安徽适东高级中学2017_2018学年高二数学下学期第二学段考试试题理20180628015

2017-2018学年安徽省高二（下）联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A={x|x（x﹣4）≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]2．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣23．（5分）a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c4．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．6．（5分）△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（）A．B．C．D．7．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm38．（5分）已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）A．2n B．3n C．n2D．n n9．（5分）已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为（）A．B．1 C．2 D．4（5分）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）10．A．4 B．8 C．12 D．1611．（5分）函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）的图象交点个数为（）A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．以上都不对12．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设向量=（1，2m），=（m+1，1），若•=0，则m= ．14．（5分）已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一个交点，并且A点到l1，l2的距离分别为1，2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB且使AC与直线l1交于点C，则△ABC的面积最小值为．15．（5分）若实数a，b，c，d满足ab=3，c+3d=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．16．（5分）以下四个命题：①若函数y=e x﹣mx（m∈R）有大于零的极值点，则实数m＞1；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为﹣2或．其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣1（n=1，2，…）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n+1=a n+b n（n=1，2，…），b1=2，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）网店为促销，拿出A，B，C三件商品进行抢拍．A，B，C被抢拍成功的概率分别是，，．小明均参与了以上三件商品的抢拍．（1）求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率；（2）记小明抢拍成功商品的件数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD 折起，使得PD⊥面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若E是PC的中点，求三棱锥D﹣PEB的体积．（3）若E在CP上且二面角E﹣BD﹣C所成的角为45°，求CE的长．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣ln（x+1）（a为常数）（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（Ⅰ）求圆M的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l截圆M所得弦长为，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年安徽省高二（下）联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•南昌一模）若集合A={x|x（x﹣4）≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x（x﹣4）≤0}={x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B={x|2＜x≤4}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）（2016秋•大庆月考）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2015秋•邯郸期末）a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log2＜0，b=log=1，0＜c=（）0.3＜1，∴a＜c＜b．故选：B．【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．4．（5分）（2016•南昌二模）已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，当α，β相交时直线m，n可以异面和相交，当直线m，n异面直线时，α，β必相交，故“α，β相交”是“直线m，n异面”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．5．（5分）（2016•白银模拟）已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由周期求出ω，由条件求出cosφ的值，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得==，∴ω=2．由sinφ=，且φ∈（，π），可得 cosφ=﹣，∴则f（）=sin（+φ）=cosφ=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．6．（5分）（2008•四川）△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（）A．B．C．D．【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中，，∴根据正弦定理得∴故选B．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．7．（5分）（2016•湖南模拟）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．（2011•临沂二模）已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，（5分）8．可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）A．2n B．3n C．n2D．n n【分析】根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=++…++，再结合不等式的性质，可得××…××为定值，解可得答案．【解答】解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式；对于给出的等式，x+≥n+1，要先将左式x+变形为x+=++…++，在++…++中，前n个分式分母都是n，要用基本不等式，必有××…××为定值，可得a=n n，故选D．【点评】本题考查归纳推理，需要注意不等式左右两边的变化规律，并要结合基本不等式进行分析．9．（5分）（2016秋•梅州校级月考）已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y M+1=2，求得y M，可得点M到x轴的距离．【解答】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义，∴y M+1=3，解得y M=2，∴点M到x轴的距离为2，故选：C，【点评】本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．10．（5分）（2016秋•大庆月考）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．11．（5分）（2016秋•梅州校级月考）函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）的图象交点个数为（）A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．以上都不对【分析】对a分类讨论，利用导数的几何意义，互为反函数的性质即可得出交点的个数．【解答】解：函数y=a x与y=log a x关于y=x对称，①指数函数y=a x的图象与直线y=x相切时，此时，f′（x）=，x=，f（x）=，由=1，解得a=．f（x）=a x与g（x）=log a x仅有一个交点．②，指数函数y=a x的图象与直线y=x无交点，因此函数y=a x的图象和函数 y=log a x图象无交点．③时，指数函数y=a x的图象与直线y=x有两个交点，因此函数y=a x的图象和函数 y=log a x图象有两个交点．综上：函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）的图象交点个数与a的取值有关系．故选：D．【点评】本题考查了导数的几何意义，互为反函数的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12．（5分）（2016秋•大庆月考）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数．∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f′（x）=1+cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵当y≥1时，=1+，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．而的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0），则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d===1即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴≤k≤，故=1+=1+k的取值范围是[，]．故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•梅州校级月考）设向量=（1，2m），=（m+1，1），若•=0，则m= ．【分析】直接由向量垂直的坐标运算得答案．【解答】解：向量=（1，2m），=（m+1，1），由•=0，得1×（m+1）+2m×1=0，即m=﹣．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直的坐标运算，是基础题．14．（5分）（2016春•高安市校级月考）已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一个交点，并且A点到l1，l2的距离分别为1，2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB且使AC与直线l1交于点C，则△ABC的面积最小值为 2 ．【分析】过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F．设∠FAC=θ，由直角三角形中三角函数的定义，算出AC、AB、从而得到△ABC面积、利用正弦函数的有界性，可得△ABC面积有最小值．【解答】解：过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F，则AF=1，AE=2，设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=，Rt△ABE中，∠ABE=θ，可得AB=，∴△ABC面积为S=AB•AC=，∵θ∈（0，）∴当且仅当θ=时，sin2θ=1达到最大值1，此时△ABC面积有最小值2故答案为：2．【点评】此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．15．（5分）（2016春•高安市校级月考）若实数a，b，c，d满足ab=3，c+3d=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．【分析】根据柯西不等式和基本不等式的性质即可求出．【解答】解：10[（a﹣c）2+（b﹣d）2]=[（12+32）[（a﹣c）2+（b﹣d）2]≥[1×（a﹣c）+3×（b﹣d）]2 （柯西不等式，3（a﹣c）=1•（b﹣d）时取“=“）=[（a+3b）﹣（c+3d）]2=a2+9b2+6ab≥2•a•3b+6ab （a=3b时取“=“）=12ab=36得（a﹣c）2+（b﹣d）2≥，当且a=3，b=1，c=，d=﹣或a=﹣3，b=﹣1，c=﹣，d=取“=”所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值是，故答案为：【点评】本题考查了柯西不等式和不等式的基本性质，属于中档题．16．（5分）（2016秋•梅州校级月考）以下四个命题：①若函数y=e x﹣mx（m∈R）有大于零的极值点，则实数m＞1；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为﹣2或．其中真命题的序号为①②③（写出所有真命题的序号）．【分析】①根据函数极值和导数的关系进行判断；②直接写出特称命题的否定判断；③根据一元二次方程与椭圆和双曲线的离心率进行判断；④根据函数极值和导数的关系求出a，b的关系进行判断．【解答】解：①∵y=e x﹣mx，∴y'=e x﹣m．若y=e x﹣mx（x∈R）有大于零的极值点，则等价为y′=e x﹣m=0有大于0的实根，即m=e x有大于0的实根，∵x＞0，∴e x＞1．∴m＞1．故①正确；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故②正确；③方程2x2﹣5x+2=0的两根和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故④正确；④∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意．则=﹣=﹣，故④错误．∴正确的命题是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的极值和导数的关系，椭圆，双曲线和抛物线的定义和性质，涉及的知识点较多，综合性较强，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015•东城区模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣1（n=1，2，…）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n+1=a n+b n（n=1，2，…），b1=2，求数列{b n}的通项公式．【分析】（I）通过S n=2a n﹣1，推出a n=2a n﹣1，然后求解．（II）利用体积推出，利用累加求出通项公式．【解答】（共13分）解：（I）因为S n=2a n﹣1（n=1，2，…），则S n﹣1=2a n﹣1﹣1（n=2，3，…），所以当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，整理得a n=2a n﹣1，由S n=2a n﹣1，令n=1，得a1=2a1﹣1，解得a1=1．所以{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得（6分）（II）因为，由b n+1=a n+b n（n=1，2，…），得，由累加得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=，当n=1时也满足，所以．（13分）【点评】本题考查数列求和，累加法的应用，考查计算能力．18．（12分）（2016春•高安市校级月考）网店为促销，拿出A，B，C三件商品进行抢拍．A，B，C被抢拍成功的概率分别是，，．小明均参与了以上三件商品的抢拍．（1）求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率；（2）记小明抢拍成功商品的件数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）至少有一件商品被小明抢拍成的对立事件为三件商品中没有一件被抢拍成功，由概率公式三件商品中没有一件被抢拍成功的概率为，由；（2）由题意可知：ξ的取值为0，1，2，3，根据概率公式求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），列出其分布列求得数学期望．【解答】解：（1）三件商品中没有一件被抢拍成功的概率为，∴三件商品中至少有一件被小明抢拍成功的概率为．（2）由题意可知：ξ=0，1，2，3，则，，，．0 2 3．【点评】本题考查离散型随机变量及分布列，考查随机变量的数学期望，考查对立事件的概率公式，属于中档题．19．（12分）（2016秋•梅州校级月考）如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若E是PC的中点，求三棱锥D﹣PEB的体积．（3）若E在CP上且二面角E﹣BD﹣C所成的角为45°，求CE的长．【分析】（1）推导出ABCD为正方形，从而AD⊥底面PCD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．（2）点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，由V A﹣PEB=V D﹣PEB，利用等积法能求出三棱锥D﹣PEB 的体积．（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE的长．【解答】证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC，∴ABCD为正方形，∴AD⊥CD，又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD．解：（2）∵AD∥BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC．∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．由（1）知有AD⊥底面PCD，所以有AD⊥DE．由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．于是，由BC∩PC=C，可得DE⊥底面PBC．∴DE=，PC=2，又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，∵AD∥BC，∴AD⊥BC．∴S△PEB=S△PBC=×（）=，∴三棱锥D﹣PEB的体积V A﹣PEB=V D﹣PEB=×DE×S△PEB=．（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），P（0，0，2），设E（0，b，c），，（λ＞0）即（0，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴b=2λ，c=2﹣2λ，∴E（0，2λ，2﹣2λ），=（0，2λ，2﹣2λ），=（2，2，0），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，），平面BDC的法向量=（0，0，1），∵二面角E﹣BD﹣C所成的角为45°，∴cos45°==，由λ＞0，解得=2﹣，∴E（0，4﹣2，2），∴CE的长|CE|==4﹣2．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2015•天水校级模拟）已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高，然后用基本不等式求最值．【解答】解：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0．令△=4m2﹣8m2+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得．则由弦长公式得|AB|=•=•．又点P到直线l的距离，∴，当且仅当m2=2，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．【点评】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值．考查分析问题解决问题到哪里．21．（12分）（2016秋•梅州校级月考）已知函数f（x）=ax2+2x﹣ln（x+1）（a为常数）（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转换为x∈[0，+∞）时，g（x）max≤0，求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣1，+∞），当a=﹣1时，f（x）=﹣x2+2x﹣ln（x+1），∴f′（x）=﹣2x+2﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由f′（x）＞0得：﹣＜x＜，由f′（x）＜0，得：﹣1＜x＜﹣或x＞，∴函数f（x）的单调增区间为（﹣，），单调减区间为（﹣1，），（，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤x恒成立，令g（x）=f（x）﹣x=ax2+x﹣ln（x+1），问题转换为x∈[0，+∞）时，g（x）max≤0，∵，当a=0时，，∴g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，此时g（x）无最大值，故a=0不合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 当a＞0时，令g'（x）=0解得，，此时g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，此时无最大值，故a＞0不合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） 当a＜0时，令g'（x）=0解得，，当时，，而g（x）在[0，x2）上单调递增，在在[x2，+∞）上单调递减，∴g（x）max=g（x2）=，令，则，∴ϕ（x）在上单调递增，又，当e≈2.71时，e3≈19.9，∴ϕ（x）在小于或等于0不恒成立，即g（x）max≤0不恒成立，故不合题意．当时，，而此时g（x）在x∈[0，+∞）上单调递减，∴g（x）max=g（0）=0，符合题意．综上可知，实数a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•太原一模）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（5分）（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…（10分）【点评】本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016春•重庆校级期中）已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（Ⅰ）求圆M的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l截圆M所得弦长为，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）根据条件、极坐标与直角坐标的互化公式，把圆M的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程消去参数，化为直角坐标方程，再根据条件以及点到直线的距离公式、弦长公式，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为圆M的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8，化为直角坐标方程为x2+y2﹣6y=﹣8，即x2+（y﹣3）2=1，所以圆M的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）消去参数，化化为普通方程得：3x+4y﹣3a+4=0．因为直线l截圆M所得弦长为，且圆M的圆心M（0，3）到直线l的距离d==，解得a=，或 a=．【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•兰州模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或 x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为 {x|x≤0，或 x≥5 }．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得 a≤﹣3，或a≥5．…（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。

2017—2018学年度第二学期教学质量检查高二理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.13.0 14.31015.1216. 3三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．解：（Ⅰ）因为()1+z i m i =-∴1122m m z i -+=-， ————1分∴z 的共轭复数i m m z 2121++-=，∴ z 在复平面内对应的点是11,22m m -+⎛⎫⎪⎝⎭， ————3分依题意117022m m -++-=————4分 ∴7m =————5分 （Ⅱ）∵1z ≤，∴2211122m m -+⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，————8分 ∴11m -≤≤.————10分18. 解: （Ⅰ）依题意得22⨯列联表为————2分————4分所以，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有关系.————5分（Ⅱ）从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为23P = ————6分 随机抽取3人， X 的可能取值为0,1,2,3，2~(3,)3X B————8分()3110327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，()2132162133279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22321124233279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()3283327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ————10分∴X 的分布列为2323)(=⨯=X E————12分19.解：（Ⅰ）2dy c x=+更适宜作销量y 关于单价x 的回归方程类型. ————2分（Ⅱ）设21x w =，则dw c y += 由最小二乘法求系数公式可得：1011021()()16.2200.81()iii ii w w y y d w w ∧==--===-∑∑ ————4分ˆ20.6200.785ˆc y d w=-⨯-==，————6分 所以所求回归方程为2205y x =+.————8分（Ⅲ）设销售额为z ，则)0(,205>+==x xx xy z ————9分25205≥+==xx xy z ，即0452≥+-x x ， 解得10≤<x 或4≥x ————11分 当单价x 范围为10≤<x 或4≥x 时，该商品的销售额不小于25————12分20.解：（1）()123'2++=bx ax x f————1分由已知，()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=0132331'01231'b a f b a f————4分解得：1-=a ，1=b————5分此时()()()113123'2-+-=++-=x x x x x f 则13x <-或1x >时，()0'<x f ，；131<<-x 时，()0'>x f ， 即()x f 在1(,)3-∞-上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-131，上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，符合题意————7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡--311，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-131，上单调递增，在(]21，上单调递减。

定远重点中学2017-2018学年第二学期教学段考卷
高二（理科）数学试题
一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。

）
1. ）
C. D.
【答案】A
【解析】方法一：验证法.
的.故选A．
和的图象相切时满足题意，设切点为，
，解得选A．
【名师点睛】本题考查方程解的情况，解题中将方程有唯一实数解的问题转化为两函数图象有唯一公共点的问题，通过合理的构造函数，经分析得到当两图象在某点处相切时满足条件，故可用导数的几何意义求解，在设出切点的前提下，构造出关于参数的方程组使得问题得以解决.
2. f（x）的导数且f（x）（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】B
【解析】分析：根据导函数定义，对f（x）=求导得，代入
求得。

所以可以确定的解析式，代入即可得到答案。

...............
所以选B
0，是简单题。

3. 已知函数）
A. 奇函数，且在上单调递增
B.
C. D.
【答案】D
,
,则在单调递增,
单调递增,
,故选B
4. 由曲线与直线）
【答案】D
与直线
故选
5. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记
）。

2017-2018学年度第二学期期末高二数学（理）试题时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}A |43x x x Z =-<<∈，{}|1B x x =≥则A B ⋂= （ ） A ．{}1 B.{}1,2 C. {}01,2， D. {}1,23，2.设集合{}2A |60x x x =+-< {}2|1B x x =≤ ，则 A B ⋂= （ ）A. []1,1-B. (]3,1-C.()1,2-D. [)1,2-3.下列命题中真命题的个数是 （ ） ① 42,x R x x ∀∈>② 若p q ∧ 是假命题，则,p q 都是假命题③ 命题“32,240x R x x ∀∈++≤”的否定为“32000,240x R x x ∃∈++>” A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.5x >的一个必要不充分条件是 （ ） A.6x >B.3x >C.6x <D.10x >5.把一枚硬币任意掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P （B/A ）= （ ） A.14 B.13 C.12 D.236.方程12x x +=根的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.37.在82x ⎛ ⎝的展开式中，常数项是 ( )A.7B.-7C.28D.-288.设 12log 3a = , 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 12c =,则 ( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<9. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）图所示的长方形区域内任取一个点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为 （ ） A.12 B.14 C.13 D.2311.若函数()y f x =图像与()log 322a y x =-+图像关于直线y x =对称,则函数()y f x =必过定点 （ ）A.（1,2）B.（2,2）C.（2,3）D.（2,1） 12.定义在R 上的偶函数满足，且当时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则等于 （ ）A.3B.18C.-2D.2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.将3个不同的小球放入4个盒子中，有 ______种不同的放法14.已知随机变量X 服从正态分布N(3,1),且(2X 4)0.6826P ≤≤=，则(X 4)P >= ______ 15.已知()()()220210{xx x x x f x ≤-+>=在[]()1,2a a ->上最大值与最小值之差为4，则a =______16.为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用。

2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z +=-1)1(，则=2017z（ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ． i2．给出三个命题：①x y cos =是周期函数；②三角函数是周期函数；③x y cos =是三角函数；则由三段论可以推出的结论是（ ）A ．x y cos =是周期函数B ．三角函数是周期函数C ．x y cos =是三角函数D ．周期函数是三角函数 3．某射手射击所得环数X 的分布列如下:已知X 的数学期望9.8)(=X E ,则y 的值为( ).A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.24．直线x y 4=与曲线2x y =围成的封闭图形的面积为（ ）A ．32B ．332C ．3216 D ．216 5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数6．设随机变量ξ服从正态分布)0)((2>σσμ，N ，若1)1()0(=<+<ξξP P ,则μ的值为（ ）A ．21B ．1C ．21-D ．1-7．2016年6月9日是我们的传统节日——“端午节”，这天小红的妈妈为小红煮了6个粽子，其中2个腊肉馅4个豆沙馅，小红随机取出两个，事件=A “取到的两个为同一种馅”， 事件=B “取到的两个都是豆沙馅”，则=)|(A B P （ ）A ．157B ．151C ．71D ．768．设函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=．若1-=x 为函数xe xf )(的一个极值点，则下列图象不可能．．．为)(x f y =的图象是 （ ）A B C D9．学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有（ ）A ．540种B ．240种C ．180种D ．150种 10．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：① “若R b a ∈、，则b a b a =⇒=-0”类比推出“若C b a ∈、，则b a b a =⇒=-0”②“若R d c b a ∈、、、，则复数d b c a di c bi a ==⇒+=+,”类比推出 “若Q d c b a ∈、、、，则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”③“若R b a ∈、，则b a b a >⇒>-0”类比推出 “若C b a ∈、，则b a b a >⇒>-0”④“若R x ∈，则111||<<-⇒<x x ”类比推出“C z ∈，则111||<<-⇒<z z ” 其中类比结论正确．．．．的为（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④11．设)(x f 是R 上的奇函数，且0)1(=-f ，当0>x 时，0)(2)()1('2<-⋅+x xf x f x ,则不等式0)(>x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞B ．)1,0()1,(⋃--∞C ．),1(+∞D ．),1()0,1(+∞⋃-12．定义：如果函数)(x f 在],[b a 上存在1x ，2x )(21b x x a <<<满足a b a f b f x f --=)()()(1，ab a f b f x f --=)()()(2，则称函数)(x f 是],[b a 上的“双中值函数”。

2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z z B ∈∈+==,,|，则集合B 的子集个数为（ ）A .3B .4C . 7D .82．若322->m x 是41<<-x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]3,3-B .(][)+∞-∞-,33,C . (][)+∞-∞-,11,D .[]1,1-3．命题“[)+∞-∈∀,2x ，13≥+x ”的否定为( )A .[),,20+∞-∈∃x 130<+xB .[),,20+∞-∈∃x 130≥+xC .[)+∞-∈∀,2x ，13<+xD .()2,-∞-∈∀x ，13≥+x4．已知函数()x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若()11-=f ，则满足()121≤-≤-x f 的x 的取值范围是( ）A .[]2,2-B .[]1,1-C .[]4,0D .[]3,15．已知函数()xx f 5=，()x ax x g -=2，若()[]11=g f ，则=a ( )A .1B .2C .3D .1-6．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 3,2,6x x x x x f a ，()1,0≠>a a 且的值域是[)+∞,4，则实数a 的取值范围是( )A .[]1,1-B .(]2,1C .[]4,0D .[]3,17．已知函数()ax f x x -+=212 是奇函数，则使()3>x f 成立x 的取值范围是 ( )A .()1,-∞-B .()0,1-C . ()1,0D .()+∞,18．若0>>b a ，10<<c ，则 ( )A .c c b a log log <B .b a c c log log <C .c c b a <D .a b c c >9．已知函数()12-=-mx x f 为偶函数，记()3log 5.0f a = ，()5log 2f b = ，()m f c 2=，则c b a ,,的大小关系为 ( ) A .c b a << B .b c a << C . b a c << D .a c b <<10．已知函数()34213123-+-=x mx x x f 在区间[]2,1上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]5,4B .[]4,2C . (][)+∞-∞-,11,D .(]4,∞- 11．已知函数()|1|23,0,21,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩若关于x 的方程()[]()()012=--+a x f a x f 有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A .()1,2-B .[]4,2C . ()1,2--D .(]4,∞-12. 已知函数()a x x f ++-=13，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1 与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A .[]4,03-e B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,03e C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+4,2133e e D .[)+∞-,43e第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知函数()()2'11f x f x x =++，则()=⎰1dx x f .14．函数()()x x f cos sin lg =的定义域为_______________． 15．若()02222222≥++---x x xx a 在区间[]2,1上恒成立，则实数a 的取值范围是 ______．16．设()'f x 是奇函数()x f 的导函数，()02=-f ，当0>x 时，()()'0xf x f x ->，则使()0>x f 成立的x 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且ab c b a 3222+=+.（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1=c ,求b a -3的取值范围. 18．(本小题满分12分)件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥． 19.(本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB AC =，1AA AB =，160=∠BAA（1）证明：C A AB 1⊥；（2）若平面⊥ABC 平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值． 20. (本小题满分12分)已知三点()1,2-A ，()1,2B ，()0,0O ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足||()2MA MB OM OA OB +=++．（1） 求C 的方程；（2） 动点()00,y x Q ()220<<-x 在曲线C 上，l 是曲线C 在Q 处的切线．问：是否存在定点()t P ,0()0<t 使得l 与PB PA ,都相交，交点分别为E D ,，且ABQ ∆与PDE ∆的面积之比为常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分）已知函数()x x f ln =，()xe x g =．（1）求函数()x x f y -=的单调区间；（2）求证：函数()x f y =和()x g y =在公共定义域内，()()2>-x f x g 恒成立； （3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足()()a x x f x x f ==2211，求证：1221>ex x ．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二数学下学期第二次统考试题 理（时间：120分钟 满分：150分）一. 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) 1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A. 1B. 22．由1y x=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为( ) A. ln2B. ln2-1C. 1+ln2D. 2ln23．数学归纳法证明 成立时，从到左边需增加的乘积因式是（ ）A. B.C. D.4．曲线：在点处的切线方程为（ ）A.B.C.D.5．已知m 、n 为两不重合直线，α、β是两平面，给出下列命题： ① 若n//m ，m ⊥β，则n ⊥β； ② 若n ⊥β，α⊥β，则n//α； ③ 若n//α，α⊥β，则n ⊥β； ④ βαββα//,//,//,,则n m n m ⊂．其中真命题的有（ ）个。

A. 1B ．2C ． 3D ． 46．已知圆C 方程为()()22210x y r r -+=>，若p ：13r ≤≤；q ：圆C 上至多有3个点到直线+30x =的距离为1，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ） A.5 B.52 C.32 D.1788．已知()f x 是定义在R 上的减函数，其导函数()'f x 满足()()()'1'f x xf x f x +<，则下列结论中正确的是（ ）A. ()0f x >恒成立B. ()0f x <C. 当且仅当(),1x ∈-∞， ()0f x <D. 当且仅当()1,x ∈+∞， ()0f x > 9．正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，12AA =AB ，则CD 与平面1DC B 所成角的正弦值等于（ ） A ．23 B ．33C ．23 D ．1310．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ，作渐近线x a by =的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．21<<eB ．21<<e C ．2>e D ．2>e11．把数列{}n a 的各项按顺序排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，若),n m A （=2014a ，则=+n m（ ）A.122B.123C.124D.12512．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. （15，B. [15，C. （，6）D. （，6二. 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13．．计算1201x dx -⎰=_____________．14．记为有限集合的某项指标，已知，，，，运用归纳推理，可猜想出的合理结论是：若，（结果用含的式子表示）.15．已知AB =3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，向量1233OP OA OB =+，则点P 的轨迹方程为__________．16．如图，椭圆222:14x y C a +=(2)a >，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左、右焦点分别为12,F F ，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M ，N 两点，若12||||6PF PF ⋅=，则||||PM PN ⋅的值为 ．三、解答题(本大题共6小题,共70分.)17．在三棱锥S ABC －中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ABC ⊥平面，SA SC 23＝＝，M 、N 分别为AB 、SB 的中点。

2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集R ,集合}{22M x x x =<->或,{}2430N x x x =-+<,则图中阴影部分所表示的集合是 （） A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x x C ．}21|{≤<x x D ．}2|{<x x2.下面是关于复数iiz ---=131的四个命题：其中的真命题为（）①在复平面内，复数z 对应的点位于第二象限②复数z 的虚部是-2 ③复数z 是纯虚数④5=zA. ①②B. ①③C. ②④D. ③④3．设0.213121log 3,,23⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c ,则（）A ．B ．C ．D ．4．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos2θ等于( ) A ．－1 B ．0 C.12 D.225.在ABC ∆中，角A 、Ｂ、Ｃ所对的边分别是a 、b 、c，若a =，B A 2=，则B cos 等于（） A ．33 B ．43 Ｃ．53 Ｄ．63 6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.367.若下框图所给的程序运行结果为=35S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A.7k =B.6k ≤C.6k <D.6k >俯视图8.若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的 体积等于( )A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm 9.下列说法中，正确的是（）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是：“任意0,2≤-∈x x R x ”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充分不必要条件10．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点 ( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.11.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为( )A ．2B ．3 C.4 D ．512.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A.()0,+∞B.()(),03,-∞+∞ C.()(),00,-∞+∞ D.()3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是________14.已知0(sin cos )a t t dt π=+⎰，则61()axx -的展开式中的常数项为. 15.函数)1,0(log 1)(≠>+=a a x x f a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则nm 11+得最小值为. 16．已知函数()ln ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若方程()f x ax =有三个不同的实数根，则a 的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）设数列10,10,}{11+==+n n n n a a S n a 项和为的前 9，9991+++n S a n n （1）求证：{}1+n a 是等比数列； (2)若数列{}n b 满足()()()*+∈+⋅+=N n a a b n n n 1lg 1lg 11,求数列{}n b 的前n 项和n T ；18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点.（Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值.19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取n 名学生的笔试成绩（被抽取学生的成绩均不低于160分,且不高于185分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （1） 请先求出n 、a 、b 、c 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 第4组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望.20.（本小题共12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截，倾斜角为45的直线l 过点F . （Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线24y x =上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.FE C 1B 1A 1CBA21.（本小题共12分）已知函数()1x f x e x =--（Ⅰ）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10xa e x -++<成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0x ≥时，2()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)．曲线C 2: 2240x y y +-=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为(4π)．(I)求曲线C 2的极坐标方程； (Ⅱ)若C 1与C 2相交于M 、N 两点，求11PM PN+的值. 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知()()2f x x m m R =+∈．(I)当m =0时，求不等式()25f x x +-<的解集；(Ⅱ)对于任意实数x ，不等式()222x f x m --<成立，求m 的取值范围．2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CCABB CDBBA BA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2⎤⎡⋃--⎦⎣， 14. 25- 15. 2 16.1,（0）e三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）解：（1）依题意，992=a ，故101112=++a a ， 当n S a n n n 9921+=≥-时， ①又9991++=+n S a n n ②②－①整理得：1011n 1n =+++a a ，故{}1+n a 是等比数列，（2）由（1）知，且()n n n qa a 101111=+=+-，()n a n =+∴1lg ，()11lg 1+=++n a n ()())1(11lg 1lg 11+=+⋅+=∴+n n a a b n n n()11431321211+++⨯+⨯+⨯=∴n n T n 11141313121211+-++-+-+-=n n ()*∈+=N n n n118.（本小题满分12分）（Ⅰ）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴面ABC ⊥面11BB C C ，∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. 设11AB AA ==，则113222B F EF B E ===. ∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥.FE C 1B 1A 1CBA又AFEF F =，∴1B F ⊥平面AEF .（Ⅱ）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则11(0,0,0),(,0,0),(0,(0,)2222F A B E -，1()2AE =-，1(AB =-.由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ， ∴可取平面AEF的法向量1(0,m FB ==. 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，10,0n AE nAB ⎧⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎪⎩由∴可取(3,1,n =-.设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则03(1)1cos |cos ,|||||m nmn m n θ⨯+-+⨯=<>===. ∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为619. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的数据可得100050.05==n ，第2组的频率b =350.0507.0=⨯，第2组的频数为a =35507.0100=⨯⨯人,第3组的频率为c =300.300100=,频率分布直方图如右:（2）因为第3、4、5组共有60名学生, 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人,… 6分第4组:206260⨯=人, …7分 第5组:106160⨯=人, …8分CC所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. （3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布，∴∴分布列是∴20. （本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，∴122=-b a ①又椭圆截抛物线的准线1-=x，∴得上交点为)22,1(-，∴121122=+ba ② 由①代入②得01224=--b b ，解得12=b 或212-=b （舍去）， 从而2122=+=b a∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121x y += （Ⅱ）∵倾斜角为45的直线l 过点F ，∴直线l 的方程为)1(45tan -=x y，即1-=x y ，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(201110000x y x y ，解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M ， 又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上.所以抛物线x y 42=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于直线l 对称. 21. （本小题共12分）解：(Ⅰ) ()1xf x e '=-()12f e =-()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为： ()()211y e e x -+=--即()11y e x =--(Ⅱ) 1x a e x <-- 即()a f x < 令()10xf x e '=-=0x =0x >时，()0f x '>，0x <时，()0f x '< ()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,+∞上增又041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到.()11111f e e --=-+=444ln 1ln333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()41441141ln 1ln ln 033333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭()f x ∴在41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1e ，故a 的取值范围是：a <1e .（Ⅲ）由已知得0,x ≥时210xe x tx ---≥恒成立，设()21.xg x e x tx =---()'12.xg x e tx ∴=--由(Ⅱ)知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立， 故()()'212,g x x tx t x ≥-=-从而当120,t -≥即12t ≤时，()()'00g x x ≥≥，()g x ∴为增函数，又()00,g = 于是当0x ≥时，()0,g x ≥即2(),f x tx ≥12t ∴≤时符合题意。

2017—2018学年第二学期普通高中阶段性考试高二理科数学试题（考试时间：2015年7月7日上午8：30—10：30 满分：150分）参考公式和数表：1．独立性检验可信程度表：独立性检验临界值表参考公式：K 2＝))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-2．回归直线的方程是：a bx y+=ˆ，其中xb y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的直角坐标是(1,，则点M 的极坐标为 A ．π(2,)3- B ．π(2,)3 C ．2π(2,)3 D ．π(2,2π+)()3k k ∈Z 2．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)P X ≤≤=0.6826，则=>)4(X PA ．0.1585B ．0.1588C ．0.1587D ．0.15863．已知复数2(1)(1)i z m m =-+-，R m ∈，i 是虚数单位，若z 是纯虚数，则m 的值为A ．1m =±B ．1m =C ．1m =-D ．0m =4．用反证法证明命题：“若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，则,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数5．曲线3y x =在点2x =处的切线方程是A. 12160x y --=B. 12320x y +-=C.40x y -=D.4160x y +-= 6．学校开设美术、舞蹈、计算机三门选修课，现有四名同学参与选课，且每人限选一门课程，那么不同的选课方法的种数是 A ．12 B ．24 C ． 64 D ．817．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b a ∈>R ，且()10,()21E Y D Y ==，则a 与b 的值为 A ．10,3a b == B ．3,10a b == C ．100,60a b ==- D ．60,100a b ==- 8．极坐标方程cos sin 2ρθθ=表示的曲线为A ．一条射线和一个圆B ．一条直线和一个圆C ．两条直线D ．一个圆 9．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 表示“至少一次出现反面”，事件B 表示“恰有一次出现正面”，则)(A B P 值等于 A.2164 B.764C. 17D. 3710．如图是函数()f x 的导函数．．．()f x '的图象．现给出如下结论：①()f x 在(-3,-1)上是增函数； ②4x =是()f x 的极小值点；③()f x 在(-1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数；④1x =-一定是()f x 的零点． 其中正确结论的个数是A. 0B.1C.2D.311．一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒．当无盖方盒的容积V 最大时，x 的值为A.3B. 2C. 1D.1612．已知数集{,,,}A a b c d =，且,,,a b c d 都是实数，数组,,,x y z t 是集合A 中四个元素的某一排列．设2()m x y =-2()y z +-22()()z t t x +-+-的所有值构成集合B ，那么集合B 的元素个数是A ．2B ．3C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上． 13．如图，曲边梯形ABCD 由直线1=x ，e x =，x 轴及曲线3y x=围成，则这个曲边梯形的面积是******. （注：e 为自然对数的底数）14．某田径兴趣小组有6名同学组成．现从这6名同学中选出4人参加4100⨯接力比赛，则同学甲不跑第一棒．．．．．的安排 方法共有******种.15．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的4组对应数据：若通过上表的4组数据，得到y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+，那么表中t 的值应为******.16．已知函数2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++，2342015()12342015x x x x g x x =-+-+--， 设函数()(4)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)a b a b a b ∈<Z 内， 则b a -的最小值为******.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设复数i (0)z a a =+>，i 是虚数单位，且10||=z . （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数i()1im z m ++∈-R 对应的点在第四象限，求实数m 取值范围.18．（本小题满分12分）某校高一年级有200人，其中100人参加数学第二课堂活动. 在期末考试中，分别对参加数学第二课堂活动的同学与未参加数学第二课堂活动的同学的数学成绩进行调查．按照学生数学成绩优秀与非优秀人数统计后，构成如下不完整的2⨯2列联表：已知p 是5(1+2)x 展开式中的第三项系数，q 是5(1+2)x 展开式中的第四项的二项式系数． （Ⅰ）求p 与q 的值；（Ⅱ）请完成上面的2⨯2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩优秀与参加数学第二课堂活动有关”．19．（本小题满分12分）为了检测某种水果的农药残留，要求这种水果在进入市场前必须对每箱水果进行两轮检测，只有两轮检测都合格水果才能上市销售，否则不能销售．已知每箱这种水果第一轮检测不合格的概率为19，第二轮检测不合格的概率为110，每轮检测结果只有“合格”、“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响．（Ⅰ）求每箱水果不能上市销售的概率；（Ⅱ）如果这种水果可以上市销售，则每箱水果可获利20元；如果这种水果不能上市销售，则每箱水果亏损30元（即获利为-30元）．现有这种水果4箱，记这4箱水果获利的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3()2n n n S a n ++=-∈N ． (Ⅰ) 计算1a ，2a ，3a ，4a ；(Ⅱ) 猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明．21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x =+， （Ⅰ）设()()()F x f x g x =-，试判断函数()F x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？ 并证明你的结论；（Ⅱ）若方程1)(+=x m x f 在区间2211[1,1)e e -++上有两不相等的实数根，求m 的取值范围；（Ⅲ）当0x >k 的最大值；22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2(x t t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）判断直线l 与曲线1C 的位置关系；（Ⅱ）已知曲线2C的参数方程为2cos ,(x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），且M ，N 分别为曲线2C 的上下顶点，点P 为曲线1C 上任意一点，试判断22PM PN +是否为定值？并说明理由．2017—2018学年第二学期普通高中阶段性考试高二理科数学试题参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题：13．3 14． 300 15．2.8 16．10 三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵i z a =+，10||=z ，∴101||2=+=a z ，………………………2分92=a ，3±=a ，又∵0>a ， ………………………4分∴3=a ， ………………………5分∴3i z =+． ………………………6分 （Ⅱ）∵3i z =+,则3i z =-， …………………7分∴i (i)(1i)5(1)i3i 1i (1i)(1i)22m m m m z ++++-+=-+=+--+， …………………9分 又∵复数i1im z ++-对应的点在第四象限， ∴50,210,2m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 得5,1,m m >-⎧⎨<⎩ …………………11分∴15<<-m ． …………………12分18. 解：（Ⅰ）∵5(1+2)x 的展开式通项是51551(2)2r r r r r rr T C x C x -+==， ………1分∴展开式的第三项是：2222215240TC x x +==，即第三项系数是40p =． …………3分又∵展开式的第四项的二项式系数为35C ，∴3510q C ==．…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得40p =，10q =，则………8分22200(40901060)50150100100k ⨯-⨯=⨯⨯⨯ =24>6.635, (11)分2( 6.635)0.010P K ≥=,所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩优秀与参加数学第二课堂活动有关. ……12分19、解：（Ⅰ）记“每箱水果不能上市销售”为事件A ，则111()1(1)(1)9105P A =---=， 所以每箱水果不能上市销售的概率为15. …………3分 （Ⅱ）由已知，可知X 的取值为120,70,20,30,80---. …………4分4404141(120)()()55625P X C =-==，33141416(70)()()55625P X C =-==,22241496(20)()()55625P X C =-==，113414256(30)()()55625P X C ===,004414256(80)()()55625P X C ===. (9)分所以X 的分布列为：………………10分11696256256()1207020308040625625625625625E X =-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯=， 所以X 的数学期望为40元. (12)分（注：设4箱水果中可销售水果箱数为Y ，用Y 为0，1，2，3，4，先求出(P Y ），然后算()E X 的酌情给分）. 20. 解：(Ⅰ) 11,=a 23,4=a 35,8=a 49,16=a ………… 4分(Ⅱ) 由此猜想121()2n n na n -++=∈N ． ………… 5分证明：①当1n =时，11a =，结论成立． ………… 6分②假设n k =(1k ≥且k ∈N *)时，结论成立，即1212-+=k k ka ， (7)分那么1n k =+时，1111(1)331222+++++++=-=--+=+-k k k k k k k k k a S S a a a a , 所以1122+=+k k a a , ………… 9分则1111111212212122222222---++++++++====∙k k k k k k k k k a a ， 这表明1n k =+时，结论成立， ………………… 11分由①②知121()2n n na n -++=∈N 成立． …………… 12分21．解：（Ⅰ）x x x F 1)1ln()(-+= , 2111)(xx x F ++='， …………………1分由题设0>x ，所以得0)(>'x F ，故)(x F 在区间(0,)+∞上是增函数． …………………3分（Ⅱ） ∵ 1)(+=x mx f ，∴m x x =++)1ln()1(， 设()(1)ln(1)h x x x =++ 则()ln(1)1h x x '=++， …………………4分x[2111,1)e e -+-+ 11e-+211(1,1)e e-++()h x ' -0 +()h x↘↗∵(0)0h =，2212(1)e e h -+=-，11(1)e eh -+=-， ∴21(1)(0)0e h h -+<=，又21(1)(0)0e h h +>=， …………………6分∴221em e -≤<-， 即212(,]m ee ∈--时，方程1)(+=x m x f 在区间2211[1,1)e e -++有两不相等的实数根．…………………7分（Ⅲ）当0x >时, ,即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立,…………………8分 再设()1ln(1)G x x x =--+，则 …………………9分 故()G x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln30,(3)22ln 20G G G =-<=-<=->， 故()0G x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3)a ∈，即x a =是方程1ln(1)0x x --+=在(0,)+∞上有唯一解． …………………10分 故当(0,)x a ∈时，()0G x <，()0x ϕ'<；当(,)x a ∈+∞时()0G x >，()0x ϕ'>，3k ∴≤，故max 3k =． …………………12分22．解法一：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为1,2,x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线l的直角坐标方程为20x y -+=， ……………… 1分 又∵曲线1C 的极坐标方程为2ρ=，∴曲线1C 的直角坐标方程为224x y +=，圆心为1(0,0)C ，2r =，…………… 3分∴圆心1C 到直线l的距离为2d r ===， …………… 4分 ∴直线l 与圆1C 相切． ……………… 5分（Ⅱ）∵曲线2C的参数方程为2cos ,(x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线2C 的普通方程为22143x y +=， ……………………6分又∵,M N 分别为曲线2C 的上下顶点，∴(0,M N ，……………7分 由曲线1C ：224x y +=，可得其参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩所以P 点坐标为(2cos ,2sin )αα，因此222222(2cos )(2sin (2cos )(2sin PM +PNαααα=+++7714αα=-++=为定值．………………10分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵曲线2C的参数方程为2cos ,(x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线2C 的普通方程为22143x y +=， ……………………6分又∵,M N 分别为曲线2C 的上下顶点，∴(0,M N ， ……………7分 设P 点坐标为(,)x y ，则224x y +=，因此222222((PM +PNx y x y =+-+++7714=-++=为定值． ………………10分。

2017-2018学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题答案与评分标准一、选择题：（每小题5分满分60分）ADDBB BDCAC CB;11.C;解析：∵ ∴，设过(0，0)点与 相切的切点为 ，∴解得 且 ，即过点 ， 与 相切的切线方程为当直线 与直线平行时，;当 时，当 时， ;当 时，∴ 和y=的图象在 ， ， ， 各有1个交点；直线 在y= 与y= 之间时，与函数 图象有两个交点，∴故选C. 二、填空题（每小题5分满分20分）：13. 0.5；14. -10；15.1440；16.①②④16. 答：①②④；解：因为函数 ，所以，因为导函数 在 上单调递增.又，1(0)103f '=->，所以()0f x '=在 上有唯一的实根,设为0x ，且0(1,0)x ∈-，故②正确；同时 在 有极小值也为最小值 ，故①正确；由 得，即 ，故.因为 ， ，由双勾函数性质知值域为，，所以. 故④正确同时判断③错误. 故填写：①②④ 三、解答题：（本大题共6个小题，满分80分） 17. （10分）解：(1)当n ＝1时，，………………………1分当n ＝2时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝4. ………………………2分 当n ＝3时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝8. ………………………3分 当n ＝4时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝16. ……………………4分 由此猜想： ． ………………………5分 (2)证明：①当 ＝ 时， ＝2，猜想成立． ………………………6分②假设 ＝ 且 时，猜想成立，即 ， ……………………7分 那么n ＝k ＋1时， ……………………8分 ∴ ， 这表明n ＝k ＋1时，猜想成立，……………………9分由①②知猜想 成立．………………………10分18. （12分）解:(Ⅰ)由点斜式方程得直线l 的方程为， ……1分将cos ,sin x y ρθρθ==代人以上方程中，所以,直线l 的极坐标方程为. ………………3分同理,圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. …………6分 (Ⅱ)在极坐标系中,由已知可设，，.联立……………………7分可得 ，所以233ρρ+=+ ………………………8分 因为点M 恰好为AB 的中点,所以 ,即 ，. ……………9分把，代入得………11分所以. …………………………………12分19.（12分）解：（Ⅰ）…………………………………………2分 根据列联表中数据，计算随机变量的观测值，………… 4分又∵ 且 …………………………5分 答：有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关． ……………………………6分 （Ⅱ）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆数为 ，根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆的频率为，利用频率估计它的概率为． …………… 8分 由已知可知X 服从二项分布，即 ，， ………………………………9分所以驾驶员为男性且超过100km/h 的车辆数 的均值(辆). ………11分答：在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h . ……12分 20.（12分）解：（Ⅰ）因为14=x 时，， 代入关系式，得， 解得 . ……………………………………4分 （Ⅱ）由（1）可知，套题每日的销售量， …………5分所以每日销售套题所获得的利润定义域 ， ……………………………………6分从而 . （7分） 令 ，∵ ,得（8分）且当 ， 时, ， 当， 时， ，函数 在 ，上单调递增；在， 上单调递减， ……………………9分 所以是函数 在()16,12内的极大值点，也是最大值点， ………………10分所以当时，函数 取得最大值. …………………………11分答：当销售价格为3.13元/盒时，餐厅每日销售所获得的利润最大. ……………………12分 21.（12分）解：（Ⅰ）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：种……………………………………2分 选出的4名大学生仅有1名女生的选法有：第一类：从智慧队中选取1名女生的选法有:种……………3分第二类：从理想队中选取1名女生的选法有:…4分或者用排除法种所以选取4名女大学生仅有1名女生的概率为；………………………………5分（Ⅱ）随机变量 的可能取值为0，1，2，3 …………………………………………6分则………………………………………………………………7分………………………………………………………………8分………………………………………………………………9分21y =……………………………………………………………………………10分女生人数为数学期望…………………12分22.（12分）解：（Ⅰ）∵，∴，…（1分）当时，∵，∴．∴在上是递增函数，即的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．…………………………………3分当时，，令，得．∴当，时，；当时，；．∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．……………………5分综上，当a≤0时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．………………6分（Ⅱ）当﹣时，，（＞）正实数，满足，⇒⇒………………………………7分令函数﹣，（），则﹣……………………………………9分，时，，为递减；，∞时，，为递增；即当t=1时有极小值也是最小值；∴（）（）∴．…………………………10分则，或（舍去）, ………………………………………………11分∴………………………………………………12分。