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第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
第2章 控制工程的数学基础拉普拉斯变换（简称拉氏变换或者L 变换）是研究控制系统的一种基本数学工具。
它是一种积分变换，它可将时域中的微分方程变换成复域中的代数方程。
利用拉氏变换求解微分方程时，初始条件将包含在微分方程的拉氏变换式中，使求解大为简化。
在控制工程中，使用微分变换的目的不仅仅是为了求解微分方程，更主要的是用它去直接分析系统及其组成的特性，基于拉氏变换和富利叶变换引进传递函数、频率特性之后，就可以不必求解微分方程，而是利用它们直接去分析、设计系统。
2.1 拉氏变换2.1.1 拉氏变换的定义设函数)(t f 当0≥t 时有定义，而且积分⎰+∞-0)(dt e t f st在复参量s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为dt e t f s F st-+∞⎰=0)()( （2.1）则称（2.1）式为函数)(t f 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）。
记为)]([)(t f L s F =，)(s F 称为)(t f 的拉氏变换（或称为象函数）。
在拉氏变换定义式中，积分的下限是指-0。
因为当)(t f 在原点包含有脉冲函数或其导数时，)(t f 在0=t 是无定义的，为了确保脉冲函数或其导数包含在积分限内，定义式中积分下限约定为-0，而不再声明。
实际工程中遇到的函数)(t f 一般都能使广义积分式（2.1）收敛，所以在此不加讨论，可参见工程数学课程中的“拉氏变换的存在定理”。
2.1.2 几种常用函数的拉氏变换1. 单位脉冲函数单位脉冲函数又称δ函数，它是一个脉冲面积为1，在0=t 时出现无穷跳变的特殊函数，其数学表达式为()⎩⎨⎧=∞≠=000t t t δ 并且 ()⎰∞+∞-=1dt t δ （2.2）根据拉氏变换的定义（2.1）式，并利用性质：⎰+∞∞-=)0()()(f dt t t f δ，有()[]()⎰+∞-=dt e t t L st δδ()()100=====-+∞∞--+∞-⎰⎰-t stst st e dt e t dt e t δδ单位脉冲函数的拉氏变换为()[]1=t L δ （2.3）2. 单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<==01001t t t t f （2.4）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有t()[]sse dt e t L stst1110=-==+∞-∞+-⎰这种函数的拉氏变换是()[]st L 11=（2.5） 3. 单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<=⋅=001t t t t t t f （2.6）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有()[]⎰⎰∞+--∞+-+∞+-==0010dt e s e st dt te t f L stst st21s =这种函数的拉氏变换是()[]21st f L =（2.7） 4. 指数函数指数函数的数学表达式为()⎩⎨⎧≥<=-000t et t f tα （2.8）其中α为常数。
《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍解释控制工程的定义、目的和重要性概述控制工程的应用领域和学科范围1.2 控制系统的基本概念介绍控制系统的定义和组成解释输入、输出、反馈和控制器的概念1.3 控制工程的历史和发展回顾控制工程的发展历程和重要里程碑讨论现代控制工程的挑战和发展趋势第二章：数学基础2.1 线性代数介绍矩阵、向量的基本运算和性质讲解线性方程组的求解方法2.2 微积分复习微积分的基本概念和公式讲解导数和积分的应用2.3 离散时间信号介绍离散时间信号的定义和特点讲解离散时间信号的运算和处理方法第三章：连续控制系统3.1 连续控制系统的概述介绍连续控制系统的定义和特点解释连续控制系统的应用领域3.2 传递函数讲解传递函数的定义和性质介绍传递函数的绘制和分析方法3.3 控制器设计讲解PID控制器和模糊控制器的原理和方法讨论控制器设计的考虑因素和优化方法第四章：离散控制系统4.1 离散控制系统的概述介绍离散控制系统的定义和特点解释离散控制系统的应用领域4.2 差分方程和离散传递函数讲解差分方程的定义和求解方法介绍离散传递函数的定义和性质4.3 控制器设计讲解离散PID控制器和模糊控制器的原理和方法讨论控制器设计的考虑因素和优化方法第五章：状态空间方法5.1 状态空间模型的概述介绍状态空间模型的定义和特点解释状态空间模型的应用领域5.2 状态空间方程讲解状态空间方程的定义和求解方法介绍状态空间方程的稳定性分析5.3 状态控制器设计讲解状态控制器的原理和方法讨论状态控制器设计的考虑因素和优化方法第六章：频域分析6.1 频率响应介绍频率响应的定义和作用讲解频率响应的实验测量方法6.2 频率特性分析系统频率特性的性质和图形讨论频率特性对系统性能的影响6.3 滤波器设计讲解滤波器的基本类型和设计方法分析不同滤波器设计指标的选择和计算第七章：数字控制系统7.1 数字控制系统的概述介绍数字控制系统的定义和特点解释数字控制系统的应用领域7.2 数字控制器设计讲解Z变换和反变换的基本原理介绍数字PID控制器和模糊控制器的设计方法7.3 数字控制系统的仿真与实现讲解数字控制系统的仿真方法和技术讨论数字控制系统的实现和优化第八章：非线性控制系统8.1 非线性系统的概述介绍非线性系统的定义和特点解释非线性系统的应用领域8.2 非线性模型和分析方法讲解非线性系统的建模方法和分析技术分析非线性系统的稳定性和可控性8.3 非线性控制策略讲解非线性PID控制器和模糊控制器的原理和方法讨论非线性控制策略的设计和优化第九章：鲁棒控制9.1 鲁棒控制的概述介绍鲁棒控制的定义和目的解释鲁棒控制在控制工程中的应用领域9.2 鲁棒控制设计方法讲解鲁棒控制的基本设计和评估方法分析不同鲁棒控制策略的性能和特点9.3 鲁棒控制在实际系统中的应用讲解鲁棒控制在工业和航空航天等领域的应用案例讨论鲁棒控制在实际系统中的挑战和限制第十章：控制系统的设计与实践10.1 控制系统的设计流程讲解控制系统设计的基本流程和方法分析控制系统设计中的关键环节和技术选择10.2 控制系统实践案例分析不同控制系统实践案例的设计和实现过程讲解控制系统实践中的注意事项和优化方法10.3 控制系统的发展趋势讨论控制系统未来的发展方向和挑战分析新兴控制技术和方法在控制系统中的应用前景重点和难点解析重点环节1：控制系统的基本概念和组成控制系统定义和组成的理解输入、输出、反馈和控制器的相互作用重点环节2：传递函数和控制器设计传递函数的定义和性质PID控制器和模糊控制器的设计方法和应用重点环节3：差分方程和离散传递函数差分方程的求解方法离散传递函数的定义和性质重点环节4：状态空间模型的建立和分析状态空间方程的定义和求解状态空间模型的稳定性和可控性分析重点环节5：频率响应和滤波器设计频率响应的实验测量和分析滤波器设计方法和应用重点环节6：数字控制系统和控制器设计Z变换和反变换的应用数字PID控制器和模糊控制器的设计方法重点环节7：非线性系统的建模和控制策略非线性系统的建模方法非线性控制策略的设计和优化重点环节8：鲁棒控制的设计和评估鲁棒控制的基本设计和评估方法鲁棒控制策略的性能和特点重点环节9：控制系统的设计流程和实践案例控制系统设计的基本流程和方法控制系统实践案例的设计和实现过程重点环节10：控制系统的发展趋势和新兴技术控制系统未来的发展方向新兴控制技术和方法在控制系统中的应用前景本教案涵盖了控制工程基础的十个重点环节，包括控制系统的基本概念和组成、传递函数和控制器设计、差分方程和离散传递函数、状态空间模型的建立和分析、频率响应和滤波器设计、数字控制系统和控制器设计、非线性系统的建模和控制策略、鲁棒控制的设计和评估、控制系统的设计流程和实践案例以及控制系统的发展趋势和新兴技术。
控制工程基础董景新第四版简介《控制工程基础董景新第四版》是董景新教授所著的一本控制工程入门教材，通过全面介绍控制工程的基本概念、基本理论和基本方法，帮助读者建立起对控制工程的基础知识和基本技能的理解和掌握。
内容第一章：引言本章主要介绍控制工程的基本概念和发展历程，为后续章节的学习奠定基础。
首先对控制系统和控制工程的定义进行了阐述，并介绍了控制工程的主要任务和发展方向。
其次，对控制系统的分类进行了介绍，包括开环控制系统和闭环控制系统。
最后，介绍了控制系统的相关术语和符号，为后续章节的学习做好铺垫。
第二章：数学基础本章主要介绍控制工程所需要的数学基础知识。
首先介绍了常见的数学函数和符号，包括常用数学函数、求和符号、积分符号等。
其次，介绍了常用的数学运算法则，包括加法、乘法、指数运算等。
最后，介绍了常见的数学方程和常用的数学方法，包括线性方程组、矩阵运算、微积分等。
第三章：信号与系统本章主要介绍信号与系统的基本概念和分析方法。
首先介绍了信号的定义和分类，包括连续信号和离散信号、周期信号和非周期信号。
其次，介绍了信号的表示与分解方法，包括傅里叶级数和傅里叶变换。
最后，介绍了系统的定义和分类，包括线性系统和非线性系统、因果系统和非因果系统。
同时，介绍了系统的时域分析方法和频域分析方法。
第四章：传递函数与系统响应本章主要介绍传递函数和系统的响应特性。
首先介绍了传递函数的定义和性质，包括零极点分布和传递函数的单一性。
其次，介绍了系统的稳定性和系统的稳定判据，包括极点位置的判断和Nyquist判据。
最后，介绍了系统的时域响应和频域响应，包括单位冲击响应、单位阶跃响应、频率响应等。
第五章：控制系统的稳定性分析本章主要介绍控制系统的稳定性分析方法。
首先介绍了控制系统的稳定性的概念和判据，包括极点位置的判断和Nyquist稳定性判据。
其次，介绍了控制系统的根轨迹法和频率响应法，用于稳定性分析和设计。
最后，介绍了控制系统的相角裕度和增益裕度的概念和计算方法。
《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍了解控制工程的概念、内容和研究方法理解控制工程在工程实践中的应用和重要性1.2 控制系统的基本概念定义系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统1.3 控制工程的目标掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性学习控制系统的设计方法和步骤第二章：数学基础2.1 线性代数基础掌握向量、矩阵和行列式的基本运算学习线性方程组和特征值、特征向量的求解方法2.2 微积分基础复习极限、连续性和微分、积分的基本概念和方法应用微积分解决实际问题2.3 复数基础了解复数的概念、代数表示法和几何表示法学习复数的运算规则和复数函数的性质第三章：控制系统分析3.1 传递函数定义传递函数的概念和性质学习传递函数的绘制和解析方法3.2 频率响应分析理解频率响应的概念和特点应用频率响应分析方法评估系统的性能3.3 根轨迹分析掌握根轨迹的概念和绘制方法分析根轨迹对系统稳定性的影响第四章：控制系统设计4.1 控制器设计方法学习PID控制器的设计原理和方法了解模糊控制器和神经网络控制器的设计方法4.2 控制器参数调整掌握控制器参数调整的目标和方法应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整4.3 系统校正和优化理解系统校正的概念和目的学习常用校正方法和优化技术第五章：现代控制理论5.1 状态空间描述了解状态空间的概念和表示方法学习状态空间方程的求解和状态反馈控制5.2 状态估计和最优控制掌握状态估计的概念和方法学习最优控制的目标和求解方法5.3 鲁棒控制和自适应控制理解鲁棒控制的概念和特点了解自适应控制的设计方法和应用场景第六章：线性系统的稳定性分析6.1 稳定性的定义和性质理解系统稳定性的概念和重要性学习稳定性分析的基本方法6.2 劳斯-赫尔维茨准则掌握劳斯-赫尔维茨准则的原理和应用应用劳斯-赫尔维茨准则判断系统的稳定性6.3 李雅普诺夫方法了解李雅普诺夫方法的原理和分类学习李雅普诺夫第一和第二方法判断系统的稳定性第七章：线性系统的控制器设计7.1 控制器设计概述理解控制器设计的目标和重要性学习控制器设计的基本方法7.2 PID控制器设计掌握PID控制器的设计原理和方法应用PID控制器进行系统控制7.3 状态反馈控制器设计了解状态反馈控制器的设计原理和方法学习状态反馈控制器的设计和应用第八章：非线性控制系统分析8.1 非线性系统概述理解非线性系统的概念和特点学习非线性系统分析的基本方法8.2 非线性系统的描述方法学习非线性系统的数学模型和描述方法应用非线性系统分析方法研究系统的性质8.3 非线性控制系统的应用了解非线性控制系统在工程实践中的应用学习非线性控制系统的设计和优化方法第九章：鲁棒控制理论9.1 鲁棒控制概述理解鲁棒控制的概念和重要性学习鲁棒控制的基本方法9.2 鲁棒控制设计方法掌握鲁棒控制设计的原则和方法应用鲁棒控制设计方法设计控制器9.3 鲁棒控制在控制系统中的应用了解鲁棒控制在实际控制系统中的应用学习鲁棒控制在控制系统中的设计和优化方法第十章：控制系统仿真与实验10.1 控制系统仿真概述理解控制系统仿真的概念和重要性学习控制系统仿真的基本方法10.2 MATLAB控制系统仿真掌握MATLAB控制系统仿真工具的使用应用MATLAB进行控制系统仿真和分析10.3 控制系统实验了解控制系统实验的目的和重要性学习控制系统实验的方法和技巧重点和难点解析重点环节1：控制系统的基本概念和特性控制系统的基本概念，包括系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性重点环节2：传递函数和频率响应分析传递函数的概念和性质，传递函数的绘制和解析方法频率响应的概念和特点，频率响应分析方法分析根轨迹对系统稳定性的影响重点环节3：控制器设计方法和参数调整控制器设计方法，包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器的设计原理和方法控制器参数调整的目标和方法，应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整重点环节4：状态空间描述和最优控制状态空间的概念和表示方法，状态空间方程的求解和状态反馈控制状态估计和最优控制的目标和求解方法重点环节5：非线性控制系统分析和鲁棒控制理论非线性系统的概念和特点，非线性系统分析的基本方法鲁棒控制的概念和重要性，鲁棒控制的基本方法重点环节6：控制系统仿真与实验控制系统仿真的概念和重要性，控制系统仿真的基本方法MATLAB控制系统仿真工具的使用，应用MATLAB进行控制系统仿真和分析控制系统实验的目的和重要性，控制系统实验的方法和技巧全文总结和概括：本教案涵盖了控制工程基础的十个章节，主要包括控制系统的基本概念和特性、传递函数和频率响应分析、控制器设计方法和参数调整、状态空间描述和最优控制、非线性控制系统分析和鲁棒控制理论以及控制系统仿真与实验。
第2章 控制工程的数学基础拉普拉斯变换（简称拉氏变换或者L 变换）是研究控制系统的一种基本数学工具。
它是一种积分变换，它可将时域中的微分方程变换成复域中的代数方程。
利用拉氏变换求解微分方程时，初始条件将包含在微分方程的拉氏变换式中，使求解大为简化。
在控制工程中，使用微分变换的目的不仅仅是为了求解微分方程，更主要的是用它去直接分析系统及其组成的特性，基于拉氏变换和富利叶变换引进传递函数、频率特性之后，就可以不必求解微分方程，而是利用它们直接去分析、设计系统。
2.1 拉氏变换2.1.1 拉氏变换的定义设函数)(t f 当0≥t 时有定义，而且积分⎰+∞-0)(dt e t f st在复参量s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为dt e t f s F st-+∞⎰=0)()( （2.1）则称（2.1）式为函数)(t f 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）。
记为)]([)(t f L s F =，)(s F 称为)(t f 的拉氏变换（或称为象函数）。
在拉氏变换定义式中，积分的下限是指-0。
因为当)(t f 在原点包含有脉冲函数或其导数时，)(t f 在0=t 是无定义的，为了确保脉冲函数或其导数包含在积分限内，定义式中积分下限约定为-0，而不再声明。
实际工程中遇到的函数)(t f 一般都能使广义积分式（2.1）收敛，所以在此不加讨论，可参见工程数学课程中的“拉氏变换的存在定理”。
2.1.2 几种常用函数的拉氏变换1. 单位脉冲函数单位脉冲函数又称δ函数，它是一个脉冲面积为1，在0=t 时出现无穷跳变的特殊函数，其数学表达式为()⎩⎨⎧=∞≠=000t t t δ 并且 ()⎰∞+∞-=1dt t δ （2.2）根据拉氏变换的定义（2.1）式，并利用性质：⎰+∞∞-=)0()()(f dt t t f δ，有()[]()⎰+∞-=dt e t t L st δδ()()100=====-+∞∞--+∞-⎰⎰-t stst st e dt e t dt e t δδ单位脉冲函数的拉氏变换为()[]1=t L δ （2.3）2. 单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<==01001t t t t f （2.4）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有t()[]sse dt e t L stst1110=-==+∞-∞+-⎰这种函数的拉氏变换是()[]st L 11=（2.5） 3. 单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<=⋅=001t t t t t t f （2.6）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有()[]⎰⎰∞+--∞+-+∞+-==0010dt e s e st dt te t f L stst st21s =这种函数的拉氏变换是()[]21st f L =（2.7） 4. 指数函数指数函数的数学表达式为()⎩⎨⎧≥<=-000t et t f tα （2.8）其中α为常数。
根据拉氏变换的定义（2.1）式，有()[][]()dt e dt e e e L t f L t s st t t ⎰⎰+∞+--+∞--===0ααα()ααα+=∞++-=+-s e s t s 101 指数函数的拉氏变换是()[][]αα+==-s e L t f L t 1（2.9） 5. 正弦函数正弦函数的数学表达式为()⎩⎨⎧≥<=0sin 00t t t t f ω （2.10）其中，ω为常数。
根据欧拉公式()t j tj e e jt ωωω--=21sin 有[]()⎰∞+---=021sin dt e e e j t L st t j tj ωωω()(){}⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰⎰∞+∞++---ωωωωj s j s j dt e dt e j tj s t j s 112121022ωω+=s正弦函数的拉氏变换是()[][]22sin ωωω+==s t L t f L （2.11）6. 余弦函数余弦函数的数学表达式为()⎩⎨⎧≥<=0cos 00t t t t f ω （2.12）其中，ω为常数。
根据欧拉公式()t j tj e e t ωωω-+=21cos 有[]()⎰∞+--+=021cos dt e e e t L stt j t j ωωω ()(){}2200112121ωωωωω+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+=⎰⎰∞+∞++---s s j s j s dte dt e t j s t j s余弦函数的拉氏变换是[]22cos ωω+=s st L （2.13）为便于查阅，我们将控制工程中一些常用函数的拉氏变换列于书末的附表中。
2.1.2 拉氏变换的基本性质下面介绍拉氏变换的几个基本性质。
为方便起见，假定在这些性质中，凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件。
1．线性性质设[])()(11s F t f L =，[])()(22s F t f L =，若α，β是常数，则有[][][])()()()()()(212121s F s F t f L t f L t f t f L βαβαβα+=+=+ （2.14）这个性质表明函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。
其证明只须根据定义，利用积分性质就可推出。
2．微分性质设()[]()s F t f L =，则有()()0)(f s sF dt t df L -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （2.15） 式中()0f 是原函数()t f 在0=t 处的值。
对于()t x 的n 阶导数的拉氏变换有[]()()())0(00)()1(21)(----⋯-'--=n n n n n f f s f s s F s t f L （2.16）式中，()()()()()()()0,,0,0,0121-n f f f f 分别为原函数()t f 及其各阶导数在0=t 处的值。
若原函数()t f 及其各阶导数的初始值均为零，例如从静态（平衡状态）开始的运动，则微分性质可表达成[]()s F s t f L n n =)()( （2.17） 即原函数()t f 的n 阶导数的拉氏变换，等于其象函数()s F 乘以s 的n 次方。
3．积分性质设()[]()s F t f L =，则有)(1)(0s F sdt t f L t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （2.18） 重复应用（2.18）式，就可得到)(1)(000s F sdt t f dt dt L n t t t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ （2.19） 即原函数()t f 的n 重积分的拉氏变换，等于其象函数()s F 除以s 的n 次方。
4．位移性质(1) 设()[]()s F t f L =，则有[])()(a s F t f e L t-=α (Re c a s >-)() (2.20)即一个函数乘以指数函数te α的拉氏变换等于其象函数作位移α。
位移性质在工程上很有用处，它可以简化一些复杂函数的拉氏变换运算。
5．延迟性质设()[]()s F t f L =，又0<t 时0)(=t f ，则对于任一非负实数τ，有[])()(s F e t f L s ττ-=- （2.21）6．初值定理设()[]()s F t f L =，且()s sF s ∞→lim 存在，则()()()s sF t f f s t ∞→→==lim lim 00（2.22）7．终值定理设()[]()s F t f L =，且)(s sF 的所有极点全部在[s ]平面的左半部，即在[s ]平面的右半部和虚轴上没有极点，则()()s sF t f f s t 0lim lim )(→∞→==∞ （2.23）证明：因为)(s sF 在[s ]平面的右半部和虚轴上没有极点，所以，)(s sF 在[s ]平面的右半部和虚轴上连续，而[]()()0)(f s sF t f L -='对上式两边取极限，令s 从包含虚轴的右半平面趋于0[]()()0lim )(lim 00f s sF t f L s s -='→→由于)(s sF 连续到边界（虚轴），所以，)(lim 0s sF s →存在，从而[])(lim 0t f L s '→存在，由L 变换的定义，有[]⎰+∞-'='0)()(dt e t f t f L st取极限，得[])0()()()(lim )(lim )(lim 0000f f dt t f dte tf dt e t f t f L st s st s s -+∞='='='='⎰⎰⎰∞++∞-→+∞-→→即())0(lim )0()(0f s sF f f s -=-∞→ ()s sF f s 0lim )(→=+∞（证毕） 在很多情况下，只要确定函数)(t f 的终值)(∞f ，可以不必求出)(t f ，而是用终值定理求)(lim 0s sF s →就可以了。
终值定理是系统稳态分析的重要工具，在控制理论中具有很重要的地位。
注意在运用终值定理之前，必须确定它满足终值定理的所有条件，如增长函数，周期函数等是不能运用终值定理的。
8．卷积积分定理卷积的概念在系统分析中有很重要的意义。
两个时间函数()t g 和()t x 的卷积积分定义为()()=*t x t g ()()()()⎰⎰-=-ttd t x g d x t g 0ττττττ （2.24）上式中“*”表示两个时间函数()t g 和()t x 的卷积积分。
设()[]()s G t g L =和()[]()s X t x L =，则()()[]()()s X s G t x t g L =* （2.25）式（2.25）即为卷积积定理，证明如下：根据拉氏变换条件：当0<t 时，()0=t x 。
当t >τ时，()0=-τt x ，因此()()()()⎰⎰∞-=-td x t g d t x t g 0τττττ于是()()⎰-t d t x t g 0ττ()()⎰⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00dt d t x t g et stττ ()()τττd x dt e t g st⎰⎰∞∞--=0令λτ=-t ，则τλ+=t ，λd dt =代入式（2.20）得()()()()()⎰⎰⎰∞∞+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000τλλττττλx d e g d x t g L s t()()()()s X s G d e x d e g s s ==⎰⎰∞∞--00ττλλτλ 同理可以证明()()()()s X s G d t x t g L t=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰0ττ （2.26） 可见函数()t f 和()t g 的卷积，与它们的先后次序无关，亦卷积具有对称性。
