第11章
OLS 用于时间序列数据的其他问题11.1复习笔记
一、平稳和弱相关时间序列
1．平稳和非平稳时间序列
平稳时间序列过程，就是概率分布在如下意义上跨时期稳定的时间序列过程：如果从这个序列中任取一个随机变量集，并把这个序列向前移动h 个时期，那么其联合概率分布仍然保持不变。
（1）平稳随机过程
对于随机过程{ 1 2 }t x t =：，，…，如果对于每一个时间指标集121m t t t ≤<<⋅⋅⋅<和任意整数h≥1，()12m t t t x x x ⋅⋅⋅，，，的联合分布都与()
12 m t h t h t h x x x ++⋅⋅⋅＋，，，的联合分布相同，那么这个随机过程就是平稳的。
这种平稳经常称为严平稳，它是从概率分布的角度去定义的。
其含义之一是（取m＝1和t 1＝1）：对所有t＝2，3,…,x 1与x t 都有相同的分布。
序列{ 1 2 }t x t =：，，…是同分布的。
不平稳的随机过程称为非平稳过程。
因为平稳性是潜在随机过程而非其某单个实现的性质，所以很难判断所搜集到的数据是否由一个平稳过程生成。
但是，要指出某些序列不是平稳的却很容易。
（2）协方差平稳过程（宽平稳，弱平稳）
对于一个具有有限二阶矩()2t E x ⎡⎤∞⎣⎦＜的随机过程{ 1 2 }t x t =：，
，…，若：（i）E（x t ）为常数；（ii）Var（x t ）为常数；（iii）对任何t，h≥1，Cov（x t ，x t＋h ）仅取决于h，而不取决于t，那它就是协方差平稳的。
协方差平稳只考虑随机过程的前两阶矩：这个过程的均值和方差不随着时间而变化，而且，x t 和x t＋h 的协方差只取决于这两项之间的距离h，与起始时期t 的位置无关。
由此立即可知x t 与x t＋h 之间的相关性也只取决于h。
如果一个平稳过程具有有限二阶矩，那么它一定是协方差平稳的，但反过来未必正确。
由于严平稳的条件比较苛刻，在实际中从概率分布的角度去验证是无法实现的，所以在实际运用中所指的平稳都是指宽平稳，即协方差平稳。
一个时间序列是严平稳的不一定是宽平稳，只有当它的二阶矩存在时，才是宽平稳。
2．弱相关时间序列
（1）弱相关
对于一个平稳时间序列过程{ 1 2 }t x t =：，，…，若随着h 无限增大，x t 和x t＋h “近乎独立”，则称之为弱相关的。
对于协方差平稳序列，可以用相关系数来刻画弱相关：如果随着h →∞，x t 和x t＋h 之间的相关系数“足够快”地趋于0，这个协方差平稳的时间序列就是弱相关的。
换言之，随着变量在时间上的距离变大，它们之间的相关系数变得越来越小。
随着h →∞，()Corr 0t t h x x →＋，的协方差平稳序列被称为渐近无关的。
（2）弱相关对回归分析重要的原因
本质上，它取代了能使大数定律（LLN）和中心极限定理（CLT）成立的随机抽样假定。
对于时间序列数据，中心极限定理要求平稳性和某种形式的弱相关，因此，在多元回归分析中使用平稳而又弱相关的时间序列最为理想。
（3）弱相关时间序列的例子
①独立同分布序列：一个独立序列无疑是弱相关序列。
②弱相关的例子是：MA（1）过程
11 1 2 t t t x e e t α-=+=，，，…
其中，()0 1 t e t =：，
，…是均值为0和方差为2e σ的独立同分布序列。
过程{}t x 被称为一阶移动平均过程[movingaverageprocessoforderone，MA（1）]：x t 是e t 和e t－1的一个加权平均；在下一期，去掉e t－1，x t＋1便取决于e t＋1和e t 。
MA（1）过程是弱相关的原因是序列中相邻两项之间是相关的：因为
111t t t
x e e α++=+()()2
111Cov Var t t t e x x e αασ+==，又因为
()()22
1Var 1t e x ασ=+所以
()()
2111Corr /1t t x x αα+=+，但是序列中距离在两期和两期以上的变量时，因为它们是相互独立的，所以显然无关。
因此，MA（1）是平稳弱相关的。
③AR（1）过程：
11 1 2 t t t y y e t ρ=+⋯
－，＝，，序列的初始点是y 0（t＝0），且（e t ：t＝1，2，…）是均值为0和方差为2e σ的独立同分布序列。
假定e t 独立于y 0和E（y 0）＝0。
上式被称为一阶自回归过程[AR（1）]。
将上式进行迭代得到：
21111211211111111()........t h t h t h t h t h t h t h t h t h
h h t t t h t h
y y e y e e y e e y e e e ρρρρρρρρ++-++-+-++-+-+-++-+=+=++=++==++++
因为E（y t ）＝0，所以：
()()()()()()2122
11111,....h h h h t t h t t h t t t t t h t y Cov y y E y y E y E y e E y e E y ρρρρσ-++++==+++==y t 和y t＋h 的相关系数为：
()()()1,,/h
t t h t t h y y Corr y y Cov y y σσρ++==AR （1）过程弱相关的一个关键假定是稳定性条件11ρ<。
一旦条件满足，随着h →∞，10h ρ→，称{)t y 是一个稳定的AR（1）过程，是弱相关的。
若一个序列是弱相关的，而且围绕着其时间趋势是平稳的，则可以称为趋势—平稳过程。
二、OLS 的渐近性质
1．假定TS.1＇（线性与弱相关）
除了增加假定(){}1 2t t x y t =⋯，：，
是平稳和弱相关的芝外，假定TS.1＇和假定TS.1完全相同。
具体而言，大数定律和中心极限定理可适用于样本均值。
线性于参数的要求意味着可以把模型写成：
011t t k tk t
y x x u βββ=++⋅⋅⋅++其中j β是待估参数，x tj 可以包含滞后因变量与解释变量的滞后项。
2．假定TS.2＇（无完全共线性）
在样本中（并因而在潜在的时间序列过程中），没有任何自变量是恒定不变的，或者是其他自变量的一个完全线性组合。
3．假定TS.3＇（零条件均值）
解释变量()12 t t t tk X x x x =⋯，
，，是同期外生的：()|0t t E u X =。
4．定理11.1（OLS 的一致性）
在假定TS.1＇、TS.2＇和TS.3＇成立时，OLS 估计量是一致的：ˆplim j j
ββ=，0 1 j k =⋯，，，。
定理10.1和定理11.1之间有一些关键的区别：
（1）在定理11.1中，得到OLS 估计量的一致性结论，但并不一定是无偏的。
（2）在定理11.1中，弱化了解释变量必须外生的假定，转而要求潜在的时间序列是弱相关的。
5．假定TS.4＇（同方差）
误差是同期同方差的，即对所有的t，都有
()2
Var |t t u x σ=6．假定TS.5＇（无序列相关）
对所有的t s ≠，有
()|,0
t s t s E u u x x =7．定理11.2（OLS 的渐近正态性）
在假定TS.1＇～TS.5＇下，OLS 估计量是渐近正态分布的。
而且，通常的OLS 标准误、
t 统计量、F 统计量和LM 统计量是渐近确当的。
即使经典线性模型假定不成立，OLS 依然是一致的，通常的推断程序也是确当的。
它的前提是假定TS.1＇～TS.5＇都成立。
三、回归分析中使用高度持续性时间序列
1．高度持续性时间序列
（1）随机游走
①定义
在简单的AR（1）模型11 1 2 t t t y y e t ρ=+=⋅⋅⋅－，，，中，假定11ρ<能保证序列的是弱相关和平稳的。
事实表明，许多经济时间序列最好用11ρ=的AR（1）模型来刻画。
这时，可以写成：
1 1
2 t t t y y e t =+=⋅⋅⋅
－，，，假定()1 2 t e t =⋯：，
，是均值为0和方差为2e σ的独立同分布序列。
假定初始值y 0是独立于e t （t≥1）的。
上式的过程被称为一个随机游走。
在这个过程中，t 时期的y 等于上一期值y t－1加上一个独立于y t－1的零均值随机变量。
②随机游走的期望值
利用反复迭代很容易得到：
110
t t t y e e e y =++⋅⋅⋅++－两边取期望值，便得到：
()()()()()()11001
t t t E y E e E e E e E y E y t =++⋅⋅⋅++=∀≥－，因此，随机游走的期望值不取决于t 0。
