华师大版九年级上册数学综合检测试题(第21～23章)

初中数学 九年级上册 1 / 15第23章综合测试一、选择题（每题3分，共30分）1.下列四条线段中，不是成比例线段的为（ ） A .3a =，6b =，2c =，4d =B .4a =，6b =，5c =，10d =C .1a =，b，cd =D .2a =，bc =d =2.下列各组图形中有可能不相似的是（ ） A .各有一个角是45︒的两个等腰三角形 B .各有一个角是60︒的两个等腰三角形 C .各有一个角是105︒的两个等腰三角形 D .两个等腰直角三角形3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，:3:2DE EC =，连结AE 交BD 于点F ，则DEF △与BAF △的面积之比为（ ）（第3题）A .2:5B .3:5C .9:25D .4:254.如图，在平面直角坐标系中，有点()6,3A ，()6,0B ，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）（第4题）A .()2,1B .()2,0C .()3,3D .()3,15.下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81.其中正确的有（ ） A .1个B .2个C .3个D .0个6.如图，为计算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D，使得初中数学 九年级上册 2 / 15AB BC ⊥，CD BC ⊥，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得20 m BE =，10 m CE =，20 m CD =，则河的宽度AB 等于（ ）（第6题图）A .60 mB .40 mC .30 mD .20 m7.如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是()1,7，()1,1，()4,1，()6,1，以C ，D ，E 为顶点的三角形与ABC △相似，则点E 的坐标不可能是（ ）（第7题图）A .()6,0B .()6,3C .()6,5D .()4,28.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是AD 的中点，CF BE ⊥于点F ，则CF 等于（ ）（第8题图）A .2B .2.4C .2.5D .2.259.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 上的一点，:2:3DE EC =，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，则::DEF EBF ABF S S S =△△△（ ）（第9题图）初中数学 九年级上册 3 / 15A .2:5:25B .4:9:25C .2:3:5D .4:10:2510.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠=︒，点D 在边BC 上（与B ，C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连结FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC FG =；②:1:2FAB CBFG S S =△四边形；③ABC ABF ∠=∠；④2·AD FQ AC =，其中正确结论有（ ）（第10题图）A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题（每题3分，共30分）11.如图，已知在ABC △中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，6cm BC =，则DE 的长度是________cm .（第1题图）12.假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1:500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32cm ，则小明所居住的城市与A 的实际距离为________. 13.已知578a b c==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为________. 14.如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC ＞.若1S 表示以BC 为边的正方形的面积，2S 表示长为()AD AD AB =、宽为AC 的矩形的面积，则1S 与2S 的大小关系为____________.（第14题图）（第15题图）15.如图，ABC △中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G，初中数学 九年级上册 4 / 151CF =，则BC =________，ADE △与ABC △的周长之比为________，CFG △与BFD △的面积之比为________.16.如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A 的坐标为()0,1，则点E 的坐标是________.（第16题图）17.如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2 018次，点P 依次落在点1P ，2P ，3P ，…，2 018P 的位置，则点 2 018P 的横坐标为________.（第17题图）18.如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E ，F ，不断调整站立的位置，使在点D 处恰好能看到铁塔的顶部B 和底部A ，设小明的手臂长45cm l =，小尺长15cm a =，点D 到铁塔底部A 的距离42 m AD =，则铁塔的高度是________m .（第18题图）19.如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且3PB =，BF BP ⊥，垂足是点B ，若在射线BF 上找一点M ，使以点B ，M ，C 为顶点的三角形与ABP △相似，则BM 的长为________.初中数学 九年级上册 5 / 15（第19题图）20.如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正三角形11AB C ，ABC △与11AB C △公共部分的面积记为1S ，再以正三角形11AB C 的边11B C 上的高2AB 为边作正三角形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的面积记为2S ……以此类推，则n S =____________.（用含n 的式子表示，n 为正整数）（第20题图）三、解答题（21题6分，22，25题每题12分，23，24题每题8分，26题14分，共60分） 21.如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，试求出x 及α∠的大小.（第21题图）22.如图，小正方形网格的边长为1.（1）分别写出ABC △和DEF △的顶点的坐标；（2）以D 为位似中心，把DEF △缩小一半，得到DMN △，在网格中画出DMN △，并写出M ，N 两点的坐标；（3）试说明ABC △和DEF △的面积关系.初中数学 九年级上册 6 / 15（第22题图）23.如图，在ABC △中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E . （1）求证：BDE CAD △∽△；（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.（第23题图）24.如图，一条河的两岸BC 与DE 互相平行，两岸各有一排景观灯（图中黑点代表景观灯），每排相邻两景观灯的间隔都是10 m ，在与河岸DE 的距离为16 m 的A 处（AD DE ⊥）看对岸BC ，看到对岸BC 上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE 上两个景观灯的灯杆遮住.河岸DE 上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC 上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度.（第24题图）初中数学 九年级上册 7 / 1525.如图，在矩形ABCD 中，12cm AB =，6cm BC =，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2 cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，用()s t 表示移动的时间（06t ≤≤），那么：（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直角三角形？（2）对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论. （3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似？（第25题图）26.如图①，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，28BC AB ==，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连结DE . 将EDC △绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）当0α=︒和180α=︒时，求AEBD 的值. （2）试判断当0360α︒︒≤＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明.（3）当EDC △旋转至A ，D ，E 三点共线时，求线段BD 的长.初中数学 九年级上册 8 / 15第23章综合测试答案解析一、 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】A 6.【答案】B 【解析】AB BC ⊥，CD BC ⊥，90ABE DCE ∴∠=∠=︒，又AEB DEC ∠=∠，ABE DCE ∴△∽△.AB BE DC CE ∴=，即202010AB =. 40m AB ∴=.7.【答案】B 8.【答案】B【解析】由90A ABC ∠=∠=︒，CF BE ⊥，易证ABE FCB △∽△.AB CF BE BC ∴=由13 1.52AE =⨯=，2AB =，得 2.5BE =， 22.53CF∴=， 2.4CF ∴=.9.【答案】D初中数学 九年级上册 9 / 1510.【答案】D【解析】四边形ADEF 为正方形，90FAD ∴∠=︒，AD AF EF ==，90CAD FAG ∴∠+∠=︒. FG CA ⊥， 90G ACB ∴∠=︒=∠， 90AFG FAG ∴∠+∠=︒, DAC AFG ∴∠=∠.在FGA △和ACD △中，,,,G C AFG DAC AF DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FGA ACD ∴△≌△，AC FG ∴=，①正确.BC AC =， FG BC ∴=,90ACB ∠=︒，FG CA ⊥， FG BC ∴∥，∴四边形CBFG 是矩形，90CBF ∴∠=︒，11·22FAB CBFG S FB FG S ==△四边形，②正确.CA CB =，90C CBF ∠=∠=︒， 45ABC ABF ∴∠=∠=︒，③正确.易知FQE DQB ADC ∠=∠=∠，90E C ∠=∠=︒，ACD FEQ ∴△∽△，初中数学 九年级上册 10 / 15::AC AD FE FQ ∴=，2··AD FE AD FQ AC ∴==，④正确.二、 11.【答案】3 12.【答案】160km【解析】设小明所居住的城市与A 地的实际距离为km x ，根据题意可列比例式为132500000105x =⨯，解得160x =.13.【答案】14 【解析】由578a b c==，可设5a k =，7b k =，8c k =. 329a b c -+=， 352789k k k ∴⨯-⨯+=， 1k ∴=.2431028241414a b c k k k k ∴+-=+-==.14.【答案】12S S =【解析】点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC ＞，2·BC AC AB ∴=，又21S BC =，2··S AC AD AC AB ==，1 2.S S ∴=.15.【答案】2 1:2 1:6 16.【答案】 17.【答案】2 017 18.【答案】14【解析】作CH AB ⊥于H ，交EF 于P ，如图，则42m CH DA ==，由题意知，45cm 0.45m CP ==，初中数学 九年级上册 11 / 15 15cm 0.15m EF ==，EF AB ∥，CEF CBA ∴△∽△，EF CPAB CH ∴=即0.150.4542AB =，14m AB ∴=，即铁塔的高度为14m .19.【答案】163或3【解析】90ABC FBP ∠=∠=︒，ABP CBF ∴∠=∠，当MBC ABP △∽△时，::BM AB BC BP =，得164433BM =⨯÷=；当CBM ABP △∽△时，::BM BP CB AB =，得4343BM =⨯÷=.20.34n⎛⎫⎪⎝⎭【解析】在正三角形ABC 中，1AB BC ⊥，1112BB BC ∴==.在1Rt ABB △中，1AB ==根据题意可得211AB B AB B △∽△，记1AB B △的面积为S ，21S S ∴=⎝⎭，初中数学 九年级上册 12 / 15 134S S ∴=， 同理可得2134S S =，3234S S =，4334S S =，…，又112S =⨯=， 13344S S ∴=， 2213344S S ⎛⎫==⎪⎝⎭，3323344S S ⎛⎫==⎪⎝⎭，4433344S S ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， (34)n S ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 三、21.【答案】解：因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以95H D ∠=∠=︒，则360951186780α∠=︒-︒-︒-︒=︒.因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以:712:6x =，解得14x =.22.【答案】解：（1）()0,2A ，1()3,B -，()2,1C --；2(0,)D -，()6,0E ，()4,4F .（2）取DE 的中点M ，DF 的中点N ，连结MN ，则DMN △就是以D 为位似中心的DEF △的位似图形，如图，由图知，M ，N 两点的坐标分别为1(3,)M -，()2,1N .（3）由（1）（2）中ABC △和DMN △顶点的坐标，可知ABC △与DMN △关于原点成中心对称，所以ABC △和DMN △的面积相等.又因为DMN DEF △∽△，相似比为1:2，所以DMN △与DEF △的面积比为1:4，故ABC △与DEF △的面积比为1:4.23.【答案】（1）证明：AB AC =，BD CD =，AD BC ∴⊥，B C∠=∠，DE AB ⊥，初中数学 九年级上册 13 / 15DEB ADC ∴∠=∠，BDE CAD ∴△∽△.（2）解：AB AC =，BD CD =，AD BC ∴⊥，在Rt ADB △中，12AD ==， 1122AD BD AB DE ⋅⋅=⋅⋅， 6013DE ∴=. 24.【答案】解：由题意可得DE BC ∥，所以AD AE AB AC=， 又因为DAE BAC ∠=∠，所以ADE ABC △∽△.所以'AD DE AB BC =即AD DE AD DB BC =+‘， 因为16m AD =，50m BC =，20m DE =，所以16201650DB =+. 所以24m DB =.所以这条河的宽度为24m .25.【答案】解：（1）由题意知2AP t =，DQ t =，6QA t =-，当QA AP =时，QAP △是等腰直角三角形，所以62t t -=，解得2t =.（2）四边形QAPC 的面积11··36663622()QAC APC S S AQ AB AP BC t t =+=+=-+=△.在P ，Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变.（3）分两种情况：初中数学 九年级上册 14 / 15①当AQ AP AB BC =时，QAP ABC △∽△，则62126t t -=，即 1.2t =； ②当QA AP BC AB =时，PAQ ABC △∽△，则62612t t -=，即3t =. 所以当 1.2t =或3时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似.26.【答案】解：（1）当0α=︒时，28BC AB ==，4AB ∴=，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，4BD ∴=，12AE EC AC ==，90B ∠=︒，AC ∴==AE CE ∴==AE BD ∴==. 当180α=︒时，如图①，易得AC =CE =4CD =，AE AC CE BD BC CD +∴==+（2）无变化.初中数学 九年级上册 15 / 15证明：在题图①中，DE 是ABC △的中位线，DE AB ∴∥，'CE CD CA CB ∴=，90EDC ABC ∠=∠=︒. 如题图②，EDC △在旋转过程中形状大小不变，CE CD CA CB∴=仍然成立. 又ACE BCD α∠=∠=，ACE BCD ∴△∽△，=AE AC BD BC∴， 在Rt ABC △中，AC =AC BC ∴==AE BD ∴= AE BD∴的大小不变. （3）当EDC △在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，如图②，BD AC ∴==当EDC △在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，ADC △为直角三角形，如图③，由勾股定理可得8AD ==，又易知2DE =，6AE ∴=， 5AE BD =，BD ∴=.综上，BD 的长为.。

第23章综合测试一、选择题（共10小题）1.点()4,3P --所在的象限是（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.如图，矩形ABCD 的两边BC 、CD 分别在x 轴、y 轴上，点C 与原点重合，点2()1,A -，将矩形ABCD 沿x 轴向右翻滚，经过一次翻滚点A 对应点记为1A ，经过第二次翻滚点A 对应点记为2A …依此类推，经过5次翻滚后点A 对应点5A 的坐标为（）A .(5,2)B .(6,0)C .(8,0)D .(8,1)3.如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0,0)表示A 点，(0,4)表示B 点，那么C 点的位置可表示为（）A .(0,3)B .(2,3)C .(3,2)D .(3,0)4.一个平行四边形三个顶点的坐标分别是(0,0)，(2,0)，(1,2)，第四个顶点在x 轴下方，则第四个顶点的坐标为（）A .(1,2)--B .(1,)2-C .(3,2)D .()1,2-5.如图，已知AD 是ABC △的中线，AE EF FC ＝＝，下面给出三个关系式：①:1:2AG AD =；②:1:3GE BE ＝；③:4:3BE BG =，其中正确的是（）A .①②③B .①②C .②③D .①③6.如图，在ABC △中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 边的中点，AH BC ⊥于H ，16FD =，则HE 等于（）A .32B .16C .8D .107.如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（）A .10B .8C .6D .58.如图：已知10AB =，点C 、D 在线段AB 上且2AC DB ==；P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边AEP 和等边PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是（）A .5B .4C .3D .09.点5(2,)P -关于y 轴的对称点的坐标是（）A .()2,5-B .(2,5)C .()5,2-D .(2,5)--10.将点1(1,)A -向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，得到点B ，则点B 的坐标为（）A .()2,1-B .(2,1)--C .(2,1)D .(2,)1-二、填空题（共8小题）11.点()2,3-=________；49的平方根为________.12.如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P 的坐标是________.13.如图是一个围棋棋盘的局部，若把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是(2,2)--，白棋③的坐标是(1,4)--，则黑棋②的坐标是________.14.如图，在ABC △中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，1CF =，DF 交CE 于点G ，且EG CG =，则BC =________.15.直角ABC △中，90BAC ∠=︒，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，已知3DF =，则AE =________.16.如图，ABC △中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分ABC ∠，交DE 于点F ，若10AB =，8BC =，则EF 的长是________.17.若点,(3)2P a +与点1,1()Q b -+关于y 轴对称，则a b +=________.18.点4()1,A -向右平移2个单位后，再向上平移1个单位，得1A ，则1A 点的坐标为________.三、解答题（共8小题）19.已知平面直角坐标系中有一点1,23()M m m -+.（1）当m 为何值时，点M 到x 轴的距离为1？（2）当m 为何值时，点M 到y 轴的距离为2？20.如图所示，在直角坐标系中，第一次将OAB △变换成11OA B △，第二次将11OA B △变换成22OA B △，第三次将22OA B △变换成33OA B △，已知()1,3A ，1()2,3A ，2()4,3A ，3()8,3A ，()2,0B ，1()4,0B ，2()8,0B ，3()16,0B .（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将44OA B △变换成55OA B △，则5A 的坐标是________，5B 的坐标是________.（2）若按第（1）题的规律将OAB △进行了n 次变换，得到n n OA B △，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测n A 的坐标是________，n B 的坐标是________.21.如图是某个海岛的平面示意图，如果哨所1的坐标是(1,3)，哨所2的坐标是()2,0-，请你先建立平面直角坐标系，并用坐标表示出小广场、雷达、营房、码头的位置.22.如图所示，在ABC △中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =.23.如图，在ABC △中，BC AC ＞，点D 在BC 上，且DC AC =.（1）利用直尺与圆规先作ACB ∠的平分线，交AD 于F 点，再作线段AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，最后连接EF .（2）若线段BD 的长为6，求线段EF 的长.24.如图：E 在线段CD 上，EA 、EB 分别平分DAB ∠和CBA ∠，90AEB ∠=︒，设AD x =，BC y =，且2()340x y -+-=.（1）求AD 和BC 的长；（2）你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.25.如图，在平面直角坐标系中，函数y x =的图象l 是第一、三象限的角平分线.实验与探究：由图观察易知()0,2A 关于直线l 的对称点A '的坐标为(2,0)，请在图中分别标明()5,3B 、5()2,C -关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出它们的坐标：B '________、C '________；归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点,()P m n 关于第一、三象限的角平分线L 的对称点P '的坐标为________.26.如图所示，在平面内有四个点，它们的坐标分别是0()1,A -，(2B +，()2,1C ，()0,1D .（1）依次连结A 、B 、C 、D ，围成的四边形是一个________形；（2）求这个四边形的面积；（3第23章综合测试答案解析一、1．【答案】C【解析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限.解：因为点()4,3P --所横纵坐标分别为（负，负），符合在第三象限的条件.故选：C ．2．【答案】D【解析】根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形即可得到经过5次翻滚后点A 对应点A 5的坐标，从而解答本题.解：如下图所示：由题意可得上图，经过5次翻滚后点A 对应点5A 的坐标对应上图中的坐标，故5A 的坐标为：(8,1).故选项A 错误，选项B 错误，选项C 错误，选项D 正确.故选：D ．3．【答案】C【解析】根据已知两点坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标.解：用(0,0)表示A 点，(0,4)表示B 点，则以点A 为坐标原点，AB 所在直线为y 轴，向上为正方向，x 轴是过A 点的水平直线，向右为正方向.所以点C 的坐标为(3,2).故选：C ．4．【答案】B【解析】根据点在坐标可知，过(0,0)，(2,0)的直线平行与x 轴且距离为2，第四个顶点在x 轴下方，所以平行四边形的对角线互相垂直平分，即第四个顶点的坐标为(1,)2-.解：根据题意可作图（如图），点在坐标可知，因为()1,2B ，而第四个顶点在x 轴下方，所以平行四边形的对角线互相垂直平分，即B 点、D 点关于x 轴对称，点D 的坐标为(1,)2-，故选B ．5．【答案】D【解析】根据已知对各个关系式进行分析，从而得到正确的选项.解：AD 是ABC △的中线，BD DC ∴=，EF FC = ，DF ∴为CBE △的中位线，DF BE ∴∥，CDF CBE ∴△∽△，AGE ADF △∽△，::1:2GE DF AG AD ∴==，:1:2DF BE =，:1:4GE BE ∴=，:4:3BE BG ∴=，∴①③正确故选：D ．6．【答案】B【解析】根据三角形中位线定理求出AC ，根据直角三角形的性质计算即可.解：D ，F 分别为BC ，AB 边的中点，232AC DF ∴==，AH BC ⊥ ，90AHC ∴∠=︒，又E 为AC 边的中点，1162HE AC ∴==.故选：B ．7．【答案】C【解析】平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O ，当OD BC ⊥时，OD 最小，即DE 最小，根据三角形中位线定理即可求解.解：平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O ，当OD BC ⊥时，OD 最小，即DE 最小.OD BC ⊥ ，BC AB ⊥，OD AB ∴∥，又OC OA = ，OD ∴是ABC △的中位线，132OD AB ∴==，26DE OD ∴==.故选：C ．8．【答案】C【解析】分别延长AE 、BF 交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出G 为PH 中点，则G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线MN .再求出CD 的长，运用中位线的性质求出MN 的长度即可.解：如图，分别延长AE 、BF 交于点H .60A FPB ∠=∠=︒ ，AH PF ∴∥，60B EPA ∠=∠=︒ ，BH PE ∴∥，∴四边形EPFH 为平行四边形，EF ∴与HP 互相平分.G 为EF 的中点，G ∴也正好为PH 中点，即在P 的运动过程中，G 始终为PH 的中点，所以G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线MN ，10226CD =--= ，3MN ∴=，即G 的移动路径长为3．故选：C ．9．【答案】D【解析】熟悉：平面直角坐标系中任意一点,()P x y ，关于y 轴的对称点的坐标是()x y -,.解：点5(2)P -,关于y 轴的对称点的坐标是：(25)--,.故选：D ．10.【答案】A【解析】让A 点的横坐标减3，纵坐标加2即为点B 的坐标.解：由题中平移规律可知：点B 的横坐标为132-=-；纵坐标为121-+=，∴点B 的坐标是(21)-,.故选：A ．二、11．【答案】二0.1-23±【解析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案；根据开立方运算，可得答案；根据开平方运算，可得答案.解：点(23)-,在第0.1=-；的平方根为23±.故答案为：二，0.1-，23±.12．【答案】(2018)0,【解析】利用点的坐标变换得到点的横坐标与运动的次数相同，纵坐标为1，0，2，0循环，则利用201845042=⨯+可确定第2018次运动后的纵坐标，问题得解.解：点P 坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则201850442=⨯+，所以，前504次循环运动点P 共向右运动50442016⨯=个单位，剩余两次运动向右走2个单位，且在x 轴上，故点P 坐标为(2018)0,故答案为：(2018)0,.13．【答案】(1)3-,【解析】以白棋①向左2个单位，向下2个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出黑棋②的坐标即可.解：建立平面直角坐标系如图，黑棋②的坐标是(1)3-,.故答案为：(1)3-,.14．【答案】2【解析】通过全等三角形DEG △和FCG △，可得出1CF DE ==；根据DE 是ABC △的中位线，可求出:1:2DE BC =.解：D 、E 分别是AB 和AC 的中点DE BC ∴∥，12DE BC =，ADE ABC ∴△∽△，GED GCF △≌△，1DE CF ∴==，12CF BC ∴=，2BC ∴=.故答案为2．15．【答案】3【解析】由三角形中位线定理得到12DF BC =；然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到12AE BC =，则DF AE =.解：如图， 在直角ABC △中，90BAC ∠=︒，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DF ∴是ABC △的中位线，12DF BC ∴=，又 点E 是直角ABC △斜边BC 的中点，12AE BC ∴=，3DF = ，DF AE ∴=.故填：3．16．【答案】1【解析】根据三角形中位线定理求出DE 、DE AB ∥，根据平行线的性质、角平分线的定义得到4DF DB ==，计算即可.解：D 、E 分别是BC 、AC 的中点，152DE AB ∴==，DE AB ∥，142BD BC ==，ABF DFB ∴∠=∠，BF 平分ABC ∠，ABF DBF ∴∠=∠，DBF DFB ∴∠=∠，4DF DB ∴==，1EF DE DF ∴=-=.故答案为：1．17．【答案】1【解析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出a 、b ，然后相加计算即可得解.解： 点2()3P a +,与点()11Q b -+,关于y 轴对称，21a ∴+=，13b +=，解得1a =-，2b =，所以1)21(a b +=-+=.故答案为：1．18．【答案】(1)5,【解析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算.解：点()14A -,向右平移2个单位后，再向上平移1个单位，得1A ，则1A 点的坐标为12,1()4-++，即(1)5,.故答案为：(1)5,.三、19．【答案】解：（1）||231m += ，231m +=或231m +=-，1m ∴=-或2m =-；（2）2|1|m -= 12m -=或12m -=-，3m ∴=或1m =-.【解析】（1）让纵坐标的绝对值为1列式求值即可；（2）让横坐标的绝对值为2列式求值即可.20.【答案】（1）(32,3)(64,0)（2）(2),3n 1(20),n +【解析】（1）对于1A ，2A ，n A 坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现n A 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3，同理1B ，2B ，n B 也一样找规律.解：因为()1,3A ，1()2,3A ，2()4,3A ，3()8,3A …纵坐标不变为3，同时横坐标都和2有关，为2n ，那么5()32,3A ；因为()2,0B ，1()4,0B ，2()8,0B ，3()16,0B …纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为12n +，那么B 的坐标为5()64,0B ；故答案为：(32,3)，(64,0)；（2）根据第一问得出总结规律即可知A 的坐标是(2),3n ，B 的坐标是1(20),n +.解：由上题第一问规律可知n A 的纵坐标总为3，横坐标为2n ，n B 的纵坐标总为0，横坐标为12n +，n A ∴的坐标是(2),3n ，n B 的坐标是1(20),n +.故答案为：(2),3n ，1(20),n +.21．【答案】解：建立如图所示的平面直角坐标系：小广场(0,0)、雷达(4,0)、营房(2,)3-、码头(1,2)--.【解析】建立直角坐标系的关键是确定原点，x 轴和y 轴，确定单位长度即可得出答案.22．【答案】证明：CD CA = ，CF 平分ACB ∠，F ∴是AD 中点，AE EB = ，E ∴是AB 中点，EF ∴是ABD △的中位线，12EF BD ∴=.【解析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是AD 中点，再根据三角形的中位线定理可得12EF BD =.23．【答案】解：（1）所作图形如下：（2）CF 平分ACB ∠，ACF BCF ∴∠=∠，又DC AC = ，CF ∴是ACD △的中线∴点F 是AD 的中点点E 是AB 的垂直平分线与AB 的交点∴点E 是AB 的中点EF ∴是ABD △中位线132EF BD ∴==.【解析】（1）用圆规在角的两边上分别截取相等的线段，以交点为圆心，大于两交点之间的距离的一半为半径画弧交于一点，连接顶点及交点即可得到角的平分线.（2）连接CE ，根据三角形中位线定理及角平分线的性质可以判定EF 是三角形的中位线，从而求出中位线的长.24．【答案】解：（1）AD x = ，BC y =，且2()340x y -+-=，3AD ∴=，4BC =.（2）AD BC ∥，理由是： 在AEB △中，90AEB ∠=︒，90EAB EBA ∴∠+∠=︒，又EA 、EB 分别平分DAB ∠和CBA ∠，180DAB ABC ∴∠+∠=︒.AD BC ∴∥.（3）能.如图，过E 作EF AD ∥，交AB 于F ，AD BC ∥（已证），EF AD ∥，AD EF BC ∴∥∥，则DAE AEF ∠=∠，EBC BEF ∠=∠，EA 、EB 分别平分DAB ∠和CBA ∠，EAF AEF ∴∠=∠，EBF BEF ∠=∠，AF EF FB ∴==，又EF AD BC ∥∥，EF ∴是梯形ABCD 的中位线，722AD BC EF +∴==，7AB ∴=.【解析】（1）根据题意可知30x -=，40y -=，易求解AD 和BC 的长；（2）根据90AEB ∠=︒，可得90EAB EBA ∠+∠=︒，因为EA 、EB 分别平分DAB ∠和CBA ∠，则180DAB ABC ∠+∠=︒，所以AD BC ∥；（3）如图，过E 作EF AD ∥，交AB 于F ，则DAE AEF ∠=∠，EBC BEF ∠=∠，因为EA 、EB 分别平分DAB ∠和CBA ∠，所以AF EF FB ==，再根据梯形中位线定理易求AB 的长.25．【答案】5()3,B ')2(5,C '-(),n m 【解析】根据平面直角坐标系内关于y x =对称的点的坐标的特点，横坐标变为纵坐标，纵坐标变为横坐标，即可得出答案.实验与探究：如图：5()3,B '，)2(5,C '-，归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标可知坐标平面内任一点,()P m n 关于第一、三象限的角平分线L 的对称点P '的坐标为(),n m .26．【答案】（1）梯（2）),(10A - ，(2B +，()2,1C ，()0,1D ，3AB ∴=，2CD =，∴四边形ABCD 的面积1153()(32)1222AB CD OD =+⋅=+⨯=；（3）'(1A --，'(2,0)B ，'(2C ，'(D .【解析】（1）顺次连接AB 、BC 、CD 、DA ，结合图形可得四边形BCD 是梯形；解：如图所示；依次连结A 、B 、C 、D ，围成的四边形是一个梯形.故答案为梯；（2）求出AB 和CD 的长，根据梯形的面积计算公式求解即可；（3）将四边形各顶点的横坐标减去。

第23章综合测试一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1.下列图形中一定是相似形的是（ ） A .两个等边三角形B .两个菱形C .两个矩形D .两个直角三角形2.如图，点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，已知4AC =，则DE 为（ ）A .1B .2C .4D .83.若23x y =，且0x ≠，则x yy−的值为（ ） A .13B .13−C .12D .12−4.如图，已知直线a b c ∥∥，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，4AC =，6CE =，3BD =，DF =（ ）A .7B .7.5C .8D .4.55.点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB BC ＜，若2AC =，则BC 的长为（ ）A .12B .12 C 1 D 16.如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A 、B 、C 、D 、O 都在横格线上，且线段AD 、BC 交于点O .若线段4cm AB =，则线段CD 长为（ ）A .4cmB .5cmC .6cmD .8cm7.如图，已知ACD B ∠=∠，若6AC =，4AD =，10BC =，则CD 长为（ ）A .203B .7C .8D .9 8.如图，ABCD FAHG 矩形∽矩形，连结BD ，延长GH 分别交BD 、BC 于点I 、J ，延长CD 、FG 交于点E ，一定能求出BIJ △面积的条件是（ ）A .矩形ABJH 和矩形HJCD 的面积之差B .矩形ABJH 和矩形HDEG 的面积之差C .矩形ABCD 和矩形AHGF 的面积之差D .矩形FBJG 和矩形GJCE 的面积之差9.如图，已知ABC △与DEF △位似，位似中心为O ，且ABC △的面积与DEF △的面积之比是16:9，则:AO AD 的值为（ ）A .4:7B .3:5C .9:4D .9:510.如图，直角坐标平面xOy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(1,0)−运动到点()01,，第2次运动到点()1,0，第3次运动到点()2,2−，…按这样的运动规律，动点P 第2 020次运动到点（ ）A .(2020,2)−B .(2020,0)C .(2019,1)D .(2019,0)二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11.在一幅比例尺是1:6000000的图纸上，量得两地的图上距离是2厘米，则两地的实际距离是________千米.12.如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是()30,和()32-,，那么“卒”的坐标为________.13.一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是________.14.如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度.已知标杆BE 高1.5m ，测得2m AB =，6m BC =，则建筑物CD 的高是________m .15.在平面直角坐标系中，点()M a b ,与点()3,1N -关于x 轴对称，则a b 的值是________.16.如果一个梯形的上底与下底之比等于1:2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是________.17.如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，25PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是________.18.如图，在等腰Rt ABC △中，AC BC ==EDF ∠的顶点D 是AB 的中点，且45EDF ∠=︒，现将EDF ∠绕点D 旋转一周，在旋转过程中，当EDF ∠的两边DE 、DF 分别交直线AC 于点G 、H ，把DGH△沿DH 折叠，点G 落在点M 处，连接AM ，若34AH AM =，则AH 的长为________.三、解答题（共8小题，满分58分）19.（6分）如图，已知DE BC ∥，FE CD ∥，3AF =，5AD =，4AE =.（1）求CE 的长； （2）求AB 的长.20.（6分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条边50cm DF =，40cm DE =，测得边DF 离地面的高度 1.5m AC =，12m CD =，求树高AB .21.（6分）画图题.在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1.请画出符合下列要求的图形： （1）图1中将三角形A 的各条边按3:1放大，得到三角形B ； （2）图2中将长方形C 的各条边按1:2缩小，得到长方形D .图1图222.（7分）如图，在ABC △中，3BC =，D 为AC 延长线上一点，3AC CD =，CBD A ∠=∠，过D 作DH AB ∥，交BC 的延长线于点H . （1）求证：HCD HDB △∽△. （2）求DH 长度.23.（8分）在平面直角坐标系中，已知点(,32)A a a −+，(1, 2)B a −. （1）若点B 在第一象限的角平分线上时，则a =________.（2）若点A 到x 轴的距离是到y 轴的距离的4倍，则点A 的坐标为________. （3）若线段AB x ∥轴，求点A 、B 的坐标及线段AB 的长.24.（8分）在直角坐标系中，已知线段AB ，点A 的坐标为()1,2-，点B 的坐标为()30,，如图所示. （1）平移线段AB 到线段CD ，使点A 的对应点为D ，点B 的对应点为C ，若点C 的坐标为()24-,，求点D 的坐标；（2）平移线段AB 到线段CD ，使点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限内，连接BC ，BD .如图2所示，若7BCD S =△（BCD S △表示三角形BCD 的面积），求点C 、D 的坐标.图1图225.（8分）如图，Rt ABC △，90C ∠=︒，10cm AC =，8cm BC =.点P 从点C 出发，以2cm/s 的速度沿CA 向点A 匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BC 向点C 匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止.（1）求经过几秒后，PCQ △的面积等于ABC △面积的25？ （2）经过几秒，PCQ △与ABC △相似？26.（9分）如图，ABC 中，DE BC ∥，G 是AE 上一点，连接BG 交DE 于F ，作GH AB ∥交DE 于点H . （1）如图1，与GHE △相似三角形是________（直接写出答案）；（2）如图1，若3AD BD =，BF FG =，求EGAG的值； （3）如图2，连接CH 并延长交AB 于P 点，交BG 于Q ，连接PF ，则一定有PF CE ∥，请说明理由.图1图2第23章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：A . 2.【答案】B【解析】解：点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，DE ∴是ABC △的中位线， 114222DE AC ∴⨯＝＝＝，故选：B . 3.【答案】C【解析】解：23x y ＝，且0x ≠，∴两边除以2y 得：32x y =， 311122x y x y y −∴=−=−=. 故选：C . 4.【答案】D【解析】解：直线a b c ∥∥，AC BD CE DF ∴=，即436DF=， 92DF ∴=.故选：D . 5.【答案】D【解析】解：点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB BC ＜，12BC AC −∴＝， 2AC ＝，1BC ∴.故选：D . 6.【答案】C【解析】解：如图，过点O 作OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，则OE 、OF 分别是AOB △、DOC △的高线，练习本中的横格线都平行，AOB DOC ∴△∽△，AB OE CD OF ∴=，即423CD =，6cm CD ∴=. 故选：C . 7.【答案】A【解析】解：A A ∠=∠，ACD B ∠=∠，ACD ABC ∴△∽△，AC BCAD CD∴=， 6AC =，4AD =，10BC =，6104CD∴=， 203CD ∴=. 故选：A . 8.【答案】B【解析】解：设矩形的边AH x =，GH y =，EG a =，DC b =， 则BJ x =，JC a =，JI CD ∥，JI BJDC BC∴=，即xb JI x a =+， 矩形ABCD ∽矩形FAHG ，FG ADGH DC ∴=， 即x x a y b +=，xb x a y∴+=， 12S BJ JI ∴=⋅阴影， 12xbx x a =⋅+ 12xy =. ABJH HDEG S S −矩形矩形xb ay =−()y x a x ay x+=⋅− xy =.12BIJABJH HDEG S S S ∴=−阴影矩形矩形. 所以一定能求出BIJ △面积的条件是矩形ABJH 和矩形HDEG 的面积之差. 故选：B . 9.【答案】A【解析】解：ABC △与DEF △位似，AB DE ∴∥，ABC DEF △∽△，ABC △的面积与DEF △的面积之比是16:9， ABC △的面积与DEF △的相似比是4:3，即43AB DE =， AB DE ∥， OAB ODE ∴△∽△，43OA AB OD DE ∴==， 47AO AD ∴=. 故选：A . 10.【答案】D【解析】解：20204505÷=，∴动点P 第2020次运动为第505个循环组的第4次运动，横坐标505412019⨯−=，纵坐标为0，∴点P 此时坐标为()20190,. 故选：D .二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11.【答案】120【解析】解：因为比例尺=图上距离实际距离，所以实际距离2600000012000000==⨯=图上距离（厘米）比例尺， 12 000 000120=厘米千米.故答案为：120. 12.【答案】(2,1)−−【解析】解：如图所示：“卒”的坐标为：(2,1)−−. 故答案为：(2,1)−−.13.【答案】12【解析】解：345618+++=， 设第二个四边形的周长为x ， 两个四边形相似，1836x ∴=， 解得36x =.6361218⨯=， 故答案为：12. 14.【答案】6【解析】解：由题意可得：BE DC ∥， 则ABE ACD △∽△， 故AB BEAC DC=， 标杆BE 高1.5m ，2m AB =，6m BC =， 2 1.526CD∴=+， 解得：6DC =. 故答案为：6. 15.【答案】1【解析】解：点()M a b ,与点()31N −,关于x 轴对称，3a ∴=，1b =，1a b ∴=，故答案为：1.16.【答案】5:7【解析】解：设梯形的上底为a ，则下底为2a ，∴梯形的中位线2322a a a +==， 梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h 是相等的，∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比135********a a h a a h ⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭， 故答案为：5:7.17.【答案】25︒ 【解析】解：点E ，P 分别是AB ，BD 的中点，EP ∴是ABD △的中位线，12EP AD ∴=， 同理，12FP BC =， AD BC =，EP FP ∴=，25PFE PEF ∴∠=∠=︒，故答案为：25︒.18.【答案】2或2或 【解析】解：①如图1中，当点H 在线段AC 上，点G 在AC 的延长线上时，连接CD ，作DJ AC ⊥于J ，设3AH k =，4AM k =.CA CB =，90ACB ∠=︒，AD DB =，CD AB ∴⊥，CD DA DB ==，45ACD DCB ∴∠=∠=︒，135DCG ∠=︒，45EDF EDM ∠=∠=︒，DG DM =，ADC MDG ∴∠=∠，ADM CDG ∴∠=∠，()ADM CDG SAS ∴△≌△，135DAM DCG ∴∠=∠=︒，45CAB ∠=︒，90CAM ∴∠=︒，5MH GH k ∴====，45GDH GAD ∠=∠=︒，DGH AGD ∠=∠，DGH AGD ∴∽， ∴DG GHAG DG =，22•40DG GH GA k ∴==，AC BC ==，90ACB ∠=︒，12AB ∴==，6AD CD ∴==，DJ AC ⊥，AJ JC ∴==DJ AJ IC ===，8GJ K ∴=−在Rt DJG △中，222DG DJ GJ =+，22240(8k k ∴=−+，解得k =3AH k ∴==②如图2中，当点H 在线段AC 上，点G 在上时，连接CD ，作DJ AC ⊥于J ，设3AH k =，4AM k =.同法可得：22240(8k k =−+，解得2k =（舍弃）或2，32AH k ∴==. ③如图3中，当点H 在线段CA 的延长线上，点G 在线段AC 上时，连接CD ，作DJ AC ⊥于J ，设3AH k =，4AM k =.同法可得：222102)k k =−+，解得k =−3AH k ∴==，综上所述，满足条件的AH 的值为.故答案为2或2或. 三、19.【答案】解：（1）FE CD ∥，AE AF AC AD ∴=，即435AC =， 解得，203AC =， 则208433CE AC AE =−=−=； （2）DE BC ∥，AD AE AB AC ∴=，即535AB =， 解得，253AB =. 20.【答案】解：在Rt DEF △中，222DE EF DF +=，即：2224050EF +=，30EF ∴=，由题意得：90BCD DEF ∠=∠=︒，CDB EDF ∠=∠，DCB DEF ∴△∽△，CB DC EF DE∴=， 30cm 0.3m EF ==，40cm 0.4m DE ==，12m CD =，120.30.4BC ∴=， 解得：9BC =米，1.5m AC =，1.5910.5m AB AC BC ∴=+=+=.21.【答案】解：（1）如图1，三角形B 为所作；（2）如图2，长方形D 为所作；22.【答案】解：（1）证明：DH AB ∥，A HDC ∴∠=∠，CBD A ∠=∠，HDC CBD ∴∠=∠，又H H ∠=∠，HCD HDB ∴△∽△；（2）DH AB ∥，CD CH AC BC∴=， 3AC CD =，1CH 33∴=， 1CH ∴=，314BH BC CH ∴=+=+=，由（1）知HCD HDB △∽△，DH CH BH DH∴=， 2414DH ∴=⨯=，2DH ∴=（负值舍去）.答：DH 的长度为2.23.【答案】解：（1）3（2）()28−,或28,77⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）线段AB x ∥轴，322a a ∴+=−，解得2a =−，A ∴点坐标为()24−,，B 点坐标为()14−,.线段AB 的长为211−=.【解析】（1）点B 在第一象限的角平分线上，12a ∴=−，3a ∴=.故答案为：3；（2）点A 到x 轴的距离是到y 轴的距离的4倍，324a a ∴+=−，324a a ∴+=或324a a +=−，2a ∴=或27a =−， ∴点A 的坐标为()28−,或28,77⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）参见解题过程。

第21章达标检测卷（总分：120分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） A. 1+a B. 12-a C. a1D. a 2 2．若式子11-+m m 有意义，则m 的取值范围为（ ） A ．m >-1 B ．m ≥-1 C ．m ≥-1且m ≠1 D ．m >-1且m ≠1 3．下列计算正确的是（ ）A.2+3=5B.2×3=6C.8=4D. ）（32-）（32-=-3 4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A.5.1 B.45 C.21D.y x 22+ 5．若（m -1）2+2+n =0，则m +n 的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 6．下列说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的两个最简二次根式一定是同类二次根式B. 8与80是同类二次根式C. 2与501不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式7．若a -b =23-1，ab =3，则（a +1）（b -1）的值为（ ） A ．-3 B ．33 C ．33-2 D.3-1 8．若实数a 在数轴上的位置如图，则化简|a -1|+a 2的结果是（ ）（第8题图）A ．-1B ．2aC ．1D ．2a -1 9．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x -y 的值是（ ） A ．33-3 B.3 C ．1 D ．3 10．观察下列等式：①2111122++=1+11-111+=121；②3121122++=1+21-121+=161；③4131122++=1+31-131+=1121. 根据上面三个等式提供的信息，请猜想5141122++的结果为（ ） A ．1101 B ．151 C ．191 D ．1201二、填空题（每小题3分，共10小题，共30分）11．若二次根式1-x 有意义，则x 的取值范围是________． 12．计算：24-332=________． 13．使n 12是整数的最小正整数n =________．14．化简：（a -2）2+）（22-a =________．15．计算：（2+3）2-24=________．16．若定义运算符号“☆”为x ☆y =1+xy ，则（2☆4）☆9=________． 17．若xy >0，则化简二次根式x x y 2-的结果为________．18．若x =2-10，则代数式x 2-4x -6的值为________．19． 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和2，则阴影部分的面积为________．（第19题图）20. 有下列四个结论：①二次根式b 2是非负数；②若12-a =1+a ·1-a ，则a 的取 值范围是a ≥1；③将m 4-36在实数范围内分解因式，结果为（m 2+6）（m +6）（m -6）； ④当x >0时，x <x ．其中正确的结论是_________．（填正确结论的序号） 三、解答题（共7小题，共60分） 21．（12分）计算：（1）48÷3-21×12+24； （2）8-8148-（32214-243）； （3）6÷（31+21）+50；（4）（-21）-1-12+（1-2）0-|3-2|.22．（7分）已知最简二次根式23142+a 与32162-a 是同类二次根式，求a 的值．23．（7分）已知⎩⎨⎧==32y x ，是关于x ，y 的二元一次方程3x =y +a 的一组解，求（a +1）（a - 1）+7的值．24．（7分）已知x =1-2，y =1+2，求x 2+y 2-xy -2x +2y 的值．25．（7分）如图，大正方形纸片的面积为75 cm 2，它的四个角都是面积为3 cm 2的小正方形，现将这四个小正方形剪掉，用剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积．（结果保留根号）（第25题图）26．（8分）阅读下面的解题过程：）（）（121212211-⨯+-=+=2-1； ）（）（232323231-⨯+-=+=3-2； ）（）（252525251-⨯+-=+=5-2.（1）求671+的值；（2）求17231+的值．27．（12分）阅读材料：王明在学习完二次根式后，发现一些式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2. 善于思考的王明进行了如下探索：设a +2b =（m +2n ）2（其中a ，b ，m ，n 均为正整数），则有a +2b =m 2+2n 2+22mn ， ∴a =m 2+2n 2，b =2mn .这样王明就找到了把类似a +2b 的式子化为完全平方式的方法． 请你仿照王明的方法探索并解决下列问题：（1）当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a +3b =（m +3n ）2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a =________，b =________；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：________+3________=（________+________3）2；（3）若a +43=（m +3n ）2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值. 答案一、1. D 分析：根据二次根式的定义可知，被开方数为非负数，选项中只有a 2≥0一定成立．故选D ．2. C 分析：根据题意，得⎩⎨⎧≠-≥+，，0101m m 解得m ≥-1且m ≠1．故选C ．3. B 分析：2和3不是同类项，不能合并，故A 错误；8=22，故C 错误；）（32-=3，故D 错误．故选B ． 4. D 分析：5.1=26，故A 不符合题意；45=35，故B 不符合题意；21=22，故C 不符合题意．故选D ．5. A 分析：∵（m -1）2≥0，2+n ≥0，且（m -1）2+2+n =0，∴m -1=0，n +2=0，解得m =1，n =-2．∴m +n =1+（-2）=-1.[故选A ．来源6. A7. A 分析：（a +1）（b -1）=ab -（a -b ）-1. 将a -b =23-1，ab =3代入上式，得原式=3-（23-1）-1=-3. 故选A.8. C 分析：由题中的数轴可知，0<a <1，所以|a -1|=1-a ，a 2=a . 所以|a -1|+a 2=1-a+a=1.故选C.9. C 分析：因为3的整数部分为1，小数部分为3-1，所以x =1，y =3-1. 所以3x -y =3-（3-1）=1. 故选C.10. D 分析：第1个等式结果的分母为1×2，第2个等式结果的分母为2×3，第3个等式结果的分母为3×4，…，第n 个等式结果的分母为n （n +1）．所以5141122++的结果为541⨯=201. 故选D. 二、11. x ≥1 分析：因为二次根式1-x 有意义，所以x -1≥0，解得x ≥1． 12.6 分析：24-332=26-6=6． 13. 3 分析：当n =1时，n 12=23，不是整数；当n =2时，n 12=26，不是整数；当n =3时，n 12=36=6，是整数，故使n 12是整数的最小正整数n =3.14. 4-2a 分析：要使a -2有意义，则a ≤2. 所以（a -2）2+）（22-a =2-a -（a -2）=2-a -a +2=4-2a .15. 5 分析：（2+3）2-24=5+26-26=5.16. 27 分析：根据题中的定义可知，2☆4=142+⨯=3，所以（2☆4）☆9=193+⨯=28= 27.17. -y - 分析：由题意知，x <0，y <0．所以x xy 2-=-y -.18. 0 分析：因为x =2-10，所以x -2=-10．所以x 2-4x -6=（x -2）2-10=（-10）2- 10=10-10=0.19. 22-2 分析：由题图知，阴影部分的面积为2×（2-2）= 22-2．20. ①②③ 分析：二次根式b 2表示b 2的算术平方根，所以b 2是非负数，故①正确；若12-a =1+a ·1-a ，则a +1≥0，a -1≥0，所以a ≥1，故②正确；在实数范围内分解因式，m 4-36=（m 2+6）（m 2-6）=（m 2+6）（m +6）（m -6），故③正确；若x =41，则x =21>x ，故④错误．三、21. 解：（1）48÷3-21×12+24=16-6+26=4-6+26=4+6. （2）8-8148-（32214-243）=22-81×43-32×223-3=22-23-2-3= 2+23. （3）6÷（31+21）+50=6÷（33+22）+52=6×23326++52=6×（32-23）+52=63-62+52=63-2. （4）（-21）-1-12+（1-2）0-|3-2|=-2-23+1-（2-3）=-2-23+1-2+3=-3-3. 22．解：根据题意，得4a 2+1=6a 2-1，即2a 2=2，所以a =±1. 23．解：∵⎩⎨⎧==32y x ，是关于x ，y 的二元一次方程3x =y +a 的一组解， ∴23=3+a ，∴a =3.∴（a +1）（a -1）+7=a 2-1+7=3-1+7=9. 24．解：∵x =1-2，y =1+2，∴x -y =（1-2）-（1+2）=-22，xy =（1-2）×（1+2）=-1.∴x 2+y 2-xy -2x +2y =（x -y ）2-2（x -y ）+xy =（-22）2-2×（-22）+（-1）=7+4 2. 25. 解：设大正方形的边长为x cm ，小正方形的边长为y cm ，则x 2=75，y 2=3， ∴x =53，y =3（负值全舍去）．由题意可知，这个长方体盒子的底面为正方形，且底面边长为53-2×3=33（cm ），高为3 cm.∴这个长方体盒子的体积为（33）2×3=273（cm 3）． 26．解：（1））（）（676767671-⨯+-=+=7-6. （2）））（（17231723172317231-+-=+=32-17.27．解：（1）m 2+3n 2；2mn .（2）答案不唯一，如21；12；3；2. （3）由b =2mn ，得4=2mn ，所以mn =2.因为a ，m ，n 均为正整数，所以mn =1×2或mn =2×1， 即m =1，n =2或m =2，n =1.当m =1，n =2时，a =m 2+3n 2=12+3×22=13；当m=2，n=1时，a=m2+3n2=22+3×12=7. 因此，a的值为13或7.。

华东师大版数学九年级上册第22章单元测试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列方程中，是一元二次方程共有（）①x2−x3+3=0②2x2−3xy+4=0③x2−1x=4④x2=1⑤3x2+x=20．A.2个B.3个C.4个D.5个2.一元二次方程x2−1=0的根为（）A.x=1B.x=−1C.x1=1，x2=−1D.x=23.把方程(2x−1)(3x+2)=x2+2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（）A.5，−4B.5，1C.5，4D.1，−44.方程x2=x的两根分别为（）A.x1=−1，x2=0B.x1=1，x2=0C.x1=−l，x2=1D.x1=1，x2=15.已知2是关于x的方程：x2−x+a=0的一个解，则2a−1的值是（）A.5B.−5C.3D.−36.用配方法解方程x2−2x−6=0时，原方程应变形为（）A.(x+1)2=7B.(x−1)2=7C.(x+2)2=10D.(x−2)2=107.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b)2成立，其中正确的只有（）A.①②④B.②③C.③④D.①④8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，则m可能取的值为（）A.m>0B.m>4C.−4，−5D.4，59.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b=a2+ab，则方程x△(x−2)=12的实数根是（）A.x1=−2，x2=3B.x1=2，x2=−3C.x1=−1，x2=6D.x1=1，x2=−610.关于x的一元二次方程x2−mx+5(m−5)=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+ x2=7，则m的值是（）A.2B.6C.2或6D.7二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11.用配方法解方程时，把方程x2−8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m−n=________．12.某公司一月份的产值为70万元，二、三月份的平均增长率都为x，三月份的产值比二月份产值多10万元，则可列方程为________．13.方程√2x2−√3x−1=0的解为________．14.红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是________．15.若两个连续偶数的积为288，则这两个连续偶数的和为________．16.方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则√αβ+√βα的值为________．17.已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x−6=0的一个根是2，求方程的另一根x1=________和k=________．18.设a、b是方程x2+x−2014=0的两个实数根，则(a+1)2+b的值为________．19.方程√3x−2=x的解是________．20.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程________．三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21.解方程：①(2x−1)2=9（直接开平方法）②x2+3x−4=0（用配方法）③x2−2x−8=0（用因式分解法）④(x+4)2=5(x+4)⑤(x+1)(x+2)=2x+4⑥x2+2x−9999=0．22.已知关于x的方程x2−(2m+1)x−(2m−1)=0的一个根为1，求m的值．23.已知m是方程x2−2014x+1=0的一个根，求代数式2m2−4027m−2+2014m2+1的值．24.把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)5x2=3x；(2)(√2−1)x+x2−3=0；(3)(7x−1)2−3=0；(4)(x2−1)(x2+1)=0；(5)(6m−5)(2m+1)=m2．25.设x1、x2是关于x的方程x2−4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立，请说明理由．26.已知：关于x 的方程x 2+(2m +4)x +m 2+5m 没有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若关于x 的一元二次方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；(3)设(2)中方程的两根分别为α、β，若α:β=1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值．参考答案：1.B2.C3.A4.B5.B6.B7.D8.C9.A 10.B 11.−1712.70(1+x)2=70(1+x)+10 13.x 1=√6+√3√2+84，x 2=√6−√3√2+8414.√2−1 15.34或−34 16.317.−3−2 18.201419.x 1=1，x 2=220.(30−2x)(20−x)=6×78 21.解：①(2x −1)2=9，开方得：2x −1=3或2x −1=−3， 解得：x 1=2，x 2=−1； ②x 2+3x −4=0，方程变形得：x 2+3x =4， 配方得：x 2+3x +94=254，即(x +32)2=254，开方得：x +32=±52，解得：x 1=1，x 2=−4；③x 2−2x −8=0，分解因式得：(x −4)(x +2)=0， 解得：x 1=4，x 2=−2；④方程整理得：(x +4)2−5(x +4)=0， 分解因式得：(x +4)(x +4−5)=0， 解得：x 1=−4，x 2=1；⑤方程整理得：(x +1)(x +2)−2(x +2)=0， 分解因式得：(x +2)(x +1−2)=0，解得：x1=−2，x2=1；⑥方程移项得：x2+2x=9999，配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，开方得：x+1=100或x+1=−100，解得：x1=99，x2=−101．22.解：把x=1代入x2−(2m+1)x−(2m−1)=0得1−2m−1−2m+1=0，解得m=14．23.解：∵m是方程x2−2014x+1=0的一个根，∴m2−2014m+1=0，∴m2=2014m−1，m2+1=2014m，∴原式=2(2014m−1)−4027m−2+20142014m=m+1m−4=m2+1m−4=2014mm−4=2014−4=2010．24.解：(1)方程整理得：5x2−3x=0，二次项系数为5，一次项系数为−3，常数项为0；(2)x2+(√2−1)x−3=0，二次项系数为1，一次项系数为√2−1，常数项为−3；(3)方程整理得：49x2−14x−2=0，二次项系数为49，一次项为−14，常数项为−2；(4)方程整理得：14x2−1=0，二次项系数为14，一次项系数为0，常数项为−1；(5)方程整理得：11m2−4m−5=0，二次项系数为11，一次项系数为−4，常数项为−5．25.解：∵方程有实数根，∴b2−4ac≥0，∴(−4)2−4(k+1)≥0，即k≤3．∵x=4±√(−4)2−4(k+1)2=2±√3−k，∴x1+x2=(2+√3−k)+(2−√3−k)=4，x1⋅x2=(2+√3−k)⋅(2−√3−k)=k+1若x1⋅x2>x1+x2，即k+1>4，∴k>3．而k≤3，因此，不存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立．26.解：(1)∵关于x的方程x2+(2m+4)x+m2+5m没有实数根，∴△=(2m+4)2−4×1×(m2+5m)<0，∴m>4，∴m 的取值范围是m >4；(2)由于方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有两个实数根可知m ≠0， 当m >4时，m−3m>0，即方程的两根之积为正，故方程的两根符号相同． (3)由已知得：m ≠0，α+β=−n−2m，α·β=m -3m．∵α:β=1:2， ∴3α=−n−2m，2a 2=m−3m．(n−2)29m 2=m−32m，即(n −2)2=92m(m −3)． ∵m >4，且n 为整数，∴m 为整数；当m =6时，(n −2)2=92×6×3=81．∴m 的最小值为6．华东师大版数学九年级上册第23章单元测试题一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cm B ．1cm ，2cm ，3cm ，5cm C ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm D ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm2．如果x 2＝y 3，那么x ＋yx －y的值是（ ）A ．5B ．1C ．－5D ．－13．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为（ ）A ．1∶25B ．1∶5C ．1∶2.5D ．1∶ 54．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（ ） A ．4 B ．7 C ．3 D ．12第4题图5．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为（ ）A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2)第5题图6．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(2，0)，点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等)，则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4第6题图7．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米第7题图8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A.22B.32C．1 D.62第8题图二、填空题(每小题3分，共30分)9．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB 的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是m.第9题图10．如图，是象棋棋盘的一部分，若位于点(1，－2)上，位于点上，则位于点(－2，1)上．第10题图11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，DE ＝6，则BC 的长是.第11题图12．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件，使△ABC ∽△ACD (只填一个即可)．13．在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度得到的，如果图形a 中的点A 的坐标为(4，－2)，则图形b 中与点A 对应的点A ′的坐标为．第12题图14．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是．第14题图第15题图15．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE 为Rt △CDB 的斜边BC 上的高．若BE ＝6，CE ＝4，则CD ＝.16．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝10 2.四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D 、E 、F 在三角形的边上)，则此正方形的面积是.第16题图第17题图第18题图17．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB ，AB 与地面平行，当支点O 在距离A 端2米时，A 端的人可以将B 端的人跷高1.5米，那么当支点O 在AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将B 端的人跷高米．18．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD .E 为四边形ABCD 内一点且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°，使BC 与DC 重合，得到△DCF .连接EF 交CD 于M ，已知BC ＝10，CF ＝6，则ME ∶MF 的值为.三、解答题(共66分)19．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°. (1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．20．(6分)如图所示，AD 、BE 是钝角△ABC 的边BC 、AC 上的高，求证：AD BE ＝ACBC.21．(6分)如图，M 、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米、AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22．(7分)已知：△ABC在平面直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是(2，－2)；(2分)(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C2的坐标是(1，0)；(3)△A2B2C2的面积是10平方单位．23．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段EC的长度．24．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．25．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．26．(12分)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP 的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．(1)∠PBD的度数为45°，点D的坐标为(t，t)(用t表示)；(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？参考答案：1．D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A8．C 解析：作MH ⊥AC 于H ，如图.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠MAH ＝45°，∴△AMH 为等腰直角三角形，∴AH ＝MH ＝22AM ＝22×2＝2. ∵CM 平分∠ACB ，∴BM ＝MH ＝2，∴AB ＝2＋2，∴AC ＝2AB ＝(2＋2)×2＝22＋2，∴OC ＝12AC ＝2＋1，CH ＝AC －AH ＝22＋2－2＝2＋2. ∵BD ⊥AC ，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ，∴ON MH ＝OCCH ，即ON 2＝2＋12＋2， ∴ON ＝1.故选C.9．64 10.(－2，1) 11.1812．∠B ＝∠ACD (答案不唯一) 13.(4，－5) 14．(3，3) 15.210 16.25 17.118．3∶4 解析：由题意知△BCE 绕点C 顺时转动了90°，∴△BCE ≌△DCF ，∠ECF ＝∠DFC ＝90°，∴CD ＝BC ＝10，DF ∥CE ，∴∠ECD ＝∠CDF .∵∠EMC ＝∠DMF ，∴△ECM ∽△FDM ，∴ME ：MF ＝CE ：DF .∵DF ＝CD 2－CF 2＝8，∴ME ：MF ＝CE ：DF ＝6：8＝3：4.19．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1、∠D 和∠D 1、∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(4分)(2) ∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)20．解：∵AD 、BE 是钝角△BAC 的高，∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°.(2分)又∵∠DCA ＝∠ECB ，∴△DAC ∽△EBC .(5分)∴AD BE ＝AC BC.(6分) 21．解：在△ABC 与△AMN 中，∠A ＝∠A ，AC AB ＝3054＝59，AM AN ＝10001800＝59， ∴AC AB ＝AM AN ，即AC AM ＝AB AN，∴△ABC ∽△ANM ，(3分) ∴AC AM ＝BC MN ，即301000＝45MN，∴MN ＝1.5千米．(5分) 答：M 、N 两点之间的直线距离是1.5千米．(6分)22．解：(1)(2，－2)(2分)(2)(1，0)(4分)(3)10(7分)22．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(2分)∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠EDC .(5分)∴△ABD ∽△DCE .∴AB DC ＝BD EC .∴84＝2EC.∴EC ＝1.(7分) 23．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(1分)∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，(3分)∴BP CD ＝AB CP ，∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP ；(5分)(3) 解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP .∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C .∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BC ＝BP BA .(8分)∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.(10分) 24．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∴∠DMN ＝∠BCN ，∠MDN ＝∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴MD CB ＝DN BN.(2分)∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD CB ＝12， ∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN . 设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1， ∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3，∴BD ＝2x ＝6；(5分)(2) ∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2，(3) ∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，(4) ∴S △MND ＝12S △CND ＝1，S △BNC ＝2S △CND ＝4. (5) ∴S △ABD ＝S △BCD ＝S △BCN ＋S △CND ＝4＋2＝6，(8分)(6) ∴S 四边形ABNM ＝S △ABD －S △MND ＝6－1＝5.(10分)26．解：(1)45° (t ，t )(4分)(2)由题意，可得AP ＝OQ ＝1×t ＝t ，∴AO ＝PQ .(5分)∵四边形OABC 是正方形，∴AO ＝AB ，∴AB ＝PQ .∵DP ⊥BP ，∴∠BPD ＝90°.∴∠BPA ＝90°－∠DPQ ＝∠PDQ .又∵∠BAP ＝∠PQD ＝90°，∴△PAB ≌△DQP .(7分)∴AP ＝DQ ＝t ，PB ＝PD .显然PB ≠PE ，分两种情况：若EB ＝EP ，则∠EPB ＝∠EBP ＝45°，此时点P 与O 点重合，t ＝4； 若BE ＝BP ，则△PAB ≌△ECB .∴CE ＝PA ＝t .(9分)过D 点作DF ⊥OC 于点F ，易知四边形OQDF 为正方形，则DF ＝OF ＝t ，EF ＝4－2t .∵DF ∥BC ，∴△BCE ∽△DFE ，∴BC DF ＝CE EF ，∴4t ＝t 4－2t.解得t ＝－4±42(负根舍去)． ∴t ＝42－4.(11分)综上，当t ＝42－4或4时，△PBE 为等腰三角形．(12分)。

第21章综合测试一、选择题（共10小题）1.a 的取值范围是（ ）A .0a ≥B .0a ≤C .0a ＜D .2a -≤ 2.下列式子属于最简二次根式的是（ ）A B C D3. ）A B C D .4.下列计算正确的是（ ）A =B .2+=C . 3=D 1=5.化简 ）A .B .-C .-D .6.下列计算正确的是（ ）A =B (3)(5)15==-⨯-=C =D 5==7.直线l ：()32y m x n =-+-（m ，n 为常数）的图象如图，化简：3m -得（ ）A .3m n --B .5C .1-D .5m n +-8.如果3a ＝262a a --的值是（ ）A .0B .1-C .1D .109.按如图所示的程序计算，若开始输入的n ，则最后输出的结果是（ ）A .14B .16C .8+D .1410.将1三个数按如图所示方式排列，若规定(),a b 表示第a 排第b 列的数，则(8,2)与2019,(2019)表示的两个数的积是（ ）A B .3 C D .1二、填空题（共8小题）11.m ，n 应满足的条件是________.12.+________（结果保留根号）.13.比较大小：（1）（2）--（填“＞”“＜”或“＝”）14.计算：=________.15.已知一个三角形的底边长为cm cm ，则它的面积为________2cm .16.计算：2019201620171)1)1)2019-+-+= ________.三、解答题（17～20题每题8分，21～22题每题10分，共52分）17.计算：（1（2（3（4）2(7++.18.当4x =，4y =+22xy x y +的值.19.若a 、b 、c .20.已知18y =的值.21.海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S =中a ，b ，c 为三角形的三边长，2a b c p ++=，S 为三角形的面积）.利用海伦公式求a =，3b =，c =时的三角形面积.22.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务.斐波那契（约1170-1250年）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数，称为数列）.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n1122n n ⎡⎤⎛⎛+⎥- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦示（其中1n ≥）.这是用无理数表示有理数的一个范例.请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第2个数和第3个数.（参考公式：3322()()a b a b a ab b -=-++）第21章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】解：由题意，得20a -≥，解得0a ≤，故选：B .2.【答案】A【解析】解：A 是最简二次根式；B 2，不是最简二次根式；C =D 故选：A .3.【答案】B=A =B =CD 、-故选：B .4.【答案】D【解析】解：A 不能合并，所以A 选项错误；B 、2不能合并，所以B 选项错误；C 、原式=C 选项错误；D 、原式1==，所以D 选项正确. 故选：D . 5.【答案】B【解析】解：23=⨯⨯=-故选：B .6.【答案】D【解析】解：A 、原式===A 选项错误；B 、原式3515=⨯=，所以B 选项错误；C 、原式2=，所以C 选项错误；D 、原式5=，所以D 选项正确.故选：D .7.【答案】D【解析】解：直线l ：()32y m x n =-+-（m ，n 为常数）的图象可知， 20n -＜，30m -＞.3m -3m =-32m n =-+-5m n =+-.故选：D .8.【答案】B【解析】解：262a a --，|3|3m m -=-- ()2311a =--，当3a =22(3)11(33)1110111a =--=--=-=-. 故选：B .9.【答案】C【解析】解：当n =时，(1)215n n +=，当2n =时，(1)815n n +=+，故选：C .10.【答案】B【解析】解：每三个数一循环：1，123728++++=，28371÷=，()8,2∴2019(12019)12320172018201920391902⨯+++++++==，20391903679730÷=， (2019,2019)∴表示的数正好是第679 730轮的最后一个数， 即(2019,2019)，3.故选：B .二、11.【答案】2m ≥，2n =【解析】解：由题意得，0m n -≥，2n =，解得2m ≥，2n =.故答案为：2m ≥，2n =.12.【答案】【解析】解：原式故答案为：13.【答案】（1）＜（2）＜【解析】解：（1）244=，245=， 4445＜，22∴＜，即；（2）-=，-=， 6360＞14.【答案】12-【解析】解：原式112322=-=-， 故答案为：12-.15.【答案】10【解析】解：面积2110cm 2=⨯. 故答案为10.16.【答案】2 019【解析】解：原式201631)1)41)2019⎡⎤=--+⎣⎦20161)6446)2019=+--+20161)02019=⨯+2019=.故答案为2 019.三、17.【答案】（1）原式===.（2）原式==.（3）原式==（4）原式(7(1512)=+-+-491633=-⨯+4=.18.【答案】解：4x =-4y =， 8x y ∴+=，16214xy =-=，=； ()22148112xy x y xy x y +=+=⨯=.19.【答案】解：a 、b 、c 分别是三角形的三边长， 0a b c ∴+-＞，0b c a --＜，0b c a +-＞，()a b c b c a b c a =+----++-a b c b c a b c a =+--++++-a b c =++.20.【答案】解：由题意得，80x -≥，80x -≥， 则8x =，18y =，=21.【答案】解：5a =，3b =，c =， 2a b c p ++∴=S ∴==3 =.22.【答案】解：由题意知，斐波那契数列中的第222⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭11=；斐波那契数列中的第333⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦22 111111222222⎡⎤⎛⎛⎛++⎢⎥-+⨯+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦646444⎛+--++⎝⎭(1)+-2=.。

最新华师大版九年级数学上册单元测试题第21-23章第21章二次根式单元测试、单选题（共10题；共30分）3.若 a VI,化简葩 _ 1)' -1=4•下列各式中是二次根式的是（5•下列计算正确的是（ ）D.d (・3)L - 36.计算心•企的结果是（） 7•下列二次根式中，最简二次根式是B. 8. （2016・来宾）下列计算正确的是（B.3 £x2 G =6C. (2 V^) 2=169. 下列根式中，是最简二次根式的有（）①后:②3冷；③伍；④F ；1.下列二次根式中，B.伍 C 回 D 问 A.E2.X 亠忑 了,则X 与y 关系是（）. A.x>yB.x=yC.x<yD.xy=l A.a-2B.2-3C.aD.*a A W B P C .D.V A (X <0)A.12B.2C.2D.4是同类二次根式的是（）10. 若Y “有意义，则a 的取值范围是（）二、填空题（共8题；共24分）11. 化简 A ___ 二 .yi-712. 函数= T 中，自变量x 的取值范围是13. 计算伍-2伍的结果是 _________________14. 计算：G = _______15. 若式子/»一4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是16. 计算： 17.三、解答题（共6题；共48分）28.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：保.仔心a ・bfa| 」 ---------------2 -1 019 •已知实数a 满足|a-l|+ 7^=3,求a 的值.20•若 x, y 都是实数,£Ly=Y +Y +121 .已知实数a, b, c 在数轴上的位置如图所示,化简：佃・|a+c|+ Q . |・b|. A.—切数 B.正数 C.非负数D.非零数+3y 的值.22.己知A 』"3 , B J 込1 , 8三J13（X+ 1）其中A,B 都是最简二次根式，且A+B=C, 分别求出a 和x 的值.23.计算・、单选题1、【答案】B【考点】同类二次根式故选B2、【答案】B【考点】分母有理化1 2“ r 右I 解析：H 解答】广口^…卩Ax=y .故选B.【分析】先把y 进行分母有理化得到即可得到x 与y 的关系.3、【答案】D【考点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：*a_iy -i =|a -i| -1,Va<l,A a - KO,•:原式二 | a -1| -1= (1-a) - 1= - a,故选：D.【分析】根据公式 ^ = |a|可知：也_ 1)' - l=|a-1| -1,由于a<l,所以a 再去绝对值，化简.4、【答案】C 答案解析【解析】A 、圧=2点与Q 被开方数不同，故不是同类二次根式;B 、 W =3吃与&被开方数相同,是同类二次根式.C 、 仅=2広与C 被开方数不同,不是同类二次根式;D 、 阿=3^ •与C 被开方数不同,不是同类二次根式;-1<0,【考点】二次根式的定义【解析】【解答】解：A 、《的根指数为3,不是二次根式;X 的被开方数x<0,无意义;故选：C.【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可.5、【答案】B【考点】二次根式的混合运算【解析】【解答】解:故选项D 错误;故选B. 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确.6、【答案】B【考点】二次根式的乘除法故选B.【分析】根据二次根式的乘法法则把被开力数相乘，再根据二次根式的性质化成最简即可.7、【答案】D【考点】最简二次根式【解析】【解答】解：后WU, A 错误; [T G V3 = 3 ,B 错误；B 、门的被开方数・1<0,无意义;C 、匠的根指数为2,且被开方数2>0,是二次根式;故选项A 错误; 故选项B 正确;故选项C 错误;・・・d （"）【3, 【解析】【解答】解:c 错误;是最简二次根式，D 正确, 故选：D.【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可.8.【答案】B【考点】二次根式的混合运算【解析】【解答】解：A 、不能化简，所以此选项错误;【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两 个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）.是否同时满足，同时满足 的就是最简二次根式，否则就不是. 10、【答案】C 【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：G 有意义，则。

华师大版九年级数学上册单元测试题全套附答案第21章综合检测试卷(满分：100分 时间：90分钟)一、选择题(每小题2分，共20分) 1．下列各式中，是二次根式的有( C ) ①x ；②2；③x 2＋1；④π. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．下列计算，正确的是( C ) A ．(－2)－2＝4 B ．()－22＝－2C ．46÷(－2)6＝64D ．8－2＝63．若二次根式a －2有意义，则a 的取值范围是( A ) A ．a ≥2 B ．a ≤2 C ．a >2D ．a ≠24．下列根式中，是最简二次根式的是( B ) A ．23B ．3C ．9D ．125．若实数a 满足a ＋a 2－2a ＋1＝1，那么a 的取值情况是( D ) A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ＝0或a ＝1D ．a ≤16．若最简二次根式232m ＋3与54m －1可以合并，则m 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．47．化简252－7227的结果是( D )A ．83 6B ．89 3C ．436D ．83 38．给出下列四道算式：①(－4)2ab 4ab ＝－4；②32＋4252－32＝114；③28x 7x ＝4x ；④(b －a )2a －b ＝a －b (a >b )．其中正确的算式是( B )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③9．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a 、b 、c 的大小关系是( A ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >b >aD ．b >c >a10．已知实数a 满足︱3－a ︱＋a －2017＝a ，则a 的值为( D ) A ．2014 B ．2016 C ．2018D ．2020二、填空题(每小题3分，共24分) 11．计算：32－82__2__. 12．若a －2与b ＋4互为相反数，则a ＝__2__，b ＝__－4__.13．已知||x －3＋y －6＝0，则以x 、y 为两边长的等腰三角形的周长是__15__.14．已知三角形的面积为12，一边上的高为3215．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，则a 2b －ab 2 16．不等式(1－2)x >1＋2的最大整数解是__－6__.17．已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，则2a ＋b ＝52. 解析：由题意，得m ＝2，n ＝3－7.∴amn ＋bn 2＝2a (3－7)＋(3－7)2b ＝6a －27a ＋16b －67b ＝(6a＋16b )－7(2a ＋6b )＝1.又∵a 、b 为有理数，∴⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋16b ＝1，2a ＋6b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12.∴2a ＋b ＝2×32－12＝52.18．将1，2，3，6按下列方式排列．若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,7)第18题解析：通过观察发现，1，2，3，6按从上到下，从左向右的规律循环排列．(5,4)表示第5排从左向右第4个数，(1＋2＋3＋4)＋4＝14,14÷4＝3……2，故这个数为2；(15,7)表示第15排从左向右数第7个数，(1＋2＋3＋…＋14)＋7＝112，是4的倍数，故这个数为 6.故所求的两数之积为2×6＝2 3.三、解答题(共56分) 19．(8分)计算：(1)32－8＋50；解：(1)原式＝32－22＋52＝6 2. (2)(23－5)(23＋5)；解：(2)原式＝(23)2－(5)2＝12－5＝7. (3)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23； 解：(3)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＝3－13＋2＝143. (4)(5＋2)2－(5－2)2.解：(4)原式＝(5＋2＋5－2)(5＋2－5＋2)＝25×22＝410.20．(5分)(1)写出一个无理数，使它与3(2)写出一个含有二次根式的式子，使它与2＋3的积不含有二次根式，并通过计算说明． 解：(2－3)(2＋3)＝4－3＝1，不含二次根式，即这个式子为2－ 3.(答案不唯一)21．(6分)已知矩形的周长为(48＋72)cm ，一边长为(3＋12)cm ，求此矩形的另一边长和它的面积．解：矩形的另一边长为(48＋72)÷2－(3＋12)＝(43＋62)÷2－(3＋23)＝23＋32－33＝(32－3)(cm)，矩形的面积为(3＋12)×(32－3)＝33×(32－3)＝(96－9)(cm 2)．22．(5分)对于题目：“化简并求值：1a ＋1a 2＋a 2－2，其中a ＝2.”甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋1a 2＋a 2－2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝22－2＝－1； 乙的解答是：1a＋1a 2＋a 2－2＝1a ＋a －1a＝a ＝2. 谁的解答是错误的？请说明理由．解：甲的解答是错误的．理由：∵当a ＝2时，1a －a ＝12－2＝－32＜0，所以1a ＋1a 2＋a 2－2＝1a ＋⎪⎪⎪⎪1a －a ＝1a ＋a －1a＝a ＝2.故甲的解答是错误的． 23．(7分)已知x ＝12＋1，y ＝12－1，求下列各式的值． (1)1x 2＋1y 2； (2)x 2＋xy ＋y 2. 解：x ＝12＋1＝2－1，y ＝12－1＝2＋1.(1)1x 2＋1y 2＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y 2－2xy ＝(2＋1＋2－1)2－2(2－1)(2＋1)＝6.(2)x 2＋xy ＋y 2＝(x ＋y )2－xy ＝(2－1＋2＋1)2－(2－1)(2＋1)＝7. 24．(8分)观察下列各式：1＋13＝213；2＋14＝314；3＋15＝415…… 请你猜想： (1)4＋16＝，5＋17＝ (2)计算：15＋117；(请写出推导过程)(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n (n ≥1) (2)解：15＋117＝15×17＋117＝(16－1)×(16＋1)＋117＝16217＝16117. 25．(8分)小花做了两张大小不同的正方形卡片准备送给同学，其中一张面积为800 cm 2，另一张面积为600 cm 2.她还想用3 m 长的金彩带把两张卡片镶上边．如果考虑到损耗与重叠等因素，所需金彩带的长度是实际长度的 1.2倍，那么小花的金彩带够用吗？解：所需金彩带的长度为 1.2×4×(800＋600)＝305×4×(202＋106)＝1660＋8180＝(3215＋485)cm.∵3215＋485＜32×4＋48×3＝272＜300，∴小花的金彩带够用．26．(9分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数． 解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×252＝1. 第2个数：当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×252＝1.第22章综合检测试卷(满分：100分 时间：90分钟)一、选择题(每小题2分，共20分) 1．下列关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②3(x －9)2－(x ＋1)2＝1；③x 2＋5＝0； ④x 2－2＋5x 3－6＝0；⑤3x 2＝3(x －2)2；⑥12x －10＝0. 其中，是一元二次方程的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．一元二次方程x 2＋5x ＝6的一次项系数、常数项分别是( C ) A ．1,5 B ．1，－6 C ．5，－6D ．5,63．若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( C )A ．－1或4B ．－1或－4C ．1或－4D ．1或4解析：根据题意，将x ＝－2代入方程x 2＋32ax －a 2＝0，得4－3a －a 2＝0，即a 2＋3a －4＝0.左边因式分解，得(a －1)(a ＋4)＝0，解得a ＝1或－4.4．用配方法解一元二次方程x 2－6x －4＝0，下列变形正确的是( D ) A ．(x －6)2＝－4＋36 B ．(x －6)2＝4＋36 C ．(x －3)2＝－4＋9D ．(x －3)2＝4＋95．方程x 2－x －1＝0的根是( B ) A ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52B ．x 1＝1＋52，x 2＝1－52C ．x 1＝1＋32，x 2＝1－32D ．没有实数根 6．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋2＝0有实数根，则整数a 的最大值为( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．27．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值是( B )A ．19B ．18C ．15D ．13解析：由一元二次方程有实数根，得Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0，所以3k 2＋16k ＋16≤0，解得－4≤k ≤－43.又由x 1＋x 2＝k －2，x 1x 2＝k 2＋3k ＋5，得x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(k －2)2－2(k 2＋3k ＋5)＝－k 2－10k －6＝19－(k ＋5)2，所以当k ＝－4时，x 21＋x 22取得最大值，为18.8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是( B )A ．560(1＋x )2＝315B ．560(1－x )2＝315C ．560(1－2x )2＝315D ．560(1－x 2)＝3159．利用墙的一边，再用13 m 长的铁丝围成一个面积为20 m 2的矩形，求这个矩形与墙平行的一边长．设矩形与墙平行的一边长为x m ，则可列方程为( B )A ．x (13－x )＝20B ．x ·13－x2＝20C ．x ⎝⎛⎭⎫13－12x ＝20 D ．x ·13－2x 2＝2010．如图所示，将边长为2 cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′.若两个三角形重叠部分的面积为1 cm 2，则它移动的距离AA ′等于( B )第10题解析：设A ′D ＝x cm ，则平行四边形(重叠部分)的底是(2－x )cm 高是x cm ，所以x (2－x )＝1，解得x ＝1.所以AA ′＝2－A ′D ＝1 cm.A ．0.5 cmB ．1 cmC ．1.2 cmD ．1.5 cm二、填空题(每小题3分，共24分)11．当m ＝__－2__时，关于x 的方程(m －2)x |m |＋2x －1＝0是一元二次方程． 12．已知关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根是1，则m ＝__2__.13．已知2是关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长是__14__.解析：将x ＝2代入方程x 2－2mx ＋3m ＝0，解得m ＝4.解方程x 2－8x ＋12＝0，得x 1＝2，x 2＝6.易得等腰△ABC 的三边长分别为6,6,2，所以其周长为14.14．若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是__0__.(写出一个即可)提示：只需满足1－4m >0⇒m <14即可．15．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__k ≥1__.16．若方程x 2－3x －5＝0的两根为x 1、x 2，则x 21x 2＋x 1x 22的值为__－15__.17．要组织一场足球比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，问比赛组织者应邀请多少支球队参赛？设比赛组织者应邀请x 支球队参赛，根据题意列出的方程是12x (x －1)＝4×7 . 18．某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，则每件商品降价__20__元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题(共56分) 19．(12分)解下列方程： (1)(2x －3)2＝9； 解：(1)x 1＝3，x 2＝0. (2)3x 2－10x ＋6＝0；解：(2)x 1＝5＋73，x 2＝5－73.(3)(2x ＋1)2－3(2x ＋1)－28＝0； 解：(3)x 1＝3，x 2＝－52.(4)x 2＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0. 解：(4)x 1＝3＋52，x 2＝3－52.提示：方程(4)等价于⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －3＝0，∴x ＋1x ＝3或x ＋1x ＝－1，解这两个方程即可． 20．(6分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1、x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 21＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0.整理，得4－4m ＋4≥0，解得m ≤2.故m 的取值范围是m ≤2.(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1，x 21＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝6x 1x 2，即4＝8(m －1)，解得m ＝32.∵m ＝32＜2，∴符合条件的m 的值为32.21．(8分)已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求先化简，再求值)(1)证明：∵该方程是关于x的一元二次方程，∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)解：∵x＝0是此方程的一个根，∴把x＝0代入方程，得m(m＋1)＝0，∴m＝0或m＝－1.(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5.把m＝0代入3m2＋3m＋5，得3m2＋3m＋5＝5；把m＝－1代入3m2＋3m＋5，得3m2＋3m＋5＝3×1－3＋5＝5.综上所述，原代数式的值为5.22．(9分)某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．(1)从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，则今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意，得1280(1＋x)2＝1280＋1600，解得x ＝0.5(x＝－2.5舍去)．故从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励．则1000×8×400＋(a－1000)×5×400≥5 000 000，解得a≥1900.故今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．23．(10分)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED 的边长，易知AE＝2c，这时我们把关于x的形如ax2＋2cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．第23题(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0必有实数根；(3)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求△ABC的面积．(1)解：当a＝3，b＝4，c＝5时，“勾系一元二次方程”为3x2＋52x＋4＝0.(答案不唯一)(2)证明：根据题意，得 Δ＝(2c )2－4ab ＝2c 2－4ab .∵a 2＋b 2＝c 2，∴2c 2－4ab ＝2(a 2＋b 2)－4ab ＝2(a －b )2≥0，即Δ≥0，∴“勾系一元二次方程”ax 2＋2cx ＋b ＝0必有实数根． (3)解：当x ＝－1时，有a －2c ＋b ＝0，即a ＋b ＝2c .又∵2a ＋2b ＋2c ＝62，即2(a ＋b )＋2c ＝62，∴32c ＝62，∴c ＝2，∴a 2＋b 2＝c 2＝4，a ＋b ＝2 2.∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，∴ab ＝2，∴S △ABC ＝12ab ＝1.24．(11分)如图，等腰Rt △ABC 的直角边AB ＝BC ＝10 cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1 cm/s 的速度作直线运动，已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D .设点P 运动的时间为t s ，△PCQ 的面积为S cm 2.(1)求出S 关于t 的函数关系式； (2)当点P 运动几秒时，S △PCQ ＝S △ABC?(3)作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．第24题解：(1)当t ＜10时，点P 在线段AB 上，此时CQ ＝t ，PB ＝10－t ，∴S ＝12×t ×(10－t )＝12(10t －t 2)；当t ＞10时，点P 在线段AB 的延长线上，此时CQ ＝t ，PB ＝t －10，∴S ＝12×t ×(t －10)＝12(t 2－10t )．综上可知，S ＝⎩⎨⎧12(10t －t 2)，t <10，12(t 2－10t )，t >10.(2)∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝50，∴当t ＜10时，S △PCQ ＝12(10t －t 2)＝50.整理，得t 2－10t ＋100＝0，无解；当t＞10时，S △PCQ ＝12(t 2－10t )＝50.整理，得t 2－10t －100＝0，解得t ＝5±55(舍去负值)．故当点P 运动(5＋55)s 时，S △PCQ ＝S △ABC .(3)当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．证明：当点P 在线段AB 上时，过点Q 作QM ⊥AC ，交直线AC 于点M ，连结EQ 、PM .由题意，易得△APE 与△QCM 均为等腰直角三角形，且它们的斜边长均为t ，∴AE ＝PE ＝CM ＝QM ＝22t .又∵∠PED ＝∠QMC ＝90°，∴EP ∥QM ，∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半．又∵EM ＝AC ＝10 2 cm ，∴DE ＝5 2 cm.故当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．同理，当点P 在线段AB 的延长线上时，易得DE ＝5 2 cm.综上所述，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．第23章综合检测试卷(满分：100分 时间：90分钟)一、选择题(每小题2分，共20分)1．已知a 2＝b 3＝c4(a ≠0)，那么(a ＋b ＋c )∶b 的值为( B )A ．2B ．3C ．4D ．52．下列说法正确的是( B )A ．在△ABC 和△DEF 中，若∠A ＝40°，∠B ＝70°，∠D ＝40°，∠F ＝80°，则可判定这两个三角形相似B ．有一锐角对应相等的两个直角三角形相似C ．所有的矩形都相似D ．所有的菱形都相似3．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB ＝2，BC ＝3，DE ＝1，则EF 的值为( B )A ．23B ．32C ．6D ．164．如图，在□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是( D )A ．△ABE ∽△DGEB ．△CGB ∽△DGEC ．△BCF ∽△EAFD ．△ACD ∽△GCF5．已知△ABC 的周长为50 cm ，中位线DE ＝8 cm ，中位线EF ＝10 cm ，则另一条中位线DF 的长是( B )A ．5 cmB ．7 cmC ．9 cmD ．10 cm6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3.连结AE ，与BD 交于点F ，则S△DEF∶S △ADF ∶S △ABF 等于( C )A ．2∶3∶5B ．4∶9∶25C ．4∶10∶25D ．2∶5∶25解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB ，DC ∥AB .∵DE ∶CE ＝2∶3，∴DE ∶AB ＝2∶5.∵DC ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，∴S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝425，EF AF ＝DE AB ＝25，∴S △DEF S △ADF ＝EF AF ＝25＝410，∴S △DEF ∶S △ADF ∶S △ABF ＝4∶10∶25.7．如图，EF 是△ABC 的中位线，O 是EF 上一点，且满足OE ＝2OF ，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为( D )A ．2B ．32C ．53D ．3解析：∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，EF ＝12BC .∵OE ＝2OF ，∴OE ＝23EF ，∴OE ＝13BC .设点A 到BC 的距离为h ，则点A 到OE 的距离为12h ，点C 到OE 的距离为12h ，∴S △ABC ＝12BC ·h ，S △AOC ＝12OE ·h ＝12×13BC ·h ＝16BC ·h ，∴S △ABC S △AOC＝3.8．如图所示的网格图中，每个小方格的边长是1个单位，点A 、B 都在格点上，若A (－2,1)，则点B 应表示为( B )A ．(－2,0)B ．(0，－2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A (1,1)、B (1，－1)、C (－1，－1)、D (－1,1)，y 轴上有一点P (0,2)．依次作点P 关于点A 的对称点P 1，点P 1关于点B 的对称点P 2，点P 2关于点C 的对称点P 3，点P 3关于点D 的对称点P 4，点P 4关于点A 的对称点P 5，点P 5关于点B 的对称点P 6，…，如此操作下去，则点P 2016的坐标为( A )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)10．如图，为了测量校园内的水平地面上的一棵树的高度，数学兴趣小组做了如下的探索：把一面很小的镜子水平放置在离树底(B )7.8米的点E 处，然后观察者沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝3.2米，观察者目高CD ＝1.6米，则树AB 的高度为( D )A ．15.6米B ．6.4米C ．3.4米D ．3.9米二、填空题(每小题3分，共24分)11．若a ∶b ∶c ＝5∶3∶2，则a －b ＋3cc＝__4__.12．两个相似多边形的一组对应边的长度分别为1 cm 和2 cm ，如果它们的面积之和为130 cm 2，那么较小的多边形的面积为__26__cm 2.13．已知点A 的坐标为(2,3)，点B 与点A 关于x 轴对称，点C 与点B 关于y 轴对称，则点C 关于x 轴对称的点的坐标为__(－2,3)__.14．在平面直角坐标系中，将点(2，－5)向右平移3个单位长度，可以得到对应点的坐标为__(5，－5)__；将点(2，－5)向上平移3个单位长度，可以得到对应点的坐标为__(2，－2)__.15．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，点P 1、P 2、P 3、…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P 1(0,0)、P 2(0,1)、P 3(1,1)、P 4(1，－1)、P 5(－1，－1)、P 6(－1，2)、…，根据这个规律，点P 2016的坐标为__(504，－504)__.16．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)．已知亮区远端到窗口下的墙脚距离EC ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，则窗口底边离地面的高BC ＝__4__m.17．如图，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作AF ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，AE 的延长线交BC 的延长线于点G .若AF ＝13，DE ＝5，则CG 的长是845.18．如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，DC ＝7，AD ＝2，BC ＝3.若在边DC 上有点P ，使△P AD 与△PBC 相似，则PD 的长为 1，145或6 .解析：∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°.设PD ＝x ，则PC ＝7－x .①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则有△P AD ∽△PBC ，∴x 7－x ＝23，解得x ＝145，即PD ＝145；②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则有△P AD ∽△BPC ，∴x 3＝27－x ，解得x ＝1或x ＝6，即PD ＝1或PD ＝6.综上所述，PD 的长为1，145或6.三、解答题(共56分)19．(6分)在平面直角坐标系中，点A (1,2a ＋3)在第一象限． (1)若点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，求a 的值； (2)若点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离，求a 的取值范围．解：(1)∵点A (1,2a ＋3)在第一象限，且到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，∴2a ＋3＝1，解得a ＝－1. (2)∵点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离，且点A 在第一象限，∴2a ＋3＜1且2a ＋3＞0，解得a ＜－1且a ＞－32，∴－32＜a ＜－1.20．(6分)如图，△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，M 是BC 的中点，求证：AB ＝2DM .第20题证明：取AB 的中点N ，连结DN 、MN .又∵M 是BC 的中点，∴MN ∥AC ，∴∠DMN ＝∠C .∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴DN ＝BN ＝12AB ，∴∠B ＝∠NDB .∵∠NDB ＝∠DMN ＋∠DNM ，∠B ＝2∠C ，∴∠C ＝∠DNM ＝∠DMN ，∴DM ＝DN .又∵DN ＝12AB ，∴AB ＝2DM .21．(9分)如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格图中，按要求完成下列问题： (1)若点A 、C 的坐标分别为(－3,0)、(－2,3)，请画出平面直角坐标系，并指出点B 的坐标； (2)画出△ABC 关于y 轴对称，再向上平移1个单位后的图形△A 1B 1C 1；(3)以图中的点D 为位似中心，将△A 1B 1C 1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A 2B 2C 2. 解：(1)平面直角坐标系如图所示，B (－4,2)．第21题(2)△A 1B 1C 1如图所示． (3)△A 2B 2C 2如图所示．22．(9分)在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，D 是BC 的中点，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，且DF ∥AE ，求CF 的长．解：如图，分别过点E 作EH ⊥AB 于点H ，EG ⊥AC 于点G .第22题∵AE 平分∠BAC ，∴EH ＝EG ，∴S △ABES △AEC＝BE CE ＝AB AC ＝12.又∵DF ∥AE ，D 是BC 的中点，∴CF CA ＝CD CE ＝BC 2CE ＝BE ＋EC 2CE ＝12⎝⎛⎭⎫BE CE ＋1＝34，∴CF ＝34CA ＝34×2＝32. 23．(12分)如图，某铁合金厂有一批废三角形铁片，规格是底边为10 cm ，高为8 cm.现欲废物利用，从中剪出最大的矩形，且长是宽的2倍．王刚设计的方案如图1所示，李方设计的方案如图2所示，请你帮他们计算一下，谁设计的方案中剪出的矩形面积较大？图1图2第23题解：在图1中，设GH ＝x cm ，则GF ＝2x cm.∵GH ∥BC ，∴△AGH ∽△ABC ，∴GH BC ＝AI AD ，即x 10＝8－2x8，解得x ＝207.∴2x ＝407，∴S 矩形GFEH ＝GH ·GF ＝207×407＝80049(cm 2).在图2中设KN ＝y cm ，则KL ＝2y cm.∵KL∥QO ，∴△PKL ∽△PQO ，∴KL QO ＝PR PS ，即2y 10＝8－y 8，解得y ＝4013.∴2y ＝8013，∴S 矩形KNML ＝KL ·KN ＝8013×4013＝3200169(cm 2)．∵80049<3200169，∴李方设计的方案中剪出的矩形面积较大． 24．(14分)尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF 、BE 是△ABC 的中线，且AF ⊥BE ，垂足为P ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .求证：a 2＋b 2＝5c 2.该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连结EF ，利用EF 为△ABC 的中位线得到△EPF ∽△BP A ，故EP BP ＝PF P A ＝EF BA ＝12.设PF ＝m ，PE ＝n ，用m 、n 把P A 、PB 分别表示出来，再在Rt △APE 、Rt △BPF 中利用勾股定理计算，消去m 、n 即可得证．(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程； (2)利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD 中，O 为对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别为线段AO 、DO 的中点，连结BE 、CF 并延长交于点M ，BM 、CM 分别交AD 于点G 、H ，如图2所示，求MG 2＋MH 2的值．图1图2第24题(1)证明：设PF ＝m ，PE ＝n ，连结EF ，如题图1.∵AF 、BE 是△ABC 的中线，∴EF 为△ABC 的中位线，AE ＝12b ，BF ＝12a ，∴EF ∥AB ，EF ＝12c ，∴△EFP ∽△BAP ，∴EP BP ＝PF P A ＝EF BA ＝12，即n PB ＝m P A ＝12，∴PB ＝2n ，P A ＝2m .∵AF ⊥BE ，∴∠APE ＝∠EPF ＝∠BPF ＝90°.在Rt △AEP 中，∵PE 2＋P A 2＝AE 2，∴n 2＋4m 2＝14b 2①.在Rt △BPF 中，∵PF 2＋PB 2＝BF 2，∴m 2＋4n 2＝14a 2②.由①＋②，得5(n 2＋m 2)＝14(a 2＋b 2)．在Rt △EFP 中，∵PE 2＋PF 2＝EF 2，∴n 2＋m 2＝14c 2，∴5c 24＝14(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2＝5c 2.(2)解：在题图2中连结EF .∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC .∵E 、F 分别为线段AO 、DO 的中点，∴EF ∥AD ，EF ＝12AD .又∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴EF ∥BC ，EF ＝12BC ，∴CE 、BF 是△BCM 的中线，∴由(1)的结论可得，MB 2＋MC 2＝5BC 2＝5×32＝45.∵AG ∥BC ，∴△AEG ∽△CEB ，∴AG BC ＝AE CE ＝13，∴AG ＝1.同理可得DH ＝1，∴GH ＝1.∵GH ∥BC ，∴△MGH ∽△MBC ，∴MG MB ＝MH MC ＝GH BC ＝13，∴MB ＝3MG ，MC ＝3MH ，∴MB 2＋MC 2＝9MG 2＋9MH 2＝45，∴MG 2＋MH 2＝5.期中综合检测试卷(第21章～第23章) (满分：120分 时间：120分钟)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．要使式子－2x －3x －3有意义，字母x 的取值必须满足( C ) A ．x ≤32B ．x ≥－32C ．x ≥32且x ≠3D ．x ≥322．化简－xy 2(y ＜0)的结果是( D ) A ．y x B ．y －x C ．－y xD ．－y －x3．如图为A 、B 、C 三点在坐标平面上的位置图．若A 、B 、C 的横坐标的数字总和为a ，纵坐标的数字总和为b ，则a －b 的值等于( A )第3题A．5B．3C．－3D．－54．下列计算正确的是(C)A．30÷33＝310B．23＋32＝55C．23×32＝66D．(－4)2＝－45．下列线段中，能成比例的是(C)A．3 cm,5 cm,7 cm,9 cm B．2 cm,5 cm,6 cm,8 cmC．3 cm,6 cm,9 cm,18 cm D．1 cm,3 cm,4 cm,7 cm6．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(B)A．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根B．当k＝－1时，方程有两个相等的实数根C．当k＝1时，方程有一个实数根D．当k＝0时，方程没有实数根7．已知A、B两点的坐标分别是(－2,3)和(2,3)，则下列四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B先关于x轴对称，再关于y轴对称；④点A、B之间的距离为4.其中正确的是(B)A．①④B．②④C．③④D．③8．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低(C)A．0.2元或0.3元B．0.4元C．0.3元D．0.2元9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是(D)A．15°B．20°C．25°D．30°10．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为(－4,2)，点B的坐标为(2，－4)，则坐标原点为(A)A ．O 1B ．O 2C ．O 3D ．O 4解析：由A 、B 的坐标可知，沿CD 方向为x 轴正方向，沿CE 方向为y 轴正方向，故将点A 沿着CD 方向平移4个单位，再沿着EC 方向平移2个单位，即可到达原点位置，则原点为点O 1.二、填空题(每小题3分，共24分)11．计算：275－327＋312．当m ＝__0或－2__时，关于x 的方程(m －2)x |m 2－2|＋2x －1＝0是一元二次方程． 13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝1，AB ＝3，DE ＝1.5，则BC ＝__4.5__.第13题14．当a ＝2＋1，b ＝2－1时，1a －1b＝__－2__.15．已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1、x 2，则x 21x 2＋x 1x 22＝__－3__.16．方程x －1＝2的解是__5__.17．【2016·江苏南京中考】如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD ，EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为83.解析：∵EF 是△ODB 的中位线，∴DB ＝2EF ＝2×2＝4.∵AC ∥BD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC DB ＝OC OD ，∴AC4＝23，∴AC ＝83. 18．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高．动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以 2 cm/s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t s(0＜t ＜8)，则t ＝__6__ s 时，S 1＝2S 2.解析：∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16，AD 为BC 边上的高，根据勾股定理，可得AD ＝BD ＝CD ＝8 2.又∵AP ＝2t ，∴PD ＝82－2t ，S 1＝12AP ·BD ＝12×82×2t ＝8t .∵PE ∥DC ，∴△APE ∽△ADC ，PE DC ＝APAD ，∴PE ＝AP ＝2t ，∴S 2＝PD ·PE ＝(82－2t )·2t .∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2×(82－2t )·2t ，解得t ＝6(t ＝0舍去)．三、解答题(共66分) 19．(6分)计算．(1)(50＋32－3×6)÷8； (2)(2－3)2016(2＋3)2017－2×⎪⎪⎪⎪－32－(－2)0. 解：(1)原式＝(52＋42－32)÷22＝62÷22＝3.(2)原式＝(2－3)2016×(2＋3)2016×(2＋3)－3－1＝2＋3－3－1＝1. 20．(12分)解方程．(1)2x 2－4x －1＝0； (2)(x －2)2＝3(2－x )；(3)(x ＋5)(x －5)＝6； (4)(x ＋3)2＋3(x ＋3)－4＝0. 解：(1)x 1＝2＋62，x 2＝2－62.(2)x 1＝2，x 2＝－1. (3)x 1＝11，x 2＝－11. (4)x 1＝－2，x 2＝－7. 21．(8分)已知最简二次根式3x －102x ＋y －5和x －3y ＋11是同类二次根式．(1)求xy 的值；(2)求x 与y 的平方和的算术平方根．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －10＝2，2x ＋y －5＝x －3y ＋11.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.(1)xy ＝12.(2)∵x 2＋y 2＝42＋32＝52，∴x 2＋y 2＝5.即x 与y 的平方和的算术平方根为5.22．(8分)已知关于x 的方程(x －3)(x －2)－p 2＝0.(1)求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 21＋x 22＝3x 1x 2，求实数p 的值．(1)证明：∵(x －3)·(x －2)－p 2＝0，x 2－5x ＋6－p 2＝0，∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p 2)＝25－24＋4p 2＝1＋4p 2.∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1＋4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.(2)解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2.∵x 21＋x 22＝3x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2＝5x 1x 2，∴52＝5(6－p 2)，∴p ＝±1.23．(9分)如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 至点F ，使EF ＝DE ，连结BF ，交边AC 于点G ，连结CF .(1)求证：AE AC ＝EG CG；(2)如果CF 2＝FG ·FB ，求证：CG ·CE ＝BC ·DE .第23题证明：(1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，△EFG ∽△CBG ，∴AE AC ＝DE BC ，EF BC ＝EG CG .又∵DE ＝EF ，∴DE BC ＝EFBC ，∴AE AC ＝EGCG. (2)∵CF 2＝FG ·FB ，∴CF FG ＝FB CF .又∵∠CFG ＝∠BFC ，∴△CFG ∽△BFC ，∴CG BC ＝FGFC，∠FCE ＝∠CBF .又∵DF ∥BC ，∴∠EFG ＝∠CBF ，∴∠FCE ＝∠EFG .又∵∠FEG ＝∠CEF ，∴△EFG ∽△ECF ，∴FG FC ＝EF EC ＝DE EC ，∴CG BC ＝DEEC ，即CG ·CE ＝BC ·DE .24．(11分)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x .依题意，得400×(1－x )2＝324，解得x 1＝0.1，x 2＝1.9(舍去)．即该种商品每次降价的百分率为10%. (2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m )件，第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．依题意，得60m ＋24×(100－m )＝36m ＋2400≥3210，解得m ≥22.5，∴m ≥23.即为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．25．(12分)小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与灯泡到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算灯泡到物体的距离．于是，他们做了以下尝试．(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD ，边长AB 为30 cm ，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A ′B 、D ′C 的长度和为6 cm.求灯泡离地面的高度；(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30 cm 的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A ′B 、D ′C 的长度和为多少？(3)有n 个边长为a 的正方形按图3摆放，测得横向影子A ′B 、D ′C 的长度和为b ，求灯泡离地面的距离．(写出解题过程，结果用含a 、b 、n 的代数式表示)第25题解：记灯泡的位置为点P .(1)设灯泡离地面的高度PM ＝x cm ，则灯泡离AD 的高度为(x －30)cm.∵AD ∥A ′D ′，∴△P AD ∽△P A ′D ′.根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得AD A ′D ′＝PN PM ，∴3036＝x －30x ，解得x ＝180，经检验x ＝180是原分式方程的解且符合实际意义．故灯泡离地面的高度为180 cm.(2)设此时横向影子A ′B 、D ′C 的长度和为y cm.同(1)可得，6060＋y ＝150180，解得y ＝12.经检验y ＝12是原分式方程的解且符合实际意义，故此时横向影子A ′B 、D ′C 的长度和为12 cm.(3)同(1)可得AD A ′D ′＝PNPM.设灯泡离地面距离为x cm.由题意，得PM ＝x cm ，PN ＝(x －a )cm ，AD ＝na cm ，A ′D ′＝(na ＋b )cm ，∴nana ＋b＝x －a x ，解得x ＝na 2＋ab b .第24章综合检测试卷(满分：100分 时间：90分钟)一、选择题(每小题2分，共20分)1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D )A ．2B ．255C ．55D ．122．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( A )A ．m sin 35°B ．m cos 35°C ．m sin 35°D ．m cos 35°3．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D .若BD ∶CD ＝3∶2，则tan B ＝( D )A ．32B ．23C ．62D ．634．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B ＝( D )A ．1010B ．23C ．34D ．310105．若关于x 的方程x 2－2x ＋cos α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( C ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°6．如果cos A －0.5＋|3tan B －3|＝0，那么△ABC 是( C ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．钝角三角形7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连结FB ，则tan ∠CFB 的值为( C )A ．33B ．233C ．533D ．538．如图，Rt △ABC 的两直角边长分别为6,8.现将△ABC 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( C )A ．247B ．73C ．724D ．7249．如图，小明要测量小岛B 到河边公路l 的距离，在点A 处测得∠BAD ＝30°，在点C 处测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝50米，则小岛B 到公路l 的距离为( B )A ．25米B ．253米C ．10033米D ．(25＋253)米10．如图，菱形ABCD 的周长为40 cm ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，sin A ＝35，则下列结论正确的有( C )①DE ＝6 cm ；②BE ＝2 cm ；③菱形的面积为60cm 2；④BD ＝410 cm. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．锐角A 满足2 sin ()∠A －15°＝3，则∠A ＝__75°__.12．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD ＝__2__.13．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 结果保留根号)14．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD .若sin ∠ACB ＝13，则cos ∠ADC＝45.15．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点，EF ＝5，BC ＝8，则△EFM 的周长是__13__.16．九(3)班小亮同学为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：(1)在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角∠CBD ＝60°； (2)根据手中剩余线的长度算出风筝线BC 的长度为70米； (3)量出测倾器的高度AB ＝1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为__62.1__米．(精确到0.1米，3≈1.73) 17．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cos A ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE ＝__2__.18．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C 处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A 处的仰角为45°，点D 在观测点C 正下方城墙底的地面上，若CD ＝10米，则此塑像的高AB 约为__58__米．(参考数据：tan 78°12′≈4.8)三、解答题(共56分) 19．(10分)计算： (1)||3－12＋⎝⎛⎭⎪⎫62＋20＋cos 2 30°－4sin 60°； 解：(1)原式＝23－3＋1＋34－23＝－54.(2)x 2－1x 2＋x ÷⎝⎛⎭⎫x －2x －1x ，其中x ＝tan 45°＋3tan 30°.(2)原式＝(x ＋1)(x －1)x (x ＋1)÷x 2－2x ＋1x ＝x －1x ·x (x －1)2＝1x －1.∵x ＝tan 45°＋3tan 30°＝1＋3×33＝1＋3，∴原式＝1x －1＝11＋3－1＝33. 20．(11分)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C ＝45°，sin B ＝13，AD＝1.(1)求BC 的长； (2)求tan ∠DAE 的值．第20题解：(1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1.在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝13，AD ＝1，∴AB ＝ADsin B ＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝22，∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1.(2)∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －DC ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12.21．(11分)如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得∠CAO ＝45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km /h 和36 km/h ，经过0.1 h ，轮船甲行驶至点B 处，轮船乙行驶至点D 处，测得∠DBO ＝58°，此时点B 处距离码头O 多远？(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)第21题解：设点B 处距离码头O x km.在Rt △CAO 中，∵∠CAO ＝45°，∴CO ＝AO ＝AB ＋BO ＝45×0.1＋x ＝(4.5＋x ) km.在Rt △DBO 中，∵∠DBO ＝58°，tan ∠DBO ＝DOBO ，∴DO ＝BO ·tan ∠DBO ＝x tan 58° km.∵DC ＝DO－CO ，∴36×0.1＝x tan 58°－(4.5＋x )，∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5.故此时点B 处距离码头O大约13.5 km.22．(12分)如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离AB 是1.7米，看旗杆顶部E 的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离CD 是0.7米，看旗杆顶部E 的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧(点B 、D 、F 在同一条直线上)．(1)求小敏到旗杆的距离DF ；(结果保留根号)(2)求旗杆EF 的高度．(结果保留整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7) 解：(1)如图，过点A 作AM ⊥EF 于点M ，第22题过点C 作CN ⊥EF 于点N ，设CN ＝x 米．在Rt △ECN 中，∵∠ECN ＝45°，∴EN ＝CN ＝x 米，∴EM ＝x ＋0.7－1.7＝(x －1)米．∵BD ＝5米，∴AM ＝BF ＝(5＋x )米．在Rt △AEM 中，∵∠EAM ＝30°，∴tan ∠EAM ＝EMAM ＝33，即x －15＋x ＝33，解得x ＝4＋3 3.经检验，x ＝4＋33是原分式方程的解．即DF ＝CN ＝(4＋33)米． (2)由(1)，得EF ＝x ＋0.7＝4＋33＋0.7≈4＋3×1.7＋0.7＝9.8≈10(米)．即旗杆EF 的高度约为10米． 23．(12分)某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C .一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案Ⅰ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越。

第21章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．函数y＝xx＋3＋1x－1的自变量x的取值范围是( )A．x≠－3且x≠1B．x>－3且x≠1C．x>－3 D．x≥－3且x≠1 2．[2023·西南大学附属中学月考]下列式子中，不能与3合并的是( )A．13B．33C．12 D．233．下列式子中，属于最简二次根式的是( )A．12B．8 C．9 D．7 4．[2023·西宁]下列运算正确的是( )A．2＋3＝5 B．(－5)2＝－5C．(3－2)2＝11－6 2 D．6÷23×3＝35．估计(25＋52)×15的值应在( )A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间6．若a，b满足b＝a－2＋2－a－3，则在平面直角坐标系中，点P(a，b)所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．[2023·四川名山中学模拟]已知12＋m是整数，则自然数m的最小值是( ) A．2 B．4 C．8 D．118．已知一等腰三角形的周长为125，其中一边长为25，则这个等腰三角形的腰长为( )A．25 B．55 C．25或55 D．无法确定9．已知a＝3＋22，b＝3－22，则a2b－ab2的值为( )A．1 B．17 C．42 D．－42 10．[2023·泰州]菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为( )A．3－3 B．2－3 C．3－1 D．23－2二、填空题(每题3分，共24分)11．比较大小：5________27(填“＞”“＜”或“＝”)．1212－23＝________．13．[2024·衡阳外国语学校模拟]若(2x－1)2＝1－2x，则x的取值范围是________．14．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简|a－b|＋a2的结果为________．15．[2023·仙桃]计算4－1－116＋(3－2)0的结果是________.16．若2，m，4为三角形的三边长，化简：(m－2)2＋(m－6)2＝________．17．[2024·广西师大附中月考]计算：(－4)2＋327＋4＋23－4－23＝________．18．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝14[c2a2－(c2＋a2－b22)2].现有周长为18的三角形的三边满足a∶b∶c＝4∶3∶2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为________．三、解答题(19题12分，20～22题每题8分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)(－3)2＋(－2)－2－116＋(π－2)0； (2)27－(3＋1)2＋982；(3)(6－412＋38)÷22； (4)(25＋52)(25－52)－(5－2)2.202m＋n＋3与m－n－1m＋10可以合并，求正整数m，n的值．21．[2023·绵阳]先化简，再求值：(x－yx2－2xy＋y2－xx2－2xy)÷yx－2y，其中x＝22，y＝2.22．已知等式|a－2 024|＋a－2 025＝a成立，求a－2 0242的值．23．[2024·开封金明中学月考]直线y＝(3－a)x＋b－2在直角坐标系中的图象如图所示，化简：|b－a|－a2－6a＋9－|2－b|.24．如图，有一块矩形木板，木工师傅沿虚线在木板上裁出两块面积分别为12 dm2和27 dm2的正方形木板．(1)求原矩形木板的面积；(2)如果木工师傅想从剩余的木板(阴影部分)上裁出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木板，估计最多能裁出多少块这样的木板，请你通过计算说明理由．25．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即{若a－b＞0，则a＞b，若a－b＝0，则a＝b，例如：比较19－2与2的大小．若a－b＜0，则a＜b.19－2－2＝19－4.∵16＜19＜25，∴4＜19＜5，∴19－4＞0，∴19－2＞2.请根据上述方法解答以下问题：(1)29的整数部分是________，29的小数部分是________；(2)比较2－23与－3的大小；(3)已知(a＋b)(a－b)＝a2－b2，试用“作差法”比较100＋98与299的大小．答案一、1．B2．D 【点拨】A．13＝33，故可以与3合并；B．33＝3，故可以与3合并；C．12＝4×3＝22×3＝23，故可以与3合并；D．23＝2×33×3＝63，故不可以与3合并．故选D.3．D4．C 【点拨】A．2与3不能合并，本选项不合题意；B．(－5)2＝5，原计算错误，本选项不合题意；C．(3－2)2＝11－62，计算正确，本选项符合题意；D．计算时应注意运算顺序，6÷23×3＝6×32×3＝9，本选项不合题意．故选C.5．B6．D 【点拨】∵a，b满足b＝a－2＋2－a－3，∴a－2≥0，2－a≥0，∴a＝2，∴b＝－3，∴点P(2，－3)在第四象限．7．B 【点拨】∵12＋m是整数，且m为自然数，∴12＋m是一个完全平方数，且m≥0，∴自然数m的最小值是16－12＝4，故选B.8．B 【点拨】若25为底边长，则腰长为(125－25)÷2＝55，符合两边之和大于第三边；若25为腰长，则底边长为125－2×25＝85，25＋25<85，不符合两边之和大于第三边．故腰长为5 5.9．C 【点拨】a2b－ab2＝ab(a－b)＝(3＋22)(3－22)[3＋22－(3－22)]＝(9－8)×42＝4 2.故选C.10．A 【点拨】①如图，将该菱形绕顶点A 在平面内顺时针旋转30°，得菱形AB ′C ′D ′，连结AC ，BD 相交于点O ，设BC 与C ′D ′交于点E .∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴∠CAB ＝∠ACB ＝30°，∠ADC ＝120°，AC ⊥BD ，AO ＝CO .∴∠AOB ＝90°.∵AB ＝2，∴BO ＝1，∴AO ＝3BO ＝3，∴AC ＝2 3.∵菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，∴∠D ′AD ＝30°，∠AD ′C ′＝∠ADC ＝120°，AD ＝AD ′＝2，∴∠D ′AB ＝30°，∴A ，D ′，C 三点共线，∴CD ′＝CA －AD ′＝23－2.又∵∠ACB ＝30°，∠AD ′C ＝120°，∴∠CED ′＝90°，∴D ′E ＝3－1，∴CE ＝3D ′E ＝3－ 3.∵重叠部分的面积＝S △ABC －S △D ′EC ，∴重叠部分的面积＝12×23×1－12×(3－1)×(3－3)＝3－3.②将该菱形绕顶点A 在平面内逆时针旋转30°，同①可得重叠部分的面积＝ 3－3.故选A.二、11．＞　12．013．x ≤12【点拨】∵(2x －1)2＝1－2x ，∴根据二次根式的非负性得1－2x ≥0，解得x ≤12.14．b －2a 【点拨】由数轴可知，a <0<b ，则a －b <0，∴原式＝－(a －b )＋|a |＝b－a ＋(－a )＝b －2a .15．1 【点拨】原式＝14－14＋1＝1.16．4 【点拨】∵2，m ，4为三角形的三边长，∴2＜m ＜6，∴m －2＞0，m －6＜0，∴原式＝|m －2|＋|m －6|＝m －2－(m －6)＝m －2－m ＋6＝4.17．9 【点拨】原式＝4＋3(\r (3))2＋23＋1－(\r (3))2－23＋1＝7＋(\r (3)＋1)2－(\r (3)－1)2＝7＋3＋1－(3－1)＝7＋3＋1－3＋1＝9.18．15三、19．【解】(1)原式＝9＋14－14＋1＝3＋1＝4.(2)原式＝33－(3＋23＋1)＋722＝33－4－23＋722＝3＋722－4.(3)原式＝(6－22＋62)×24＝32－1＋3＝32＋2.(4)原式＝(25)2－(52)2－(5－210＋2)＝20－50－(7－210)＝－37＋210.20．【解】根据题意，得{m －n －1＝2，2m ＋n ＋3＝m ＋10，解得{m ＝5，n ＝2.即m ，n 的值分别为5，2.21．【解】(x －yx 2－2xy ＋y 2－xx 2－2xy )÷y x －2y ＝[x －y(x －y )2－x x (x －2y )]·x －2y y ＝(1x －y －1x －2y )·x －2y y ＝x －2y －x ＋y (x －y )(x －2y )·x －2y y ＝－y y (x －y )＝1y －x .当x ＝22，y ＝2时，原式＝12－22＝－22.22．【解】由题意得a －2 025≥0，∴a ≥2 025.原等式变形为a －2 024＋a －2 025＝a .整理，得a－2 025＝2 024.两边平方，得a－2 025＝2 0242，∴a－2 0242＝2 025.23．【解】根据图象可知直线y＝(3－a)x＋b－2经过第二、三、四象限，∴3－a ＜0，b－2＜0，∴a＞3，b＜2，a－3＞0，2－b＞0，∴b－a＜0，∴|b－a|－a2－6a＋9－|2－b|＝|b－a|－(a－3)2－|2－b|＝|b－a|－|a－3|－|2－b|＝a－b－(a－3)－(2－b)＝a－b－a＋3－2＋b＝1.24．【解】(1)∵两块正方形木板的面积分别为12 dm2和27 dm2，∴这两块正方形木板的边长分别为12 dm和27 dm.∴原矩形木板的长为(12＋27)dm，宽为27 dm，∴原矩形木板的面积为(12＋27)×27＝18＋27＝45(dm2)．答：原矩形木板的面积为45 dm2.(2)最多能裁出3块，理由如下：由(1)可知，两块正方形木板的边长分别为12 dm和27 dm，则阴影部分的宽为27－12＝33－23＝3(dm)，长为12＝23(dm)．23≈3.464，3≈1.732，1.732÷1.5≈1(块)，3.464÷1≈3(块)，3×1＝3(块)，∴最多能裁出3块这样的木板．25．【解】(1)5；29－5 【点拨】∵5＜29＜6，∴29的整数部分是5，小数部分是29－5.(2)∵2－23－(－3)＝5－23＝25－23＞0，∴2－23＞－3.(3)100＋98－299＝(100－99)－(99－98)＝(\r(100)－\r(99))(\r(100)＋\r(99))100＋99－(\r(99)－\r(98))(\r(99)＋\r(98))99＋98＝1100＋99－199＋98.∵100＋99＞99＋98＞0，∴1100＋99＜199＋98.∴1100＋99－199＋98＜0.∴100＋98＜299.。

第23章综合能力检测卷一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）1. 如图，△ABC 中，D ,E 分别是边AB ，AC 的中点，若DE=2，则BC=（）A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知△ABC 与△DEF 相似且面积的比为4:25，则△ABC 与△DEF 周长的比为（）A. 4：25B. 2：5C. 16：25D. 16：6253. 已知△ABC 的三边长分别为 6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为 4 cm ，当△DEF的另外两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A. 2 cm ，3 cmB. 4 cm ，5 cmC. 5 cm ，6 cmD. 6 cm ，7 cm4.如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB:FG =2:3，则下列结论正确的是（）A. 2DE =3MNB. 3DE =2MNC. 3∠A=2∠FD. 2∠A=3∠F5.如图，在△ABC 中，D,E 分别为AB,AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A.EC AE ABADB.BD AE GF AG C.AE CE AD BD D.ECAC AF AG 6.如图，在△ABC 中，点D,E 分别在边AB,AC 上，DE ∥BC ，若BD =2AD ，则（）A.21ABAD B.21EC AE C.21ECAD D.21BC DE 7.如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3),B(6,0).以原点O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（）A. （2，1）B. （2，2）C. （3，3）D. （3，1）8.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm ×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（）A. 540元B. 1080元C. 1620元D. 1800元9.如图，在等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，31EBAE，则和△AED （不包含△AED ）相似的三角形有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠P AC=∠PBA=∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点，三角形的布洛卡点（Brocard point ）是法国数学家和数学教育家克雷尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名，问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF =90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ =（）A. 5B. 4C. 23D. 22二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）11.某机器零件在图纸上的长度是21 mm ，它的实际长度是630mm ，则图纸的比例尺是________________.12. 若43xy ，则xyx 的值是___________.13. 如图，路灯距离地面8米，身高 1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 的长为___________.14. 在△ABC 中，∠B=25°，AD 是BC 边上的高，且AD 2=BD ·DC ，则∠BCA的度数为___________.15.在矩形ABCD 中，∠B 的平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ，若AB=9，DF =2FC ，则BC=___________.（结果保留根号）三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个点坐标分别为A （-2，-1），B （-1，1），C （0，-2）. （1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为____________.（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△111C B A ；（3）以点O 为位似中心，在网格中画出△222C B A ，使△222C B A 与△ABC 位似，且△222C B A 与△ABC 的相似比为1：2.17.（8分）如图，在锐角三角形ABC 中，点D,E 分别在边AC ,AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF=∠GAC. （1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若AD=3，AB =5，求AGAF 值.18. （8分）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目（如图），跷跷板支柱AB 的高度为 1.2米.（1）若吊环高度为2米，支点A 为跷跷板PQ 的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A 移到跷跷板PQ 的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？19. （8分）如图，在正方形ABCD 中，E,F 分别是边AD ,CD 上的点，AE=ED,DF =DC 41，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G.（1）求证：△ABE ∽△DEF ；（2）若正方形的边长为4，求BG 的长.20.（8分）△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF =90°，△DEF的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 逆时针旋转，旋转过程中线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q.（1）如图1，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；（2）如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ，并求当BP=2，CQ=9时，BC 的长.21.（12分）如图1，在四边形ABCD 中，点E,F 分别是AB,CD 的中点，过点E 作AB 垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接GA,GB,GC,GD,EF ，若∠AGD=∠BGC.（1）求证：AD=BC ；（2）求证：△AGD ∽△EGF ；（3）如图2，若AD,BC 所在直线互相垂直，求EFAD的值. 22. （12分）如图，已知研ABCD 中，AB=4，AD =m ，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，连接CP ，作点D 关于直线PC 的对称点 E.设点P 的运动时间为t （s ）.（1）若m=6，求当P,E,B 三点在同一直线上时对应的t 的值；（2）已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到BC 的距离等于3，求m 的取值范围.23.（13分）数学活动：问题情境：如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B,C 重合），在AC 边上取一点E ，使∠ADE =30°.（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BC=x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长.参考答案一、选择题1. C2. B3. C4. B5.C6. B7. A8.C9. C10. D二、填空题11. 1：312.4713. 514. 65°或115°15. 326三、解答题16.（1）（3，-1）（2）所画图形如图所示.（3）如图所示，△222C B A ，和△222'''C B A 17.（1）∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE =90°,∠AGC=90°，∴∠AEF =90°-∠EAF ，∠C=90°-∠GAC ，又∵∠EAF =∠GAC, ∴∠AEF =∠C ，又∵∠DAE =∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC.（2）∵△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE=∠B ，又∵∠AFD =∠AGB=90°，∴△AFD ∽△AGB ，∵AD =3，AB =5，18.（1）狮子能将公鸡送到吊环上，理由如下：如图，当狮子将跷跷板P 端按到底时，过Q 作QH ⊥PC 于点H.可得到Rt △PHQ.∵支点A 为跷跷板PQ 的中点，AB ∥QH ，∴AB 为△PHQ 的中位线，∵AB=1.2米，∴QH =2AB=2.4米>2米. 故狮子能将公鸡送到吊环上.（2）支点A 移到跷跷板PQ 的三分之一处（P A=PQ 31）时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上，如图.过点Q 作QH ⊥PC 于点H ，∵AB ∥PH ，∴△P AB ∽△PQH ，∴支点A 移到跷跷板PQ 的三分之一处时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上.19.（1）在正方形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB=AD=CD.∵AE=ED ，DF =DC 41，∴AE =ED =AB 21，DF =AB 41，又∵∠A=∠D =90°，∴△ABE ∽△DEF. （2）∵AB=4，AE=2，∴BE =522422.∵△ABE ∽△BEF ，∴∠ABE=∠DEF，∴∠AEB+∠ABE=∠AEB+∠DEF=90°，∴∠AEG=90°=∠A.由AD∥BG得∠AEB=∠EBG，可得△ABE∽△EGB，20. （1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC.∵AP=AQ，∴BP=CQ.∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∴△BPE≌△CQE（2）连接PQ,∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，∴∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP=∠EQC,∴△BPE∽△CEQ,∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，21. （1）∵GE是AB的垂直平分线，∴GA=GB，同理GD=GC，在△AGD和△BGC中，GCGDBGC AGDGB GA ，,∴△AGD ≌△BGC ，∴AD =BC.（2）∵∠AGD=∠DGC ，∴∠AGB=∠DGC ，在△AGB 和△DGC 中，,GCGBGDGA∠AGB =∠DGC ，∴△AGB ∽△DGC ，∴FGEG DGAG ,又∵∠AGE=∠DGF ，∴∠AGD =∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF. （3）如图，延长AD 交GB 于点M ，交BC 的延长线于点H ，则AH ⊥BH ，∵△AGD ≌△BGC ，∴∠GAD =∠GBC.在△GAM 和△HBM 中，∠GAD =∠GBC ，∠GMA =∠HMB ，∴∠AGB =∠AHB =90°，∴∠AGE=21∠AGB=45°，由（2）知△AGD ∽△EGF ，∴2EGAG EFAD .22.（1）当t=526时，P,E,B 三点在同一条直线上.（2）在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3，这样的m 的取值范围为74774m .23. （1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC=120°,∴∠ABD =∠ACB=30°，∴∠ABD =∠ADE=30°，∵∠ADC =∠ADE+∠EDC=∠ABD +∠DAB ，∴∠EDC =∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE.（2）如图1，∵AB=AC =2，∠BAC=120°，过A 作AF ⊥BC 于点F ，∴∠AFB =90°，∵AB=2，∠ABF =30°，∴AF=121AB,∴BF=3,∴BC=2BF =32,则DC =32-x ，EC=2-y ，∵△ABD ∽△DCE ，∴CEDCBD AB ，化简得32023212xx xy.（3）当AD =DE 时，如图2，由（1）知△ABD ∽△DCE ，则AB=CD ，由（2）知2=32-x ，得y=324，即AE=324当AE=ED 时，如图3，∠EAD=∠EDA =30°，∠AED =120°，∴∠DEC =60°，∠EDC =90°，则ED =EC 21，由（2）知y y221，解得32y，即AE=32当AD =AE 时，∠AED =∠EDA =30°，∠EAD =120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，∴当△ADE 是等腰三角形时，AE=324或32.。