3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】
1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系;
2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】
通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点
1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量
作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f －
1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减.
4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系
导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象.
问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？
答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域.
问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？
答：y 值分别是: 18, 14, 1
2
, 1, 2, 4, 8.
问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1
2
,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？
答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3.
问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？
答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称.
问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？
答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念
问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应.
问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？
答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新
的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f －
1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？
答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x
5
,x ∈R.
例1 写出下列函数的反函数:
(1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1
3
x; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R).
(2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1
3
,它的反函数为指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ∈R). (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2
3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤:
(1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域.
跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3
x －1
(x ∈R,x≠1).
解：(1)由y ＝3x －1,得x ＝13(y ＋1), 即所求反函数为y ＝1
3
(x ＋1);
(2)函数y ＝x 3＋1的值域为R, x 3＝y －1,x ＝3y －1, 所以反函数为y ＝3
x －1 (x ∈R);
(3)函数y ＝x ＋1 (x≥0)的值域为y≥1, 由x ＝y －1,得x ＝(y －1)2, 所以反函数为y ＝(x －1)2 (x≥1).
(4)因y ＝2x ＋3x －1＝2x －2＋5x －1＝2＋5x －1, 所以y≠2,由5x －1＝y －2, 得x ＝1＋5
y －2＝y ＋3y －2, 所以反函数为y ＝x ＋3x －2
(x≠2).
例2 已知函数f(x)＝a x －k 的图象过点(1,3),其反函数y ＝f －
1(x)的图象过(2,0)点,则f(x)的表达式为_______ f(x)＝2x ＋1_________.
解析： ∵y ＝f －
1(x)的图象过点(2,0), ∴y ＝f(x)的图象过点(0,2). ∴2＝a 0－k,∴k ＝－1.∴f(x)＝a x ＋1. 又∵y ＝f(x)的图象过点(1,3),∴3＝a 1＋1, ∴a ＝2.∴f(x)＝2x ＋1.
小结：由互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称可知:若点(a,b)在y ＝f(x)的图象上,则点(b,a)必在y ＝f －
1(x)的图象上. 跟踪训练2函数y ＝log a (x －1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4),求a 的值.
解:根据反函数的概念,知函数y ＝log a (x －1)(a>0且a≠1)的图象经过点(4,1),∴1＝log a 3,∴a ＝3. 探究点三 指数函数与对数函数的增长差异
问题1观察函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象,指出两个函数的增长有怎样的差异？
答:根据图象,可以看到,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝2x 随着x 的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y ＝log 2x 的增长的速度逐渐变得很缓慢.
问题2你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？ 答
y ＝a x (a>1) y ＝log a x (a>1) 图象
定义域 R (0,＋∞) 值域
(0,＋∞) R
性质
当x>0时,y>1; 当x<0时,0当x>1时,y>0; 当01.函数y ＝21－
x ＋3 (x ∈R)的反函数的解析表达式为 ( )
A.y ＝log 22
x －3
B.y ＝log 2x －32
C.y ＝log 23－x 2
D.y ＝log 2
2
3－x
解析:∵y ＝21－
x ＋3(x ∈R),∴21－
x ＝y －3, ∴1－x ＝log 2(y －3),即x ＝1－log 2(y －3)＝log 22y －3. ∴y ＝log 22x －3
.故选A. 2.设函数f(x)＝log 2x 的反函数为y ＝g(x),若g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝1
4
,则a 等于
( )
A.－2
B.－12
C.1
2
D.2
解析:因函数f(x)＝log 2x 的反函数为y ＝g(x),所以g(x)＝2x , 由g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝14, 得21a －1＝2－
2, 即1a －1
＝－2,所以a ＝12.
3.设a>0,a≠1,函数f(x)＝a x ,g(x)＝b x 的反函数分别是f －1(x)和g －1(x).若lg a ＋lg b ＝0,则f －1(x)和g －
1(x)的图象 ( A ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于y ＝x 对称
解析:由lg a ＋lg b ＝0,得a ＝1
b
,所以函数f(x)＝a x 与g(x)＝b x 的图象关于y 轴对称,它们的反函数的图象关于x 轴对称.
课堂小结：
1.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称.
2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x;
(3)x 、y 互换并注明反函数定义域.
3.反函数的定义域是原函数的值域,并不一定是使反函数有意义的所有x 的集合.
