高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2_2

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数（第1课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的平均变化率

求平均变化率的主要步骤是：

(1)计算Δy：计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．

(2)计算Δx：计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.

(3)结论：平均变化率ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0.

【典型例题1】已知函数f(x)＝3x2＋2.

(1)求在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；

(2)求当x0＝2，Δx＝0.1时的平均变化率；

(3)若令x′0＝x0＋Δx(x0＝2，Δx＝0.1)，分析(2)中的平均变化率的几何意义．

思路分析：解答本题要紧扣平均变化率的定义，先求Δy，Δx，再求ΔyΔx.

解：(1)∵f(x)＝3x2＋2，∴f(x0)＝3x02＋2，f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3x02＋6x0·Δx＋3(Δx)2＋2.

∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0·Δx＋3(Δx)2.

∴f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为ΔyΔx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.

(2)当x0＝2，Δx＝0.1时，平均变化率为ΔyΔx＝6×2＋3×0.1＝12.3.

(3)ΔyΔx＝f(x′0)－f(x0)x′0－x0＝f(2.1)－f(2)2.1－2，它表示曲线f(x)＝3x2＋2上点A(2,14)，B(2.1,15.23)连线的斜率．

【典型例题2】已知某运动物体的位移公式为s＝s(t)＝12t2，求该运动物体在第2 s后的0.1 s内的平均速度．(位移单位：m，时间单位：s)

解：∵Δs＝s(2＋0.1)－s(2)，

∴Δs＝12×2.12－12×22＝0.205.

∴ΔsΔt＝0.2050.1＝2.05，即v＝ΔsΔt＝2.05(m/s)．

探究二 求瞬时速度

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤

1 §1.1.2 导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数。

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

（一）、情景引入，激发兴趣

【教师引入】 ：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。

(二)、探究新知，揭示概念

教学环节 内 容 师生活动 设计意图

复

习

引

入

提

出

问

题

【回顾1】

当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为：105.69.4)(2tttH，问在2秒时运动员的瞬时速度为多少？

【回顾2】

已知曲线C是函数105.69.4)(2xxxf的图象,求曲线上点P),(00yx处的切线斜率.

【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？

学生相互交流探讨瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处.

针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.

2

类

比

探

索

形

成

概

念

①归纳共性 揭示本质

研究

对象 求解问题 求解方法 本质 思想

具体例子 物体运动规律

H=h(t) 物体在0t时

的瞬时速度 求时间

增量t 求位移

增量h 求平均

速度th 求瞬时速度

vtht0lim 平均速度

的极限 极限

思想

曲线

y=f(x) 曲线上P),(00yx

1 1.1.1-1.1.2 导数的概念

[课时作业]

[A组 基础巩固]

1．自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )

A．在区间[x0，x1]上的平均变化率

B．在x0处的变化率

C．在x1处的变化量

D．在区间[x0，x1]上的导数

解析：根据平均变化率的概念知，选A.

答案：A

2．函数f(x)在x0处可导，则limh→0

fx0＋h－fx0h( )

A．与x0，h都有关

B．仅与x0有关，而与h无关

C．仅与h有关，而与x0无关

D．与x0，h均无关

解析：由导数的概念可知，limh→0 fx0＋h－fx0h＝

f′(x0)，仅与x0有关，与h无关．故选B.

答案：B

3．已知函数y＝f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则limΔx→0

ΔyΔx等于( )

A．2 B．2x

C．2＋Δx D．2＋Δx2

解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy)，

∴2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2.

∴Δy＝(Δx)2＋2Δx.∴ΔyΔx＝2＋Δx.

∴limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.故选A.

答案：A

4．若f′(x0)＝－3，则limh→0 fx0＋h－fx0－hh＝( )

A．－3 B．－6 2 C．－9 D．－12

解析：由题意可得：

limh→0

fx0＋h－fx0－hh

＝limh→0 fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－hh

＝limh→0 fx0＋h－fx0h＋limh→0 fx0－h－fx0－h

＝f′(x0)＋f′(x0)

＝2f′(x0)＝－6.

答案：B

5．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )

A．圆 B．抛物线

C．椭圆 D．直线

解析：当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数（第1课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的平均变化率

求平均变化率的主要步骤是：

(1)计算Δy：计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．

(2)计算Δx：计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.

(3)结论：平均变化率ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0.

【典型例题1】已知函数f(x)＝3x2＋2.

(1)求在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；

(2)求当x0＝2，Δx＝0.1时的平均变化率；

(3)若令x′0＝x0＋Δx(x0＝2，Δx＝0.1)，分析(2)中的平均变化率的几何意义．

思路分析：解答本题要紧扣平均变化率的定义，先求Δy，Δx，再求ΔyΔx.

解：(1)∵f(x)＝3x2＋2，∴f(x0)＝3x02＋2，f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3x02＋6x0·Δx＋3(Δx)2＋2.

∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0·Δx＋3(Δx)2.

∴f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为ΔyΔx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.

(2)当x0＝2，Δx＝0.1时，平均变化率为ΔyΔx＝6×2＋3×0.1＝12.3.

(3)ΔyΔx＝f(x′0)－f(x0)x′0－x0＝f(2.1)－f(2)2.1－2，它表示曲线f(x)＝3x2＋2上点A(2,14)，B(2.1,15.23)连线的斜率．

【典型例题2】已知某运动物体的位移公式为s＝s(t)＝12t2，求该运动物体在第2 s后的0.1 s内的平均速度．(位移单位：m，时间单位：s)

解：∵Δs＝s(2＋0.1)－s(2)，

∴Δs＝12×2.12－12×22＝0.205.

∴ΔsΔt＝0.2050.1＝2.05，即v＝ΔsΔt＝2.05(m/s)．

探究二 求瞬时速度

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤