高二数学(理)利用导数求单调区间、极值人教实验版(A)知识精讲

3．3.2 函数的极值与导数(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．(教师用书独具)●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．●教学流程创设问题情境，引出问题：在x＝a b 点附近，函数值有何特点？⇒引导学生结合给出图象，观察、比较、分析，导出问题答案，给出极值概念.⇒通过引导学生回答所提问题，理解极大值与极小值大小的辩证关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数极值的步骤和方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握已知函数的极值求参数的方法.⇒通过例3及其变式训练，理解极值的含义，并学会通过极值解决综合问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第58页)课标解读1.理解极值的定义．(难点)2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)极值点与极值函数y＝f(x)的图象如图所示．1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小 .2．f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？【提示】f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.3．函数在x＝b点处的情况呢？【提示】函数在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.1．极小值点与极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.(对应学生用书第58页)求函数的极值(1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x＋3ln x .【思路探究】 原函数――→求导导函数―→f ′x ＝0的点x 0――→判断两侧符号极值【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值143极小值－6∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值3因此当x ＝1f x f1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．求函数y ＝2x ＋8x的极值．【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝2－8x2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞)y ′ ＋0 －－0 ＋y－88由表知：当x ＝－2时，y 极大值＝－8； 当x ＝2时，y 极小值＝8.由函数的极值求参数已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【思路探究】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×－23＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－23)－23 (－23，1) 1 (1，＋∞)f ′＝(x ) ＋0 －0 ＋f (x )2227＋c－32＋c由上表知，函数在x ＝1与－3处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1.已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，①f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大极小∴f (x )在－1,3处取极值， ∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.函数极值的综合应用y＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞) f′(x)－0＋0－f(x)a－2a＋2f x f a极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a －2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a ＝2满足条件．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．(对应学生用书第60页)因未验根而致误已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值． 【错解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.【错因分析】 解出a ，b 值后，未验证x ＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误． 【防范措施】 可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f ′(x )＝0而求出的参数需要检验，以免出错．【正解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.(对应学生用书第60页)1．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C ．函数f (x )＝|x |只有一个极小值D ．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上一定存在极值【解析】 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a ，b )上没有极值，故A 、B 、D 错误，C 正确，函数f (x )＝|x |只有一个极小值为0.【答案】 C2．函数f (x )的定义域为区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图3－3－5所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极小值的个数为( )图3－3－5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 在(a ，b )内，f ′(x )＝0的点有A 、B 、O 、C .要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．【答案】 A3．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 f ′(x 0)＝0⇒/ y ＝f (x )在x 0处有极值，但y ＝f (x )在x 0处有极值⇒f ′(x 0)＝0，应选B.【答案】 B4．求函数y ＝x ＋1x的极值．【解】y′＝1－1x2＝x2－1x2，令y′＝0解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞) y′＋0－－0＋y 极大值极小值x y极大值x y极小值2.(对应学生用书第111页)一、选择题1．已知函数f(x)，x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－62．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是( )A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x ( ) A ．x ＝1时，取得极大值 B ．x ＝1时，取得极小值 C ．x ＝－1时，取得极大值 D ．无极值点【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0恒成立． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，f (x )无极值． 【答案】 D4．(2013·临沂高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋5在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意：f ′(－3)＝27－6a ＋3＝0 ∴a ＝5.应选D. 【答案】 D5．如图3－3－7所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－7A.23B.43C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －197．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8．(2013·昆明高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：图3－3－8(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值； 所以只有(3)正确． 【答案】 (3) 三、解答题9．求下列函数的极值． (1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 f (－2)＝16极小值 f (2)＝－16所以当x ＝－2时，函数有极大值， 且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值， 且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ 0 －f (x )极小值－3极大值－1且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝a x＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )、f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.(教师用书独具)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求证：当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 【证明】 ∵f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0) ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx当ab ＞0时，若a ＞0，b ＞0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的；若a ＜0，b ＜0，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的．∴当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求函数有极值时a 、b 满足的条件．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx.若函数f (x )有极值，首先f ′(x )＝0，即2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根． 因为ab ≠0，x 2＝－b2a ，所以当ab ＜0时，2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根x ＝－b2a. 又当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左负右正，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极小值； 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左正右负，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极大值．综上，函数f(x)＝ax2＋b ln x(ab≠0)有极值时，a，b所满足的条件是ab＜0.。

利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。

导数与单调区间、极值重点：会利用导数解决函数的单调性,利用导数求函数的极值,以及已知单调性、极值求参数难点：导函数与原函数性质的区分、恒成立问题;一、f ’x>0<0与fx 单调性的关系 判断y=2x 的单调性,如何进行判断函数fx=sinx-x 的单调区间,如何进行用图像法,定义法去试试思考 函数的单调性与变化率有何关系变化率又与导数有什么关系① ()2x f x = ,②3()log f x x = ③222y x x =-+ ④sin y x =一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间a,b 内 如果f ’x ＞0,那么函数y=fx 在a,b 上单调递增； 如果f ’x ＜0,那么函数y=fx 在a,b 上单调递减； 特别的,如果'()0f x =时,求解函数()y f x =单调区间的步骤： 1确定函数()y f x =的定义域； 2求导数''()y f x =；3解不等式'()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间； 4解不等式'()0f x <,解集在定义域内的部分为减区间．典型题一、 f ’x 的图像与fx 图像例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时,'()0f x >；当4x >,或1x <时,'()0f x <；当4x =,或1x =时,'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．A 变式1已知函数y=fx 的图象如图l 所示,则其导函数y=f'x 的图象可能是A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：根据原函数图象的单调性及极值点的情况,得到导函数的零点个数及导函数的正负取值,由此即可得到导函数的图象的大致形状．解答：解：由函数fx的图象看出,在y轴左侧,函数有两个极值点,且先增后减再增,在y轴右侧函数无极值点,且是减函数,根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知,导函数在y轴右侧应有两个零点,且导函数值是先正后负再正,在y轴右侧无零点,且导函数值恒负,由此可以断定导函数的图象是A的形状．故选A．A变式2.函数y=fx的图象如图所示,则y=fx的导函数y=f′x的图象可以是A．B．C．D．分析：排除法,由图象知x＜0时,图象从左向右降低,是减函数,得y的导函数y,＜0,排除A、B、C,即得．解答：解：由图象知,当x＜0时,y随x的增大而减小,是减函数,y=fx的导函数y,=f,x＜0；当x＞0时,y也随x的增大而减小,是减函数,y=fx的导函数y,=f,x＜0；所以,y=fx的导函数y,=f,x的图象可以是满足条件的D答案．故选：D．A变式3设f′x是函数fx的导函数,y=f′x的图象如图所示,则y=fx的图象最有可能的是A．B．C．D．分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围,进而根据当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解答：解：由y=f'x的图象易得当x＜0或x＞2时,f'x＞0,故函数y=fx在区间﹣∞,0和2,+∞上单调递增；当0＜x＜2时,f'x＜0,故函数y=fx在区间0,2上单调递减；故选C．A变式4已知函数fx的导函数f′x=ax+b2+c的图象如图所示,则函数fx的图象可能是A．B．C．D．分析：本题利用排除法,由导函数的图象可以看出fx的单调区间,然后爱观察所给的选项,判断正误,问题得以解决．解答：解：由导函数的图象可知,当时x＜0时,函数fx单调递减,排除A,B；由fx在﹣∞,0上单调递减,在0,x1单调递增,因此当x=0时,fx有极小值,所以D正确．故选：D．B变式1下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象,其中一定错误的是A ．B ．C ．D ．分析：直接对四个选项利用原函数递增导函数值为正以及原函数递减导函数值为负,一一进行验证即可求出答案． 解答：解；对于A,由图得,开口向下,且对称轴大于0,故对应的一次函数为减函数,且与轴的交点在轴的上方,即A 符合；对于B,原函数的图象是先增,后减再增,对应的导函数的函数值应先正后负再正,故B 符合．对于C,不论把哪条曲线对应的函数当成是原函数,均于函数的单调性与其导函数的正负之间的关系相矛盾,故C 不符合；对于D,因为原函数的图象是先减后增,故其导函数的图象是先负后正,即D 符合要求． 故选 C ．B 变式2已知f ′x 是函数fx 的导函数,将y=fx 和y=f ′x 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 A ． B ．C ．D ．考点： 函数的单调性与导数的关系． 专题： 导数的概念及应用． 分析：本题可以考虑排除法,容易看出选项D 不正确,因为D 的图象,在整个定义域内,不具有单调性,但y=fx 和y=f ′x 在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有这样的函数． 解答：解：不可能正确的是D ． 因为把上面的作为函数：在最左边单调递增,其导数应为大于0,但是其导函数的值小于0,故不正确；同样把下面的作为函数,中间一段是减函数,导函数应该小于0,也不正确．因此D 不正确．故选：D ．注意 f ’x>0 y=fx 单调递增 f ’x ＜0 y=fx 单调递减 f ’x 增减性与 y=fx 增减性无关;例如 f ’x>0 与 y=fx>0 无关 典型题二、求函数单调区间;例3．判断下列函数的单调性,并求出单调区间．13()3f x x x =+； 22()23f x x x =--当导函数是二次函数时,也可以根据图像来看f ’x 的符号; A 变式1 ()sin (0,)f x x x x π=-∈； A 变式2 32()23241f x x x x =+-+体会： 用导数求单调区间和用定义法求单调区间比较二．变化率快慢与导数大小的关系 典型题、变化率快慢与切线斜率 例4．如图,水以常速即单位时间内注入水的体积相同注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．思考 你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”；反之,函数的图像就“平缓”一些．增加还是减小 '()0f x <'()0f x > 变化的快慢 '()f x 绝对值的大小三、极值点思考：当(),x a b ∈时,'()0f x >当(),x b ∈+∞时,'()0f x <那当x=b 时,'()f x 是多少呢图像上最特殊的点是哪几个'()0f x =的点 单调性的转折点 在一点附近函数值最大最小的点我们把点a 叫做函数y=fx 的极小值点,fa 叫做函数y=fx 的极小值；点b 叫做函数y=fx 的极大值点,fa 叫做函数y=fx 的极大值; 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 找出图中的极点,并说明哪些点为极大值点,哪些点为极小值点思考 极大值一定大于极小值吗典型题 求函数极值例题 求函数()31443f x x x =-+的极值归纳：求函数y=fx 极值的方法是: 求()'fx ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时:(1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0,右边()'f x ＜0,那么fx 0是极大值. (2) 如果在x 0附近的左边()'fx ＜0,右边()'f x ＞0,那么fx 0是极小值思考 导数值为0的点一定是极值点吗 为什么 极值点本质是单调性的转折点,所以肯定要一边()'f x ＜0,一边()'f x ＞0典型题 已知含参函数极值点、极值,求参数例题.已知函数fx=ax 3+bx 2-2x 在x=-2,x=1处取得极值,求函数fx 的解析式及单调区间;A 变式1已知函数1)(3--=ax x x f 当1x =时,取极小值,求a ;A 变式2.已知函数3222y x ax bx =+++,当1x =时,有极大值3；求,a b 的值；A 变式3.已知fx=x 3+ax 2+a+bx+1有极大值和极小值,求实数a 的范围;A 变式 4已知函数fx=x 3+bx 2+cx 的图象如图所示,则B 变式1已知函数fx=mx 3+3m ﹣1x 2﹣m 2+1m ＞0的单调递减区间是0,4,则m= A ． 3 B ．C ． 2D ．分析：首先对fx 求导数f'x,由题意令f'x ＜0,根据条件得0和4是方程f'x=0的两根,由根与系数的关系得到m 的值． 解答： 解：函数fx=mx 3+3m ﹣1x 2﹣m 2+1m ＞0则导数f'x=3mx 2+6m ﹣1x, 令f'x ＜0即3mx 2+6m ﹣1x ＜0, ∵m ＞0,fx 的单调递减区间是0,4, ∴0,4是方程3mx 2+6m ﹣1x=0的两根,∴0+4=,0×4=0,∴m=． 故选：B ．B 变式2若函数fx=x 3-3bx+3b 在0,1内有极小值,求实数b 的范围典型题、已知含参函数单调区间,求参数 .例题 若函数321y cx x bx=+++的单调递减区间是-1,2,则b= ,c=A 变式1.若函数123+++=mx x x x f ）（是R 上的单调增函数,则实数m 的取值范围是A 变式2若函数32f x x xmx =-+-（）是R 上的单调减函数,则实数m 的取值范围是A 变式3若函数323y cx x bx=-+-的单调递增区间是[][],23+-∞∞与，,则b= c=B 变式1已知函数fx=x+a 2﹣7lnx+1在1,+∞上单调递增,则实数a 的取值范围为 A ． ,+∞ B ． ,+∞C ． ﹣∞,D ．﹣∞,﹣分析： f x 在1,+∞上单调递增,则其导函数大于等于0恒成立． 解答：解：=≥0,在x ∈1,+∞上恒成立,∴2x 2+2ax ﹣7≥0,=,令gx=在1,+∞上单调递减,∴gx ≥g1=5,即a ≥． 故选：B ．B 变式3若函数fx=x 2+ax+是增函数,则a 的取值范围是A ． ﹣1,0B ． ﹣1,∞C ． 0,3D ．3,+∞考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： 由函数在,+∞上是增函数,可得≥0在,+∞上恒成立,进而可转化为a ≥﹣2x 在,+∞上恒成立,构造函数求出﹣2x 在,+∞上的最值,可得a 的取值范围．解答：解：∵在,+∞上是增函数 故≥0在,+∞上恒成立即a ≥﹣2x 在,+∞上恒成立 令hx=﹣2x, 则h ′x=﹣﹣2当x ∈,+∞时,h ′x ＜0,则hx 为减函数 ∴hx ＜h =3 ∴a ≥3 故选D在某区间上恒>0<0,一种是用二次函数0∆<,一种是用分离参数法典型题、单调区间与定义域例题 函数y=x ﹣lnx 的单调递减区间是A ． 1,+∞B ． ﹣∞,1C ． 0,1D ．e ,+∞分析：求出函数的导数为y'=1﹣,再解y'=1﹣＜0得x ＜1．结合函数的定义域,即可得到单调递减区间是0,1 解答：解：函数y=x ﹣lnx 的导数为y'=1﹣∵令y'=1﹣＜0,得x ＜1∴结合函数的定义域,得当x ∈0,1时,函数为单调减函数． 因此,函数y=x ﹣lnx 的单调递减区间是0,1 故选：C求单调区间时要注意定义域;必须在定义域的范围内; A 变式 1求函数()323923y x x x x =+--≤≤的单调区间总结 1.函数的单调性与其导数的正负2.增加还是减小 '()0f x <'()0f x > 变化的快慢 '()f x 绝对值的大小f x=的点单调性的转折点在一点附近函数值最大最小的3.极值点'()0点求单调区间时要注意定义域;必须在定义域的范围内;极值点为0 导函数极值原函数∆<,一种是用分离参数法;在某区间上恒>0<0,一种是用二次函数0。

用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值；在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）2122-+=x x y解：（1）2/22)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f令0)(/=x f ，得驻点2,57,1321===x x x0)1(=∴f 是函数的极大值；3125108)57(-=f 是函数的极小值. （2）22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x xx x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+=令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=∴当1-=x 时，f极小=-3；当1=x 时，f极大=-1值。

abxy)(x f y ¢=O利用导数研究函数单调性和求极值、最值一、基础知识回顾：1. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数)x (f y ¢=¢； （2）解方程0)x (f =¢；（3）使不等式0)x (f >¢成立的区间就是递增区间，使0)x (f <¢成立的区间就是递减区间。

2. 求函数)(x f y =的极值的方法：（1）求导数)x (f y ¢=¢； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（临界点）；（3）如果在根0x 附近的左侧)x (f ¢____0，右侧)x (f ¢____0，那么)x (f 0是)(x f y =的极大值； 如果在根0x 附近的左侧)x (f ¢____0，右侧)x (f ¢____0，那么)x (f 0是)(x f y =的极小值 3．在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：（1）求函数 )(x f y =在),(b a 内的导数 ； （2）求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值 ； （3）将函数)(x f y =在),(b a 内的各极值与端点处的函数值)(),(b f a f 作比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值 二、例题分析： （一）基础题型例1.如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（ ）例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )A.]1,0(;B.),1[+∞;C.]1,(-∞及]1,0( ;D. )0,1[-及]1,0(;例3. 若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =例4. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ¢在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 _个例5．若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极值，则a 的取值范围是 .例6．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则M m -= . （二）典型题型例7.已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.解析：因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x ∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2. 又f(x)=x 3+ax 2+3bx+c,所以-x 3+ax 2-3bx+c-2=-x 3-ax 2-3bx-c+2.所以.22,+-=--=c c a a 解得a=0，c ＝2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x 3+3bx+2.所以f ′(x)=3x 2+3b(b ≠0).当b ＜0时，由f ′(x)=0得x=±.b - x (-∞,-b -)-b - (-b -,b -) b - (b -,+∞)b -，+∞）上单调递增.当b ＞0时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )在（-∞，+∞）上单调递增.变式1.设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.（Ⅲ）若1b =-且()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。

利用导数求函数的单调性和极值函数的单调性和极值是数学中一个常见的问题，利用导数可以很方便地求解。

导数可以告诉我们函数在某一点的变化情况，从而推断函数的单调性和极值。

本文将介绍如何利用导数求函数的单调性和极值。

1. 导数的定义首先，我们需要了解导数的定义。

对于一元函数y = f(x)，其导数可以通过以下公式求得：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，h表示一个无穷小的增量。

导数可以理解为函数在某一点上的变化速率。

2. 利用导数求函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上的变化趋势。

利用导数可以判断函数在某个区间上的单调性。

若在区间(a, b)上，对于任意的x1, x2∈(a, b)，当x1<x2时，若f'(x1)>0，则f(x1)<f(x2)，函数单调递增；若f'(x1)<0，则f(x1)>f(x2)，函数单调递减。

例如，函数f(x) = x^2，在定义域(-∞, +∞)上处处可导。

对于任意的x1, x2∈(-∞, +∞)，都有f'(x) = 2x。

当x1<x2时，若x1>0，则函数f(x)的导数f'(x)大于0，因此f(x)在正数区间上单调递增。

若x1<0，则f'(x)小于0，因此f(x)在负数区间上单调递减。

3. 利用导数求函数的极值函数的极值包括极大值和极小值。

利用导数可以判断函数的极值点。

首先，我们需要找出函数f(x)的导数f'(x)。

然后，求导函数f'(x)的零点，即f'(x)=0的解x。

这些解x处的函数值f(x)即为函数的极值点。

例如，函数f(x) = x^3 - 3x。

首先求导数，f'(x) = 3x^2 - 3。

然后将f'(x) = 0，求解得x=±1。