晶体光学性质的图形表示

惠更斯作图法的基本步骤
A＇ 介质
归纳如下：
（1）、画出平行的入射光束，令两边缘光线 与界面的交点分别为A，B’
（2）、由先到界面的A点作另一边缘入射线
的垂线AB，它便是入射线的波面。 ___
求出B到B’的时间 t BB' c
B A
空气
B＇
（3）、以A为中心，νt为半径 （ ν为光在折射介质中的波速）
此结果是反射和折射定律的数学表示。 它不仅对两种各向同性介质的界面是正 确的，对各向异性介质（晶体）的界面 也是正确的。
1.惠更斯作图法：
在各向同性介质中，可以利用惠更斯原理来
求折射光线的方向。此方法也可以应用到晶
体中来，从而直接得到晶体中两个折射光波
的光线方向。
先把各向同性介质中
B A
空气
B＇
由于晶体光学问题的复杂性，在实际工作 中常常要使用一些表示晶体光学性质的几 何图形来帮助说明问题，常用的有折射率 椭球、波矢面、法线面和光线面等。
利用这些图形再结合一定的作用法，可以 比较简单有效地解决光波在晶体中传播的 问题。
一、 折射率椭球：
由前述可知，在晶体的介电主轴坐标系中， 物质方程可有如下简单形式：
k0
o n1
n2
D1
D2
作平行于给定波法线方向k0的直线OP， 如图所示，再过原点O作一平面与OP垂直， 该平面与椭球的截线为一椭圆。
椭圆的长轴方向和短轴方向就是对应于波法 线方向的两个允许存在的光波的矢量方向，
而长短半轴的长度则分别等于两个光波的折 射率n1和n2。 下面利用折射率椭球来讨论光波在晶体中传 播的性质。
2 z
A
用x,y,z代替 Dx A, Dy A, Dz A , 并把它取为空间直角坐标系，则可得到：
x2 y2 z2
1
n
2 x
n
2 y
n
2 z
此为椭球方程，它的半轴等于主折射率并与介 电主轴的方向重合。这个椭球称为折射率椭球 （又称光率体）。
注：“折射率椭球”是一个抽象的几何概念和 运算工具，决不能把它与任一物理面相混淆。
Dx 0 rx Ex , Dy 0 ry E y , Dz 0 rz Ez
因此，光波中电能密度的表达式可为：
We
1
E•
D
2
1
2 0
Dx2
rx
D
2 y
ry
Dz2
rz
Dx2
rx
D
2 y
ry
Dz2
rz
A,
（A 2 0 We )
或
Dx2 n x2
D
2 y
n
2 y
Dz2
n
一、光在晶体界面上的双反射和双折射
o光 e光
e光 o光
o光振动方向垂直于主截面
e光振动方向平行于主截面
本节中我们讨论在一般情况下，如何确定折 射波和反射波的波法线方向和光线方向。
一、波法线方向的确定
1.反射和折射定律 讨论平面波在两种不同介质分界面上的反射 和折射时，得到波矢量在界面上的投影大小
不 波k变的1, 的波k1结矢' , 果量k2。。, r即分别是k为界1•入面r 射上k波的1' •，位r 反置 k射矢2 •波量r和。折射
注：上图中给的主截面与入射面 重合，从而切点A0’、 Ae’和两折射 光线都在此平面内（入射面）。
B
A
B＇
光轴
AO＇
A＇e
e光 O光
根据定义，这平面也是两折射线的主平面， 这样我们可以判知，两折射光的偏振方向：o 光的振动垂直纸面，e光的振动在纸平面内。
A＇ 介质
在折射介质中作半圆（实际上是半球面）,这 就是另一边缘入射线到达B’点时由A点发出的 次波面。
（4）、通过B’点作上述半圆的切线（实际 上是切面）这就是折射线的波面（包络面）
（5）、从A联接到切点A’的方向便是折射线 的方向。
现在把这一方法应用到单轴晶体上，唯一不 同之处是从A点发出的次波面不简单地是一个 半球面。而有两个，一个是以 v0t 为半径的半 球（o光的次波面），另一个是与它在光轴方
1.单轴晶体： 对于单轴晶体：nx ny n0 , nz ne
则,其折射率椭球的方程为:
x2 y2 z2 1
n02 n02 ne2
此为一旋转轴为光轴（z轴）的旋转椭
球。如图a和b所示，分别给出了负单轴
晶体（ no ＞ne，如方解石）和正单轴
晶体（ no ＜ ne ，如石英）的折射率椭
球形状。
z
z ne no
圆截面
no
y
ne
o no x
圆截面 y
x
由单轴晶体的折射率椭球。可以看出：
（1）、椭球在xy平面上的截线是一个圆，半 径为no ,表明当光波沿z轴方向传播时，只有一 种折射率（n=no ）的光波，其D矢量可取垂直 于z轴的任意方向.即z轴就是单轴晶体的光轴。
（2）、椭球在xz，yz或其它包含z轴的平面 内的截线是一个椭圆，它的两个半轴长度分别 为no和ne，表明当波法线方向垂直于光轴方向 时，可以允许两个线偏振光波传播，一个光波 的D矢量平行于光轴方向，折射率为ne ，另一 个光波的矢量垂直于光轴和波法线方向，折射 率no 。前者就是e光，面后者是o光。
折射率椭球有如下两点重要性质：
第一、折射率椭球任意一条矢径的方向，表示 D矢量的一个方向，矢径的长度表示D矢量沿矢 径的方向振动的光波的折射率，
折 射 率 椭 球
z nz
D
o
y
n为： P
r nd
d 是D矢量方向的单位矢量。
第二、从折射率椭球的原点O出发，
（3）、当波法线方向与光轴成θ角时（设k0在 yz平面内）,通过椭球中心o的垂直于k0的平面与 椭球的截线也是一个椭圆，它的两个半轴长度，
一个为no，另一个介于no和ne之间。
n2
n0ne
n02 sin 2 ne2 cos2
椭圆截线的两个半轴的方向，是对应于波法线
方向k0的两个允许的线偏振光波的D矢量方向，
其中一个光波的D矢量（Do）沿x轴方向， 相应折射率为no，此为o光波，而另一个是 e光波，相应的折射率为n2。 以上几个结果与上一节由理论分析得出的 结果完全一致，但，这里是根据折射率椭 球的图形得出的。具有直观，形象的优点。
z
θ
ne
k0
De n2
y
no o
x
Do
4.3 光波在晶体表面的折、反射
向上相切的半椭球面，其另外的半主轴长为vet
（e光的次波面）。
则惠更斯作图法步骤如下：
惠更斯作图法步骤：
（1）和（2）两步同前；
（3）应根据已知的晶体光轴方 向作上述复杂的次波面；
（4）从B’点分别作o光和e光次 波面的切面。得到两个切点A0’和 Ae’； （5）从A联接A0’和Ae’它们分别 是o光和e光的光线方向。