲ð，则已知集合．1R．【答案】个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相8某学校有．2 ．▲同，则这两位同学参加同一个社团的概率为1．【答案】8i．▲为虚数单位）的模为i（其中复数．32．【答案】2件产品中，采用系统抽样的80的79，…，2，1，0从编号为．4 的产品在样本中，则28的样本，若编号为5方法抽取容量是．▲该样本中产品的最大编号为6≤iWhile．76【答案】．▲的值为根据如图所示的伪代码，最后输出的．5a whileEnd．48【答案】aPrint12．▲的取值范围是a，则若．6a题）5（第．【答案】，423．7 ．▲的值为b则，其图象的一条切线方程为为奇函数，若函数．【答案】是平面m表示直线，m，l设8. 条件．▲成立的”“是”“则内的任意一条直线．、（在“充分不必要” “既不充分又不必要”中选填一个）、“充要”、“必要不充分” ．【答案】充要22的倾斜角为）上一点，直线（：是半圆中，设xOy在平面直角坐标系．9的方程，则直线的平行线交半圆于点作，过轴的垂线，垂足为作，过点45°xOAABBAHH．▲是．【答案】．▲的值为，则20＝BC，8＝AD的中点，BC是D中，ABC在△．10ABAC．36【答案】－1zx11．▲的值是成等差数列，则，，成等比数列，且z15，y12，x9是实数，z，y，x设．zxzxy34．【答案】15是函数设．12内所有极值点之和为在区间的一个零点，则函数π2，6．▲14π【答案】32［1)－mx(若不等式．13．▲的值为x则实数恒成立，对任意0≥］1－m+ 1)x ( －m3， 1 【答案】22设实数．14a，则1≤c≤ b＋a满足c，b，a ．▲的最小值为c＋b＋1．【答案】2解答时应写出文字说明、证. 内作答分．请在答题卡指定区域90小题，共6二、解答题：本大题共．．．．．．．明过程或演算步骤．．15分）14（本小题满分ABC在△．求：中，已知，）1（的值；AB的值．）2（分 4…………………………… ，）因为1（方法）1（【解】，，，即所以2分7 …………………………… ．，故亦即，c，b，a的对边依次为C，B，A）设2（方法分3 …………………………… 则由条件得．，2分7 ……………… ．，即，故两式相加得，c，b，a的对边依次为C，B，A）设3（方法分 3 …………………………… ．则由条件得，，由余弦定理得，222分7 …………………………… ，故两式相加得．）分10 2………………………… （由正弦定理得分14 ………… ．2522cccCsin 分）14（本小题满分．16－的中点．PB是E，DC2＝AB，AD＝PD ，ADPP⊥平面AB，DC∥AB中，ABCD在四棱锥；ADP∥平面CE）1（求证： P ．ABP⊥平面PBC）平面2（ E 分2 ．……DF，EF，连F的中点AP）取1（方法）1（【证】．，且AB//EF 的中点，所以PB是E因为 A 2 B ∥AB因为分4 ，………………CD∥EF，所以DC2＝AB，CD 是平行四边形，DCEF，于是四边形，ADP平面，ADP平面，而DF∥CE从而题）16（第P 分7 …………………… AD ．P∥平面CE故分2 ……………… ．CM，EM，连M的中点AB）取2（方法 E F 是E因为．AP// EM 的中点，所以PB A// CM ，所以DC2＝AB，CD∥AB因为分 4．………………AD B M ，ADP平面，ADP平面因为所以．ADP∥平面CM．同理，ADP∥平面EM D C ，CEM平面，因为，EM16（第题）分7 ．………………………ADP∥平面CE，故ADP平面．而ADP∥平面CEM所以平面，且AD＝PD）因为1）中方法1（接（）2（．的中点，所以AP 是分10……………………… ．，所以ADP平面，ADP⊥平面AB因为．，，所以DF∥CE因为．ABP平面，所以，AB因为P平面，分14 ………………………… P．AB⊥平面PBC，所以平面PBC平面因为分）14（本小题满分．17个单位的净化剂，空气中1为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒x变化的函数关系式近似为)单位：天(立方米）随着时间/（单位：毫克y释放的浓度，4≤x≤0，．，若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之时，它才能起到净化空气的作用．)立方米/毫克(4当空气中净化剂的浓度不低于,和．由实验知? 个单位的净化剂，则净化时间可达几天4）若一次喷洒1（a天后再喷洒6个单位的净化剂，2）若第一次喷洒2（）个单位的药剂，要使接下（4≤a≤1a2．）1.4取，参考数据：0.1的最小值（精确到天中能够持续有效净化，试求4来的个单位的净化剂，4）因为一次喷洒1（【解】，4≤x≤0，所以浓度．，分3 ．……………………，所以此时，解得时，由则当．，所以此时解得时，由当分7 …………… 天．8个单位的制剂，则有效净化时间可达4若一次投放综合得8≤x≤0，）天，（x）设从第一次喷洒起，经2（分10 ……浓度．因为，，而8]， . 有最小值为y时，，故当且仅当所以，分14 ．………的最小值为a，所以，解得令分）16（本小题满分．18yx在平面直角坐标系所围成的封闭图形的面积为：C中，设曲线22与坐标轴的交点为顶点的椭圆记C以曲线．的最短距离为O上的点到原点C曲线，24113 ．C为2。

2014年江苏省无锡、苏州、常州、镇江四市联考高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 函数y =√x −1的定义域为A ，函数y =lg(2−x)的定义域为B ，则A ∩B =________．2. 已知复数z =2−i （i 是虚数单位），则|z|=________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29−y 2m =1的一个焦点为(5, 0)，则实数m =________．4.样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6, 10]内的频数为________．5. “φ=π2”是“函数y =sin(x +φ)的图象关于y 轴对称”的________条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空） 6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=−1，S 3=6，则S 6=________． 7. 函数y =1lnx (x ≥e)的值域是________．8. 执行如图的程序图，那么输出n 的值为________．9. 在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b ，则“ab 是整数”的概率为________．10. 已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD =2，将△ABC 沿AD 折成60∘的二面角，连结BC ，则三棱锥C −ABD 的体积为________． 11. 直线y =kx 与曲线y =2e x 相切，则实数k =________．12. 已知平面内的四点O ，A ，B ，C 满足OA →⋅BC →=2，OB →⋅CA →=3，则OC →⋅AB →=________． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y =f(x 2)+f(k −x)只有一个零点，则实数k 的值是________．14. 已知x ，y ∈R ，满足2≤y ≤4−x ，x ≥1，则x 2+y 2+2x−2y+2xy−x+y−1的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足A =B +30∘． （1）若c =1，b =sinB ，求B ．（2）若a 2+c 2−12ac =b 2，求sinA 的值．16. 如图，正四棱锥P −ABCD 的高为PO ，PO =AB =2．E ，F 分别是棱PB ，CD 的中点，Q 是棱PC 上的点． （1）求证：EF // 平面PAD ； （2）若PC ⊥平面QDB ，求PQ ．17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F′与F ，圆F ：(x −√3)2+y 2=5．（1）设M 为圆F 上一点，满足MF′→⋅MF →=1，求点M 的坐标；（2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值．18. 如图，O 为总信号源点，A ，B ，C 是三个居民区，已知A ，B 都在O 的正东方向上，OA =10km ，OB =20km ，C 在O 的北偏西45∘方向上，CO =5√2km ．（1）求居民区A 与C 的距离；（2）现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA 的上方），并从A ，B ，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF ．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m （m 为常数）．设∠AOE =θ(0≤θ<π)，铺设三条分光缆的总费用为w （元）． ①求w 关于θ的函数表达式；②求w 的最小值及此时tanθ的值．19. 若存在实数x 0与正数a ，使x 0+a ，x 0−a 均在函数f(x)的定义域内，且f(x 0+a)=f(x 0−a)成立，则称“函数f(x)在x =x 0处存在长度为a 的对称点”．（1）设f(x)=x 3−3x 2+2x −1，问是否存在正数a ，使“函数f(x)在x =1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由．（2）设g(x)=x+b(x>0)，若对于任意x0∈(3, 4)，总存在正数a，使得“函数g(x)在xx=x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．20. 已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足：a1=1，S n+1=a n+1S n+(λ⋅3n+1)a n+1(n∈N∗)．a n(1)若λ=0，求数列{a n}的通项公式；a n对一切n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．(2)若a n+1<12选做题：在21-24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．选修4-1：几何证明选讲21. 如图，△ABC中，∠ACB=90∘，以边AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与边AB，AC分别交于点E，F，EC与⊙O交于点D，连结AD并延长交BC于P，已知AE=EB=4，AD=5，求AP的长．选修4-2：矩阵与变换]对应的变换作用下，得22. 已知点M(3, −1)绕原点按逆时针旋转90∘后，且在矩阵A=[a02b到点N(3, 5)，求a，b的值．选修4-4：坐标系与参数方程23. 如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ>0)，极角为θ(0≤θ<2π)，⊙A的极坐标方程为ρ=2cosθ，点C在极轴的上方，∠AOC=π．△OPQ是以OQ为斜边的6等腰直角三角形，若C为OP的中点，求点Q的极坐标．选修4-5：不等式选讲24. 已知不等式|a−2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．必做题：第25、26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 如图，在空间直角坐标系A−xyz中，已知斜四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B，D，B1分别在x，y，z轴上，B1A=3，P是侧棱B1B上的一点，BP=2PB1．（1）写出点C1，P，D1的坐标；（2）设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．26. 如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N∗, n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n．（1）写出a2，a3，a4的值；（2）写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．2014年江苏省无锡、苏州、常州、镇江四市联考高考数学二模试卷答案1. [1, 2)2. √53. 164. 325. 充分不必要6. 397. (0, 1]8. 69. 1310. 2√3311. 2e12. −513. 1414. 10315. 解：（1）∵ csinC =bsinB，∴ sinC=cb⋅sinB=1，∵ 0<C<π，∴ C=π2，则A+B=π2，∵ A=B+30∘，∴ B=π6．（2）∵ a2+c2−12ac=b2，∴ cosB=a2+c2−b22ac =14，∵ 0<B<π，∴ sinB=√1−cos2B=√154，∴ sinA=sin(B+π6)=√32sinB+12cosB=√32×√154+12×14=3√5+18．16. （1）证明：取PA中点M，连结ME，MD，由条件，得ME // AB，DF // AB，∴ ME // DF，且ME=12AB，DF=12AB，∴ ME=DF，∴ 四边形EFDM是平行四边形．则EF // MD，由MD⊂平面PAD，EF不属于面PAD，∴ EF // 平面PAD．（2）连结OQ，∵ PC⊥平面QDB，OQ⊂平面QDB，∴ PC⊥OQ，∵ PO⊥平面ABCD，OC⊂平面ABCD，∴ PO⊥OC，∵ PO=2，∴ PC=√OP2+OC2=√6则PQ=PO⋅cos∠CPO=2√6=2√6317. 解：（1）∵ 椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F′与F ，∴ F ′(−√3,0)，F(√3,0)，设M(m, n)，由MF ′→⋅MF →=1，得(m +√3)(m −√3)+n 2=1， ∴ m 2+n 2=4，① 又(m −√3)2+n 2=5，② 由①，②得m =√33，n =±√333， ∴ M(√33,√333)或(√33,−√333)， （2）设P(x 0, y 0)，M 圆P 的方程为(x −x 0)2+(y −y 0)2=x 02+y 02， 即x 2+y 2−2x 0x −2y 0y =0，③又圆F 的方程为(x −√3)2+y 2=5，④由③④得直线QT 的方程为(x 0−√3)x +y 0y −1=0， ∴ FH =√3(x 0√3)−1|√(x 0−√3)2+y 0=√3x 0√x 0+y 0−2√3x 0+3，∵ P(x 0, y 0)在椭圆上，∴ x 024+y 02=1，即y 02=1−x 024，∴ FH =√3x 0√34x 0−2√3x 0+4=√3x 0(√32x 0=2．18. 解：（1）以点O 位坐标原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(10, 0)，B(20, 0)，C(−5, 5)，∴ AC =√(10+5)2+52=5√10；（2）①当直线l 的斜率存在时，设l:y =kx ，k =tanθ， 则w =m[(10k)2k 2+1+(20k)2k 2+1+(−5k−5)2k 2+1]=m ⋅525k 2+50k+25k 2+1；直线l 的斜率不存在时，w =m(100+400+25)=525m ， 综上，w ={m ⋅525tan 2θ+50tanθ+25tan 2θ+1(0≤θ<π,θ≠π2)525m(θ=π2)②直线l 的斜率不存在时，w =m(100+400+25)=525m ；当直线l的斜率存在时，w=m⋅525k 2+50k+25 k2+1令t=k−10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m⋅50t+101t+20∵ t+101t ≤−2√101，或t+101t≥2√101，∴ w的最小值为525m+m20−2√101=(275−25√101)m，此时，t=−√101，tanθ=k=10−√101．19. 解：（1）∵ f(1+a)=f(1−a)，∴ (1+a)3−3(1+a)2+2(1+a)−1=(1−a)3−3(1−a)2+2(1−a)−1，∴ a(a+1)(a−1)=0，∵ a>0，∴ a=1；（2）令g(x)=c，则x+bx=c，即x2−cx+b=0(∗)．由题意，方程(∗)必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，∴ c>0，b>0，c2−4b>0，c2=x0，∴ 0<b<x02对一切意x0∈(3, 4)均成立，∴ b的取值范围为(0, 9]．20. 解：(1)λ=0时，S n+1=a n+1a nS n+a n+1，∴ S n=a n+1a nS n，∵ a n>0，S n>0，∴ a n+1=a n，∵ a1=1，∴ a n=1.(2)∵ S n+1=a n+1a nS n+(λ⋅3n+1)a n+1(n∈N∗)．∴ S n+1a n+1−S na n=λ3n+1，则S2a2−S1a1=λ⋅3+1，S3a3−S2a2=λ⋅32+1，∴ S na n −S n−1a n−1=λ3n−1+1．相加得S na n−1=λ(3+32+⋯+3n−1)+n−1，则S n=(λ⋅3n−32+n)⋅a n，(n≥2)，上式对n=1也成立，∴ S n=(λ⋅3n−32+n)⋅a n，S n+1=(λ⋅3n+1−32+n +1)⋅a n+1，(n ≥2).相减得a n+1=(λ⋅3n+1−32+n +1)⋅a n+1−(λ⋅3n −32+n)⋅a n ,即(λ⋅3n+1−32+n)⋅a n+1=(λ⋅3n −32+n)⋅a n ,∵ λ≥0， ∴ (λ⋅3n −32+n)>0，λ⋅3n+1−32+n >0.∵ a n+1<12a n 对一切n ∈N ∗恒成立， ∴ (λ⋅3n −32+n)<12(λ⋅3n+1−32+n)对一切n ∈N ∗恒成立，即λ>2n3n +3对一切n ∈N ∗恒成立. 记b n =2n3n +3，则b n −b n+1=2n3n +3−2n+23n+1+3=(4n−2)3n −6(3n +3)(3n+1+3)， 当n =1时，b n −b n+1=0， 当n ≥2时，b n −b n+1>0， ∴ 当n =1时，b n =2n 3n +3有最大值13，∴ λ>13.21. 解：连接EF ，则∠AEF =90∘，∵ ∠ACB =90∘，∴ B ，C ，F ，E 四点共圆， ∴ ∠AFE =∠B ， ∵ ∠ADE =∠AFE ， ∴ ∠ADE =∠B ，∴ B ，P ，D ，E 四点共圆， ∴ AE ⋅AB =AD ⋅AP∵ AE =EB =4，AD =5， ∴ AP =325．22. 解：绕原点按逆时针旋转90∘的变换矩阵为[0−110]，所以[a02b ][0−110]=[0−a b −2]，由[0−a b −2][3−1]=[35]， 所以{a =33b +2=5，所以a =3，b =1． 23. 解：根据题意，得： 点C 的极角为π6，将点C 代入极坐标方程ρ=2cosθ中， 得ρ=2×√32=√3，∴ 点C 的极坐标为(√3, π6)； ∴ 点P 的极坐标为(2√3, π6)； ∴ 点Q 的极角为π6−π4+2π=23π12，极径为ρ=√2×2√3=2√6； ∴ 点Q 的极坐标为(2√6, 23π12)．24. 解：因为已知x ，y ，z 是实数，且x +y +z =1，根据柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)≥(ax +by +cz)2 故有(x 2+2y 2+3z 2)(1+12+13)≥(x +y +z)2 故x 2+2y 2+3z 2≥611，当且仅当x =611，y =311，z =211时取等号，∵ 不等式|a −2|≤x 2+2y 2+3z 2对满足x +y +z =1的一切实数x ，y ，z 都成立， ∴ |a −2|≤611， ∴1611≤a ≤2811．25. 解：（1）由题意，点C 1，P ，D 1的坐标分别为(0, 3, 3)，(1, 0, 2)，(−3, 3, 3)； （2）∵ C(3, 3, 0)，∴ CP →=(−2, −3, 2)，CD 1→=(−6, 0, 3)． 设E(m, n, 0)，则C 1E →=(m, n −3, −3)， ∵ C 1E ⊥平面D 1PC ，∴ {−2m −3(n −3)−6=0−6m −9=0，∴ m =−32，n =2， ∴ E(−32, 2, 0)．26. 解：（1）计算得：a 2=6，a 3=6，a 4=18．（2）猜想a n=2n+2(−1)n．证明：①当n=2时，a2=6，猜想成立．②假设当n=k时，猜想成立，即a k=2k+2(−1)k．则当n=k+1时，因为A1有3种标法，A2有2种标法，A3有2种标法，…A k有2种标法，若A k+1仅与A k不同则有2标法一种与A1数不相同，符合要求，有A k+1种；一种与A1数相同，不符合要求，但是相当于k个点的标法总数，有A k种，则有：3×2k=a k+1+a k．∴ a k+1=−a k+3×2k=−2k−2(−1)k+3×2k=2k+1+ 2(−1)k+1．即n=k+1时，猜想也成立．由①②可知，猜想成立．。

江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.某运动员在一次训练中共射击6次，射击成绩（单位：环）如下：6，7，7，9，9，10.则下列说法正确的是（）A 、成绩的极差为-4B ．成绩的第50百分位数等于成绩的平均数C ．成绩的中位数为7和9D ．若增加一个成绩8，则成绩的方差不变2.已知集合{21,3,4},{},2R ,A B xx m x =-=-<∈‖∣，若R A B ⋂=∅ð，则实数m 取值范围为（）A.4m > B.4m C.2m D.2m >3.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m ，n .设平面向量(4,2),(,)a b m n == ，则向量,a b不能作为平面内的一组基底的概率为（）A.112B.16 C.14D.134.若πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-5.已知x ，y 为正实数，则可成为“x y <”的充要条件的是（）A.11x y< B.ln ln x y y x +<+ C.sin sin x y < D.cos cos x y y x-<-6.位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm ，塔顶宽10cm ，侧面面积为2，据此计算该观音塔模型体积为（）3cm ．A.31500B.30000C.10500D.100007.已知动点P 在拋物线24x y =上，定点(1,4)D .圆22:(1)3F x y +-=上两个动点A ，B 满足1||()2AB FM FA FB ==+，则||||PM PD + 的最小值为（）A.7B.6C.5D.48.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对(0,)+∞内的任意两个不相等的数12,x x ，都有()()12120,()22(1)(2)f x f x f x f x x x x x ->+=-+≥-且(2)2f =.若实数m ，n 满足623m f n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n m -的最小值为（）A.202B.192C.20D.19二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.cos y x x =- C.|sin 2|y x = D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.随机事件A ，B 满足111(),(),()232P A P B P A B ===∣，则下列说法正确的是（）A.事件AB 与AB 互斥B.事件A 与B 相互独立C.()()P A B P B += D.(()P B A P A =∣11.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，经过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），连接22,AF BF .现将平面12AF F 沿x 轴向上折叠，使得面12AF F ⊥面12F F B ，则下列说法正确的是（）A.当直线l 的倾斜角为π3时，2AO BF ⊥B.当直线l 的倾斜角为π3时，三棱锥12A BF F -的外接球的表面积为884π75C.三棱锥12A BF F -的体积最大值为94D.当2ABF 折叠后的周长为152时，直线l 的斜率为33514±三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上）12.已知i 为虚数单位，复数z 满足42i i (1i)z z +=++，则||z =______.13.某工厂生产的A 产品的长度l （单位：cm ）服从正态分布()25,3N ，按长度l 分为5级：10l为一级，810l < 为二级，68l < 为三级，46l < 为四级，4l <为废品.将一级与二级产品称为优品.对该工厂生产的A 产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率p =______（精确到0.1）.若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为______.附：()0.6827,(22)0.9545P Z P Z μσμσμσμσ-<+=-<+=，(33)0.9773P Z μσμσ-<+= 14.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上且121π,3F PF PF ∠=的平行线OQ 与12F PF ∠的角平分线交于,||Q OQ b =，则椭圆C 的离心率为______.四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在边AC 上且||2||AD DC =，2sin sin cos sin sin cos 4sin B C A C A B A +=.（1）求证：2c a =；（2）若1a =，求||b BD ⋅的最大值.16.（本小题满分15分）为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试.从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分x 和对应的考试成绩y 作为样本，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，其中i x 和i y 分别表示第i 个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得20212080,ii xx =-=∑()20219000,ii yy =-=∑20120800i i i x y xy =-=∑.（1）求样本(),(1,2,,20)i i x y i = 的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩y 和错题订正整理情况得分x 的相关程度；（2）已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数y .利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于y 的个数为X ，求随机变量X 的分布列.附：相关系数()()1.414niix x y y r --=≈∑.17.（本小题满分15分）在三棱锥A BCD -中，ABD 是边长为2的正三角形，P ，M 分别为线段AD ，CD 的中点，,CDAD CD AD ⊥>，平面ABD ⊥平面BCD .（1）求证：BD CD ⊥；（2）若AC 与平面BCP 所成角的余弦值为26，求二面角P BM D --的余弦值.18.（本小题满分17分）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且121()e(1)13x f x f x -'=++.（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若对于任意的[1,2],()x f x mx ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点(2,0)A -，其渐近线方程为20x y ±=.圆B 过点(3,0),(3,0)M N -，与y 轴交于E ，F .记直线EA 与双曲线C 的另一个交点为P ，直线FA 与双曲线C 的另一个交点为Q .（1）求双曲线C 的标准方程；（2）求证：直线AE 和直线AF 斜率之积为定值；（3）判断直线PQ 与圆B 的位置关系，并说明理由.2024-2025学年度高三年级第一学期教学质量调研（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】1064-=，极差为4 A ，错．第50百分位数7982+=，平均数1(6779910)86+++++=，B 对.2.【答案】A【解析】R A B ⋂=∅ð，则22},{B B xm x m ≠∅=-+<<+∣，{2B x x m =≤-R ∣ð或},2x m A B ≥+⋂=∅R ð，则22,424m m m -<-⎧∴>⎨+>⎩，选A.3.【答案】A【解析】,a b 不能作为基底，则42n m =，即,312361 2m n P ===，选A.4.【答案】C 【解析】π2ππcos 2cos 2πcos 2333ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222πππcos sin 1tan 143333πππ145cos sin 1tan 333αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=-=-=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C.5.【答案】D 【解析】,110A x y x y<⇔>>错．ln ln ln ln x y y x x x y y x y +<+⇔-<-<¿，В错.sin sin x y x y <<¿，C 错，选D.6.【答案】C【解析】每个侧面面积，侧面的高1h，则111(2010)2h h +=∴=侧棱长=，正四棱台的高45h ==，1(400100200)4515003,0V =++⨯=选C.7.【答案】D【解析】1()2FM FA FB =+，则M 为AB 中点，22AB =，则1FM =1114PM PD PF PD PP PD DP ''+≥-+=+-≥-=（其中PP '为P 到准线1y =-的距离），选D.8.【答案】B【解析】(2)22(1)2(1)1f f f +=+⇒=，令()2[(1)(1)]f x ax b f x a x b ++=-+-+()2(1)2f x f x ax a b ⇒=-+-+和原式比较1,()2[(1)1]0a f x x f x x b =⎧⇒∴+=-+-⎨=⎩19196262556255622233333333f ff f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+⇒=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1212,0,x x x x ∀>≠ 都有()()12120,()f x f x f x x x ->∴-在(0,)+∞上单调递增191958626211621(1)(2)222333333f f f f ⎛⎫⎛⎫∴=<<=⇒⋅-<<⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19191919min 118222,()233n m n m ∴-≥⋅-⋅=-=，选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】ππππ3ππ,,()sin 422444x x f x x ⎛⎫<<<+<=+ ⎪⎝⎭在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，A 对.π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，B 错．|sin 2|sin 2y x x ==在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，C 对.πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，D 错，选AC.10.【答案】ABC【解析】AB 与AB 一定互斥，A 对()()111()()()(),,1()2233P AB P AB P A B P AB P A P B A B P B ===∴=⨯=∴∣独立，B 对.11121()()()()1(23633P A B P A P B P AB P B +=+-=+-==-=对.(()()()(1())1(()(),D ()1()1()3P BA P B P AB P B P A P B A P B P A P A P A P A --=====≠--∣错11.【答案】ABD【解析】方法一：对于A ，当l 倾斜角为π3时，l方程为221)1)34,12y x y x x y ⎧=+⎪=+⎨+=⎪⎩221833580,,(1,0),(1,0)55,x x A B F F ⎛⎫⇒+=∴--- ⎪ ⎪⎝⎭此时A 位于椭圆短轴的一个端点，1212,AF AF AO F F ∴=∴⊥，又 平面12AF F ⊥平面12,F F B AO ∴⊥平面122,,A F F B AO BF ∴⊥正确.（图中绿色为平面12AF F 折叠后的面）对于B ，当1倾斜角为π3时，12AF F 为等边三角形，边长为2，121233535313tan ,sin ,11114BF BF BF BF k k k k θθ-===+⋅12AF F ∴外接圆半径11222sin 603,r BF F ︒==外接圆半径25314r ==∴三棱锥12A BF F -外接球半径为R =，2 2218844π4ππ,7575S R ∴==⨯=表B 正确.对于C ，设直线AB 方程为()()1122121,,, 00, ,,x my A x y B x y y y =-><()()()2222222134690,36363414413412x my m y my m m m x y =-⎧⇒+--=∆=++=+⎨+=⎩ 平面12AF F ⊥面()12122112211133,2323344A BF F F FB V y y y y m -∴=⋅⨯-⋅=-=≤+()12max 9,C 4A BF F V -∴=错.对于D ，如图建系，翻折前原先AB =，翻折后，()()1122,,0,,0,,A x y B x y A B ''''-∴=由2222 1518,, 22AB AF BF A B AF BF AB A B ''''++=++=∴-=1 2⇒=①12⇒124y y ⇒+=-②，联立①②21222111828||243443445AB y y m m m ⇒=-⇒=+⇒=++,D 14m k ∴===±正确，选ABD.方法二：当l 的倾斜角为π3时，835, 55A B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，此时12AO F F ⊥，又 面12AF F ⊥面12, BF F AO ∴⊥面122, ,A BF F AO BF ∴⊥对.12AF F 外接圆圆心M 到12F F 距离123614,,35 5BF BF ==，1236196411532525cos sin ,6141414255 B B BF F +-===⨯⨯ 外接圆半径1r，1283143211515r rl ==∴=，圆心N 到12F F距离25外接球半径2236314221884,4ππ,625347575R S R =++===B 对.令12AF F α∠=，则1213133sin ,2sin 2cos 22cos 2cos BF F BF S ααααα==⋅⋅=+++ 13,2cos AF A α=-到12F F 距离2sin 2cos αα-12222213sin 2sin 3sin 3sin 332cos 2cos 4cos 3sin 4A BF F V αααααααα-=⋅⋅==≤+--+，C 错.对于D ，同法一三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【解析】242i 2i i (2i)i 2i 4 , ,||,1i z z z z z z --+=+∴-=--∴==-.13.【答案】0.2；0.36【解析】优品满足8,(8)(53)()l P l P l P l μσ≥≥=≥+=≥+10.68270.158650.222=-=≈（第一空）0.20.80.20.36P =+⨯=（第二空）14.【答案】277【解析】延长OQ 与2PF 交于N ，则N 为2PF 中点，112QN ON OQ PF b =-=-而QPN 为等腰三角形，2111,22PN QN PF PF b ∴=∴=-，即122PF PF b -=又12122,,,PF PF a PF a b PF a b +=∴=+=- ()222222221212124,2242PF PF PF PF c a b a b c ∴+-⋅⋅=∴+--=()22222734,.7c a a c c a ∴+-=∴=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】方法一：sin sin cos sin sin cos B C A C A B+2sin (sin cos cos sin )sin sin()sin C B A B A C A B C=+=⋅+=2sin sin cos sin sin cos 4sin B C A C A B A += 22sin 4sin C A∴=由正弦定理：sin sin a c A C=得224c a =2c a =.（2）2, 2c a BA BC =∴= ，又 2,BA ADAD DC BC DC=∴= 所以BD 为ABC ∠的角平分线，设, CBD BD xθ∠==则111sin sin sin 2222BC BD BD BA BC BA θθθ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯3sin 2sin 2sin 2,3sin 4sin cos ,cos 4x x x xθθθθθθθ∴+=∴=∴=又在BCD 中，由余弦定理得22121cos 9b x x θ+-=⨯⨯⨯，2222223112,1,1949292b b b x x x x x +-=⨯-=∴+=≥即：322bx ≤，当且仅当132b ==时“=”号成立，max 32()2b BD ∴⋅=.方法二：（1）2sin sin cos sin sin cos 4sin B C A C A B A+= 2222222422b c a a c b bc ac a bc ac+-+-∴+=即22,2 4c a c a =∴=.（2）设 ,BD x BDA α=∠=，在ABD 中，22422cos 493x b x b α+-⋅=①，在BCD 中，22112cos(π)193x b x b α+-⋅-=②，由①②得，222363x b +=，下同法一方法三：（2）122,33AD DC BD BA BC =∴=+，两边同时平方得222944BD BA BA BC BC=+⋅+ 即294421cos 4x ABC =+⨯⨯⨯∠+，所以2241988221b x +-=+⨯⨯⨯，所以229182x b =-，下同法一.16.【解析】（1）()()202020iii ix x y y x y xyr ---=∑∑0.943===≈，r 接近1,∴考试成绩y 和错题订正整理情况得分x 高度相关.（2）考试成绩低于样本平均数y 的概率记为p ，则822,~4,205 5p x B ⎛⎫==∴ ⎪⎝⎭43014438123216(0)C ,(1)C 562555625p x p x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2232344232162396(2)C ,(3)C 5562555625p x p x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭444216(4)C .5625p x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭x 01234p 8625216625216625966251662517.【解析】（1）证明：取BD 中点Q ，连接AQABD 为正三角形，AB AD ∴=，Q 为BD 中点，AQ BD ∴⊥，,AQ BD AQ ⊥⊂面ABD ，面ABD ⊥面BCD ，面ABD ⋂面BCD BD =AQ ⇒上面BCD ，又CD ⊂ 面,BCD AQ CD ∴⊥，1, AQ CDAD CD CD AD AQ A AD AQ ABD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭面面ABD又BD ⊂面,ABD CD BD∴⊥（2）方法一：由（1）可知CD ⊥面ABD ，建立空间直角坐标系如图，1(0,0,0),1,0),,,022D B A P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(0,0,)C t ，则(1,)AC t =- ，记平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =30 33,,0,(),2222x y BP BC ty tz⎧⎛⎫-+=⎪=-=∴⎪⎨⎪⎝⎭⎪++=⎩令y t=，则,,,2)2xy t n tz⎧=⎪=∴=⎨⎪=⎩|cos,|AC n∴〈〉==AC与平面BCP 所成角余弦值为713,26∴正弦值为3926.423933712026t t=∴-+=()()22231120, 1t t t--=∴=或212t=又2,2,CD AD t t M>=∴>∴=∴.设面BPM的一个法向量为()1111,,n x y z=33,,0,1,22BP MB⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭11111111113330222xx yy y nzy⎧=⎧⎪-+=⎪∴=⇒=∴=⎨⎨⎪=-=⎩取设面BMD的一个法向量为()2222,,n x y z=2221,0),(0,0,yDB DM-==-==取2222211(1,xx y nz=⎧⎪=⇒==⎨⎪=⎩1263cos,.424n n∴==⨯由图可知二面角的平面为锐角，∴二面角的余弦值为34.方法二：由（1）AQ⊥面BCD过Q 作//QN CD ，则QN BD ⊥，以{,,}QN QD QA为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设130,,,(0,1,0),(,1,0)22,,CD a A P B C a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭所以33(,1,0,,,(,2,0)22AC a BP BC a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BCP 的法向量为()111,,m x y z =11113302220y z ax y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令12x =得(2,)m a =- AC 与平面BCP所成角余弦值为26，AC ∴与平面BCP 所成角正弦值为3926.39|cos ,|26AC m ∴〈〉== 42337120a a ∴-+=，()()22231120,1a a a --=∴=或212a =又2,2,CD AD a a >=∴>∴= 因为平面BDM的法向量1(0,0,1),n BM ==设平面BMP 的法向量为()2222,,n x y z =2222302220y z y ⎧+=⎪+=，令22x =得2(2,n =123cos ,4n n ∴=，下同法一方法三：由（1）可知面ABD 得,CD BP AD BP ⊥⊥，所以BP ⊥面ACD ，面BCP ⊥面ACD ，AC ∴与平面BCP 所成角为ACP ∠，设CD a =，,CD AD AC ⊥= ，又P 为AD的中点，CP ∴=在ACP中，22cos ACP ∠==，21a ∴=或212a =，又22,,CD AD a a >=∴>∴= .过P 作PE BD ⊥交BD 于E ，过E 作EF BM ⊥于F ，连接PF，PFE ∠为二面角P BM D --的平面角.因为32,PE EF ==，所以3cos 4EF PF PFE PF =∠==.由图可知二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为34.18.【解析】方法一：（1）122()e(1)(1)1(1)(1)333x f x f x f f f '-''''=+⇒=+⇒=12()e 1x f x x -∴=++，切点(1,3),()f x ∴在(1,(1))f 处的切线方程为3(1)33y x x=-+=（2）12e1x x mx-++≥①当0x =时，左边110e=+>=右边，不等式显然成立.②当10x -≤<时，1max e 1x m x x x -⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭令11122e 1e e 1(),()1x x x x g x x g x x x x x ---'⋅-=++=+-()11222e (1)(1)(1)1e 1x x x x x x x x x x---+--=+=++当10x -≤<时，1210e1e ,0()0(),,x x x g x g x --'-<++≥>∴<在[1,0)-上单调递减222max ()(1)e 11e 2,e 2.g x g m ---∴=-=---=--∴≥--③当02x <≤时，1min e 1x m x xx -⎛⎫⇒≤++ ⎪⎝⎭令()01g x x '=⇒=，当01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；当12x <≤时，()0,()g x g x '>单调递增.min ()(1)1113,3g x g m ∴==++=∴≤综上：m 的取值范围为2e 2,3-⎡⎤--⎣⎦.方法二：（1）12()e()3x f x f x '-'=+，令1x =，则2(1)1(,1)(1)33f f f '''=+∴=12()e 1,(1)1113,x f x x f -∴=++∴=++=:33(1)l y x ∴-=-，即：30x y -=.（2）令12()()e1x g x f x mx x mx-=-=++-11()e 2,()e 20x x g x x m g x '-''-∴=+-=+> 恒成立，()g x '∴在[1,2]-上递增.①若()e 40g z m '=+-≤，即e 4m ≥+对[1,2]()(0,2)x g x g ''∀∈-≤≤()g x ∴在[1,2]-单调递减，min e 5()(2)e 5202,g x g m m +∴==+-≥∴≤与e 4m ≥+矛盾，∴无解，舍去.②若2(1)e20g m '--=--≥，即212e m ≤-，[1,2],()(1)0,()x g x g g x ''∀∈-≥≥∴在[1,2]-上递增2min 21()(1)e 20,2e g x g m m -∴=-=++≥∴≥--故221122e e m --≤≤-.③若(1)0(2)0g g ''⎧-<⎨>⎩即：212e 4e m -<<+时，0(1,2)x ∃∈-使得()00g x '=，即：010e 2x x m-+=000111222min 00000()()e 10,e 1e 20x x x g x g x x mx x x x ---∴==++-≥++--≥即：()()()0011200001e10,1e 10x x x x x x ---+-≥-++≥0100001,e 10,10,11x x x x x -≥-∴++>∴-≥∴-≤≤ 01021e 22,3e x m x -⎡⎤∴=+∈-⎢⎥⎣⎦，故2123e m -≤≤综上2123em --≤≤．方法三：（2）①当0x =时，1e 10-+≥恒成立；②当(0,2]x ∈时，12e 1x x m x -++≤；③当[1,0)x ∈-时，12e 1x x m x -++≥，令()1122(1)e 1e 1(),()x x x x x g x g x x x --'-++++==所以()g x 在,[1,0)(0,1)-上单调递减，(0,2]上单调递增，所以2123em --≤≤.19.【解析】（1）由题意知22,112a ab b a =⎧=⎧⎪∴⎨⎨==⎩⎪⎩，双曲线C 的标准方程为2214x y -=.（2）方法一：设(0,)(0,)(,),0,B t E t r F t r ∴+-，其中229t r +=，而(2,0)A -2292244AE AFt r t r t r k k +--∴⋅=⋅==-方法二：设()()120,,0,F y E y ，则12121210,,222y y y y y y Q r y ++-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则()2212212:24y y y y Q x y -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭代入点(3,0)-得：()()22121212124999444,,y y y y y y y y +--+=∴=∴=-12129.2244AE AF y y y y k k ⋅=⋅==-（3）方法一：由（2）知94AP AQ k k =-⋅，将双曲线平移至22(2)14x y --=，即22440x y x --=，此时A 平移至(0,0)A '此时P ，Q 分别平移至()()1122,,P x y Q x y ''，，设直线P Q ''方程为1mx my +=代入：双曲线222244()044(41)0x y x mx ny y nxy m x ⇒--+=⇒++-=244410y yn m x x⎛⎫⇒⋅+⋅+-=⎪⎝⎭12129419,2444AP AQ A P A Q y y m k k k k m x x ''''-∴⋅=⋅=⋅=-⇒=-∴=-∴直线P Q ''恒过定点1,0,2PQ ⎛⎫-∴ ⎪⎝⎭恒过定点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然R 在圆B 内，PQ ∴恒与圆B 相交.方法二：1:2FA AF y l k =，()122211122(2):14440244FA y y x l y x y x y x y ⎧=+⎪⇒----=⎨⎪-=⎩2211221144222,11Q Q y y x x y y ++=∴=--2221111112221112222222212121Q y y y y y y y y y y ⎛⎫+++-=+⨯== ⎪---⎝⎭()2112211212,11y y Q y y ⎛⎫+ ⎪∴ ⎪--⎝⎭，同理：()2222222212,11y y P y y ⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭()()()()()()()122222122112222221212122122221211121212121111PQ y y y y y y y y k y y y yy y y ------∴==+++-+----()()()()()121212221212122121444y y y y y y y y y y y y -++-===++-()2112211212124:11PQ y y l y x y y y y ⎛⎫+- ⎪∴-=- ⎪-+-⎝⎭12121241045 : 2x y x y y y y y y --⎛⎫=-=+ ⎪+++⎝⎭即PQ l ∴恒过点5,02T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由（2）圆2221212:24y y y y Q x y +-⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：()221290x y y y y +-+-=，代入5,02⎛⎫-⎪⎝⎭得25904-<∴点T 在圆内，PQ l ∴与圆相交.。

2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）一、填空题1. 已知集合A ={1, 3, m +1}，B ={1, m}，A ∪B =A ，则m =________．2. 已知a →=(3, 3)，b →=(1, −1)，若(a →+λb →)⊥(a →−b →)，则实数λ=________．3. 圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为2π3，那么它的表面积为________．4. 函数函数y =x a 2−2a−3是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，则整数a 的取值为________．5. 若命题“∃x ∈R ，使得x 2+4x +m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．6. 已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 4+a 7=12，则S 7=________．7. 若实数x ，y 满足{y ≥2x −2y ≥−x +1y ≤x +1，则z =2x +y 的最小值为________．8. 已知函数f(x)=2sin(ωx +π6)(ω>0)，函数f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π，则f(x)的单调递增区间是________．9. 曲线y =x 3+mx +c 在点P(1, n)处的切线方程为y =2x +1，其中m ，n ，c ∈R ，则m +n +c 的值为________．10. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，则折起后形成的三棱锥D −ABC 的体积是________．11. 已知f(x)=log 4(x −2)，若实数m ，n 满足f(m)+f(2n)=1，则m +n 的最小值是________．12. 已知|OA →|=4，|OB →|=2，OA →与OB →的夹角为120∘，点P 为线段AB 上得一点，且BP →=3PA →，则OP →⋅AB →=________．13. 已知数列{a n }满足：a n +a n+1=2n +1(n ∈N ∗)，且a 1=3，则a 2014=________．14. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=|x −a 2|+|x −3a 2|−4a 2．若对任意x ∈R ，f(x)≤f(x +2)，则实数a 的取值范围为________．二、解答题15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．（1）若sin(A +π6)=2cosA ，求A 的值． （2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值．16. 如图，在三棱锥P−ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：AD⊥平面PBC；（2）若点F在线段AC上，且满足AD // 平面PEF，求AF的值．FC17. 已知关于x的不等式(ax−1)(x+1)>0．（1）若此不等式的解集为{x|−1<x<−1}，求实数a的值；2（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18. 已知数列a n的前n项和S n:a n+3S n=1，b n+10=3log1a n(n∈N∗)4（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等差数列；（3）若c n=a n⋅b n，则是否存在正整数k，使c k，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．19. 某公司为了公司周年庆典，先将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高8+8√3，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行如下装饰（如图）：设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面的F处，再讲灯带拉直依次固定在D处、B处、E处，形成一个三角形型的灯带（图中虚线所示）设∠EFB=θ，灯带总长为y（单位：m）（1）求y关于θ的函数表达式及θ的取值范围；（2）当BE多长时，所用灯带总长最短？20. 已知函数f(x)=xlnx．（1）求函数y=f(x)的单调区间；（2）是否存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．若存在，求出x1，x2的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）答案1. 32. 93. 4π4. 15. [4, +∞)6. 287. 18. [−2π3+2kπ, π3+2kπ]，k∈Z9. 510. √21211. 3+2√212. −1313. 201214. [−√22, √2 2]15. 解：（1）若sin(A+π6)=2cosA，即sinA⋅√32+cosA⋅12=2cosA，变形可得sinA⋅√32=32cosA，即sinA=√3cosA，则tanA=√3，则A=π3；（2）cosA=b 2+c2−a22bc=10c2−a26c2=13，∴ 8c2=a2，∴ a=2√2c，∴ 2√2sinC=sinA=√1−cos2A=2√23，∴ sinC=13．16. 解：（1）∵ BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，∴ BC⊥AD．∵ PA=AB，D是PB的中点，∴ AD⊥PB∵ PB、BC是平面PBC内的相交直线，∴ AD平面PBC；（2）连结DC，交PE于点G，连结FG、DE∵ AD // 平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，∴ AD // FG．∵ D、E分别是PB、BC的中点，∴ DE为△BPC的中位线，因此，△DEG∽△CPG，可得DGGC =DEPC=12，∴ AFFC =DGGC=12，即AFFC的值为12．17. 解：（1）∵ 不等式(ax−1)(x+1)>0的解集为{x|−1<x<−12}，∴ 方程(ax−1)(x+1)=0的两根是−1，−12；∴ −12a−1=0，∴ a=−2；（2）∵ (ax−1)(x+1)>0，∴ a<0时，不等式可化为(x−1a)(x+1)<0；若a<−1，则1a >−1，解得−1<x<1a；若a=−1，则1a=−1，解得不等式为⌀；若−1<a<0，则1a <−1，解得1a<x<−1；a=0时，不等式为−(x+1)>0，解得x<−1；当a>0时，不等式为(x−1a)(x+1)>0，∵ 1a >−1，∴ 解不等式得x<−1或x>1a；综上，a<−1时，不等式的解集为{x|−1<x<1a}；a=−1时，不等式的解集为⌀；−1<a<0时，不等式的解集为{x|1a<x<−1}；a=0时，不等式的解集为{x|x<−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x<−1, 或x>1a}．18. 解：（1）∵ a n+3S n=1，∴ a n+1+3S n+1=1，两式相减得a n+1−a n+3(S n+1−S n)=0a n+1−a n+3a n+1=0，则a n+1=14a n，则数列{a n }是公比q =14的等比数列， 当n =1时，a 1+3S 1=1，解得a 1=14， 则a n =14⋅(14)n−1=(14)n ．（2）∵ b n +10=3log 14a n =3n ， ∴ b n =3n −10，则b n −b n−1=3，则数列{b n }是等差数列，公差d =3，首项b 1=−7．（3）∵ b n =3n −10，c n =a n ⋅b n ，∴ c n =(3n −10)•(14)n ，则c k =(3k −10)•(14)k ， c k+1=(3k −7)•(14)k+1，c k+2=(3k −4)•(14)k+2， 若存在正整数k ，使c k ，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，则满足c k+12=c k c k+2，即[(3k −7)⋅(14)k+1]2=(3k −10)•(14)k )(3k −4)•(14)k+2，即(3k −7)2•(14)2k+2=(3k −10)⋅(3k −4)•(14)2k+2，则(3k −7)2=(3k −10)⋅(3k −4)，展开得49=40，方程不成立，即k 不存在． 19. 解：（1）过C 点作CM ⊥BE ，垂足为E ．在Rt △CME 与Rt △CFD 中，CE =CM cosθ，EM =CMtanθ，CF =CD sinθ，FD =CD tanθ， ∴ y =CE +CF +BF +BE =8cosθ+8sinθ+8+8tanθ+8+8tanθ=8(1+sinθcosθ+cosθ+1sinθ)+16 =8(sinθ+cosθ+1)sinθcosθ+16．在△CEM 中，0<tanθ≤√3，∴ θ∈(0,π3]．（2）设sinθ+cosθ=t=√2sin(θ+π4)，∵ θ∈(0,π3]，∴ (θ+π4)∈(π4，7π12)．∴ sin(θ+π4)∈(√22，1]，∴ t∈(1,√2]．∴ t2=1+2sinθcosθ，∴ sinθcosθ=t2−12．∴ y=8(t+1)t2−12+16=16t−1+16，∵ t∈(1,√2]，∴ 1t−1≥√2−1=√2+1．∴ y≥16(√2+1)+16=32+16√2，当t=√2时，θ=π4，此时EM=CM=8，∴ BE=16<8+8√3．20. 解：（1）∵ f(x)=xlnx，定义域为(0, +∞)，∴ f′(x)=lnx+1，∴ 由f′(x)>0得，x>1e ，由f′(x)<0得，0<x<1e，∴ f(x)=xlnx的单调递增区间是(1e , +∞)，单调递减区间是(0, 1e)．（2）不存在．假设存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)，不妨令x1<x2，则由f(x1)= f(x2)得，x1lnx1=x2lnx2，即x2lnx2−x1lnx1=0，∴ x2(lnx2−lnx1)<0，即ln x2x1<0，∴ x2x1<1，即x2<x1，这与|x1−x2|≥1相矛盾，故不存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．。

江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题一、单选题1．某运动员在一次训练中共射击6次，射击成绩（单位：环）如下：6，7，7，9，9，10．则下列说法正确的是（）A ．成绩的极差为4-B ．成绩的第50百分位数等于成绩的平均数C ．成绩的中位数为7和9D ．若增加一个成绩8，则成绩的方差不变2．已知集合{21,3,4},{},2R ,A B x x m x =-=-<∈‖∣，若R A B =∅ ð，则实数m 取值范围为（）A ．4m >B ．4≥m C ．2m ≤D ．2m >3．抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m ，n ．设平面向量(4,2),(,)a b m n ==，则向量,a b不能作为平面内的一组基底的概率为（）A ．112B ．16C ．14D ．134．若πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-5．已知x ，y 为正实数，则可成为“x y <”的充要条件的是（）A ．11x y<B ．ln ln x y y x +<+C ．sin sin x y<D ．cos cos x y y x-<-6．位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm ，塔顶宽10cm ，侧面面积为2，据此计算该观音塔模型体积为（）3cm ．A ．31500B ．30000C ．10500D ．100007．已知动点P 在拋物线24x y =上，定点(1,4)D ．圆22:(1)3F x y +-=上两个动点,A B 满足1||()2AB FM FA FB ==+ ，则||||PM PD +的最小值为（）A ．7B ．6C ．5D ．48．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对(0,)+∞内的任意两个不相等的数12,x x ，都有()()12120,()22(1)(2)f x f x f x f x x x x x ->+=-+≥-且(2)2f =．若实数m ，n 满足623m f n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n m -的最小值为（）A ．202B ．192C ．20D ．19二、多选题9．下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（）A ．πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos y x x=-C ．sin2y x=D ．πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．随机事件A ，B 满足111(),(),()232P A P B P A B ===，则下列说法正确的是（）A ．事件AB 与AB 互斥B ．事件A 与B 相互独立C ．()()P A B P B +=D ．()()P BA P A =∣11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，经过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），连接22,AF BF ．现将平面12AF F 沿x 轴向上折叠，使得面12AF F ⊥面12F F B ，则下列说法正确的是（）A ．当直线l 的倾斜角为π3时，2AO BF ⊥B ．当直线l 的倾斜角为π3时，三棱锥12A BF F -的外接球的表面积为884π75C ．三棱锥12A BF F -的体积最大值为94D ．当2ABF △折叠后的周长为152时，直线l 的斜率为33514±三、填空题12．已知i 为虚数单位，复数z 满足42i i (1i)z z +=++，则||z =．13．某工厂生产的A 产品的长度l （单位：cm ）服从正态分布()25,3N ，按长度l 分为5级：10l ≥为一级，810l ≤<为二级，68l ≤<为三级，46l ≤<为四级，4l <为废品．将一级与二级产品称为优品．对该工厂生产的A 产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率p =（精确到0.1）．若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为．附：()0.6827,(22)0.9545P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=，(33)0.9773P Z μσμσ-<≤+=14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上且121π,3F PF PF ∠=的平行线OQ 与12F PF ∠的角平分线交于,Q OQ b =，则椭圆C 的离心率为．四、解答题15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在边AC 上且2AD DC =，2sin sin cos sin sin cos 4sin B C A C A B A +=．(1)求证：2c a =；(2)若1a =，求b BD ⋅的最大值．16．为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分x 和对应的考试成绩y 作为样本，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，其中i x 和i y 分别表示第i 个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得202212080,ii x x =-=∑()20219000,ii yy =-=∑20120800i ii x y xy =-=∑．(1)求样本(),(1,2,,20)i i x y i = 的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩y 和错题订正整理情况得分x 的相关程度；(2)已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数y ．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于y 的个数为X ，求随机变量X 的分布列．附：相关系数()()1.414niix x y y r --=∑．17．在三棱锥A BCD -中，ABD △是边长为2的正三角形，P ，M 分别为线段A ，A 的中点，,CD AD CD AD ⊥>，平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：BD CD ⊥；(2)若AC 与平面BCP P BM D --的余弦值．18．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且121()e (1)13x f x f x -'=++．(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若对于任意的[1,2],()x f x mx ∈- 恒成立，求实数m 的取值范围．19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>过点()2,0A -，其渐近线方程为20x y ±=．圆B 过点()3,0M -、()3,0N ，与y 轴交于E 、F ．记直线AE 与双曲线C 的另一个交点为P ，直线AF 与双曲线C 的另一个交点为Q ．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求证：直线AE 和直线AF 的斜率之积为定值；(3)判断直线PQ 与圆B 的位置关系，并说明理由．。

南通市2014届高三数学临门一脚数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ．(第8题图)(第10题图)(第9题图)9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为 ▲ ．10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=▲ ．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y+-的最小值为 ▲ ．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．(第15题图)BAC如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．(第17题图)图1图2(第16题图)设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1D(第21A 图)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．23．（本小题满分10分）设数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．。

2014年江苏省泰州、南通、扬州三市高考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={1，-1}，B={1，0}，那么A∪B= ______ ．【答案】{-1，0，1}【解析】解：根据题意，A={1，-1}，B={1，0}，集合A、B的全部元素为1、2、3、4，则A∪B={-1，0，1}故答案为：{-1，0，1}．根据集合并集的定义，列举出集合A、B的全部元素组成集合，即可得答案．本题考查集合的并集的运算，写出集合的并集时注意集合中元素的互异性．2.已知z=（a-i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= ______ ．【答案】1【解析】解：由题意化简z=a+1+（a-1）i，因为复数z在复平面内对应的点在实轴上，所以复数z为实数，即其虚部a-1=0，解得a=1故答案为：1由题意化简z=a+1+（a-1）i，由题意可得，其虚部（a-1）=0，故可得答案．本题为复数的基本定义的考查，涉及复数的运算和复平面，属基础题．3.若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（2，m）到焦点的距离为6，则p= ______ ．【答案】8【解析】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为：x=-，焦点F（，0），又物线y2=2px（p＞0）上的点A（2，m）到焦点的距离为6，∴由抛物线的定义得：点A（2，m）到焦点的距离等于它到准线的距离，∴2-（-）=6，∴p=8．故答案为：8．利用抛物线的定义，将点A（2，m）到焦点的距离为6，转化为点A（2，m）到其准线的距离即可．本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的考查，属于基础题．4.已知函数f（x）=log2x．在区间[，2]上随机取一x0，则使得f（x0）≥0的概率为______ ．【答案】【解析】解：由题意总的基本涉及为区间的长度2-=，由对数函数的性质解f（x0）≥0可得x0≥1，∴使得f（x0）≥0的区间为[1，2]，长度为2-1=1，∴所求概率P==故答案为：由题意可得总的区间长度，解对数不等式可得满足条件的区间长度，由几何概型的概率公式可得．本题考查几何概型，涉及对数不等式的解法，属基础题．5.若直线（a2+2a）x-y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-2，0）【解析】解：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，即a（a+2）＜0，解得：-2＜a＜0，故实数a的取值范围是（-2，0），故答案为：（-2，0）由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，解之即可．本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．6.如图是某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为______ （茎表示十位数字，叶表示个位数字）．【答案】【解析】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据83，84，85，86，87的平均数为=85方差为[（83-85）2+（84-85）2+（85-85）2+（86-85）2+（87-85）2]=2∴标准差为故答案为：．根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差，从而求出标准差．茎叶图、平均数和方差，标准差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．7.若执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为______ ．【答案】【解析】解：∵0＜3，由判断框可知应执行循环结构：i←0+1，a←；∵1＜3，由判断框可知应继续执行循环结构：i←1+1，a←；∵2＜3，由判断框可知应继续执行循环结构：i←2+1，a←；∵3=3，由判断框可知应终止循环结构，并输出a←．故答案为．由判断框可知应执行循环结构3次即终止，据此即可求出a的值．理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题的关键．8.已知单位向量，的夹角为120°，那么|2-x|（x∈R）的最小值是______ ．【答案】【解析】解：由题意可得|2-x|2==4+x2-4xcos120°=x2+2x+4=（x+1）2+3由二次函数的知识可知当x=-1时，上式取最小值3，故|2-x|（x∈R）的最小值为故答案为：平方化简可得|2-x|2=（x+1）2+3，由二次函数的知识可得最值，开方可得．本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．9.已知角φ的终边经过点P（1，-2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ______ ．-【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=，∵ω＞0∴ω=3∵角φ的终边经过点P（1，-2），∴sinφ=，cosφ=∴=sin（3•+φ）=sin（+φ）=（sinφ+cosφ）=•（）=-故答案为：-由已知中角φ的终边经过点P（1，-2），可求出φ角的正弦值和余弦值，由函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离等，可求出函数的周期，进而求出ω，将，代入函数的解析式，利用两角和的正弦公式，展开计算可得答案．本题考查的知识点正弦型函数解析式的求法，函数的值，其中熟练掌握三角函数的定义及正弦型函数的图象和性质是解答的关键．10.各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，若函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′（x），则f′（）= ______ ．【答案】【解析】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，设公比为q＞0，于是，解得，∴．∴f′（x）=…+，∵=n×2n-3×21-n=，∴′===．故答案为．利用等比数列和等差数列的通项公式、导数的运算法则即可得出．熟练掌握等比数列和等差数列的通项公式、导数的运算法则是解题的关键．11.若动点P在直线l1：x-y-2=0上，动点Q在直线l2：x-y-6=0上，设线段PQ的中点为M（x1，y1），且（x1-2）2+（y1+2）2≤8，则x12+y12的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：因为动点P在直线l1：x-y-2=0上，动点Q在直线l2：x-y-6=0上，设线段PQ的中点为M（x1，y1），所以M在直线x-y-4=0，又M满足（x1-2）2+（y1+2）2≤8，所以M的轨迹是直线x-y-4=0与圆及内部的公共部分，M是一条线段，如图：的几何意义是坐标原点到线段x-y-4=0（0≤x≤4）距离的平方，因为圆的图形过原点，所以的最小值为：8，最大值为：16，故的取值范围是[8，16]．故答案为：[8，16]．由题意求出M所在的直线方程与圆及内部的公共部分，M是一条线段，画出图形，通过的几何意义，求出它的范围即可．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，M表示的直线段以及表达式的几何意义是解题的关键，考查转化思想计算能力．12.已知正方体C1的棱长为18，以C1各个面的中心为顶点的凸多面体为C2，以C2各个面的中心为顶点的凸多面体为C3，以C3各个面的中心为顶点的凸多面体为C4，…，依此类推，记凸多面体C n的棱长为a n，贝a6= ______ ．【答案】2【解析】解：分三步求解，如下（1）正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长．（2）正八面体C2各个面的中心为顶点的凸多面体C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为12，所以（3）以上方式类推，得，，．故答案为：2．根据条件先求出a1，a2，a3，然后利用归纳推理可以得到a6的值．本题主要考查归纳推理的应用，可以从中找到规律，分奇数项、偶数项讨论，可以求an通项13.若函数f（x）=|2x-1|，则函数g（x）=f[f（x）]+lnx在（0，1）上不同的零点个数为______ ．【答案】3解：∵函数f（x）=|2x-1|，所以函数g（x）=＜＜＜，g（x）=0，转化为：x∈（0，），函数y=|4x-1|与y=-lnx；以及x∈（，1），函数y=|4x-3|与y=-lnx交点的个数；函数的图象如图：由图象可知函数的零点为3个．故答案为：3通过x的范围化简函数的表达式，然后转化方程的解为函数的零点，画出函数的图象即可得到函数零点的个数．本题考查函数的零点个数的判断，函数零点定理的应用，数形结合与分类讨论思想的应用．14.已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD2+CE2+DE2=，则OD+OE的最大值是______ ．【答案】【解析】解：设OD=a，OE=b，由余弦定理，得CD2=CO2+DO2-2CO•DO cos60°=a2-a+1．同理可得CE2=b2-b+1，DE2=a2+ab+b2从而得到CD2+CE2+DE2=2（a2+b2）-（a+b）+ab+2=∴2（a2+b2）-（a+b）+ab-=0，配方得2（a+b）2-（a+b）-3ab-=0，即3ab=2（a+b）2-（a+b）-…（*）又∵ab≤[（a+b）]2=（a+b）2，∴3ab≤（a+b）2，代入（*）式，得2（a+b）2-（a+b）-≤（a+b）2，设a+b=m，代入上式有2m2-m-≤m2，即m2-m-≤0，得到-≤m≤，∴m最大值为，即OD+OE的最大值是．设OD=a且OE=b，由余弦定理加以计算，可得CD2+CE2+DE2=2（a2+b2）-（a+b）+ab+2=，配方整理得3ab=2（a+b）2-（a+b）-，结合基本不等式建立不等关系，得2（a+b）2-（a+b）-≤（a+b）2，最后以a+b为单位解一元二次不等式，即可得到OD+OE的最大值．本题给出扇形AOB的中心角为120°，弧AB中点为C，半径OA、OB上的点D、E满足CD2+CE2+DE2=时，求OD+OE的最大值．着重考查了余弦定理、用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.已知函数＞的最大值为2．（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．【答案】解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∴f（x）的最大值为，∴=2，又m＞0，∴m=，∴f（x）=2sin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），则f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[，π]；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，化简f（A-）+f（B-）=4sin A sin B，得sin A+sin B=2sin A sin B，由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，由余弦定理得：a2+b2-ab=9，即（a+b）2-3ab-9=0②，将①式代入②，得2（ab）2-3ab-9=0，解得：ab=3或ab=-（舍去），则S△ABC=absin C=．【解析】（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A-）+f（B-）=4sin A sin B，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2-3ab-9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sin C的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？【答案】解：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．从而OF∥C1E．…（3分）OF⊂面ADF，C1E⊄平面ADF，所以C1E∥平面ADF．…（6分）（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由于B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC．由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD⊥平面B1BCC1．而CM⊂平面B1BCC1，于是AD⊥CM．…（9分）因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以R t△CBM≌R t△FCD，所以CM⊥DF．…（11分）DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF．CM⊂平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…（13分）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．…（14分）【解析】（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．由此能够证明C1E∥平面ADF．（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，先证出AD⊥平面B1BCC1．再证明当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．17.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．【答案】解：（1）由=，c=2，得a=，b==2．故所求椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），则B（-x1，-y1），故，，，．①由题意，得．化简，得，∴点A在以原点为圆心，2为半径的圆上．②设A（x1，y1），则得到．将，，代入上式整理，得k2（2e2-1）=e4-2e2+1；∵e4-2e2+1＞0，k2＞0，∴2e2-1＞0，∴＞．∴≥3，化简得＞，解之得＜，＜．故离心率的取值范围是，．【解析】（1）利用离心率的计算公式及b2=a2-c2即可得出椭圆的标准方程；（2）利用①的结论，设出直线AB的方程与椭圆的方程联立即可得出关于a、b与k的关系式，再利用斜率与a、b的关系及其不等式的性质即可得出．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式、直线方程、离心率的计算公式、不等式的基本性质是解题的关键．18.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点P1后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD，DA和AB上的点P2，P3，P4处．（1）若点P4与P0重合，求tanθ的值；（2）设tanθ=t，若P4落在A，P0两点之间，且AP0=2．将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．【答案】解：（1）设P0B=m（0＜m＜3），可得P1B=mtanθ，P1C=2-mtanθ，P2C==，P2D=3+m-∴P3D=P2D•tanθ=（3+m）tanθ-2，P3A=4-（3+m）tanθ可得AP4==∵点P4与P0重合，∴AP4+P0B=3，即+m=3，可得，解之得tanθ=；（2）当AP0=2即m=1，由（I）可得AP4=∵P4落在A，P0两点之间，可得0＜AP4＜2，即tanθ=t∈（，1）∴S=S ABCD----=6-t-（2-t）（）-（4-）（4t-2）-（4-4t）（）=32-17t-=32-（17t+）≤32-2=32-4由此可得：当且仅当t=时，S的最大值为32-4．【解析】（1）设P0B=m（0＜m＜3），给出P1B、P1C关于m和tanθ的式子，利用解直角三角形分别算出P2C、P2D、P3D、P3A，从而可得AP4==，根据点P4与P0重合得AP4+P0B=3，化成关于tanθ的式子，可得tanθ的值；（2）当AP0=2即m=1，结合（I）得AP4=．由P4落在A，P0两点之间解得0＜AP4＜2，从而tanθ=t∈（，1）．由五边形面积S=S ABCD----，将S化成关于t的函数S=32-（17t+），再利用基本不等式求最值可得当t=时，S的最大值为32-4．本题给出实际应用问题，求函数五边形面积的最大值．着重考查了解直角三角形、三角形的面积公式和利用基本不等式求函数的最值等知识，属于中档题．19.已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；（2）设F（x）=，＜，，若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．【答案】解：（1）由对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x2-2x，由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．从而a≤恒成立，a≤（）min设t（x）=，x∈[1，e]，求导，得t′（x）=x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．所以t（x）min=t（1）=-1，所以a≤-1．（2）F（x）=，＜，，设P（t，F（t））为曲线y=F（x）上的任意一点，假设曲线y=F（x）上存在一点Q（-t，F（-t）），使∠POQ为钝角，则＜，若t≤-1，P（t，-t3+t2），Q（-t，aln（-t）），=-t2+aln（-t）（-t3+t2），由于＜恒成立，a（1-t）ln（-t）＜1．当t=-1时，a（1-t）ln（-t）＜1恒成立．当t＜-1时，a＜恒成立．由于＞，所以a≤0．若-1＜t＜1，t≠0，P（t，-t3+t2），Q（-t，t3+t2），则=-t2+（-t3+t2）（t3+t2）＜0，t4-t2+1＞0对-1＜t＜1，t≠0恒成立③当t≥1时，同①可得a≤0．综上所述，a的取值范围是（-∞，0]．【解析】（1）已知对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，可以转化为（x-lnx）a≤x2-2x，再利用系数分离法进行求解；（2）假设曲线y=F（x）上存在一点Q（-t，F（-t）），使∠POQ为钝角，则＜，然后对t 进行讨论：分t＜-1，-1＜t＜1，t＞1三种情况，转化为函数的恒成立，利用常数分离法进行求解；解决本题的关键在于“转化”，先将转化为恒成立问题，再将将问题转化为二次函数问题，最终得以解决．很多问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中得以解决，但是题中所蕴涵的分类讨论思想却是我们常用的方法．20.已知α，β是方程x2-x-1=0的两个根，且α＜β．数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=β，a n+2=a n+1+a n，b n=a n+1-αa n（n∈N*）．（1）求b2-a2的值；（2）证明：数列{b n}是等比数列；（3）设c1=1，c2=-1，c n+2+c n+1=c n（n∈N*），证明：当n≥3时，a n=（-1）n-1（αc n-2+βc n）．【答案】（1）解：∵α，β是方程x2-x-1=0的两个根，∴α+β=1，α•β=-1，β2=β+1．由b2=a3-αa2=a1+a2-αa2=1+a2-αβ=2+a2，得b2-a2=2；（2）证明：∵======β，∴数列{b n}是公比为β的等比数列，又∵b1=a2-αa1=β-α≠0，∴{b n}是首项为β-α，公比为β的等比数列；（3）证明：由（2）可知a n+1-αa n=（β-α）βn-1．①同理，a n+1-βa n=α（a n-βa n-1）．又a2-βa1=0，于是a n+1-βa n=0．②由①②，得a n=βn-1．下面我们只要证明：n≥3时，（-1）n-1（αc n-2+βc n）=βn-1．∵=-=-=-=-=-=β，又c1=1，c2=-1，c3=2，∴当n=3时，（-1）2（αc1+βc3）=（α+2β）=1+β=β2，∴{（-1）n-1（αc n-2+βc n）}是以β2为首项，β为公比的等比数列．（-1）n-1（αc n-2+βc n）是它的第n-2项，∴（-1）n-1（αc n-2+βc n）=β2•βn-3=βn-1=a n．【解析】（1）α，β是方程x2-x-1=0的两个根，利用韦达定理与b2=a3-αa2，即可求得b2-a2的值；（2）反复利用a n+2=a n+1+a n，可求得=β（定值），b1=a2-αa1=β-α≠0，从而可证数列{b n}是等比数列；（3）由（2）知a n+1-αa n=（β-α）βn-1，①又a n+1=a n+a n-1，α+β=1，αβ=-1，可求得得a n+1-βa n=0②，从而可得a n=βn-1，最后可证得n≥3时，=β，从而可使结论得证．本题考查数列递推式，突出考查等比关系的确定，考查抽象思维与逻辑推理的能力，考查转化思想、化归思想与综合运算能力，注意解题方法的积累，属于难题．。

江苏省南通市2014届高三第二次调研测试数学试题（解析版）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．2.某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ．3.复数i 1iz =-（其中i 为虚数单位）的模为 ▲ ．4.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 ▲ ．考点：系统抽样5.根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．6.若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．7.若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ▲ ．8.设l，m表示直线，α表示平面，m是α内任意一条直线．则“l m⊥”成立⊥”是“lα的▲条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）9.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：222x≥）上一点，直线OA的倾斜+=（0x y角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB 的方程是▲．10.在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则AB AC⋅的值为▲．11.设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且1x ，1y，1z成等差数列，则x zz x+的值是▲．12.设π6是函数()()sin2f x xϕ=+的一个零点，则函数()f x在区间()02π，内所有极值点之和为▲．13.若不等式(mx－1)［3m 2－( x + 1)m－1］≥0对任意(0)m∈+∞，恒成立，则实数x的值为▲．14.设实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为▲．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC中，已知916AB AC AB BC⋅=⋅=-，．求：（1）AB的值；（2）sin()sinA BC-的值．试题解析：（1）因为916⋅=⋅=-，，…………………………… 4分AB AC AB BC16.在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD， PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．求证：（1）CE∥平面PAD；（2）平面PBC⊥平面PAB．EF CD，于是四边形DCEF是平行四边形，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x x y x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.11.4）．18.在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x y a b a b +=>>所围成的封闭图形的面积为C 1上的点到原点O ．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值①由l是线段AB的垂直平分线，可转化为：0⋅=，又由MO＝2OA，可转化得到：OA OM=，这2OM OA所以22222222888(1)181818A Ak kOA x yk k k+=+=+=+++，222232(1)418kAB OAk+==+.19.设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2rt S r S t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑消的方法，可得：()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑．20.设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =，求(1)(1)a t --的值．所以(ln)(2ln)0a>．.=-<，即2ef a a a数学Ⅱ（附加题）21.A．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP // AC，交AB于点E，交圆O在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．21.B ．选修4—1：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．21.C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，设动点P，Q都在曲线C：12cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，求d的取值范围．21.D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥． (10)分考点：含有绝对值不等式的运用22.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．一点，所以λ＞0，故所求的λ值为2 33－1．所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．23.设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有{}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）； （2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数．第 21 页 共 21 页 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，，。

海门市2014届高三第二次教学质量调研化学本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷满分120分。

考试时间100分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必在答题纸姓名栏内写上自己的姓名、考试科目、准考证号等，并用2B铅笔涂写在答题纸上。

2．每小题选出正确答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题号的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试题卷上。

3．考试结束，将答题纸交回。

可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Al－27S－32 Cl－35.5 K－39 Fe－56 Cu－64选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

1．化学与生命、材料、环境、能源等科学密切联系。

下列有关化学发展方向的说法不正确的是A．研发新药物，预防和治疗人类疾病B．开发光电转换材料，充分利用太阳能C．大力研发新型有机溶剂替代水作为萃取剂D．开发高效酶催化剂，实现常温下人工固氮2．下列有关化学用语使用正确的是A．CO2的电子式：B．乙烯的结构简式：CH2CH2C 2 8 8D．质子数为53、中子数为78的碘原子：13153I 3．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．标准状况下，2.24L的CCl4中含有的C—Cl键数目为0.4N AB．12.0 g KHSO3和NaHSO4的固体混合物中阴离子总数为0.1 N AC．Na2O2与足量CO2反应生成2.24L O2时转移电子数为0.2N AD．1mol/L CH3COONa和CH3COOH的中性溶液中，CH3COO－数目为N A4．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A．使酚酞变红色的溶液：Na＋、Cu2＋、HCO3－、NO3－B．加入铝粉放出H2的溶液中：Al3+、K+、SO42－、Cl－C．无色透明的溶液：Fe3+、NH4＋、NO3－、Cl－D．水电离出的c(H＋)=10－12 mol·L－1的溶液：K+、Ba2+、Cl－、Br－5．用海带灰制备单质碘的实验中，涉及的操作正确且能达到实验目的的是A ．用图①所示装置，过滤海带灰浸取液B ．用图②所示装置，在滤液中通入Cl 2置换出碘C ．用图③所示装置，放出下层液体后再放出有机层D ．用图④所示装置，回收萃取剂苯并获得单质碘6．甲、乙、丙、丁、戊是中学化学中常见五种物质。

2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i 2iz =-（其中i 是虚数单位）的虚部为 ．2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 . 3. 函数()221()4x xf x -=的值域为 ．4. 分别在集合A={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ．5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的 离心率为 . 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取 值范围是 ．7. 函数y =()πsin 23x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y =sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换： A. 图象上所有点向右平移π6个单位；B. 图象上所有点向右平移π3个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ．6 7 8 5 5 6 3 4 0 1EADCFP10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ． 11. 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ．12. 设平面向量a ，b满足3-≤a b a ·b 的最小值为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491x y+=上的点到原点O 的最短距离为 ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<． （1）若⊥a b，求+a 的值；（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠=，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．东北17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60的方向，且在港口 A北偏西30的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30的OD 方向以20海里/小时 的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时． （1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足2371574a a S a =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项．19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C上1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）．【填空题答案】1. 252. 723. (]04，4. 345. 26. (]1921，7. BD （DA ） 8. 充分不必要 9. 221x y += 10.[)10-， 11.12. 513. 16- 14. 1515.【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……2分 因为⊥a b ，所以a ·b = 0．……………………………4分于是22234=++⋅=a a b b，故2=a ． …………6分（2）因为a + b ()(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，…………………………8分由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-． ………………………………10分代入sin sin αβ+=sin sin αβ==．…………………12分而0πβα<<<，所以2ππ33αβ==，．…………………14分16. 【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分（2）连结CD ．因为60BAC ∠=，AD AC =，所以△ACD 为正三角形．因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．…………………7分因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． ……………………11分因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分 17.【解】（1）由题意知，在△OAB 中，OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，． 于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分 在△OAB中，可计算得OB =而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即([]222(60)20(2)220(2)t t t =++-⨯+亦即285130t t +-=，解得1t =或138t =-（舍去）．……………………………12分故23t +=．即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇？…14分 18.【解】（1）因为{}n a 是等差数列，且77S =，而17747()72a a S a +==，于是41a =．…2分 设{}n a 的公差为d ，则由23154a a a =-得(12)(1)5134d d d --=--， 化简得282790d d -+=，即(3)(83)0d d --=，解得3d =或3d =，但若38d =，由41a =知不满足“数列{}n a 的各项均为整数”，故3d =．………5分于是4(4)311n a a n d n =+-=-．……………………………………………………7分 （2）因为+12(3)(6)189m m m m m m m ma a a a a +++==++，3113(4)1n a n n =-=-+， ……10分 所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，18m a 必须是3的倍数，于是m a 在1236±±±±，，，中取值，但由于1m a -是3的倍数，所以1m a =或2m a =-．由1m a =得4m =；由2m a =-得3m =． …………………………………………13分 当4m =时，+121347m m m a a a +⨯==；当3m =时，+12314m m m a aa +⨯==． 所以所求m 的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18m m m a a m m m m +---+-+== 1823332323113(4)1m m m m ⨯⨯=-+=-+--+，所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，2333(4)1m ⨯⨯-+必须是3的倍数，于是3(4)1m -+只能取1或2-．（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c ，离心率为e ．于是2b =．设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则AFe AF e d d=⇒=⋅，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF 取得最小值，所以1a c -=．……………………………………………………………………3分因为2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，，所以椭圆方程为22154x y +=．………………………………………………………5分（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB⋅=．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d ==．………………………………………………………………7分 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，，解得222221154154A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理22222111541114BB x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，．………………………………………9分 在Rt △OAB 中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB⋅⋅==+， 则22222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++ ()()22111145451191k k +++==+=+，所以h =．综上，原点O 到直线AB．……………………………………11分 另解：()()()()()()2222222222222222222111111111554411111111155441115544k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kk k ++⋅++++⋅===+++++++++++22212999920201020k k k k ++==++，所以h ． ②因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB⋅()()()()222222221112111411115204k k k k kk k k ++++=⋅=++++，令221t k k =+，则2t ≥， 于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++， …………………14分 因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥，当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 40AB = 所以AB．…………………………………………………………16分 20. 【解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，．()2af x bx x'=-，则()2432a f b '=-=-，即86a b =-．于是()()2286bx b f x x-+-'=．……………………………………………………2分①当0b =时，()60f x -'=<，()f x 在()0+∞，上是单调减函数； ②当0b <时，令()0f x '=，得x ， 所以()f x在(0上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数； ③当0b >时，若30b <≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数；若34b >，令()0f x '=，得x =， 所以()f x在(0上单调增函数，在)+∞上单调减函数； 综上，若0b <，()f x的单调减区间为(0，单调增区间为)+∞； 若30b ≤≤，()f x 的单调减区间为()0+∞，；若34b >，()f x的单调增区间为(0，单调减区间为)+∞．……………………………………8分（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则211122222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，相减得：()()()221212122ln ln 0x x x x k x x -----=， 因为 12x x ≠，所以()()1212122ln ln x x k x x x x -=-+-，于是()()1200012122ln ln 242x x g'x x k x x x x x -=--=-+-C()()()112211212121212221222ln ln ln 1x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦． ……………………………………14分令()1201x t t x =∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++， 则()()()()222141011t 't t t t t ϕ--=-=<++，则()t ϕ在()01，上单调递减， 则()()10t ϕϕ>=，又1220x x <-，则()00g'x <．命题得证．………………16分附加题：21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ． 【证】连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，． 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．因为AD = DC ，所以A C ∠=∠．于是△ADB ≅△CDO ，从而AB = CO ，即2OB = OB + BC ，得OB = BC ．故AB = 2 BC ．……………………………………10分21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，求矩阵A 的特征值． 【解】因为A1-A =E ，所以A =(A 1-)1-．因为A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，所以A =(A 1-)1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232． …………………………………5分 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)1232----=λλ= λ2－3λ－4， ………………………8分令f (λ) = 0，解得A 的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．………………………………………10分21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程：221x y +=，左焦点(40)F -，………………………………………3分直线的普通方程：220x y -+=. …………………………………………………………6分 设过焦点(40)F -，且与直线220x y -+=平行的直线为20x y λ-+= 将(40)F -，代入20x y λ-+=， 4.λ=所求直线的普通方程为240x y -+=．…………………………………………………10分 21D. 已知实数x ，y 满足：| x + y |1<，1|2|x y -<，求证：| y |5<．【证】3|||3|2()(2)2|||2|y y x y x y x y x y ==+--++-≤．…………………………………5分 由题设知| x + y |31<，1|2|6x y -<， 从而1153||2366y ⨯+=≤．故| y |518<．…………………………………………………10分22．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离． （1）求概率(P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ )．【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有28C 28=种．因为正方体的棱长为1正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612⨯=条．因此(123P ξ===． ……………………………………………3分（2）随机变量ξ的取值共有1正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是()1231287P ξ===．………………………5分从而(()(331111777P P P ξξξ=-=-==--=． …………………………………7分所以随机变量ξ的分布列是…………………………………………………………………8分因此331()1E ξ=⨯+ …………………………………………10分23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =，F 为其焦点，点E 的坐标为(2，0)，设M为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，链接ME ，NE 并延长分别交 抛物线C 与点P ，Q ．（1）当MN ⊥Ox 时，求直线PQ 与x 轴的交点坐标；（2）当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：122k k =． 【解】（1）抛物线C ：24y x =的焦点F (1，0) ．当MN ⊥Ox 时，直线MN 的方程为 1x =．将1x =代入抛物线方程24y x =，得2y =±．不妨设(12)M ，，(12)N -，， 则直线ME 的方程为2+4y x =-，由2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1x =或4x =，于是得(44)P -，．同理得(44)Q ，，所以直线PQ 的方程为4x =． 故直线PQ 与x 轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，并设11223344()()()()M x y N x y P x y Q x y ，，，，，，，． 由2214404x my y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得，于是124y y =-①，从而221212144y y x x =⋅=②．设直线MP 的方程为2x t y =+， 由2224804x t y y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 所以138y y =-③，134x x =④． 同理248y y =-⑤，244x x =⑥．由①②③④⑤⑥，得323241412424y y x x y y x x ====，，，．4312122143121222114422y y y y y y k k x x x x x x ---===⋅=---，即122k k =．…………………………………………………………………………10分。