28.4垂径定理郑晓红

垂径定理教学目标知识技能目标:1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.2.运用垂径定理及其逆定理解决问题.过程性目标:经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感态度目标:通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.重点难点重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.难点:垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.教学过程一、创设情境1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？二、探究归纳1.如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.(1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件:①CD是直径;②CD⊥AB结论(等量关系):③AM=BM;④=;⑤=.证明:连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵☉O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，和重合，和重合.∴=，=..证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.辨析:判断下列图形，能否使用垂径定理？注意:定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦.通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.3.垂径定理逆定理的探索如图，AB是☉O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.(1)此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件:①CD是直径;②AM=BM结论(等量关系):③CD⊥AB;④=;⑤=.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例:______例:如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD=600 m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.解:连接OC，设弯路的半径为R m，则OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300.根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+(R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545 m.三、交流反思学生交流总结1.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.四、检测反馈课本P76 随堂练习T1，T2五、布置作业课本P76 知识技能T1，T2，T3板书设计教学反思垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会.因此，应该让学生大胆表述，并对每位学生的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼.。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，它主要介绍了垂径定理及其应用。

本节课的内容对于学生来说是一个新的知识点，需要通过实例来让学生理解并掌握垂径定理，并能运用到实际问题中。

教材中通过大量的图片和例子来说明垂径定理，让学生在直观的感受中理解抽象的数学概念。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。

但是对于垂径定理这样的抽象概念，学生可能还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要通过实例和具体的操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。

同时，学生对于数学的应用能力也有待提高，因此在教学过程中，需要设计一些实际问题来让学生运用所学知识。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解和掌握垂径定理，并能运用到实际问题中。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考等过程，培养自己的观察能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，培养对数学的兴趣和热情。

四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握垂径定理。

2.教学难点：学生能够运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解和掌握垂径定理。

2.实例教学法：教师通过具体的例子，让学生在直观的感受中理解抽象的数学概念。

3.问题解决法：教师设计一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。

六. 教学准备1.教师准备PPT，其中包括垂径定理的定义、例子、应用等内容。

2.教师准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现垂径定理的定义和例子，让学生在直观的感受中理解抽象的数学概念。

3.操练（10分钟）教师设计一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，主要介绍了垂径定理及其应用。

本节课的内容对于学生理解和掌握圆的性质，解决与圆相关的问题具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本知识，如圆的定义、圆的周长和面积等。

但他们对垂径定理的理解可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要通过具体例题和实践活动，帮助学生理解和掌握垂径定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的动手能力和探究精神。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于挑战、合作探究的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理。

2.教学难点：如何运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体情境，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动思考、探究，培养他们的解决问题的能力。

3.小组合作学习：鼓励学生互相讨论、交流，提高他们的合作意识。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔、垂径定理的相关例题和练习题。

2.学具准备：学生用书、笔记本、文具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在一条直线上，有两个点A和B，且AB=10cm，点C在AB的垂直平分线上，求AC和BC的长度。

”2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示垂径定理的定义和证明过程，让学生直观地了解垂径定理的内容。

3.操练（10分钟）教师给出几个与垂径定理相关的例题，让学生独立解答。

解答过程中，教师引导学生运用垂径定理，帮助他们巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让他们互相交流解题心得，共同提高。

同时，教师对学生在解答过程中遇到的问题进行解答和指导。

28.4 垂径定理一、教材分析垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。

二、教学目标1．知识与技能：会利用圆的轴对称性探究垂径定理，证明垂径定理。

能利用垂径定理进行想的计算和证明。

掌握垂径定理的推论。

2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力。

利用圆是轴对称性图形，独立探究垂径定理及其推论。

3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度和方法。

三、教学重点垂径定理的证明与简单应用。

四、教学难点垂径定理及其推论的证明及简单的应用，有关的添加辅助线的方法。

五、教学过程教学环节师生活动设计意图情景导入出示情景：展示河北省赵县赵州桥图片。

介绍赵州桥的历史及地理位置。

（位于河北省赵县境内，距今1300多年的历史，世界上最早的石拱桥。

）教师提问：你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(精确到0.1m).通过对赵州桥的介绍，对学生进行爱祖国、爱家乡的教育，激发学生对垂径定理进行探究的学习兴趣。

复习就知新课导入1、我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴是什么？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．）2、我们前面学习了圆心角、弦和弧之间的关系，它们的关系是什么？（在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就通过复习，对探究垂径定理做知识准备。

归纳总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2.平分一条弧的直径垂直平分弧所对的弦。

在⊙O中，设直径CD与弦AB（非直径）相交于点E。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计4一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，它主要是利用圆的性质，结合几何图形的特征，推导出垂径定理。

本节课的内容对于学生理解圆的性质，以及解决与圆有关的几何问题具有重要意义。

教材通过引入垂径定理，让学生在学习过程中体会数学的逻辑性和推理性，提高他们的数学思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的圆的性质和几何图形的知识，对于解决一些简单的几何问题已经有了一定的方法和思路。

但是在解决与圆有关的一些复杂问题时，还需要进一步引导他们分析问题，归纳总结解题方法。

三. 教学目标1.让学生掌握垂径定理的内容和证明方法。

2.培养学生运用垂径定理解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学逻辑思维和推理能力。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的证明和应用。

2.难点：如何引导学生发现并总结垂径定理，以及如何运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现并总结垂径定理。

2.利用几何画板软件，动态展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。

3.通过例题和练习题，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.准备几何画板软件，用于动态展示垂径定理的证明过程。

3.准备一些与垂径定理有关的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何利用圆的性质解决问题。

例如，在一个圆中，如何找到一个点，使得这个点到圆心的距离最短。

2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，动态展示垂径定理的证明过程。

在展示过程中，引导学生关注圆的性质，以及垂径定理的证明方法。

3.操练（10分钟）让学生通过几何画板软件，自己动手操作，尝试解决导入中提出的问题。

在操作过程中，引导学生运用垂径定理，找到解决问题的方法。

4.巩固（10分钟）呈现一些与垂径定理有关的练习题，让学生独立完成。

28.4 垂径定理一、教材分析垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。

二、教学目标1．知识与技能：会利用圆的轴对称性探究垂径定理，证明垂径定理。

能利用垂径定理进行想的计算和证明。

掌握垂径定理的推论。

2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力。

利用圆是轴对称性图形，独立探究垂径定理及其推论。

3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度和方法。

三、教学重点垂径定理的证明与简单应用。

四、教学难点垂径定理及其推论的证明及简单的应用，有关的添加辅助线的方法。

五、教学过程教学环节师生活动设计意图情景导入出示情景：展示河北省赵县赵州桥图片。

介绍赵州桥的历史及地理位置。

（位于河北省赵县境内，距今1300多年的历史，世界上最早的石拱桥。

）教师提问：你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(精确到0.1m).通过对赵州桥的介绍，对学生进行爱祖国、爱家乡的教育，激发学生对垂径定理进行探究的学习兴趣。

复习就知新课导入1、我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴是什么？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．）2、我们前面学习了圆心角、弦和弧之间的关系，它们的关系是什么？（在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就通过复习，对探究垂径定理做知识准备。

归纳总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2.平分一条弧的直径垂直平分弧所对的弦。

在⊙O中，设直径CD与弦AB（非直径）相交于点E。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材的重要内容之一。

在学习本节课之前，学生已经掌握了圆的基本概念、性质以及圆的周长和面积的计算。

本节课主要介绍了垂径定理及其应用，为学生后续学习圆的切线、弧长和扇形面积等知识打下基础。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固垂径定理，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生在经历了初中数学学习的过程中，已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于一些抽象的数学概念和定理，仍需要通过具体的实例和操作来加深理解。

在学习本节课时，学生需要将已知的圆的性质与新的垂径定理相结合，形成知识体系。

同时，学生需要通过合作交流，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理及其应用。

2.教学难点：如何引导学生发现并证明垂径定理。

五. 教学方法1.启发式教学：通过提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

2.合作学习：学生进行讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

3.直观教学：利用实物模型、几何画板等工具，帮助学生直观地理解垂径定理。

六. 教学准备1.教学课件：制作包含丰富图片、动画和例题的教学课件。

2.实物模型：准备一些圆形的实物模型，如圆规、硬币等。

3.练习题：挑选一些与垂径定理相关的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型或图片，引导学生回顾圆的性质，如圆的周长、半径等。

然后提出问题：“你们能发现这些图形中有什么特殊的关系吗？”让学生思考，为新课的学习做好铺垫。

冀教版数学九年级上册28.4《垂径定理》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册28.4《垂径定理》是本册教材的重要内容之一。

此章节主要介绍垂径定理及其应用。

垂径定理是指：圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一定理在几何学中具有广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认知和推理能力有所提高。

但是，对于垂径定理的理解和应用还需要进一步引导和培养。

学生在学习过程中需要具备观察、分析、推理的能力，同时需要善于发现图形中的规律和特点。

三. 教学目标1.理解垂径定理的定义和证明过程。

2.学会运用垂径定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

4.提高学生的图形观察和分析能力。

四. 教学重难点1.垂径定理的理解和证明。

2.垂径定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.讲授法：讲解垂径定理的定义、证明过程和应用。

2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用垂径定理解决问题。

3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

4.实践操作法：引导学生动手操作，加深对垂径定理的理解。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含垂径定理的定义、证明过程和应用案例的PPT。

2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生运用垂径定理解决。

3.教学道具：准备一些几何图形模型，用于直观展示垂径定理。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何解决。

例如：在一个圆中，如何找到一条弦的中点，使得这条弦被平分？2.呈现（10分钟）讲解垂径定理的定义和证明过程。

通过PPT展示垂径定理的证明步骤，并用几何图形模型进行直观展示，让学生理解并掌握垂径定理。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用垂径定理解决实际问题。

教师提供一些案例，引导学生动手操作，验证垂径定理。

4.巩固（10分钟）教师提问，检查学生对垂径定理的理解和掌握程度。

《28.4垂径定理》教学设计一、教材分析本节课是在学生学习了圆的有关性质之后对垂直于弦的直径和这条弦的关系的进一步学习，它既是前面圆的性质的体现，又是圆的轴对称的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是进行圆的计算和证明的重要工具，它在教材中处于非常重要的位置。

因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着至关重要的作用。

二、学生分析本节课的教学对象是九年级学生，学生素质参差不齐，虽然学生已经学过轴对称、中心对称、圆的基本概念和勾股定理等知识，但根据九年级学生的心理特点（追求效率、喜欢精简、喜欢快节奏）再加上学生在学习积极主动性方面的差异，除了充分发挥学生的自主性外，还要在课堂上对学生进行适当点拨。

三、教学目标：知识目标：掌握垂径定理，学生会用定理解决有关计算和证明问题；能力目标：通过折叠得出垂径定理，并通过推理方式验证结论的正确性，培养学生的逻辑思维能力；情感态度和价值观：：通过联系发展的思想方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育四、教学重难点：重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的理解和灵活运用五、教学策略：根据本节课的特点，我主要选择“探究教学法”和“直观演示法”六、教学用具：圆形纸片、多媒体七、教学过程：教学过程设计意图师生活动一、引入新课：多媒体出示赵州桥图片，带着问题“由已知条件怎样求出桥拱的半径？”引出本节课的课题。

二、自主学习，合作探究（一）探究一：垂径定理1、学生动手，在事先准备好的纸上作图：任意作一条弦AB；过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.2、观察回答：问题1：沿着CD所在的直线将圆折叠,哪些线段重合？哪些弧重合？你得出什么结论?问题2：图形中的已知是什么?根据得出的结论, 你能说出证明过程吗?3、总结垂径定理：垂直于弦的直径这条弦,并且这条弦所对的. 4、用几何语言表示：. （二）探究二：垂径定理的推论如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗? 弧AD与弧BD(或弧AC与BC)相等吗?说明你的理由. 引入环节的设计：通过实例导入，使学生认识到数学源于生活，又服务于生活，激发学生学习数学的兴趣探究环节的设计：让学生充分参与探讨，感受数学学习的过程，有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合思想师生活动：教师循序渐进的将问题一个个抛出，引导学生一步步进行思考总结并板书(2)若弧AD= 弧BD (或弧AC= 弧BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.小试牛刀：1、如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB于点C,若AB=23，OC=1，则OB的长为．2、如图，点B,A,C,D在圆O上，OA⊥BC,∠AOB=50°，则∠ADC=．三、例题讲解：如图所示,已知CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.活学活用：1、解决引入新课环节的问题赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)2、已知：如图，AB为圆O的直径，BC为弦，OD⊥BC于E,交弧BC于D，请写出四个不同类型的正确结论此环节的题目引用于华乐思智慧教学系统这三处练习的设计：由简入难，循序渐进，既让学生夯实基础，又提示学生一种添加辅助线的常见方法：过圆心做弦的垂线段或连接半径师生活动：学生讲述解题思路（培养学生逻辑思维和语言表达能力），并完成例题的解题过程，教师适当点拨此题目引用于华乐思智慧教学系统五、当堂检测：（一）基础题1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=BED.弧AD=弧BD2.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你请算出大石头的半径（）A.40cmB.30cmC.20cmD.50cm3.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD 等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°4.在半径为10的圆O中，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则这两条平行弦AB和CD间的距离为（）（1题）（2题）（3题）（二）链接中考：1.如图所示,☉O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一动点,则线段OP 的长的取值范围是（）A.OP≤5B.OP≥3C.3＜OP＜5D.3≤OP≤5 当堂检测环节两部分练习的设计：一是为了巩固基础，二是为了实现由知识向能力的转化师生活动：基础题学生独立完成，组内交流，教师适当点拨；链接中考题学生先先口述思路，然后独立完成2.（2017广安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=54，BD=5，则OH的长度为（）A.52B.65C. 1D.67（1题）（2题）3.已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点且OA=OB，求证：AC=BD．五、课堂小结：谈谈本节课的收获？六、布置作业: 课本P166 A组2题和B组1题七、板书设计：28、4垂径定理一、垂径定理例题:二、垂径定理的推论小结环节的设计：是对本节课知识的整合，可以使学生对本节课有更深刻的认识八、教学反思在本节课的教学中，我努力做到:一、充分体现学生的主体地位。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》说课稿2一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容。

它主要介绍了垂径定理及其应用。

本节课的内容是在学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质的基础上进行学习的，为学生进一步学习圆的方程和其他圆的定理奠定了基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们已经掌握了基本的几何图形的性质和判定方法。

但是，对于一些抽象的概念和定理，他们仍然需要通过具体的实例和操作来理解和掌握。

因此，在教学过程中，我将会注重通过引导学生观察、思考、操作来发现和总结垂径定理。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作等过程，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理的内容及其应用。

2.教学难点：如何引导学生发现和总结垂径定理，并能够灵活运用。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.引导法：通过提问、引导，激发学生的思考，帮助他们发现和总结垂径定理。

2.实例法：通过具体的实例，让学生观察和操作，加深对垂径定理的理解和应用。

3.互动法：学生进行小组讨论和交流，促进学生之间的合作和思考。

六. 说教学过程1.导入：通过复习直线、圆的基本概念和性质，为学生引入垂径定理的学习。

2.引导发现：提出问题，引导学生观察和思考，发现垂径定理。

3.讲解与演示：对垂径定理进行详细的讲解和演示，让学生理解和掌握。

4.练习与应用：布置一些相关的练习题，让学生运用垂径定理进行解答。

5.总结与反思：让学生总结本节课的学习内容，并进行反思。

七. 说板书设计板书设计如下：定义：如果一条直线垂直于一个圆的直径，那么这条直线也垂直于圆的半径。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》说课稿1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》这一节，主要介绍了垂径定理及其应用。

垂径定理是指：圆中，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一定理是圆的基本定理之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

在教材中，通过引入实例，让学生通过观察、思考、推理等过程，发现并证明垂径定理，进而运用垂径定理解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和推理已经有了初步的认识。

但是，对于圆的相关知识，尤其是垂径定理的理解和应用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要充分考虑学生的认知水平，设计合适的学习任务，引导学生通过观察、实践、推理等途径，发现并理解垂径定理。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂径定理的内容，能够运用垂径定理解决实际问题。

2.过程与方法：培养学生通过观察、实践、推理等方法发现和证明数学定理的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理的证明和应用。

2.教学难点：理解并证明垂径定理中的关键步骤，如圆中弧、弦、圆心角的关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等，引导学生主动探索、发现和证明垂径定理。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，直观展示圆的性质和垂径定理的应用。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引导学生思考圆的性质，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍垂径定理的定义和意义，引导学生观察和分析实例，发现垂径定理。

3.证明垂径定理：引导学生通过观察、推理、证明等过程，理解并证明垂径定理。

4.应用垂径定理：通过一些实际问题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。

5.练习与拓展：设计一些练习题，让学生进一步巩固垂径定理，并尝试解决更复杂的问题。

垂径定理教学目标：1．圆的轴对称性．2．垂径定理及其逆定理．3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教学重点与难点重点：垂径定理及其逆定理．难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教法与学法指导：指导探索法．教学准备：多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课1.前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．2.我们是用什么方法研究了轴对称图形？折叠．二、师生合作，探究新知1.同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．2.你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．按下面的步骤做一做：在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．②得到一条折痕CD．③在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．④将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．3.通过第一步，我们可以得到什么？圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．4.在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？AM ＝BM ，AC BC =，AD BD =．为什么呢？因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？如下图示，连接OA.OB 得到等腰△OAB ，即OA ＝OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM ＝BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，与重合，与重合．因此AM ＝BM ，=，=．5.在上述操作过程中，你会得出什么结论？垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA.OB ，则OA ＝OB ．在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵OA ＝OB ，OM ＝OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ，∴AM ＝BM ．∴点A 和点B 关于CD 对称．∵⊙O 关于直径CD 对称，∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，与重合，与重合．∴=，=． 可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：在⊙O 中，AM BM CD AD BD CD AB M AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是直径，于．6.想一想如下图示，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M ．上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？如上图．连接OA.OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB 底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．你会得出什么结论？平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．为什么上述条件要强调“弦不是直径”？你能写出它的证明过程吗？如上图，连结OA.OB，则OA＝OB．在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴=，=．三、例题讲解，巩固新知例已知：如图28-4-4，CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长.解：如图28-4-5，连接OA.设⊙O的半径为r.∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴AE=BE∵AB=8，∴AE=BE=4在Rt△OAE中，222=+OA OE AEOE=OD-ED即222(2)4=-+ r r解得r=5，从而2r=10.所以直径CD的长为10.四、随堂练习，巩固提高如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等．理由：如下图示，过圆心O 作垂直于弦的直径EF ，由垂径定理设=，=，用等量减等量差相等，得－=－，即=，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．五、课堂小结，反思提高1．本节课我们探索了圆的对称性．2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．六、达标检测，反馈矫正银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问修理人员应准备内径多大的管道？如下图示，连结OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，则AE ＝12AB ＝30cm ．令⊙O 的半径为R ，则OA ＝R ，OE ＝OF －EF ＝R －10．在Rt △AEO 中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝302＋(R－10)2．解得R＝50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．七、布置作业，课后促学教材练习题教学反思：。

28.4 垂径定理一、教材分析教材的地位和作用：垂径定理既是前面圆的性质的体现，又是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。

二、学情分析：学生已经学习了点关于直线的对称，勾股定理，利用这两个知识点学习垂径定理应该得心应手，九年级的学生仍然比较好奇、好动、好表现、但在学习的积极性主动性方面也有较大差异，课堂上应注意他们的学习情况适时点拨。

三、教学目标：1、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理，能利用垂径定理进行相关的计算和证明2、通过观察、比较、操作，推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力3、利用圆是轴对称图形，独立探究垂径定理培养学生积极探索数学问题态度及方法四、教学重点、教学难点：教学重点：垂径定理及其应用教学难点：对垂径定理的应用及辅助线的做法五、教法学法分析：教学过程中注重学生探究能力的培养，还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，扩展学生的创造性思维，同时注意加强学生的思维的启发和引导，鼓励培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究的思想，发掘学生的创新精神。

六、教学用具：圆形纸片，彩笔，多媒体七、教学过程（一）创设情境，导入课题咱们学校的供水管道损坏，现在工人师傅要为小区换管道，他测量出管道有积水部分的最大深度是2CM，水面的宽度为8CM，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗？（课本例题改编）导出课题《垂径定理》[通过实例导入，使学生认识到数学源于生活，又服务于生活。

](二)小组探究：探究1：把准备好的圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？通过交流，得出(1)圆既是轴对称图形也是中心对称图形(2)圆的对称轴有无数条经过圆心的每一条直线（不能说直径）都是它的对称轴[目的是培养学生的动手能力，在动手过程中，积极鼓励学生，发挥他们的主观能动性，为了下面的探究打下基础]探究2：怎样找到点A关于直线CD的对称点呢？【目的是让学生进一步了解点关于直线的对称，为后面的学习打基础】探究3：①请用折叠的方法在⊙O上找到两个点A，B使点A，B关于直径C D对称。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，它主要介绍了垂径定理及其应用。

垂径定理是指：圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一节内容是在学生学习了圆的基本概念、圆的性质、弧、弦、圆心角等知识的基础上进行讲授的，为后续学习圆的其它定理和性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的基本概念和性质有了初步的了解。

但是，对于垂径定理的证明和应用，部分学生可能会感到困难，因为这一定理涉及到空间几何的想象和理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作和几何推理，深入理解垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容和意义。

2.学会运用垂径定理解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重难点：垂径定理的证明和应用。

2.原因：垂径定理涉及到空间几何的想象和理解，对于部分学生来说可能会感到困难。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探索，发现垂径定理。

2.利用几何画板软件，直观展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。

3.结合实际例子，让学生运用垂径定理解决实际问题，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备几何画板软件，用于展示垂径定理的证明过程。

2.准备相关实际例子，用于引导学生应用垂径定理解决问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，展示一个圆和一条弦，引导学生思考：如何找到一个点，使得这个点到弦的两端点的距离相等？2.呈现（10分钟）引导学生通过实际操作，发现垂直于弦的直径可以平分这条弦。

然后，给出垂径定理的定义和证明过程。

3.操练（10分钟）让学生利用垂径定理，解决一些实际问题，如：给定一个圆和一条弦，求证这条弦的中点到圆心的距离等于弦的一半。

4.巩固（10分钟）让学生自主完成教材中的练习题，巩固对垂径定理的理解和应用。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材的重要内容，它主要介绍了垂径定理及其应用。

本节课的内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的运算等知识的基础上进行学习的，是为后续学习圆的进一步性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对于圆的相关知识也有了一定的了解。

但是，对于垂径定理的理解和应用还需要进一步的引导和培养。

此外，由于学生个体差异，对于数学的学习兴趣和能力也存在差异，因此在教学过程中需要关注每一个学生的学习情况，激发他们的学习兴趣，提高他们的数学能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握垂径定理。

2.难点：垂径定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导发现法：通过问题引导，让学生自主发现和理解垂径定理。

2.实例解析法：通过具体例子的解析，让学生了解垂径定理的应用。

3.小组合作法：通过小组合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学。

2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。

3.教学设备：准备好黑板、粉笔等教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考圆的性质，从而引入本节课的内容。

2.呈现（10分钟）教师通过课件和讲解，向学生介绍垂径定理的定义和证明过程。

3.操练（10分钟）学生独立完成一些相关的数学题目，巩固对垂径定理的理解。

4.巩固（10分钟）教师通过讲解和举例，帮助学生进一步理解和掌握垂径定理。

.28.4垂径定理教材分析垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。

通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。

目标定位：1、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；2、能利用垂径定理进行相关的计算和证明；3、通过观察、比较、推理、归纳等活动，培养推理能力及概括问题的能力。

4、培养学生积极探索数学问题态度及方法。

使学生体验知识和发展探索和解决问题的过程，让学生品尝成功的喜悦，从而激发求知的热情．教学重点： 垂径定理的证明与简单应用教学难点； 垂径定理的证明与简单应用，有关的添加辅助线的方法 教学手段： IP 系统多媒体辅助教学．教 具： 多媒体 硬纸板制作的圆 透明的纸片 教学过程活动一、学生自学：1、什么是轴对称图形？我们在以前的学习中学过哪些轴对称图形？2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？3、圆有多少条对称轴？不妨折折看。

（设计意图 通过展示使学生进一步巩固所学知识，为学习后面内容做铺垫）活动二、民主讨论1、操作、探索拿出事先准备好圆O ，任意画一条非直径的弦CD ，作一直径AB 与CD 垂直，交点为P （如图1）。

沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？ （设计意图 引导学生利用手中工具进行操作、观察得出结论，体会探究知识的方法） 垂径定理：_________________________________ ___________________________________________.图1图2.ABO命题的题设与结论为：题设：___________________________________ 结论:_____________________________________. 数学表达式表示为：_______________________________________________________ 2、大家谈谈如图，在⊙0中，直径CD 与弦AB(非直径)相交于点E1）若AM=BM,能判断CD ⊥AB 吗？弧AD 与弧BD （或弧AC 与弧BC ） 相等吗？说出你的理由。