2.3直线、圆的位置关系

2.3.3直线与圆的位置关系课程学习目标［课程目标］目标重点：直线和圆的位置关系的判断.目标难点：直线和圆的位置关系的应用.［学法关键］1．直线和圆的位置关系是初中已经学到的知识. 本节是把这些几何形式的结论转化为代数方程的形式.2．研究直线与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线的距离与圆半径的大小关系这一知识点，这个过程充分体现并运用了数形结合思想、分类讨论思想，这是解析几何中重要的数学思想方法. 运用数形结合思想解题时要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重不漏.研习点1．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：如图所示.（1）直线与圆相交：有两个公共点；（2）直线与圆相切：有一个公共点；（3）直线与圆相离：没有公共点.研习点2．直线与圆的位置关系的判定如果直线l 和圆C 的方程分别为：Ax +By +C =0，x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 则直线与圆的位置关系的判定有两种方法：（1）代数法判断直线与圆的位置关系：如果直线l 和圆C 有公共点，由于公共点同时在直线l 和圆C 上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之如果这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点必是直线l 和圆C 的公共点. 由l 和C 的方程联立方程组2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， 可以用消元法将方程组转化为一个关于x （或y ）的一元二次方程，若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交；若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切；若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.（2）几何法判断直线与圆的位置关系：如果直线l 和圆C 的方程分别为：Ax +By +C =0，(x －a )2+(y －b )2=r 2. 可以用圆心C (a ，b )到直线的距离dC 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系。

若d <r 时，直线l 和圆C 相交；若d =r 时，直线l 和圆C 相切；若d >r 时，直线l 和圆C 相离.圆的切线的求法：直线与圆相切，切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x +y 0y =r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2+(y －b )2=r 2上时，切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2；（3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为y kx =±斜率为k 且与圆(x －a )2+(y －b )2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y =kx +m ，然后变成一般式kx －y +m =0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k (x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.研习点3．直线与圆相交的弦长公式（1）平面几何法求弦长公式： 如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有222()2AB d r +=，即AB=. （2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是12||x x -=这样就求得1212||||AB x x y y =-=-。

2024-2025学年苏科版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题2.3 直线与圆的位置关系（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.52姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•金华期末）AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°2．（2分）（2022秋•阳谷县期末）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．平行3．（2分）（2022秋•河西区校级期末）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝35°，则∠OCB的度数为（）A．42.5°B．55.5°C．62.5°D．75°4．（2分）（2023春•青山区校级月考）如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，BI⊥OI，AC＝14，BC ＝13，△ABC内切圆半径为（）A．4 B．C．D．5．（2分）（2022秋•大荔县期末）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝84°，则∠D的度数为（）A．42°B．66°C．76°D．82°6．（2分）（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，BD垂直平分OE交⊙O于点D，过点D的切线与BE的延长线交于点C．若，则AB的长为（）A．4 B．2 C．D．7．（2分）（2023•哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（）A．45°B．50°C．65°D．75°8．（2分）（2023•遵义一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（）A．3 B．2 C．2.5 D．29．（2分）（2023•江岸区模拟）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI ⊥AD于I，若CD＝4，则AC为（）A．B．C．D．510．（2分）（2022•成县校级模拟）如图，⊙O与∠A＝90的Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若BE＝10，CF＝3，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•柯桥区校级模拟）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD ＝2，则AC的长是．12．（2分）（2022秋•启东市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是．13．（2分）（2022秋•河西区校级期末）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝8，AB＝10，⊙O的半径为4，点P是AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则PQ的最小值为．14．（2分）（2023•青海）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接OM，ON．若∠N＝37°，则∠MON的度数是．15．（2分）（2022秋•建昌县期末）如图，点O是△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝3，OC＝6，，则⊙O的半径为．16．（2分）（2023•西陵区模拟）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，则⊙O的半径等于cm．17．（2分）（2023•安岳县二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，EA切⊙O于点A，交CD的延长线于点E．若∠ABC＝75°，则∠E的度数为．18．（2分）（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．19．（2分）（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是．20．（2分）（2022秋•滨湖区校级期中）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F、G分别在AD、BC上，连结OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC﹣AB的值，CD+DF的值．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB 中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，，求⊙O的半径长．22．（6分）（2023•槐荫区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．23．（8分）（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．24．（8分）（2022秋•平阴县期末）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．25．（8分）（2023•宛城区二模）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．（1）徽徽猜想∠C+2∠BDC＝90°，徽徽的猜想正确吗？请说明理由；（2）若，BC＝2米，求车轮的直径AB的长．26．（8分）（2023•晋安区校级模拟）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB 于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．（1）证明：PD是⊙O的切线．（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝2，求CE•CP的值．27．（8分）（2022秋•惠阳区校级期末）（1）如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF．求证：AE＝CF．（2）如图2，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE，BD，∠ABD＝25°，求∠C的度数．28．（8分）（2023•绥江县二模）如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD＝6，∠B＝60°，以AB为直径所作的⊙O经过点C，且与AD相切于A点，连接AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）⊙E是△ACD的外接圆，不与A、D重合的点F在⊙E的劣弧AD上运动（如图2所示）．若点P、Q 分别为线段AC、CD上的动点（不与端点重合），当点F运动到每一个确定的位置时，△FPQ的周长有最小值m，随着点F的运动，m的值也随之变化，求m的最大值．。

2.3.3 直线与圆的位置关系学案学习目标1、理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法;2、掌握求圆的切线方程方法；3、掌握求弦长的方法。

学习重、难点重点：直线与圆的位置关系；难点：掌握求圆的切线方程方法；课前预习案1.已知⊙O的半径是4cm,O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 __________；直线a与⊙O的公共点个数是____________.2.已知⊙O的直径是6cm，O到直a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是_______________.3.圆心为(1，－2)，半径为x轴上截得的弦长为（）（A）8 （B）6 （C）（D）4.设圆的方程为x2+(y-1)2=2,求该圆的斜率为1的切线方程___________.5.判断圆(x－3)2+(y－3)2=9上到直线3x+4y－11=0的距离为1的点个数。

课堂教学案一、情境创设“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。

如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种吗？二、教学过程合作探究(一)：直线与圆的位置关系思考1:根据黄昏日落这种自然现象，请回答直线与圆的位置关系有几种？如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？小结：经过讨论可以得出：利用直线与圆公共点的个数来判断直线与圆的位置关系的方法（代数法）；直线与圆有两个公共点时，叫直线与圆_____；直线与圆有惟一公共点时，叫直线与圆____，这条直线叫做圆的_____，这个公共点叫做____；直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆____。

请写出上述判断方法的操作步骤？_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ___________________________________________________________。