专题05 平方根、立方根和开立方(专题测试-提高)(解析版)

完整版)平方根立方根提高练习题平方根和立方根的练一、选择题（共8小题）1.4的平方根是±2，那么9的平方根是（B）。

2.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（C）。

3.一个数的立方根是它本身，则这个数是（A）。

4.数n的平方根是x，则n+1的算术平方根是（C）。

5.如果y=6+2，那么xy的算术平方根是（D）。

6.若a-b=3，则xy的值为（B）。

7.已知：a-b=2，那么xy的算术平方根是（C）。

8.若a＜b＜c，化简3a-b+c的结果为（B）。

二、填空题（共8小题）9.已知a、b为两个连续的整数，且a＞b，则a+b=a+b。

10.若a的一个平方根是b，那么它的另一个平方根是-b，若a的一个平方根是b，则a的平方根是±b。

11.已知：a+b=3，ab=2，则a和b的值分别为1和2.12.设等式(x-1)(y-2)(z-3)=0在实数范围内成立，其中m，x，y是互不相同的值，则z=m+x+y-6.13.如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，___第一个数是n(n-1)+1.14.已知有理数a，满足|2016-a|+|2017-a|=1，则a的值为2016或2017.15.若两个连续整数x、y满足x＜y，则x+y的值是2x+1.16.一组按规律排列的式子：1，3，7，13，…则第n个式子是n²-n+1.三、解答题（共9小题）17.（1）已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的值。

解：由2a-1的平方根是±3可得2a-1=9或2a-1=-9，解得a=5或a=-4.由3a+b-1的算术平方根是4可得3a+b-1=16，解得a=5，b=4.因此，a+2b=13.2）已知m是x²的整数部分，n是x的小数部分，求m-n的值。

解：由题意可得x²≤m<(x+1)²，即x≤√m<x+1.又因为n=x-√m，所以x=n+√m。

专题05平方根、立方根、二次根式
一、单选题（共15小题）
1.（2020•徐汇区二模）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
【解答】解：（B）原式＝|a+b|，故B不是最简二次根式．
（C）原式＝2，故C不是最简二次根式．
（D）原式＝|a|，故D不是最简二次根式．
故选：A．
【知识点】最简二次根式
2.（2020•青山区模拟）计算：﹣的结果是（）
A．B．2C．D．2
【解答】解：﹣
＝4﹣3
＝
故选：A．
【知识点】二次根式的加减法
3.（2020•云南模拟）要使式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x≥1B．x≤1C．x≥1且x≠﹣2D．x＞1
【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：D．
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
4.（2020•九龙坡区校级模拟）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.87]＝3，[]。

平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解平方根、算术平方根、立方根，这三个概念听起来好像很高大上，但其实它们都是我们日常生活中经常用到的数学知识。

今天，我就来给大家讲解一下这三个概念，让你在生活中轻松运用数学。

我们来说说平方根。

平方根就是一个数的正平方根，也就是一个数的平方等于这个数本身的那个数。

比如说，4的平方根是2,因为2乘以2等于4;9的平方根是3,因为3乘以3等于9。

平方根在我们生活中有很多应用，比如说计算土地面积、测量身高等等。

你可能会问：“我怎么知道一个数的平方根是多少呢？”这就需要用到计算器或者手算的方法了。

如果你不会手算，也没关系，我可以教你一个简单的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到它的边长，边长的平方就是那个数的平方根。

我们来说说算术平方根。

算术平方根就是一个数的正平方根，但是它只考虑奇数的情况。

比如说，5的算术平方根是无理数，因为5不能表示成两个整数相乘的形式；而4的算术平方根是2,因为2乘以2等于4。

算术平方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算房间面积、测量长度等等。

你可能会问：“我怎么知道一个数的算术平方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。

如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到最短的那条边，这条边的长度就是那个数的算术平方根。

我们来说说立方根。

立方根就是一个数的三次方根，也就是一个数的三次方等于这个数本身的那个数。

比如说，8的立方根是2,因为2乘以2乘以2等于8;27的立方根是3,因为3乘以3乘以3等于27。

立方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算体积、计算速度等等。

你可能会问：“我怎么知道一个数的立方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。

如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方体，然后找到最短的那条棱，这条棱的长度就是那个数的立方根。

平方根、算术平方根、立方根这三个概念虽然看起来有点复杂，但是只要掌握了它们的规律和方法，就可以在生活中轻松运用数学了。

期末专项练习：平方根和立方根综合大题1(2023秋·山东淄博·七年级统考期末)已知5a+4的立方根是-1，3a+b-1的算术平方根是3，c是13的整数部分．(1)求a、b、c的值；(2)求3a+b+2c的平方根．【答案】(1)a=-1；b=13；c=3(2)±4【分析】(1)根据立方根，算术平方根的定义求得a,b，根据无理数的估算求得c的值；(2)根据(1)的结果，代入代数式，根据平方根的定义进行计算即可求解．【详解】(1)解：∵5a+4的立方根是-1，∴5a+4=-1，∴5a=-5，∴a=-1，∵3a+b-1的算术平方根是3，∴3a+b-1=9，即-3+b-1=9，∴b=13，∵c是13的整数部分，∴c=3；∴a=-1；b=13；c=3；(2)∵a=-1，b=13，c=3，∴3a+b+2c=-3+13+6=16，±3a+b+2c=±16=±4，即3a+b+2c的平方根是±4．【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，无理数的估算，求一个数的平方根，求得a,b,c的值是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．2(2023秋·浙江杭州·七年级校联考期末)已知一个正数m的平方根为2n+1和4-3n．(1)求m的值；(2)a-1+b+c-n2=0，a+b+c的平方根是多少？【答案】(1)121(2)±6【分析】(1)根据平方根的意义可直接列方程求解；(2)由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出a,b,c的值，然后代入求解即可．【详解】(1)解：∵正数m的平方根互为相反数，∴2n+1+4-3n=0，解得：n=5，∴2n+1=11，∴m=112=121；(2)由(1)得：n=5，∵a-1+b+c-n2=0，∴a-1=0，b=0，c-n=0，∴a=1，b=0，c=n=5，∴a+b+c=1+0+5=6，∴a+b+c的平方根是±6．【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根，熟练掌握平方根、算术平方根的非负性及立方根是解题的关键．3(2020秋·山东淄博·七年级统考期末)已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，c是17的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．【答案】13【分析】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案．【详解】解：∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，解得：a=5，∵3a+b-9的立方根是2，∴15+b-9=8，解得：b=2，∵16<17<25，∴4<17<5，∴c=4，∴a+2b+c=5+4+4=13，∴a+2b+c的算术平方根为13．【点睛】此题主要考查了算术平方根、平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键．4(2021春·甘肃武威·七年级统考期末)已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求3a-4b的平方根．【答案】±4【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可求出2a+1和5a+2b-2的值，进而求出a和b的值，将a和b的值代入3a-4b即可求解．【详解】解：∵2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，∴2a+1=9，5a+2b-2=16，∴a=4，b=-1把a=4，b=-1代入3a-4b得：3×4-4×(-1)=16，∴3a-4b的平方根为：±16=±4．【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．5(2022春·甘肃陇南·七年级校考期末)(1)已知25=x，y=2，z是9的算术平方根，求2x+y-5z 的值；(2)已知2a-1=3，3a+b-1的平方根是±4，c是43的整数部分，求a+b+3c的平方根．【答案】(1)-1；(2)±5【分析】(1)根据条件计算，解出未知数，再代入求值即可．(2)根据题目条件，得到未知数的值，再代入求值，最后计算平方根．【详解】解：(1)∵25=5=x，y=22=4，z=9=3，∵2x+y-5z=2×5+4-5×3=10+4-15=-1．(2)∵2a-1=3，∴2a-1=9，∴a=5；又∵3a+b-1的平方根是±4，∴3a+b-1=16，∴b=2；又∵c是43的整数部分，∴c=6，∴a+b+3c=5+2+3×6=25，∴a+b+3c的平方根为±5．【点睛】本题考查了平方根以及算术平方根，无理数的估算，熟练掌握基础知识，根据相关定义求出未知数的值是解本题的关键．6(2021春·广东湛江·七年级统考期末)已知实数x，y，z满足：y=x-3+3-x+4，z的平方根等于它本身，求x+y-z的值．【答案】5【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，根据平方根的定义求出z的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：由题意得，x-3≥0且3-x≥0，解得x≥3且x≤3，所以，x=3，y=4，∵z的平方根等于它本身，∴z=0，∴x+y-z=3+4-0=3+2=5【点睛】本题考查了算术平方根的被开方数是非负数，平方根和算术平方根的定义．求出x，y，z的值是解答本题的关键．7(2022春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末)已知a+5的平方根是±5，32b+32=4，求a+b的算术平方根．【答案】6【分析】先根据平方根，立方根的定义求出a，b的值，再求解．【详解】解：∵a+5的平方根是±5∴a+5=(±5)2，∴a=20，∵32b+32=4，∴2b+32=64，∴b=16，∴a+b的算术平方根为a+b=20+16=6．【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，理解定义是解题的关键．8(2022春·黑龙江大庆·七年级大庆市第六十九中学校考期末)已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5(1)求a，b的值；(2)求4a-6b的平方根．【答案】(1)a=233，b=2(2)±2423【分析】(1)运用立方根和算术平方根的定义求解即可；(2)先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答．【详解】(1)解：∵3b+3的平方根为±3，∴3b+3=9，解得b=2，∵3a+b的算术平方根为5，∴3a+b=25，∵b=2，∴a=233．(2)解：∵a=233，b=2，∴4a-6b=563，∴4a-6b的平方根为±2423．【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键．9(2022春·吉林长春·七年级统考期末)已知正数a+b-5的平方根是±3，a-b+4的立方根是2．(1)求a和b的值．(2)求5a+4b-1的立方根．【答案】(1)a=9，b=5(2)4【分析】(1)根据平方根、立方根的定义列式计算即可．(2)先计算5a+4b-1的值，再根据立方根的定义计算即可．(1)因为正数a+b-5的平方根是±3，a-b+4的立方根是2，所以a+b-5=32 a-b+4=23 ，解得a=9 b=5 ．故a的值为9，b的值为5．(2)因为a=9，b=5，所以5a+4b-1=64，43=64，所以5a+4b-1的立方根是4．【点睛】本题考查了平方根即若x2=a(a是非负数)，则称x是数a的平方根、立方根若x3=a，则称x是数a的立方根，熟练掌握定义是解题的关键．10(2022春·陕西宝鸡·七年级统考期末)若一个正数的两个平方根分别是2m和n，n的立方根是-2，求-n+2m的算术平方根．【答案】4【分析】根据一个正数的两个平方根分别是2m和n，可知2m和n互为相反数，即2m+n=0，再由n 的立方根是-2，可得n=-8，将n=-8代入2m+n=0得出m=4，进而可求-n+2m的算术平方根．【详解】解：∵一个正数的平方根是2m和n，∴2m+n=0，∵n的立方根是-2，∴n=-8，∴2m-8=0，∴m=4，∴-n+2m=8+2×4=16，16的算术平方根为4，∴-n+2m的算术平方根为4．【点睛】此题主要考查了平方根、立方根和算术平方根等知识，解题关键是求出m和n的值．11(2022春·四川广元·七年级统考期末)已知4a+3的立方根是3，3a-b的算术平方根是4，c是13的整数部分，求2a+b-2c的立方根．【答案】2【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法确定a、b、c的值，然后代入代数式求出值后，最后求立方根即可．【详解】解：∵4a+3的立方根是3，3a-b的算术平方根是4，c是13的整数部分，∴4a+3=27，3a-b=16，c=3∴a=6，b=2，c=3，∴2a+b-2c=8，8的立方根是2．答：2a+b-2c的立方根是2．【点睛】本题主要考查了立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算等知识点，根据题意确定a、b、c的值是解答本题的关键．12(2021春·甘肃金昌·七年级校考期末)已知5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求3a-b+c的平方根．【答案】±4【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【详解】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，∴5a+2=273a+b-1=16 ，，解得：a=5 b=2，∵c是13的整数部分，∴c=3，∴3a-b+c=16，3a-b+c的平方根是±4．【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．13(2022春·黑龙江佳木斯·七年级统考期末)已知a为17的整数部分，b-1是121的算术平方根，求a+b的值．【答案】4【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出a的值，进而结合算术平方根的定义得出b的值，即可得出答案．【详解】解：∵4<17<5，∴a=4．∵b-1是121的算术平方根，∴b-1=11，b=12，∴a+b=16=4．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小和算术平方根的求解，正确掌握相关定义是解题关键．14(2022春·山东滨州·七年级统考期末)(1)计算：94+3-18-|3-2|+(-2)2(2)若实数a+5的一个平方根是-3,-14b-a的立方根是-2，求a+b的值．【答案】(1)2(2)6【分析】(1)先计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可；(2)先利用平方根，立方根的含义求解a，b的值，再代入计算即可．(1)解：原式=32-12-3+2+2=2(2)解：∵a+5的一个平方根为-3，∴a+5=9，a=4，又∵-14b-a的立方根是-2，，∴-14b-a=-8，∴b=16，∴a+b=4+16=2+4=6【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算顺序与算术平方根与立方根的含义是解本题的关键．15(2022春·吉林四平·七年级统考期末)已知某正数的两个不同的平方根是3a-14和a+2；b+4的立方根为-2．求3a-b+4的平方根．【答案】±5【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值，根据平方根的定义求出3a-b+4的平方根．【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根是3a-14和a+2∴3a-14+a+2=0，∴a=3，∵b+4的立方根为-2，∴b+4=(-2)3=-8，∴b=-12，3a-b+4=3×3-(-12)+4=25，其平方根为±5．【点睛】本题考查的是平方根、立方根的定义，解题的关键是理解正数的平方根有两个，且互为相反数；会求平方根和立方根．16(2022春·山东德州·七年级统考期末)已知实数7-2x与2x-7互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为2，且m和n互为倒数，求2mn+x y-z2的平方根．【答案】±7【分析】根据二次根式的非负性和相反数的意义求出x，根据算术平方根的性质求出y，根据绝对值的性质求出z，根据相反数的意义求出mn，然后都代入2mn+x y-z2计算出结果即可．【详解】∵7-2x与2x-7互为相反数，∴7-2x+2x-7=0，∵7-2x≥0 2x-7≥0 ，∴2x-7=0，∴x=3.5，∵y的算术平方根为14，∴y=14，∵z的绝对值为2，∴z=±2，∴z2=2，∵m，n互为倒数，∴mn=1，∴原式=2+3.5×14-2=3.5×14=49，∴±49=±7．∴2mn+x y-z2的平方根是±7．【点睛】本题考查了二次根式的非负性，相反数，绝对值，倒数的性质，算术平方根和平方根的性质．注意算术平方根和平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．掌握以上知识是解题的关键．17(2022春·安徽芜湖·七年级校联考期末)已知a+b-2的平方根是±17，3a+b-1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．【答案】a+4b的平方根是±7【分析】根据平方根的定义解得a+b-2=17，由算术平方根的定义解得3a+b-1=36，联立两式成方程组，转化为解二元一次方程组即可解得a=9，b=10，继而求得a+4b的值，最后由平方根的定义解答．【详解】解：根据题意，得a+b-2=17，3a+b-1=36，解得a=9，b=10．∴a+4b=9+4×10=9+40=49．∴a+4b的平方根是±7．【点睛】本题考查平方根、算术平方根等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．18(2022春·陕西商洛·七年级校考期末)已知a-1的立方根是-2，b是16的算术平方根．(1)求a+b的值．(2)求-2a+3b-1的平方根．【答案】(1)-3(2)±5【分析】(1)运用平方根、立方根、算术平方根的定义，即可解出本题；(2)把(1)中求出的数值代入后，再求出结果的平方根即可．【详解】(1)由题意可知，a-1=-8，即a=-7，b=16=4，∴a+b=-7+4=-3．(2)当a=-7，b=4时，-2a+3b-1=-2×(-7)+3×4-1=25．∵±25=±5，∴-2a+3b-1的平方根为±5．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，区分三个概念是本题的关键．。

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：平方根、立方根和开立方知识网络重难突破知识点一平方根算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a 的平方根。

平方根的性质与表示：表示：正数a的平方根用表示，叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做a的负平方根。

性质：一个正数有两个平方根：（根指数2省略）且他们互为相反数。

0有一个平方根，为0，记作负数没有平方根平方根与算术平方根的区别与联系：【典型例题】1．（2019·迁安市期末）25的算术平方根是( ) A ．5B ．5±C ．5-D ．252．（2018·( ) A ．±3B ．3C ．9D ．813．（2020·的值在（ ） A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间4．（2020·沈阳市第七中学初二期末）9的平方根是（ ） A ．±3B ．3C ．±4.5D ．4.55．（2020·东营市期末）16的平方根是（ ） A ．±4B ．±2C ．4D ．﹣46．（2020·沭阳县外国语实验学校初二期末）下列说法正确的是（ ）A ．（﹣3）2的平方根是3B ±4C ．1的平方根是1D ．4的算术平方根是27．（2019·=4，那么x 等于（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±8．（2020·河南省实验中学初二期中）已知一个正数的两个平方根分别为35a -和7a -,则这个正数的立方根是( ) A ．4B ．3C ．2D ．19．（2020·宝鸡市期末）一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+，则a 的值为( ) A ．-1B ．1C ．-2D ．210．（2020·南京市期末）面积为13的正方形的边长是（ ） A ．13的平方根B ．13的算术平方根C ．13开平方的结果D ．13的立方根11．（2019·恩施市期末）已知(x +1)2= 16 ，则 x 的值是（ ） A ．3B ．7C ．3 或-5D ．7 或-812．（2020·银川市期末）“1625的算术平方根是45”，用式子表示为( )A ．＝±45B ＝±45C ．1625＝45D ．±1625＝4513．（2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中）下列运算中错误的有（ ） ①164,=②366497=±，③233-=-，④23±＝3 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个14．（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）若x 是9的算术平方根，则x 是（ ） A ．3B ．－3C ．9D ．8115．（2020·贵港市期末）若a 2＝4，b 2＝9，且ab ＜0，则a ﹣b 的值为（ ） A ．﹣2B ．±5C ．5D ．﹣5知识点二 立方根和开立方立方根概念：如果一个数的立方等于，即那么x 叫做的立方根或三次方根，表示方法：数a 的立方根记作，读作三次根号a立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。

专题05 平方根、立方根和开立方（专题测试-基础） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、 填空题（共12小题，每小题4分，共计48分）1．（2018·北京师大附中初一期中）下列说法中正确的有（ ）①负数没有平方根，但负数有立方根；②一个数的立方根等于它本身，则这个数是0或1； ③2(5)5-=-；④327的平方根是3±；⑤a -一定是负数A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2018·烟台市期末）若=3，则a 的值为（ ） A ．3 B ．±3 C ． D ．﹣33．（2020·烟台市期末）的平方根是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2018·信阳市期末）估算415+的运算结果应在（ ）A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间5．（2019·咸阳市期中）若(m -1)2+2n +＝0，则m ＋n 的值是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．26．（2019·西藏自治区左贡县中学初一期末）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间7．（2019·保定市期末）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a 2的算术平方根是a ；④（π-4）2的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数.其中，不正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8．（2018·玉林市期中）下列各式正确的是( )A ．0.360.6±=±B ．93=±C ．33(3)3-=D ．2(2)2-=-9．（2018·南通市期中）下列说法：①－64的立方根是4，②49的算数平方根是±7，③127的立方根是13,④116的平方根是14，其中正确说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 10．（2019·右玉县期末）下列说法不正确的是( )A ．4是16的算术平方根B ．53是259的一个平方根C ．2(6)-的平方根6-D ．3(3)-的立方根3-11．（2019·阜阳市期中）平方根和立方根都是本身的数是（ ）A ．0B ．0和1C ．±1D ．0和±112．（2020·沈阳市期中）下列说法不正确的是( )A ．125的平方根是±15B ．﹣9是81的一个平方根C ．0.2的算术平方根是0.04D ．﹣27的立方根是﹣3 二、 填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）13．（2020·宁波市期末）若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．14．（2019·铁岭市期中）已知x ，y 都是实数，且y ＝3x -＋3x -＋4，则y x ＝________.15．（2018·广州大学附属中学初一期末）若x 的立方根是14-，则x=_____. 16．（2020·福建南安华侨中学初二期末）64的平方根是__________，算术平方根是________，64-的立方根是__________.17．（2019·秦皇岛市期中）若264x =，则3x =______.三、 解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）18．（2017·广东中山纪念中学初一期中）已知实数2a-1的平方根是，，求a+b 和的平方根 19．（2019·兰州市期中）已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求：3a-4b 的平方根． 20．（2018·南昌市期末）已知5a ﹣1的算术平方根是3，3a+b ﹣1的立方根为2.（1）求a 与b 的值；（2）求2a+4b 的平方根．21．（2019·合肥市期中）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t (h)可以用下面的公式来估计:t 2=3900d ,其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)?。

【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。

=5，错误!未找到引用源。

=50。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

第05练平方根与立方根知识点一：平方根、算术平方根1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．3.算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

知识点二：立方根1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a．2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．总结：类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==一、单选题1．下列各式正确的是（ ） A ．2(2)4-= B 42=±C ．224-=D 382-=【答案】A 【解析】 【分析】任何一个负数的平方都是正数，A 选项正确；非负数的算术平方根仍为非负数，B 选项错误；2-2表示22的相反数，结果为-4，C 选项错误；一个负数的立方根仍为负数，D 选项错误．【详解】解：A 、2(2)4-=，选项正确，符合题意；B 2=，故选项错误，不符合题意；C 、224-=-，故选项错误，不符合题意；D 2=-，故选项错误，不符合题意． 故选：A ． 【点睛】本题考查了平方、算术平方根、立方根等知识，理解定义和正确的计算是解决本题的关键．20=，则x 2022+y 2021的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性可得x -1=0，x +y =0，进而可求出x 2022+y 2021． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可得： x −1=0，x +y =0， ∴x =1，y =-1， ∴x 2022+y 2021=1-1=0， 故选：A ． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．3是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请1的值所在的范围是（ ） A ．0和1之间 B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间【答案】B 【解析】 【分析】1的值在1和2之间． 【详解】<∴23<<，∴112<，故选B ． 【点睛】此题考查了无理数的大小，估算出5的值是解题的关键．4．有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入的9x =时，输出y 的值是（ ）A ．3B 3C ．3-D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用求算术平方根，判断结果是否为无理数，是就输出即可． 【详解】解：当9x =93，是有理数， 3 ∴3y = 故选：B 【点睛】本题考查的是算术平方根，无理数，解题的关键是算出算术平方根进行判断． 5．已知{}min ,,a b c 表示取三个数中最小的那个数，例加：min{1,2,3}3---=-，当{}21min,,81x x x =时，则x 的值为（ ） A ．181B ．127C ．13D ．19【答案】D 【解析】 【分析】2,,x x x 都小于1且大于0，根据平方根求得x 的值即可求解． 【详解】 解：∵{}21min,,81x x x =2,,x x x 都小于1且大于02x x ∴<<2181x ∴=19x ∴=（负值舍去） 故选D 【点睛】2,x x 的范围是解题的关键．6．已知342＝1156，352＝1225，362＝1296，372＝1369，若n 为整数且n n ＋1，则n 的值为（ ） A ．34 B ．35C ．36D ．37【答案】C 【解析】 【分析】【详解】解：∵362＝1296，372＝1369，且1296＜1334＜1369，∴3637，∵n 为整数且n n +1， ∴n =36， 故选：C ． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 二、填空题7．已知正数x 的两个平方根是23m -和317m -，则=m _____． 【答案】4 【解析】 【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此可得关于m 的一元一次方程，解一元一次方程可得m 的值． 【详解】解：∵正数x 的两个平方根是23m -和317m -， ∴233170-+-=m m ， 解得：=4m ，故答案为：4【点睛】此题主要考查了平方根的定义：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，一元一次方程．+=___________．8．已知a，b是两个连续整数，且1a b<<，则a b【答案】7【解析】【分析】根据a，b111<，可以求出a，b的值，再代入代数式求解即可．【详解】<<<<，111即314<，a，b为连续的整数，1<<，a b∴3b=，a=，4∴+=+=．a b347故答案为：7．【点睛】本题主要考查了估计无理数的大小，代数式求值，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．9．已知m=m有⨯=．设n1的整数，则n的最小值为______，最大最小值3721值为______．【答案】 3 75【解析】【分析】根据n为正整数，1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，是大于1的整数来求解．【详解】==1的整数，∴3003101n n=>． ∵n 为正整数∴n 的值可以为3、12、75， n 的最小值是3，最大值是75． 故答案为：3；75． 【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．10．如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．根据此规律，则第n 个图中的c =______．【答案】()124nn -+ 【解析】 【分析】通过观察图形可得出()112nn a -=-，2b a =，4c b =+，代入即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知：()112nn a -=-，2b a =，4c b =+，∴()()1221212n nn n b a -==⨯-=-， ∴()4124nn c b =+=-+． 故答案为：()124n n -+． 【点睛】本题考查了数字变化规律型题．关键是由特殊到一般，找出数字算式运算规律． 11．若y 21x -12x -x 223x y +- _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据被开方数非负性即可求出x 、y 的值，再代入计算即可．【详解】∵y x，∴210120xx-≥⎧⎨-≥⎩，解得12x=∴3y=2===故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根的非负性以及求一个数的算术平方根，熟记被开方数非负性是解题的关键．12a3+5a2﹣4的值为_____．【答案】12【解析】【分析】0，再利用立方根的意义进行整理，最后利用整体代入的方法即可求得答案．【详解】∴a+1＝﹣（a2﹣5）．∴a2+a＝4．∴a3+a2＝4a．∴a3＝﹣a2+4a．∴a3+5a2﹣4＝﹣a2+4a+5a2﹣4＝4a2+4a﹣4＝4（a2+a）﹣4＝4×4﹣4＝12．故答案为：12.【点睛】本题考查的相反数的应用，立方根的应用，解题的关键是在于整理出所需形式，利用整体代入求解． 三、解答题134【答案】6【解析】 【分析】根据二次根式的乘法、绝对值的意义、立方根的定义先进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】443=543=+6=-【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握平方根的定义、绝对值的意义、立方根的定义，是解题的关键． 14．计算：－5；110【答案】(1)2 (2)-3.7 【解析】 【分析】（1）先进行算术平方根及立方根、绝对值的化简，然后进行加减运算即可； （2）先进行算术平方根的化简，然后进行加减运算即可． (1)解：原式＝9－4＋2－5 ＝2． (2)原式＝13×0.9－2×52＋110×10 ＝0.3－5＋1＝－3.7． 【点睛】题目主要考查算术平方根及立方根、绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 15．已知21a -的平方根是3±，39a b ++的立方根是3，求2+a b 的算术平方根．【解析】 【分析】利用平方根及立方根的定义，求出a 、b 的值，即可求出2+a b 的算术平方根． 【详解】解：∵21a -的平方根是3±， ∴219a -=， ∴a ＝5，∵3a ＋b ＋9的立方根是3， ∴3927a b ++=， ∴35927b ⨯++=， ∴3b =，∴25235611a b +=+⨯=+=，∴11 【点睛】本题主要考查的是平方根及立方根的定义，掌握其定义及运算是解题的关键．160.1=1=10=100=，……(1)=________；(2) 1.414=141.4=用含x 的代数式表示y ，则y =________；(3)a 的大小情况． 【答案】(1)0.01 (2)10000x(3)当0<a <1a ；当a =1或a =0a ；当a >1 a 【解析】 【分析】（1）根据被开方数a（2）根据被开方数a x 、y 的关系，进而求解．（3）分三种情况：①当0<a <1时，②当a =1或a =0时，③当a >1时，分别求解即可．(1)0.1=1=10=100=，=0.01，故答案为：0.01；(2)10=100=，1.414=141.4∴y =10000x ，故答案为：10000x ；(3)解：分三种情况：①当0<a <1时，0.1=，a ；②当a =1或a =0时，1a ；③当a >1时，10=100，a ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小、规律型-数字的变化，算术平方根，解决本题的关键是观察被开方数a1723，22．问题：已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c_______；(2)求2a b c +-的平方根．【答案】3(2)3±【解析】【分析】(1)根据34=<33；(2)根据52a +的立方根是3得到3523a +=求出5a =；根据31a b +-的算术平方根是4求出5a =，最后代入2a b c +-中求出平方根即可．(1)解：∵34==，3，即c =3，3．3；(2)解：∵52a +的立方根是3，∴3523a +=，解得5a =，∵31a b +-的算术平方根是4，∴2314a b +-=，代入5a =，解得2b =，∴225239a b c ，∴2a b c +-的平方根为3±．【点睛】本题考察了无理数的估值及平方根、立方根的概念等，属于基础题，熟练掌握平方根、立方根的概念是解题的关键．18．材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5-2得来的；材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如23<，<．根据上述材料，回答下列问题：________．小数部分是_________．(2)99a b <，求a b +的值．(3)2x y =+，其中x 是整数，且01y <<，请求出2x y -的相反数．【答案】(1)4；(2)21．【解析】【分析】（1（2）估算无理数3的大小，进而确定93+的大小，确定a 、b 的值，再代入计算即可； （3）估算无理数30的大小，进而确定302-的大小，确定x 、y 的值，再代入计算即可．(1)解：∵162325,<<即4235,<<∴23的整数部分是4，小数部分是23-4，故答案为：4，23-4．(2)解：∵1＜3＜2，∴10＜9+3＜11，∵9+3是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a ＜9+3＜b ，∴a =10，b =11，∴a +b =21．(3)解：∵5＜30＜6，∴3＜30-2＜4，∵30-2=x +y ，其中x 是整数，且0＜y ＜1，∴30-2的整数部分为3，小数部分为30-2-3=30-5，即x =3，y =30-5，∴2x -y 的相反数为y -2x =30-5-6=30-11，∴2x -y 的相反数为30-11．【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．1．下面给出的结论中，①立方根等于算术平方根的是0；②在同一个平面内，经过一点可2a a =；④若29a =，则3a =；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；⑦若a ∥b ，a c ⊥，那么b c ⊥；⑧4±16 ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】B【解析】【分析】根据立方根与平方根的定义可以判断①③④⑧，根据平行线的性质与垂线的性质可以判断②⑥，根据邻补角与角平分线的定义可以判断⑤，根据平行线的性质可以判断⑦，平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根．【详解】解：①立方根等于算术平方根的是0和1，故①不正确，②在同一个平面内，经过一点可以画一条直线和已知直线平行，故②正确；a =，故②不正确，④若29a =，则3a =±，故③不正确，⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，故⑤正确；⑥同一平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，⑥不正确，⑦若a ∥b ，a c ⊥，那么b c ⊥，⑦正确⑧2±有5个不正确，故选B【点睛】本题考查了立方根与平方根的定义，平行线的性质与垂线的性质，邻补角与角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．2．在数轴上，点M ，N 分别表示数m ，n ，则点M ，N 之间的距离为|m ﹣n |．（1）若数轴上的点M ，N 分别对应的数为2，则M ，N 间的距离为 ___，MN 中点表示的数是 ___．（2）已知点A ，B ，C ，D 在数轴上分别表示数a ，b ，c ，d ，且|a ﹣c |＝|b ﹣c |＝23|d ﹣a |＝1（a ≠b ），则线段BD 的长度为 ___．【答案】 2 1##112或72 【解析】【分析】（1）直接根据定义，代入数字求解即可得到两点间的距离；根据两点之间的距离得出其一半的长度，然后结合其中一个端点表示的数求解即可得中点表示的数；（2）先根据|a ﹣c |＝|b ﹣c |与a ≠b 推出C 为AB 的中点，然后根据题意分类讨论求解即可．【详解】解：（1）由题意，M ，N 间的距离为(222==；∵2MN =， ∴112MN =， 由题意知，在数轴上，M 点在N 点右侧， ∴MN 的中点表示的数为21-+；（2）∵1a c b c -=-=且a b ，∴数轴上点A 、B 与点C 不重合，且到点C 的距离相等，都为1，∴点C 为AB 的中点，2AB =，∵213d a -=，∴32d a -=，即：数轴上点A 和点D 的距离为32，讨论如下：1>若点A 位于点B 左边：①若点D 在点A 左边，如图所示：此时，37222BD AD AB =+=+=；②若点D 在点A 右边，如图所示：此时，31222BD AB AD =-=-=；2>若点A 位于点B 右边：①若点D 在点A 左边，如图所示：此时，31222BD AB AD =-=-=；②若点D 在点A 右边，如图所示：此时，37222BD AD AB =+=+=；综上，线段BD 的长度为12或72，故答案为：2；1；12或72． 【点睛】 本题考查数轴上两点间的距离，以及与线段中点相关的计算问题，理解数轴上点的特征以及两点间的距离表示方法，灵活根据题意分类讨论是解题关键．3．解决问题：已知a 3的整数部分，b 3的小数部分．（1）求a ，b 的值；（2）求()()324a b -++的平方根，提示：217=．【答案】（1）1a =，4b =；（2）±4 【解析】【分析】(1)a ，b 的值即可；(2)把a ，b 的值代入求出式子的值，再求平方根即可．【详解】解:(1)∴45<，∴132<<，∴1a =，4b =；(2)()()())2323414411716a b -++=-++=-+=，∴()()324a b -++的平方根是：4±．【点睛】本题考查了算术平方根的估算和求平方根，解题关键是准确的确定一个数的算术平方根的整数部分和小数部分，注意：一个正数的平方根有两个．4．（1）利用求平方根、立方根解方程：①3x 2=27 ②2（x ﹣1）3+16=0．（2）观察下列计算过程，猜想立方根．13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：= ； = ；③= ．【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81．【解析】【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解；（2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可．【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．（2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由33<<，201900030猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27-0.81．=；7249故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．。

平方根立方根测试题在数学中，平方根和立方根是常见的运算，通过对一个数进行开方或开立方运算，我们可以得到它的平方根或立方根。

平方根表示一个数被平方后得到的结果，而立方根表示一个数被立方后得到的结果。

本文将介绍平方根和立方根的概念、计算方法以及它们在数学中的应用。

一、平方根平方根是指一个数被平方后得到的结果。

对于一个非负数 a，其平方根记作√a 或 a^0.5。

其中，√a 表示对 a 进行平方根运算，a^0.5 表示a 的平方根。

平方根的计算可以通过手算或使用科学计算器等工具进行。

下面举例说明平方根的计算方法：1. 计算平方根的方法：例如，我们要计算数 9 的平方根。

根据定义，√9 表示找到一个数 x，使得 x^2 = 9。

因此，我们可以发现这个数是 3，因为 3^2 = 9。

所以，√9 = 3。

同样地，我们可以计算其他数的平方根，如√16 = 4、√25 = 5 等。

需要注意的是，对于负数来说，它的平方根是虚数，不在本文的范围内。

2. 平方根的性质：平方根具有一些重要的性质：- 非负数的平方根一定是非负数。

- 平方根的运算满足开方的法则，例如√(ab) = √a × √b。

二、立方根立方根是一个数被立方后得到的结果。

对于一个数 a，其立方根记作³√a 或 a^(1/3)。

立方根的计算与平方根类似，即找到一个数 x，使得x^3 = a。

下面举例说明立方根的计算方法：1. 计算立方根的方法：例如，我们要计算数 8 的立方根。

根据定义，³√8 表示找到一个数x，使得 x^3 = 8。

我们可以发现这个数是 2，因为 2^3 = 8。

所以，³√8 = 2。

同样地，我们可以计算其他数的立方根，如³√27 = 3、³√64 = 4 等。

2. 立方根的性质：立方根也具有一些重要的性质：- 非负数的立方根一定是非负数。

- 立方根的运算满足开立方的法则，例如³√(abc) = ³√a × ³√b × ³√c。

平方根与立方根练习提高初二数学上册平方根与立方根的计算水平平方根和立方根是数学中常见的运算，它们在初二数学上册中也是重要的内容。

熟练地计算平方根和立方根不仅有助于提高数学运算能力，还能帮助我们更好地理解数学概念。

本文将通过一些练习题来帮助提高初二数学上册平方根与立方根的计算水平。

1. 平方根的计算平方根是一个数的平方等于它的平方根。

比如，√9 = 3，因为3² = 9。

我们可以使用平方根的性质来计算平方根。

下面是一些练习题：(1) 计算√16 = ?解：√16 = 4，因为4² = 16。

(2) 计算√25 = ?解：√25 = 5，因为5² = 25。

(3) 计算√36 = ?解：√36 = 6，因为6² = 36。

通过这些简单的练习题，我们可以熟悉平方根的计算方法，并提高计算水平。

2. 立方根的计算立方根是一个数的立方等于它的立方根。

比如，³√27 = 3，因为3³ = 27。

和平方根类似，我们可以使用立方根的性质来计算立方根。

下面是一些练习题：(1) 计算³√8 = ?解：³√8 = 2，因为2³ = 8。

(2) 计算³√27 = ?解：³√27 = 3，因为3³ = 27。

(3) 计算³√64 = ?解：³√64 = 4，因为4³ = 64。

通过这些练习题，我们可以进一步巩固立方根的计算能力。

3. 平方根和立方根的运算规律平方根和立方根在数学运算中有一些特定的规律。

了解和掌握这些规律可以帮助我们更快地计算平方根和立方根。

下面是一些例子：(1) 平方根的乘法规律：√(a × b) = √a × √b例如，√(4 × 9) = √(4) × √(9) = 2 × 3 = 6(2) 立方根的乘法规律：³√(a × b) = ³√a × ³√b例如，³√(2 × 8) = ³√(2) × ³√(8) = 2 × 2 = 4(3) 平方根的除法规律：√(a ÷ b) = √a ÷ √b例如，√(9 ÷ 4) = √(9) ÷ √(4) = 3 ÷ 2 = 1.5(4) 立方根的除法规律：³√(a ÷ b) = ³√a ÷ ³√b例如，³√(8 ÷ 2) = ³√(8) ÷ ³√(2) = 2 ÷ ³√2掌握了这些运算规律，我们可以更加灵活地进行平方根和立方根的计算。