3.2.3指数函数与对数函数的关系教案

示范教案整体设计教学分析教材通过函数y＝2x与y＝log2x引入反函数的概念，值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担．三维目标了解反函数的概念，知道y＝a x与y＝log a x(a＞0，a≠1)互为反函数，树立普遍联系的思想．重点难点教学重点：y＝a x与y＝log a x(a＞0，a≠1)的关系和反函数的概念．教学难点：理解反函数的概念．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝a x与函数y＝log a x到底还有什么关系呢？这就是本堂课我们要研究的新内容．思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，搞清y＝a x和函数y＝log a x的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．推进新课新知探究提出问题①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y与y＝2x与y＝log2x的函数图象.②通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.④探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系.⑤探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系.⑥结合②与⑤推测函数y＝a x与函数y＝log a x的关系.讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.y＝log2x.图象如下图所示．②在指数函数y ＝2x 中，x 是自变量，y 是x 的函数，而且其在R 上是单调递增函数．过y 轴的正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与y ＝2x 的图象有且只有一个交点，即对任意的y 都有唯一的x 相对应，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数．③由指数式与对数式关系，y ＝2x 得x ＝log 2y ，即对于每一个y ，在关系式x ＝log 2y 的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，即x ＝log 2y.这时我们把函数x ＝log 2y 〔y ∈(0，＋∞)〕叫做函数y ＝2x (x ∈R )的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调x ＝log 2y 中的x 、y 写成y ＝log 2x ，这样y ＝log 2x 〔x ∈(0，＋∞)〕是指数函数y ＝2x (x ∈R )的反函数．由上述讨论可知，对数函数y ＝log 2x 〔x ∈(0，＋∞)〕是指数函数y ＝2x (x ∈R )的反函数；同时，指数函数y ＝2x (x ∈R )也是对数函数y ＝log 2x 〔x ∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y ＝2x (x ∈R )与对数函数y ＝log 2x 〔x ∈(0，＋∞)〕互为反函数．以后，我们所说的反函数是x 、y 对调后的函数．如y ＝log 3x ，x ∈(0，＋∞)与y ＝3x (x ∈R )互为反函数，y ＝log 0.5x 与y ＝0.5x (x ∈R )互为反函数．函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f －1(x)表示．④从我们的列表中知道，y ＝2x 与x ＝log 2y 是同一个函数图象．⑤通过观察图象可知，y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称．⑥通过②与⑤类比，归纳知道，y ＝a x (a ＞0，且a≠1)的反函数是y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)，且它们的图象关于直线y ＝x 对称．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．应用示例思路1例写出下列函数的反函数： (1)y ＝30x ；(2)y ＝log 0.7x.解：(1)f －1(x)＝log 30x ；(2)f －1(x)＝0.7x .点评：函数y ＝a x 与函数y ＝log思路2例 求下列函数的反函数： (1)y ＝－2x ；(2)y ＝2x ＋1. 解：(1)x ＝－12y ，则f －1(x)＝－12x.(2)2x ＝y －1，则x ＝log 2(y －1)，∴f －1(x)＝log 2(x －1)(x ＞1)．点评：求反函数的步骤：①将y ＝f(x)看成关于x 的方程，解方程得x ；②x 、y 互换得f －1知能训练1．函数y ＝lgx 的反函数是( )A ．y ＝lgxB ．y ＝10xC ．y ＝lnxD ．y ＝10x 答案：B2．函数y ＝－3x的图象关于( )A ．直线y ＝x 对称B ．直线y ＝2x 对称C ．x 轴对称D ．y 轴对称 答案：A3．写出下列函数的反函数： (1)y ＝21log x ；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝6x .解：(1)f －1(x)＝(12)x ；(2)f －1(x)＝12x －12；(3)f －1(x)＝log 6x.拓展提升若1＜x ＜2，比较(log 2x)2，log 2x 2，log 2(log 2x)的大小．活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困难，教师可以提示并及时评价．这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法．很明显，log 2(log 2x)小于0，只要比较(log 2x)2与log 2x 2的大小即可．解：log 2(log 2x)＜(log 2x)2＜log 2x 2.解法一：因为log 2x 2－(log 2x)2＝log 2x·(2－log 2x)＝log 2x·log 24x ，又因为1＜x ＜2，所以1＜x ＜4x.所以log 24x＞0，log 2x ＞0.所以log 2x 2＞(log 2x)2＞0.又因为log 2x ＜1，log 2(log 2x)＜0，所以log 2(log 2x)＜(log 2x)2＜log 2x 2.解法二：因为(log 2x)2－log 2x 2＝(log 2x)2－2log 2x ＋1－1＝(log 2x －1)2－1， 又1＜x ＜2，所以0＜log 2x ＜1，即0＜(log 2x)2＜1. 因此(log 2x －1)2－1＜0.又log 2(log 2x)＜0，故log 2(log 2x)＜(log 2x)2＜log 2x 2. 点评：比较数的大小方法：①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小． ③计算出每个数的值，再比较大小．④若是两个以上的数，有时采用中间量比较． ⑤利用图象法．⑥利用函数的单调性． 课堂小结1．互为反函数的概念及其图象间的关系． 2．对数函数图象的平移变换规律．3．本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．4．指、对数函数图象性质对比． 作业课本本节练习B 1、2.设计感想 学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．备课资料[备用习题]1．f(x 2－3)＝log a x 26－x 2(a ＞0，a≠1)，判断f(x)的奇偶性．活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论．判断函数的奇偶性，一般用定义法；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤．解：∵f(x 2－3)＝log a x 2－3＋33－(x 2－3)，∴f(x)＝log a 3＋x 3－x .由3＋x3－x ＞0，得f(x)的定义域为(－3,3)．又∵f(－x)＝log a 3－x 3＋x ＝log a (3＋x 3－x )－1＝－log a (3＋x3－x )＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论． 2．已知常数a 、b 满足a ＞1＞b ＞0，若f(x)＝lg(a x －b x )， (1)求y ＝f(x)的定义域；(2)证明y ＝f(x)在其定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，且f(2)＝lg2，求a 、b 的值． (1)解：由a x －b x ＞0，得(ab)x ＞1.因为a ＞b ＞0，所以ab＞1.所以y ＝(a b )x 是增函数．而且由(ab)x ＞1得x ＞0，即函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，因为a ＞1，所以g 1(x)＝a x 是增函数．所以ax 1－ax 2＜0， (ax 1－ax 2)－(bx 1－bx 2)＜0，即(ax 1－bx 1)－(ax 2－bx 2)＜0.因此0＜ax 1－bx 1＜ax 2－bx 2，于是lg(ax 1－bx 1)＜lg(ax 2－bx 2)，故f(x)＝lg(a x －b x )在(0，＋∞)内是增函数．(3)解：因为f(x)在(1，＋∞)内为增函数，所以对于x ∈(1，＋∞)内每一个x 值，都有f(x)＞f(1)．要使f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，即f(x)＞0，只需f(1)＝0. 于是f(1)＝lg(a －b)＝0，得a －b ＝1.又f(2)＝lg2，所以lg(a 2－b 2)＝lg2.所以a 2－b 2＝2，即(a ＋b)(a －b)＝2. 而a －b ＝1，所以a ＋b ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.经检验知a ＝32，b ＝12为所求．点评：解(3)要用到(1)与(2)的结果，是相互联系的，恒成立问题是高考的热点问题，要注意把握．(设计者：张新军)。

数学指数函数与对数函数的应用教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 了解指数函数和对数函数的定义和性质；2. 掌握指数函数和对数函数的运算法则；3. 理解指数函数和对数函数在实际问题中的应用。

二、教学重点1. 指数函数和对数函数的定义和性质；2. 指数函数和对数函数的运算法则；3. 指数函数和对数函数在实际问题中的应用。

三、教学内容及安排1. 指数函数的引入（5分钟）1. 通过例子引入指数函数的概念；2. 引导学生思考指数函数的定义和性质。

2. 指数函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍指数函数的定义和符号表示；2. 讲解指数函数的性质，如指数函数的增减性、奇偶性等；3. 给出一些例子，让学生通过观察图像来了解指数函数的特点。

3. 指数函数的运算法则（15分钟）1. 介绍指数函数的乘法法则、幂法则和除法法则；2. 通过例题演示如何运用这些法则进行指数函数的简化和计算。

4. 对数函数的引入（5分钟）1. 通过例子引入对数函数的概念；2. 引导学生思考对数函数的定义和性质。

5. 对数函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍对数函数的定义和符号表示；2. 讲解对数函数的性质，如对数函数的增减性、奇偶性等；3. 给出一些例子，让学生通过观察图像来了解对数函数的特点。

6. 对数函数的运算法则（15分钟）1. 介绍对数函数的乘法法则、幂法则和除法法则；2. 通过例题演示如何运用这些法则进行对数函数的简化和计算。

7. 指数函数和对数函数的应用（20分钟）1. 介绍指数函数在复利计算、人口增长等领域的应用；2. 介绍对数函数在测量震级、pH值等领域的应用；3. 给出一些实际问题，让学生通过应用指数函数和对数函数进行求解。

8. 拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考其他领域中指数函数和对数函数的应用；2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识。

四、教学方法1. 示范法：通过举例和演算，引导学生理解和掌握指数函数和对数函数的定义、性质和运算法则。

认识指数函数与对数函数教案第一部分：介绍指数函数与对数函数的基本概念指数函数和对数函数是数学中重要的函数类型，它们在许多自然科学和社会科学中都有广泛的应用。

为了让学生对指数函数和对数函数有更深入的理解，我们需要先介绍它们的基本概念。

1.1 指数函数的定义与性质指数函数是以指数形式定义的函数。

其中，指数是一个常数，底数是一个大于0且不等于1的实数。

指数函数具有以下性质：- 底数为正数时，指数函数是一个递增函数；- 底数为负数时，指数函数是一个递减函数；- 连续函数，定义域为实数集。

1.2 对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，其定义是指数函数与自变量的关系逆转。

对数函数的底数大于0且不等于1，其性质包括：- 对于同一个底数，底数越大，对数值越小；- 对数函数的反函数是指数函数；- 连续函数，定义域为正实数集。

第二部分：教学目标与教学策略在教学指数函数与对数函数时，我们需要明确教学目标并采取合适的教学策略来提高学生的兴趣和理解。

2.1 教学目标- 了解指数函数和对数函数的基本定义与性质；- 掌握指数函数与对数函数之间的关系；- 能够灵活运用指数函数和对数函数进行数学运算与问题解决；- 培养学生对指数函数和对数函数的应用意识。

2.2 教学策略- 基于案例的教学方法：通过介绍实际应用案例，引发学生对指数函数和对数函数的关注，理解其重要性。

- 梯度式教学：由简单到复杂、由具体到抽象的教学顺序，帮助学生逐渐理解和掌握指数函数和对数函数的概念。

- 讨论与合作学习：通过课堂讨论和小组合作学习，鼓励学生互相交流、分享思考，提高彼此的理解能力。

第三部分：课堂教学内容与活动设计为了提高学生的学习兴趣和参与度，我们需要设计一些互动活动，促进他们对指数函数和对数函数的理解与运用。

3.1 指数函数的引入通过一个实例，引导学生分析一个实际问题，如人口增长问题，并引出指数函数的概念。

学生可以使用指数函数来模拟描述人口的增长趋势。

张喜林制3.2.3 指数函数与对数函数的关系教材知识检索考点翘识清单1．反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的 作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的 ，我们称这两个函数互为反函数。

函数)(x f y =的反函数常用 表示，就是说，函数=y )(x f 与)(1x fy -=互为2．指数函数与对数函数指数函数)10(=/>=a a a y x 且与对数函数0log >=a x y a （且)1=/a 互为 3．互为反函数的两个函数有如下关系(1)互为反函数的两个函数的图象(2)原函数的定义域、值域分别是反函数的 ．4．指数函数与对数函数的增减变化情况对相同自变量的增量，指数函数0(>=a a y x且a≠1）与对数函数x y a log =（a>0且a≠1）的增量变化见下表：要点核心解读1．有关反函数的概念学习反函数要注意以下两点：第一，并不是所有的函数都存在反函数，只有在函数的定义域与值域之间建立了一一映射的前提下，函数才存在反函数．第二，在同一坐标系内，)()(11y f x x f y -==与的图象相同，)()(1x f y x f y -==与的图象关于直线y=x 对称．2．求函数的反函数问题求反函数的步骤：(1)求函数)(x f y =的值域； (2)由)(x f y =解出);(1y f x -=(3)在)(1y fx -=中，将x 、y 互换得到);(1x f y -=(4)标明反函数的定义域，即(1)中求出的值域．3．函数与它的反函数的图象之间的关系问题函数)(x f y =和它的反函数)(1x f y -=的图象，在同一坐标系内关于直线x y =对称。

函数)()(1y fx x f y -==与的图象相同．函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称，则它的反函数是它本身．4．指数函数与对数函数间的关系(1)由于对数函数与指数函数互为反函数，因此在画对数函数的图象时，除用描点法外，还可以先作出指数函数的图象，再作其关于直线y=x 对称的图形．从两个函数的图象上，可以观察它们具备的性质，如定义域、值域、特殊点、单调性等，这是图象法的应用．(2)与指数函数对比，对数函数也要分a>l 和O<a<l 讨论，在这两种情况下，对数函数的单调性不同；a>1时为增函数，O<a<l 时为减函数．指数函数xa y =恒过定点(0，1)，由对称性，对数函数x y a log = 恒过定点(1，0)，实际上只要令真数为1即可得到，这是一个研究技巧． 5．两种函数的函数值增长快慢的比较指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．典例分类剖析考点1求反函数[例1]求函数⎩⎨⎧<-≥-=)0(12),0(1)(2x x x x x f 的反函数．[解析] 分别求出)0(12)0(12<-=≥-=x x y x x y 与的反函数，再写成一个函数的分段形式． (1)由,12-=x y 得.12+=y x ①当且仅当,01≥+y 即1-≥y 时，①在),0[+∞上有唯一解，即.1+=y x)0(12≥-=∴x x y 的反函数是⋅-≥+=)1(1x x y(2)由,12-=x y 得⋅+=21y x ② ,0<x 即,1,021-<<+y y ∴ 当且仅当y< -1时，②在)0,(-∞上有唯一解，即=x ⋅+21y )0(12<-=∴x x y 的反函数是⋅-<+=)1(21x x y 由(1)和(2)知，所求反函数为⎪⎩⎪⎨⎧⋅-<+-≥+=-)1(21),1(1)(1x x x x x f [点拨] 分段函数的反函数分段求．母题迁移1．求下列函数的反函数。

数学指数函数与对数函数教案教案内容：一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解指数函数与对数函数的基本概念；2. 掌握指数函数与对数函数的图像性质；3. 熟练运用指数函数与对数函数的性质解决实际问题。

二、教学重点1. 指数函数与对数函数的定义与性质；2. 指数函数与对数函数的图像；3. 指数函数与对数函数在实际问题中的应用。

三、教学内容1. 指数函数的定义与性质指数函数是指具有形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。

在教学中，我们着重讲解指数函数的定义与性质，包括：1.1 指数函数的定义：y=a^x；1.2 指数函数的图像特点：与a、x的取值相关；1.3 指数函数的性质：a）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；b）同底数幂相除，底数不变，指数相减；c）指数为0的幂等于1；d）若指数为正，函数单调递增；若指数为负，函数单调递减。

2. 对数函数的定义与性质对数函数是指具有形如y=loga(x)的函数，其中a>0且a≠1。

在教学中，我们重点介绍对数函数的定义与性质，包括：2.1 对数函数的定义：y=loga(x)；2.2 对数函数的图像特点：与a、x的取值相关；2.3 对数函数的性质：a）对数的底数不为0、不为1；b）对数与指数是互反运算；c）对数函数的增长特点：当x增大时，对数值增大；当x减小时，对数值减小；d）对数函数在坐标系中的对称性。

3. 指数函数与对数函数的图像通过绘制指数函数和对数函数的图像，让学生对其形态和性质进行直观感受。

3.1 指数函数的图像特点：a）当0<a<1时，函数图像经过点(0, 1)且单调递减；b）当a>1时，函数图像经过点(0, 1)且单调递增。

3.2 对数函数的图像特点：a）对数函数的图像都经过点(1, 0)；b）当0<a<1时，函数图像在y轴的正半轴上递减；c）当a>1时，函数图像在y轴的正半轴上递增。

4. 指数函数与对数函数的应用通过实际问题的讲解，让学生认识指数函数和对数函数在各个领域的应用。

3.2.2 对数函数-3.2.3 指数函数与对数函数的关系自主整理1.对数函数的定义：函数y=log a x(a>0,且a≠1,x>0)称为对数函数，它的定义域为(0,+∞),值域为R.2.对数函数的图象与性质:4.反函数当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f-1(x)，反函数也是函数，它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.指数函数y=a x（a＞0,且a≠1）和对数函数y=log a x（a＞0,且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线y=x对称.高手笔记1.解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式,但一定要注意真数大于零这一隐含条件.2.求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.3.考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义.考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.4.利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.5.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象沿y 轴对称到y 轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log a |x|的图象.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与原x 轴上方的部分一起,就是y=|log a x|的图象. 名师解惑1.比较两个对数的大小，一般可采用哪些方法？ 剖析：两数（式）大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有： （1）直接法：由函数的单调性直接作答；（2）作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；（3）作商法：若两数同号，把两数作商变形，判断其大于、等于、小于1来确定； （4）转化法：把要比较的两数适当地转化成两个新数大小的比较；（5）媒介法：选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.2.对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有哪些对应关系？ 剖析:对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系：（1）图象都位于y 轴右侧，且以y 轴为渐近线→函数定义域为（0，+∞）. （2）图象向上、向下无限延展→函数值域为R .（3）图象恒过定点（1，0）→1的对数是零，即log a 1=0.（4）当a ＞1时，图象由左向右逐渐上升→当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数； 当0＜a ＜1时，图象由左向右逐渐下降→当0＜a ＜1时，y=log a x 在（0，+∞）上是减函数. （5）当a ＞1时，在直线x=1的右侧，图象位于x 轴上方；在直线x=1与y 轴之间，图象位于x 轴下方→当a ＞1时，x ＞1，则y=log a x ＞0；0＜x ＜1，则y=log a x ＜0.当0＜a ＜1时，在直线x ＝1的右侧，图象位于x 轴下方；在直线x ＝1与y 轴之间，图象位于x 轴上方→当0＜a ＜1时，x ＞1，则y=log a x ＜0；0＜x ＜1，则y=log a x ＞0. 3.怎样把对数函数与指数函数联系起来研究? 剖析：（1）对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到：这两种函数都要求底数a ＞0，且a≠1；对数函数的定义域为(0，+∞)，结合图象看，对数函数在y 轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a ＞1，或0＜a ＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0，＋∞)上同时为增函数，或者同时为减函数〕.对数函数的图象都经过点（1，0），这与性质log a 0=1是分不开的.(3)既然对数函数y=log a x 与指数函数y=a x互为反函数，那么它们的图象关于直线y ＝x 对称.于是通过对a 分情况（约定不同的取值范围），再结合函数y=log 2x,y=log 21x 的图象来揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事.讲练互动图3-2-2【例题1】图3-2-2是对数函数y=log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，101时所对应图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( ) A.3,34,53,101 B.3,34,101,53 C.34,3,53,101 D.34,3,101,53 解析：因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案：A 绿色通道由对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a 的相互关系，应根据对数函数图象与底数间的变化规律来处理.在指数函数y=a x中，底数a 越接近1，相应的图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x 对称的，直线y=1关于直线y=x 的对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=log a x ，底数a 越接近1，其图象就越接近直线x=1. 变式训练1.若log a 2<log b 2<0,则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1 解析：注意到此题两对数值底数不同真数相同,用图象法或用换底公式均可.方法一：由底数与对数函数的图象关系(如图)可知y=log a x,y=log b x 图象的大致走向.再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大. 方法二：利用换底公式转化成同底的对数再进行比较. 由已知，得ba 22log 1log 1 <0,则0>log 2a>log 2b,即log 21>log 2a>log 2b.∵y=log 2x 为增函数, ∴0<b<a<1.方法三：取特殊值法.∵log 212=-1,log 412=21, ∴log 212<log 412<0.∴可取a=21,b=41，则0<b<a<1. 答案：B【例题2】比较大小： （1）log 0.27与log 0.29； （2）log 35与log 65；（3）（lgm ）1.9与（lgm ）2.1（m ＞1）； （4）log 85与lg4.分析:（1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x ，当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29. （2）考查函数y=log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x 在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x 在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1;若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9＝（lgm ）2.1.（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8， 所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4. 解：（1）log 0.27＞log 0.29. （2）log 35＞log 65.（3）当m ＞10时，（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;当m=10时，（lgm ）1.9=（lgm ）2.1;当1＜m ＜10时，（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1. （4）log 85＞lg4.绿色通道本题比较大小代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择. 变式训练2.比较下列各组数中两个值的大小: （1）log 23.4,log 28.5; （2）log 0.31.8;log 0.32.7;（3）log a 5.1,log a 5.9(a>0且a≠1); （4）log 67,log 76.分析:对于底数相同的两个对数值比较大小，可由对数的单调性确定，利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1或0等），间接比较两个数的大小. 解：（1）考查对数函数y=log 2x ，因为它的底数2>1，所以它在(0,+∞)上是增函数，于是log 23.4<log 28.5.（2）考查对数函数y=log 0.3x ，因为它的底数满足0<0.3<1，所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log 0.31.8>log 0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大，因此需要对底数a 进行讨论:当a>1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数，于是log a 5.1<log a 5.9； 当0<a<1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数，于是log a 5.1>log a 5.9. （4）∵log 67>log 66=1，log 76<log 77=1， ∴log 67>log 76.【例题3】已知函数y=lg （12+x -x ），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 分析:注意到12+x +x=xx -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），从而f（-x ）=lg （12+x +x ）=-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性. 解：由题意12+x -x ＞0，解得x∈R ，即定义域为R .又f （-x ）=lg ［1)(2+-x -（-x ）］=lg （12+x +x ）=lg1112-+x=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ）=-f （x ）,∴y=lg（12+x -x ）是奇函数. 任取x 1、x 2∈（0，+∞）,且x 1＜x 2， 则xx x x ++⇒++11121221＞22211x x -+，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0， ∴lg（121+x -x 1）＞lg （122+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f（x ）在（0，+∞）上为减函数. 又f （x ）是定义在R 上的奇函数， 故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数.绿色通道研究函数的性质一定得先考虑定义域.在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性. 变式训练3.(2006广东高考,1)函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.(31-,+∞) B.(31-,1) C.(31-,31) D.(-∞,31-) 解析：由.131013,01<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x答案：B【例题4】(1)解不等式:log 3(4-x)>2+log 3x; (2)解方程:2lg 3-x -3lgx+4=0.分析:对于(1),将对数不等式转化为解代数不等式组,对于(2)用换元法将其转化为一元二次方程.解：(1)原不等式可化为log 3(4-x)>log 3(9x),其等价于⎪⎩⎪⎨⎧>>>0,x 0,x -49x,x -4解得0<x<52. ∴原不等式的解集为{x|0<x<52}. (2)设2-3lgx =t,则t≥0. 原方程化为-t 2+t+2=0. 解得t=2,或t=-1(舍去).由2-3lgx =2,得lgx=2.故x=100.经检验x=100是原方程的解.黑色陷阱(1)形如f(log a x)=0,f(log a x)>0的对数方程或不等式，往往令t=log a x 进行换元转化.(2)解对数方程和不等式时要注意防止定义域的扩大，处理办法为：第一，若不是同解变形，最后一定要验根；第二，解的过程中要加以限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解混合不等式组得到原不等式的解. 变式训练4.(2006陕西高考,理4)设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a+b 等于( )A.3B.4C.5D.6 解析：因为函数f(x)的图象经过点（2，1），所以f(2)=1，即log a （2+b ）=1,即a=2+b. 又其反函数的图象经过点（2，8），故函数f(x)的图象经过点（8，2），有log a (8+b)=2，即a 2=8+b,解得a=-2,b=-4(舍去)，或a=3,b=1，所以a+b=4. 答案：B5.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a≠1），则f （log 2x ）的最小值为_____________.解析：由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a即)2()1(,4,0)1(log log 222⎩⎨⎧=+-=-b a a a a由①得log 2a=1，∴a=2. 代入②得b=2.∴f（x ）=x 2-x+2.∴f（log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x 21-）2+47.∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值47，此时x=2.答案：47。

3.2.3 指数函数与对数函数的关系自主学习学习目标1．理解反函数的定义．2．知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)．3．通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它们的性质．自学导引 1．反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的____________，而把这个函数的自变量作为新的函数的____________．称这两个函数互为反函数．(2)反函数的记法：函数y ＝f (x )的反函数通常用____________表示．2．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x ____________.(2)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 的图象关于________对称．对点讲练知识点一 求函数的反函数问题例1 求下列函数的反函数．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x；(2)y ＝log 2x ，x ∈(1,8)；(3)y ＝x 2＋1，x ∈(0，＋∞)．规律方法求函数y＝f(x)的反函数的步骤为：(1)由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；(2)由函数y＝f(x)求y的范围；(3)x、y互换得y＝f－1(x)，注明定义域，即函数y＝f(x)的值域．变式迁移1 求下列函数的反函数．(1)y＝log2x；(2)y＝(1 3) x；(3)y＝5x＋1.知识点二互为反函数的图象间的关系例2 设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．规律方法根据指数函数与对数函数的图象的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程的问题．变式迁移2 本例中若将题干中的两个方程分别改为x＋lg x＝3和x＋10x＝3，结果怎样？知识点三 指数函数与对数函数图象及性质的综合应用例3 设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12)c＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c规律方法 比较数的大小问题，方法灵活，就本题而言，把方程的解看作两函数图象交点的横坐标，从而利用数形结合比较简单，若几个数在不同的范围内，亦可通过求这些数的范围来比较大小．变式迁移3 三个数60.7,0.76，log 0.76的大小关系为( ) A ．0.76<log 0.76<60.7 B ．0.76<60.7<log 0.76 C ．log 0.76<60.7<0.76 D ．log 0.76<0.76<60.7学习本节内容要发现指数函数与对数函数的对立统一关系，能正确比较指数函数和对数函数的性质，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解，掌握互为反函数的两个函数图象关于y ＝x 对称．在解题中反函数的某个函数值，常转化为求原函数的x 值，注意转化思想和数形结合、分类讨论思想的应用．求反函数的一般步骤：(1)将y ＝f (x )看作方程，解出x ＝f －1(y )； (2)将x 、y 对称，得y ＝f －1(x )；(3)写出反函数的定义域(即原函数的值域).课时作业一、选择题1．函数f (x )＝3x (0<x ≤2)的反函数的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)2．下列函数中，反函数是其自身的函数为( ) A ．f (x )＝x 2，x ∈[0，＋∞)B ．f (x )＝x 3，x ∈(－∞，＋∞)C ．f (x )＝e x ，x ∈(－∞，＋∞)D ．f (x )＝1x ，x ∈(0，＋∞)3．若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点( )A ．(1,1)B ．(1,5)C ．(5,1)D ．(5,5)4．已知f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (3)g (3)<0，则f (x )与g (x )在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )5．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (27)＝3，则f －1(log 92)的值是( )A ．log 3 2 B.22 C. 2 D ．2二、填空题6．函数y 1＝log 3x 与函数y 2＝3x ，当x 从1增加到m 时，函数的增量分别是Δy 1与Δy 2，则Δy 1______Δy 2(填“>”，“＝”或“<”)7．函数y ＝3＋log 12x (x ≥1)的反函数的定义域为________．8．已知函数f (x )＝(12)x的图象与函数g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝g (1－|x |)，则关于h (x )有下列命题：①h (x )的图象关于原点对称； ②h (x )为偶函数； ③h (x )的最小值为0.其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题9．已知y ＝12x ＋a 与函数y ＝3－bx 互为反函数，求a ，b 的值．【探究驿站】10．已知f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数图象上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于x 轴．3．2.3 指数函数与对数函数的关系 答案自学导引1．(1)自变量 因变量 (2)y ＝f －1(x ) 2．(1)互为反函数 (2)y ＝x 对点讲练例1 解 (1)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，得x ＝log 14 y ，且y >0，∴f －1(x )＝log 14x ，x ∈(0，＋∞)． (2)由y ＝log 2x ，得x ＝2y ，又x ∈(1,8)，∴0<y <3，∴f －1(x )＝2x ，x ∈(0,3)． (3)由y ＝x 2＋1，x >0，得x ＝y －1，又x ∈(0，＋∞)，∴y >1， ∴f －1(x )＝x －1，x ∈(1，＋∞)．变式迁移1 解 (1)由y ＝log 2x ， 得y ∈R ，x ＝2y ，∴f －1(x )＝2x ，x ∈R .(2)由y ＝(13)x ，得x ＝log 13y 且y >0.∴f －1(x )＝log 13x (x >0)．(3)由y ＝5x ＋1，得x ＝y －15且y ∈R ， ∴f －1(x )＝x －15，x ∈R .例2 解 将方程整理得 2x ＝－x ＋3， log 2x ＝－x ＋3. 如图可知，a 是指数函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点B 的横坐标． 由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数， 所以它们的图象关于直线y ＝x 对称，由题意可得出A 、B 两点也关于直线y ＝x 对称， 于是A 、B 两点的坐标为A (a ，b )，B (b ，a )． 而A 、B 都在直线y ＝－x ＋3上，∴b ＝－a ＋3(A 点坐标代入)， 或a ＝－b ＋3(B 点坐标代入)， 故a ＋b ＝3.变式迁移2 解 将两方程化为： lg x ＝3－x 与10x ＝3－x ，在同一坐标系中分别作出函数y ＝lg x ，y ＝10x ， y ＝3－x 的图象，结合例题解法易知a ＋b ＝3.例3 A [方法一 由函数y ＝2x，y ＝(12)x，y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图象知：0<a <b <1<c ，故选A.方法二 ∵a >0，∴2a >1，∴log 12a >1， ∴0<a <12.又∵b >0，∴0<(12)b <1， ∴0<log 12b <1，∴12<b <1.又∵(12)c>0，∴log 2c >0，∴c >1，∴0<a <12<b <1<c .]变式迁移3 D [log 0.76<0,0<0.76<1，60.7>1， ∴选D.] 课时作业1．B [f (x )的值域即为其反函数定义域．] 2．D3．C [互为反函数图象关于y ＝x 对称，(1,5)点关于直线y ＝x对称点为(5,1)，∴选C.]4．C [∵f (3)＝a 3>0， 由f (3)·g (3)<0，得g (3)<0，∴0<a <1，∴f (x )与g (x )均为单调递减函数，选C.] 5．C [由f (27)＝3，得a ＝3， ∴f －1(x )＝3x ，∴f －1(log 92)＝3log 92＝3log 32＝ 2. 选C.] 6．<7．(－∞，3]解析 求函数y ＝3＋log 12x (x ≥1)的反函数的定义域，即求原函数的值域．∵x ≥1，∴log 12x ≤0.∴3＋log 12x ≤3. 8．②③解析 根据题意，得g (x )＝log 12x ， ∴h (x )＝g (1－|x |)＝log 12(1－|x |)(1<x <1)．∴h (x )是偶函数，h (x )不关于原点对称． ∴①不正确；②正确．∵h (x )＝log 12(1－|x |)≥log 121＝0， ∴③正确．9．解 ∵y ＝12x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a 应与函数y ＝3－bx 为同一函数，∴－2a ＝3，且2＝－b ，∴a ＝－32，b ＝－2.10．解 (1)由a x－b x>0，得(a b )x >1＝(a b )0.∵ab >1，∴x >0.∴函数的定义域为(0，＋∞)． (2)先证明f (x )是增函数． 对于任意x 1>x 2>0，∵a >1>b >0，∴ax 1>ax 2，bx 1<bx 2. ∴ax 1－bx 1>ax 2－bx 2. ∴lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)． ∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．假设y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．∴y ＝f (x )的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴．。

指数函数和对数函数单元教学设计一、教学目标1.理解指数函数和对数函数的概念；2.掌握指数函数的性质、画出指数函数的图像；3.掌握对数函数的性质、画出对数函数的图像；4.能够运用指数函数和对数函数解决实际问题。

二、教学内容及教学重点1.指数函数的定义、性质及图像；2.对数函数的定义、性质及图像；3.指数函数和对数函数之间的互逆性关系；4.指数函数和对数函数在实际问题中的应用。

三、教学过程1.导入（5分钟）通过引入一个问题，引出指数函数和对数函数的概念。

引导学生思考问题的背后是否存在一种固定的增长关系？这种增长关系是否可以用函数来描述？2.指数函数的引入（20分钟）（1）定义指数函数：以y=a^x(a>0,a≠1)为例进行讲解，引导学生理解指数函数的概念。

（2）指数函数的性质及图像：a.当a>1时，指数函数为增长函数；当0<a<1时，指数函数为衰减函数。

b.当x=0时，指数函数的值为1c.当x>0时，指数函数的值从1开始不断增大（或减小）。

d.根据指数函数的性质，讲解画出指数函数的图像的方法。

3.对数函数的引入（20分钟）（1）定义对数函数：以y=loga(x) (a>0, a≠1, x>0)为例进行讲解，引导学生理解对数函数的概念。

（2）对数函数的性质及图像：a.对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

b.当x=1时，对数函数的值为0。

c.当0<x<1时，对数函数的值为负数；当x>1时，对数函数的值为正数。

d.根据对数函数的性质，讲解画出对数函数的图像的方法。

4.指数函数与对数函数的关系（10分钟）（1）引导学生观察指数函数和对数函数的图像，并指出它们之间的互逆性关系。

（2）归纳总结互逆性关系，即a^loga(x) = x，loga(a^x) = x。

5.指数函数和对数函数的应用（25分钟）（1）应用实例：讲解指数函数和对数函数在实际问题中的应用，如：物质的分解、人口的增长等。

指数函数教案：学习对数函数与指数函数的相互转化方法一、教材分析指数函数和对数函数是高中数学中的重要数学概念之一，也是中考和高考中必考的内容。

对于高中学生来说，学习指数函数和对数函数是比较困难的，需要一些技巧和方法来帮助他们更容易地掌握这个知识点。

本篇教学设计将着重介绍指数函数和对数函数的相互转化方法，帮助学生深刻理解指数函数和对数函数之间的联系。

二、教学目标1.了解指数函数和对数函数的基本概念和性质。

2.掌握指数函数和对数函数的合并与分离方法。

3.掌握指数函数和对数函数的相互转化方法。

4.熟练掌握指数函数和对数函数的相关题型。

三、教学内容1.指数函数和对数函数的基本概念和性质。

2.指数函数和对数函数的相互转化方法。

（1）指数函数转化为对数函数。

（2）对数函数转化为指数函数。

3.指数函数和对数函数的合并与分离方法。

4.相关练习题。

四、教学方法本教案采用讲解结合互动教学的方式。

讲解部分由教师讲解，互动部分由教师和学生共同探讨相关问题。

五、教学步骤1.引入教师通过讲解、演示等方式介绍指数函数和对数函数的定义和性质，引导学生进入学习状态。

2.学习指数函数转化为对数函数的方法(1)例题分析: 设 $y=2^x$，求对数函数 $y=k\log a x$，使得$y=2^x$。

(2)解题思路：a).设所求函数为 $y=k\log_{a} x$，代入 $y=2^x$ 可得$k\log_{a} x=2^x$。

b).化简得 $\log_{a^k} x=2^x$，两边取 $\log_{a}$，得 $\log a x=k^{\log_a 2}$。

c).所求函数为 $y=k^{\log_a 2}\log_a x$。

d).让学生课堂演练，提高学生的综合应用能力。

3.学习对数函数转化为指数函数的方法(1)例题分析：设 $y=\log_a x$，求指数函数 $y=a^k$。

(2)解题思路：a).由 $y=\log_a x$，得 $x=a^y$。

数学教案－指数函数与对数函数性质及其应用一、教学目标1.了解指数函数和对数函数的基本定义；2.掌握指数函数和对数函数的基本性质；3.理解指数函数和对数函数在实际问题中的应用。

二、教学重点1.指数函数和对数函数的基本定义；2.指数函数和对数函数的基本性质。

三、教学难点指数函数和对数函数在实际问题中的应用。

四、教学准备1.教科书；2.展示工具（投影仪、黑板等）；3.实际问题的练习题。

五、教学内容1. 指数函数的定义与性质指数函数是以指数为自变量的函数，通常的形式为：f(x)=a x其中，a为底数，x为指数。

指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

指数函数的性质：•指数函数在x轴右侧递增，在y轴右侧递减；•当a>1时，指数函数递增；当0<a<1时，指数函数递减；•指数函数的图像经过点(0,1)；•当x=0时，指数函数的值为1；•当x趋近于正无穷大时，指数函数的值趋近于正无穷大；当x趋近于负无穷大时，指数函数的值趋近于0。

2. 对数函数的定义与性质对数函数是指以一个正数为底数，以正实数为对数的函数，通常的形式为：$$f(x) = \\log_a(x)$$其中，a为底数，x为实数。

对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

对数函数的性质：•对数函数在x轴右侧递增，在y轴右侧递减；•当a>1时，对数函数递增；当0<a<1时，对数函数递减；•对数函数的图像经过点(1,0)；•当x=a时，对数函数的值为1；•当x趋近于正无穷大时，对数函数的值趋近于正无穷大；当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷大。

3. 指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际问题中的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：3.1 指数增长与指数衰减指数函数可以用来描述一些具有指数增长或指数衰减趋势的现象。

例如，人口增长、疾病传播等。

通过实际问题的分析，学生可以理解指数函数在这些问题中的应用，并通过解题练习加深对指数函数的理解。

1 / 13.2.3 指数函数与对数函数的关系一、基础过关1．函数y ＝3x (－1≤x<0)的反函数是( C )A ．y ＝log 13x (x>0)B ．y ＝log 3x(x>0)C ．y ＝log 3x(13≤x<1)D ．y ＝log 13x (13≤x<1) 2．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f(x)的图象关于直线y ＝x 对称，则 ( D )A ．f(2x)＝e 2x (x ∈R )B ．f(2x)＝ln 2·ln x (x>0)C ．f(2x)＝2e x (x ∈R )D ．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)3．已知函数y ＝log a x 与其反函数的图象有交点，设交点的横坐标为x 0，则有 ( B )A ．a>1且x 0>1B ．0<a<1且0<x 0<1C ．a>1且0<x 0<1D ．0<a<1且x 0>14．已知a>0且a≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x)的图象可能是 ( B )5．函数y 1＝log 3x 与函数y 2＝3x ，当x 从1增加到m 时，函数的增量分别是Δy 1与Δy 2，则Δy 1__<__Δy 2.(填“>”，“＝”或“<”)6．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3，x ∈(－∞，－1]．则其反函数f －1(x)的定义域为7．若函数y ＝log 2x ＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)．求此函数的定义域．(28．已知y ＝12x ＋a 与函数y ＝3－bx 互为反函数，求a ，b 的值． 解:∵y ＝12x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a 应与函数y ＝3－bx 为同一函数,∴－2a ＝3,且2＝－b,∴a ＝－32,b ＝－2. 二、能力提升9．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( B )A ．d<c<b<aB ．c<d<a<bC ．b<a<c<dD ．c<d<b<a10．函数f(x)＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( B )A.14B.12C ．2D ．4 11．函数y ＝log a x 当x>2时恒有|y|>1，则a 的取值范围是__[12，1)∪(1,2]__． 解：因为函数y=log a x在x ∈（2，+∞）上总有|y|＞1，所以a 分两种情况讨论，即0＜a ＜1与a ＞1．①当0＜a ＜1时，函数y=log a x 在x ∈（2，+∞）上单调递减，并且有|y|＞1恒成立，即总有y ＜-1，则只需函数的最大值小于-1即可，因为区间（2，+∞）是开区间，所以有log a 2≤−1∴a ≥12解得：12≤a ＜1．②当a ＞1时，函数y=log a x 在x ∈（2，+∞）上单调递增，并且有|y|＞1恒成立，即总有y ＞1，则只需函数的最小值大于1即可，因为区间（2，+∞）是开区间，所以有log a 2≥1，解得：1＜a ≤2．由①②可得12≤a ＜1或1＜a ≤2 12．设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．解:将方程整理得2x ＝－x ＋3.log 2x ＝－x ＋3.如图可知,a 是指数函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点B 的横坐标．由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线y ＝x 对称，由题意可得出A 、B 两点也关于直线y ＝x 对称，于是A 、B 两点的坐标为A(a ，b)，B(b ，a)．而A 、B 都在直线y ＝－x ＋3上，∴b ＝－a ＋3(A 点坐标代入),或a ＝－b ＋3(B 点坐标代入),故a ＋b ＝3.三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝log a (2x －1)(a>1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f －1(x)；(3)判断函数f －1(x)的单调性．解:(1)定义域为(12，＋∞),值域为R,(2) f －1(x)＝12a x ＋12(x ∈R),(3) 函数f －1(x)在R 上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f －1(x 2)－f －1(x 1)＝12(ax 2－ax 1)．∵a>1，x 1<x 2，∴ax 2>ax 1，ax 2－ax 1>0，∴f －1(x 2)>f －1(x 1)．∴函数f －1(x)在R 上是增函数．。

3.2.2对数函数及其性质学案
教学过程：
对数函数： 1）为什么a 取值范围为a>0,a≠1? 2）为什么定义域是（0， ） 思考：什么样的函数是对数函数？判定标注？活动（一）判定：
活动（二）画图： （1） x y 2log = x y 2
1log =
（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
x y 3log = x y 3
1log =
活动（四）比较大小：
(3) log 3 m < log 3 n (4) log 0.3 m > log 0.3 n 活动（五）求定义域：
活动（六）课后习题处理：教材104页：练习A 3，练习B 2.
∞+
对数函数：探讨提问：
1
）为什么a 取值范围为a>0,a≠1? 2）为什么定义域是（0， ） 思考：什么样的函数是对数函数？判定标注？师生互动，合作探究： 活动（一）定义判定：
活动（二）画图特点： （1） x y 2log = x y 2
1log =
（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
x y 3log = x y 3
1log =
活动(三)研究对数函数性质：
函 数
y = log a x （a>1） y = log a x (0<a<1)
图 像
定义域 值 域 单调性 过定点
取值范围
活动（四）巩固练习,比较大小：
(3) log 3 m < log 3 n (4) log 0.3 m > log 0.3 n 活动（五）加深记忆，求定义域：
活动（六）课后习题处理：教材104页：练习A 3，练习B 2.
∞+。

习题课【学习要求】1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握;2.培养综合运用知识的能力.试一试：双基题目、基础更牢固1.若点(a,b)在y ＝lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是（ ）A.(1a ,b)B.(10a,1－b)C.(10a,b ＋1) D.(a 2,2b) 解析：因点(a,b)在y ＝lg x 图象上,所以有b ＝lg a,将各选项的点的坐标代入y ＝lg x,只有选项D 得出的等式与b ＝lg a 等价,故选D.2.已知函数f(x)＝lg 1－x 1＋x,若f(a)＝b,则f(－a)等于 ( ) A. b B. －b C. 1b D. －1b解析：f(－x)＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x 1＋x＝－f(x),则f(x)为奇函数,故f(－a)＝－f(a)＝－b. 3.已知函数y ＝f(2x )的定义域为[－1,1],则函数y ＝f(log 2x)的定义域为 ( )A.[－1,1]B.[12,2] C.[1,2] D.[2,4] 解析：∵－1≤x≤1,∴2－1≤2x ≤2,即12≤2x ≤2. ∴y ＝f(x)的定义域为[12,2]即12≤log 2x≤2, ∴2≤x≤4. 4.已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)＝(12)x ;当x<4时,f(x)＝f(x ＋1).则f(2＋log 23)的值为 ( ) A.124 B.112 C.18 D.38解析：因为3<2＋log 23<4,故f(2＋log 23)＝f(2＋log 23＋1)＝f(3＋log 23). 又3＋log 23>4,故f(3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝(12)3·(12)log 23＝18×2 log 23-1＝18×13＝124. 5.定义在R 上的偶函数f(x)在[0,＋∞)上递增,f(13)＝0,则满足f(log x)>0的x 的取值范围是 ( ) A. (0,＋∞) B . (0,12)∪(2,＋∞) C. (0,18)∪(12,2) D. (0,12) 解析：由题意可得:f(x)＝f(－x)＝f(|x|),f(|log 18 x|)>f(13),f(x)在[0,＋∞)上递增,于是|log 18x|>13, 解得x 的取值范围是(0,12)∪(2,＋∞). 6.已知0<a<b<1<c,m ＝log a c,n ＝log b c,则m 与n 的大小关系是________.解析：∵m<0,n<0,∵m n＝log a c·log c b ＝log a b<log a a ＝1,∴m>n. 研一研：题型解法、解题更高效题型一 对数式的化简与求值例1 计算:(1)log (2＋3)(2－3); (2)已知2lg x －y 2＝lgx ＋lgy,求log (3＋22)x y . 解：(1)方法一 利用对数定义求值:设log(2＋3)(2－3)＝x,则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1,∴x ＝－1. 方法二：利用对数的运算性质求解: log(2＋3)(2－3)＝log(2＋3)12＋3＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1. (2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy, ∴(x －y 2)2＝xy,即x 2－6xy ＋y 2＝0. ∴(x y )2－6(x y )＋1＝0.∴x y＝3±2 2. ∵x －y>0，x>0，y>0 ∴x y >1,∴x y ＝3＋22, ∴log (3－22) x y ＝log (3－22)(3＋22)＝ log (3－22)13－22＝－1. 小结：在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底,指数与对数互化.跟踪训练1 计算: (1)log 2748＋log 212－12log 242－1; (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25. 解：(1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.题型二 对数函数的图象与性质例2已知f(x)＝log a x(a>0且a≠1),如果对于任意的x ∈[13,2]都有|f(x)|≤1成立,试求a 的取值范围. 解：∵f(x)＝log a x,则y ＝|f(x)|的图象如下图.由图知要使x ∈[13,2]时恒有|f(x)|≤1,只需|f(13)|≤1,即－1≤log a 13≤1,即log a a －1≤log a 13≤log a a, 亦当a>1时,得a －1≤13≤a,即a≥3; 当0<a<1时,得a －1≥13≥a,得0<a≤13综上所述,a 的取值范围是(0,13]∪[3,＋∞). 解二：依题意，①当0＜a ＜1时，f(x)=log a x 在[13，2]上单调递减，又log a 13＞0，log a 2＜0，|f(x)|≤1， ∴ log a 13≤1−log a 2≤1 ，解得0＜a≤13； ②当a ＞1时，f(x)=log a x 在[13，2]上单调递增， ∴ −log a 13≤1log a 2≤1，解得a≥3． 综上所述，a 的取值范围为（0，13]∪[3，+∞）． 小结：本题属于函数恒成立问题,即对于x ∈[13,2]时,|f(x)|恒小于等于1,恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.由于本题底数a 为参数,需对a 进行分类讨论.跟踪训练2已知函数f(x)＝|lg x|,若0<a<b,且f(a)＝f(b),则a ＋2b 的取值范围是 ( )A. (22,＋∞)B. [22,＋∞)C. (3,＋∞)D. [3,＋∞)解析：画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示.∵0<a<b,f(a)＝f(b),∴0<a<1,b>1,∴lg a<0,lg b>0.由f(a)＝f(b),∴－lg a ＝lg b ,ab ＝1. ∴b ＝1a ,∴a ＋2b ＝a ＋2a, 又0<a<1,函数t ＝a ＋2a 在(0,1)上是减函数, ∴a ＋2a >1＋21＝3,即a ＋2b>3.题型三 对数函数的综合应用例3已知函数f(x)＝log 2x,x ∈[2,8], 函数g(x)＝f 2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a).(1)求h(a);(2)是否存在实数m, n, 同时满足以下条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n, m]时,值域为[n 2,m 2],若存在,求出m, n 的值;若不存在,说明理由.解：(1)∵x ∈[2,8],∴log 2x ∈[1,3].设log 2x ＝t,t ∈[1,3],则g(t)＝t 2－2at ＋3＝(t －a)2＋3－a 2.当a<1时,y min ＝g(1)＝4－2a,当1≤a≤3时, y min ＝g(a)＝3－a 2,当a>3时,y min ＝g(3)＝12－6a. 所以h(a)＝4－2a (a<1) 3－a 2 (1≤a ≤3) 12－6a (a>3)(2)因为m>n>3,所以h(a)＝12－6a 在(3,＋∞)上为减函数, 因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n 2,m 2],所以12－6m ＝n 212－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n)＝(m －n)(m ＋n),所以m ＋n ＝6,但这与“m>n>3”矛盾,故满足条件的实数m,n 不存在. 小结：本题利用了换元法,把log 2x 看作一个整体用t 来表示,从而得到一个新函数,因此需要求出函数的定义域.所示函数的最值本身也是关于a 的分段函数,所以函数思想是中学阶段常用的重要思想.跟踪训练3已知函数f(x)＝log a (x ＋1) (a>1),若函数y ＝g(x)图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f(x)的图象上.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x ∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m 成立,求m 的取值范围.解：(1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点,则Q(－x,－y)是点P 关于原点的对称点,∵Q(－x,－y)在f(x)的图象上, ∴－y ＝log a (－x ＋1),即y ＝g(x)＝－log a (1－x).(2)f(x)＋g(x)≥m,即log a x ＋11－x≥m. 设F(x)＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋21－x) ,x ∈[0,1),由题意知,只要F(x)min ≥m 即可. ∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min ＝F(0)＝0. 故m≤0即为所求.课堂小结：1.指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算,对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式; 对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式loga m b n ＝n m ·log a b,log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用. 4.在运算性质log a M n ＝nlog a M 时,要特别注意条件,在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝ nlog a |M| (n ∈N *,且n 为偶数).5.指数函数y ＝a x (a>0,且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0,且a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象. 因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.。

3.2.3 指数函数与对数函数的关系【课前掌握】1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f －1(x) 表示.2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称.3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减.4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢.例1 写出下列函数的反函数:(1)y ＝lg x; (2)y ＝log 13x; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R).(2)y ＝log 13x (x>0)的底数为13,它的反函数为指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ∈R). (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 23x (x>0). 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0);(4)y ＝2x ＋3x －1 (x ∈R,x≠1). 解：(1)由y ＝3x －1,得x ＝13(y ＋1), 即所求反函数为y ＝13(x ＋1); (2)函数y ＝x 3＋1的值域为R, x 3＝y －1,x ＝3y －1, 所以反函数为y ＝3x －1 (x ∈R);(3)函数y ＝x ＋1 (x≥0)的值域为y≥1, 由x ＝y －1,得x ＝(y －1)2, 所以反函数为y ＝(x －1)2 (x≥1).(4)因y ＝2x ＋3x －1＝2x －2＋5x －1＝2＋5x －1, 所以y≠2,由5x －1＝y －2, 得x ＝1＋5y －2＝y ＋3y －2, 所以反函数为y ＝x ＋3x －2(x≠2). 例2 已知函数f(x)＝a x －k 的图象过点(1,3),其反函数y ＝f －1(x)的图象过(2,0)点,则f(x)的表达式为_______f(x)＝2x ＋1_________.解析： ∵y ＝f －1(x)的图象过点(2,0), ∴y ＝f(x)的图象过点(0,2). ∴2＝a 0－k,∴k ＝－1.∴f(x)＝a x ＋1.又∵y＝f(x)的图象过点(1,3),∴3＝a1＋1, ∴a＝2.∴f(x)＝2x＋1.小结：由互为反函数的图象关于直线y＝x对称可知:若点(a,b)在y＝f(x)的图象上,则点(b,a)必在y＝f－1(x)的图象上.跟踪训练2函数y＝log a(x－1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4),求a的值.解:根据反函数的概念,知函数y＝log a(x－1)(a>0且a≠1)的图象经过点(4,1),∴1＝log a3,∴a＝3.当堂检测1.如果关于lg x的方程lg2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1x2的值为()A.lg 2·lg 3B.lg 2+lg 3C.16D.-6解析:∵由已知,得lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6=lg16,又∵lg x1+lg x2=lg(x1x2),∴lg(x1x2)=lg16,∴x1x2=16.答案:C2.若x·log32 014=1,则2 014x+2 014-x等于()A.83B.163C.6D.103解析:∵x·log32 014=1,∴x=log2 0143,∴2 014x=2 014log20143=3.2 014-x=2 014-log20143=13.∴原式=3+13=103.故选D.答案:D3.已知log32=a,则2log36+log30.5=.解析:原式=2log3(2×3)+log312=2(log32+log33)-log32=log32+2=a+2.答案:a+24.log 56·log 67·log 78·log 89·log 910= .解析:原式=lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9=lg10lg5=1lg5.答案:1lg55.某地发生里氏8.0级特大地震,给人民的生命财产造成了巨大的损失.里氏地震的等级与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关,震级M=23lg E -3.2,其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗原子弹爆炸时释放的能量,那么该次大地震所释放的能量相当于 颗原子弹爆炸时释放的能量.解析:设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2,E 1,则8-6=23(lg E 2-lg E 1),即lg E 2E 1=3.所以E2E 1=103=1 000, 即该次大地震所释放的能量相当于1 000颗原子弹爆炸时释放的能量.答案:1 0006.计算:log 28+lg 11 000+ln √e 23+21-12log 23+(lg 5)2+lg 2lg 50. 解:原式=3-3+23+2÷212log 23+(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=23+2√33+(lg 5)2+(1-lg 5)(1+lg 5) =53+2√33. 7.已知x,y,z 为正数,3x =4y =6z ,2x=py.(1)求p;(2)证明:1z −1x =12y .(1)解:设3x =4y =6z =k(显然k>0,且k≠1),则x=log 3k,y=log 4k,z=log 6k,∵2x=py,∴2log 3k=p log 4k=p log 3klog 34. 又∵log 3k≠0,∴p=2log 34.(2)证明:∵1z −1x =1log 6k −1log 3k =log k 6-log k 3=log k 63=log k 2=12log k 4=12y .∴1z −1x =12y 成立.8.设a>0,a≠1,x,y 满足log a x+3log x a -log x y=3,用log a x 表示log a y,并求出当x 为何值时,log a y 取得最小值.解:∵由换底公式,得log a x+3·1log a x −log a ylog a x =3,整理得(log a x)2+3-log a y=3log a x,∴log a y=(log a x)2-3log a x+3=(log a x -32)2+34. ∴当log a x=32,即x=a 32时,log a y 取最小值34.。

3.2.3指数函数与对数函数的关系（1）高一数学必修1第三章第2节3.2。

3指数函数与对数函数的关系(1)学案制作人:王芳芳校对人：王永升使用时间：领导签字：一、学习目标1、了解反函数概念以及互为反函数图象间的关系，明确指数函数与对数函数互为反函数的内在联系；2、通过指数函数与对数函数的对比分析，引入反函数的概念，掌握互为反函数的图象的对称性以及变化趋势，会求反函数。

二、自主学习1、以a>1的情况为例，对比指数函数与对数函数的性质：从上面的表格中,能看出两个函数的定义域与值域满足什么关系？图象有怎样的关系？2、反函数：(1)定义:当一个函数是_______映射时，可以把这个函数的_________作为一个新的函数的__________，而把这个函数的___________作为新的函数的___________，我们称这个两个函数互为____________.（2）与原函数的联系：原函数的定义域与值域分别是其反函数的___________与_____________；原函数的图象与反函数图象关于______________对称.3、 思考：（1） 是否所有的函数都有反函数？具有反函数的函数有什么样的特点？（2） 如果一个函数是偶函数,它有没有反函数？奇函数呢？如果有，它的反函数的奇偶性是怎样的?三、典例分析 例1 求下列函数的反函数(注意：求反函数时，往往都要注明定义域.） 1、13-=x y 2、)0(1≥+=x x y3、13+=xy 4、132-+=x x y例2 函数f （x ）＝log a (x －1）（a ＞0且a ≠1)的反函数的图象经过点(1, 4），求a 的值.跟踪练习：已知函数k ax f x -=)(的图象过（1，3），其反函数)(1x f y -=的图象过点(2,0），求)(x f 的表达式. 四、快乐体验 1、求下列函数的反函数：（1)231+=-x y （2） )4(log 21+=x y （3) ]2,(,2--∞∈=x x y （4） )21(log 2x y -=2、已知函数()f x ax k =+的图象经过(1,3)，其反函数图象经过点(2,0)，则求()f x 的表达式。