三角形的证明及旋转专题.docx

板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题基本知识把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．知识点睛中考要求全等三角形与旋转问题【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )．【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心( )．A ．顺时针旋转60°得到B ．顺时针旋转120°得到C ．逆时针旋转60°得到D ．逆时针旋转120°得到G FE D C BA重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。

同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。

为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点例题精讲【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交CE于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对KGFEDC BA【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．M D NEC BFA【例5】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．NMEDCBA【补充】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFA【补充】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；⑶CF 平分AFB ∠．M D NEC BFA【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．G FE DCBA【例7】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．M DNECBA【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )PMBC DEAA ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形【例8】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例9】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例10】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例11】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例12】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．CHF ED BA【例13】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而变化M N CBA【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ． ⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BA【例14】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE【例15】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D为顶点作一个60︒的MDN∠，点M、N分别在AB、AC上，求AMN∆的周长．NMD CBA【例16】在等边ABC∆的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC∆外一点，且60MDN∠=︒，120BDC∠=︒，BD CD=，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及AMN∆的周长与等边ABC∆的周长L的关系．⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时QL=__________⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DNDM≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF＝BE+FD;FEDCBA(2)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCBA【例17】平面上三个正三角形ACF，ABD，BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分．FE DC B【例18】 已知：如图，ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：HBD∆也是等边三角形．EKHCDBA【例19】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =GHFMEDBA【补充】以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．OGFEDCA【例20】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=︒，AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积．EDCBA【例21】 (希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．EDCBA【习题1】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD +相等的理由．家庭作业EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】 (2008山东)在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．ABCDE【习题4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．APMCQ B【备选2】 如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．月测备选DFEC AB。

已知，如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，BD=BC ，△ABD ≌△E BC 吗？为什么？如图，已知ΔABC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，B F=AC ， ∠CAG=∠F ，请你判断AG 与AF 是否相等，说明理由。

如图，∠A ＝∠B ，∠1＝∠2，EA ＝EB ，你能证明AC ＝BD 吗？∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，D 、A 、E 在一条直线上．求证：AD ＝AE ，∠D ＝∠E ．已知：∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ．求证：AD ＝AE ，∠D ＝∠E ．ABCDE1 2两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90∘，B，C，E在同一条直线上，连接DC.(1)请找出图2中与△ABE全等的三角形,并给予证明(2)证明：DC⊥BE.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,点D. F分别在AB、AC上,CF=CB,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90∘后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数。

如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F. 求证：PM=QM.如图,已知长方形ABCD,过点C引∠A的平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连接MB，MD. (1)求证：BE=DC；(2)求证：∠MBE=∠MDC如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（）①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（）如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做▱CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；（2）求证：△BCG≌△DCE．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE 于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB=FC．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE，AF．求证：BE=AF．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）∠1=∠2；（4）BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题．（要求写出已知，求证及证明过程）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE 的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．（1）求证：DF=BF，（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD 间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BC已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．。

三角形的证明及旋转专题一、选填：1．△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A．4B．4或5C．5或6D．62．（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，△BAC=54°，点D为AB中点，且OD△AB，△BAC 的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将△C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C 与点O恰好重合，则△OEC为度．3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．4．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．5．如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标．6．关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是．7．如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．二、解答题：8．如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．（1）求证：①△BCG△△DCE；②BH△DE．（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．类比变换：9.（大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF 的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC△KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．如图1，△ABC与△DEF中，AB=AC，D为BC的中点，△EDF+△BAC=180°，直线DF、DE 分别交直线AB、AC于点P、Q．（1）如图2，△BAC=60°，猜想BP+QC与BC的关系，并说明理由；（2）当△BAC=120°，BP+QC与BC的关系为；10．（仙桃）两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③．探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I=CI．旋转：11.在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF 是正方形，求阴影部分的面积．小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：．活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，△BAD=△C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE△BC，垂足为点E，求AE的长．小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：．AE的长是．活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB△AD，CD△AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．12.（宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且△GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD△BC（BC＞AD），△B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且△DCE=45°，BE=4，求DE的长．13．（高淳县）如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．（1）求证：△OC1M△△OA1E；（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；（3）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．14．（江西模拟）课题学习问题背景甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABCD 中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形任务要求：（1）请你在图1中画出旋转后的图形甲、乙、丙三名同学又继续探索：在正方形ABCD中，△EAF=45°，点F为BC上一点，点E为DC上一点，△EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N．连接EF甲发现：线段BF，EF，DE之间存在着关系式EF=BF+DE；乙发现：△CEF的周长是一个恒定不变的值；丙发现：线段BN，MN，DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2（2）现请也参与三位同学的研究工作中来，你认为三名同学中哪个的发现是正确的，并说明你的理由．15．（高港区）如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB=12，AE=．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE=DG；（2）在旋转的过程中，当△BEA=120°时，试求BE的长；（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转15°，请直接写出DQ的长；（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF=BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）16.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF△BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．函数关系类：17.如图1，已知△ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B 不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=BA时，△EBF=°，猜想△QFC=°；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想△QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．动点中的等腰三角形：18.如图（1），Rt△AOB中，，△AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON 以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．。

旋转证明1.三角形与旋转例1.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，有∠AOB ＝0150，∠BOC=0120.问：AO 、BO 、CO 三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能，请说明理由。

(变式).已知：△ABC 是等腰三角形，∠APB=∠APC.求证:PB=PC例2. .如图○1,△ABC 是等边三角形,四边形BDEF 是菱形,其中DF=DB,连结AF,CD.（1）观察图形○1,猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.（2）将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转,使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部,在图○2中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;（3）在上述旋转过程中,AF 与CD 之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.1.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO 且AO=2,BO=1,CO=3,求∠AOB ，∠BOC 的度数分别是多少？2.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以BP •为边作∠PBQ ＝60°，且BQ ＝BP ， 连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC ＝3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．3.如图，点D 为等边△ABC 外一点，030=∠ADC ,AD=4,CD=3，求BD 的长。

ABCDACB DFE ○1 ACB ○2BAODCE图2 CBO D 图1AE4.如图，△ABC 、△DEC 均为等边三角形，点M 为线段AD 的中点，点N 为线段BE 的中点， 求证：△CNM 为等边三角形。

旋转的证明与计算模块一：旋转应用之等边旋转类型二：正方形中的旋转 例题1.正方形ABCD 内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于考点：旋转的性质；正方形的性质分析：把△PAB 绕A 点逆时针旋转90°得△EAD ，把△CPB 绕C 点顺时针旋转90°得△CFD ，连PE ，PF ，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E ，D ，F 共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE ，△CPF 均为等腰直角三角形，所以211121=⨯⨯=∆APE S ；293321=⨯⨯=∆CPF S ，再在△PEF 中，PE=2，PF=23，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF 为直角三角形，∠PEF=90°，则22422121=⨯⨯=⨯⨯=∆EF EP S PEF 最后利用S 正方形A B C D =S 五边形A P C F E =S △P E F +S △A P E +S △C P F ，即可得到答案．跟踪训练：2，PC=4，则∠APC的大小是多1、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=3少度？考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°，2AP′=AP=2，P′C=PB=3，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得APC=∠APP′+∠P′PC．2、把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．（1）当0°＜α＜60°时，求AM•CN的值；（2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域；（3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等边三角形的性质；旋转的性质分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=∠EDF=60°，则∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，可得∠AMD=∠NDC ，根据相似三角形的判定定理得到△AMD ∽△CDN ，有相似的性质得到AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，然后把DC=AD=2代入计算即可；（2）分别过D 点作DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，连DB ，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，而DA=DC=2，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AP=CQ=1，DP=DQ=3，由AM=x ，得CN=x 4，MB=4-x ，BN=x44 ，两块三角形板重叠部分为四边形DMBN ，则y=S △D B M +S △D B N ，然后根据三角形的面积公式计算即可，易得到当0°＜α＜60°时，x 的取值范围为1＜x ＜4；（3）当M 在线段AB 上，BM=2时，x=4-2=2，把x=2代入（2）的关系式中计算即可．当M 点在线段AB 的延长线上，过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，BP=21DH=1，由△AMD ∽△CDN ，则AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，可计算出CN ，然后根据三角形的面积公式可计算出S △D P N ，即两块三角形板重叠部分的面积．3、如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点．（1）请你借助旋转知识说明AM≤BM+CM；（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由．考点：旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的性质．分析：（1）应把AM和BM所在的三角形旋转，与AM组成三角形，将△BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BM′A，易得△BMM′为正三角形，根据三角形三边关系即可证明．（2）由（1）得线段AM存在最大值，M′在AM上时4、如图，P是正△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，将线段PA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP1，连结P1C．（1）判断△APB与△AP1C是否全等，请说明理由；（2）求∠APB的度数；（3）求△APB 与△APC的面积之和；（4）直接写出△BPC的面积，不需要说理．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．分析：（1）根据正三角形的性质求出AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质可得AP1=AP，然后求出∠CAP1=∠BAP，再利用“边角边”证明△APB与△AP1C全等即可；（2）连结PP1，求出△PAP1是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PP1=AP=3，∠AP1P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP1P=90°，然后计算即可得解；（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP1的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解；（4）同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积=△ABC的面积-△APB与△APC的面积的和计算即可得解．参考答案：1、解：四边形ABCD为正方形，PA=1，PB=2，PC=3，把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD，把△CPB绕C点顺时针旋转90°得△CFD，连PE，PF，如图，∴∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°，而∠ADC=90°，∴∠EDF=180°，即E，D，F共线；由旋转的性质得到△APE，△CPF均为等腰直角三角形，并且ED=PB=2，DF=PB=2，2、3、解答：（1）∵△ABC和△DEF都是边长为4的等边三角形，∴∠A=∠C=∠EDF=60°，∴∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，∴∠AMD=∠NDC，∴△AMD∽△CDN，∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，而D点为AC的中点，∴DC=AD=2，∴AM•CN=4；（2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，如图∵∠A=∠C=60°，DA=DC=2，∴AP=CQ=1，∴DP=DQ=3，∵BD为等边三角形的高，∴点D到EF的距离为DB，∴两块三角形板重叠部分为四边形DMBN，在图（1）中，AM=1，∴当0°＜α＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；（3）当M 在线段AB 上，BM=2时，x=4-2=2，当M 点在线段AB 的延长线上，如图（备用图），过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，∴DH=21BC=2，BH=2， ∵BM=2，∴BP=21DH=1，与①一样可证得△AMD ∽△CDN ， ∴AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，4、解答：（1）将△BMC 绕B 点逆时针方向旋转，使C 点与A 点重合，得△BM ′A ， ∵∠MBM ′=60°，BM=BM ′，AM ′=MC ．∴△BMM ′为正三角形．∴MM ′=BM ．①若M ′在AM 上，则AM=AM ′+MM ′=BM+MC ，②若M ′不在AM 上，连接AM ′、MM ′，在△AMM ′中，根据三角形三边关系可知：AM ＜AM ′+MM ′，∴AM ＜BM+MC ，综上所述：AM ≤BM+CM ；（2）线段AM 有最大值．当且仅当M ′在AM 上时，AM=BM+MC ；存在的条件是：∠BMC=120°．5、解答：解：（1）∵△ABC 是正三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60°，∵线段AP 以点A 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP 1，∴AP=AP 1，∠PAP 1=60°，∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，∠CAP 1+∠PAC=∠PAP 1=60°，∴∠BAP=∠CAP 1，∵在△APB 与△AP 1C 中，∴△APB≌△AP1C（SAS）；（2）连结PP1，∴AP=AP1，∠PAP1=60°，∴△PAP1是等边三角形，∴PP1=AP=3，∠AP1P=60°，∵△APB≌△AP1C，∴CP1=BP=4，∵CP=5，∴PP12+CP12=CP2，∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P=90°，∴∠APB=∠AP1P+∠CP1P=60°+90°=150°；。

一•旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点0沿某个方向转动一个角度，就叫做图形的旋转，定点0称为旋转中心，转动的角称为旋转角；二•旋转的性质（1 ）旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等.（2）对应点到旋转中心的距离相等.（3 ）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.三.旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360 ° ）四•旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0 °，小于360 ° ）五.典型模型1、等线段共点等边三角形共顶点2、绕点型(手拉手模型)(1 )自旋转: 自旋转构造放方法：①遇60°旋60 °,构造等边三角形；②遇90°旋90 °，构造等腰直角三角形;③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等；④遇中点180。

，构造中心对称。

共顶点等腰直角三角形4(2)共旋转模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

3•中点旋转（拓展）说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶 点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

证明方法是倍长所要 证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三 角形从而得证。

4、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角, 分之一的角拼接在一起，成对称全等。

专题:具有旋转位置关系的全等三角形的证明班级：姓名：授课教师：郎红霞课型：复习课课时：1【学习目标】1.会从旋转变换的角度,认识两个可能全等的三角形;2.能熟练使用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等;3.经历探索的过程，从中体会旋转变换与三角形全等的关系，培养学生的探究能力和合作精神.一.知识回顾1.前面我们学过哪些全等三角形的判定方法？你能用语言叙述出来吗？如图，已知∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF.（1）若以“SAS”为依据，还需添加一个条件为；（2）若以“ASA”为依据，还需添加一个条件为；（3）若以“AAS”为依据，还需添加一个条件为；二.探索发现观察下面的图形：问题1这些图形有哪些共同点？他们是通过怎样的变换得到？问题2这些图形中通过变换后的两个三角形之间具有怎样的关系？总结：三.典例分析1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE问题1观察图形，△ABC和△ADE具有怎样的位置关系？通过怎样变换得到？问题2要证明△ABC和△ADE全等，题目中已知和未知条件是什么？采取哪种判定方法？变式如图，已知AC=AE,∠1=∠2＝∠3，求证：DE=BC2.已知，∠ABC=∠DBE=90°，DB=EB，AB=CB,D点在三角形的内部，求证：AD=CE,AD⊥CE问题1观察图形中哪两个三角形具有特殊的位置关系？问题2要证明AD=CE,AD⊥CE，需要先证什么？总结：具有旋转位置关系的全等三角形的证明，我们该怎样做？四.类题演练1.如图，AB∥CD,E是CD上的一点，BE交AD于点F,EF=BF.求证AF=DF2.如图,在△ABC中，分别以AC,BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,求∠AOB= 度3.如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE=90°,AB＝CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于M，AE与BC交于点N.求证：AE=CD ，AE⊥CD。

专题03 三角形中的旋转综合问题1、如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA＝OB．（1）求证：PA＝PB；（2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求线段OA的长．（3）如图③，若∠MON＝60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG＝PH？（1）证明：如图①中，连接OP．∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），∴PA＝PB．（2）如图②中，∵∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB+∠APB＝180°，∵∠CPD+∠AOB＝180°，∴∠CPD＝∠APB，∴∠APC＝∠BPD，∵PA＝PB，∠PAC＝∠PBD＝90°，∴△PAC≌△PBD（ASA），∴AC＝BD，∴OC+OD＝OA+AC+OB﹣BD＝2OA＝13，∴OA＝6.5．（3）设点P的旋转时间为t秒．①当0＜t＜12时，不存在．②当12≤t＜21时，如图3﹣1中，∠APG＝（10t﹣120）°，∠BPH＝2t°，当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时10t﹣120＝2t，t＝15．③当21≤t＜30时，如图3﹣2中，∠APG＝180°﹣∠APA′＝180°﹣（10t﹣120）°＝（300﹣10t）°，∠BPH ＝2t，当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时300﹣10t＝2t，t＝25．④当30≤t＜39时，如图3﹣3中，∠APG＝（10t﹣300）°，∠BPH＝2t，当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时10t﹣300＝2t，t＝37.5，综上所述，满足条件的t的值为15s或25s或37.5s．2、（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，连接AC交BD的延长线于点M．请求出的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．解：（1）问题发现①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝50°，∴∠COA＝∠DOB，∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB＝50°，∴∠OAB+∠ABO＝130°，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣130°＝50°，故答案为：①1；②50°；（2）类比探究如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是：Rt△COD中，∠DOC＝90°，CD＝2DO，∴∠DCO＝30°，∴＝tan30°＝，同理得：＝tan30°＝，∴，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴，∠CAO＝∠DBO，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；（3）拓展延伸①点C与点M重合时，如图1，同（2）得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x﹣2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴，整理得：x2﹣x﹣6＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2，∴AC＝3；②点C与点M重合时，如图2，同理得：∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴+（x+2）2＝，整理得x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴AC＝2；综上所述，AC的长为3或2．3、已知在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c满足＝0．（1）求△ABC的面积；（2）将线段BC向右平移至AD（点B对应点A，点C对应点D）．①当点M为x轴上任意点（不与原点重合），ME、CF分别平分∠CMO与∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF＝β，试用含α的代数式表示β；②点P为线段CD上一点（不与点C、D重合），P的横坐标为t，连接BP、AC，BP交y轴于点E，交AC于点Q，若△CQE与△PQA的面积分别为S1，S2，试用含t的代数式表示S2﹣S1．解：（1）如图1中，∵＝0，又∵≥0，|b+2|≥0，（c﹣4）2≥0，∴a＝5，b＝﹣2，c＝4，∴A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝5，OB＝2，OC＝4，∴AB＝OB+OA＝2+5＝7，∴S△ABC＝•AB•OC＝×7×4＝14．（2）①如图2﹣1中，当点E在射线OB上时，α+β＝90°理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，∵∠DCF＝∠DCM＝β，∠AME＝∠AMC＝α，∴α+β＝90°．当点M在线段AB上时，如图2﹣2中，α+β＝180°．理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，∠DCM＝∠CMB，∵∠DCM＝2∠DCF＝2β，∠FCM＝∠DCM，∠EMC＝∠CMB，∴∠FCM＝∠EMC＝β，∴∠AMC＝180°﹣2β，∵∠AME＝∠AMC+∠EMC，∴α＝β+180°﹣2β，∴α+β＝180°．当点M在线段OA的延长线上时，如图2﹣3中，α＝β．理由：：∵CD∥AM，∴∠DCM＝∠CMB，∵∠DCF＝∠DCM，∠AME＝∠CMB，∴∠DCF＝∠AME，∴α＝β．②如图3中，设E（0，m）．由题意：P（t，4），A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴S△BCP＝S△BCE+S△ECP，∴×t×4＝×（4﹣m）×2+×（4﹣m）×t，∴m＝，∴S2﹣S1＝S△PCA﹣S△PCE′＝×t×4﹣×t×（4﹣）＝．4、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．①求DE的长；②证明：BF⊥CE．（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围．解：（Ⅰ）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝45°．∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．如图①中，过点D作DG⊥OA，垂足为G．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∴，，∴，∴点D的坐标为．（Ⅱ）①如图②中，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，∴在Rt△DAE中，，②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°，∴∠BAC＝90°，∵△ABD旋转得到△ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△BFC中，则有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°，∴BF⊥CE．（Ⅲ）如图③中，∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1，∴OP＝BD1，PN＝E1C，OP∥BD1，PN∥CE1∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C，∴OP⊥PN，OP＝PN，∴△OPN是等腰直角三角形，∵AB＝4，AD1＝2，∴4﹣2≤BD1≤4+2，∴2﹣1≤OP≤2+1，∴△OPN面积的最小值＝（2﹣1）2＝﹣2，△OPN的面积的最大值＝+2，∴．5、问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．6、已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．（1）如图，旋转中心是，∠DAE＝°；（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了度；（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，∴旋转中心是点A，∠DAE＝∠BAC＝60°；（2）∵AB和AC为对应边，∴经过上述旋转后，点M转到了AC的中点位置，如图，∴∠MAM′＝60°，∴点M转动了60°；（3）∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，∴△ABD≌△ACE，∵BD＝BC，或BD＝BC，∴CD＝2BD，或CD＝BD，∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或S△ABC＝S△ABD＝3×＝，∴S四边形ADCE＝S△ABC＝9或．故答案为点A，60；60；9或．7、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2+5＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．8、如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是．（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，∴∠BEH+∠EBH＝90°，∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，故答案为AE＝BD，AE⊥BD．（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠OBH＝90°，∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，∴EH＝DH，CH＝DE＝5，在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，∴AH＝＝12，∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，综上所述，满足条件的AD的值为17或7．9、如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α＝0°时，＝；β＝°．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．解：（1）如图1中，∵∠B＝90°，BA＝BC，∴∠A＝45°，AC＝AB，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴BD＝AB，EC＝AC，∴＝，β＝45°，故答案为，45°．（2）结论：和β的大小无变化．理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．∵AE＝AD，AC＝AB，∴＝＝，∴＝，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，∵∠BOK＝∠COA，∠BKO＝∠CAO＝45°，∴和β的大小无变化．（3）当点E在线段AB上时，S△BCE＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，当点E在线段BA的延长线上时，S△BCE＝×4×（4+2）＝8+4．综上所述，△BCE的面积为8﹣4或8+4．10、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：①当∠CAE＝90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．（1）解：如图甲：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正确．②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∴∠ACE+∠AFB＝90°．∵∠DFC＝∠AFB，∴∠ACE+∠DFC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴BD⊥CE，∴②正确．③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．④∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．故答案为①②③．（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴＝，∴＝，∴PB＝．b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴＝，∴＝，∴PB＝．综上，PB＝或．②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝2，∴PB＝BD+PD＝3+3．综上所述，PB长的最大值是3+3．b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．综上所述，PB长的最小值是3﹣3．11、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．解：（1）如图1中，连接EC，BD．结论：BD＝CE．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE．（2）如图2中，由题意：∠CAE＝45°，∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AE∥BC．∴△CBE的面积与△ABC的面积相等．∵△ABC的面积为4.5，∴△CBE的面积4.5．（3）如图3中，延长AM到N，使得MN＝AM，连接CN，DM．∵AM＝MN，CM＝MD，∴四边形ADNC是平行四边形，∴AD＝CN＝1，∵AC＝3，∴3﹣1≤AN≤3+1，∴2≤2AM≤4，∴1≤AM≤2，∴AM的最小值为1．故答案为1．12、综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）解：（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．（3）如图③中，作CH⊥AD于H．∵∴AC＝CD＝AB＝2，∵B，A，E共线，∴∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝120°，∵∠EDC＝60°，∴∠EAC+∠EDC＝180°，∴A，E，D，C四点共圆，∴∠CAD＝∠CED＝30°，∠BAD＝90°，∵CA＝CD，CH⊥AD，∴AH＝DH＝AC•cos30°＝，∴AD＝2，∴BD＝＝＝2．（4）如图①中，设DE交BC于T．因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2，由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直角三角形，∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．。

1、绕点型（手拉手模型）00?，造等边三角形60遇60旋?00遇90旋90，造等腰直角?自旋转构造方法）自旋转：1（?全等遇等腰旋顶角，造旋转??0遇中点旋180，造中心对称?（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBCD（2） AE=DCE。

的夹角为60 AE与（3DC）H DFB ≌△△AGB（4）F CFB EGB≌△）（5 △G AHCBH平分∠（6）CA AC7） GF∥（B，证明：AE1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接与CD变式练习D DBC 1）ABE≌△△（AE=DC（2）C。

与3（） AEDC的夹角为60E AHC平分∠的交点设为与 4（）AEDCH,BHBACD，证明：，连接AE与和△变式练习2、如果两个等边三角形△ABDBCE D DBC ABE≌△(1)△(2)AE=DC与DC的夹角为(3)AEAHC。

60平分∠DC的交点设为H,BH（4）AE与AEC分．，BM和△CBN，连接AN的同侧作等边△C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在ABACM）（1如图1，点的形状，并说明理由．．观察并猜想△CEF，CF，EFE别取BM，AN的中点，F，连接CE和△的同侧作等腰△ACM，BC为腰在AB为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC1（2）若将（）中的“以AC，BC 1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．如图2，其他条件不变，那么（CBN，”例4、例题讲解：A,D,E,F按为边作菱形ADEF(重合），以AD不与为等边三角形，△ABC点D为直线BC上的一动点（点DB,C已知1.CF.,连接逆时针排列），使∠DAF=60°BD=CF ? 上时，求证：①②AC=CF+CD.(1) 如图1，当点D在边BC(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。

专题3.1 旋转重难点模型（5大类型）【题型1 手拉手模型】【题型2 “半角”模型】【题型3 构造旋转模型解题】【题型4 奔驰模型】【题型5 费马点模型】模型一：“手拉手”模型模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。

模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。

如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC模型二：“半角”模型模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼出特殊角”模型说明：（1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG 可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF（2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN²（3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA 的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。

模型三：构造旋转模型解题方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形.常见图形旋转：方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．模型四：奔驰模型模型五：费马点模型【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，△PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′．△点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长△当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′【典例1】（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD．（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．【变式11】（2022秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF．（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由．（2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．【变式12】（2022九上·吉林期末）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=√2，此时AD=BE，AD⊥BE成立．（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90°时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度．【典例2】（秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点．（1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度；（3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明．【变式21】（春•金牛区校级期中）类比探究：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【变式22】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？【变式23】（2022秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．易证得EF＝BE+FD．大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三点共线，∠HAE＝∠EAF＝45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．任务：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【典例3】（九上·江津期中）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= √3，PC=1、求△BPC 度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以△AP′B=150°，而△BPC=△AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为√7，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= √5，BP= √2，PC=1．求△BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【变式31】（九上·南昌月考）如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=√3，PC=1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．【变式32】（九上·德州期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，△APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是．（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，△APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系．（3）如图3，在四边形ABCD中，AD△BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，△CPD ＝90°，△APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．【典例4】（2023•崂山区模拟）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且P A＝，PB＝1，PD＝，则∠APB的度数等于，正方形的边长为；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A＝2，PB＝1，PF＝，则∠APB的度数等于，正六边形的边．【变式41】（2023春•广东期中）18．如图，P是正三角形ABC内的一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10．若将△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB．（1）∠MAP＝°，连接PM，则PM＝；（2）求∠APB的度数．【变式42】（2023春•古田县期中）阅读材料，解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为5，12，13，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题，已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2．【变式44】（2022春•侯马市期末）如图①，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，∠ABC＝∠ADE＝45°．（1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若∠BAD＝30°，求∠BAE的度数；（2）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转过程中，当旋转角度α＝时，直线AC与DE垂直（0°＜α≤360°）；（3）如图③，△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，且AD＝4，AB＝10，求BD的最大值和最小值．【典例5】（秋•邗江区期末）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，此时，P A+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF ＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求P A+PB+PC的值．【变式51】（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．【变式52】（2022•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝4，则△P AC的面积为．。

专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算【经典母题】已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．图Z15－1 经典母题答图解：(1)如答图所示；(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．【中考变形】1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数是 ( D )图Z15－2A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝( B )A．1∶ 2 B．1∶2C.3∶2 D．1∶ 3图Z15－3 中考变形2答图【解析】如答图，连结AP，PP′，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP ＝∠CBP′.在△ABP 和△CBP′中，⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP′，∠ABP ＝∠CBP′，AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP ′(SAS)，∴AP ＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP ＝3P′A.∵△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P ＝45°，PP ′＝2PB.∵∠AP ′B ＝135°，∴∠AP ′P ＝135°－45°＝90°，∴△APP ′是直角三角形．设P′A＝x ，则AP ＝3x ，根据勾股定理，得PP′＝AP 2－P′A 2＝（3x ）2－x 2＝22x ，∴P ′B ＝PB ＝2x ，∴P ′A ∶PB ＝x∶2x＝1∶2.3．[2019·徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连结DC ，DB. (1)线段DC ＝__4__； (2)求线段DB 的长度．图Z15－4中考变形3答图解：(1)∵AC＝AD ，∠CAD ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴DC ＝AC ＝4； (2)如答图，作DE⊥BC 于点E. ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD ＝60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE ＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，在Rt △CDE 中，DE ＝12DC ＝2，CE ＝DC·cos30°＝4×32 ＝23，∴BE ＝BC －CE ＝33－23＝ 3.在Rt △BDE 中，BD ＝DE 2＋BE 2＝22＋（3）2＝7.4．如图Z15－5①，在△ABC 中，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝BE ，D 是AE 上的一点，且DE ＝CE ，连结BD ，CD. (1)判断BD 与AC 的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图②，若将△DCE 绕点E 旋转一定的角度后，BD 与AC 的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD 与AC 夹角的度数．图Z15－5解：(1)BD 与AC 的位置关系是BD⊥AC，数量关系是BD ＝如答图①，延长BD 交AC 于点F. ∵AE ⊥BC 于点E ， ∴∠BED ＝∠AEC＝90°. ∵AE ＝BE ，DE ＝CE ， ∴△DBE ≌△CAE(SAS)，∴BD ＝AC ，∠DBE ＝∠CAE，∠BDE ＝∠ACE.∵∠BDE ＝∠ADF，∴∠ADF ＝∠ACE.∵∠ACE ＋∠CAE＝90°，∴∠ADF ＋∠CAE＝90°，∴BD ⊥AC ； (2)否．证明：如答图②，AC 与BD 交于点F ， ∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED， 即∠BED＝∠AEC. ∵AE＝BE ，DE ＝CE ， ∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC ，∠BDE＝∠ACE，∠DBE＝∠CAE.∵∠BFC＝∠ACD＋∠CDE＋∠BDE＝∠ACD＋∠CDE＋∠ACE＝90°，∴BD⊥AC； (3)如答图③，AC 与BD 交于点F. ∵△ABE 和△DEC 是等边三角形，∴AE＝BE ，DE ＝EC ，∠EDC＝∠DCE＝60°， ∠BE A ＝∠DEC＝60°，∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝AE ，∠BED＝∠AEC，DE ＝CE ，∴△BED≌△AEC(SAS)，∴∠BDE＝∠ACE， 中考变形4答图②中考变形4答图③∴∠DFC＝180°－(∠BDE＋∠EDC＋∠DCF)＝60°，∴BD与AC的夹角度数为60°或120°.5．阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图②，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连结PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图①中∠APB＝__150°__；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝22，PB＝1，PD＝17，求∠APB的度数和正方形的边长．图Z15－6解：(1)如答图①，把△APB绕点A逆时针旋转60°得△AP′C，由旋转的性质，得P′A＝PA＝3，P′C＝PB＝4，∠PAP′＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，∴∠APB＝∠AP′C＝150°；(2)如答图②，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP′D，由旋转的性质，得P′A＝PA＝22，P′D＝PB＝1，∠PAP′＝90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′＝2PA＝2×22＝4，∠AP′P＝45°，∵PP′2＋P′D2＝42＋12＝17，PD2＝(17)2＝17，∴PP′2＋P′D2＝PD2，∴∠PP′D＝90°，中考变形5答图①中考变形5答图②∴∠AP ′D ＝∠AP′P＋∠PP′D＝45°＋90°＝135°， ∴∠APB ＝∠AP′D＝135°.∵∠APB ＋∠APP′＝135°＋45°＝180°， ∴P ′，P ，B 三点共线．过点A 作AE⊥PP′于点E ，则AE ＝PE ＝12PP ′＝2，∴BE ＝PE ＋PB ＝2＋1＝3，在Rt△ABE 中，AB ＝AE 2＋BE 2＝22＋32＝13. 【中考预测】(1)如图Z15－7①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高线AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；(2)如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置，连结NH ，试判断MN 2，ND 2，DH 2之间的数量关系，并说明理由；(3)在图①中，若EG ＝4，GF ＝6，求正方形ABCD 的边长．图Z15－7解：(1)在正方形ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°， ∵AG ⊥EF ，∴△ABE 和△A GE 是直角三角形． 在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AG ，AE ＝AE ， ∴△ABE ≌△AGE(HL)，∴∠BAE ＝∠GAE. 同理，∠GAF ＝∠DAF.∴∠EAF ＝∠EAG＋∠FAG＝12∠BAD ＝45°；(2)MN 2＝ND 2＋DH 2.由旋转可知，∠BAM ＝∠DAH， ∵∠BAM ＋∠DAN＝45°， ∴∠HAN ＝∠DAH＋∠DAN＝45°. ∴∠HAN ＝∠MAN.在△AMN 与△AHN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AH ，∠MAN ＝∠HAN，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AHN(SAS)，∴MN ＝HN.∵∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，∴∠B ＝∠ADB＝45°， ∴∠HDN ＝∠HDA＋∠ADB＝90°， ∴NH 2＝ND 2＋DH 2，∴MN 2＝ND 2＋DH 2； (3)由(1)知，BE ＝EG ＝4，DF ＝FG ＝6.设正方形ABCD 的边长为x ，则CE ＝x －4，CF ＝x －6. ∵CE 2＋CF 2＝EF 2，∴(x －4)2＋(x －6)2＝102， 解得x 1＝12，x 2＝－2(不合题意，舍去)． ∴正方形ABCD 的边长为12.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A.m＞﹣2B.m＜﹣2C.m＞2D.m＜22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（）A. B.﹣ C.﹣ D.﹣4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB上的一个动点，过点P画PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，当点P由A向B移动时，四边形CDPE周长的变化情况是（）A.逐渐变小B.逐渐变大C.先变大后变小D.不变5．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF ，则下列结论①∠DCF ＝12∠BCD ；②S △BEC ＝2S △CEF ；③∠DFE ＝3∠AEF ；④当∠AEF ＝54°时，则∠B ＝68°，中一定成立的是（ ）A.①③B.②③④C.①④D.①③④7．下列计算正确的是（ ）A ．（﹣3）﹣2＝9B 3C ．（3﹣π）0＝1D =8．若一个圆锥的母线长为6cm ，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A ．1cm B ．2cmC ．3cmD ．6cm9．分式方程11122x x=---的解为( ) A ．x ＝1B ．x ＝2C ．无解D ．x ＝410．袋中装有大小相同的6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为34”则袋中白球大约有（ ） A.2个B.3个C.4个D.5个11．数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、1，且|a ﹣1|+|b ﹣1|＝|a ﹣b|，则下列选项中，满足A 、B 、C 三点位置关系的数轴为（ ）A ．B ．C ．D ．12．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．2500(12)12000x +=B ．22500(1)12000x +=C ．25002500(1)2500(12)12000x x ++++=D ．225002500(1)2500(1)12000x x ++++= 二、填空题13．已知x=﹣1是一元二次方程ax 2+bx ﹣2=0的一个根，那么b ﹣a 的值等于___________.14．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB ，则旋转角的度数为 度．15．在一次数学探究活动课中，某同学有一块矩形纸片ABCD ，已知AD=13，AB=5，M 为射线AD 上的一个动点，将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ，若△NBC 是直角三角形，则所有符合条件的M 点所对应的AM 的和为__________．16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，若∠BCD ＝24°，则∠ABD 的度数为___度．17．如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60度．连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC ＝60°；连接AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1＝60°；…，按此规律所作的第n 个菱形的边长为_____．18．已知a+b ＝8，ab ＝12，则222a b ab +-＝_____．三、解答题19．为奖励表现优秀的学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元． （1）求文具袋和圆规的单价．（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干．文具店给出两种优惠方案： 方案一；购买一个文具袋送1个圆规．方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由．20．先化简，再求值：（x ﹣22xy y x-）÷222x y x xy -+，其中，21．每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中．（1）写出图中从原点O 出发，按箭头所指方向先后经过的A 、B 、C 、D 、E 这几个点点的坐标； （2）按图中所示规律，找到下一个点F 的位置并写出它的坐标．22．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，点E是边AD上一点，连结CE，将△CDE绕点C旋转，当CD落到对角线AC上时，点E恰与圆心O重合，已知AE＝6，则下列结论不正确的是（）A．BC+DE＝AC B．⊙O 的半径是2C．∠ACB＝2∠DCE D．AE＝CE23．已知：点A，B位于直线m的两侧，在直线m上求作点P，使|PA﹣PB|的值最大．24．已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y＝mx+12交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）若∠BAD＝70°，则∠BCA＝°；（2）若AB＝12，BC＝5，求DE的长：（3）求证：BE是⊙O的切线．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．﹣214．50°．15．2616．6617．1n-18．8三、解答题19．（1）文具袋的单价为15元/个，圆规的单价为3元/个；（2）选择方案一更合算，理由见解析.【解析】【分析】（1）设文具袋的单价为x元/个，圆规的单价为y元/个，根据“购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量结合两种优惠方案，分别求出选择方案一和选择方案二所需费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）设文具袋的单价为x元/个，圆规的单价为y元/个，依题意，得：221 2339 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：153xy=⎧⎨=⎩．答：文具袋的单价为15元/个，圆规的单价为3元/个．（2）选择方案一更合算，理由如下：选择方案一所需费用为15×20+3×（100﹣20）＝540（元），选择方案二所需费用为15×20+3×10+3×0.8×（100﹣10）＝546（元）．∵540＜546，∴选择方案一更合算．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．20．【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题. 【详解】（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+=222()()() x xy y x x yx x y x y -++⋅+-=2()()()() x y x x yx x y x y -+⋅+-=x﹣y当时，原式-1)=1.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.21．（1）A（1，0）、B（1，2）、C（﹣2，2）、D（﹣2，﹣2）、E（3，﹣2）（2）（3，4）【解析】【分析】（1）观察图形，即可找出A，B，C，D，E五点的坐标；（2）观察图形，可知：点的运动规律是右、上、左、下、右、…，且每次长度+1，结合点E的坐标及DE 的长度即可得出点F的坐标．【详解】（1）观察图形，可知：A（1，0）、B（1，2）、C（﹣2，2）、D（﹣2，﹣2）、E（3，﹣2）；（2）∵E（3，﹣2），DE＝5，∴EF＝6，∴F（3，4）．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．22．D【解析】【分析】⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，则四边形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt △ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，选项A、B、C正确；由勾股定理得：CE AE=≠，选项D不正确．【详解】解：⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，如图：则四边形BGOH是正方形，∴OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，∴∠ACB＝2∠DCE，∵BC＝AD，∴AB＝CD＝CF＝AE＝6，由切线长定理得：CH＝CF＝CD＝6，∠ACO＝∠BCO，AF＝AG＝6﹣r，∴AC＝AF+CF＝12﹣r，在Rt△ABC中，由勾股定理得：62+（6+r）2＝（12﹣r）2，解得：r＝2，∴BC＝8，AC＝10，∴BC+DE＝AC，⊙O 的半径是2，所以选项A、B、C正确；由勾股定理得：CE AE==≠，选项D不正确；故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、矩形的性质、旋转的性质、切线长定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线长定理和旋转的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．23．见解析；【解析】【分析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA＝PA′，因而|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．【详解】解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．点P即为所求．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型．24．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P的坐标为（12，94）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．【解析】【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后求得a，b的值，从而得到问题的答案；（2）把A（﹣1，0）代入y＝mx+12求得m的值，可得到直线AQ的解析式，设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），然后用含n的式子表示出PN、NF的长，然后依据PN＝2NF列方程求解即可；（3）连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小，先求得点M的坐标，然后求得AM 和DE的解析式，最后在求得两直线的交点坐标即可．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），∴将点A和点B的坐标代入得：204220a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得a＝﹣1，b＝1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）直线y＝mx+12交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝12，∴直线AQ的解析式为y＝12x+12．设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），∴PN＝﹣n2+n+2﹣（12n+12）＝﹣n2+12n+32，NF＝12n+12．∵PN＝2NF，即﹣n2+12n+32＝2×（12n+12），解得：n＝﹣1或12．当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．∴点P的坐标为（12，94）．（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣12）2+94，∴M（12，94）．如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（12，94）．根据题意得：1924k bk b-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3232kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线AM的函数解析式为y＝32x+32．∵D为AC的中点，∴D（﹣12，1）．设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，∴AC的解析式为y＝2x+2．设直线DE的解析式为y＝﹣12x+c，将点D的坐标代入得：14+c＝1，解得c＝34，∴直线DE的解析式为y＝﹣12x+34．将y＝﹣12x+34与y＝32x+32联立，解得：x＝﹣38，y＝1516．∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质，用含n的式子表示出PN、NF的长是解答问题（2）的关键；明确相互垂直的两直线的一次项系数乘积为﹣1是解答问题（3）的关键．25．（1）70；（2）14413；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答；（2）根据勾股定理求出AC，证明△DEB∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算，得到答案；（3）连接OB，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质得到OB∥DE，根据平行线的性质得到BE⊥OB，根据切线的判定定理证明结论．【详解】（1）∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD＝70°，由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA＝70°，故答案为：70；（2）在Rt△ABC中，AC＝13，∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠CBA＝90°，∴△DEB∽△ABC，∴DE BDAB AC=，即121213DE=，解得，DE＝144 13；（3）连接OB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠BCE＝∠BAD，∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD，∵∠BDA＝∠ACB，∴∠ACB＝∠BAD，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵BE⊥DC，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线．【点睛】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、圆周角定理是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P 1（-3，-83），P 点关于x 轴的对称点为P 2（a ，b ），=（ ）A ．-2B ．2C ．4D ．-4 2．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ）A.6B.8C.14D.16 3．若a 2+2a ﹣3＝0，则代数式（a ﹣）的值是（ ）A.4B.3C.﹣3D.﹣4 4．如图，一个平行四边形被分成面积为S 1、S 2、S 3、S 4四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1S 4与S 2S 3的大小关系为（ ）A.S 1S 4＞S 2S 3B.S 1S 4＜S 2S 3C.S 1S 4＝S 2S 3D.无法确定5．如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 的弧上，∠ABC ＝30°，且AC ＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．43πB ．43π﹣C ．23πD ．23π﹣26．如图，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CBA 的度数为（ ）A ．35B ．45C ．55D ．657．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D．ac≠08．已知一个圆锥的底面半径为5cm cm，则这个圆锥的侧面积为( )A．cm2B．30πcm2C．65πcm2D．85πcm29．如图，已知Rt△ABC的直角顶点A落在x轴上，点B、C在第一象限，点B的坐标为（345，4），点D、E分别为边BC、AB的中点，且tanB＝12，反比例函数y＝kx的图象恰好经过D、E，则k的值为（）A．185B．8 C．12 D．1610．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（）A. B. C. D.11．如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠AED＝50°，则∠EDC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°12．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x>1 B．x≤1C．x<1 D．x≥1二、填空题13．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，定义a b c d =ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若11811x x x x +-=-+，则x=_____．14．如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，则有下列选项：①∠ACD=60°；②CB=6；③阴影部分的周长为12+3π；④阴影部分的面积为9π﹣12．其中正确的是_______.（填写编号）15．分解因式：x 3y ﹣4xy ＝_____．16．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣232t ．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_____m ．17．在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，6），若一次函数y ＝mx －6m ＋2(m≠0)的图像将四边形ABCD 的面积分成1：3两部分，则m 的值为___________．18．分解因式22am an -=______．三、解答题19．2019年初，电影《流浪地球》和《绿皮书》陆续热播，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影打分，过程如下．收集数据20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》78 75 99 98 79 67 88 78 76 98 88 79 97 91 78 80 93 90 99 99《绿皮书》88 79 68 97 85 74 96 84 92 97 89 81 91 75 80 85 91 89 97 92整理、描述数据绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整．(说明：60≤x＜70表示一般喜欢，70≤x＜80表示比较喜欢，80≤x＜90表示喜欢，90≤x＜100表示超级喜欢)分析数据、推断结论(1)估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有人；(2)你认为观众更喜欢这两部电影中的(填《流浪地球》或《绿皮书》)，理由是．20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点E是抛物线上的一个动点，过点E作EF⊥x轴于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）（1）求点B的坐标；（2）当点F在OB段时，△BCE的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F．（1）根据题意补全图形．（2）如果AF＝1，求CF的长．22．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB＝45°．(1)如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE＝5cm，求点E到AB的距离．23．如图，在平面直角坐标系中，圆心为P（x,y）的动圆经过点A（1,2）且与x轴相切于点B.（1）当x=2是，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，在图②中画出此函数图像；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图像进行定义：此函数图像可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合；（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，则cos∠APD= ．24．八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了如下的统计图1和图2，请根据图中相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）图1中m的值为____________，共有____________名同学参与问卷调查；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）全校共有学生1500人，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？25．解不等式组：()-32421152x xx x⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩并把其解集在数轴上表示出来.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．2 14．①③④ 15．xy(x+2)(x －2) 16．24 17．-5或15- 18．()()a m n m n +- 三、解答题19．补全统计图与统计表见解析；(1)720；(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题干中所给数据，整理可补全直方图；再根据众数和中位数的定义可得； （2）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）补全《流浪地球》的分布直方图如下：填统计表如下：估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有1800×820＝720(名)， 故答案为：720；(2)答案不唯一，喜欢《绿皮书》理由：在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数； 为《绿皮书》打分在80分以上的有16人，而为《流浪地球》打分在以上的只有12人．故答案为：《绿皮书》，在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数． 【点睛】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键． 20．（1）（3，0），（2）278【解析】 【分析】（1）将点C （0，﹣3），A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx+c 中求出二次函数解析式，从而求出点B 的坐标； （2）设点F （x ，0）（0＜x ＜3），则点E （x ，x 2﹣2x ﹣3），根据三角形面积公式可用含x 的代数式表示出△BCE 的面积，再利用配方法即可求出最值． 【详解】解：（1）将点C （0，﹣3），A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx+c 中得：310,c b c =-⎧⎨-+=⎩解得： 23.b c =-⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，得x ＝﹣1或3， ∴点B 的坐标为（3，0）；（2）设点F （x ，0）（0＜x ＜3），则点E （x ，x 2﹣2x ﹣3），∵B （3，0），C （0，﹣3）， ∴直线BC ：y ＝x ﹣3， ∴H （x ，x ﹣3），∴△BCE 的面积＝△CEH 的面积+△BEH 的面积()()()22113233323,22x x x x x x x x =⨯---+---⨯--- ()213323,2x x x ⎡⎤=-⨯⨯---⎣⎦23327,228x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴△BCE 的面积()23327,03228x x ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，∴当32x =时，△BCE 的面积取最大值，最大值为278． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确使用割补法表示出三角形的面积是解题的关键． 21．（1）如图所示，见解析；（2）CF ＝2． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可；（2）过点D 作DG ∥BF ，交AC 于点G ，根据三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】 （1）如图，（2）作DH ∥AC 交BF 于H ，如图， ∵DH ∥AF ，∴∠EDH ＝∠EAF ，∠EHD ＝∠EFA ， ∴△EDH ≌△EAF ， ∴DH ＝AF ＝1，∵点D 为BC 的中点，DH ∥CF ， ∴DH 为△BCF 的中位线， ∴CF ＝2DH ＝2． 【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．22．(1)CD 与圆O 相切，证明见解析；(2)EF ＝6. 【解析】 【分析】（1）连接OD ，由题意可得∠AOD=90°，由平行线的性质可得OD ⊥CD ，则可得结论；（2）作EF ⊥AB 于F ，连接BE ，由圆周角定理可得∠AEB=90°，由勾股定理可求BE 的长，由三角函数可求EF 的长．【详解】 解：(1)CD 与圆O 相切 证明：如图①，连接OD ，∵OA ＝OD∴∠DAB ＝∠ADO ＝45° ∴∠AOD ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ．∴∠CDO ＝∠AOD ＝90°． ∴OD ⊥CD ∴CD 与圆O 相切(2)如图②，作EF ⊥AB 于F ，连接BE ，∵AB 是圆O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，AB ＝2×3＝6 ∵AE ＝5∴BE== ∵sin ∠BAE ＝EF BEAE AB=∴5EF =∴EF 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，圆的有关知识，利用勾股定理求BE 的长是本题的关键．23．（1）圆P 的半径为1.25 ；（2）y= （x ﹣1）2+1，图象详见解析；（3）点A ， x 轴；（4）cos ∠APD= =﹣【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式列式计算即可；（2）同（1）列出式子并整理，可得y=（x﹣1）2+1，然后描点画图即可；（3）由（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2可知此函数图像可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，设PE=a，用a表示出D点坐标，代入到抛物线解析式求出a的值，【详解】解：（1）由x=2，得到P（2，y），连接AP，PB，∵圆P与x轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到y=，解得：y=1.25 ，则圆P的半径为1.25 ；（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，整理得：y= （x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，画出函数图象，如图②所示；（3）由（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2可知此函数图像可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，设PE=a，则有EF=a+1，，∴D坐标为（1，a+1），代入抛物线解析式得：a+1= 0.25（1﹣a2）+1，解得：a=﹣a=﹣2（舍去），即PE=﹣，在Rt△PED中，PE=﹣PD=1，则cos∠APD=﹣【点睛】本题考查了两点间距离公式、二次函数的图像和性质、圆的相关性质以及锐角三角函数，涉及知识点较多，综合性较强，正确理解题意，利用数形结合的思想思考问题是解题关键.24．（Ⅰ）41，100；（Ⅱ）平均数是2.54, 众数为2,中位数为2；（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：615 【解析】 【分析】（1）用1减去1本，3本，4本所占的比例减去即可；用阅读一本书的人数除以它占的比例即可求出总数. （2）平均数=书的总数总人数，阅读课外书的本书的人数的本书即为众数，将涉及到的本书从小到大排列最中间的就是中位数；（3）用总人数乘以样本中“阅读2本课外书”人数所占百分比可得 ． 【详解】（Ⅰ）∵m%=1-15%-10%-34%=41%, ∴m=41; 10÷10%=100， ∴总人数是100人； （Ⅱ）∵1014123431542.54100x ⨯+⨯+⨯+⨯==，∴这组数据的平均数是2.54.∵在这组数据中，2出现了41次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为2.∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有2222+=， ∴这组数据的中位数为2.（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：411500615100⨯=（本）. 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用及平均数，众数和中位数的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 25．−7<x ⩽1，见解析. 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解不等式x −3(x −2)⩾4，得：x ⩽1， 解不等式52112x x -+< ，得：x>−7，则不等式组的解集为−7<x⩽1，将解集表示在数轴上如下：【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则.。