第十七讲 指对数方程

3.11 指数方程与对数方程【知识要点】1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。

3.指数方程的基本类型：（1）(0,0,0),x a c a a c =>≠>其解为log a x c =；（2）()()(0,1)f x g x a a a a =>≠，转化为代数方程()()f x g x =求解；（3）()()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠，转化为代数方程()lg ()lg f x a g x b =求解；（4）()0(0,0)x F a a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解指数方程x a y =。

4. 对数方程的基本类型：（1）log (0,1)a x b a a =>≠,其解为b x a =；（2）log ()log ()(0,1)a a f x g x a a =>≠，转化为()()()0()0f x g x f x g x =⎧⎪>⎨⎪>⎩求解；（3）(log )0(0,0)a F x a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解对数方程log a x y =。

5.指数方程和对数方程的近似解利用函数图象和二分法可以求指数方程和对数方程的近似解.【基础训练】1．方程4220x x +-=的解是 。

2．方程lg lg (3)1x x ++=的解____________x =。

3．已知函数34()log (2)f x x =+，则方程14()7f x -=的解__________x =。

4．已知137x =， 则( ) （A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<15．方程22log 3x =的解集是（ ）（A ）φ （B）{ （C）{- （D）{-【精选例题】例1．解下列方程：（1）16=（251x -=5；（3）2523532x x ++=⋅+。

高一数学指数对数的知识点log一、指数的基本概念指数是数学中的一个重要概念，它用来表示某个数相乘的次数。

比如2的3次方表示将2相乘3次，即2 * 2 * 2 = 8。

指数可以是正整数、零或负整数。

其中，正整数指数表示乘方，零指数表示1，负整数指数表示倒数。

二、指数的运算规律1. 乘法规律：a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。

例如：2的3次方乘以2的4次方等于2的(3+4)次方，即2^3 × 2^4 = 2^7。

2. 除法规律：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方。

例如：2的5次方除以2的3次方等于2的(5-3)次方，即2^5 ÷ 2^3 = 2^2。

3. 幂的幂规律：(a的m次方)^n = a的(m×n)次方。

例如：(2的3次方)^4 = 2的(3×4)次方，即(2^3)^4 = 2^(3×4)。

4. 乘方表达式求值的顺序：先乘方，后乘除加减。

例如：2的3次方乘以3再减去4，应先计算2^3 = 8，再进行8×3 - 4的运算。

三、对数的基本概念对数是指把一个数与某个基数的幂相等的关系。

对数可以用来简化指数运算，它的表达形式为logₐ(b)，其中a为基数，b为真数，log为对数运算符。

四、常见的对数及其性质1. 自然对数：以常数e为底数的对数，表示为ln(x)。

常数e是一个无理数，约等于2.71828。

2. 以10为底的常用对数：表示为log₁₀(x)或简写为log(x)。

例如log₁₀(100) = 2，即10的2次方等于100。

3. 对数的性质：- log(a × b) = log(a) + log(b) 两数相乘的对数等于两数的对数之和。

- log(a ÷ b) = log(a) - log(b) 两数相除的对数等于两数的对数之差。

- log(a^n) = n × log(a) 数的幂数的对数等于幂数与底数的对数的乘积。

基本初等函数知识点知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n 次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.且图象过定点，即当时，变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).，那么①加法：②减法：③数乘：⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.且图象过定点，即当时，上是增函数上是减函数变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.补充：函数1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A 中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。

指数方程与对数方程【知识梳理】1. 指对方程的概念指数里含有未知数的方程称为指数方程; 对数符号后含有未知数的方程称为对数方程.2. 指数方程的求解(1) 基本方法: 去指数运算;(2) 基本原理: 指数函数是单调的, 即()()()()(0,1)p x q x a a p x q x a a =⇔=>≠;(3) 注意事项: 若要使用换元法令()p x a t =, 则至少有0t >.3. 对数方程的求解(1) 基本方法: 去对数符号;(2) 基本原理: 对数函数是单调的; ()()log ()log ()()0(0,1)()0a a p x q x p x q x p x a a q x =⎧⎪=⇔>>≠⎨⎪>⎩;(3) 注意事项: 解方程()()p x q x =后需要验根.4. 换元法若指对方程的形式较为复杂, 则可以考虑换元法——将方程中的某部分看作一个整体, 使得方程变为相对熟悉的方程(如一元二次方程)的形式. 注意: 换元过程中须指出新变元的范围, 以免增根的产生.5. 解的存在性问题此类问题往往有两种转化的途径: 其一, 对于方程()f x a =有解, 则要求实数a 落在函数()y f x =的值域中; 其二, 转化为二次函数的根的分布的问题. 其中, 后者较为繁琐.【典型例题】例1. 解下列方程.(1)123x -=; (2)1335102x x x -⋅=;(3) 42log (2)log (1)1x x -=--;(4)40.2540.25log (3)log (3)log (1)log (21)x x x x -++=-++.例2. 求下列方程的解集.(1)221237330x x --⋅-⋅+=; (2)2+=;(3)224[log (1)]log (1)5x x +++=; (4)lg 2310x x x -=;(5)22log (95)log (32)2x x -=-+.例3. 已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根为2, 求a 的值和方程的其余的根.例4. 已知2()log (21)x f x =-, 解方程1(2)()f x f x -=.例5. 关于x 的方程4230x x k k -⋅++=, 试根据下列条件, 求实数k 的取值范围:(1) 有实根;(2) 仅有一个实根.例6. 已知0,1a a >≠, 若方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解, 求实数k 的取值范围.例7. 已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+, (1) 证明: 函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2) 用反证法证明方程()0f x =没有负根.【巩固练习】1. 方程2232x x =-的解的个数是.……………….………………………………….……..............................( )A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果方程22lg lg 20x x --=的两根为,αβ, 则log log αββα+=…………………...............................( )A. 0B. 2-C. 4D. 4-3. 设1()f x -是2()log (1)f x x =+的反函数, 若11[1()][1()]8f a f b --++=, 则()f a b +=.........................( )A. 1B. 2C. 3D. 2log 34. 方程lg 30x x +-=的根所在的区间是…………………..………………………………...........................() A. (1,2) B. 511(,)24 C. 95(,)42 D. 13(3,)45. 方程2lg lg 60x x --=的解为____________;6. 方程||770x x --=的解为________________;7. 关于x 的方程9430x x m +⋅-=有实数解, 则实数m 的取值范围是________________;8. 已知方程1x 是方程lg 3x x +=的解, 2x 是方程103x x +=的解, 则12x x +=____________;9. 解下列方程.(1)2486227x x x ++=⋅; (2)155log (1)log (3)1x x +--=.10. 已知关于x 的方程224log (3)log x x a +-=的解在区间(3,4)内, 求实数a 的取值范围.。

高一对数指数函数知识点在高中数学中，对数和指数函数是重要的数学概念。

它们在各个科学领域中都有广泛的应用。

本文将探讨高一阶段涉及的对数和指数函数的知识点。

一、指数函数指数函数是一种形如f(x) = a^x（a为常数）的函数。

其中，a称为底数。

1.指数函数的性质- 当a>1时，指数函数在整个定义域上是递增的；当0<a<1时，指数函数在整个定义域上是递减的。

- 指数函数在x轴上的图像必过点(0,1)。

2.指数函数的图像与性质- 当底数a<1时，指数函数的图像逐渐接近x轴，但永远不会触及。

- 当底数a=1时，指数函数的图像是一条水平线y=1。

- 当底数a>1时，指数函数的图像在x<0时位于y轴下方，经过点(0,1)，在x>0时逐渐远离x轴。

二、对数函数对数函数是指形如f(x) = loga(x)（a为正实数且a≠1）的函数。

1.对数函数与指数函数之间的关系对数函数与指数函数是互逆的。

即，如果y = f(x)是指数函数，那么x = f^(-1)(y) = loga(y)是对数函数。

2.对数函数的性质- 当0<a<1时，对数函数在整个定义域上是递减的；当a>1时，对数函数在整个定义域上是递增的。

- 对数函数在y轴上的图像必过点(1,0)。

3.对数函数的图像与性质- 当底数a>1时，对数函数的图像从负无穷趋近于y轴，经过点(1,0)，在x>1时逐渐远离y轴。

- 当底数0<a<1时，对数函数的图像在x>0时位于y轴上方，在x<1时逐渐向y轴靠近。

三、指数方程与对数方程指数方程和对数方程是数学问题中常见的类型。

在解决这些问题时，需要应用指数函数和对数函数的性质。

1.指数方程指数方程是指形如a^x = b（a、b为常数）的方程。

解这种方程时，可将两边同时取以底数为a的对数，然后运用对数函数的性质。

举个例子，解方程2^x = 8:取以底数为2的对数，得到x = log2(8) = 3。

指数与对数的基本概念指数与对数是数学中重要的基本概念，它们在各个领域中被广泛应用。

本文将详细介绍指数与对数的定义、性质以及它们的应用。

一、指数的基本概念指数，也称为幂，是一种表示数的乘方的方法。

指数由底数和指数两个部分组成。

底数是要乘的数，指数是乘法的次数。

下面以一个具体的例子来说明指数的概念：2的3次方，即2³，表示将2连乘3次，结果为8。

指数的规律有乘法规律、幂的幂规律等。

指数的运算包括乘法、除法、指数为零的情况等。

具体而言，指数之间相乘时底数相同，则指数相加；指数之间相除时底数相同，则指数相减；指数为零时，任何数的零次方都等于1等。

二、对数的基本概念对数是指数的逆运算。

对数函数y=logₐx表示以a为底，x为真数，求得的指数y。

根据对数的定义，对数运算可以将乘法运算转化为加法运算，从而简化计算。

对数的运算包括对数乘法法则、对数除法法则等。

对数乘法法则表明以同一个底数取对数的两个数相乘，等于它们各自以此底数取对数的结果相加。

对数除法法则则表示以同一个底数取对数的两个数相除，等于它们各自以此底数取对数的结果相减。

三、指数与对数的应用1. 科学计数法科学计数法是一种常用的表示大数字或小数字的方法。

它使用指数形式表示一个数，方便进行计算。

例如，地球半径约为6.4×10⁶米，其中6.4为尾数，10⁶为指数。

2. 物理学中的指数和对数在物理学中，指数和对数有着广泛的应用。

例如，指数函数在描述放射性衰变、电流衰减等方面起着重要的作用；对数函数在描述声音的强度、震动的幅度等方面具有重要意义。

3. 经济学中的指数和对数经济学中的价格指数、消费指数等都是常见的指数应用。

对数则广泛用于计算经济增长率、收益率等。

4. 计算机科学中的指数和对数计算机科学中，指数和对数被广泛用于数据压缩、算法复杂度分析等方面。

其中，以2为底的对数是二分查找算法中的重要研究对象。

5. 生物学中的指数和对数生物学中常用指数增长模型来描述生物种群的生长趋势。

高中数学-指数函数对数函数知识点指数函数、对数函数知识点知识点内容：1.整数和有理指数幂的运算：当a≠0时，aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ；aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ；(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ2.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的性质：①解析式：y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.且a≠1)②图象：过点(0,1)，在a＞1时，在R上是增函数，在0＜a＜1时，在R上是减函数③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时，在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)⑤奇偶性：非奇非偶函数典型题：1.把0.9017x=0.5化为对数式为log0.9017(0.5)=x2.把lgx=0.35化为指数式为x=10⁰.³⁵3.计算：2×6⁴³=6⁴⁴⁹4.求解：(2+1)⁻¹+(2-1)⁻²sin45°=0.5915.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的图象过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值f(0)=a⁰⁄ⁿ=1f(1)=aᵐ⁄ⁿ=a³⁄ⁿf(-3)=a⁻⁹⁄ⁿ6.求下列函数的定义域：① y=2-x²，定义域为R② y=1⁄(4x-5)-2，定义域为R-{5⁄4}7.比较下列各组数的大小：① 1.2<2.5<1.2+0.5，0.4-0.1<0.4-0.2② 0.3=0.4=0.4=0.3，<2112③ (2³)²<(3²)³<(2²)³8.求函数y=(x²-6x+17)⁄2的最大值，最大值为159.函数y=(a-2)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为a＞310.函数y=(a²-1)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为|a|＞1x其中a为底数，x为真数，y为对数。

高中数学备课教案指数与对数函数的基本概念与性质高中数学备课教案指数与对数函数的基本概念与性质一、引言指数与对数函数是高中数学中重要的概念，对于学生的数学素养和解题能力具有重要的影响。

本备课教案旨在详细介绍指数与对数函数的基本概念与性质，并提供相应的教学指导，帮助学生全面理解这一内容。

二、指数函数的基本概念与性质1. 指数的概念- 定义：指数是表示乘方运算的运算符号，用于表示多个相同因数相乘的简便方法。

- 指数运算法则：乘法法则、幂法则、倒数法则等。

2. 指数函数与幂函数的关系- 定义：指数函数是以底数为常数、指数为变量的函数，其中底数大于0且不等于1。

- 指数函数与幂函数的关系：指数函数可以看作是幂函数的拓展，指数函数的性质由幂函数的性质延伸而来。

3. 指数函数的图像与性质- 指数函数的图像特点：由底数的大小、正负和指数的增减性质决定。

- 指数函数的性质：单调性、奇偶性、值域等。

三、对数函数的基本概念与性质1. 对数的概念- 定义：对数是指数的逆运算，用于求解指数方程。

- 对数运算法则：对数的基本性质包括换底公式、对数的乘法法则、对数的幂法则等。

2. 对数函数与指数函数的关系- 定义：对数函数是指数函数的逆函数，用于求解指数方程。

- 对数函数与指数函数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，互为反函数意味着对数函数与指数函数的图像关于直线y=x对称。

3. 对数函数的图像与性质- 对数函数的图像特点：由底数的大小决定，底数大于1时曲线上升，底数小于1时曲线下降。

- 对数函数的性质：单调性、奇偶性、值域等。

四、教学指导与教学方法1. 教学指导- 指导学生理解指数与对数的基本概念，掌握指数运算法则和对数运算法则。

- 引导学生分析指数函数与幂函数之间的关系，理解指数函数的图像特点和性质。

- 引导学生分析对数函数与指数函数之间的关系，理解对数函数的图像特点和性质。

2. 教学方法- 示范法：通过示例引导学生理解指数运算法则和对数运算法则的应用。

基本初等函数知识点知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n 次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.且图象过定点，即当时，变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).，那么①加法：②减法：③数乘：⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.且图象过定点，即当时，上是增函数上是减函数变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.补充：函数1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A 中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。

指数方程与对数方程【知识要点】1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

2．解指数方程、对数方程的基本思想：化同底或换元。

3.指数方程的基本类型：（1）(0,1,0),xa c a a c =>≠>其解为log a x c =； （2）()()(0,1)f x g x a a a a =>≠，转化为代数方程()()f x g x =求解；（3）()()(0,1,0,1)f x g x ab a a b b =>≠>≠，转化为代数方程()lg ()lg f x a g x b =求解；（4）()0(0,1)xF a a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解指数方程xa y =。

4. 对数方程的基本类型：（1）log (0,1)a x b a a =>≠,其解为bx a =；（2）log ()log ()(0,1)a a f x g x a a =>≠，转化为()()()0()0f x g x f x g x =⎧⎪>⎨⎪>⎩求解；（3）(log )0(0,1)a F x a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解对数方程log a x y =。

典型例题【例1】 解下列方程： (1)9x +6x =22x +1；(2)log 4(3-x )+log 41(3+x )=log 4(1-x )+log 41(2x +1)；(3)log 2(9x -1-5)-log 2(3x -1-2)=2. 【解前点津】 (1)可化为关于（32）x的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；(3)转化为关于3x -1的一元二次方程.【规范解答】 (1)由原方程得：32x +3x ·2x =2·22x ，两边同除以22x 得：(23)2x +（23）x-2=0. 因式分解得：[（23）x -1]·[(23)x +2]=0. ∵(23)x +2>0，∴ (23)x -1=0，x =0.(2)由原方程得：log 4(3-x )-log 4(3+x )=log 4(1-x )-log 4(2x +1)⇒(3-x )·(2x +1)=(1-x )·(3+x )解之:x =0或7，经检验知：x =0为原方程解.(3)log 2(9x -1-5)=log 24·(3x -1-2) ⇒9x -1-5=4·(3x -1)-8因式分解得：(3x -1-1)(3x -1-3)=0⇒3x -1=1或3x -1=3⇒x =1或2.经检验x =2是原方程解.【解后归纳】 指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程，因转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则.【例2】 解关于x 的方程：lg(x 2-2ax )-lg(6a -3)=0.【解前点津】 利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价性”.【规范解答】 化原方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-+=->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=->->-36)(21362036022222a a a x a a ax x a ax x ∵a >21，∴a 2+6a -3>41+6×21-3>0，故由(x -a 2)=a 2+6a -3得：x -a =±362-+a a 即x =a ±362-+a a (a >21).【解后归纳】 含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围.【例3】 解关于x 的方程：a 2·4x +(2a -1)·2x +1=0.【解前点津】 令t =2x ，则关于t 的一元方程至少有一个正根，a 是否为0，决定了方程的“次数”.【规范解答】 ①当a =0时，2x =1，x =0； ②当a ≠0时，Δ=(2a -1)2-4a 2=1-4a ；若Δ≥0则a ≤41(a ≠0). 且关于t 的一元二次方程a 2·t 2+(2a -1)t +1=0至少有一个正根，而两根之积为21a>0，故两根之和为正数，即221aa ->0⇒a <21，故a ≤41 (a ≠0)时，2x=[]2241)21(a a a -±-，故a ≤41(a ≠0)时，x =log 2224121a a a -±-为原方程之根.【解后归纳】 方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元”和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围.【例4】 当a 为何值时，关于x 的方程4x -(2a +1)·2x +a 2+2=0的根一个比另一个大1. 【解前点津】 令y =2x ，则问题转化为：关于y 的方程y 2-(2a +1)y +(a 2+2)=0中的根一个是另一个的两倍.【规范解答】 令y =2x ，∵x 1=x 2+1，故212+x =2·22x ，即y 2=2y 1，故关于y 的方程y 2-(2a +1)y +(a 2+2)=0中的根一个是另一个的两倍，不妨设为m ，2m .由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=•+=+>∆22123)2(4)12(22122022222a m a m a a a m m a m m ⇒4231224722=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+>a a a a . 【解后归纳】 在不等式与方程式的混合不等式组中，常从解方程入手，将方程之根代入不等式检验便知真伪.【例5】（1）方程252log 253log 1x x -=的解集为________________；（2）方程414144log (3)log (3)log (1)log (21)x x x x -++=-++的解集为_______。

一、指数方程1、指数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程。

2、解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。

3、指数方程的基本类型： （1）(0,0,0),=>≠>xa c a a c 其解为log =a x c ； （2）()()(0,1)=>≠f x g x a a a a ，转化为代数方程()()=f x g x 求解；（3）()()(0,1,0,1)=>≠>≠f x g x ab a a b b ，转化为代数方程()lg ()lg =f x a g x b 求解；（4）()0(0,0)=>≠xF a a a ，用换元法先求方程()0=F y 的解，再解指数方程=xa y 。

二、对数方程1、对数方程的定义：在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

2、解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。

3、对数方程的基本类型：（1）log (0,1)=>≠a x b a a ,其解为=b x a ；（2）log ()log ()(0,1)=>≠a a f x g x a a ，转化为()()()0()0=⎧⎪>⎨⎪>⎩f xg x f x g x 求解；（3）(log )0(0,0)=>≠a F x a a ，用换元法先求方程()0=F y 的解，再解对数方程log =a x y 。

指数方程与对数方程知识梳理一、指对数方程的基本运算【例1】解下列指数方程：（1）2438632x x x ++=⋅；（2）1427169881xx -⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭g ； （3）21153x x +-=．【例2】解下列指数方程： （1）12492800x x ++-⋅+=；（2）()()107222440x x x x ---+++=．【例3】解下列指数方程： （1）()44222340xx +--=；（2）()()()()12312123x x xx x x x ++--=++．例题解析【例4】解下列方程： （1）()()2lg 426lg 31x x x +---=；（2）()()122log 44log 23x x x ++=+-；（3）21log (235)2x x x ++-=；（4）242(log )log 30x x --=；（5）2log 432x x x =．【例5】解方程：（1）2log 4x x =；（2）1331log (31)log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭；（3）2331(log )13log x x x+=．【例6】解对数方程：lg81lg 96x x -=．【巩固训练】1．解下列指数方程：（1）1379x x -⋅=； （2）22951620xx -+-=； （3）112=-x x．2．解下列指数方程：（1）4669x x x +=⋅；（2）2212=-xx．3．解下列方程： （1）log 4(3-x )+log 41(3+x )=log 4(1-x )+log 41(2x +1)；（2）log 2(9x -1-5)-log 2(3x -1-2)=2．4．解下列对数方程：（1）()()2lg 2lg 2610x x x +-+-+=；（2）()()21lg 6lg 1lg 62x x --+=； （3）()()122log 44log 23x x x ++=+-．二、指对数方程的应用【例7】当a 为何值时，关于x 的方程4x -(2a +1)·2x +a 2+2=0的根一个比另一个大1．【例8】解关于x 的方程：a 2·4x +(2a -1)·2x +1=0．【例9】)1,0(),1(log )(≠>-=a a a x f x a ，解方程：)()2(1x f x f -=．【例10】解关于x 的方程：lg(x 2-2ax )-lg(6a -3)=0．【例11】已知方程()()2lg lg 4ax ax =有两个大于1的解，求实数a 的取值范围．【例12】若239)(log log y x =，（1）如果y x 3=，求y x ,的值；（2）y x ,为何值时，yx有最小值．【巩固训练】1．解关于x 的方程： （1）012)12(42=+⋅-+⋅x x a a （2）0)36lg()2lg(2=---a ax x （3）()2lg lg 1lg x x a --=2．解关于x 的方程24(1)62()9x x xa a a -+⋅=-⋅．3．==-a f a x f x ，则a = ．4．若关于x 的一元二次方程24(12log )10x a x +-+=有正实数根，求实数a 的取值范围．5．若方程122log (1)log x x a +-=有解，求实数a 的取值范围．6．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值．三、指对数方程的恒成立与有解问题【例13】若关于x 的方程229430x x a -----⋅-=有解，求实数a 的取值范围．【例14】当k 为何值时，方程4230x x k k -⋅++=有两个不同的解? 有一个解? 无解?【例15】设对数方程lg()2lg(1)ax x =-． （1）当2a =时，解该对数方程；（2）若该对数方程有实数解，求实数a 的取值范围．【例16】)1(log 2)(log 22+=x kx 有两个不同解，求k 的取值范围．【例17】a 取什么值时，方程()1lg x a =-有解？并求出其解．【例18】 已知0a >，1a ≠，试求使方程：()()222log log a a x ak x a-=-有解的k 的取值范围．【巩固训练】1．设方程4210x x a +⋅+=有实数解，求实数a 的取值范围.2．0525=+⋅-a a xx 有两个不同解，求a 的取值范围3．关于x 的方程1936(5)0xx k k k +⋅-⋅+-=在区间[]0,2上有解，求k 的取值范围．4．已知关于x 的方程为()()()()2113131330x x x m m m R +++----⋅=∈． （1）当4m =时，解这一方程；（2）若方程在区间[]31,log 4上有唯一实数解，求m 的取值范围．5．22log 12log ()x x a +=-有且只有一解，求a 的取值范围．6．a x a x x f lg 42lg )(2++⋅=，3)(max =x f ，求实数a ．7．k x x x f +-=2)(，若k a f =)(log 2以及2)(log 2=a f ，其中k a ,为常数且1≠a ，求)(log 2x f 的最小值以及相应的x 的值．指数方程与对数方程是指对数函数与方程的结合应用，体现了函数与方程的思想。

函数（2）学案主备人：_________ 编号：___005______ 【本课概论】1、对数的定义：在方程N =xa 中，已知底数和幂，定义指数N log a x =2、指数函数x a x f =)(，对数函数xx f a log )(=，幂函数a x x f =)(【概念应用】1、利用对数的降次特征化简大数据运算。

2、利用指数函数、对数函数和幂函数刻画数学模型。

【知识点及习题剖析】 对数1、对数的定义与转化。

在N log a x=中，a 叫做底数，N 叫做真数，该式读作“x 等于N 以a 为底的对数”其中a>0且a ≠1，真数N>0（若N=0或N<0则无意义） 指数式N =xa与对数式N log a x =可相互转化。

例：将指数式64126=-，对数式416log 21-=分别转为对数式和指数式。

解：①6641log 2-= ②16214=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-剖析：指数式和对数式底数相等，真数与幂相等，指数与对数相等，不要搞混。

2、对数的运算法则（请自行用对数的定义推导）。

推导过程： 公式：①MNN M a a alog log log =+②NM N M aa a log log -log =③Mn M a n a log log =nMM a alog log n=④x a a x a xa ==log log例1：求125log 3log 30log 31022+-的值。

解：由公式②④③⑤得原式=310log 3)5log 2(log 35log 310log 13101010102==+=+⋅剖析：合理运用公式。

记住从对数里提为降次，放到对数里为升次。

*例2（应用）：已知5.145.23170log ,2416777216log 22==求5.2317016777216的近似值。

解：5.95.14245.2317016777216log 2=-=， 3.7144.110002225.2317016777216105.9=≈==（实际724左右，误差2%以内）剖析：合理运用对数及编制好的对数表可以极大地简化问题。

指数函数及对数函数重难点根式的概念：①定义：假设一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，假设a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1〕当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2〕当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .②性质：1〕a a n n =)(； 2〕当n 为奇数时，a a n n =； 3〕当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n幂的有关概念：①规定：1〕∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *， 2〕)0(10≠=a a ，n 个 3〕∈=-p aap p(1Q ，4〕m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1〕r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q 〕，2〕r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q 〕，3〕∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q 〕 〔注〕上述性质对r 、∈s R 均适用.例 求值〔1〕328〔2〕2125- 〔3〕()521- 〔4〕()438116-例.用分数指数幂表示以下分式(其中各式字母均为正数)(1)43a a ⋅ 〔２〕a a a 〔３〕32)(b a -〔４〕43)(b a + 〔５〕322b a ab + 〔6〕4233)(b a +例.化简求值〔1〕012132322510002.0827）（）（）（）（-+--+----（2）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=指数函数的定义：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，1〕函数的定义域为R ， 2〕函数的值域为),0(+∞，3〕当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 提问：在以下的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？〔1〕22x y += 〔2〕(2)x y =- 〔3〕2xy =-〔4〕x y π= 〔5〕2y x = 〔6〕24y x =〔7〕x y x = 〔8〕(1)xy a =- 〔a ＞1，且2a ≠〕例：比拟以下各题中的个值的大小〔1〕1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3与 0.93.1例：指数函数()xf x a =〔a ＞0且a ≠1〕的图象过点〔3，π〕，求 思考：0.70.90.80.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数xxxxd y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关系为〔A 〕d c b a <<<<1 〔B 〕c d a b <<<<1〔C 〕d c b a <<<<1 〔D 〕c d b a <<<<1 1、函数2121x x y -=+是〔 〕A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数 2、函数121x y =-的值域是〔 〕 A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞3、01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过〔 〕 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例．求函数xx y +⎪⎭⎫ ⎝⎛=221的值域和单调区间例 假设不等式3axx22->(31)*+1对一切实数*恒成立，则实数a 的取值围为______. .f (*)=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (*)值域为______. 考察分段函数值域.【解析】 *∈(－∞,1〕时,*－1≤0,0<3*－1≤1, ∴－2<f (*)≤－1*∈(1,+∞)时，1－*<0,0<31－*<1,∴－2<f (*)<－1 ∴f (*)值域为(－2,－1〕 【答案】 (－2,－1〕 例、2)(22-+=+--x x xxe e ee f ，则函数)(x f 的值域是_____________例 点〔2，1〕与〔1，2〕在函数()2ax b f x +=的图象上，求()f x 的解析式例.设函数11()2x x f x +--=，求使()f x ≥的x 取值围．例定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

如何解指、对数方程本文介绍解指（对）数方程的技巧，目的在于灵活运用解方程的基本方法，掌握各种变形技巧，提高解题能力．一、 换元法例1 解方程649x x x+=． 分析：注意到4263x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，9362x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故倒数换元可求解． 解：原方程两边同除以6(60)x x >，得23132x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设2(0)3xy y ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，原方程化为11y y +=， 化简整理，得210y y +-=． 0y >Q，12y -+∴=，即23x⎛⎫= ⎪⎝⎭．231log 2x ∴=． 例23lg 40x +=．解：(0)y y =≥，则22lg 3y x +=， 代入原方程，解得2y =，或10y =-<（舍去）．20=，得100x =．经检验知，100x =为原方程的解．二、 单调性法例3 解方程345x x x+=．解：原方程等价于34155x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然0x >， 我们考虑函数34()55x x f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然(2)1f =，即2x =是原方程的根． 又35x ⎛⎫ ⎪⎝⎭和45x ⎛⎫ ⎪⎝⎭都是减函数，故()f x 也是减函数． 当2x <时，()(2)1f x f >=；当2x >时，()(2)1f x f <=，因此，原方程只有一个解2x =．三、 巧取对数法例4 解方程1lg 100x x +=．解：两边取对数，得1lg lg lg100x x +=，即(1lg )lg 2x x +=．解得lg 1x =，或lg 2x =-，故有10x =，或0.01x =．经检验知，10x =，0.01x =都是方程的解．四、 拆项配方法例5 设22log (1)log (4)log 8log log a a a a a x y x y +++=++，求实数x y ，的值．分析：一个方程两个未知数，必须有特殊方法求解，本题可用非负数的性质求解． 解：由已知条件0x >，0y >，故原式可化为22log (1)(4)log 8a a x y xy ⎡⎤++=⎣⎦，即22(1)(4)8x y xy ++=． 22228440x y xy x y ∴-+++=．拆项配方，有22(2)(2)0xy x y -+-=．由非负数的性质，得20xy -=，且20x y -=． 解得12x y ==，．。

指数对数方程知识精要：一．基本概念：指数方程：在指数中含有未知数的方程叫指数方程。

对数方程：对数的真数或底数中(或对数符号后面)含有未知数的方程叫对数方程。

二．解法 (1)求解形如()()f x g x aa =，()()log log a a f x g x =，()()f x g x ab =，()f x a b =的方程，基本思想方法是利用指数函数、对数函数的性质，以及两边取对数的方法，把它们转化为解一个可用初等方法来解的代数方程(2)求解形如()()0,log 0x a f a f x ==的方程，基本思想方法是通过变换，令xy a =或log a y x =把它转化为一个可用初等方法解决的简单代数方程()0f y =，然后再解一个最简单的指数方程()0xa y y =>或对数方程log a x y =。

注：在解对数方程时，常要应用对数的运算性质进行恒等变形，通过恒等变形有时会造成增根或失根，对此，应注意，一是在变形过程中，注意变形后得到的方程是否与原方程同解，特别要注意变形过程中所应用的对数运算性质，是否满足性质中的条件；二是要注意把求得的结果进行检验。

(3)求解形如3xx a +=或log 3a x x +=的方程，在初等数学中只能用图像法，即画出函数xy a =或log a y x =的图像以及直线3y x =-，从函数图像与这一直线有无交点来说明原方程是否有解。

总结：1．换元法 2. 整体代换法 3．图象法 4． 逆用定义法 5． 变换主元法热身练习：1．339=x解：原方程的解为：43=x 2．11235-+=xx解：两边取以3为底的对数（也可以5为底或以10为底）得：0)5log 1)(1(5log )1(15log 3log 33213132=--+⇒+=-⇒=+-x x x x x x得原方程的解为：5log 113+=-=x x 或3.解方程：25055112=++-x x解：原方程化为：250555)5(2=⋅+x x ，令025055052=-+⇒>=t t t x，得：（舍）或5025-==t t ，即252552=⇒==x x ，故原方程的解为：2=x .本文介绍解指（对）数方程的技巧，目的在于灵活运用解方程的基本方法，掌握各种变形技巧，提高解题能力． 4.解方程649xxx+=．分析：注意到4263x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，9362xx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故倒数换元可求解．解：原方程两边同除以6(60)xx>，得23132x x⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设2(0)3xy y ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，原方程化为11y y +=，化简整理，得210y y +-=．0y >，y ∴=，即2132x-⎛⎫= ⎪⎝⎭．231log 2x ∴=． 5.3lg 40x +=．(0)y y =≥，则22lg 3y x +=，代入原方程，解得2y =，或10y =-<（舍去）．20=，得100x =． 经检验知，100x =为原方程的解．精解名题：例1．方程8)154()154(x x =++-的解集为_______。