人教版七年级数学上册 第二章 数学活动课 教案-最新学习文档
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第二章整式的加减-《数学活动》房县实验中学教学目标1.知识与技能会用代数式表示简单的问题中的数量关系,能用合并同类项,去括号等法则验证所探索的规律. 2.过程与方法经历探索数量关系,运用符号表示规律,通过运算验证规律的过程,培养学生观察、分析、推理的能力.3.情感态度与价值观培养学生不怕困难、勇于探索的学习态度,合作交流的意识和能力,感受符号运算的作用.体会从“特殊”—“一般”—“特殊”的研究问题的思想方法。
重、难点1.重点:探索数量关系、运用符号表示规律,并通过运算验证规律.2.难点:会用代数式表示问题中的数量关系.教具准备火柴棍、月历、投影仪.教学过程一、创设情境:1、用三根火柴摆一个比3大比4小的数;2、用4根火柴摆出最小的数是多少?最大的数是多少?二、自学探究:活动11.提出问题:如右图所示,用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形,如果图形中含有2,3或4个三角形,分别需要多少根火柴棒?如果图形中含有n个三角形,需要多少根火柴棍?2.分组探究:让学生亲自动手摆一摆,算一算.鼓励每个同学尽可能独立思考,并与同伴进行交流,教师关注学生在探索数量关系活动中的参与态度、思维水平和抽象能力:关注学生与他人进行合作与交流的意识.如3=2×1+1,5=2×2+1,7=2×3+1,9=2×4+1,从而得排n•个三角形需要火柴棍根数为2n+1.3.活动1小结:基本步骤:提出问题——动手实践——寻求规律——归纳总结探究规律:“特殊”——“一般”——“特殊”数学知识:用字母表示数,整式的加减活动21.提出问题:如图1是某月的月历:图1 图2 图3(1)带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系?(2)如果将带阴影的方框移至图3的位置,(1)中的关系还成立吗?(3)不改变带阴影的方框的大小,将方框移动几个位置试一试,你能得出什么结论?你能证明这个结论吗?月历中数的排列规律:行:从左向右,依次递增1. 列:从上向下,依次递增7对角线:从左上向右下,依次递增8(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗?(5)如图2,如果带阴影的方框里的数是4个,你能得出什么结论?(6)如图3,对于带阴影的框中的4个数,又能得出什么结论?2.分组探究:组织学生按小组,进行探究,鼓励每个学生尽可能独立思考,并与同伴进行交流.教师思路点拨:对于问题(1)、(2)学生易得出结论.(1)中浅色方框中的9个数字之和为99,99=9×11.(2)中,浅色方框中9个数字之和为144,144=9×16.(3)教师可让学生再找几个方框试试,看自己的规律是否还成立.教师引导学生,如果用a表示中间的数,那么其余的8个数应如何用a表示?学生经过观察,可得:这9个数字之和=a-8+a-7+a-6+a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8=9a.(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立,因为此浅色方框无论移至月历中的哪个位置,方框中的9个数字都可以用上述方法表示.(5)交叉两数的和相等.若设方框中第一行第一个数为a,则第二个数为a+1,第二行第一个数为a+7,第二个数为a+8,而a+(a+8)=2a+8,(a+1)+(a+7)=2a+8,所以a+(•a+8)=(a+1)+(a+7).(6)我们仍可以用字母a表示方框中的数.如a+7a+6a+1aa+(a+7)=2a+7,(a+6)+(a+1)=2a+7,因此有a+(a+7)=(a+1)+(a+6).教学时,也可以先开放,让学生发现月历中数与数之间的关系,•再讨论浅色方框中数字和与该方框正中间的关系课本.也可以鼓励学生发展多种关系,用代数式表示自己的发现.例如方框中第一行两数之和比第二行两数之和小14;第二列两数之和比第一行两数之和大2;第一行的第二个数字与第二行的第一个数字的乘积比第一行第一个数与第二行第二个数字的乘积大6等.3.活动2小结:(1)探究月历中数之间的关系,先考虑什么问题?(2)利用字母表示数,如何设字母更简便?(3)应用什么数学知识进行化简表示出一般规律? 三、课堂总结:通过本课的学习,我们学会了用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系,掌握了从特殊到一般再到特殊,从个体到整体再到个体,从不同角度来观察、分析问题。
新人教版七年级数学上册二章数学活动1教学设计
七年级数学上册第二章数学活动1教学设计
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一、教学内容:
人教版七年级数学上册第二章数学活动1:
(1)用火柴棍摆放图形,探究火柴棍的根数与图形的个数之间的对应关系;
(2)用小正方形拼成大正方形,探究大正方形与小正方形之间的数量关系。
二、学习目标:
(1)应用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系;
(2)掌握从特殊到一般,从个体到整体地观察、分析问题的方法.尝试从不同角度探究问题,培养应用意识和创新意识;
(3)积极参与数学活动,在数学活动过程中,合作交流、反思质疑,体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.
三、学习重难点:
应用整式表示实际问题中的数量关系,掌握数学活动中
从特殊到一般的探究方法.
四、教学过程:
(一)1、课件展示:请同学们看下图,用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形,如果图形中含有2,3或4个三角形,分别需要多
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新课标人教版七年级数学上册教案第二章
新课标人教版七年级数学上册第二章教案
§2.1.1一元一次方程(第1 课时)(第二章总第1 课时)
目标预设
一、知识与能力
1、了解什幺是方程,什幺是一元一次方程,
2、体会字母表示数的好处,画示意图有利于分析问题,找相等关系是列方程的关键一步,从算式到方程是教学的一大进步。
二、过程与方法
1、会将实际问题抽象成数学问题,通过列方程解决问题。
2、认识列方程解决问题的思想,领会用字母表示未知数,用方程表示相等关系的符号化方法。
三、情感态度与价值观
增强用数学的意识。
激发学生学习数学的热情。
重点与难点
重点:知道什幺是方程、一元一次方程?找相等关系列方程。
教学准备:课件(或相应图片)
教学过程
一、创设情景,谈话导入
1、世界上最大的动物是蓝鲸,一只蓝鲸重124 吨,比一头大象体重的5 倍少1 吨,这头大象重几吨?
2、章前图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示,翠湖在青山、秀水两地之间,距青山50 千米,距秀水70 千米。
王家庄。
第二章 整式的加减2.1 整式第1课时 用字母表示数【知识与技能】能正确用含字母的式子表示数量关系及以前学过的运算律、计算公式.【过程与方法】体会字母表示数的意义,形成初步的符号感,提高应用数学的意识.【情感态度】探究过程中培养和发展学生学习数学的主动性,提高数学表达能力,发展分析和解决问题的能力.【教学重点】用字母表示数量之间的关系.【教学难点】体会字母表示数的意义,形成初步的符号感.一、情境导入,初步认识做一做1.若正方形的边长为a ,则正方形的面积是 ;2.若三角形一边长为a ,并且这边上的高为h ,则这个三角形的面积为 ;3.长方形的长与宽分别为a 、b ,则长方形的周长是 ;4.鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 只.【教学说明】教师出示上面4个小题,让学生初步体会用字母表示数的意义.教师可向学生提问:它们有什么不同?不管学生对此作出什么回答,教师都应给予鼓励.【答案】1.a 2 2.21ah3.2(a+b )或2a+2b4.a+b 2a+4b问题 用字母表示数的书写规则.【教学说明】培养学生良好的规范的书写习惯.【归纳结论】(1)乘号的写法:字母与字母相乘,数与字母相乘时,乘号“×”通常省略不写或用“·”代替.例如a ×b 写成ab 或a ·b.(2)除号的写法:除号一般不用除号“÷”,而是写成分数的形式,例如:(a+b )h ÷2写成2h b a )( . (3)带分数的写法:数与字母相乘时,数如果是带分数,要化成假分数,并且数要写在字母的前面,例如计算221与xy 相乘时,写成25xy 或25xy . 二、思考探究,获取新知用字母表示数.问题1 教材第54页例1.【教学说明】上一栏目中,学生已通过做一做大致体会了用字母表示数的意义,因此对于这道例题,教师可放手让学生独立思考并做一做,让学生有更深一步的体会:用字母表示数量关系和用数去表示数量关系是一样的.问题2 教材第55页例2.【教学说明】这道例题也同样是用字母表示数量关系,只不过其结果是多项式.教师仍可让学生独立完成.在这道例题完成后,教师向学生提问:①用字母表示数量关系和用数表示有什么异同?②用字母表示数量关系是不是应用更为广泛一些?③用数表示是不是有其局限性?【归纳结论】事实上,用字母表示数量关系往往更为便捷和直观,而用数表示这些关系往往具有局限性(有些数量关系不能用数表示);用字母表示数,字母和数一样可以参与运算,可以用式子把数量关系简明地表示出来.试一试 教材第56页练习.三、运用新知,深化理解1.下列各式:①121x;②(a+b)÷c;③2n-1;④2xy 41;⑤2.5xy 2;⑥51ab 3,其中符合书写要求的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.用含有字母的式子填空.(1)某商店前一个月盈利a元,这个月盈利是前一个月盈利的75%,则这个月盈利元.(2)三角形的底是高的2倍,若高是xcm,则这个三角形的面积是cm2.(3)1kg橘子a元,1kg苹果6元,购买10kg橘子和mkg苹果共元.(4)x的立方与y的平方的差是.【教学说明】通过这几个小题检测学生对本节课内容的掌握情况.可采取学生抢答的形式完成.【答案】1.C2.(1)75%a (2)x2(3)10a+6m (4)x3-y2四、师生互动,课堂小结1.师生共同回顾用字母表示数的知识点.教师提问:如何用字母表示数量关系?2.你还有什么疑问?说说看.1.教材第56页“练习”及从习题2.1中选取.2.完成练习册中本课时的练习.课堂上通过向学生提供用字母表示数的感性材料,让学生通过观察分析,找到列代数式的思路.教学过程中应注意学生的自主思考,加深理解,为后面的学习打下坚实的基础,并培养学生爱思考,爱学习的好习惯.第2课时单项式【知识与技能】1.理解单项式及单项式的系数、次数的概念.2.会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.【过程与方法】通过列代数式,了解单项式的有关概念,结合小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,培养学生自主探索知识和合作交流能力.【情感态度】初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.【教学重点】1.掌握用字母表示有关单项式的数量关系.2.掌握单项式及单项式的系数、次数的概念,并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.【教学难点】单项式概念的建立.一、情境导入,初步认识问题下列各式子:100t, 0.8p,mn, a2h, -n,它们有什么特点?【教学说明】先让学生通过观察、分析、与同伴进行交换,试着说出自己找到的各式特点.教师给予积极的鼓励,适当的总结,引入新课题.二、思考探究,获取新知单项式、单项式的系数和次数.问题教材第56页思考.【教学说明】结合上节课时的学习,用字母表示数的式子有什么特点?教师提出这个问题,让学生稍作思考后回答,然后师生共同归纳,得出有关单项式的概念及其系数和次数.教师应向学生强调以下几点:①单项式中不含加减运算,只含字母与字母或数与字母的乘法(包括乘方)运算;②当一个单项式的系数是1时,“1”统一省略不写.当一个单项式的系数是-1时,“1”可以省略不写,但“-”不能省略;③一个数也是单项式;④单项式的系数是带分数时,要写成假分数,如141x 2y 要写成45x 2y ;⑤单项式的系数包括它前面的符号;⑥单项式的次数是所有字母次数的和,不是看哪一个字母的次数最高.三、典例精析,掌握新知例1 教材第56~57页例3.【教学说明】这个例题较为简单,可让学生独立完成后教师进行巡视,及时发现问题.巡视过程中,教师注意看学生是否会将第(2)小题21ah 的次数写成1,是否会将第(3)小题的系数写成0,若发现有此类问题要进行纠正.此外,教师还应让学生看第(4)(5)小题的结果,向学生强调:用字母表示数后,同一个式子可以表示不同的意义.例2 判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由;如是,请指出它的系数和次数.①x +1; ②x 1; ③πr 2; ④-23a 2b. 解:①不是,因为原代数式中出现了加法运算;②不是,因为原代数式是1与x 的商;③是,它的系数是π,次数是2;④是,它的系数是-23,次数是3. 【教学说明】通过这个例题,教师可让学生说明:①中的式子是下一课时要学到的多项式;②中的式子是分式,在以后的学习中要学到;③中的π是常数,不是字母(学生对此可能有思维定势);④中的次数是a 的次数与b 的次数相加,不是单指a 的次数.试一试 教材第57页练习.【教学说明】在讲解完上面的例题后,教师引导学生做教材第57页练习.对于第1题,教师让学生分成2组,第1组回答系数,第2组回答次数,看哪个组回答得对,以培养学生的团队意识,活跃课堂气氛.第2题为用字母表示数的题,教师仍可点名让学生回答.四、运用新知,深化理解1.下列各式中,单项式有( )A.4个B.5个C.6个D.7个2.单项式-3πxy 2z 3的系数和次数分别是( )A.-π,5B.-1,6C.-3π,6D.-3,73.判断题.(对的打“√”,错的打“”)(1)字母a 和数字1都不是单项式. ( )(2)x 3可以看作x 1与3的乘积,所以式子x3是单项式. ( ) (3)单项式xyz 的次数是3. ( )(4)-323y x 这个单项式系数是2,次数是4. ( ) (5)单项式24的次数是4. ( )4.指出下列单项式的系数和次数.①-6; ②-a 8; ③+2a 2b; ④-32352z y x . 5.如果(a+1)x 3y b-1是关于x 、y 的单项式,且系数不为0,次数为5,那么a 、b 满足什么条件?【教学说明】以上几题均是对本课时的知识进行练习巩固,教师可让学生先独立完成,然后学生举手回答,看学生会在哪方面有困惑或疑问,然后有针对性地对相应知识点进行讲解.【答案】1.B2.C3.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×4.①系数为-6,次数为0.【解析】一个数字也是单项式,此处-6可看作-6与一个指数为0的字母相乘,所以其次数为0.②系数为-1,次数为8.③系数为2,次数为3. ④系数为-332,次数为8. 5.解:由题意可得,a+1≠0,且3+b-1=5,解得a ≠-1,b=3.即a 、b 满足的条件是a ≠-1,b=3.五、师生互动,课堂小结教师提出以下问题,让学生思考,然后师生一起进行知识小结:(1)什么是单项式?单项式的系数和次数是什么?(2)你还有什么疑问和困惑?说说看.1.布置作业:从教材习题2.1中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时内容是概念学习课,教学过程要重点展示概念的形成过程,由学生观察、分析、比较,找出单项式的共同特点,再归纳、抽象概括,形成单项式及相关概念的定义.整个教学过程要遵照启发式原则,凡是经学生努力探究能找出的知识都交由学生自主完成,这样有助于提升学生用数学解决问题的能力.第3课时多项式和整式【知识与技能】1.通过本节课的学习,使学生掌握整式、多项式的项及其次数、常数项的概念.2.知道整式和单项式、多项式的关系.【过程与方法】通过小组讨论、合作交流,让学生经历新知的形成过程,培养比较、分析、归纳的能力.由单项式与多项式归纳出整式,这样更有利于学生把握概念的内涵与外延,有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新【情感态度】初步体会类比和逆向思维的数学思想.【教学重点】掌握整式及多项式的有关概念,掌握多项式的定义、多项式的项和次数,以及常数项等概念.【教学难点】多项式的次数.一、情境导入,初步认识做一做1.一袋水果共26千克,其中苹果x千克,橘子y千克,其余全是香蕉,那么香蕉有千克.2.如图阴影部分的面积为 .【教学说明】由于本课时学习的是多项式,所以首先通过让学生做一做用字母表示数量关系来引入多项式,既是对前一课时有关知识的回顾,又由此导入新课,既符合学生的认知水平,又能为学生学习新知提供丰富的素材.以上答案依次为26-x-y 、a 2-41πa 2. 二、思考探究,获取新知 问题 观察栏目一中的结果26-x-y 、a 2-41πa 2,以及前一课时问题2(即教材第55页例2)中的结果,这些式子有什么特点?【教学说明】这个问题由学生小组派代表回答,教师应肯定每一位学生说出的特点,培养学生观察、比较、归纳的能力,同时又锻炼他们的口头表达能力.通过特征的讲述,由学生自己归纳出多项式的定义,教师可给予适当的提示及补充,并予以板书.【归纳结论】上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的.像这样,几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项,叫做常数项.例如,多项式3x 2-2x+5有三项,它们是3x 2,-2x ,5.其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式3x 2-2x+5是一个二次三项式.【教学说明】归纳过程中,教师还应向学生提醒:(1)多项式的次数不是所有项的次数之和;(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.此外,教师在此处介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,有利于向学生渗透类比的数学思想.三、典例精析,掌握新知例1判断:(1)多项式a 3-a 2b+ab 2-b 3的项为a 3、a 2b、ab 2、b 3,次数为12.( )(2)多项式3n 4-2n 2+1的次数为4,常数项为1.( )【教学说明】这两个判断能使学生清楚地理解多项式中项和次数的概念,第(1)题中第二、四项应为-a2b 、-b3,而往往很多同学都认为是a2b 和b3,不把符号包括在项中.另外也有同学认为该多项式的次数为12,应注意:多项式的次数为最高次项的次数.答案依次为:(1)×(2)√.例2 指出下列多项式的项和次数:(1)3x -1+3x 2; (2)4x 3+2x -2y 2.解:(1)3x ,-1,3x 2;次数是2;(2)4x 3,2x ,-2y 2;次数是3.例3 指出下列多项式是几次几项式.(1)x 3-x +1;(2)x 3-2x 2y 2+3y 2-5.解:(1)三次三项式;(2)四次四项式.例4 已知代数式3x n -(m -1)x +1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的值. 解:n=3,m-1=0,m=1.【教学说明】让学生口答例2、例3,老师在黑板上规范书写格式.讲述例2时应特别提醒学生注意,多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为最高次项的次数.在例3讲完后插入整式的定义:单项式与多项式统称整式.例4分析时要紧扣多项式的定义,培养学生的逆向思维,使学生透彻理解多项式的有关概念,培养他们应用新知识解决问题的能力,此外,教材中的例4由学生自行阅读,教师可酌情讲解.四、运用新知,深化理解1~2.教材第58~59页练习.3.选择.(1)如果一个多项式是五次多项式,那么( )A.这个多项式最多有六项B.这个多项式只能有一项的次数是六C.这个多项式一定是五次六项式D.这个多项式最少有二项,并且最高次项的次数是五(2)下列说法正确的是( )A.-322y x 的系数是-2,次数是3 B.单项式a 的系数是0,次数是0C.-3x2y+4x -1是三次三项式,常数项是1D.单项式-232ab 的次数是2,系数为-29 (3)下列说法正确的是( )A.21不是单项式 B.ab 是单项式 C.x 的系数是0 D.223y x 是整式 4.已知代数式x 5-5x n y +4y 2是关于字母x 、y 的五次三项式,正整数n 可以取哪些值?【教学说明】上面1~3题较为简单,可让学生口答完成.第4题稍难,教师可作提示:-5xny 的次数是n+1.【答案】1.(1)2(a+b ) ab 10 6 (2)21(a+b )h 15 2.(1)5x,次数是1 (2)x 2+3x+6,次数是2,项为x 2、3x 、6 (3)x+2,次数是1,项为x 、23.(1)D (2)D (3)D4.n 可以是1、2、3、4.五、师生互动,课堂小结1.理解多项式的定义,能说出一个多项式是几次几项式,最高次数是几,分别由哪几项组成,各项的系数分别为多少,常数项为几.2.这堂课学习了多项式,与前一节所学单项式合起来统称为整式,使知识形成了系统.1.布置作业:从教材习题2.1中选取.2.完成练习册中本课时的练习.3.选做题:(1)“x 的12与y 的和”用代数式可以表示为( )(2)多项式2-3x 2y+2y 2-7x 的项数与次数分别为( )A.4,7B.4,3C.3,4D.3,3(3)如图,用围棋棋子按下面的规律摆图形,则摆第n个图形需要围棋子的枚数是()A.5nB.5n-1C.6n-1D.2n2+1(4)如图,边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是()A.2m+3B.2m+6C.m+3D.m+6(5)一个三位数,个位数字是a,十位数字是b,百位数字是个位的两倍,这个三位数表示为 .(6)一个关于字母x的二次三项式的二次项系数为4,一次项系数为1,常数项为7.这个二次三项式为 .(7)父亲年龄比儿子年龄的3倍少5岁,设儿子的年龄为x岁,则父亲的年龄为岁.(8)关于x,y的多项式5x m y2+(m-2)xy+3x.①如果多项式的次数为5,则m为多少?②如果多项式只有二项,则m为多少?本课时先复习了上一课时所学的用字母表示数量关系,通过题目的形式进行了展现.再由学生观察式子的共同特点,从而归纳出多项式的有关概念.因为学生已有单项式知识的经验,所以教学中要注重学生自主学习,充分让学生主动探究发现,培养学生主动学习的兴趣和能力,让学生充分感知多项式相关概念的形成过程,并及时通过练习巩固所学知识.2.2 整式的加减第1课时合并同类项【知识与技能】理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则.【过程与方法】1.经历概念的形成过程和法则的探究过程,培养观察、归纳、概括能力,发展应用意识.2.渗透分类和类比的思想方法.【情感态度】在独立思考的基础上,积极参与讨论,敢于发表自己的观点,从交流中获益.【教学重点】正确合并同类项.【教学难点】找出同类项并正确的合并.一、情境导入,初步认识我们来看本章引言中的问题(2).在西宁到拉萨路段,列车通过冻土地段所需时间是th,那么它通过非冻土地段所需要的时间就是 2.1th,则这段铁路的全长(单位:千米)是100t+120×2.1t,即100t+252t.类比数的运算,我们应如何化简式子100t+252t呢?【教学说明】教师先引出教材中的问题,让学生思考,并试着写出答案,教师再予以评讲,为下面同类项及合并同类项概念的引入作铺垫.二、思考探究,获取新知问题1 为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问:①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?②若设软面抄的单价为每本x 元,水笔的单价为每支y 元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?【教学说明】知识的呈现过程尽量与学生已有的生活实际密切联系,从而能提高学生从事探索活动的投入程度和积极性,激发学生的求知欲.问题2 观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类.【教学说明】由学生小组讨论后,按不同标准进行多种分类,教师巡视后把不同的分类方法投影显示.要求学生观察归为一类的式子,思考它们有什么共同的特征?请学生说出各自的分类标准,并且肯定每一位学生按不同标准进行的分类,再由教师给出同类项的定义.试一试1.下列各式与3a2b3是同类项的是( )A.-3a 2b 3B.-3a 3b 2C.-2b 2a 3D.-a 3b 32.若单项式3xm -ny3与单项式3x2nyn 的和是6xm -nyn ,则( )A.m ≠9B.n ≠3C.m =9,n ≠3D.m =9,n =33.判断下列各题中的两个项是否是同类项,并说明理由. (1)3a 2b 和-21a 2b ;(2)31ab 3和-43a 3b ; (3)x 3和y 3;(4)21m 2n 3和3n 3m 2; (5)2ab 和2xy ;(6)-3和0.4.(1)若32x3y2a 与-52x 5by 4是同类项,求a ,b 的值; (2)若-3x 5y2m -3与31x n y 5是同类项,求m 2-2n 的值; (3)若3a m b 5和-7b n+1a 2是同类项,求m 与n 的值.【答案】1.A2.D3.(1)(4)(6)是同类项.4.(1)a =2,b =53 (2)6 (3)m =2,n =4 问题3 探索合并同类项的过程.学生讨论问题1的解答过程,可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所得的结果都为(21x +25y)元.由此可得:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.(板书:合并同类项.)三、典例精析,掌握新知例1 k 取何值时,3x k y 与-x 2y 是同类项?解:要使3x k y 与-x 2y 是同类项,这两项中x 的次数必须相等,即k =2.所以当k =2时,3x k y 与-x 2y 是同类项.例2 找出多项式3x 2y -4xy 2-3+5x 2y +2xy 2+5中的同类项,并合并同类项.【教学说明】根据以上合并同类项的实例,让学生讨论归纳,得出合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变. 例3 下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.(1)2x 2+3x 2=5x 4;(2)3x +2y=5xy ;(3)7x 2-3x 2=4; (4)9a 2b -9ba 2=0.解:(1)不对,结果应为5x 2;(2)不对,两者不是同类项;(3)不对,结果应为4x2;(4)结果正确.【教学说明】通过这一组题的训练,进一步熟悉法则.例4 合并下列多项式中的同类项:【教学说明】用不同的记号标出各同类项,会减少运算错误,当然熟练后可以不再标出.其中第(3)题应把(x+y)、(x-y)看作一个整体,特别注意(x-y)2n=(y-x)2n,n为正整数.在讲完这个例题后,教师可让学生做教材第64页例1,进一步体会合并同类项.例5 求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值,其中x=-3.试一试把x=-3直接代入例5这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?【教学说明】通过比较两种方法,使学生认识到,在求多项式的值时,常常先合并同类项,再求值,这样比较简便.在讲完这个例题后,教师可让学生看教材第64页例2,看跟此题有什么类似之处.四、运用新知,深化理解1~4.教材第65页练习.【教学说明】这4题让学生独立完成,并让学生上台板演.【答案】略五、师生互动,课堂小结1.要牢记同类项的概念,熟练正确的合并同类项,以防止2x2+3x2=5x4的错误.2.从实际问题中类比概括得出合并同类项法则,并能运用法则,正确的合并同类项.1.布置作业:从教材习题2.2中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学要重点引导学生抓住理解同类项的定义中的要点:(1)所含字母相同,不能多或少;(2)相同字母指数完全相同;从这个定义可归纳出:几个代数式的系数大小,字母排列顺序,单项式次数等都不是决定是否是同类项的全部因素.合并同类项是从具体的数字运算发展到代数式运算的一个转折,教学中需要学生通过本课内容的学习,初步了解代数式运算的特点,体会代数式运算与数字运算的异同,初步完成由数字运算到代数式运算的思维转变;同时合并同类项又是今后其他代数式运算及解方程、解不等式的不可或缺的一个环节,因此要特别重视.教学时可充分让学生利用小组交流的方式探索出法则,并在应用时互相纠偏补缺.第2课时去括号【知识与技能】能运用运算律探究去括号法则,并且利用去括号法则将整式化简.【过程与方法】经过类比带有括号的有理数的运算,发现去括号时的符号变化的规律,归纳出去括号法则,培养学生观察、分析、归纳能力.【情感态度】培养学生主动探究、合作交流的意识,严谨治学的学习态度.【教学重点】去括号法则,准确应用法则将整式化简.【教学难点】括号前面是“-”号去括号时,括号内各项变号容易产生错误.一、情境导入,初步认识利用合并同类项可以把一个多项式化简,在实际问题中,往往列出的式子含有括号,那么该怎样化简呢?现在我们来看本章引言中的问题(3):在格尔木到拉萨路段,如果列车通过冻土地段要uh,那么它通过非冻土地段的时间为(u-0.5)h,于是,冻土地段的路程为100ukm,非冻土地段的路程为120(u-0.5)km,因此,这段铁路全长(单位:km)是100u+120(u-0.5)①冻土地段与非冻土地段相差100u-120(u-0.5)②上面的式子①、②都带有括号,它们应如何化简?思路点拨:教师引导、启发学生类比数的运算,利用分配律.学生练习、交流后,教师归纳:利用分配律,可以去括号,合并同类项,得:100u+120(u-0.5)=100u+120u+120×(-0.5)=220u-60;100u-120(u-0.5)=100u-120u-120×(-0.5)=-20u+60.我们知道,化简带有括号的整式,首先应先去括号.上面两式去括号部分变形分别为:+120(u-0.5)=+120u-60 ③-120(u-0.5)=-120u+60 ④比较③、④两式,你能发现去括号时符号变化的规律吗?二、思考探究,获取新知【教学说明】上一栏目中问题,应鼓励学生通过观察,试用自己的语言叙述去括号法则,然后教师板书(或用屏幕)展示.【归纳结论】如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.特别地,+(x-3)与-(x-3)可以分别看作1与-1分别乘(x-3).利用分配律,可以将式子中的括号去掉,得:+(x-3)=x-3(括号没了,括号内的每一项都没有变号)-(x-3)=-x+3(括号没了,括号内的每一项都改变了符号)去括号规律要准确理解,去括号应对括号内的每一项的符号都予考虑,做到要变都变;要不变,则每一项都不变;另外,括号内原有几项去掉括号后仍有几项.三、典例精析,掌握新知例1 化简下列各式:(教材第66页例4)(1)8a+2b+(5a-b);(2)(5a-3b)-3(a2-2b).【教学说明】讲解时,先让学生判定是哪种类型的去括号,去括号后,要不要变号,括号内的每一项原来是什么符号?去括号时,要同时去掉括号前的符号.为了防止错误,题(2)中-3(a2-2b),先把3乘到括号内,然后再去括号.解答过程按课本,可由学生口述,教师板书.例2 两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是50km/h ,水流速度是akm/h.(教材第67页例5)(1)2h 后两船相距多远?(2)2h 后甲船比乙船多航行多少千米?【教学说明】教师操作投影仪,展示例2,学生思考、小组交流,寻求解答思路.根据船顺水航行的速度=船在静水中的速度+水流速度,船逆水航行速度=船在静水中的速度-水流速度.因此,甲船速度为(50+a )km/h ,乙船速度为(50-a )km/h ,2h 后,甲船行程为2(50+a )km ,乙船行程为2(50-a )km.两船从同一港口同时出发反向而行,所以两船相距等于甲、乙两船行程之和.去括号时强调:括号内每一项都要乘以2,括号前是负因数时,去掉括号后,括号内每一项都要变号.为了防止出错,可以先用分配律将数字2与括号内的各项相乘,然后再去括号,熟练后,再省去这一步,直接去括号.四、运用新知,深化理解1~2.教材第67页练习.3.一本书第一天看了x 页,第二天看的页数比第一天看的页数的2倍少25页,第三天看的比第一天看的一半多42页,已知三天刚好看完这本书.(1)用含x 的代数式表示这本书的页数;(2)当x=100,试计算这本书的页数.4.有这样一道计算题:计算(2x 3-3x 2y-2xy 2)-(x 3-2xy 2+y 3)+(-x 3+3x 2y-y 3)的值,其中x=2012,y=1.甲同学错把x=2012看成x=-2012,但计算结果仍正确,请你说说这是怎么一回事?【教学说明】本课时的内容是有关于去括号的问题,教师先让学生独立完成,向学生强调去括号时应注意符号的变化.【答案】1.(1)12x-6 (2)-5+x (3)-5a+5 (4)5y+12.解:顺风飞行4小时的行程为4(a+20)千米;逆风飞行3小时的行程为3(a-20)千米;两个行程相差4(a+20)-3(a-20)=4a+80-3a+60=(a+140)千米.3.(1)x+(2x-25)+(21x+42)=27x+17; (2)将x=100代入原式得27×100+17=367.。
初中数学人教版七年级上册第二单元第2-5课数学活动教
学设计
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能
(1)会用字母、运算符号表示简单问题的规律,并能验证所探索的规律。
(2)能综合所学知识解决数学问题和实际问题,发展学生应用数学的意识,培养学生的实践能力。
2、过程与方法
经历探索数量关系,运用符号表示规律,通过验算验证规律的过程,在解决问题的过程中体验归纳、分析、猜想、抽象、类比、转化等思维方法,发展学生抽象思维能力,培养学生良好的思维品质。
3、情感、态度与价值观
通过对实际问题中规律的探索,体验“从特殊到一般、再到特殊”的辩证思想,激发学生的探究热情和对数学的学习热情。
2学情分析
从学生学习的心理基础和认知特点来看,学生在前一阶段的学习中已经具备了一些字母表示数的基础,但由于初一学生年纪小缺少生活经验,有些规律、数量关系比较隐蔽,因此在解决问题时有一定的障碍。
3重点难点
教学重点:探索实际问题中蕴涵的关系和规律。
教学难点:用字母、符号表示一般规律。
4教学过程
4.1探究规律
教学活动
1【导入】1、创设情境,导入新课。
月历中的数字规律教学目标:1、进一步巩固用字母表示数、用字母表示规律,能运用合并同类项、去括号法则求和,并探索规律。
2、通过动手操作、观察、猜想、归纳等数学活动发现问题、提出问题、解决问题,学会与他人合作交流。
3、通过对月历的研究,使学生积极参与数学活动,体会数学活动充满探索与创造,培养学生对数学的好奇心与求知欲。
学情分析:学生已经学习了字母表示数及整式的加减运算,有一定的代数意识。
再加上七年级的学生具有强烈的好奇心和求知欲,在前面的学习中,学生已经有涉及探索规律的一些题目,积累了一定的数学活动经验。
虽然他们的形象思维和发散思维强,但抽象思维、符号意识、代数意识弱,需要教师的引导和启发。
教学重难点:重点:巩固用字母表示数及简单的数量关系,学会求和的简便方法。
难点:利用“合并同类项”、“去括号”等法则探索规律。
教法与学法:教法:利用多媒体课件,月历等工具,提出问题、动手实践、寻求规律、归纳总结。
学法:参与、探究、合作、交流的学习方式。
教学过程:一、小小游戏,激发动机,引入活动课题活动1:教师在黑板上展示某月月历图,请一同学上来在月历的横行上,任意圈出3个相邻的数,同学们说出这3个数的和,教师立马告诉学生他圈的是哪3个数。
从而利用学生的好奇心激发他们的学习兴趣:为什么老师可以马上猜出来呢?其实并非老师有什么绝活,而是月历中隐含着一些规律,这节课我们一起来探究---月历中的数字规律。
设计目的:通过师生之间角色的互换,使学生尽快进入学习状态,充分调动学生的好奇心与求知欲。
二、合作探究,体验感悟、交流提升活动2:问题1、让学生在手中的月历上圈出3个相邻数,观察它们之间有什么关系?教师引导学生主要从四个方面对规律进行总结:(1)横排相邻数的排列规律:从左到右每两个数字之间相差1;(2)竖排相邻数的排列规律:从上到下每两个数字之间相差7;(3)左斜相邻数的排列规律:从右上到左下每两个数字之间相差6;(4)右斜相邻数的排列规律:从左上到右下每两个数字之间相差8;进一步提问:能用字母表示出这些规律吗?问题2、若将其中一个数看做X,用含X的式子表示另两数。
新人教版七年级数学上册第二章《数学活动》名师教案教案一:数学抽奖活动教学目标:1. 了解抽奖的基本概念和原理。
2. 学习使用概率计算抽奖的可能性。
3. 发展学生的逻辑思维和计算能力。
教学准备:1. 抽奖活动的奖品和奖品数量。
2. 相关的抽奖规则和奖项设置。
教学过程:1. 引入活动:向学生介绍数学抽奖活动的目的和基本原理。
2. 规则说明:向学生详细介绍本次抽奖活动的规则和奖项设置。
3. 概率计算:通过具体例子,教授概率计算的方法和步骤。
4. 练习演示:给学生几个抽奖的例子,让他们自己计算中奖的概率。
5. 抽奖活动:按照设定的规则和奖项,进行抽奖活动。
6. 结果统计:统计所有学生的抽奖结果,并让学生自行计算抽奖的概率。
7. 总结反思:让学生总结抽奖活动的经验和教训,讨论概率计算的应用。
教案二:数学趋势图比较教学目标:1. 了解趋势图的基本概念和用途。
2. 学习制作和比较趋势图的方法。
3. 发展学生的数据分析和图表阅读能力。
教学准备:1. 多组不同类型的数据。
2. 制作趋势图的工具和软件。
教学过程:1. 引入活动:向学生介绍数学趋势图的作用和重要性。
2. 趋势图制作:讲解制作趋势图的方法和步骤,并给学生提供相应的数据。
3. 比较趋势图:根据不同的数据,让学生制作趋势图并进行比较。
4. 分析讨论:让学生观察和分析不同趋势图的特点和变化趋势,并进行讨论。
5. 总结反思:让学生总结趋势图的制作方法和应用,并分享自己的体会。
教案三:数学游戏竞赛教学目标:1. 提高学生的算数运算速度和准确性。
2. 培养学生的团队合作和竞争意识。
3. 发展学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学准备:1. 数学竞赛的题目和答题卡。
2. 分组竞赛的规则和奖励措施。
教学过程:1. 引入活动:向学生介绍数学游戏竞赛的目的和规则。
2. 组队分组:根据班级情况,将学生分为若干个小组,并告知竞赛规则和奖励措施。
3. 竞赛题目:将竞赛题目发给学生,要求他们在规定时间内完成。
找数学活动------规律万全县第一初级中学任安教学任务分析教学目知识技能数学思考解决1通过活动,能够数形结合思考并解决问题。
2会用整式表达所发现的规律。
3会用整式表示数量关系及简单的用字母表示不等关系。
1经历从直观思维到理性思维,从而发展抽象思维。
2通过探究活动,进一步体会分类、对应思想,以及数形结合思想。
3通过观察、类比、归纳等活动,积累数学活动经验,感受数学思考过程的条理性。
1在经历从具体情境抽象出整式的过程中,发展抽象、概括思维,并能利用整式解决实际问题.标问题2通过活动,体会数形结合的思想方法。
体会整式比数字更具有一般性,进一步认识事物之间的联系性与规律性。
1通过拼图等数学探究活动,提高学生对数学学习的好奇心与求知欲。
情感2通过交流、研讨活动,培养学生主动与他人合作交流的意识。
态度3通过用整式描述现实世界中的数量关系,认识到它是解决实际问题的重要的数学工具之一。
重点巩固整式的有关知识,积累数学活动经验。
难点从具体情境问题中抽象出一般的规律。
教学流程安排活动流程图活动内容与目的活动1展示与欣赏图案学生展示自己的火柴图案,欣赏《火柴棍创造出的艺术》。
活动2用火柴、正方形拼图从学生已有的生活经验和数学经验出发,通过动手操作、观察、归纳,感受整式是有效描述世界的重要手段。
活动3探究日历中蕴涵的现象通过观察归纳发现规律,感受我们的生活中处处有数学。
活动4我快乐,我选择。
通过学生的自由选择,学生能运用所学知识解决问题。
活动5小结与反思活动1学生反思本次活动中学到的知识,总结活动中的经验,并谈活动中的感受。
教学过程设计问题情境师生行为设计意图同学们,你们在小学里都用火柴拼过图,你能展示一下你用火柴拼出来的图案吗?活动2学生展示自己在课下拼出的通过欣赏火柴图案。
教师利用多媒体让学图片,激发学生欣赏《火柴棍创造出的艺术》。
生的学习兴趣。
(1)用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形,如学生分小组分别进行拼图,学生通果图形中含有1,2,3或4个三角形,分别需要多并观察,可在小组内或小组间进过操作、观少根火柴棍?如果图形中含有n个三角形,需要多少根火柴棍?行讨论、归纳。
《月历中的数学》活动课的教学设计一、教材分析本节课是人教版七年级上册第二章《整式的加减》中的数学活动3—月历中的数学。
用字母表示数,并探索规律是本章的重要内容,也是考查的难点内容。
在此之前,学生已经学习了有理数的基本运算、整式及整式的加减等相关知识,为本节活动课奠定了基础。
探究月历中的数学这节活动课给学生提供了一个创新思维空间,示范了一个探究规律的基本流程,为后续学习“数阵”、其他找规律的数学问题提供了一个研究方向和方法,是培养学生数学思维能力的有效载体。
二、学情分析七年级的学生学习积极性高,好奇心强,但学习数学的方法、学习习惯,以及个人数学素养却各有不同。
学生已经学习了有理数、整式的加减等相关基础知识,已经具备了初步的数学符号表达能力,知道用字母可以表示数字。
但对用字母表示数字的优越性与必要性还不是很理解,只是处于一个懵懂的模仿阶段。
对数学是一门严谨的科学的认识不够,所积累的数学经验也不够丰富,等……,都是本节活动课需要提前考虑的。
三、教学目标分析(1)知识技能目标:1、会用字母表示月历中的数字,并感受用字母表示数字的优越性与必要性;2、学会用数学符号语言表述月历中的数学发现与问题;3、通过用字母来验证规律的过程,进一步巩固整式的加减法则;(2)数学思考目标:1、在自主发现探究月历中的规律活动中,学会用数学的思维思考问题;2、经历从月历中探究数学的过程,感受数学来源于生活,并会用数学的眼光观察世界;3、通过对月历中的数学探究过程,培养学生的观察、计算、分析、抽象、归纳的能力,体验规律的产生过程,积累数学活动经验;(3)问题解决目标:1、经历对月历中的数字观察、计算,发现月历中数字是含有规律的,并提出猜想;2、在对月历中规律进行验证的过程中,学会用数学的手段去处理问题;3、应用月历中数学规律进行游戏和解决相关的数学问题;(4)情感态度目标:1、在自主探究月历中数学的过程中,鼓励学生从多角度观察、思考,并适时地表扬和引导,让学生获得积极参与活动的情感体验,从而增强学习数学的兴趣;2、经历用数学规律玩游戏和解决问题,体会数学的应用价值,让学生乐于学习;3、在探究月历中的数学规律时,通过动手操作,互相交流,分享经验,提高学生交流合作的意识,培养学生的探究精神;四、教学重难点《数学课程标准》指出“积累数学活动经验,培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标”。
数学初一上册第二章教学方案一、教学目标1. 理解数学中的代数概念,包括代数表达式、代数运算等;2. 掌握线性方程与不等式的解法;3. 运用数学知识解决实际问题。
二、教学重点1. 学生理解与运用代数概念;2. 学生掌握线性方程与不等式的解法;3. 学生能够运用所学知识解决实际问题。
三、教学内容与方法1. 教学内容本章主要内容包括代数表达式的概念与运算、方程与不等式的解法以及实际问题的应用等。
2. 教学方法(1)概念讲解与例题演练通过教师对代数概念的讲解,引导学生理解代数表达式的含义,并结合具体例题进行演练,巩固学生的理解与运用能力。
(2)探究式学习在引导学生理解线性方程与不等式的解法之后,通过给出一些简单的实际问题,让学生自行探索与解决,提高他们运用所学知识解决实际问题的能力。
(3)合作学习通过小组讨论、合作解题等形式,让学生在交流合作中互相学习与提升,培养他们的团队合作与解决问题的能力。
四、教学步骤1. 概念讲解与例题演练(1)引入代数概念,解释代数表达式的定义与意义;(2)讲解代数运算法则,例如加法、减法、乘法与除法;(3)通过一些具体的例题演示代数表达式的应用与运算方法。
2. 线性方程与不等式的解法(1)引入线性方程与不等式的概念,解释它们在数学中的作用与意义;(2)重点讲解一元线性方程与不等式的解法,例如加减消去法、乘除消去法等;(3)通过一些典型的例题,演示线性方程与不等式的解法步骤与方法。
3. 实际问题的应用(1)提供一些简单的实际问题,要求学生运用所学知识解决;(2)组织合作学习,让学生在小组内合作讨论问题的解决方法;(3)学生汇报解题过程与结果,进行讨论与分享。
五、教学评估1. 课堂练习结合每个教学环节的例题演练,对学生进行课堂练习,检验他们对所学知识的掌握情况。
2. 作业布置布置一些综合性的作业,包括选择题、填空题、应用题等,要求学生运用所学知识解决问题。
3. 教学反馈收集学生的作业,对其完成情况进行评价与反馈,并及时解答他们的疑问,帮助他们进一步提高。
第二章数学活动课(刘绍中)一、教学目标(一)学习目标1.用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系.2.掌握从特殊到一般,个体到整体的观察分析问题的方法去解决规律问题.3.体验数形结合的思想,由特殊到一般的研究方法.(二)学习重点用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系.(三)学习难点(1)用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系.(2)掌握从特殊到一般,个体到整体的观察分析问题的方法解决规律问题二、教学设计(一)课前设计1.预习任务如图所示是一组有规律的图案,第(1)个图案由4个基础图形组成,第(2)个图案由7个基础图形组成,……第n(n是正整数)个图案由31n+个基础图形组成.2.预习自测(1)如图是一组由深圳世界大学生运动会吉祥物“”组成的有规律的图案,请你观察比较它们组成的规律,试判断第n个图案需要用“”()A.(1)n n+B.(1)2n n+C.(1)2n+D.2n【知识点】整式表示数量关系【解题过程】解:第一个图案1个,第二个图案123+=个,第三个图案1236++=个,第四个图案123410+++=个…第n个图案123n++++=(1)2n n+,故选B.【思路点拨】从前四个图中去发现数据的变化规律,从列出整式表示数量关系.【答案】B.(2)某市出租车的收费标准为:起步价12.50元,3千米后每千米2.40元,某人乘坐出租车行驶x(3x>)千米,试用含x的式子表示他应付的费用,并求出当8x=时,这一式子的值.【知识点】整式表示数量关系【解题过程】解:总费用= 12.50 2.4(3)x +-= 2.4 5.3x +, 当8x =时,原式= 2.48 5.324.5⨯+=【思路点拨】总费用=起步价+单价×超过3千米的部分,在代入求值即可. 【答案】2.4 5.3x +,24.5.(3)若a 表示一个三位数,b 表示一个两位数,若把a 放在b 的左边组成一个五位数,则这个五位数是 .【知识点】用整式解决实际问题【解题过程】解:把a 放在b 的左边组成一个五位数,相当于b 的值不变,a 的小数点向右移动了三位,所以,所得的数是100a b +. 故答案为:100a b +.【思路点拨】把a 放在b 的左边组成一个五位数,相当于把a 乘以100求出所得的积,再加上b .【答案】100a b +.(4)如图,在边长为a 的正方形的四个角挖去边长为b 的四个小正方形. (1)余下的部分(阴影部分)的面积为多少? (2)当9a =,3b =时,阴影部分的面积是多少? 【知识点】整式解决实际问题,并求值.【解题过程】解:(1)余下部分的面积为224a b -; (2)当9a =,3b =时,224a b -22943813645=-⨯=-=. ∴当9a =,3b =时,阴影部分的面积是45.【思路点拨】(1)阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积,正方形的面积等于边长的平方.(2)把a 、b 的值代入(1)所列式子中计算即可. 【答案】(1) 224a b -;(2)45.(二)课堂设计1.知识回顾(1)用字母表示数的含义可以使实际问题中的数量关系更加的简洁、规范. (2)整式的加减运算实际就是去括号合并同类项.(3)用整式表示实际问题中的数量关系的方法及步骤:弄清数量关系,注意语句顺序,熟记常用公式,规范书写.2.问题探究探究一 用整式表示规律问题中的数量关系 ●活动① 回顾旧知,整式表示数量关系师问:用整式表示实际问题中的数量关系的方法和步骤是什么? 学生举手抢答.师:整式的加减运算是什么? 学生举手抢答.【设计意图】通过复习提问,为用整式表示规律问题中的数量关系作好铺垫. 探究二 ★▲●活动① (大胆操作,探究整式表示规律中的数量关系的方法) 如图所示,用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形. (1)如果图形中含有n 个三角形,需要多少根火柴棍? (2)当图形中含有2019个三角形时,需要多少根火柴棍?师生活动:学生分成几个小组,利用准备好的的火柴棍动手摆放图形进行探究.学生代表展示小组讨论的过程和结果.【设计意图】通过学生动手操作、讨论交流,初步感知特殊到一般的观察、分析的数形结合思想方法.●活动② (集思广益,发现如何探究规律问题中的数量关系的方法) 12222n -+++++=2n +时,21n +=2×2019+1=4025追问:还可以从图像的哪些角度去思考,寻找数据的变化规律?放两类统计计算,可得这种研究图形变化规律的方法:数形结合的思想方法和特殊到一般的思想方法【设计意图】应用列表法得到用整式表示三角形个数和所用火柴棍的根数的对应关系,让学生体会到特殊到一般、数形结合、个体到整体的观察、分析问题的方法. 探究三 ★▲●活动① (基础性例题)师问:今天学习了数学中很重要的思想方法即数形结合、特殊到一般的思想方法,你能利用它可以解决图形规律变化的问题吗?例1.如图所示,用大小相等的小正方形拼大正方形,拼第1个正方形需要4个小正方形,拼第2个正方形需要9个小正方形,…,按照这样的方法拼下去,第n 个大正方形比第()1n -个大正方形多多少个小正方形( ).A.()221n n +-⎡⎤⎣⎦;B. ()221n n --⎡⎤⎣⎦;C.()()2211n n +--⎡⎤⎣⎦; D.()21n -. 【知识点】整式表示规律.【数学思想】特殊到一般、数形结合.【解题过程】解:∵第一个图形有224=个正方形组成,第二个图形有239=个正方形组成,第三个图形有2416=个正方形组成,∴第n 个图形有21n +()个正方形组成,第1n -()个图形有2n 个正方形组成, ∴第n 个大正方形比第1n -()个大正方形多221n n +-()个小正方形. 故选A.【思路点拨】观察题目,将第一、二、三个图形的小正方形个数表示出来,根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律,第n 个图形有21n +()个正方形组成,此时即可得出第n 个大正方形比第1n -()个大正方形多多少个小正方形. 【答案】A.【知识点】整式表示规律【数学思想】数形结合思想、特殊到一般思想【解题过程】解:(1)图形编号为③中三角形的个数为9=4×3-3;【思路点拨】(1)结合题意,总结可知,每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形由此可计算出答案;(2)根据(2)中的规律可直接写出答案.【答案】4n-3.【设计意图】使学生通过由图形的变化规律去发现数据的变化规律,从而用含字母的式子把一般性的规律表示出来,进一步体会数形结合思想和特殊到一般的研究方法.●活动2 (提升型例题)例2.一种笔记本售价为2.3元/本,如果买100本以上(不含100本),售价为2.2元/本,列式表示买n本笔记本所需钱数(注意对n的大小要有所考虑).请同学们讨论下面的问题:(1)按照这种售价规定,会不会出现多买比少买反而付钱少的情况?(2)如果需要100本笔记本,怎样购买能省钱?(3)了解实际生活中的类似问题,并举出几个例子.【知识点】整式解决实际问题.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解:(1)当100n>时:需要的钱数是2.2n元;当n≤时:需要的钱数是2.3n元;当100⨯=元,由2.2230n<,n<得:104.5n=时,需要的钱数是2.3100230100则100104<≤时,会出现多买比少买反而付钱少的情况;n(2)因为如果需要100本笔记本,购买101本时,需要的钱数是101 2.2222.2⨯=(元),购买100本时,需要的钱数是100 2.3230⨯=(元),所以如果需要100本笔记本,购买101本能省钱;(3)例如一个乒乓球售价为2元/个,如果买10个以上(不含10个),售价为1.9元/个,按照这种售价规定,会不会出现多买比少买反而付钱少的情况?【思路点拨】(1)分两种情况讨论,一种是不超过100本,另一种是超过100本,分别求出各自的代数式即可.(2)因为买100本以上(不含100本)售价较低,所以可以购买101本笔记本比较省钱.【答案】(1)100104<≤时,会出现多买比少买反而付钱少的情况;(2)购买101本能省钱;n(3)略.练习:A、B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:A公司年薪两万元,每年加工龄工资400元,B公司半年薪一万元,每半年加工龄工资100元,求A、B两家公司,第n年的年薪分别是多少,从经济角度考虑,选择哪家公司有利?【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解:A公司第n年的年薪是20000400119600400();n n+-=+B公司第n年的年薪是200001002119900200().n n+-=+A、B公司第n年的年薪差为1960040019900200200300()().+-+=-n n n当1n-<,此时选择B公司有利;n=时,2003000当2n->,此时选择A公司有利.n≥时,2003000【思路点拨】提示1:根据题意列出A、B两公司第n年的年薪的代数式,对这两个式子进行比较即可.提示2:解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.此题为文字阅读题,学生要养成仔细阅读理解的习惯.【答案】200300n-<,此时选择B公司有利;n=时,2003000n-,当1当2n->,此时选择A公司有利.n≥时,2003000【设计意图】使学生通过由图形的变化规律去发现数据的变化规律,从而用含字母的式子把一般性的规律表示出来,进一步体会数形结合思想和特殊到一般的研究方法.3.课堂总结知识梳理(1)整式和整式的加减表示数量关系.(2)列表整理分析数据,发现变化规律. (3)数形结合思想、特殊到一般思想. 重难点归纳(1)列表整理分析数据,发现变化规律. (2)数形结合思想、特殊到一般思想.(三)课后作业基础型 自主突破,根据这组数的规律【知识点】整式解决规律问题中数量关系. 【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:分子为1,2,3,4,5,,第100个数的分子为100,分母为3,5,7,9,11,第100个数的分母为12100201+⨯=,第100个数为:100201,因此,本题正确答案是: 100201. 【思路点拨】这是一组分数,分子是从1开始的连续自然数n ,分母是从3开始的连续奇数,且每个分数的分子分母存在的关系: 12nn+,故本题可解. 【答案】100201. 2.观察图中给出的四个点阵,S 表示每个点阵中的个数,按照图形中的点的个数变化规律,猜想第10个点阵中的点的个数S 为( ). 【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解:看图可知,第n 幅图就比第一幅图多1n -()个4,所以第n 幅图中点的个数就是1n -(),再乘以4,然后加1,列式为:()141n -⨯+=441n -+=43n - 所以第10个图形点的个数S =4×10-3=37.【思路点拨】仔细看图,分析图中点的数量的变化,发现规律是:第n 幅图就比第一幅图多1n -()个4,据此即可解题;在找出点的总个数的关系后,不要忽略第n 的图中点的总个数应加上1,否则导致答案错误. 【答案】43n -.3.如图所示,则第2019个图形中笑脸的个数是 ,第n 个图形中笑脸的个数是 . 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:根据题意可知,第2019个图形中笑脸的个数是4016个,第n 个图形中的笑脸的个数是2n .【思路点拨】分析笑脸的个数与n 的值之间的变化规律,笑脸的个数总是n 的值的2倍,根据这一规律可以分析出第2019个图形笑脸的个数以及第n 个图形笑脸的个数. 【答案】4016,2n .4.如图,用围棋子按下面的规律摆图形,则摆第n 个图形需要围棋子的枚数是( ).第1个 第2个 第3个A.5nB. 51n -C. 61n -D. 221n +【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解:依题意得:摆第1个“小屋子”需要5枚围棋子; 摆第2个“小屋子”需要11枚;摆第3个“小屋子”需要17枚. 则摆第n 个图形需要围棋子的枚数为(61)n -个,故选C.【思路点拨】本题中可根据图形分别得出n =1,2,3,4时的小屋子需要的点数,然后找出规律得出第n 个时小屋子需要的点数. 【答案】C.5.图是用棋子摆成的图案,每条边上有n (2n ≥)个棋子,每个图案棋子的总数是S ,按此规律推断S 与n 的函数关系式为________. 【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解:由图可知,当n =2 时,242S ==当n =3 时,293S ==;当n =4 时,2164S ==……;因而2S n =【思路点拨】本题中可根据图形分别得出n =1,2,3,4时的图案需要的点数,然后找出规律得出第n 个时图案需要的点数. 【答案】2S n =.6.如图,以一根火柴棍为一边,用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形,如果图形中含有2 013个正方形,则需要根火柴棍.【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解:1n=时,有4根火柴;2n=时,有437=+根火柴;3n=时,有42313⨯=+根火柴;…,()41331S n n=-⨯=++,当 2 013n=时,3 2 01316040S=⨯=+【思路点拨】易得1n=时火柴的根数,分别求得n为任意值时,火柴的根数在4的基础上增加了几个3即可.【答案】6040.能力型师生共研【答案】11 10 a -.2.如图是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式(n为正整数)表示数表中第n行第n列的数.【知识点】整式表示规律图形中数量关系.【数学思想】特殊到一般.【答案】21n n -+.探究型 多维突破【知识点】整式表示数量关系.【解题过程】当户月用水量是26方时:()()12 1.520122262036a a a a +-+-=;当户月用水量是n 方时:()()()12 1.5201222028a a a n n a +-+-=-表中空格从左至右依次填36a 和()28n a -.【思路点拨】分别计算出312m ,按a 元/ 3m 收费,若超过38m ,按1.5a 元/3m 收费,超过320m ,按2a 元/3m 收费,然后计算三部分的和即可求解.【答案】36a 和()28n a -.2.一组有规律的图案如图所示,第1个图案有4个五角星,第2个图案有7个五角星,第3个图案有10个五角星,……,第2019个图案有____个五角星.第1个图案 第2个图案 第3个图案【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】第一个图有4个五星,第二个图有4+3个五星,第三个图有4+3+3个五星…第n 个图有43(1)n +-,所以2019个图有43(1)n +-=43(20141)+⨯-=6043.【思路点拨】以第一个图的个数4为基础,以后每增加一个图就增加3个五星,从而发现增加的个数与对应图像个数的对应关系,从而发现变化规律,用含n 的式子表示出来即可.【答案】6043.自助餐1.观察下面的一列单项式:x -、22x 、34x -、48x 、516x -、…根据其中的规律,得出的第10个单项式是( ).A.9102x -B. 9102xC.992x -D.992x【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:依题意得:(1)n 为奇数,单项式为:12n n x --(); (2)n 为偶数时,单项式为:12n n x -(). 综合(1)、(2),本数列的通式为:12n n x -(-),∴第10个单项式为:9102x .故选:B .【思路点拨】通过观察题意可得:n 为奇数时,单项式为负数.x 的指数为n 时,2的指数为(1n -).由此可解出本题.【答案】B.2.一组按规律排列的多项式:a b +,23a b -,35a b +,47a b -,…,其中第10个式子是( ).A.1019a b +B.1019a b -C.1017 a b -D.1021a b -【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:多项式的第一项依次是a ,2a ,3a ,4a ,…,n a , 第二项依次是b ,3b -,5b ,7b -,…,1211n n b +﹣(﹣), 所以第10个式子即当n =10时,代入后得到12110191n n n a b a b +-+=-(-),故选B .【思路点拨】把已知的多项式看成由两个单项式组成,分别找出两个单项式的规律,也就知道了多项式的规律.【答案】B.3. 如图,是用火柴棍摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边摆上20(n =20)根时,需火柴棍为 根,若当每边摆上n 根时,试写出需火柴棍为 根.【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:由图形可知:当1n =时,火柴总数为31⨯,当2n =时,火柴总数为312⨯+(),当3n =时,火柴总数为3123⨯++(), ∴当20n =时,火柴总数为312320630⨯++++=(),当每边摆上n 根式,火柴总数为3123n ⨯++++=()3(1)2n n + 【思路点拨】根据图中规律可发现,每边增加一根火柴,火柴总数就会比前面增加3n 根火柴.【答案】630,3(1)2n n +. 4.如图是①2019年10月日历,现用一长方形在日历中任意框出4个数如图②,请用一个等式表示a 、b 、c 、d 之间的关系: .【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:∵a 、b 、c 、d 是任意框出4个数,∵81728a a a a a ++=+++=+()()(),∴a d b c +=+,故答案为:a d b c +=+.【思路点拨】根据日历,用a 表示出b 、c 、d ,便不难得到规律.【答案】a d b c +=+.5.观察下列顺序排列的等式:猜测第n 个等式(n 为正整数)应为 .【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:根据分析:即第n 个式子是911011109n n n n -+=+=-()(﹣).故答案为91109n n n -+=-().【思路点拨】这几个等式中,左边:第几个式子是9乘以(几减1),再加上几;右边:第几个式子即十位是几减1,个位是1.【答案】91109n n n -+=-().6.观察下列图形它们是按一定的规律排列的,依照此规律,第20个图形的“★”有多少个?【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:根据规律第一个图有3个★,第二个图有6个★,第三个图有9个★,…可知第n 个图形有3n 个★,所以第20个图形共有20360⨯=个★.另解:通过观察发现每行五星组成的三角形的边上分别有(1n +)个五星,共有31n +()个,但每个角上的五星重复加了两次,故五星的个数为3(1)33n n +-=个,故第20个图象共有60个★,故第20个图形的“★”有60个.【思路点拨】排列组成的图形都是三角形.第一个图形中有133⨯=个★,第二个图形中有236⨯=个★,第三个图形中有339⨯=个★,…第20个图形共有20360⨯=个★.【答案】第20个图形的“★”有60个.。