第二章 2.3 第1课时

数列的前n 项和与等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 5＝12，则S 8等于()A ．12B ．24C ．36D ．48解析：由于a 4＋a 5＝12，故a 1＋a 8＝12，又S 8＝8（a 1＋a 8）2，所以S 8＝8×122＝48. 答案：D2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 为()A ．1B ．53C ．2D ．3 解析：因为S 3＝（a 1＋a 3）×32＝6，而a 3＝4，所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2. 答案：C3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A ．9B ．10C ．19D ．29解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.所以n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．答案：B4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝()A ．12B ．14C ．16D ．18解析：因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝210，得n ＝14.答案：B5．(多选)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝3n ＋39n ＋3，则使得a n b n 为整数的正整数n 的值为()A ．2B ．3C ．4D ．14解析：由题意得S 2n －1T 2n －1＝（2n －1）（a 1＋a 2n －1）2（2n －1）（b 1＋b 2n －1）2＝（2n －1）a n （2n －1）b n ＝a n b n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝3（2n －1）＋39（2n －1）＋3＝3n ＋18n ＋1＝3＋15n ＋1， 由于a n b n为整数，则n ＋1为15的正约数，则n ＋1的可能取值有3、5、15，因此，正整数n 的可能取值有2、4、14.答案：ACD二、填空题6．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 解析：设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.答案：207．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________．解析：设数列{a n }的公差为d ，S 3＝6，S 4＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＝6，4a 1＋4×32d ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋6×52d ＝30. 答案：308．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2a 3，S 5＝15，则a 2 019＝________．解析：在等差数列{a n }中，由S 3＝2a 3知3a 2＝2a 3，而S 5＝15，则a 3＝3，于是a 2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此a n ＝n ，故a 2 019＝2 019. 答案：2 019三、解答题9．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n （n －1）2·2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解：设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明：由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，又b 1＝S 1＝2，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.B 级 能力提升1．(多选)已知数列{a n }的前n 项和S n (S n ≠0)，且满足a n ＋4S n －1S n ＝0(n ≥2)，a 1＝14，则下列说法错误的是()A ．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4nB ．数列{a n }的通项公式为a n ＝14n （n ＋1）C ．数列{a n }为递增数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为递增数列 解析：数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，且满足a n ＋4S n －1S n ＝0(n ≥2)，a 1＝14， 所以S n －S n －1＋4S n －1S n ＝0，化为：1S n －1S n －1＝4， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，公差为4， 所以1S n ＝4＋4(n －1)＝4n ，可得S n ＝14n， 所以n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14n －14（n －1）＝－14n （n －1）， 所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧14（n ＝1），－14n （n －1）（n ≥2）， 对选项逐一进行分析可得，A 、B 、C 三个选项错误，D 选项正确． 答案：ABC2．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________． 答案：1003．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)依题意，得S n n＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝1也适合．即a n ＝6n －5.(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1， 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＝3n 6n ＋1.。

第二章 2.3 第1课时A 组·素养自测一、选择题1．不等式6－x －2x 2＜0的解集是( D )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32＜x ＜2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2＜x ＜32 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－32或x ＞2 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32或x ＜－2 [解析] 不等式变形为2x 2＋x －6＞0，又方程2x 2＋x －6＝0的两根为x 1＝32，x 2＝－2，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－2或x ＞32．故选D ． 2．如果关于x 的不等式x 2＜ax ＋b 的解集是{x |1＜x ＜3}，那么b a 等于( B ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．64[解析] 原不等式可化为x 2－ax －b ＜0，其解集是{x |1＜x ＜3}，那么由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a1×3＝－b，解得a ＝4，b ＝－3， 所以b a ＝(－3)4＝81．3．已知0＜a ＜1，关于x 的不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集为( A ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜a 或x ＞1a B ．{x |x ＞a }C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜1a或x ＞a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a[解析] 因为0＜a ＜1，所以1a ＞1，所以a ＜1a，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞1a或x ＜a ．故选A ． 4．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a ＜0，那么ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为( C ) A ．{x |x ＞3或x ＜－2} B ．{x |x ＞2或x ＜－3} C ．{x |－2＜x ＜3}D ．{x |－3＜x ＜2}[解析] 由已知得a (x ＋2)(x －3)＞0， ∵a ＜0，∴(x ＋2)(x －3)＜0，∴－2＜x ＜3． ∴所求不等式的解集为{x |－2＜x ＜3}．5．若不等式x 2＋kx ＋1＜0的解集为空集，则k 的取值范围是( A ) A ．－2≤k ≤2 B ．k ≤－2，或k ≥2 C ．－2＜k ＜2D ．k ＜－2，或k ＞2[解析] 由不等式x 2＋kx ＋1＜0的解集为空集，得对应的二次函数y ＝x 2＋kx ＋1的图象全部在x 轴或x 轴上方，则Δ＝k 2－4×1×1≤0，解得－2≤k ≤2．6．若关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ∈R )的解集为{x |1a ＜x ＜1}，则a 的取值范围为( B )A ．a ＜0，或a ＞1B ．a ＞1C ．0＜a ＜1D ．a ＜0[解析] 不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0可化为(ax －1)(x －1)＜0，由不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0的解集为{x |1a ＜x ＜1}，得a ＞0，方程(ax －1)(x －1)＝0的两根为x 1＝1，x 2＝1a ，且1a ＜1，则a 的取值范围为a ＞1，故选B ．二、填空题 7．函数y ＝1－x 2＋x ＋12的定义域为__{x |－3＜x ＜4}__．[解析] 由－x 2＋x ＋12＞0，得x 2－x －12＜0，解得－3＜x ＜4，所以定义域为{x |－3＜x ＜4}．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__{x |－3＜x ＜1或x ＞3}__．[解析] f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f (x )＞3．①当x ≥0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6＞3，x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ≥0，即x ＞3或0≤x ＜1；②当x ＜0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6＞3，x ＜0，解得－3＜x ＜0．综上，原不等式的解集为{x |－3＜x ＜1或x ＞3}．9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8＜0的解，则k 的取值范围是__{k |2＜k ＜4}__． [解析] x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8＜0的解，把x ＝1代入不等式，得k 2－6k ＋8＜0，解得2＜k ＜4．三、解答题10．解不等式－1＜x 2＋2x －1≤2．[解析] 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0，x 2＋2x －3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)＞0，(x ＋3)(x －1)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2或x ＞0，－3≤x ≤1．如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}．11．解关于x 的不等式ax 2－x ＞0．[解析] (1)当a ＝0时不等式为－x ＞0，所以x ＜0， (2)当a ≠0时，方程ax 2－x ＝0的两根为0与1a ；①当a ＞0时，1a ＞0，所以x ＞1a 或x ＜0；②当a ＜0时，1a ＜0，所以1a＜x ＜0．综上，当a ＞0，不等式的解集为{x |x ＞1a 或x ＜0}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜0}； 当a ＜0时，不等式的解集为{x |1a＜x ＜0}．B 组·素养提升一、选择题1．若使x 2＋ax ＋1有意义的x 取值为实数集R ，则实数a 的取值范围为( D ) A ．{a |－2＜a ＜2} B ．{a |a ＜－2或a ＞2} C ．{a |a ≤－2或a ≥2}D ．{a |－2≤a ≤2}[解析] 由题意知，x 2＋ax ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ≤0，即a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2．2．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( C )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台[解析] y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0， 即x 2＋50x －30 000≥0， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．3．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为{x |－2＜x ＜14}，则ab 等于( C )A ．－28B ．－26C ．28D ．26[解析] 由已知得⎩⎨⎧－2＋14＝－ba ，－2×14＝－2a ，所以a ＝4，b ＝7， 所以ab ＝28．4．(多选题)若“不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立”为假命题，则实数a 可能的取值为( CD )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1＜a ＜4}C ．{a |a ＜－1}D ．{a |a ＞4}[解析] 若命题为真命题，由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4． 所以题中a 可以取的范围为{a |a ＜－1}∪{a |a ＞4}． 二、填空题5．已知函数y ＝x 2＋ax －2x 2－x ＋1的值域为(－∞，2)，则a 的取值范围为__(－6,2)__．[解析] ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，因为y ＝x 2＋ax －2x 2－x ＋1＜2，所以x 2＋ax －2＜2(x 2－x ＋1)，整理可得x 2－(a ＋2)x ＋4＞0对任意的x ∈R 都成立， 所以Δ＜0，即(a ＋2)2－16＜0， 解得－6＜a ＜2．6．若不等式x 2＋x －1＜m 2x 2－mx 对任意的x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为__(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞__．[解析] 原不等式可化为(1－m 2)x 2＋(1＋m )x －1＜0． ①当1－m 2＝0时，m ＝±1．当m ＝－1时，不等式可化为－1＜0，显然成立； 当m ＝1时，不等式可化为2x －1＜0，解得x ＜12，故不等式的解集不是R ，不合题意； ②当1－m 2≠0时，由不等式恒成立可得⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＜0，Δ＝(1＋m )2＋4(1－m 2)＜0，解得m ＜－1或m ＞53，综上可知：实数m 的取值范围为(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞． 7．已知函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为{y |y ≥0}，若关于x 的不等式y ＜c 的解集为{x |m ＜x ＜m ＋6}，则实数c 的值为__9__．[解析] 由题意知y ＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24．∵函数y ＝x 2＋ax ＋b的值域为{y |y ≥0}，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24．∴y ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22．又∵y ＜c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22＜c ， 即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c ．∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ，①－a 2＋c ＝m ＋6．②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9．三、解答题8．解关于x 的不等式ax 2－(2＋2a )x ＋4＞0．[解析] (1)当a ＝0时，原不等式可化为：x －2＜0，即x ＜2． (2)当a ＜0时，2a ＜0＜2，所以2a ＜x ＜2．(3)当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，x ≠2． (4)当0＜a ＜1时，2＜2a ．所以x ＞2a 或x ＜2．(5)a ＞1时，2＞2a ，所以x ＞2或x ＜2a．综上可知，不等式的解集为：a ＝0时，{x |x ＜2}；a ＜0时，{x |2a ＜x ＜2}；a ＝1时，{x |x ≠2}；0＜a ＜1时，{x |x ＜2或x ＞2a }，a ＞1时，{x |x ＜2a或x ＞2}．9．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b ＞0． (1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．[解析] (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8．(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b ＞0⇔x 2－ax －(a ＋1)＜0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)＜0． 当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1＜－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为{x |a ＋1＜x ＜－1}； 当a ＋1＞－1，即a ＞－2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜a ＋1}． 综上所述：当a ＝－2时，原不等式的解集为∅；a＜－2时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}；a＞－2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．。

2.3 解二元一次方程组第1课时 代入消元法知识点1 代入消元法将方程组一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．1．用代入法解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，①2x ＋y ＝10，②可将①代入②，得一元一次方程：____________．知识点2 代入法解二元一次方程组用代入法解二元一次方程组的一般步骤：(1)从方程组中选取一个未知数系数比较简单的方程；(2)将选取的方程变形，变成用一个未知数表示另一个未知数的形式； (3)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；(4)把这个未知数的值代入变形后的方程，求得另一个未知数的值； (5)写出方程组的解．2．用代入法解下列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，x ＋4y ＝13.一 代入消元法解二元一次方程组教材例2变式题解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 3＝7，2x ＋y ＝14.[归纳总结] (1)解二元一次方程组的基本思路是“消元”，也就是把二元一次方程组化为一元一次方程；(2)二元一次方程组的解是一对数值，需用大括号将这对数值上下排列；(3)当方程组中某一个未知数的系数的绝对值等于1时，用代入法解方程组比较简单；(4)不能把变形后方程代入变形前的原方程中，否则只能得到一个恒等式，应将变形后的方程代入另一个方程中求解．二 利用整体思想解二元一次方程组教材补充题 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，2（x ＋1）－y ＝11.[归纳总结] 有时用传统的代入法可能比较烦琐，此时可以考虑用整体代入法．运用整体代入法时，重点是观察，对比系数间的关系．三 方程组的解的综合应用教材补充题若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1与方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，mx －ny ＝4的解相同，求m ，n 的值．[归纳总结] 综合性应用题的解题重点为转化思想，根据题意把题目转化成二元一次方程组．[反思] 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －7y ＝8，①3x －8y ＝10.②解：由①，得x ＝8＋7y2，③将③代入①，得8＝8，所以原方程组无解． 这种解法是否正确？若不正确，请改正．一、选择题1．已知3x －11y ＝5，用含x 的代数式表示y ，下列正确的是( )A ．y ＝5－3x 11B ．y ＝3x －511 C ．x ＝11y ＋53 D ．x ＝－11y ＋532．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，①3x －2y ＝8②时，将方程①代入方程②中，所得的方程是( )A ．3x ＋4x －3＝0B ．3x －4x －6＝8C ．3x －4x ＋6＝8D ．3x ＋2x －6＝83．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，①2x －y ＝5②时，使得代入后化简比较简单的变形是( )A ．由①，得x ＝2－4y 3B ．由①，得y ＝2－3x 4C ．由②，得x ＝y ＋52D ．由②，得y ＝2x －5 4．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0 5．已知关于x ，y 的二元一次方程y ＝mx ＋n ，当x ＝2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝5，则( )A ．m ＝2，n ＝3B ．m ＝－2，n ＝3C ．m ＝2，n ＝－3D ．m ＝－2，n ＝－36．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，bx －ay ＝－7的解，则(a ＋b)(a －b)的值为( ) A ．－16 B ．－7 C ．7 D ．167．解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2017x ＋4y ＝11，2017x ＝19－2y ，得y ＝( )A ．－4B ．－43C .53D ．5二、填空题8．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，2x ＋3y ＝5，选择消去未知数________比较方便．9．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y －5，y ＝2x ＋3，用代入法消去x ，可得方程______________(不用化简)．10．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －my ＝1，mx ＋ky ＝8的解，则k ＝________，m ＝________．11．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的方程y ＝kx ＋b 的两个解，则k ＝________，b ＝________． 三、解答题12．用代入法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，2x ＋y ＝8；(2)2016·无锡⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3－y ，3x ＋2y ＝2.13．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，2y ＋3（x －y ）＝11.14．已知二元一次方程：①y＝4－x ，②2x －y ＝2，③x －2y ＝1.请你从这三个方程中选择你喜欢的两个方程组成一个方程组，并求出这个方程组的解．15．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝2，kx ＋（k －1）y ＝6 的解中x 与y 的值相等，则k 的值为多少？16．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，5x －y ＝9的解是关于x ，y 的方程3x ＋my ＝8的一个解，求m 的值．17．已知(2a －b －4)2＋|a ＋b ＋1|＝0，求a ，b 的值．[创新题] 甲、乙两人同求方程ax －by ＝7的整数解，甲求出一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4；而乙把ax－by ＝7中的7错看成1，求得一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，试求a ，b 的值．详解详析【预习效果检测】 1．[答案] 4y ＋y ＝10[解析] 将②式中的x 用2y 代替，可得2×2y ＋y ＝10，即为4y ＋y ＝10.2．[解析] 把方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，①x ＋4y ＝13②的两个方程进行比较，发现把方程②变成用含y的代数式表示x 比较容易．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，①x ＋4y ＝13，②由②，得x ＝13－4y ，③把③代入①，得2(13－4y)＋3y ＝16， 即－5y ＝－10，所以y ＝2.把y ＝2代入③，得x ＝13－4×2＝5.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2.【重难互动探究】例1 解：原方程组可整理为⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝42，①2x ＋y ＝14，②由②，得y ＝14－2x ，③把③代入①，得3x －2(14－2x)＝42， 即7x ＝70，所以x ＝10.把x ＝10代入③，得y ＝－6.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.例2 [解析] 本题可用整体代入法求解．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11，②由①，得x ＋1＝6y ，③ 把③整体代入②，得 12y －y ＝11，y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.例3 [解析] 把方程组的解代入含m ，n 的方程组中即可求出m ，n 的值．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入含m ，n 的方程组中， 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2m －n ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.【课堂总结反思】[反思] 这种解法不正确，改正如下：⎩⎪⎨⎪⎧2x －7y ＝8，①3x －8y ＝10，② 由①，得x ＝8＋7y 2，③把③代入②，得3×8＋7y 2－8y ＝10，解得y ＝－45.把y ＝－45代入③，得x ＝65.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝－45.【作业高效训练】[课堂达标]1．[解析] B 移项得11y ＝3x －5，两边同除以11，得y ＝3x －511.故选B .2．C 3.D 4.B5．[解析] B 由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－1，－m ＋n ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝3.6．[解析] C 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，bx －ay ＝－7的解，所以把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，bx －ay ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b －a ＝－7.以下有两种解法：解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b －a ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，则(a ＋b)(a －b)＝(4－3)×(4＋3)＝7.解法二：方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b －a ＝－7可变形为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝7，所以(a ＋b)(a －b)＝1×7＝7.7．[解析] A 将2017x ＝19－2y 整体代入2017x ＋4y ＝11，得19－2y ＋4y ＝11，解得y ＝－4.故选A .8．[答案] y[解析] 因为方程3x －y ＝8化为用含x 的代数式表示y 较为简捷，故应选择消去未知数y.9．[答案] y ＝2(3y －5)＋3 10．[答案] 2 3[解析] 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －my ＝1，mx ＋ky ＝8中，得⎩⎪⎨⎪⎧2k －m ＝1，2m ＋k ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，m ＝3.11．[答案] 4 －5[解析] 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3分别代入y ＝kx ＋b 中，用代入法求解． 把两组值代入后的方程组是⎩⎪⎨⎪⎧－1＝k ＋b ，①3＝2k ＋b ，②由①，得b ＝－1－k ，③把③代入②，得3＝2k －1－k. 所以k ＝4，b ＝－5.12．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，①2x ＋y ＝8，②把①代入②，得2(y ＋1)＋y ＝8，解得y ＝2，把y ＝2代入①，得x ＝3.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3－y ，①3x ＋2y ＝2，② 由①，得y ＝3－2x ，③把③代入②，得3x ＋2(3－2x)＝2， 解得x ＝4，把x ＝4代入③，得y ＝－5.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5.13．[解析] 本题的两个方程中都含有x －y ，所以可采用整体代入法．解：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，①2y ＋3（x －y ）＝11，②将①代入②，得2y ＋3×3＝11，解得y ＝1， 将y ＝1代入①，得x ＝4.所以原方程的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.14．[解析] 此题的答案不唯一，只要从三个方程中选两个方程组成二元一次方程组求解即可．解：若取方程①和②，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，2x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2；同理，若取方程①和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，x －2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1；若取方程②和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，x －2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.15．解：由x 与y 的值相等，得4x －3x ＝2，即x ＝y ＝2，所以2k ＋2(k －1)＝6，解得k ＝2.16．[解析] 把方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，5x －y ＝9的解代入方程3x ＋my ＝8，即可求得m 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，5x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程3x ＋my ＝8， 解得m ＝2.17．解：因为(2a －b －4)2是一个非负数，|a ＋b ＋1|也是一个非负数，两个非负数之和等于0，则每一个非负数都等于0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4＝0，a ＋b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.[数学活动][解析] 由方程组的定义可知甲求得的解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4满足原方程，代入后，可得a ，b 之间的关系式3a －4b ＝7；乙求出的解不满足原方程，而满足方程ax －by ＝1，代入后可得a ，b 的另一个关系式a －2b ＝1，从而可求出a ，b 的值．解：把x ＝3，y ＝4代入ax －by ＝7中，得3a －4b ＝7，① 把x ＝1，y ＝2代入ax －by ＝1中， 得a －2b ＝1，② 由①②组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝7，a －2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2.。

2.3.1乘方第1课时有理数的乘方运算课时目标1.经历探索有理数乘方的意义的过程,体会转化的数学思想方法,培养学生的运算能力.2.理解乘方的意义,了解乘方与幂的关系,能识别指数和底数,掌握幂的符号法则,会进行乘方运算.3.经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程,培养学生科学的思考问题的方法.学习重点乘方的意义以及幂的符号法则.学习难点幂、底数、指数的概念.课时活动设计情境引入问题1:如果一个正方形的边长为2,那么该正方形的面积是多少?问题2:如果一个正方体的棱长为2,那么该正方体的体积是多少?解:该正方形的面积为2×2,该正方体的体积为2×2×2.设计意图:创设情境,引入新课,为本节课的学习作铺垫.探究新知探究1有理数的乘方在上一教学活动中,所列的两个式子有什么特殊之处?你还能写出几个具有上述特征的式子吗?学生自主交流,独立完成,教师适时给予点拨.根据你发现的特征,完成下面的填空.(1)5×5×5记作53,读作5的3次方.(2)5×5×5×5记作54,读作5的4次方.(3)5×5×5×5×5记作55,读作5的5次方.⏟(4)5×5×5×…×5×5记作5n,读作5的n次方.n个5请你根据上面的内容,自己总结发现的规律.,记作a n,读作“a的n次方”.⏟总结:一般地,n个相同的乘数a相乘,即a·a·…·an个求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在a n中,a叫作底数,n叫作指数,当a n看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”.例如,在94中,底数是9,指数是4,94读作“9的4次方”,或“9的4次幂”.一个数可以看作这个数本身的1次方.例如,5就是51.指数1通常省略不写.因为a n就是n个a相乘,所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.探究2幂的符号法则思考:(1)-26的底数是多少?它与(-2)6表示的意义相同吗?(2)计算,并将下表补充完整.思考:上表中的计算结果的符号有什么规律?学生归纳总结.总结:正数的任何次幂都是正数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数. 0的任何正整数次幂都是0.设计意图:通过探究引导学生思考有理数乘方的意义,区分-a n 与(-a )n ,通过让学生计算乘方,发现幂的符号规律,并总结出幂的符号法则.典例精讲 例1 计算:(1)(-4)3; (2)(-2)4; (3)(-23)3. 解:(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64. (2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16. (3)(-23)3=(-23)×(-23)×(-23)=-827. 例2 用计算器计算(-8)5和(-3)6. 解:用带符号键的计算器.显示结果为-32 768.显示结果为729.因此,(-8)5=-32 768,(-3)6=729.设计意图:通过例题练习和讲解,提高学生的运算能力,并学会用计算器计算有理数的乘方运算,提高对新知识的应用能力.巩固训练1.(-2)3等于( C )A.-6B.6C.-8D.82.下列各组数中,运算结果相等的是( A )A.-53与(-5)3B.34与43C.-22与(-2)2D.(45)2与4253.计算3×3×…×32+2+⋯+2⏞ m 个3⏟ n 个2的结果为( A ) A.3m2nB.3m2nC.3mn 2D.m 32n4.(-2)5的底数是 -2 ,指数是 5 ,表示的意义是 5个-2相乘的积 ,即(-2)5= -32 .5.计算:(1)(-3)3; (2)(-5)4; (3)(-13)3; (4)0.23; (5)-72. 解:(1)(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)=-27. (2)(-5)4=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625. (3)(-13)3=(-13)×(-13)×(-13)=-127. (4)0.23=0.2×0.2×0.2=0.008. (5)-72=-(7×7)=-49.学生自主完成,教师订正并给予评价.设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果进行统一订正,并对同学们的表现作出及时评价,体现课程评价在课堂中的合理运用.课堂小结1.乘方中的底数、指数和幂的概念,会求有理数的正整数指数幂,掌握乘方运算与乘法运算的关系,会进行有理数的乘方运算.2.强调有理数乘方的符号规律.3.负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数;0的任何正整数次幂都是0.设计意图:学生通过自主反思,可加深对有理数乘方意义的理解,通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考,使学生真正深入数学的学习过程中,抓住数学思维的内在实质.课堂8分钟.1.教材第52页练习第1,2,3题,第56页习题2.3第1,2题.2.七彩作业.教学反思第2课时有理数的混合运算课时目标1.能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序,会进行有理数的混合运算,培养学生的运算能力.2.在进行有理数混合运算的过程中,能合理地使用运算律进行简化运算.学习重点掌握有理数混合运算的运算顺序,会进行有理数的混合运算.学习难点熟练合理使用运算律进行混合运算.课时活动设计情境引入计算:1. (1)-32; (2)(-3)2; (3)-16; (4)(-1)6. 2. -3÷25×52.3. 18-32÷8+(-2)2×5.问题:先计算,再思考上述运算中有几种运算?分别是什么?结合经验你能说说混合运算的运算顺序吗?设计意图:通过有理数的混合运算,让学生先独立思考运算顺序,然后谈一谈自己的理解,加深学生对运算顺序的理解.探究新知探究 有理数的混合运算问题:如何计算18-32÷8+(-2)2×5呢?分几步运算? 学生先独立思考,分解计算步骤.教师给出下述计算过程. 18-32÷8+(-2)2×5 ① ① ①所以原式=①-①+①=18-4+20=34.由此可知,有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减.如果有括号,要先算括号内的.总结:有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序为 1.先乘方,再乘除,最后加减; 2.同级运算,从左到右进行;3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 设计意图:通过探究,让学生确定有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序,会进行有理数的混合运算,培养学生的运算能力.典例精讲 例1 计算:(1)2×(-3)3-4×(-3)+15;(2)(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2).解:(1)原式=2×(-27)-(-12)+15=-54+12+15=-27.(2)原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)=-8+42+4.5=38.5. 例2 观察下面三行数: -2,4,-8,16,-32,64,…;① 0, 6, -6, 18, -30, 66, …; ① -1, 2, -4, 8, -16, 32, …. ①(1)第①行中的数可以看成按什么规律排列? (2)第①①行中的数与第①行中的数分别有什么关系? (3)取每行中的第10个数,计算这三个数的和.分析:观察第①行中的数,发现各数均为2的倍数,联系数的乘方,从符号和绝对值两方面考虑,可以发现排列的规律.解:(1)第①行中的数可以看成按如下规律排列:-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,….(2)对比第①①两行中位置对应的数,可以发现:第①行中的数是第①行中相应的数加2,即-2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,…;对比第①①两行中位置对应的数,可以发现:第①行中的数是第①行中相应数的12,即(-2)×12,(-2)2×12,(-2)3×12,(-2)4×12,….(3)每行中的第10个数的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×12=1 024+(1 024+2)+1 024×12=1 024+1 026+512=2 562.设计意图:通过例1让学生得以练习,提高对有理数混合运顺序的应用能力;通过例2引导学生解决简单的规律性问题.巩固训练 计算:(1)(-1)8×3+(-2)4÷4; (2)(-3)3+(-12)3×16; (3)78×(23-12)×37÷54.解:(1)原式=1×3+16÷4=3+4=7. (2)原式=-27+(-18)×16=-27-2=-29. (3)原式=78×16×37×45=120.设计意图:通过设置练习,不仅能使学生的新知得到巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高.课堂小结1.有理数混合运算顺序: 先乘方,再乘除,最后加减; 同级运算,从左到右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.探究简单的规律性问题.设计意图:回顾本节课内容,加深学生对本节课知识的理解,提高学生归纳总结及表达的能力.课堂8分钟.1.教材第54页练习,第56页习题2.3第3,11题. 2.七彩作业.教学反思2.3.2科学记数法课时目标1.借助身边熟悉的事物体会大数,发展学生的好奇心、想象力及创新意识.2.通过用科学记数法表示大数的学习,让学生从多种角度感受大数,促使学生重视大数的现实意义,以发展学生的数感.学习重点正确使用科学记数法表示大于10的数.学习难点正确掌握10n的特征以及科学记数法中n与数位的关系.课时活动设计情境引入地球距离月球表面约为384 000 000米.这样大的数,读写都有一定的困难.这节课我们就来学习表示大数的一种方法——科学记数法.设计意图:通过实际问题引入本节课的内容,激发学生的学习兴趣.探究新知探究科学记数法观察10的乘方,102=100,103=1 000,104=10 000,….问题1:等号左边10的指数与右边整数中0的个数有什么关系?教师引导学生得到左边10的指数与右边整数中0的个数相同,即10的n次幂等于10…0(在1的后面有n个0),因此可以利用10的乘方表示一些大数,例如,696 000=6.96×105,读作“6.96乘10的5次方(幂)”.像上面这样,把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1,且a小于10,n是正整数),使用的是科学记数法.问题2:对于小于-10的数能否也用类似的方法表示呢?-567 000 000用这种方法应该怎样表示?学生分小组探究交流,教师将正确答案进行板书.解:-567 000 000=-5.67×108.设计意图:让学生经历用科学记数法表示数的探索过程,提高学生分析问题和解决问题的能力,增强学生的思维能力.典例精讲例用科学记数法表示下列各数:1 000 000,57 000 000,-123 000 000 000.解:1 000 000=1×106.57 000 000=5.7×107.-123 000 000 000=-1.23×1011.设计意图:通过例题讲解,让学生对科学记数法的表示得以运用,提高学生的运用能力.巩固训练1.用科学记数法表示下列各数:(1)352 000 000;(2)167 560 000;(3)602 000 000 000.解:(1)352 000 000=3.52×108.(2)167 560 000=1.675 6×108.(3)602 000 000 000=6.02×1011.2.下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数?1×107,1.9×103,2.06×106.解:1×107=10 000 000,1.9×103=1 900,2.06×106=2 060 000.设计意图:通过练习,让学生巩固所学知识,加深对科学记数法的理解,提高学生的运算能力.课堂小结1.本节课主要学习用科学记数法表示大数的方法.应该注意:任意一个大于10的数表示成a×10n的形式,其中10的指数n应等于整数位数减1,1≤a<10,n是正整数.2.思考现实中还有哪些比较大的数,并用科学记数法表示出来.设计意图:学生通过反思,可进一步加深对科学记数法的理解,通过归纳总结,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.课堂8分钟.1.教材第56页练习第1,2,3题,第56页习题2.3第4,5,9题.2.七彩作业.2.3.2科学记数法把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1,且a小于10,n 是正整数),即为科学记数法.教学反思2.3.3近似数课时目标1.了解和掌握近似数的概念,能准确确定一个近似数的精确度.2.能根据要求用四舍五入法取近似数.学习重点近似数、精确度的概念.学习难点由给出的近似数求其精确度.课时活动设计回顾引入回顾什么是四舍五入法.设计意图:通过回顾旧知,引入本节课的学习.探究新知探究近似数和准确数1.宇宙的年龄约为138亿年,长江约长6 300千米,圆周率π约为3.14,每个三角形都有3个内角,某中学七年级共有10个班.上面语句中出现的数字中,哪些是与实际相符的?哪些是与实际相近的?学生分小组交流讨论.教师随后给出近似数和准确数的概念.准确数:与实际相符的数.近似数:与实际相近的数,通过测量或估计得到.2.小明和小颖分别测量了同一片树叶的长度,他们所用的直尺的最小单位是不同的,分别是厘米和毫米.问题:根据小明的测量,这片树叶的长度约为多少米?根据小颖的测量呢?谁的测量结果会更准确一些?学生自主探究.教师给出:近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示.追问:小明、小颖的测量分别精确到什么单位?解:分别精确到了十分位和百分位.按四舍五入法对圆周率π取近似数时,有π≈3(精确到个位),π≈3.1(精确到0.1,或叫作精确到十分位),π≈3.14(精确到0.01,或叫作精确到百分位),π≈3.142(精确到0.001,或叫作精确到千分位),π≈3.141 6(精确到0.000 1,或叫作精确到万分位),……设计意图:让学生通过实际情境理解近似数与准确数及精确度的概念.典例精讲例按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:(1)0.015 8(精确到0.001);(2)304.35(精确到个位);(3)1.804(精确到0.1);(4)1.804(精确到百分位).解:(1)0.015 8≈0.016.(2)304.35≈304.(3)1.804≈1.8.(4)1.804≈1.80.设计意图:通过例题让学生体会运用四舍五入法求近似数的方法.巩固训练用四舍五入法对下列各数取近似数:(1)0.012 36(精确到0.000 1);(2)688.753 2(精确到个位);(3)2.597 43(精确到0.01);(4)0.085 6(精确到千分位).解:(1)0.012 36≈0.012 4.(2)688.753 2≈689.(3)2.597 43≈2.60.(4)0.085 6≈0.086.设计意图:通过设置练习,不仅能使学生的新知得到巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高.课堂小结1.本节课主要学习近似数的概念,并能按要求取近似数.2.通过这节课的学习,还有哪些收获呢?设计意图:学生通过反思,可进一步加深对近似数的理解.通过归纳总结,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.课堂8分钟.1.教材第56页练习第4题,第56页习题2.3第6题.2.七彩作业.2.3.3近似数1.准确数和近似数.2.用四舍五入法求近似数.教学反思。

[课时作业]页[A 组 基础巩固]1．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－1解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1. ★答案★：D2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．2解析：由S 2＝4，S 4＝20，得2a 1＋d ＝4,4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.★答案★：C3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. ★答案★：C4．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5.∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.★答案★：B5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－9n )－[(n －1) 2－9(n －1)]＝2n －10.综上可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n －10.所以a k ＝2k －10.令5＜2k －10＜8，解得k ＝8.★答案★：B6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 解析：∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. ★答案★：277．等差数列{a n }中，若a 10＝10，a 19＝100，前n 项和S n ＝0，则n ＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d ＝10，a 1＝－80. ∴S n ＝－80n ＋n (n －1)2×10＝0， ∴－80n ＋5n (n －1)＝0，n ＝17.★答案★：178．等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.解析：因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12＝2a 7，又a 2＋a 7＋a 12＝24，所以a 7＝8.所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×8＝104. ★答案★：1049．在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .解析：(1)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42， ∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510.∴n ＝20.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解析：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.[B 组 能力提升]1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( )A ．S 17B ．S 15C ．S 13D ．S 7 解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12＝3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13＝13a 7，∴S 13为常数．★答案★：C2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝(a 1＋a m )m 2＝0， 知a 1＝－a m ＝－2，a m ＝－2＋(m －1)＝2，解得m ＝5.★答案★：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________． 解析：由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. ★答案★：14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n ＝324(n >6)，则数列的项数n ＝________，a 9＋a 10＝________.解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36 ①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180 ②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18，∴a 1＋a 18＝36，∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36. ★答案★：18 365．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－32n 2＋2052n －⎣⎡ －32(n －1)2＋ ⎦⎤2052(n －1)＝－3n ＋104，a 1＝S 1＝101也适合上式，所以a n ＝－3n ＋104，令a n ＝0，n ＝3423，故n ≥35时，a n <0，n ≤34时，a n >0，所以对数列{|a n |}，n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－32n 2＋2052n ， 当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－a 35－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502， 所以T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)，32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35).6．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n ·(n －1)2×12＝14n 2－94n .。