2021届陕西省西安交大附中高三上学期期中考试理科数学试卷

陕西省2021版高三上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·孝义模拟) 已知集合，，全集，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·自贡模拟) 若（其中为虚数单位），则复数的虚部是（）A .B .C .D . 23. （2分） (2015高二下·三门峡期中) 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A . y=2x3B . y=|x|+1C . y=﹣x2+4D . y=（）|x|4. （2分）已知O为坐标原点，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A . 2B . 3C .D .5. （2分） (2016高二下·衡阳期中) 某几何体的三视图都是全等图形，则该几何体一定是（）A . 球体B . 长方体C . 三棱锥D . 圆锥6. （2分）已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·清远期末) 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）A .B .C .D .8. （2分）(2016·黄山模拟) 如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A . 2B . 3C . 4D . 59. （2分） (2019高三上·河北月考) 已知实数，满足，则的最大值为（）A . 4B . 6C . 8D . 1010. （2分） (2017高二上·集宁月考) 直线与椭圆相交于A,B两点,椭圆上的点P使△ABP的面积等于12,这样的点P共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2分）北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A . 25B . 32C . 60D . 10012. （2分） (2017高二下·武汉期中) 若曲线f（x，y）=0上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的自公切线，则下列方程对应的曲线中存在自公切线的为（）①y=x2﹣|x|+1；②y=sinx﹣4cosx；③ ；④ ．A . ②③B . ①②C . ①②④D . ①②③二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高一下·浦东期中) 若且，则 =________.14. （1分）(2017·凉山模拟) 抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，则直线AF的斜率为________．15. （1分）(2020·沈阳模拟) 已知等差数列的前n项和为，且， .数列中，， .则 ________.16. （2分） (2020高二上·浙江开学考) 已知函数，则 ________；的零点为________.三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2019高二上·宝坻月考) 设数列的前n项为，点，均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式．（2）设，求数列的前n项和 .18. （10分）如图四边形ABCD为正方形，BG，DE，AF两两平行且BG=DE= AF= AB，又AF垂直底面ABCD．（1）求证：CG∥平面ADEF；（2）记正方形ABCD的中心为O，AD，CD的中点分别为P，Q，求证：GO⊥平面EPQ19. （10分）(2017·郴州模拟) 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．20. （5分）(2018·浙江学考) 如图，已知抛物线与交于两点，是该抛物线上位于第一象限内的点.（Ⅰ）记直线的斜率分别为，求证为定值；（Ⅱ）过点作，垂足为，若关于轴的对称点恰好在直线上，求的面积.21. （10分） (2019高二下·南康期中) 已知函数 .（1）若，求的单调区间；（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．22. （10分） (2016高三上·韶关期中) 如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是 BC边上的高，AE 是圆O的直径，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（1）求证：AC•BC=AD•AE；（2）若AF=2，CF=2 ，求AE的长．23. （5分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）24. （10分）(2019·绵阳模拟) 已知函数．（1）当时，解不等式；（2）证明：对任意，．。

2020-2021西安交通大学附属中学高中必修一数学上期中第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>6．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð8．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 9．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．10．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<11．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）12．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（）A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________． 15．已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 16．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）17．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．18．已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________19．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________. 20．给出下列结论： ①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；②函数的单调递减区间是； ③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．三、解答题21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 22．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 23．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？24．已知函数()()22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.25．在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格P （元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？26．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．B解析：B【解析】【分析】利用分段函数先求f（1)8）的值，然后在求出f1(())8f的值．【详解】f ＝log2＝log22－3＝－3，f ＝f(－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选C．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.6．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．8．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．9．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.11．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．12．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.15．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．16．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.17．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．18．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.19．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围20．①③【解析】①正确根据函数是奇函数可得f(3)=-f(-3)=1而f(-1)=2所以f(3)<f(-1)；②错根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2+∞)；③正确奇函数关于原点对称所以可根解析：①③【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得，而，所以；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为；③ 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得的解析式；④，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.三、解答题21．（1）()14236 4f x x x=-+，30130x≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元【解析】【分析】()1由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资160x-万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论．【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型.23．当底面的长宽分别为3m ，4m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元 【解析】设房屋地面的长为米，房屋总造价为元.24．(1) 1a = (2) [)4,+∞ 【解析】 【分析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解. 【详解】（1）因为())22log f x x a x =+是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0a =，解得1a =. （2）由（1）可得())22log 1f x x x =+，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< .因为奇函数())22log log f x x ==，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫-⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-， 因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 25．（1）当P ＝19.5元，最大余额为450元；（2）20年后 【解析】 【分析】（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值； （2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论． 【详解】设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q （P ﹣14）×100﹣3600﹣2000，①由销量图，易得Q ＝250,14P 20340,20P 262p p -+⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟„代入①式得L ＝(250)(14)1005600,14P 20340(14)100560,20P 262P P P P -+-⨯-⎧⎪⎨⎛⎫-+-⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩剟„ （1）当14≤P ≤20时，2(250)(14)1005600200780075600L P P p p =-+-⨯-=-+-，当P ＝19.5元，L max ＝450元，当20＜P ≤26时，23340(14)100560615656022L P P P p ⎛⎫=-+-⨯-=-+- ⎪⎝⎭，当P ＝613元时，L max ＝12503元. 综上：月利润余额最大，为450元，（2）设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450﹣50000﹣58000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫． 【点睛】本题主要考查实际函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论，属于中档题．26．①1)22,(0)()0,(0)(,(0)xxx f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n ;②单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：①考察了利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，根据求什么设什么所以设，那么，那么，求得的解析式，又因为，即求得函数的解析式；②根据上一问解析式，画出分段函数的图像，观察函数的单调区间． 试题解析：解: ①∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =． 当0x <时，0x ->，1()()()22xx f x f x -=--=-=-．∴函数()f x 的解析式为1)22,(0)()0,(0)(,(0)xxx f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n②函数图象如图所示：由图象可知，函数()f x 的单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 考点：1．分段函数的解析式；2．函数的图像．。

陕西省西安市交大附中中学2020-2021学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B2. 若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b 的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．3. 函数在上的图象是参考答案：A4. 已知，则= （）A ．2B ． C． D ．3参考答案：C略5. 已知函数f（x）=，则方程f（2x2+x）=a（a＞0）的根的个数不可能为( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意化简f（2x2+x）=；作图象求解．解答：解：f（2x2+x）=；作其图象如下，故方程f（2x2+x）=a（a＞0）的根的个数可能为4，5，6；故选A．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．6. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，……………………………………记A（m,n）表示第m行的第n个数，则A（10,11）= （）A、B、 C、D、参考答案：B略7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A解析: 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则.故选A8. 已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）(A)f（x0）=0 (B)f（x0）＞0(C)f（x0）＜0 (D)f（x0）的符号不确定参考答案：C9. 已知函数（且），若，且，则的值（）A．恒小于2 B．恒大于2 C．恒等于2 D．与相关参考答案：B略10. 设为函数的单调递增区间，将图像向右平移个单位得到一个新的的单调减区间的是A B. C. D.参考答案：D因为函数为偶函数，在当为减函数，图像向右平移个单位，此时单调减区间为，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数a的值为▲．参考答案：12. 已知函数的图象经过点，则不等式的解为_________;参考答案：13. 高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是.(结果用最简分数表示)参考答案：3人中有1个是女生的概率为，3人中有2个是女生的概率为，3人中有3个是女生的概率为，所以选出的人中至少有一名女生的概率是。

2020-2021西安交通大学附属中学分校高中必修一数学上期中试题(含答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 6．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)29．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)10．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-11．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.15．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 16．已知2a=5b=m ,且11a b+=1,则m =____. 17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．18．10343383log 27()()161255---+=__________．19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）22．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 23．已知函数())22log f x x a x =+是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.24．国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元． （1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； （2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？25．已知函数()()2log 1f x x -A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B . （1）求A B I ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且C B B =U ，求实数a 的取值范围.26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内6．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .7．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.8．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.9．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.10．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。

陕西省西安市交大附中中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为90°,则甲、乙两地最短距离为(设地球的半径为R)（）A. B. C. D.参考答案：B2. 已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（?U A）∩B=( )A．? B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}参考答案：D考点：补集及其运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简解答：解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选D点评：本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力3. 复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D 考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4. 已知点B（1，0），P是函数y=e x图象上不同于A（0，1）的一点．有如下结论：①存在点P使得△ABP是等腰三角形；②存在点P使得△ABP是锐角三角形；③存在点P使得△ABP是直角三角形．其中，正确的结论的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型．【分析】利用导数法，可判断出线段AB与函数y=e x图象在（0，1）点的切线垂直，进而可判断出三个结论的正误，得到答案．【解答】解：∵函数y=e x的导函数为y′=e x，∴y′|x=0=1，即线段AB与函数y=e x图象在（0，1）点的切线垂直故△ABP一定是钝角三角形，当PA=AB=时，得△ABP是等腰三角形；故①正确，②③错误故正确的结论有1个故选：B【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的导数及三角形形状判断，难度不大，属于基础题．5. 已知函数，则f（1）的值是（）A．B．C．24 D．12参考答案：B考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，求解函数值即可．解答：解：函数，则f（1）=f（2）=f（3）==．故选：B．点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6. 抛物线的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（0，2）C．（l，0）D．（0，1）参考答案：D略7. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故选A．8. 设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为( )A． B．或 C．D．或参考答案：C9. 已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则下列正确的是（）A．B．C．D．参考答案：A10. 已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上“中值点”的为▲．参考答案：略12. 已知圆C的圆心为（0,1），直线与圆C相交于A ，B 两点，且，则圆C的半径为.参考答案：圆心到直线的距离。

陕西省 2021 年数学高三上学期理数期中考试试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 若 为虚数单位，则复数 A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限在复平面上对应的点位于（ ）2. （2 分） (2017 高二下·深圳月考) 设集合 （），集合A.，则B.C.D.3. （2 分） (2019 高二上·郑州期中) 给出如下四个命题：①若“ 且 ”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③“，则”的否定是“，则”；④在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4第 1 页 共 24 页4. （2 分） (2019 高二上·哈尔滨期中) 已知双曲线的渐近线为 方程为（ ），实轴长为 ，则该双曲线的A.B.或C.D.或5. （2 分） (2018·山东模拟) 曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 6. （2 分） (2020·许昌模拟) 已知程序框图如图所示，则输出的（）第 2 页 共 24 页A. B.C.D.7. （2 分） (2019 高三上·西安月考) 已知函数知点，的一条对称轴方程为（，若将它的图象向右平移 ）个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，已的图象，则函数的图象A.B.C.D. 8. （2 分） (2019 高二下·吉林期中) 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛 算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 10 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为数学文化校本课程学习内容， 则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的选法为（ ） A . 45 种 B . 42 种第 3 页 共 24 页C . 28 种 D . 16 种9. （2 分） (2020 高三上·湖北期中) 设 A.，，，则（ ）B.C.D.10. （2 分） (2019 高一下·郑州期末) 如图，在平行四边形中，点满足， 与 交于点 ，设，则 （ ）A. B.C.D.11. （2 分） (2019 高二下·浙江期中) 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A.B.C.D.第 4 页 共 24 页12. （2 分） (2020 高二上·桂平期末) 已知双曲线 ：的左、右焦点分别为 ， ，点在双曲线 上.若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020 高二上·黄陵期末) 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有________辆.14. （1 分） (2020 高一下·金华期中) 在中，，，面积等于，则________，边上中线的长为________．，的15. （1 分） (2019 高一下·丽水期中) 设数列 满足，则________．16.（1 分）(2019 高二下·温州月考) 一球内切于底面半径为 内切球与该圆锥的体积之比为________；，高为 3 的圆锥，则内切球半径是________；三、 解答题 (共 7 题；共 62 分)17. （10 分） (2016 高三上·新津期中) 已知数列{an}满足 a1=1，an+1﹣an=2，等比数列{bn}满足 b1=a1 ， b4=a4+1．第 5 页 共 24 页（1） 求数列{an}，{bn}的通项公式； （2） 设 cn=an+bn ， 求数列{cn}的前 n 项和 Sn ． 18. （10 分） 已知正方形 ABCD 的边长为 4，且 AB=AE=BF= EF，AB∥EF，AD⊥底面 AEFB，G 是 EF 的中点．（1） 求证：DE∥平面 AGC （2） 求证：AG⊥平面 BCE．19. （10 分） (2018·宜宾模拟) ，中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a=3，cosA= ,B=A+(I)求 b 的值；(II)求的面积.20. （10 分） (2016 高二上·温州期末) 已知动圆 Q 过定点 F（0，﹣1），且与直线 y=1 相切；椭圆 N 的对称 轴为坐标轴，中心为坐标原点 O，F 是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆 N 上．（1） 求动圆圆心 Q 的轨迹 M 的方程和椭圆 N 的方程；（2） 过点（0，﹣4）作直线 l 交轨迹 M 于 A，B 两点，连结 OA，OB，射线 OA，OB 交椭圆 N 于 C，D 两点，求 △OCD 面积的最小值．（3） 附加题：过椭圆 N 上一动点 P 作圆 x2+（y﹣1）2=1 的两条切线，切点分别为 G，H，求 值范围．的取21. （10 分） (2017·湖南模拟) 已知常数 a＞0，函数 f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论 f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；第 6 页 共 24 页（Ⅱ）若 f（x）存在两个极值点 x1 ， x2 ， 且 f（x1）+f（x2）＞0，求 a 的取值范围． 22. （10 分） (2017 高一上·福州期末) 已知圆心为 C 的圆经过 O（0，0））和 A（4，0）两点，线段 OA 的垂 直平分线和圆 C 交于 M，N 两点，且|MN|=2 （1） 求圆 C 的方程 （2） 设点 P 在圆 C 上，试问使△POA 的面积等于 2 的点 P 共有几个？证明你的结论． 23. （2 分） (2019·临川模拟) [选修 4-5：不等式选讲]已知函数.（1） 求的解集；（2） 若关于 的不等式能成立，求实数 的取值范围.第 7 页 共 24 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点： 解析：第 8 页 共 24 页答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点：第 9 页 共 24 页解析： 答案：6-1、 考点：解析： 答案：7-1、 考点： 解析：第 10 页 共 24 页答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共62分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：。

市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试 高三数学（理科）试题命题人：付 功一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2x B x =-≥,则=⋂B C A R ( )(A))1,2(-- (B))0,1(- (C))0,1[- (D)]1,2(--2.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面对量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)43．复数z 满足i z i 34)23(+=⋅-，则复平面内表示复数z 的点在( )（A ）第一象限 （B ）其次象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) （A ） 12π （B ）6π （C ） 3π（D ）56π5. 已知数列{}n a 为等差数列，满足OC a OB a OA 20133+=，其中C B A ,,在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ） （A ）22015（B ） 2015 （C ）2016 （D ）2013 6. 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则[])()(22x f x f y +=的最大值为（ ）（A ）33 （B ）22 （C ） 13 （D ）67.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 （ ）A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π）8. 在ABC∆中，060=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则BC 的长为（ ） （A ）2 （B ）23 （C ）32 （D ）39.已知向量（，），（，），与的夹角为060,则直线021sin cos =+-ααy x 与圆()()21sin cos 22=++-ββy x 的位置 关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离 （C ）相切 （D ）随的值而定10．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点N M ,，则MN 的最小值为（ ）（A ）2ln 2121+ （B ）2ln 2121- （C ） 2ln 1+ （D ）12ln - 11.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ） （A ）62 （B ）92 （C ） 122 （D ）15212．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．（A ）f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12 （B ）f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12 （C ）f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12 （D ）f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12二、填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上). 13. 设向量)2,1(),1,(=+=b x x a ,且b a ⊥,则=x .１４．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f15在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+- 则角C 的大小为。

西安交大附中2020~2021学年第一学期 高三第五次诊断考试数学（理科）试题注意：本试题共5页，三道大题．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}3,1,0,2A =--，{|||2}B x x =∈≤Z ，则A B ⋂=（ ） A ．{}0,2 B ．{}2,1,0,2--C ．{}1,0,2-D ．{}1,0-2．若212zi i-+=+，则z =（ ） A ．-5B ．5C ．-3D ．33．若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图是正方形，则该几何体的表面积为（ ）AB 1C ．6D ．64．若()()1122352a a -<+，则a 的取值范围是（ ） A ．13,65⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．13,65⎛⎤⎥⎝⎦ C ．13,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．如图，角α顶点在原点，始边为x 轴正半轴，点P ⎝⎭是角α的终边与单位圆的交点，则cos2α=（ ） A ．13B ．13-C ．-3D ．36．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）A ．10B ．11C ．11D ．127．函数()|1|xf x x e =+-零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．0D ．28．已知在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2222b c a +=+，tan A =角形ABC 的面积为（ ）A ．2BC ．2D ．9．设随机变量(),XB n p ，且()5316P X ==，()1664P X ==，则()D X =（ ） A ．16B ．35C ．32D ．1510．先将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，再将所得图像上所有的点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()()2sin 0,||2g x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像，且()01g =-，1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，12min ||2x x π-=，则当2,63x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,2C ．,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦11．已知函数()cos 12x x f x x e ππ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 的极大值点和极小值分别是（ ）A ．34π和42e π-B ．34π和412e π+C ．4π-和412e π+D ．4π-和412π-12．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与抛物线分别交于点A ，B 和点M ，N ，点O 为坐标原点，则OAB 与OMN 的面积的倒数的平方和为（ ） A ．1B ．2或14C ．14D ．2或12二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数()1ln x f x ex x -=--的图象在点()1,0处的切线方程为_______________．14．腰长为3的等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，13BD BC =，23BE BC =，则AD AE ⋅=_______________．15．已知焦距为4的双曲线22221x y a b-=的左，右顶点恰在圆222x y +=上，则该双曲线两条渐近线的夹角为_______________．16．在四面体ABCD 中，60DAB DAC ∠=∠=︒， AB AC AD ==，AB AC ⊥，若四面体ABCD 的外接球的表面积为8π，则四面体ABCD 的体积为_______________． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分 17．（本题满分12分）已知正项数列{} n a 的首项12a =，若满足()22*113442,n n n n a a a a n n ---=≥∈N． （Ⅰ）求数列{} n a 的通项公式； （Ⅱ）若2n nnb a =，数列{} n b 的前n 项和为n T ，求n T ． 18．（本题满分12分）将三颗大小和质地完全相同的骰子各掷一次，记向上的数字作为投掷的结果．（Ⅰ）记事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“没有出现3点”，计算() |P B A ；（Ⅱ）记各掷一次大小和质地完全相同的三颗骰子，向上出现的不同数字的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本题满分12分）在正方体1111 ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点． （Ⅰ）证明：1BD ⊥平面11AC D ；（Ⅱ）求直线1 D E 与平面11AC FE 所成角的正弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆()222:11x C y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2 ?F ，上顶点为B ，且124BF F π∠=．（Ⅰ）求C 的标准方程；（Ⅱ）过点2 ?F 的直线l 交C 于M ，N 两点，若1MNF，求直线l 的方程． 21．（本题满分12分）已知函数()21ln 2f x x ax =-． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）()f x 存在极大值点．证明：()f x 的最大值不大于112a-． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin cos x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值． 23．（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知()2|2||4|f x x x =-+++． （Ⅰ）解关于x 的不等式()9f x >；（Ⅱ）设()f x 最小值为m ，m a b c =++，其中a ，b ，c 均为正实数，求证：11133131317a b c ++≥+++．。

陕西省 2021 版数学高三上学期理数期中考试试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） (2017 高一上·漳州期末) 已知集合 A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x2﹣2x≤0}，则 A∩B 等于（ ）A . （0，2）B . （0，2]C . [0，2）D . [0，2]2. （1 分） (2019 高二下·牡丹江期末) 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（ ）A.，x RB.，x R 且 x≠0C.,x RD.，x R3. （1 分） 给定命题 P:若 ,则； 命题 q:若，则.则下列各命题中,假命题的是（ ）A.B.C.D.4. （1 分） (2019 高三上·儋州月考) 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边过点，则（）A.第 1 页 共 17 页B. C. D. 5. （1 分） (2019·河北模拟) 已知 为等比数列,A. B. C. D.6. （1 分） (2019·中山模拟) 已知函数上存在唯一的 使得，则,,则（）在区间上是增函数，且在区间 的取值不可能为（ ）A.B.C.D.7. （1 分） (2018·张掖模拟) 已知单位向量的夹角为 ，且，若向量，则（）A.9第 2 页 共 17 页B . 10 C.3D.8. （1 分） 函数,则（ ）A . f(a)<f(b)B . f(a)=f(b)C . f(a)>f(b)D . f(a),f(b)大小关系不能确定9. （1 分） (2017 高一上·唐山期末) 函数 y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ 所示，则（ ））的部分图象如图A . f（x）的一个对称中心为B . f（x）的图象关于直线对称C . f（x）在上是增函数D . f（x）的周期为10. （1 分） (2015 高三上·泰安期末) 已知函数 f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤ ），其图象与直线 y=﹣1 相邻两个交点的距离为 π．若 f（x）＞1 对任意 x∈（﹣（）第 3 页 共 17 页， ）恒成立，则 φ 的取值范围是A.[ ， ]B.[ ， ]C.[ ， ]D.（ ， ]11. （1 分） 在中，，． 若点 满足，则 （ ）A.B.C.D. 12. （1 分） (2020 高三上·怀宁月考) 已知函数的定义域为 ，且满足下列三个条件：①对任意的，当时，都有；②；③是偶函数；若，，，则的大小关系正确的是（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高一上·砀山月考) 已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的面积为________．14. （1 分） (2019 高二下·南海期末) 已知函数与函数则实数 的值为________．第 4 页 共 17 页的图象所围成的面积为，15. （1 分） (2020·江西模拟) 已知等差数列 ________．的前 n 项和为 ，且，则16. （1 分） (2016 高一上·徐州期中) 已知函数 f（x）=e|x|+|x|，若关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不同的 实根，则实数 k 的取值范围是________．三、 解答题 (共 6 题；共 7 分)17. （2 分） (2017 高三上·重庆期中) 已知向量 =（cos ，﹣1） =（ ）数 f（x）=+1．（1） 求函数 f（x）的单调递增区间；（2） 若关于 x 的方程 f（x）=a 在区间[0，π]上有实数解，求实数 a 的取值范围．18. （1 分） (2019 高二下·瑞安期中) 已知在 ；中，角 A、B、C 的对边为且（Ⅰ）若 （Ⅱ）若, 求边长 的值．，求的面积．19. （1 分） (2017 高一上·和平期末) 已知函数 f（x）=sinx（2 cosx﹣sinx）+1 （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；（Ⅱ）讨论 f（x）在区间[﹣ ， ]上的单调性．20. （1 分） (2020 高一下·长春月考) 已知等差数列 满足，.，设函 ，（Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）设 是等比数列 的前 n 项和，若，，求 ．21. （1 分） (2017 高一下·泰州期中) 如图，在半径为 2，圆心角为 的扇形金属材料中剪出一个四边形 MNQP，其中 M、N 两点分別在半径 OA、OB 上，P、Q 两点在弧 上，且 OM=ON，MN∥PQ．第 5 页 共 17 页（1） 若 M、N 分別是 OA、OB 中点，求四边形 MNQP 面积的最大值． （2） PQ=2，求四边形 MNQP 面积的最大值．22. （1 分） (2019 高二下·温州期中) 设，函数，．（Ⅰ）当时，比较与的大小；（Ⅱ）若存在实数 ，使函数的图象总在函数的图象的上方，求 的取值集合．第 6 页 共 17 页一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点： 解析： 答案：4-1、 考点：第 7 页 共 17 页解析： 答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点：解析： 答案：7-1、 考点：第 8 页 共 17 页解析： 答案：8-1、 考点：解析： 答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、第 9 页 共 17 页考点： 解析：答案：11-1、 考点： 解析：答案：12-1、 考点： 解析：第 10 页 共 17 页二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共7分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

陕西省 2021 年数学高三上学期理数期中考试试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2015 高三上·安庆期末) 已知集合 A={0，1，2，3，4，5}，B=﹛5，6﹜，C=﹛（x，y）|x∈A， y∈A，x+y∈B﹜，则 C 中所含元素的个数为（ ）A.5B.6C . 11D . 122. （2 分） 已知 =（cos ，sin ）， =（cosθ，sinθ），θ∈（0，π），则| ﹣ |的取值 范围是（ ）A . （0，1） B . （0，1]C . （0， ）D . （0， ] 3. （2 分） (2018 高一上·海南期中) 某厂印刷某图书总成本 y（元）与图书日印量 x（本）的函数解析式为 y=5x+3000，而图书出厂价格为每本 10 元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ） A . 200 本 B . 400 本 C . 600 本 D . 800 本 4. （2 分） (2016 高二上·临川期中) 命题甲 x+y≠8；命题乙：x≠2 或 y≠6，则（ ）第 1 页 共 19 页A . 甲是乙的充分非必要条件 B . 甲是乙的必要非充分条件 C . 甲是乙的充要条件 D . 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件．5. （2 分） 已知函数 的图象，则只需将 f(x0 的图象（ ）（其中）的部分图象如图所示，为了得到 g(x)=sin2xA . 向右平移 个长度单位 B . 向右平移 个长度单位 C . 向左平移 个长度单位 D . 向左平移 个长度单位6. （2 分） (2019 高二下·蒙山期末) 已知 A. B. C. D.的三边满足条件7. （2 分） 已知， 则 f（log23）=（ ）第 2 页 共 19 页，则（）A. B. C. D. 8. （2 分） (2017·山东模拟) 已知函数 f（x）对定义域内 R 内的任意 x 都有 f（x）=f（4﹣x），且当 x≠2 时，其导数 f'（x）满足 xf'（x）＞2f'（x），若 2＜a＜4，则（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2017 高二上·汕头月考) 定义域为 的偶函数满足对任意，且当时，上至少有三个零点，则 的取值范围是（ ），若函数，有 在A.B.C.D.第 3 页 共 19 页10. （2 分） (2019 高一下·宁江期末) 已知函数 ，且的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6，若存在11. （2 分） (2019 高一上·双鸭山期中) 设奇函数有的及任意的都满足在上是增函数，且，则 的取值范围是（ ）A.满足 ，则 n，若对所B.C.D. 12. （2 分） (2019 高一上·南充期中) 给出下列四个命题：①映射不一定是函数，但函数一定是其定义域到值域的映射；②函数；③函数的最小值是偶函数.其中所有正确命题的序号是（ ）．；④对于函数A . ①③B . ②③C . ①③④D . ②③④第 4 页 共 19 页的反函数是，则，则既是奇函数又是二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2018 高一下·苏州期末) 已知集合，，则________．14. （2 分） (2020 高一上·柳州期末) 在梯形中，已知，，，则________.，，15. （1 分） (2020 高二下·汕头月考) 已知函数 f（x）＝x3－3x，若过点 A（1，m）（m≠－2）可作曲线 y ＝f（x）的三条切线，则实数 m 的取值范围为________．16. （1 分） (2019 高一下·山西月考) 已知数列通项公式是________.的前 项和为 ，且三、 解答题 (共 6 题；共 56 分)，则数列 的17. （1 分） (2020 高三上·大荔月考)的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，若 a+c=，cosA=，simC= .（1） 求 sinB；（2） 求的面积.18. （10 分） (2017 高二上·新余期末) 等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9 ，（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设 bn=，求数列{bn}的前 n 项和 Sn ．19. （10 分） (2019 高三上·鹤岗月考) 已知向量.（1） 求函数的最小正周期；（2） 在中，，若，求的周长.20. （10 分） (2018·长安模拟) 已知 .（m，n 为常数），在第 5 页 共 19 页处的切线方程为（Ⅰ）求的解析式并写出定义域；（Ⅱ）若任意，使得对任意上恒有成立，求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）若有两个不同的零点，求证：.21.（15 分）(2019 高一上·绵阳期中) 已知函数是二次函数，且满足；函数.（1） 求的解析式；（2） 若，且对恒成立，求实数 的取值范围.22. （10 分） (2019 高三上·吉林月考) 设函数（ 为自然对数的底数）.（1） 求函数在点处的切线方程；（2） 证明：.第 6 页 共 19 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、第 7 页 共 19 页考点： 解析：答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：第 8 页 共 19 页答案：6-1、 考点：解析： 答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点：第 9 页 共 19 页解析： 答案：9-1、 考点： 解析：第 10 页 共 19 页答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共56分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2020届陕西省西安交大附中学南校区高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|sin 0A x x ==，{}2|log 2B x x =<，则集合AB =（） A ．{}0 B ．{}πC ．{}0,πD ．2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭2．若a R ∈，则“复数5ai z i-=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点F 为AE 的中点，则FC =( ) A ．3142AB AD - B ．3142AB AD + C ．1324AB AD - D ．1324AB AD + 4．23(1)(31)x x -+的展开式中4x 的系数是（ ）A ．27B ．-27C ．26D ．-26 5．安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（ ）A ．13B ．16C ．19D ．1126．为了得到函数log y =2log y x =图象上所有点的A ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度7．阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3i ≤B ．4i ≤C ．5i ≤D ．6i ≤8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16163π- B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π- 9．ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC S表示ABC 的面积，已2cos 2ABC C S=+，则A =( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．56π 10．函数2()xx x f x e +=的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．11．不等式()()2233131x x ->+的解为（）A ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意x ∈R 都有()()4f x f x x --=，且在(,0)x ∈-∞上，()2f x '>-，若()()()()22221f af a a a --≥+-，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,1][1,2]--B ．(,2][1,1][2,)-∞-⋃-⋃+∞C ．[2,1]-D ．(,2][1,)-∞-+∞二、填空题 13．已知实数x ，y 满足约束条件203501x y x y y -⎧⎪-+≥⎨⎪⎩，则212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值等于_____． 14．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.15．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)16．在三棱锥中，PA ⊥平面ABC，AB BC CA ===P ABC -的体积为83，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球的球面上，则该球的表面积为________.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+.（1）求角C 的大小；（2）若2C =，求ABC 面积的取值范围.18．在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 19．2021年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕，世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长，某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况，随机抽查了该商品商店某天200名顾客的消费金额情况，得到如图频率分布表：将消费顾客超过4万卢布的顾客定义为”足球迷”，消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”．（1）求这200名顾客消费金额的中位数与平均数（同一组中的消费金额用该组的中点值作代表；（2）该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型，采用分层抽样的方法从“非足球迷”，“足球迷”中选取5人，再从这5人中随机选取3人进行问卷调查，则选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望．20．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面P AB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上.（I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平面ACM ；（II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60°，若存在，求出PM PD 的值；若不存在，请说明理由．21．在直角坐标xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）求椭圆的直角坐标方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.22．已知函数21()ln (1)()2f x x ax a x a R =+-+∈. （Ⅰ）当1a ≥时，函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为-5，求a 的值； （Ⅱ）设3211()()(1)22g x xf x ax a x x =-++-，且()g x 有两个极值点1x ，2x . （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：212x x e >.参考答案1．B【解析】【分析】求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】∵A＝{x|x＝kπ，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{π}．故选B．【点睛】本题主要考查交集的运算，涉及三角方程的解法以及对数函数的单调性的应用．2．C【解析】分析：先化简复数z,再转化“复数5aizi-=在复平面内对应的点在第三象限”，最后利用充分必要条件判断得解.详解：由题得5aizi-==-a-5i,由于复数5aizi-=在复平面内对应的点在第三象限，所以,0.50aa-<⎧∴>⎨-<⎩所以“复数5aizi-=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a>”的充要条件.故答案为C点睛：（1）本题主要考查复数的计算、几何意义和充要条件，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、集合法和转化法来判断.3．B【分析】由平面向量基本定理及线性运算可得：因为3142FC FE EC AB AD=+=+，得解．【详解】如图：因为FC FE EC =+1122AE DC =+ 11()22AD DE DC =++ 3142AB AD =+， 故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量基本定理及线性运算，属中档题．4．B【分析】()()32131x x -+展开式中4x 的系数由x 和1-分别与()3231x +展开式中3x 和4x 相乘后得到的系数之和.【详解】 ()()32131x x -+展开式中4x 的系数1x -中的x 与()3231x +展开式中3x 项相乘，但()3231x +展开式中没有3x 项1x -中的1-与()3231x +展开式中4x 项相乘，()21243327C x x =所以4x 的系数是27-，故选B 项.【点睛】本题考查二项式的展开式与多项式相乘，得到项的系数，属于简单题.5．B【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于5分钟的概率为101P 606==.故选B 【点睛】 本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.6．B【解析】因为为了得到函数221log log (1)2y x ==-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的纵坐标缩短 到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到，选A 7．B【分析】根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为30时的i 值,进而得判断框里的不等式.【详解】由程序框图可知,0,1S i ==(1) 1022,2S i =+== 是(2) 2226,3S i =+== 是(3) 36214,4S i =+== 是(4) 414230,5S i =+== 否由以上循环可知, 4i ≤故选:B【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的应用,由输出结果确定判断框内容,属于基础题. 8．D【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【详解】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积2211244223V π=⨯⨯⨯-⨯⨯ 3283π=-. 故选D ．【点睛】 本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．C【分析】利用三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A =(0,)A π∈，可求A 的值．【详解】21cos 2cos 2sin2ABC C S C ab C ∆=+=+⨯， ∴2cos sin C ab C +cos sin C a C =+，∴cos sin sin B A C A C +，sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∴cos sin cos sin sin A C A C A C A C +，sin sin sin A C A C =，sin 0C >，∴sin A A =，可得tan A =(0,)A π∈，3A π∴=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．10．C【分析】根据()f x 解析式知0x >时()0f x >，排除D ，然后根据(0)f 和(3)f -的值可排除A ，B ． 【详解】2()xx x f x e +=，∴当0x >时，()0f x >，故排除D ，又(0)0f =， 239(3)0f e--+-=>（1x <-时，都有()0f x >），故排除A ，B ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了根据函数解析式函数图象的问题，属容易题． 11．B 【解析】 【分析】将不等式()()2233131x x ->+y =可解出． 【详解】()()2233131x x ->+∴22(1)(31)x x >-+ 解得10x -<<．故选B ． 【点睛】本题主要考查分数指数幂与根式的转化，以及幂函数单调性的应用． 12．A 【分析】令()()2g x f x x =+，可得()()0g x g x --=．因此()()g x g x -=是R 上的偶函数．在(,0)x ∈-∞上，()()20g x f x '='+>，可得函数()g x 在(,0)x ∈-∞上单调递增，在[0，)+∞上单调递减．再利用函数的奇偶性与单调性即可得出． 【详解】令()()2g x f x x =+，则()()()2[()2]()()40g x g x f x x f x x f x f x x --=---+=---=．()()g x g x ∴-=，()g x 是R 上的偶函数．在(,0)x ∈-∞上，()()20g x f x '='+>，因此函数()g x 在(,0)x ∈-∞上单调递增，在[0，)+∞上单调递减． 若2(2)f a f --（a ）22(2)(1)224a a a a +-=+-， 即22(2)2(2)f a a f -+-（a ）2a +，2(2)g a g ∴-（a ），2(|2|)(||)g a g a ∴-， 2|2|||a a ∴-，214a ∴，解得21a --，或12a ．实数a 的取值范围是[2-，1][1-，2]． 故选：A ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则、函数的奇偶性与单调性、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13．8 【分析】根据约束条件画可行域，然后求出2t x y =+-的最小值，即为212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值.【详解】根据约束条件作图所示，易知可行域为一个三角形，设2t x y =+-，则2y x t =-++，为斜率是1-的一组平行线， 可知在点()2,1A-时，2t x y =+-取得最小值3-，z ∴最大值是8，故答案为8．【点睛】本题考查通过线性规划求最值，属于简单题. 14．14 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 15．1260. 【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 16．16π 【分析】采用数形结合，由锥体体积公求高PA ，过底面ABC ∆中心N 作底面的垂线，假设球心O ，半径为R ，利用OP OA =，结合勾股定理，求出外接球的半径，可得结果. 【详解】 如图由AB BC CA ===ABC ∆为正三角形 则()2113sin 2223222ABCS AB AC BAC ∆=∠==, 又PA ⊥平面ABC 且三棱锥P ABC -的体积为83，所以1833ABC S PA ∆=,所以3PA =， 取正ABC ∆的中心N ，过点N 作l ⊥底面ABC ，可知球心O 在l 上，连接,,NA OP OA ，作OM PA ⊥交PA 于点M ，则OP OA R ==，则22sin 603OM NA AB ===则PM ==12PM PA =1432， 化简可得：24R =所以球的表面积为：2416R ππ= 故答案为：16π 【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积的问题，利用数形结合的方法，直观形象，快速找到球心并解出半径，属中档题.17．（1）3π（2） 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理进行转化求解即可;（2）根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行计算即可. 【详解】（1）由正弦定理得222ab c a b +=+， 即222a b c ab +-=，即2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为0C π<< 所以3C π=．（2）由（1）知，2222c a b ab ab ab ab =+--=，2c =，4ab ∴，当且仅当a b =时取等号，则三角形面积11sin 422S ab C =⨯⨯即三角形的面积的范围． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合三角形的面积公式以及基本不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题． 18．(1)证明见解析. (2)n S =2(1)n n +.【分析】 （1）根据数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式的特征，我们对21(1)22n n na n a n n +-+=+，两边同时除以(1)n n +，得到121n n a a n n +-=+，利用等差数列的定义，就可以证明出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 【详解】（1）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同除以(1)n n +，得121n n a a n n +-=+，又141a=， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列． (2)由（1）得12(1)n a a n n =+-，即222,22n n an a n n n=+∴=+, 故2111112221n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111122231212(1)n n s n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前n 和．已知1n n n a b c =⋅，,n nb c 都是等差数列，那么数列{}n a 的前n 和就可以用裂项相消法来求解．19．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，这样就可以求出这200名顾客消费金额的中位数与平均数．（2）通过频率分布表可以求“足球迷”与“非足球迷”的人数比，这样可以求出从“足球迷”“非足球迷”中选取5人，其中“足球迷”的人数及“非足球迷”的人数，这样可以求出选取的3人中非足球迷的人数，取值是多少，求出它们相对应的概率，最后列出分布列，算出数学期望． 【详解】（1）设这200名顾客消费金额的中位数为t ，则有9313644(3)0.5200200t +++-⨯=，解得3911t =所以这200名顾客消费金额的中位数为3911， 这200名顾客消费金额的平均数x ，931364462180.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 3.367200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以这200名顾客的消费金额的平均数为3.367万卢布． (2)由频率分布表可知，“足球迷”与“非足球迷”的人数比为8021203=， 采用分层抽样的方法，从“足球迷”“非足球迷”中选取5人，其中“足球迷”有2525⨯=人，“非足球迷”有3535⨯=人． 设ξ为选取的3人中非足球迷的人数，取值为1,2,3.则1221332323333555331(1),(2),(3)10510c c c c c p p p c c c ξξξ=========．分布列为：10.320.630.1 1.8Eξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了利用频率分布表求中位数、平均数．考查了求离散型随机变量分布列及数学期望的方法．20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；(Ⅲ)当13PMPD=时，二面角M EC D--的大小为60°.【解析】试题分析：(1) 连接BD交AC于H点，由三角形中位线性质得MH // BP，再根据线面平行判定定理得结论(2)由面面垂直性质定理得PE⊥平面ABCD，即得PE AC⊥；（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设列各点坐标，由方程组解得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，再根据二面角与法向量之间关系列方程，解得PMPD的值试题解析：（I）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点.又因为M为PD的中点，所以MH // BP.又因为 BP ⊄平面ACM, MH⊂平面ACM.所以PB // 平面ACM.（II）证明：因为PAB∆为正三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB .因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD.又因为AC ⊂平面ABCD ， 所以PE AC ⊥.(Ⅲ) 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 的中点， 所以CE ⊥AB .又因为PE ⊥平面ABCD ，以E 为原点，分别以,,EB EC EP 为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0B ，(P，()C，()D -．假设棱PD 上存在点M ，设点M 坐标为(),,x y z ，()01PM PD λλ=≤≤，则((,,x y z λ=-，所以)()21M λλ--，所以)()21EM λλ=--，()0,EC =， 设平面CEM 的法向量为(),,n x y z =，则)231030nEM x y z n EC y λλλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得)021y x z λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 令2z λ=，则)1x λ=-，得))1,0,2n λλ=-．因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量()0,0,1m =，所以cos ,n m n m n m ⋅〈〉===⋅． 因为二面角M EC D --的大小为60°， 12=， 即23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍去） 所以在棱PD 上存在点M ，当13PM PD =时，二面角M EC D --的大小为60°． 点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.21．（1）22143x y +=（2）6【分析】（1）直接利用转换公式将极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 以及AB 的方程，将AB 的方程与椭圆联立，分析可得223(1)412my y ++=，借助根与系数的关系可以将四边形1AMBF 面积用m 表示出来，利用换元法及基本不等式的性质分析可得答案． 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程：22123sin ρθ=+，即223sin )+(12ρρθ=， 根据222+y ,sin =y x ρρθ=转换为直角坐标方程为：22143x y +=．（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，:1AB x my =+，则由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)412my y ++=， 即22(34)690m y my ++-=，△2223636(34)144(1)0m m m =++=+>， 则12122269,3434m y y y y m m +=-⋅=-++ 又因为111F M F A F B=+， 所以四边形1AMBF 是平行四边形，，设平面四边形1AMBF 的面积为S ，则11212122||||242ABF S S F F y y ==⨯⨯⨯-=，设t =，则221(1)m t t =-， 所以2124241313tS t t t=⨯=⨯++， 因为11333()y t t t t=+=+在[1,)t ∈+∞上是增函数， 所以134t t+≥，当1t =时等号成立， 故11143t t ≤+，211242424613143t S t t t =⨯=⨯≤⨯=++，当1t =时等号成立， 所以(0S ∈，6]，所以四边形1AMBF 面积的最大值为6．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程，属于难题．22．（Ⅰ）8；（Ⅱ）（i ）1(1,1)e --；（ii ）详见解析.【分析】（Ⅰ）对()f x 求导，1a ≥可得()0f x '≥，()f x 单调递增，得到()f x 最小值，从而得到a 的值.（Ⅱ）（i ）()g x 有两个极值点1x ，2x ，通过参变分离转化为ln 1x a x +=有两个不相等的实数根，再转化成两个函数交点问题，从而得到a 的取值范围.（ii ）根据题意得到()11ln 1x a x =+，()22ln 1x a x =+，两式相加、减消去a ，设21x t x =构造出关于t 的函数，利用导数得到单调性，进行证明.【详解】 解：（Ⅰ）()()()111'1a x x a f x ax a x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-+=， ∵1a ≥，[]1,x e ∈，∴()'0f x ≥，所以()f x 在区间[]1,e 上为单调递增.所以()()()min 111582f x f a a a ⎡⎤==-+=-⇒=⎣⎦，又因为81a =≥，所以a 的值为8.（Ⅱ）（i ）∵()()()232111ln 11222g x x x ax a x ax a x x ⎡⎤=+-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()21ln 12x x a x x =-+-， 且()g x 的定义域为()0,+∞，∴()()()'ln 111ln 1g x x a x x a x =+-+-=-+.由()g x 有两个极值点1x ，2x ，等价于方程()ln 10x a x -+=有两个不同实根1x ，2x .由()ln 10x a x -+=得：ln 1x a x+=.令()ln (0)x h x x x=>， 则()21ln 'x h x x -=，由()'0h x x e =⇒=. 当()0,x e ∈时，()'0h x >，则()h x 在()0,e 上单调递增；当(),x e ∈+∞时，()'0h x <，则()h x 在(),e +∞上单调递减.所以，当x e =时，()ln x h x x =取得最大值()max 1h e e=， ∵()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >， 所以101a e <+<，解得111a e -<<-，所以实数a 的取值范围为11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （ii ）证明：不妨设120x x <<，且()11ln 1x a x =+①，()22ln 1x a x =+②，①+②得：()()()1212ln 1x x a x x =++ ③②-①得：()()2211ln 1x a x x x =+- ④ ③÷④得：()12122211ln ln x x x x x x x x +=-，即()12212211ln ln x x x x x x x x +=⋅-， 要证：212x x e >，只需证()12212211ln ln 2x x x x x x x x +=⋅>-. 即证：212212121121ln 21x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>⋅=++. 令21(1)x t t x =>， 设()()214ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++，()()()221'01t F t t t -=>+.∴()F t 在()1,+∞上单调递增，∴()()10F t F >=，即()21ln 1t t t ->+，∴212x x e >. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，参变分离，数形结合讨论参数范围，构造函数等，比较综合，属于难题.。

交大附中2020~2021学年第一学期 高三第五次诊断考试数学(理科)试题一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}3,1,0,2A =--，{|||2}B x Z x =∈≤，则A B =（ ）A. {}0,2B. {}2,1,0,2--C. {}1,0,2-D. {}1,0-C解绝对值不等式求集合B ，利用集合的交运算，求A B .由题意，{2,1,0,1,2}B =--，而{}3,1,0,2A =--， ∴{1,0,2}A B ⋂=-. 故选：C. 2. 若212zi i-+=+，则z =（ ） A. -5 B. 5C. -3D. 3B首先算出z ，然后可得答案. 因为212zi i-+=+，所以()()12243z i i i =+-+=--所以5z ==故选：B3. 若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图是正方形，则该几何体的表面积为（ ）A. 2B.21+ C. 226+D. 6D由三视图还原直观图，得正方体，进而求其表面积即可. 由题设，三视图得如下直观图：棱长为1的正方体，∴正方体的表面积6116S =⨯⨯=. 故选：D.4. 若()()1122352a a -<+，则a 的取值范围是（ ） A. 1365⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 1365⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 1365⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B利用幂函数的单调性，直接求解即可解：因为函数12y x =在定义域[]0，+∞上单调递增，所以35020 352aaa a-≥⎧⎪+≥⎨⎪-<+⎩，，，解得13 65a<≤.故选：B5. 角α顶点在原点，始边为x轴正半轴，点36,P⎛⎫⎪⎪⎝⎭是角α的终边与单位圆的交点，则cos2α=（）A.13B.13- C. -3 D. 3B根据终边上的点写出sinα，结合二倍角余弦公式2cos212sinαα=-即可求值.由题意知：6sinα=，由二倍角余弦公式，有21cos212sin3αα=-=-.故选：B.6. 执行如图所示的程序框图，则输出k的值为（）A. 10B. 11C. 12D. 13C根据给出的程序框图，执行程序框图，利用程序框图的计算规律，结合判断条件，即可求解. 由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：满足判断条件，1,2S k ==；第2次循环：满足判断条件，12,3S k =+=； 第3次循环：满足判断条件，12+4,4S k =+=；第11次循环：满足判断条件，11101212422047,1212S k -=++++===-，此时不满足判断条件，输出12k =.故选：C.7. 函数()|1|xf x x e =+-零点个数为（ ） A. 1 B. 3C. 0D. 2D利用导数知识得到函数的性质，根据函数的性质画出函数的图象，观察图象可得答案.当1x ≤-时，()1xf x x e =---为递减函数，所以当1x =-时，函数()f x 取得最小值，为1(1)f e-=-，且221(2)(2)110f e e--=----=->， 当1x >-时，()1xf x x e =+-，()1xf x e '=-， 当10x -<<时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<， 所以()f x 在(1,0)-上递增，在(0,)+∞上递减，所以当0x =时，()f x 取得最大值，最大值为(0)0f =， 所以函数()f x 的图象如图：由图可知，函数()|1|xf x x e =+-零点个数为2.故选：D关键点点睛：作出函数的图象，利用图象求解是解题关键.8. 已知在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2222b c a +=+，tan 3A =形ABC 的面积为（ ） A. 32B.3 C.332D. 23A根据三角形内角的性质，结合已知求cos A ，sin A ，应用余弦定理求bc ，再由三角形面积公式求面积即可.三角形ABC 中，由tan 3A =1cos 2A =，3sin A =，而2222b c a +-=， ∴由余弦公式，2221cos 22b c a A bc +-==，得2bc =， ∴13sin 2S bc A ==故选：A. 9. 设随机变量(),XB n p ，且()5316P X ==，()1664P X ==，则()D X =（ ） A. 16B.35C.32D.15C利用二项分布的概率公式，结合已知求n 、p ，由()(1)D X np p =-即可求方差.由题意知：3335(1)16n n C p p -⋅-⋅=且6661(1)64n n C p p -⋅-⋅=，可得16,2n p ==， ∴113()(1)6222D X np p =-=⨯⨯=. 故选：C.10. 先将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，再将所得图像上所有的点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()()2sin 0,||2g x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像，且()01g =-，1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，12min ||2x x π-=，则当2,63x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的取值范围是（ ） A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. []1,2C. ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2⎡⎤⎣⎦B由题意知()g x 的周期为π且2sin 1ϕ=-，由0>ω、||2ϕπ<即可求,ωϕ，写出()g x 解析式，又()(2)6g x f x π=-可得()f x 解析式，进而求2,63x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上()f x 的范围. 由1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，12min ||2x x π-=，知：()g x 的最小正周期为π，∴2T ππω==，0>ω，即2ω=，又()02sin 1g ϕ==-且||2ϕπ<，则6πϕ=-， ∴()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，而由图象平移知：()(2)6g x f x π=-，∴()2sin f x x =，故2,63x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()[1,2]f x ∈. 故选：B.关键点点睛：根据已知条件确定()g x 的最小正周期，求参数值并写出解析式，根据函数的平移关系写出()f x 解析式.11. 已知函数()cos 12x x f x x e ππ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 的极大值点和极小值分别是（ ）A. 34π和412e π-B. 34π和412π+C. 4π-和412π+D. 4π-和412π-A利用导数判断函数的单调性，再根据极值和极值点的概念可求得结果. 因为()cos 12x x f x x e ππ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭， 所以()2sin cos ()x xx x e x e f x e -⋅-⋅'=-)sin cos 4x xx x x e e π++==， 当24x ππ-<<-时，044x ππ-<+<，4in(0s )x π+<，()0f x '<，当344x ππ-<<时，04x ππ<+<，sin()04x π+>，()0f x '>，当34x ππ<<时，544x πππ<+<，4in(0s )x π+<，()0f x '<,所以函数()f x 在(,)24ππ--上递减，在3(,)44ππ-上递增，在3(,)4ππ上递减， 所以函数()f x 在4πx =-时取得极小值，为42()14f eππ--=-412e π=-，在34x π=时取得极大值. 所以函数()f x 的极大值点为34π，极小值为412e π-.故选：A12. 过抛物线2:4C y x =的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与抛物线分别交于点A ，B 和点M ，N ，点O 为坐标原点，则OAB 与OMN 的面积的倒数的平方和为（ ） A. 1 B. 2或14C.14D. 2或12C由题意设1l 的方程为1(0)x my m =+≠，与抛物线联立，结合韦达定理及焦点弦公式，可求得弦长||AB ，又可求出原点到直线1l的距离d =，则可表示出OAB 的面积OABS，利用12l l ⊥，可表示出OMN 的面积OMN S △，结合题意，即可得答案.由题意知，直线1l ，2l 的斜率均存在，且焦点(1,0)F ，设直线1l 的方程为1(0)x my m =+≠，代入抛物线方程，得2440y my --=，显然0∆> 设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y m +=，故12||2AB x x =++=()2122244m y y m +++=+.又原点到直线1l的距离d =，所以12OABS=()241m += 因为12l l ⊥，同理可得：OMNS== 所以()()22222111144141OABOMNm S S m m +=+=++. 故选：C方法点睛：本题考查抛物线几何性质，抛物线焦点弦问题，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 函数()1ln x f x ex x -=--的图象在点()1,0处的切线方程为_______________.10x y +-=利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可得结果. 因为()1ln x f x e x x -=--(0)x >，所以11()1x f x ex-'=--，所以函数()f x 在点()1,0处的切线的斜率为(1)1111f '=--=-， 由点斜式可得函数()1ln x f x ex x -=--的图象在点()1,0处的切线方程为：0(1)y x -=--，即10x y +-=.故答案为：10x y +-=14. 腰长为3的等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，13BD BC =，23BE BC =，则AD AE ⋅=_______________.4首先用AB 、AC 表示AD 、AE ，然后可算出答案. 因为13BD BC =，23BE BC =，所以()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ()22123333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+因为==3AB AC ，=0AB AC ⋅ 所以22225+2204999AD AE AB AC AB AC ⋅=+⋅=++= 故答案为：415. 已知焦距为4的双曲线22221x y a b-=的左，右顶点恰在圆222x y +=上，则该双曲线两条渐近线的夹角为_______________.2π由已知得2c =，22a =，结合222b c a =-，求出b ，进而求出渐近线方程，观察两条渐近线斜率之积为1-，可知两条渐近线垂直，即可得到答案. 双曲线的焦距24c =，2c ∴=双曲线的左，右顶点恰在圆222x y +=上，22a ∴=，2222b c a ∴=-= 所以双曲线两条渐近线方程分别为：y x =与y x =-两渐近线斜率之积为1-，故两条渐近线互相垂直，所以两条渐近线的夹角为2π故答案为：2π 16. 在四面体ABCD 中，60DAB DAC ∠=∠=︒， AB AC AD ==，AB AC ⊥，若四面体ABCD 的外接球的表面积为8π，则四面体ABCD 的体积为_______________.223根据已知条件的边角关系，有△ABC 、△DBC 都为等腰直角三角形，即BC 上的中点O 为外接球的球心，进而求各棱长，根据线面垂直的判定证OA ⊥面DBC ，则四面体ABCD 的体积13DBCV OA S =⋅⋅，可求体积.由题意知：△ABD 、△ACD 都为等边三角形，又AB AC ⊥，即22222BC AB AC BD CD =+=+， ∴△ABC 、△DBC 都为等腰直角三角形，即可知BC 上的中点O 为外接球的球心，∴若外接球半径为R ，则248R ππ=，即2R =22BC =2AB AC AD BD CD =====，2OA OD ==∴222OA OD AD +=，即OA OD ⊥，而BC OA ⊥，BC OD O ⋂=，故OA ⊥面DBC ，即四面体ABCD ：以△DBC 为底，OA 为高有12122223323DBCV OA S =⋅⋅=⨯⨯=. 故答案：23. 关键点点睛：由等边三角形的性质、勾股定理确定△ABD 、△ACD 、△ABC 、△DBC 的形状，确定外接球球心，进而求棱长，根据线面垂直确定四面体的高与底面，最后求体积.三､解答题(共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17. 已知正项数列{} n a 的首项12a =，若满足()22*113442,n n n n a a a a n n ---=≥∈N .（1）求数列{} n a 的通项公式； （2）若2n nnb a =，数列{} n b 的前n 项和为n T ，求n T . （1） *2,n n a n N =∈；（2）*124,2n n n T n N -+=-∈.（1）由已知得11(2)(32)0n n n n a a a a ---+=，可得出数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得答案. （2）运用错位相减法可求得答案.（1）正项数列{}n a 的首项12a =，因为()22*113442,n n n n a a a a n n ---=≥∈N ，所以11(2)(32)0n n n n a a a a ---+=，解得12n n a a -=或123n n a a -=-（舍去）， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以*2,n n a n N =∈.（2）因为222n nn n n b a ==，所以 2324622222n n n T =++++ 23411246222222n n n T +=++++， 上面两式作差得2311111212()22222n n n nT +=++++- 11111()242121212n n n-+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+⨯--222n n +=-所以*124,2n n n T n N -+=-∈. 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.18. 将三颗大小和质地完全相同的骰子各掷一次，记向上的数字作为投掷的结果.（1）记事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“没有出现3点”，计算()|P B A ； （2）记各掷一次大小和质地完全相同的三颗骰子，向上出现的不同数字的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.（1）()1| 2P B A =；（2）分布列见解析，5() 2E X =（1）利用古典概型求出()P A ，() P AB ，再由条件概率公式()()()| P AB P B A P A =即可求得结果；（2）各掷一次大小和质地完全相同的三颗骰子，向上出现的不同数字的个数X 可能取值为0,2,3，分别利用古典概型计算概率，列出分布列，再计算期望. （1）三颗骰子各掷一次共有3 6216=种情况，事件A 为“三个点数都不相同”有 654120⨯⨯=种情况，故()120216P A = 事件B 为“没有出现3点” 有 54360⨯⨯=种情况，故()60216P AB =， ()()()1| 2P AB P B A P A ∴==.（2）各掷一次大小和质地完全相同的三颗骰子，向上出现的不同数字的个数X 可能取值为0,2,3，()3610 6?36P X ===，()233659052 6?2161?2C P X ⨯⨯====，()365412052 6?216?9P X ⨯⨯====故随机变量X 的分布列：X23P1 36 51?2 59数学期望()023 361?2?9?2E X =⨯+⨯+⨯= 方法点睛：本题考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X 取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.19. 在正方体1111 ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点.（1）证明：1BD ⊥平面11AC D ；（2）求直线1 D E 与平面11 AC FE 所成角的正弦值. （1）证明见解析；（2）49.（1）由正方体的性质，结合三垂线定理可证11BD DC ⊥，111BD AC ⊥，根据线面垂直的判定即可证1BD ⊥平面11AC D ；（2）构建以D 为原点，1,,DA DC DD 为x 轴、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，确定11,,EF EA ED 的坐标，求面11AC FE 的一个法向量n ，应用向量法求1ED 与n 夹角的余弦值，由线面角与该角互余，即可得直线1D E 与平面11AC FE 所成角的正弦值.（1）连接11B D 、1CD ，即11B D 为1BD 在面1111D C B A 上的射影，1CD 为1BD 在面11DCC D 上的射影，∵正方体中，有11CD DC ⊥，1111B D A C ⊥， ∴11BD DC ⊥，111BD AC ⊥，而1111DC AC C ⋂=， ∴1BD ⊥面11AC D .（2）构建以D 为原点，1,,DA DC DD 为x 轴、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，∴11(2,0,2),(2,1,0),(1,2,0),(0,0,2)A E F D ，即11(1,1,0),(0,1,2),(2,1,2)EF EA ED =-=-=--， 若面11AC FE 的一个法向量为(,,)n x y z ，则020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =有(2,2,1)n ，∴1114cos ,||9||||99ED n ED n ED n ⋅<>===⋅⨯，∴直线1D E 与平面11AC FE 所成角的正弦值为49.关键点点睛：（1）根据正方体性质、三垂线定理以及线面垂直的判定证明线面垂直；（2）构建空间直角坐标系，应用向量法，由线面角、直线方向向量与平面法向量夹角的关系，求线面角的正弦值.20. 已知椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，且124BF F π∠=.（1）求C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 交C 于M ，N 两点，若△1MNF l 的方程. （1）2212x y +=；（2）112x y =±+.（1）由题设知△1BOF 和△2BOF 均为等腰直角三角形，即有b c =，求2a ，写出椭圆标准方程即可； （2）由题意直线l 的斜率不为0，可设直线l 为1x ty =+，代入椭圆方程整理22(2)210t y ty ++-=，根据韦达定理、点线距离公式求||MN 、1F 到直线l 的距离d ，即可得△1MNF 面积与t 的关系，又△1MNF 的求半径，又由其周长为4a ，即可知面积，进而列方程求参数t ，写出直线方程. （1）由题设知：由左､右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，且124BF F π∠=，∴△1BOF 和△2BOF 均为等腰直角三角形，且12||||||b OB OF OF c ====，∴22a =，即C 的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知：1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线l 的斜率不为0，可设直线l 为1x ty =+，∴代入椭圆方程整理得：22(2)210t y ty ++-=，若1122(,),(,)M x y N x y ，∴2880t ∆=+>则12122221,22t y y y y t t +=-=-++，∴21221)||||2t MN y y t +=-==+，而1F 到直线l的距离d =故11||2MNF Sd MN =⋅⋅=，又△1MNF的内切圆的周长为9，若内切圆半径为r，则9r =，而△1MNF的周长为4l a ==∴1MNF S==12t =±，∴直线l 的方程为112x y =±+. 关键点点睛：（1）根据题设确定等腰直角三角形，即得b c =，进而求参数a ，写出椭圆方程；（2）由直线与椭圆关系，结合韦达定理、点线距离公式写出面积关于参数的函数式，以及三角形内切圆半径与面积的关系求面积，进而列方程求参数. 21. 已知函数()21ln 2f x x ax =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）()f x 存在极大值点.证明：()f x 的最大值不大于112a-. （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）由解析式得21()ax f x x-'=且定义域为(0,)+∞，讨论0a ≤、0a >导函数()'f x 的符号研究函数的单调性及其对应单调区间； （2）由（1）知要证结论只需证ln 102a a a a--≤在0a >恒成立，构造()ln 1g a a a a =--，利用导函数研究最值，即可证明不等式是否成立.（1）由题设，21()ax f x x-'=且定义域为(0,)+∞，∴当0a ≤时，()0f x '>恒成立，即(0,)+∞上()f x 单调递增；当0a >时，若10x <<，()0f x '>则()f x单调递增；若x >()0f x '<则()f x 单调递减； ∴综上：0a ≤时，()f x 在定义域上单调递增；0a >时，()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减.（2）由（1）知：()f x 存在极大值点，则有0a >且极大值为max ln 1()2a f x f +==-，∴要证()f x 的最大值不大于112a-，只需证ln 11122a a +≥-，即ln 102a a a a --≤， 令()ln 1g a a a a =--，则()ln g a a '=-，∴当01a <<时，()0g a '>，()g a 单调增；当1a >时，()0g a '<，()g a 单调减； ∴max ()()(1)0g a g a g ≤==，即在0a >上，ln 102a a a a--≤恒成立，结论得证.关键点点睛：（1）根据解析式确定导函数及其定义域，应用分类讨论的方法，并结合导数研究含参函数的单调性； （2）将问题转化为ln 102a a a a--≤在0a >恒成立，并构造函数，利用导数研究其最值，进而判断不等式是否成立.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin cos x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（2）已知点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. （1）曲线C ：221x y -=，直线l为y =；（2）2.（1）利用同角三角函数平方关系消参，写出曲线C 的普通方程，由直线极坐标方程直接写出其直角坐标方程；（2）设1sin ,c s os (o )c P θθθ，即得sin 2c ||os d θθ=，构造sin 2os (c )f θθθ=，利用导数研究函数的极值，进而确定d 的最小值即可.（1）由已知，曲线C 有222221sin 1cos cos x y θθθ-=-=，即曲线C 的普通方程为221x y -=； 由坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，∴直线l的直角坐标方程为y =.（2）令1sin ,,cos 0cos cos P θθθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭，点P 到直线l距离sin cos cos |2|d θθθ=-=，若sin 2os (c )f θθθ=，则2222cos sin 12cos 2c ()os f θθθθθθθ--='=-，∴当1sin θ-<<时，()0f θ'<，()f θsin 1θ<<时，()0f θ'>，()f θ递增；∴sin θ=时，min |()|2d f θ==. 关键点点睛：第二问中，利用曲线上点的参数坐标，结合点线距离公式，构造函数并应用导数研究极值，进而确定距离的最值.23. 已知()2|2||4|f x x x =-+++. （1）解关于x 的不等式()9f x >；（2）设()f x 最小值为m ， m a b c =++，其中a ，b ，c 均为正实数，求证：11133131317a b c ++≥+++. （1）()(),13,-∞-+∞，（2）证明见详解.（1）分2x ≥、42x -<<、4x ≤-三种情况讨论求解即可；（2）由（1）求出6m =，然后可得31313121a b c +++++=，然后利用柯西不等式证明即可. （1）当2x ≥时，()39f x x =>，所以3x > 当42x -<<时，()89f x x =->，所以41x -<<-当4x ≤-时，()39f x x =->，所以4x ≤- 综上：不等式()9f x >的解集为()(),13,-∞-+∞（2）由（1）可知，当2x =时()f x 取得最小值6m =，即 6a b c ++= 所以31313121a b c +++++=所以()313131111111313131213113131a b c a b c a b c ⎛⎫++=++ ⎪++++++++⎝++⎭+()211311121217≥=++= 当且仅当2a b c ===时等号成立.。

陕西省西安市2021届高三数学上学期期中试题理【含答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集，，，则A. B. C. D. 2.若复数z 满足131iz i i+=--(其中i 为虚数单位，则z =( ) A. 2B. 3C.D. 43.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝12n 2－2n4.给出下列四个结论：①对于命题:p x ∀∈R ，210x x ++>，则0:p x ⌝∃∈R ，20010x x ++≤ ②命题“若2320x x -+=，则1x=”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”；③“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；④若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题；其中正确结论的个数为（ ）A.1B.2C. 3D.45.如图程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和6.在等比数列{a n }中，已知3a ，7a 是方程2610x x -+=的两根，则5a =（ ）A.1-B.1C. 1±D.37.某单位组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20人的得分情况如图所示，若该20人成绩的中位数为a ，平均数为b ，众数为c ，则下列判断错误的是（ ）A. a=92B. b=92C. c=90D. b+c<2a8.函数()2sin(2)3f x x π=-的图像为C ,以下结论中正确的是（ ） ①图像C 关于直线512x π=对称; ②图像C 关于点(,0)3π-对称; ③由y = 2sin2x 的图像向右平移3π个单位长度可以得到图像C. A.①B.①②C.②③D.①②③9.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是 截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体， 如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A .325 B . 165C .6D .3 10.为缓解城市道路交通压力，促进城市道路交通有序运转，减少机动车尾气排放对空气质量的影响，西安市人民政府决定：自2019年3月18日至2020年3月13日在相关区域实施工作日机动车尾号限行交通管理措施．已知每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两辆车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( ) A ．A 车周三限行 B ．今天是周六 C ．今天是周四 D ．C 车周五限行 11.已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+≤<的图像有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．2935[,)2424 B ．2935[,]2424 C ．2935(,)2424 D ．2935(,]242412. 平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α平面ABCD =m ,α平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为（ ） A ．22B ． 32C ．33D ．13第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.若5(3)nx x-的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x 的系数为_____.14.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________.15．2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有不同救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有________种。