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加法原理
完成一件事情有n类方法,若每一类方 法中的任何一种方法均能将这件事情 从头至尾完成.
分类要做到“不重不漏”
乘法原理
完成一件事情有n个步骤,若每一步的 任何一种方法只能完成这件事的一部 分,并且必须且只需完成互相独立的 这n步后,才能完成这件事.
分步要做到“步骤完整”
练习：
三个比赛项目，六人报名参加。 １）每人参加一项有多少种不同的方法？36 729 ２）每项１人，且每人至多参加一项，有多
(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法? 有3类方法,根据分类加法计数原理 N=4+3+2=9
(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法? 分3步完成,根据分步乘法计数原理 N=4×3×2=24
解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还 是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.
1.1 两个基本计数原理
高二 数学备课组
实际问题
世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分 成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按 确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军， 此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多 少场比赛？前4名有多少不同的结果？
要回答这个问题，就要用到排列、组合的知 识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类 计数原理与分步计数原理．
(2) 有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛， 每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
(3) 有 4 名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军， 你有多少种不同的结果？（每个科目冠军只有 一人）
学案P46-2
该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？
A
B
分类完成 分步完成
说明 N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例1.书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有 3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
学案P46-1
练习 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法?
分 左边
两 步
甲
完
成乙
右边 乙 丙 甲 丙
第一步 第二步 3×2
甲
丙
乙
例 2．解下列各题： (1) 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上
日班和晚班，有多少种不同的选法？
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同 的走法 ？
练习
如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到
丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地
到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的
走法？
学案P47-s4
解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14
少种不同的方法？ 654120
３）每项１人，每人参加的项数不限，有多
少种不同的方法？ 63 216
一、排数字问题
例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然
数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不
甲地
乙地
丙地
这个问题与前一个问题不同．在这个问题中， 必须经过先从甲地到乙地、再从乙地到丙地两个步 骤，才能从甲地到丙地．
因为从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有 2种走法，所以从甲地到丙地，共有不同的走法：
3×2＝6 （种）．
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。
做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法， 则完成这件事共有
允许重复的四位数?
二、映射个数问题:
•例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多 少种不同的映射?
三、染色问题:
例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在① ②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一 种颜色.
问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人 要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同 的走法 ？
问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路， 某人要从甲地到乙地，共公路有1多少种不同的走法？
公路2
甲地
公路3
铁路1 铁路2
乙地
因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件 事，有3条公路，2条铁路，所以共有：
3＋2＝5 （种）
一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法.
在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中有m2种不同的方法，……， 在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 :
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分二类, 第一类, m1 = 4 条 第二类, m3 = 2×2 = 4, 条
所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 4 + 4 = 8 条不同的线路可通电.
点评:
加法原理看成“并联电路”;
m1
A
m2
B
……
mn
乘法原理看成“串联电路”
A m1
B m2 …... mn
种不同的走法。
问题3：加法原理和乘法原理的共同点是什么？ 不同点什么？
加法原理
乘法原理
相同点
它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同 的方法
方式的不同
不 分类完成
分步完成
同
任何一类办法中的任 这些方法需要分步,各 何一个方法都能完成 个步骤顺次相依,且每
点 这件事
一步都完成了,才能完
成这件事情
问题4：何时用加法原理、乘法原理呢?
