例1.已知函数3
21()3
f x x ax b =
-+在2x =-处有极值. （1） 求函数()f x 的单调区间；
（2） 求函数()f x 在[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。
例2．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=
，kx x g -=3
1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．
（1）、求实数k 的取值范围； （2）、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
解：(1) 由3
21()3
f x x ax b =
-+，得22'()32f x x ax a =-- 令222a
'()320,=-,(0)3
f x x ax a x a a =--==>1得x
当(),'()x f x f x 变化时，的变化情况如下表：
由上述表格可知，3223
()=()()()()11333327
f x f a a a -=-----+=+极大值
3333()()11f x f a a a a a ==--+=-极大值
(2)由（1）可知()(,)(,)3a
f x a -∞-+∞在和上单调递增，在-a （,a ）3
上单调递减， 当3
3501,()=()10,()=f(a)=1-a 0327
a a f x f a f x <≤-=
+>≥极大值极小值 a
()-y f x ∴=∞在（,+）
3
上最多只有一个实数根，且此零点仅在1a =时取得 又()y f x =在(,)3a -∞-上单调递增，且2
(1)(1)0f a a a a -=-=-≤
()--y f x ∴=∞a
在（，）3
上最多有一个实数根 于是，当01a <≤时，
函数()y f x =有1个或2个零点，即函数()y f x =至多有两个实数根。
解：（1）由题意x k x x f )1()(2
+-='
∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，
∴0)1()(2
>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立
即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
（2）设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，
① 当1=k 时，0)1()(2
≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意 ② 当1由于02
1
<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需031
2623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<0
2212k k k ，解得31-
综上，所求k 的取值范围为31-
例3（2007年高考天津理科卷）已知函数()()22
21
1
ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
（2010山东理数）(22)(本小题满分14分) 已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性； （Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使 ，求实数取值范围.
解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程为
032256=-+y x 。
（
Ⅱ
）
由
于
a ≠，所以
()()()()()()
2
2
'
2222
122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛
⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++。 由()'
0f
x =，得121
,x x a a
=-
=。这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1） 当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ⎛⎫
-∞-
⎪⎝⎭
，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫-
⎪⎝⎭为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
；函数
()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
（2） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1
(+∞-a
内为增函数，在区间)1,(a
a -为减函数。故函数()f x 在11x a =-
处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
；函数()f x 在
2x a =处取得极大值()1f a =。
解：（Ⅰ）因为1()ln 1a
f x x ax x
-=-+
-， 所以 2'
22
111()(0,)a ax x a
f x a x x x x
--+-=-+=∈+∞， 令 2()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞，
①当1
2
a =
时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时'()0f x ≤，函数 ()f x 在∞（0，+）上单调递减；
②当11
01102a a
-＜＜时，＞＞，
(0,1)x ∈时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减；
1
(1,1)x a ∈-时()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数 ()f x 单调递增；
1
(1,)x a
∈-+∞时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减；
