熵 热力学第二定律的数学表述

热力学中的熵与热力学第二定律热力学是研究热量与能量转换关系的学科，而熵（entropy）是热力学中一个重要的概念。

本文将介绍熵的定义和特性，并解释熵在热力学第二定律中的应用。

一、熵的定义与基本特性熵是热力学中的一个状态函数，用S表示，它度量了系统的无序程度或混乱程度。

根据统计热力学的观点，当系统的无序程度较高，熵的值也较高；当系统有序程度较高，熵的值较低。

熵可以用数学公式表示为：S = k ln W其中，S表示系统的熵，k是玻尔兹曼常数，ln表示自然对数，W 是系统的微观状态数，表示系统可以处于的不同状态的数量。

熵具有以下几个基本特性：1. 熵是一个状态函数，与系统的路径无关。

这意味着无论系统经历了怎样的变化，最终的熵值只与系统的初始状态和最终状态有关。

2. 熵在不可逆过程中增加，而在可逆过程中保持不变或减少。

可逆过程是指系统与外界之间没有任何摩擦、能量损耗等能量转化损失的过程；而不可逆过程则与之相反，包含能量转化损耗、摩擦产生的能量等。

3. 熵的增加代表着系统的能量转化的不可逆性和能量利用的低效性。

这也是熵在热力学第二定律中的重要作用。

二、热力学第二定律与熵热力学第二定律是热力学中最重要的定律之一，主要阐述了热量在系统和环境之间传递的方向。

而熵则是作为热力学第二定律的一个重要概念被提出并应用其中。

热力学第二定律有多种表述方式，其中之一是卡诺定理（Carnot theorem）。

卡诺定理指出，对于所有工作在相同温度下的热机，存在一个最大效率，这个效率只依赖于这两个热源的温度差。

而这个最大效率可以用熵的概念进行描述。

对于两个热源温度分别为T1和T2（T1 > T2），卡诺定理给出的最大效率为：η = 1 - (T2 / T1)其中，η表示热机的效率，T2 / T1表示热机工作过程中熵变的比值。

这里的熵变指的是系统和环境熵的变化量。

根据熵增加的特性，不可逆过程会使系统的熵增加，即熵变为正值。

因此，根据卡诺定理，最大效率只能在可逆过程中达到。

热力学第二定律一、 自发反应-不可逆性（自发反应乃是热力学的不可逆过程）一个自发反应发生之后，不可能使系统和环境都恢复到原来的状态而不留下任何影响，也就是说自发反应是有方向性的，是不可逆的。

二、 热力学第二定律1. 热力学的两种说法：Clausius:不可能把热从低温物体传到高温物体，而不引起其它变化Kelvin ：不可能从单一热源取出热使之完全变为功，而不发生其他的变化2. 文字表述： 第二类永动机是不可能造成的（单一热源吸热，并将所吸收的热完全转化为功） 功 热 【功完全转化为热，热不完全转化为功】（无条件，无痕迹，不引起环境的改变） 可逆性：系统和环境同时复原3. 自发过程：（无需依靠消耗环境的作用就能自动进行的过程）特征：（1）自发过程单方面趋于平衡；（2）均不可逆性；（3）对环境做功，可从自发过程获得可用功三、 卡诺定理（在相同高温热源和低温热源之间工作的热机）ηη≤ηη （不可逆热机的效率小于可逆热机）所有工作于同温热源与同温冷源之间的可逆机，其热机效率都相同，且与工作物质无关四、 熵的概念1. 在卡诺循环中，得到热效应与温度的商值加和等于零：ηηηη+ηηηη=η 任意可逆过程的热温商的值决定于始终状态，而与可逆途径无关热温商具有状态函数的性质 ：周而复始 数值还原从物理学概念，对任意一个循环过程，若一个物理量的改变值的总和为0，则该物理量为状态函数2. 热温商：热量与温度的商3. 熵：热力学状态函数 熵的变化值可用可逆过程的热温商值来衡量ηη ：起始的商 ηη ：终态的熵 ηη=(ηηη)η（数值上相等） 4. 熵的性质：（1）熵是状态函数，是体系自身的性质 是系统的状态函数，是容量性质（2）熵是一个广度性质的函数，总的熵的变化量等于各部分熵的变化量之和（3）只有可逆过程的热温商之和等于熵变（4）可逆过程热温商不是熵，只是过程中熵函数变化值的度量（5）可用克劳修斯不等式来判别过程的可逆性（6）在绝热过程中，若过程是可逆的，则系统的熵不变（7）在任何一个隔离系统中，若进行了不可逆过程，系统的熵就要增大，所以在隔离系统中，一切能自动进行的过程都引起熵的增大。

熵与热力学第二定律热力学是一门研究能量转化和传递的学科，而熵则是热力学的一个重要概念。

熵是描述系统无序度的物理量，也可以理解为系统的混乱程度。

热力学第二定律则给出了一个有关熵变化的基本规律，对于理解自然界中各种现象都具有重要意义。

首先，我们来了解一下熵的概念。

熵最初由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯在19世纪提出，用以描述能量在转化和传递过程中的无序度。

熵的单位是焦耳/开尔文（J/K）。

在热力学中，我们通常用S表示熵。

对于一个封闭系统来说，其熵的变化可以通过以下公式表示：ΔS = Q/T其中，ΔS表示熵变化，ΔQ表示系统所吸收或释放的热量，T表示温度。

从这个公式可以看出，熵的变化与温度和能量的传递有着密切的关系。

进而，熵的变化与热力学第二定律密切相关。

热力学第二定律是热力学中的一条基本定律，它通过熵的变化来描述了自然界中一种普遍存在的变化趋势：任何一个孤立系统总是朝着熵增的方向进行变化。

热力学第二定律可以用以下两种表述方式进行阐述：1. 克劳修斯表述：不可能自发地将热量从低温物体传递到高温物体，而不做额外的功。

这个表述是从能量守恒的角度上来看待熵增的原理。

2. 开尔文表述：不可能从单一热源吸热，使之完全转化为有效功而不产生其他变化。

这个表述则是从热力学循环的角度上来看待熵增的原理。

无论是克劳修斯表述还是开尔文表述，都体现了一个重要的观点：自然界的变化总是朝着更高的熵方向发展，即朝着能量的分散和无序性的增加。

这进一步表明了熵在物理系统中的重要性。

熵的概念不仅在热力学领域有着广泛的应用，还可以引申到其他领域。

在信息论中，熵被用来度量信息的不确定性，即信息的无序度。

熵在信息论中与热力学中的熵有着数学上的相似性，都是描述系统无序度的物理量。

这种类比为信息论提供了一个重要的工具，使之能够研究信息的流动和传递。

总结起来，熵是热力学中一个重要的概念，用于描述系统的无序度。

熵的变化与热力学第二定律密切相关，从而给出了自然界中的一种普遍存在的变化趋势。

热力学第二定律一、 自发反应-不可逆性（自发反应乃是热力学的不可逆过程）一个自发反应发生之后，不可能使系统和环境都恢复到原来的状态而不留下任何影响，也就是说自发反应是有方向性的，是不可逆的。

二、 热力学第二定律1. 热力学的两种说法：Clausius:不可能把热从低温物体传到高温物体，而不引起其它变化Kelvin ：不可能从单一热源取出热使之完全变为功，而不发生其他的变化2. 文字表述： 第二类永动机是不可能造成的（单一热源吸热，并将所吸收的热完全转化为功）功 热 【功完全转化为热，热不完全转化为功】（无条件，无痕迹，不引起环境的改变） 可逆性：系统和环境同时复原3. 自发过程：（无需依靠消耗环境的作用就能自动进行的过程）特征：（1）自发过程单方面趋于平衡；（2）均不可逆性；（3）对环境做功，可从自发过程获得可用功三、 卡诺定理（在相同高温热源和低温热源之间工作的热机）ηη≤ηη （不可逆热机的效率小于可逆热机）所有工作于同温热源与同温冷源之间的可逆机，其热机效率都相同，且与工作物质无关四、 熵的概念1. 在卡诺循环中，得到热效应与温度的商值加和等于零：ηηηη+ηηηη=η 任意可逆过程的热温商的值决定于始终状态，而与可逆途径无关热温商具有状态函数的性质 ：周而复始 数值还原从物理学概念，对任意一个循环过程，若一个物理量的改变值的总和为0，则该物理量为状态函数2. 热温商：热量与温度的商3. 熵：热力学状态函数 熵的变化值可用可逆过程的热温商值来衡量ηη ：起始的商 ηη ：终态的熵 ηη=(ηηη)η（数值上相等） 4. 熵的性质：（1）熵是状态函数，是体系自身的性质 是系统的状态函数，是容量性质（2）熵是一个广度性质的函数，总的熵的变化量等于各部分熵的变化量之和（3）只有可逆过程的热温商之和等于熵变（4）可逆过程热温商不是熵，只是过程中熵函数变化值的度量（5）可用克劳修斯不等式来判别过程的可逆性（6）在绝热过程中，若过程是可逆的，则系统的熵不变（7）在任何一个隔离系统中，若进行了不可逆过程，系统的熵就要增大，所以在隔离系统中，一切能自动进行的过程都引起熵的增大。

热力学第二定律（英文：second law of thermodynamics）是热力学的四条基本定律之一，表述热力学过程的不可逆性——孤立系统自发地朝着热力学平衡方向──最大熵状态──演化，同样地，第二类永动机永不可能实现。

这一定律的历史可追溯至尼古拉·卡诺对于热机效率的研究，及其于1824年提出的卡诺定理。

定律有许多种表述，其中最具代表性的是克劳修斯表述（1850年）和开尔文表述（1851年），这些表述都可被证明是等价的。

定律的数学表述主要借助鲁道夫·克劳修斯所引入的熵的概念，具体表述为克劳修斯定理。

虽然这一定律在热力学范畴内是一条经验定律，无法得到解释，但随着统计力学的发展，这一定律得到了解释。

这一定律本身及所引入的熵的概念对于物理学及其他科学领域有深远意义。

定律本身可作为过程不可逆性[2]:p.262及时间流向的判据。

而路德维希·玻尔兹曼对于熵的微观解释——系统微观粒子无序程度的量度，更使这概念被引用到物理学之外诸多领域，如信息论及生态学等克劳修斯表述克劳修斯克劳修斯表述是以热量传递的不可逆性（即热量总是自发地从高温热源流向低温热源）作为出发点。

虽然可以借助制冷机使热量从低温热源流向高温热源，但这过程是借助外界对制冷机做功实现的，即这过程除了有热量的传递，还有功转化为热的其他影响。

1850年克劳修斯将这一规律总结为：不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响。

开尔文表述参见：永动机#第二类永动机开尔文勋爵开尔文表述是以第二类永动机不可能实现这一规律作为出发点。

第二类永动机是指可以将从单一热源吸热全部转化为功，但大量事实证明这个过程是不可能实现的。

功能够自发地、无条件地全部转化为热；但热转化为功是有条件的，而且转化效率有所限制。

也就是说功自发转化为热这一过程只能单向进行而不可逆。

1851年开尔文勋爵把这一普遍规律总结为：不可能从单一热源吸收能量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。

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热力学第二定律和熵专业：能源与动力工程班级：能源14-3班姓名:王鑫学号：1462162330熵的表述在经典热力学中，可用增量定义为式中T为物质的热力学温度；dQ为熵增过程中加入物质的热量，下标“可逆”表示加热过程所引起的变化过程是可逆的。

若过程是不可逆的，则ds>（dQ/T）不可逆。

单位质量物质的熵称为比熵，记为s。

熵最初是根据热力学第二定律引出的一个反映自发过程不可逆性的物质状态参量。

热力学第二定律是根据大量观察结果总结出来的规律，有下述表述方式：①热量总是从高温物体传到低温物体，不可能作相反的传递而不引起其他的变化；②功可以全部转化为热，但任何热机不能全部地，连续不断地把所接受的热量转变为功（即无法制造第二类永动机）；③在孤立系统中，实际发生过程，总使整个系统的熵值增大，此即熵增原理。

摩擦使一部分机械能不可逆地转变为热，使熵增加。

热量dQ由高温（T1）物体传至低温(T2)物体，高温物体的熵减少ds1=dQ/T1，低温物体的熵增加ds2=dQ/T2，把两个物体合起来当成一个系统来看，熵的变化是ds=ds2－ds1>0，即熵是增加的。

熵的相关定义1.比熵：在工程热力学中，单位质量工质的熵，称为比熵。

表达式为δq=Tds，s称为比熵，单位为J/(kg·K)或kJ/(kg·K)。

2．熵流：系统与外界发生热交换，由热量流进流出引起的熵变。

熵流可正可负，视热流方向而定。

3．熵产：纯粹由不可逆因素引起的熵的增加。

熵产永远为正，其大小由过程不可逆性的大小决定，熵产为零时该过程为可逆过程。

熵产是不可逆程度的度量。

熵增原理孤立系统的熵永不自动减少，熵在可逆过程中不变，在不可逆过程中增加。

熵增加原理是热力学第二定律的又一种表述，它比开尔文、克劳修斯表述更为概括地指出了不可逆过程的进行方向；同时，更深刻地指出了热力学第二定律是大量分子无规则运动所具有的统计规律，因此只适用于大量分子构成的系统，不适用于单个分子或少量分子构成的系统实质:熵增原理指出:凡事是孤立系统总熵减小的过程都是不可能发生的，理想可逆的情况也只能实现总熵不变，实际过程都不可逆，所以实际热力过程总是朝着使孤立系统总熵增大的方向进行，ds＞0。

热力学第二定律数学表达式热力学第二定律是热力学基本定律之一，在热力学中占有重要的地位。

而这一重要定律可以通过数学表达式来描述和解释。

下面就让我们来详细了解一下热力学第二定律数学表达式吧！一、熵增原理热力学第二定律最基本的体现就是熵增原理，它表现了自然界中热力学过程的一个普遍趋势，即随着时间的推移，系统总是越来越趋向于无序状态。

量化地表达熵增原理的数学表达式是：ΔS≥0其中，ΔS表示系统的熵变，也即是系统从初始状态到终止状态时，系统熵值的增加量。

二、热力学第二定律数学表达式的其他形式上述的熵增原理式只是热力学第二定律的最常见形式，实际上，它还有很多其他的数学表达式。

以下便是几种重要的表达形式。

1.开尔文-普朗克表述这种表述方式是热力学第二定律最早的表述方式之一，它由开尔文及普朗克共同提出。

表述如下：不可能制造出一个能够从单一热源吸收热量并将其完全转化为功的机器。

2.克劳修斯表述克劳修斯表述是较早的表述方式之一。

它表述如下：任何永久机器不可能从单一的热源吸收热量并将其完全转化为功。

3.克劳修斯-普朗克表述这种表述方式又被称为热力学第二定律的普遍表述方式，其数学表达式如下：任何过程中，系统与其环境总是趋于平衡，而这种平衡过程是只能演化成为平衡状态。

在这一过程中，熵增加，而不会减小。

4.卡诺循环表述卡诺循环表述是热力学第二定律的另一种表述方式。

它表述如下：任何永久机器的热效率都不可能超过对等热源之间温度差异的比值。

总结：以上便是热力学第二定律数学表达式的几种形式，这些表述方式的总结共同表明，自然界中热力学过程总是以能量的稳定放散和熵值的增加为趋势，而这是由热力学第二定律所决定的。

掌握这些数学表达式，对于理解热力学第二定律的内涵和应用具有重要意义。

第五章热力学第二定律与熵§5.1 热力学第二定律的表达及其实质一．热力学第二定律的两种表达及其效性1.自然现象的不可逆过程（建立热二定律的必要性）落叶永离，覆水难收。

欲死灰之复然，艰乎之力；愿破镜之重圆，冀也无端。

人生易老，返老还童只意幻想；生米作成熟饭，无可挽回。

大量成语表明，自然现象，历史人文，大多是不可逆的。

自然界的过程是有方向性的，沿某些方向可以自发地进行，反过来则不能，虽然两者都不违反能量守恒定律。

因此有必要在热力学第一定律之外建立另一条独立的定律，来概括自然界的这种规律，这就是热力学第二定律。

2.热力学第二定律的开尔文表达开尔文在总结如何提高热机效率的过程中发现：不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用功而不产生其它影响。

（又等效表述为：第二类永动机是不可能实现的）说明：①这里的“单一热源”指温度处处相同且恒定不变的热源；②“其它影响”指除了“内单一热源吸收热量全部转化为功”以外的任何其它变化。

③功变热的过程是不可逆的。

3.热力学第二定律的克劳修斯表达克劳修斯在概括总结如何提高制冷机制冷系数过程中发现：“热量不可能自发地从低温物体传到高温物体”，由此发现：热传递过程也是不可逆的。

4.两种表达的等效性下面用反证法证明这两种表达的等价性。

如图5.1所示的示意图。

反正Ⅰ：若开氏表达不真，则克氏表达也不真。

如图5.1（a）所示。

反正Ⅱ：若克氏表达不真，则开氏表达也不真。

如图5.1（b）所示。

这样就证明了开氏表达与克氏表达的等价性。

二．利用四种不可逆因素判别可逆与不可逆1.四种不可逆因素：①耗散不可逆因素；②力学不可逆因素；③热力学不可逆因素；④化学不可逆因素。

2.可逆与不可逆的判别法则：只有无耗散的准静态过程才是可逆过程，而准静态过程必须同时满足力学热学化学平衡条件的过程才是准静态过程。

因此，一个过程必须同时不包括任何不可逆因素的过程才是可逆的。

而任何一个不可逆过程中必包含有四个不可逆因素中的某一个或某几个。