【成才之路】2015-2016学年高中数学 本册综合测试2 北师大版必修4

第三章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D ．13[答案] D[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A ．54B ．62C ．32D ．1＋23[答案] A[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.3．已知sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为( )A ．1925B ．1625C ．1425D ．725[答案] D[解析] sin2x ＝cos(π2－2x )＝cos2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－2×(35)2＝725.4．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A ． 2B ．2C ．4D ．22[答案] B[解析] PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)， 则|PQ →|＝(cos β－cos α)2＋(sin β－sin α)2 ＝2－2cos (α－β)，故|PQ →|的最大值为2. 5．(高考浙江文)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2[答案] A[解析] f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)，周期T ＝π，振幅为1，故选A ．6．(2015·昆明一中模拟)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4[答案] D [解析]3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)sin10°cos10°＝2sin (－20°)sin10°cos10°＝－2sin20°12sin20°＝－4.7．(高考重庆卷)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] C[解析] 原式＝sin (17°＋30°)－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17cos30°cos17°＝sin30°＝12，故选C ．8．(高考江西文)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43[答案] B[解析] 本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由sin α＋cos αsin α－cos α＝12得tan α＋1tan α－1＝12即2tan α＋2＝tan α－1，∴tan α＝－3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝－6－8＝34，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．9．y ＝sin(2x －π3)－sin2x 的一个单调递增区间是( )A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312π]D ．[π3，5π6][答案] B[解析] y ＝sin(2x －π3)－sin2x ＝sin2x cos π3－cos2x sin π3－sin2x ＝－(sin2x cos π3＋cos2x sin π3)＝－sin(2x ＋π3)，其增区间是函数y ＝sin(2x ＋π3)的减区间，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，∴k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，当k ＝0时，x ∈[π12，7π12]．10．(2015·重庆理)若tan α＝2tan π5，则 cos (α－3π10)sin (α－π5)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] cos (α－3π10)cos (α－π5)＝sin (α－3π10＋π2)sin (α－π5)＝sin (α＋π5sin (α－π5)＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cos π5cos π5－sinπ5＝3sin π5sin π5＝3，故选C ．11．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5(tan αtan β)2等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] C[解析] 由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得⎩⎨⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12sin αcos β－cos αsin β＝13，∴⎩⎨⎧sin αcos β＝512cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5，∴log5(tan αtan β)2＝log 552＝4.12．(2015·江苏连云港模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2(π4－B2)＋cos2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m >－3C ．m <3D ．m >1[答案] D[解析] f (B )＝4sin B cos 2(π4－B2)＋cos2B＝4sin B 1＋cos (π2－B )2＋cos2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立． ∵0<B <π，∴0<sin B ≤1. ∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. [答案] 2[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.14．(全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为______． [答案]17250[解析] ∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3，∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35； ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos(2α＋π3)＝cos(α＋π6)2－sin 2(α＋π6)＝725∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π4＝17250. 15．(2015·天津文)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．[答案]π2[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋kπ，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.16．(2015·南通调研)设α、 β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________．[答案] －1665[解析] 由tan α2＝12得sin α＝2tanα21＋tan 2α2＝11＋14＝45，cos α＝35，由sin(α＋β)＝513<sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈(π2，π)，∴cos(α＋β)＝－1213.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．[解析] 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725.又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425，所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×(－425)325＝－2875.18．(本题满分12分)已知－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两个根，求α＋β的值．[解析] 由题意知tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7， ∴tan α<0，tan β<0. 又－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0.∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1，∴α＋β＝－3π4.19．(本题满分12分)已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1.(1)求角A ； (2)若1＋sin2Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan C ．[解析] (1)∵m ·n ＝1，∴3sin A －cos A ＝1,2(sin A ·32－cos A ·12)＝1，sin(A －π6)＝12，∵0<A <π，－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6.∴A ＝π3.(2)由题知1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴(cos B ＋sin B )2(cos B ＋sin B )(cos B －sin B )＝－3 ∴cos B ＋sin Bcos B －sin B＝－3∴1＋tan B1－tan B＝－3，∴tan B ＝2.∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝8＋5311.20．(本题满分12分)(2015·安徽文)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1.当x ∈[0，π2]时，2x ＋π4∈[π4，5π4]，由正弦函数y ＝sin x 在[π4，5π4]上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在[0，π2]上的最大值为2＋1，最小值为0.21．(本题满分12分)(2013·江苏理)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α、 β的值． [解析] (1)由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0， 故a ⊥B ．(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得， sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积． [解析] (1)设S 为十字形面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ(π4<θ<π2)．(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52×(255sin2θ－55cos2θ)－12＝52sin(2θ－φ)－12(设φ为锐角且tan φ＝12) 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积，S max ＝52－12.[点评] (1)求三角函数最值问题，除了利用三角函数的有界性外，配方法、换元法，函数单调性法都是常用方法，但应用时要注意三角函数的取值范围．(2)函数最值和实际应用题是高考的热点，题型一般是选择、填空题，但中档难度的解答题也不容忽视．。

第一章 §8一、选择题1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像的一个对称中心是( ) A ．⎝⎛⎭⎫5π6，1 B ．⎝⎛⎭⎫π3，－1 C ．⎝⎛⎭⎫π12，0 D ．⎝⎛⎭⎫π24，0[答案] C[解析] 由于对称中心是使函数值为零的点，可排除A 、B ，当x ＝π12时，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＝cos π2＝0，故选C ．2．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位[答案] C[解析] ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos[2(x ＋12)]，∴只须将y ＝cos2x 的图像向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图像．3．函数y ＝12sin(x －π3)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6[答案] C[解析] 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.4．函数y ＝sin(－2x ＋π6)的单调递减区间是( )A ．[－π6＋2k π，π3＋2k π]，k ∈ZB ．[π6＋2k π，5π6＋2k π]，k ∈ZC ．[－π6＋k π，π3＋k π]，k ∈ZD ．[π6＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z[答案] C[解析] y ＝－sin(2x －π6)．令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间是[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．5．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 [答案] C[解析] 将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，所得函数图像的解析式为y ＝sin(x －π10)，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是y ＝sin(12x －π10)．6．已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2cos(x 2－π3)B ．f (x )＝2cos(4x ＋π4)C ．f (x )＝2sin(x 2－π6)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π4)[答案] A[解析] 由图像知，A ＝2，排除选项B ．又T 4＝5π3－2π3＝π，知T ＝4π，∴2πω＝4π.∴ω＝12，排除选项D ．把x ＝0，y ＝1代入选项A 、选项C 中检验，知选项C 错误．二、填空题7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________.[答案] 32[解析] 由图像可得函数f (x )的最小正周期为4π3，∴T ＝2πω＝4π3，ω＝32.8．完成下列填空：(1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－π2x 的最小正周期为________；(2)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为2π3，则ω＝________； (3)函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________． [答案] (1)4；(2)3；(3)23π[解析] (1)T ＝2ππ2＝4，∴应填4.(2)∵2πω＝2π3，∴ω＝3，∴应填3.(3)∵4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4与3sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期都为2π3，∴应填2π3. 三、解答题9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像的一段如图所示，求它的解析式．[解析] 由图像可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N (π6，－2)代入y ＝2sin(32x ＋φ)得，2sin(32×π6＋φ)＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝－3π4.(求φ值也可以用下面这种方法． 取P (π2，0)代入y ＝2sin(32x ＋φ)，得2sin(32×π2＋φ)＝0.∵3π4＋φ＝k π，k ∈Z .又|φ|<π， ∴φ＝－3π4或φ＝π4，而y ＝2sin(32x ＋φ)过(π6，－2)，∴φ＝－3π4.)∴函数的解析式为y ＝2sin(32x －3π4)．10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图像的一个最高点为(2,22)，从这个最高点到相邻最低点之间的图像与x 轴交于点(6,0)，求这个函数的解析式．[解析] 已知图像的最高点为(2,22)，所以A ＝22， 又从最高点到相邻最低点之间的图像交x 轴于点(6,0)， 所以T 4＝6－2＝4，所以T ＝16，所以ω＝2πT ＝π8，所以y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ，代入最高点坐标(2,22)，得22＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ， 所以sin(π4＋φ)＝1.又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以函数的解析式为y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.一、选择题1．使函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈[0，π]为增函数的区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12C ．⎣⎡⎦⎤π3，5π6D ．⎣⎡⎦⎤5π6，π[答案] C[解析] 由y ＝2sin(π6－2x )＝－2sin(2x －π6)可知，其增区间可由y ＝2sin(2x －π6)的减区间得到，即2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z .∴k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .令k ＝0，故选C ．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图像向左平移|φ|个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则φ的一个值是( )A ．π2B ．3π8C ．π4D ．π8[答案] D[解析] 本小题主要考查三角函数的图像和性质． ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋π4)．将f (x )左移|φ|个单位后得sin[2(x ＋φ)＋π4]＝sin(2x ＋2φ＋π4)为偶函数．∴sin(2φ＋π4)＝±1，∴2φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝12k π＋π8(k ∈Z )，k ＝0时φ＝π8.故选D ．二、填空题3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π且f (0)＝3，则cos(ωφ)＝________.[答案] －12[解析] T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又f (0)＝2sin φ＝3，sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3.∴cos(ωφ)＝cos 2π3＝－12.4．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；③y ＝f (x )的图像关于点(－π6，0)对称；④y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题序号是________．(注：把正确的命题的序号都填上) [答案] ②③[解析] 对于①，由于函数f (x )的周期T ＝2π2＝π，而|x 1－x 2|的最小值是π2，故①不正确；对于②，由于y ＝4cos(2x －π6)＝4cos[(2x ＋π3)－π2]＝4cos[π2－(2x ＋π3)]＝4sin(2x ＋π3)，故②正确；令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6，故当k ＝0时，对称中心为(－π6，0)，所以③正确；令2x ＋π3＝π2＋k π，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，不论k 取何整数，对称轴方程都不为x ＝－π6，所以④不正确．三、解答题5．如图，表示函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的图像的一段，求此函数的解析式．[解析] 由图像知A ＝－12－(－32)2＝12，k ＝－12＋(－32)2＝－1，T ＝2(2π3－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π.令k ＝0，则φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin(2x ＋π6)－1.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．[解析] (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2π＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由点M (2π3，－2)在图像上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1.∴4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵x ∈[π12，π2]，∴2x ＋π6∈[π3，7π6]．∴当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1；当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2.∴f (x )的值域为[－1,2]．7．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在[0，π]上的图像．[解析] (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，∴sin(2×π8＋φ)＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin(2x －3π4)．由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝sin(2x －3π4)的单调递增区间为[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z .(3)根据y ＝sin(2x －3π4)列表如下：故函数y ＝。

第二章§1一、选择题1．下列说法中正确的是()A．只有方向相同或相反的向量是平行向量B．零向量的长度是零C．长度相等的两个向量是相等的向量D．共线向量是在一条直线上的向量[答案] B[解析]表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，这样的向量都是平行向量．长度和方向都相同的向量才是相等的向量，选项B正确．2．下列说法正确的是()A．若|a|>|b|，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a与b共线D．若a≠b，则a一定不与b共线[答案] C[解析]A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>|b|，但a 与b的方向不确定，不能说a>B．A不正确；同理B错误；D中，a≠b，a可与b共线，故选C．3．两列火车从同一站台沿相反方向开走，走了相同的路程．设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题错误的是()A．a与b为平行向量B．a与b为模相等的向量C．a与b为不相等的向量D．a与b为相等的向量[答案] D[解析]由于a和b的大小相等，方向相反，所以|a|＝|b|，且a∥B．4．若向量a与b不相等，则a与b()A．不共线B．长度不相等C ．不可能都是单位向量D ．不可能都是零向量 [答案] D[解析] 若a ＝b ＝0，则a ＝B ．5．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所组成的图形是( )A ．一条线段B ．一段圆弧C ．圆上一群孤立点D ．一个圆[答案] D[解析] 单位向量长度是一个单位，但方向任意，当把单位向量归结到同一个始点，其终点构成一个圆，即半径为1的圆．故选D ．6．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )A ．与向量AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与向量AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →的模的3倍 D ．CB →与DA →不共线 [答案] D[解析] 由有关概念逐一验证知，选项A ，B ，C 正确． 二、填空题7．如图，在平行四边形ABCD 中，与AB →共线的向量是________，与AB →相等的向量是________．[答案] BA →，DC →，CD → DC →8．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|，则四边形ABCD 为________． [答案] 菱形[解析] ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形．又∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 为菱形． 三、解答题9．“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200km 处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10m 左右，射程超过2000km)．试问：导弹是否能击中军事目标？[解析] 由于只给出了发射的路程(即量的大小)，没有给出发射的方向(即量的方向)，故导弹无法击中军事目标．10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.[证明] ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ． ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB ． 又∵DA →与CB →方向相同，∴CB →＝DA →. ∵CN →＝MA →，∴|CN →|＝|MA →|且CN ∥MA ． ∴四边形CNAM 是平行四边形． ∴|CM →|＝|NA →|，且CM ∥NA ． 又CM →与NA →方向相同， ∴CM →＝NA →，∴MB →＝DN →.一、选择题1．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题错误的是( )A ．C AB ．A ∩B ＝{a }C ．C BD ．A ∩B{a }[答案] B[解析] 因为A ∩B 是由与a 共线且与a 的模相等的向量构成的集合，即由与a 的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以A ∩B ＝{a }是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．向量AB →与CD →是共线向量，则AB →所在直线平行于CD →所在的直线 B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 D ．单位向量都相等 [答案] C[解析] 对于A ，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上；对于B ，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量，其方向是不确定的；对于C ；向量AB →与BA →方向相反，但长度相等；对于D ，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．故选C ．二、填空题3．若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．[答案] 西北方向52km[解析] 如图，|BA →|＝5km ，|AC →|＝5km ，则C 地相对于B 地的位移的大小为|BC →|＝52km ，方向为北偏西45°，即西北方向．4．下列命题正确的是________． (1)零向量没有方向； (2)单位向量都相等； (3)向量就是有向线段；(4)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (5)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(6)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →，BC →＝DA →. [答案] (4)(5)[解析] (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定； (2)该命题不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没要求；(3)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来； (4)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(5)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ；(6)该命题不正确．显然有AB →＝DC →，但BC →≠DA →. 三、解答题5．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．[证明] ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形， ∴AN ，MC 平行且相等，∴AD －AN ＝BC －MC ， 即DN ＝MB ，∴DN ，MB 平行且相等， ∴四边形DNBM 是平行四边形．6．一个人从A 点出发沿东北方向走了100m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m 到达C 点，求此人从C 点走回A 点的位移．[解析] 如图所示，|AB →|＝100m ，|BC →|＝100m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴|CA →|＝100m ， 即此人从C 点返回A 点所走的路程为100m. ∵∠BAC ＝60°，∴∠CAD ＝∠BAC －∠BAD ＝15°， 即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C 点走回A 点的位移为沿西偏北15°方向100m.7．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：求：(1)写出相等的向量； (2)与AO →共线的向量； (3)模相等的向量；(4)AO →与CO →是否为相等向量．[解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →，DO →＝CF →，DE →＝CO →. (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →.(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|. (4)AO →与CO →不相等．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 平面向量基础知识检测 北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)为基底表示c ＝(3，－2)为( ) A ．c ＝4a ＋b B ．c ＝a ＋4b C ．c ＝4b D ．c ＝a －4b[答案] B[解析] 令c ＝xa ＋yb ，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，即c ＝a ＋4b .2．下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB →D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b [答案] D[解析] A 中两向量的夹角不确定；B 中若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向则不成立；C 中应为AB →＝OB →－OA →；D 中b ⊥c ⇒b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b .3．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(2,1)，a ＋2b ＝(4,5)，则cos θ＝( ) A ．1010B ．31010C ．35D ．45[答案] D[解析] 由已知条件知b ＝12[(4,5)－a ]＝(1,2)，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝45×5＝45.4．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，若a 与a ＋2b 垂直，则m 的值为( ) A ．12B ．1C ．－12D ．－1[答案] D[解析] ∵a ＋2b ＝(1,3)＋2(－2，m ) ＝(－3,3＋2m )， ∵a 与a ＋2b 垂直．∴1×(－3)＋3(3＋2m )＝0，∴m ＝－1.5．(2013·辽宁理，3)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)[答案] A[解析] 因为AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，所以与向量AB →同向的单位向量为AB→|AB →|＝，－5＝(35，－45)，选A. 6．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －te |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ．(a ＋e )⊥(a －e )[答案] C[解析] 由条件可知|a －te |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1， ∴t 2－2a ·e ·t ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立， 即Δ＝4(a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立． ∴(a ·e －1)2≤0恒成立， 而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0.即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．7．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ． 2D ．22[答案] C[解析] 由(a －c )·(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |， 即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.8．(2014·四川理，7)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式．c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)， a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.由两向量的夹角相等可得a ·c |a |＝b ·c |b |，即为5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2. 9．点O 在△ABC 所在平面上，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( ) A ．三条中线交点 B ．三条高线交点 C ．三条边的中垂线交点 D ．三条角分线交点[答案] B[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →，得 OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →； 同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →. ∴点O 是三条高线的交点．10．已知向量a ＝(2cos θ，－2sin θ)，θ∈(π2，π)，b ＝(0,1)则向量a 与b 的夹角是( )A ．3π2－θB ．π2＋θC ．θ－π2D ．θ[答案] A[解析] 本题可以用向量的坐标运算和向量数量积的概念求解．即cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝－2sin θ2·1＝－sin θ，∵0<〈a ，b 〉<π，∴cos 〈a ，b 〉＝cos(32π－θ)，∴〈a ，b 〉＝32π－θ.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知平面向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则实数k ＝________.[答案] 11或－2[解析] AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(10－k ，k －12)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， ∴k 2－9k －22＝0，∴k ＝11或k ＝－2.12．(2014·北京理，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.[答案]5[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的运算． 由λa ＋b ＝0，有b ＝－λa ，于是|b |＝|λ|·|a |， 由b ＝(2,1)，可得|b |＝5， 又|a |＝1，故|λ|＝ 5.13．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________．[答案] (0，－2)[解析] 设D (m ，n )，则AB →＝(8,8)，DC →＝(8－m,6－n )，AD →＝(m ＋2，n )，BC →＝(2，－2)，又AB ∥DC ，AD ∥BC ，则AB →∥DC →，AD →∥BC →，则⎩⎪⎨⎪⎧－n －－m ＝0，－m ＋－2n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－2.14．已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．[答案] 2x －3y －9＝0[解析] 设B (x ，y )为直线l 上任意一点，则l 的方向向量为AB →＝(x －3，y ＋1)． 又a ＋2b ＝(－2,3)，由题意知(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，展开化简得2x －3y －9＝0.15.如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.[答案] 1＋32 32[解析] ∵AD →＝xAB →＋yAC →，又AD →＝AB →＋BD →， ∴AB →＋BD →＝xAB →＋yAC →，∴BD →＝(x －1)AB →＋yAC →. 又AC →⊥AB →，∴BD →·AB →＝(x －1)|AB →|2. 设|AB →|＝1，则由题意|DE →|＝|BC →|＝ 2.又∠BED ＝60°，∴|BD →|＝62.显然BD →与AB →的夹角为45°，∴由BD →·AB →＝(x －1)|AB →|2，得62×1×cos45°＝(x －1)×12，∴x ＝1＋32.BD →与AC →的夹角易知为45°，则BD →·AC →＝y |AC →|2，得62×1×cos45°＝y ×12，∴y ＝32.综上，x ＝1＋32，y ＝32. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°. 求：(1)(2a －b )·(a ＋3b )；(2)|a －b |.[解析] a ·b ＝|a ||b |cos120°＝2×3×(－12)＝－3.(1)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝8－15－27＝－34. (2)|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋6＋9＝19.17．(本小题满分12分)如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值．[解析] 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则由已知条件，可得OD →＝(1，12)，OE →＝(12，1)．故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.18．(本小题满分12分)已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .[解析] 设向量b ＝(x ，y )，则OA →＝a －b ＝(－12－x ，32－y )，OB →＝a ＋b ＝(－12＋x ，32＋y )，由题意可知，OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－12－x －12＋x ＋32－y 32＋y ＝0，－12－x 2＋32－y 2＝－12＋x2＋32＋y 2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.所以b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)． 19．(本小题满分12分)如图所示，△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于P ，用向量a ，b 表示OP →.[分析] 先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值．[解析] OP →＝OM →＋MP →＝ON →＋NP →.设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋mb ，OP →＝ON →＋nNA →＝12b ＋n (a －12b )＝12(1－n )b ＋na . ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13－m ＝n 12－n ＝m⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .20．(本小题满分13分)如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于E ，求BE EC .[解析] 解法一：设BA →＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2， 则a·b ＝|a ||b |cos60°＝1，BD →＝a ＋b . 设BE →＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a ， 由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0， 即(λb －a )(a ＋b )＝0， 得λ＝25，所以BEEC ＝2535＝解法二：以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系， 根据条件，设B (0,0)，C (2,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.又设E (m,0)，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫m －12，－32， 由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0， 即52⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12－32×32＝0，得m ＝45，所以BE EC ＝4565＝21．(本小题满分14分)已知平面向量a ＝(32，－12)， b ＝(12，32)． (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－k)b，y＝－sa＋tb，且x⊥y，试求函数关系s＝f(t)；(3)若s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数，试求k的取值范围．[解析] (1)由题知|a|＝|b|＝1，且a·b＝32×12－12×32＝0，所以a⊥b.(2)由于x⊥y，则x·y＝0，从而－s|a|2＋(t＋sk－st2)·a·b＋t(t2－k)|b|2＝0，故s＝f(t)＝t3－kt.(3)设t1>t2≥1，则f(t1)－f(t2)＝t31－kt1－(t32－kt2)＝(t1－t2)(t21＋t1t2＋t22－k)．因为s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数．所以t21＋t1t2＋t22－k>0，即k<t21＋t1t2＋t22在[1，＋∞)上恒成立．又t21＋t1t2＋t22>3，所以只需k≤3即可．。

第一章§1第1课时1.下列两个变量之间是相关关系的是()A．匀速直线运动的距程与时间B．球的体积与半径C．角度与它的正弦值D．一个考生的数学成绩与物理成绩[答案] D[解析]相关关系不是确定的函数关系，这里A、B、C都是确定的函数关系．2．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的边长与面积C．正n边形的边数和它的所有内角之和D．人的年龄和身高[答案] D[解析]是否为函数关系主要取决于任给一个自变量的值是否有唯一确定的因变量的值与其对应，据此，A、B、C中都存在一个确定的函数关系，只有人的年龄与身高之间不存在函数关系．3．工人工资依劳动生产率变化的线性回归方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是() A．劳动生产率为1时，工资为80B．劳动生产率提高1时，工资提高80C．劳动生产率提高1时，工资提高130D．当月工资为250时，劳动生产率为2[答案] B[解析]利用线性回归方程的意义来解．回归直线斜率为80，所以x每增加1，y增加80，即劳动生产率提高1时，工资提高80.根据线性回归方程，相应于x＝1的估计值y＝130，故A错，应选B．4．(2015·湖北文，4)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关[答案] C[解析] 因为变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，其中－0.1<0，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设z ＝ky ＋b (k >0)，则将y ＝－0.1x ＋1代入即可得到：z ＝k (－0.1x ＋1)＋b ＝－0.1kx ＋(k ＋b )，所以－0.1k <0，所以x 与z 负相关，综上可知，应选C ．5．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有( )A ．a 与r 符号相同B ．a 与r 符号相反C ．b 与r 符号相同D ．b 与r 符号相反[答案] C[解析] 根据b 与r 的计算公式可知，b 与r 符号相同． 6．对于相关关系r ，下列说法正确的是( ) A ．|r |越大，相关程度越小 B ．|r |越小，相关程度越大C ．|r |越大，相关程度越小，|r |越小，相关程度越大D ．|r |≤1且|r |越接近于1，相关程度越大，|r |越接近于0，相关程度越小 [答案] D[解析] |r |≤1，当|r |越接近于1，误差越小，变量之间的线性相关程度越高；|r |越接近于0，误差越大，变量之间的线性相关程度越低，故选D .二、填空题7．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法． [答案] 相关[解析] 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法． 8．已知x 、y 的取值如下表：若x 、y 具有线性相关关系，且回归直线方程为y ＝0.95x ＋a ，则a 的值为________. [答案] 2.6[解析] 由已知得x －＝2，y －＝4.5，而回归方程过点(x －，y －)，则4.5＝0.95×2＋a ， ∴a ＝2.6. 三、解答题9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． [答案] (1)散点图略 (2)y ^＝0.5x ＋0.4 (3)5.9万元 [解析] (1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝15(x i －x －)2＝1020＝0.5，a ^＝y －－b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. (3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元．10．某研究所研究耕种深度x (单位：cm)与水稻产量y (单位：t)的关系，所得的数据如下表：试求每公顷水稻产量和耕种深度的线性相关系数与线性回归方程． [答案] 相关系数0.995 回归直线方程y ^＝1.21＋0.59x [解析] 将数据列成下表：由此可得x ＝786＝13，y ＝53.36≈8.9.进而可求得相关系数r ≈0.995，所以认为每公顷水稻产量y 和耕种深度x 有较强的线性相关程度．由计算公式得b ^＝0.59，a ^＝y －b x ≈1.21，故y 对x 的线性回归方程为y ^＝1.21＋0.59x .11.对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的或负的C ．回归分析中，如果r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关D ．样本相关系数r ∈(－1,1) [答案] D[解析] ∵相关系数|r |≤1，∴D 错．12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[答案] B[解析] 此题必须明确回归直线方程过定点(x ，y )．易求得x ＝3.5，y ＝42，则将(3.5,42)代入y ^＝b ^x ＋a ^中得：42＝9.4×3.5＋a ^，即a ^＝9.1，则y ＝9.4x ＋9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5万元．13．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg [答案] D[解析] 本题考查线性回归方程．D 项中身高为170cm 时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．14．假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的，若10个学生初一和初二的数学期末考试分数如下(分别为x ，y )：A ．y ＝1.218 2x ＋14.192B ．y ＝1.218 2＋14.192xC ．y ＝1.218 2－14.192xD ．y ＝1.218 2x －14.192[答案] D[解析] 由表中数据可得x ＝71，y ＝72.3，因为回归直线一定经过点(x ，y )，经验证只有D 满足条件．二、填空题15．已知两个变量x 和y 之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：那么变量y 关于x [答案] y ^＝0.575x －14.9[解析] 根据公式计算可得b ^＝0.575，a ^＝－14.9，所以回归直线方程是y ^＝0.575x －14.9.16．某市居民2010～2014年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)的统计资料如下表所示：出有__________线性相关关系．[答案] 13 正[解析] 中位数的定义的考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．，r ≈0.97，正相关．三、解答题17．某5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：(1)画出散点图；(2)如果x 、y 呈线性相关关系，求y 对x 的线性回归方程． [答案] (1)散点图略 (2)y ^,\s\up6(^))＝22.05＋0.625x . [解析] (1)散点图如图：(2)x ＝73.2，y＝67.8，∑i ＝15x 2i ＝27 174，∑i ＝15y 2i ＝23 167，∑i ＝15x i y i ＝25 054，∴b ^,\s\up6(^))＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625，a ^＝y －－b ^x －＝22.05，所求回归方程为y ^,\s\up6(^))＝22.05＋0.625x .18．(2015·重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款． 附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t2，a ^＝y －b ^t .[解析] (1)列表计算如下这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又l nt ＝∑i ＝1nt i －n t2＝55－5×32＝10，l ny ＝∑i ＝1nt i y i－n t y ＝120－5×3×7.2＝12.从而b ^＝l ny l nt ＝1210＝1.2，a ^＝y －b ^ t ＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．。

本册综合测试二本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝cos x 3＋cos x 的定义域是( )A ．RB ．{x |x ≠2k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π2，k ∈Z }[答案] A[解析] 要使函数有意义，则需3＋cos x >0， 又因为－1≤cos x ≤1，显然3＋cos x >0，所以x ∈R .2．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －b (k ∈R )，且c ⊥d ，那么k 的值为( )A ．－6B ．6C ．－145D ．145[答案] D[解析] a ·b ＝1×2×cos60°＝1，∵c ⊥d ，∴c ·d ＝(2a ＋3b )·(k a －b )＝2k a 2－2a ·b ＋3k a ·b －3b 2＝2k －2＋3k －12＝0. ∴k ＝145.3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．3＋1D ．3＋2[答案] B[解析] 因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(－3，－4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2[答案] B[解析] 因为c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝－3，2λ1＋3λ2＝－4，解得λ1＝1，λ2＝－2.5．下列函数中，周期为1的奇函数是( ) A ．y ＝1－2sin 2πx B ．y ＝sin(2πx ＋π3)C ．y ＝tan π2xD ．y ＝sinπx cosπx [答案] D[解析] 选项A 中函数y ＝cos2πx 为偶函数，排除选项A ； 选项B 中函数为非奇非偶函数，排除选项B ； 选项C 中函数的周期为2，排除选项C ； D 中函数y ＝12sin2πx 周期为1，且为奇函数．6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，π2B ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫4π3，3π2 C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，4π3 D ．⎝⎛⎭⎫π3，4π3[答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π，4π3；当α∈⎣⎡⎭⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，4π3.另解：sin α－3cos α，即sin(α－π3)>0，∴0<α－π3<π，即π3<α<π4，故选D ．7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6. 8.3－sin70°2－cos 210°＝( )A ．12B ．22C ．2D ．32 [答案] C[解析] 原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝2(3－sin70°)3－cos20°＝2(3－cos20°)3－cos20°＝2.9．(2015·四川理，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[答案] C[解析] AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，所以AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×36－9×16)＝9，选C ．10.如图所示的半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点B 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5[答案] A[解析] ∵1min 旋转4圈，∴1圈需14min ，即T ＝604＝15(s)．又∵T ＝2πω，∴2πω＝604＝15，∴ω＝2π15.又∵P 到水面的最大距离为5 m ， ∴函数最大值为5 m ，故A ＝3.11．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③[答案] C[解析] 本题考查三角函数的奇偶性． ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π，②y ＝|cos x |由图像可知T ＝π， ③y ＝cos(2x ＋π6)，T ＝2π2＝π，④y ＝tan(2x －π4)，T ＝π2.故选C ．12．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减C ．f (x )在(0，π2)单调递增D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增[答案] A[解析] 本题主要考查三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式．依题意：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，又T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π4)又f (x )为偶函数，∴φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4.又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x .又y ＝cos x 在x ∈[0，π)单调递减，则由0<2x <π得0<x <π2.即f (x )＝2cos2x 在(0，π2)单调递减，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. [答案] 10[解析] ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.14．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________． [答案] 78[解析] 由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，设∠BAD ＝θ，∵AB ＝4BD ，∴sin θ＝14，故cos ∠BAC ＝cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×(14)2＝78.15．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β) ＝－45×45－35×⎝⎛⎭⎫－35＝－725. 16．已知函数f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x5(x ∈R )，给出以下命题：①函数f (x )的最大值是2； ②周期是5π2；③函数f (x )的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是5π2；④对任意x ∈R ，均有f (5π－x )＝f (x )成立； ⑤点(15π8，0)是函数f (x )的图像的一个对称中心．其中正确命题的序号是________． [答案] ③⑤[解析] f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x 5＝2sin(2x 5＋π4)，则函数f (x )的最大值是2，所以①不正确；周期T ＝2π25＝5π，所以②不正确；函数f (x )的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是12T ＝5π2，所以③正确；令2x 5＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，不能得函数f (x )的图像中有一条对称轴是直线x ＝5π2，则对任意x ∈R ，均有f (5π－x )＝f (x )不成立，所以④不正确；f (15π8)＝2sin(25×15π8＋π4)＝2sinπ＝0，所以⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin x ＝513，x ∈(π2，π)，求cos2x 和tan(x ＋π4)的值．[解析] cos2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×(513)2＝119169.因为sin x ＝513，x ∈(π2，π)，所以cos x ＝－1－(513)2＝－1213.tan x ＝sin x cos x ＝－512.所以tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝717.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． [解析] (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.19．(本小题满分12分)(2015·湖北文，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图像，求y ＝g (x )的图像离原点O 最近的对称中心．[解析] (1)根据表中已知数据可得：A ＝5，π3ω＋φ＝π2，5π6ω＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．[解析] (1)向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)，当a 与b 共线时，－sin x ＝32cos x ，即tan x ＝－32.2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x tan 2x ＋1＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． 因为－π2≤x ≤0，所以－3π4≤2x ＋π4≤π4，所以－1≤sin(2x ＋π4)≤22.所以f (x )在[－π2，0]上的值域为[－22，12]．21．(本小题满分12分)(2014·山东理，16)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，设函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．[解析] (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x . 因为y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得 k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(x －π3)＋2sin(3π2－x )．(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos(2x －π3)的值．[解析] f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x ＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)．(1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为[2k π＋2π3，2k π＋5π3](k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋2π3，k ∈Z }． (3)f (x )＝65即2sin(x －π6)＝65，∴sin(x －π6)＝35.∴cos(2x －π3)＝1－2sin 2(x －π6)＝1－2×(35)2＝725.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 本册综合测试题 新人教B 版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．sin330°的值为( ) A ．12 B ．32C ．－12D ．－32[答案] C[解析] sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－12.2．－1 120°角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] －1 120°＝－360°×4＋320°， －1 120°角所在象限与320°角所在象限相同， 又320°角为第四象限角，故选D ．3．已知PQ →＝(2，－1)，点Q 的坐标为(－1,3)，则点P 的坐标为( ) A ．(3，－4) B ．(－3,4) C ．(4，－3) D ．(－4,3)[答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )， 则PQ →＝(－1－x,3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝23－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4.∴P (－3,4)．4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1,1]，则b －a 的值不可能是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π[答案] A[解析] 当定义域为[－π2，π2]时，值域为[－1,1]，此时，b －a ＝π；当定义域为[－π2，π]时，值域为[－1,1]，此时，b －a ＝3π2；当定义域为[0,2π]时，值域为[－1,1]，此时，b －a ＝2π，故选A ．5．为了得到函数y ＝2sin2x 的图象，可将函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位[答案] C[解析] y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选C ．6．已知向量a ＝(2,1)、b ＝(1，x )，若a ＋b 与3b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32[答案] B[解析] a ＋b ＝(3,1＋x )，3b －2a ＝(－1,3x －2)， 若a ＋b 与3b －2a 平行，则 3(3x －2)＋1＋x ＝0， ∴x ＝12.7．已知向量a ＝(－2,2)、b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则k 的取值范围是( ) A ．[－4,6] B ．[－6,4] C ．[－6,2]D ．[－2,6][答案] C[解析] 由|a ＋b |≤5平方得a 2＋2a ·b ＋b 2≤25， 由题意得8＋2(－10＋2k )＋25＋k 2≤25，即k 2＋4k －12≤0，(k ＋6)(k －2)≤0，求得－6≤k ≤2.故选C ．8．(2015·山东临沂高一期末测试)已知cos α＝35，则sin 2α＋cos2α的值为( )A ．925B ．1825C ．2325D ．3425[答案] A[解析] sin 2α＋cos2α＝1－cos 2α＋2cos 2α－1＝cos 2α＝925.9．已知1＋sin x cos x ＝12，则cos xsin x －1＝( )A ．12 B ．－12C ．2D ．－2 [答案] B[解析] ∵1＋sin x cos x ＝cos x1－sin x ，∴cos x sin x －1＝－1＋sin x cos x ＝－12.10．(2014·全国新课标Ⅰ文，6)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC → [答案] A [解析] 如图，EB →＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.选A ．11．下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变[答案] B[解析] 由图象可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.∵图象过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π，∴φ＝π3∴y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．12．若sin α>tan α>cot α⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<α<π2，则α∈( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 [答案] B[解析] 取α＝－π6，满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6>cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，即－12>－33>－3，排除A 、C 、D ，故选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．[答案]2π5、9π10、7π5、19π10[解析] θ＝2k π＋8π5，k ∈Z .∴θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z ， 令k ＝0、1、2、3得在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是2π5、9π10、7π5、19π10.14．若a ＝(4,5)、b ＝(－4,3)，则a·b ＝________. [答案] －1[解析] a·b ＝4×(－4)＋5×3＝－1.15．(2015·河南南阳高一期末测试)若sin(α－π3)＝45，则cos(α＋π6)＝________.[答案] －45[解析] ∵sin(α－π3)＝45，∴sin(π3－α)＝－45.∴cos(α＋π6)＝cos[π2－(π3－α)]＝sin(π3－α)＝－45.16．(2014·山东济宁嘉祥一中高一月考)给出下列命题： ①存在实数α，使sin αcos α＝1； ②函数y ＝sin(3π2＋x )是偶函数；③直线x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴；④若α、β是第一象限的角，且α>β，则sin α>sin β. 其中正确命题的序号是________． [答案] ②③[解析] 若sin αcos α＝12sin2α＝1，则sin2α＝2(显然不成立)，故①错；y ＝sin(3π2＋x )＝－cos x 是偶函数，故②正确；当x ＝π8时，y ＝sin(2x ＋5π4)＝sin(π4＋5π4)＝sin3π2＝－1，故③正确；当α＝390°，β＝60°时，α>β，但sin α<sin β，故④错．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2015·山东威海一中高一期末测试)如图，两同心圆(圆心在原点)分别与OA 、OB 交于A 、B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求tan π－θcos θ＋3π2sin 2θ－π的值；(2)求点B 的坐标．[解析] (1)由A (2，1)得|OA |＝3，则sin θ＝33，cos θ＝63. tan π－θcos θ＋3π2sin 2θ－π＝tan θsin θ2sin θcos θ＝sin θ2cos 2θ＝34. (2)设∠AOB ＝α，∵扇环的面积为π2，∴π2＝12α|OB |2－12α|OA |2，解得α＝π3. 由题意知B (6cos(θ＋π3)，6sin(θ＋π3))，6cos(θ＋π3)＝6(cos θcos π3－sin θsin π3)＝2－62.6sin(θ＋π3)＝6(sin θcos π3＋cos θsin π3)＝2＋232，∴B (2－62，2＋232)．18．(本小题满分12分)设向量e 1、e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．(1)证明：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解析] (1)∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2， ∴BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又共点B ． ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)， ∴(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0， 2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0， 2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54.19．(本小题满分12分)(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x .(1)求f (x )的最小正周期和振幅；(2)在给出的方格纸上用五点作图法作出f (x )在一个周期内的图象； (3)写出函数f (x )的单调递减区间.[解析] (1)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)．∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π，振幅为2. (2)列表如下：x －π3 π6 2π3 7π6 5π3 x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin(x ＋π3)2－2描点、作图．(3)由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递减区间为[2k π＋π6，2k π＋7π6]，k ∈Z .20．(本小题满分12分)(2015·山东临沂高一期末测试)已知向量a ＝(cos θ－2sin θ，2)，b ＝(sin θ，1)．(1)若a ∥b ，求tan2θ的值；(2)若f (θ)＝(a ＋b )·b ，θ∈[0，π2]，求f (θ)的值域．[解析] (1)若a ∥b ，则cos θ－2sin θ＝2sin θ， ∴tan θ＝14.∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×141－116＝815.(2)f (θ)＝(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2＝cos θsin θ－2sin 2θ＋2＋sin 2θ＋1 ＝sin θcos θ－sin 2θ＋3 ＝12sin2θ－1－cos2θ2＋3 ＝22sin(2θ＋π4)＋52， ∵θ∈[0，π2]，∴π4≤2θ＋π4≤5π4，∴－22≤sin(2θ＋π4)≤1 ∴2≤f (θ)≤5＋22，∴f (θ)的值域为[2，5＋22]．21．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin B,1－cos B )与向量b ＝(2,0)的夹角为π3，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角．(1)求B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围． [解析] (1)由题意，得|a |＝sin 2B ＋1－cos B2＝2－2cos B ，|b |＝2，a ·b ＝2sin B ，∴cos π3＝2sin B 22－2cos B .整理，得1－cos B －2sin 2B ＝0， 即2cos 2B －cos B －1＝0. ∴cos B ＝1或cos B ＝－12.∵B 为△ABC 的内角， ∴0<B <π，∴cos B ＝1不合题意，舍去， ∴B ＝2π3.(2)∵A ＋B ＋C ＝π，B ＝2π3，∴A ＋C ＝π3. ∵sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(π3－A ) ＝sin A ＋32cos A －12sin A ＝12sin A ＋32cos A ＝sin(A ＋π3)， ∴0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3， ∴32<sin(A ＋π3)≤1， 故sin A ＋sin C 的取值范围是(32，1]． 22.(本小题满分14分)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ )(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f x ＋π6的值域． [解析] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π， 解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2， 从而sin(2×π6＋φ)＝1， 所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 又由－π<φ≤π，得φ＝π6. 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin 2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝2cos 2x －13cos 2x ＋222cos 2x －1 ＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)． 因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12. 故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 平面向量综合能力检测 北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·四川文，2)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6[答案] B[解析] 由向量平行的性质，有2 4＝x 6，解得x ＝3，选B ． 2．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10) [答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算． BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．平面向量的坐标运算即对应坐标相加减．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)[答案] A[解析] 因为AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，所以与向量AB →同向的单位向量为AB→|AB →|＝3，－4 5＝(35，－45)，选A ． 4．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] C[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则据向量数量积公式可得cos θ＝a·b|a ||b |，则cos θ＝21×4＝12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.5．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.6．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 本题考查向量共线的条件． 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反． 则存在b ＝λA ．反之则不然．7．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3终点的坐标为( )A ．(1,9)B ．(9,1)C ．(8,0)D ．(0,8)[答案] B[解析] F ＝(8,0)，设终点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1.8．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形[答案] D[解析] 因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，所以CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D ．9．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°[答案] A[解析] ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，∴a ·b ＝32. 设夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝32，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.10．直线(3－2)x ＋y ＝3和直线x ＋(2－3)y ＝2的位置关系是( ) A ．相交但不垂直 B ．垂直 C ．平行 D ．重合[答案] B[解析] 直线(3－2)x ＋y ＝3的方向向量为(1，2－3)，直线x ＋(2－3)y ＝2的方向向量为(1，2＋3)，则(1，2－3)·(1，2＋3)＝1＋(2－3)(2＋3)＝1＋(－1)＝0，所以两直线垂直．选B ．11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 3[答案] D[解析] 本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →， 又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos∠ADB ＝3|BD →|·cos∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.12．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a ； ②(a *b )*b ＝a *(b *b )； ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b )； ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] B[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)[答案] a ＋c －b[解析] OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －B ．14．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________．[答案] (0，－2)[解析] 设D (m ，n )，则AB →＝(8,8)，DC →＝(8－m,6－n )， 又AB ∥DC ，AD ∥BC ，则ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＝86－n ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝－2.15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 本题考查平面向量的数量积． 建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)， 则DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)·(0，－1)＝1， 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →最大值为1.16．(2015·安徽文，15)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量； ②b 为单位向量； ③a ⊥b; ④b ∥BC →； ⑤(4a ＋b )⊥BC →. [答案] ①④⑤[解析] ∵等边三角形ABC 的边长为2，AB ―→＝2a ， ∴|AB ―→|＝2|a |＝2⇒|a |＝1，故①正确；∵AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝2a ＋BC ―→，∴BC ―→＝b ⇒|b |＝2，故②错误，④正确；由于AB ―→＝2a ，BC ―→＝b ⇒a 与b 夹角为120°，故③错误；又∵(4a ＋b )·BC ―→＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b|2＝4×1×2×(－12)＋4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC ―→，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．[解析] (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求两条对角线的长分别为42，210. (2)由题设知OC →＝(－2，－1)， AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB －tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 18．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b · 7a －5b ＝0，a －4b · 7a －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0， 即2a ·b －b 2＝0，即2a ·b ＝b 2， 代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴a 与b 的夹角为θ＝60°.19．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．[解析] (1)设n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋y 2·x 2＋y2＝cos 3π4＝－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)．∴|n ＋b |＝ cos x 2＋ sin x －1 2＝2－2sin x ＝2·1－sin x . ∵－1≤sin x ≤1， ∴0≤1－sin x ≤ 2. ∴0≤|n ＋b |≤2，即|n ＋b |的取值范围是[0,2]．20．(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．[解析] 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0. 又点O 、M 、A 三点共线，∴OM →＝λOA →，∴x 4＝y －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 5－x ＋y 1－y ＝0，x 4＝y－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21．(本小题满分12分)设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.[解析] f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b | ＝－(sin x ＋|a |2)2＋|a |24－|b |＋1.∵0<|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0.当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2·cos45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝22＋ 2.22．(本小题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．[解析] 解法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP → ＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设P 点的坐标为(x ，y )， 则Q (－x ，－y )．∴BP →＝(x －c ，y )， CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )．∴BP →·CQ →＝－x (x －c )－y (y ＋b ) ＝－x 2－y 2＋cx －by ，cos θ＝BC →·PQ →|BC →||PQ →|＝2cx －2by 2a 2＝cx －bya 2， 即cx －by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1时，即θ＝0°(PQ →与BC →同向)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 平面向量综合能力检测 北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·陕西文，2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.2．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算． BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．平面向量的坐标运算即对应坐标相加减．3．已知|a |＝63，|b |＝13，且a·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )A ．2π3B ．5π6C ．π3D ．π6[答案] B[解析] 设θ为向量a 与b 的夹角，则由cos θ＝a·b |a ||b |可得，cos θ＝－363×13＝－32，又θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.选B. 4．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 本题考查向量共线的条件． 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反． 则存在b ＝λa .反之则不然．5．(2014·重庆理，4)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．152[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，又因为(2a －3b )⊥c ，所以，(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3，－6)·(2,1)＝0，解得k ＝3，本题根据条件也可以转化为2a ·c －3b ·c ＝0化简求解．6．直线(3－2)x ＋y ＝3和直线x ＋(2－3)y ＝2的位置关系是( ) A ．相交但不垂直 B ．垂直 C ．平行 D ．重合[答案] B[解析] 直线(3－2)x ＋y ＝3的方向向量为(1，2－3)，直线x ＋(2－3)y ＝2的方向向量为(1，2＋3)，则(1，2－3)·(1，2＋3)＝1＋(2－3)(2＋3)＝1＋(－1)＝0，所以两直线垂直．选B.7．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3终点的坐标为( )A ．(1,9)B ．(9,1)C ．(8,0)D ．(0,8)[答案] B[解析] F ＝(8,0)，设终点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1.8．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) A ．|AC →|2＝AC →·AB →B ．|BC →|2＝BA →·BC →C ．|AB →|2＝AC →·CD → D ．|CD →|2＝AC →·AB →BA →·BC →|AB →|2[答案] C[解析] ∵AC →·AB →＝AC →·(AC →＋CB →) ＝AC →2＋AC →·CB →＝AC →2，∴|AC |→2＝AC →·AB →成立；同理|BC →|2＝BA →·BC →成立； 而AC →·AB →|AB →|·BA →·BC→|BA →|＝|AD →|·|BD →|＝|CD |2＝|CD →|2.故选C.9．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 3[答案] D[解析] 本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →， 又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos∠ADB ＝3|BD →|·cos∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.10．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a ； ②(a *b )*b ＝a *(b *b )； ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b )； ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0[答案] B[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)[答案] a ＋c －b[解析] OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b .12．(2013·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[答案] 12[解析] 本题考查平面向量基本定理应用． 由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 本题考查平面向量的数量积． 建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)， 则DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)·(0，－1)＝1， 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →最大值为1.14．在直角坐标系中，已知PA →＝(3,1)，PB →＝(5,10)，若点A 关于向量PB →所在直线的对称点是A ′，则向量PA ′→＝________.[答案] (－1,3)[解析] 设AA ′与向量PB →所在直线相交于点M ，则|PM →|＝|PA →|cos 〈PA →，PB →〉＝PA →·PB →|PB →|＝5，所以PM →＝15PB →＝(1,2)，从而AM →＝PM →－PA →＝(－2,1)，PA ′→＝PM →＋MA ′→＝PM →＋AM →＝(－1,3)．15．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．[答案] 5[解析] 本题主要考查向量的坐标知识在解析几何中应用，如图，建立平面直角坐标系，根据题意设CD ＝a ，则A (2,0)，B (1，a )，P (0，y )，则PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， PA →＋3PB →＝(2，－y )＋(3,3a －3y )＝(5,3a －4y )，故|PA →＋3PB →|＝25＋a －4y2的最小值即当3a ＝4y 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)如图所示，M ，N ，P 分别是△ABC 三边上的点，且BM →＝14BC →，CN →＝14CA →，AP →＝14AB →，设AB →＝a ，AC →＝b ，试将MN →，MP →，PN →用a ，b 表示，并计算MP →＋PN →－MN →.[解析] 由题设得AP →＝14AB →＝14a ，CN →＝14CA →＝－14AC →＝－14b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BM →＝14BC →＝14(b －a )，所以MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA →＝34(b －a )－14b ＝－34a ＋12b .同理可得MP →＝－12a －14b ，PN →＝－14a ＋34b .将它们代入得MP →＋PN →－MN →＝0. 17．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0， 即2a ·b －b 2＝0，即2a ·b ＝b 2， 代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴a 与b 的夹角为θ＝60°.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．[解析] (1)设n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋y 2·x 2＋y 2＝cos 3π4＝－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． ∴|n ＋b |＝x2＋x －2＝2－2sin x ＝2·1－sin x . ∵－1≤sin x ≤1， ∴0≤1－sin x ≤ 2. ∴0≤|n ＋b |≤2，即|n ＋b |的取值范围是[0,2]．19．(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．[解析] 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0. 又点O 、M 、A 三点共线，∴OM →＝λOA →，∴x 4＝y －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋y －y ＝0，x 4＝y－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．20．(本小题满分13分)设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.[解析] f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b | ＝－(sin x ＋|a |2)2＋|a |24－|b |＋1.∵0<|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0.当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2·cos45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝22＋ 2.21．(本小题满分14分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．[解析] 解法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP → ＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设P 点的坐标为(x ，y )， 则Q (－x ，－y )．∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )．∴BP →·CQ →＝－x (x －c )－y (y ＋b ) ＝－x 2－y 2＋cx －by ，cos θ＝BC →·PQ →|BC →||PQ →|＝2cx －2by 2a 2＝cx －bya 2， 即cx －by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1时，即θ＝0°(PQ →与BC →同向)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。