2020届高三上学期期中考试数学(文)试题(PDF解析版)

福建省永安市第一中学2020届高三数学上学期期中试题 文（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}23,,3,1,0,2,3,4A x x x z B =-≤<∈=--，则AB =A. {}1,0,2,3-B. {}1,0,2-C. {}1,2,3-D. {}0,2,3 2．已知复数1(2iz i i i+=--为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 A. 2155i - B. 2155i + C. 1255i - D. 1255i +3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与n m +2共线的向量可以是A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．已知命题1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件5．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+221342y x y x y x ，则目标函数z x y =+A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最小值-1，最大值3D.既无最小值，也无最大值6．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222()2a c ac b +-=，则sin B ＝A.14B.12 C.154D. 34 7．将函数()2cos()6f x x π=+图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的图象的一个对称中心是A ．(,0)6πB ．11(,0)12πC ．(,0)12πD ．5(,0)12π8．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =，在集合A 中任取三个 元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记 这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例 如219a =，则 ()129I a =，()921D a =），阅读如图所 示的程序框图，运行相应的 程序，任意输入一个a ，则输 出b 的值为A ．792B ．693C ．594D ．4959．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则 该几何体的体积为 A. 38π- B. 328π-C. 348π- D.π28- 10．已知定义域为R 的函数)(x f 恒满足0)()(=--x f x f 且当0≥x 时，x x x f --=2)(，设 )2.0(log ),3(),3(32.02.1f c f b f a ==-=-， 则A.c a b >>B. a b c >>C. c a b >>D. a c b >> 11．已知数列{}n a 的首项135a =，且满足121(2)n n a a n n --=-≥，则na n的最小值为 A ．234 B ．595 C ．353D ．12 12．已知函数()()()2111x x x f x ex ->-⎧⎪=⎨≤-⎪⎩，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围是A. 1,1e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 1,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D. 1,2e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．已知向量a 与b 的方向相反，2||,1||==b a ，则=-|2|b a . 14．已知0cos sin =-αα，则cos(2)2πα+= .15．各项均为正数的等比数列{}n a 的公比2311,,,2q a a a 1≠成等差数列，则34262645a a a a a a a a ++= .16．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是___ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 中，23a = ，4618a a +=.(1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：12n n b b +=，并且15b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数)0)(2sin(sin 3sin)(2>++=ωπωωωx x x x fπ的最小正周期为(1）求);(x f (2）当)(,]2,12[x f x 求函数时ππ-∈的值域.19．（12分）在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=．(1)求sin CED ∠的值； (2)求BE 的长．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，112AB CD ==，E 为PC 中点．（1）证明：BE ∥平面PAD ； （2）若PBC △是边长为2的正三角形，AB ⊥平面PBC ，求点E 到平面PAD 的距离． 21．（12分）设)1(1ln )(>-=x x xx f (1)判断函数)(x f 的单调性；(2)是否存在实数a ,使得关于x 的不等式)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，试说明理由.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x =-(1）解关于x 的不等式()210f x x +->(2）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.参考答案二、填空题：13．5； 14．－1； 15．12； 16．16π. 三、解答题：17．解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意得：113,2818,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：112a d =⎧⎨=⎩， ………………………………………5分 {}n a ∴的通项公式为21n a n =- ……………………………………………………6分(Ⅱ） 12n n b b +=，159b a =={}n b ∴是首项为9公比为2的等比数列 ………………………………9分 9(12)12n n S ⨯-∴-＝＝929n ⨯- ………………………………12分18．解：（1）x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=.21)62sin(212cos 212sin 23+-=+-=πωωωx x x ……………………3分 ,0,)(>ωπ且的最小正周期为函数x f .1,22==∴ωπωπ解得…………4分.21)62sin()(+-=∴πx x f ……………………………………5分(2）].65,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x……………………………………7分当3,262πππ==-x x 即时，)62sin()(π-=x x g 取最大值1 ……………9分当12,362πππ-=-=-x x 即时.23)62sin()(--=取最小值πx x g ……11分,2321)62sin(2321≤+-≤-∴πx ………………………………12分19．解：(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD·DE·cos ∠EDC ，………1分于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………………………………………3分在△CDE 中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC CED=∠∠． …………………………4分 于是，sin ∠CED＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217． …………………………………………………6分 (2)由题设知，0＜∠CED＜π3，由(1)知，cos ＝277．……………………………8分而∠AEB＝2π3－∠CED，所以cos ∠AEB ＝cos(2π3－∠CED )＝cos 2π3cos ∠CED＋sin 2π3sin ∠CED＝－12×277＋32×217＝714．……………………………………10分在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47． ……………………………………………12分20．（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连结,AF EF ．………1分∵E 为PC 的中点，∴EF CD ，且12EF CD =．又∵AB CD ，且12AB CD =，∴EF AB ，且EF AB =．故四边形ABEF 为平行四边形． ∴BEAF ．………………3分又BE ⊄平面BEP ，AF ⊂平面BEP ，∴BE ∥平面PAD ． ………………5分 （Ⅱ）∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PB ，由于1AB =，2PB =∴5PA =∵AB ∥CD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PC由于2CD =，2PC =，∴22PD =在直角梯形ABCD 中，1AB =，2BC =，2CD =， ∴5AD =，∴()()221225262APDS =⋅⋅-=△………………………………………………8分取BC 的中点G ，连结PG ，则PG ⊥BC ，且3PG =∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PG ，∴PG ⊥平面ABCD ．又1112122ABD S AB BC =⋅=⋅⋅=△∴11313333P BAD ABD V S PG =⋅=⋅⋅=－△………………………………………………10分 设点B 到平面PAD 的距离为h ，∵BE ∥平面PAD ∴E PAD B PAD P BAD V V V ==－－－∴1133APD ABD S h S PG ⋅⋅=⋅⋅△△， ∴3226ABD APD S PG h S ⋅===△△ ∴点E 到平面PAD 的距离为22．………………………………………………12分 21．解：(1)∵)1(,1ln )(>-=x x x x f ∴2)1(ln 11)(---='x xx x f ， ……………………1分设)1(,ln 11)(≥--=x x xx g .∴0111)(22≤-=-='xxx x x g ，∴)(x g y =在)[∞+,1上为减函数．………3分∴0)1(ln 11)(=≤--=g x xx g ，∴0)1(ln 11)(2<---='x xx x f ………………4分 ∴函数1ln )(-=x xx f 在),1(+∞上为减函数． …………………………………5分(2))1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立0)1(ln <--⇔x a x 在),1(+∞上恒成立，设)1(ln )(--=x a x x h ，∴a xx h -='1)(，且有0)1(=h若0≤a ，显然不满足条件， …………………………………7分若1≥a ，则)[∞+∈,1x 时，01)(≤-='a xx h 恒成立，∴)1(ln )(--=x a x x h 在)[∞+,1上为减函数 ∴0)1()1(ln =<--h x a x 在),0(+∞上恒成立，∴)1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立， …………………………………9分若10<<a ，则01)(=-='a x x h 时，∴a x 1=， )⎢⎣⎡∈a x 1,1时0)(≥'x h ，∴)1(ln )(--=x a x x h 在1[1,)a上为增函数，当1[1,)x a∈时， )1(ln )(--=x a x x h >0,不能使)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立， …………………………11分 ∴1a ≥ ………………………………………………12分22.解：(Ⅰ）直线l 的普通方程为：330x y +-= …………………………2分曲线C 的直角坐标方程为： ()2239x y -+=…………………………5分(Ⅱ）把直线的参数方程11232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程化简得：2250t t +-= ………………………………8分∴122t t +=-，125t t =-<0∴∣P A ∣+∣PB ∣=12t t +=12t t - =()212124t t t t +-=26 ………10分23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：即： 由得由得………………………………4分综上原不等式的解为………………………………5分(Ⅱ）原不等式等价于14x x m -++<的解集非空令()14h x x x =-++，即()()min14h x x x m =-++<∴即()min 5h x =，…9分m ．…………………………………………………………10分∴5。

湖北省重点高中2020届高三上学期期中考试试题数学（文）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知复数z ＝i 3(3－i)，则z ＝A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i2.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，}，B ＝{x|x 2－4≤0}，则A ∩B ＝A.{－1，0，1，2}B.{0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－2，－1，0，1，2}3.产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量。

若从这5件样品中随机取出3件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为 A.35 B.310 C.25 D.234.已知向量a ，b 满足a ·b ＝1，|b|＝2则(3a －2b)·b ＝ A.5 B.－5 C.6 D.65.函数y ＝|x|＋1的图象与圆x 2＋(y －1)2＝4所围成图形较小部分的面积是 A.4π B.2πC.43πD.π6.已知方程221622x y m m +=++表示焦点在x 轴的双曲线，则m 的取值范围是 A.－2<m<－1 B.－3<m<－2 C.1<m<2 D.2<m<37.已知l ，m ，n 是三条不重合的直线。

其中命题“若l //m 且l ⊥n 则m ⊥n ”是真命题。

若把l ，m ，n 中的任意两条直线换成平面，另一条保持不变，则所得到的所有新命题中，真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.38.如图所示的程序框图，若输入x 的数值是19，则输出的y 值为A.－124B.124C.26D.09.已知f(x)＝lnx ＋1，0<a<b ，若1(),(),(()())22a b l f ab m f n f a f b +===+，则关于l ，m ，n 的关系式中，正确的是A.m ＝n<lB.m ＝n ＞lC.l ＝n<mD.l ＝n ＞m 10.已知非零实数a ，b ，c 不全相等，则下列说法正确的个数是(1)如a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c 能构成等差数列 (2)如a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c 不可能构成等比数列(3)如果a ，b ，c 成等比数列，则111,,a b c 能构成等比数列(4)如a ，b ，c 成等比数列，则111,,a b c不可能构成等差数列A.1个B.2个C.3个D.4个11.在△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“cosC ＝2sinAsinB ”的( )条件 A.必要不充分 B.充要 C.充分不必要 D.既不充分也不必要12.已知函数24,4()(4),4x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，且函数g(x)满足g(x)＋f(4－x)＝5，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为A.0B.4C.3D.2第Ⅱ卷 非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省2020届高三数学上学期期中试题 文（考试时间：120分钟 总分：150分）试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

)1.已知集合{}062≤--=x x x A ，{}2>=x x B ，则（ ）A.)(3,2B.](3,2C.)(2,3-D.)[2,3-2.若复数z 满足5)21(=+i z ,其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数=z （ ） A.i 21- B ．i 21+ C ．i 21+- D ．i 21--3.“在()b a ,内0)(<'x f ”是“)(x f 在()b a ,内单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4.已知在平面直角坐标系xoy 中，()1,2A ，()1,-m B ，若//，则=m （ ）A.2B. 2-C.21 D.21- 5.设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若352a a =，则=59S S ()A.109 B.1815 C. 59 D. 518 7.设5tan,2log ,25.05.0π===c b a ，则（ ）A.c a b <<B.c b a <<C.b c a <<D.c a b << 8．我们知道：在平面内，点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离公式2200BA C By Ax d +++=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点)3,4,2(到直线0222=+++z y x 的距离为( )A ．3B ．5 C.6 D ．5518 9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A.π)53(+B. π)15(-C.π)15(+D.π)53(- 10.函数)62sin(2)(π-=x x f 的图像为C ，以下结论错误．．的是（ ）A.图像C 关于直线65π=x 对称 B.图像C 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,127π对称 C.函数)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛-3,6ππ内是增函数D.由x y 2sin 2=图像向右平移6π个单位长度可以得到图像C11．已知直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，2,11===CC BC AB ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．53B ．53-C ．54D ．54-12.已知实数b a ,满足0ln 42=--b a a ，R c ∈，则22)2()(c b c a ++-的最小值为( )A ． 553B ．59C ．55D ．51第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。

高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方． 3．所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题卷对应栏目） 1.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，若A B A ⋃=，则m =________． 【答案】0或3 【解析】 【分析】由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，可得出m ＝3或m m =，即可求出m 的值．【详解】∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ， ∴m ＝3或m m =，解得：m ＝0或3或1（舍去）． 故答案为：0或3【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验2.已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________. 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若()11f -=，则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．【答案】[2,4] 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，若f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝1，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f （x ﹣3）≤1，即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1），则有﹣1≤x ﹣3≤1， 解可得2≤x ≤4，即x 的取值范围是[2，4]； 故答案为：[2,4]．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式．4.已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=________．【答案】35 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值，代入所求的式子化简求值即可． 【详解】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=7a 4＝35，故答案为：35．【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题． 5.设()f x 是周期为1的偶函数，当01x ≤≤时，()4(1)f x x x =-，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论．【详解】∵f （x ）是周期为1的偶函数， ∴f （92-）＝f （92-+4）＝f （12-）＝f （12）， ∵当0≤x ≤1时，f （x ）＝4x （1﹣x ），∴f （12）＝412⨯（112-）1=， 故f （92-）1=，故答案为：1【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．6.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】 函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【详解】f （x ）的周期T 2πω=，函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期， 所以4π=k •2πω，k ∈Z ．令k ＝1，可得ω＝8．故答案为：8．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型． 7.已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝3，则cos2α＝________． 【解析】2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23. ∵α为第二象限角且， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k∈Z)，∴2α为第三象限38.已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题： ①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1nn a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断． 【详解】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n nn n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列； 11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．9.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．【答案】(,2)(2,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】求出f （x ）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c 的范围． 【详解】f ′（x ）＝3x 2﹣3 ＝3（x ﹣1）（x +1），f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减， ∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，， 函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0， 解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞【点睛】本题考查导数运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．10.已知在正四棱锥S ABCD -中，若SA =________． 【答案】【解析】 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【详解】设底面边长为a ，则高h ==，所以体积V 13=a 2h = 设y ＝24a 412-a 6，则y ′＝96a 3﹣3a 5，当y 取最值时，y ′＝96a 3﹣3a 5＝0，解得a ＝0或a＝时，当a ''0;00y a y ><<<>,则a＝此时h ==故答案为：【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题．11.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是_____. 【答案】4π 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值．【详解】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x）4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]， 由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴4a π≤．则a 的最大值是4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．12.已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________．【答案】3- 【解析】 【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可 【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为：3-【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13.已知圆O 的半径为2，若PA 、PB 为该圆的两条切线，其中A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值________． 【答案】12-+【解析】 【分析】结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA •PB 表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【详解】如图所示：设OP ＝x （x ＞0），则PA ＝PB ，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，sinα2x=，PA •PB=|PA |•|PB |cos2α24x =-•24x -（1﹣2sin 2α）＝（x 2﹣4）（128x -）＝x 2232x+-12≥82-12， ∴当且仅当x 242=时取“＝”，故PA •PB 的最小值为82-12 故答案为：1282-+．【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 14.设函数()2xxf x a ax -=--（a e >且a 为常数，其中e 为自然对数的底数），则不等式1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是________．【答案】10,[,)e a⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可 【详解】()()+2=xx f x a a x f x --=--，故函数为奇函数又()()()'ln 22ln 22ln 20x x xxfx a a a a a a a --=+-≥=->故函数()2xxf x a a x -=--为增函数，1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭等价为()1log 10a x e f x f ≥⎧⎪⎛⎫⎨-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 或()10log 10ax ef x f <<⎧⎪⎛⎫⎨-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1x e x a≥≤或0<，故不等式1()log 10a x e fx ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，且13AE EB =．（1）求证：DE 平面1A BC ； （2）求证：DE CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得1DE A B ∥即可证明（2）作CF ⊥AB ，F 为垂足，证明DE ⊥面FCD,能证明DE ⊥CD ． 【详解】（1）∵几何体111ABC A B C -为直三棱柱， ∴四边形11AA B B 为矩形．设11A B AB O ⋂=，则点O 为1AB 的中点， 又∵13AE EB =，∴1111142EB AB OB ==，即点E 为1OB 的中点， 又∵D 为1BB 中点，∴在1B OB ∆中，由三角形中位线定理得1DE A B ∥又∵1A B ⊂平面1A BC ，DE ⊄平面1A BC ， ∴DE 平面1A BC ．（2）作CF ⊥AB ，F 垂足，因为AC BC =，故F 为中点，则1DF A B ∥直三棱柱111ABC A B C -，故面ABC ⊥面ABB 1 A 1， 则CF ⊥面ABB 1 A 1，CF DE ⊥因为ABB 1 A 1为正方形，故A 1B ⊥1A B ，又1DF A B ∥，,DF DE CF FD F DE ∴⊥⋂=∴⊥，面FCD, 故DE CD ⊥【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．（1）求边AD 的长；（2）若ABC ∆的面积为480，求角C 的值． 【答案】（1）25AD =（2）90︒∠=C 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得4in 5s ADC ∠=，3os 1c 12B =进而求得33sin sin()65BAD ADC B ∠=∠-=，再利用正弦定理求解即可 （2）由正弦定理求52AB =，利用面积求得48BC =，再利用余弦定理和勾股定理求解即可 【详解】（1）由3cos 5ADC ∠=，得24sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角， 即角B 为锐角，由5sin 13B =，得212cos 1sin 13B B =-=则33sin sin()sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠= 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠， 即335331365AD =，解得25AD =， （2）在ADB ∆中，4sin sin()sin 5ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=， 由正弦定理得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB = 由ABC ∆的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =即15DC BC BD =-=由余弦定理得，20AC ==．在ADC ∆中，222625AD AC DC =+=， 则由勾股定理的逆定理可知，90︒∠=C【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题17.已知函数()()4232314f x ax a x x =-++．（1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）当16a =时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，则()()()2413310f x x ax ax +'=--≥在(1,1)-上恒成立，从而23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即刻求解实数a 的取值范围． 试题解析：（1）()()()241331f x x ax ax '=-+-，当16a =时，()()()2221f x x x =+-'，()f x 在(),2-∞-内单调减，在()2,-+∞内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值． 所以()212f -=-是()f x 的极小值．（2）由（1）知，()()()241331f x x ax ax '=-+-，∵()f x 在()1,1-上是增函数，∴()0f x '≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立， ①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-，即()()10{10g g -≤≤，即10{610a -≤-≤，解得：16a ≤， 又0a >，∴106a <≤， ③当0a <时，即2133x x a+≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即()2min 133x xa +≥，()1,1x ∈-，而当12x =-时，()2min 3334x x +=-， ∴314a -≥，解得：403a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围是41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．18.已知{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）设22n nnc a b =-，记1nn ni S c==∑，证明：26n n S c ≤+<．【答案】（1）证明见解析（2）1122nn a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-两式相加减即可证明 （2）由（1）解方程组得{}n a 和{}n b 的通项公式 （3）利用错位相减求得1nn ni S c==∑，结合数列单调性即可证明【详解】（1）1434n n n a a b +-=+（其中*n N ∈），①1434n n n b b a +-=-（其中*n N ∈），②由①与②相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，故{}n n a b +是以1为首项12为公比的等比数列由①与②相减得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即()()112n n n n a b a b ++---=（其中*n N ∈），又11101a b +=+=， 则数列{}n n a b -是以1为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，1112n n n a b -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），③1(1)221n n a b n n -=+-⨯=-（其中*n N ∈），④③+④得，11121112222n nn n a n -⎛⎫⨯+- ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⎪⎝⎭， 即1111222n nn n b a n -⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（*n N ∈）， （3）()()1221(21)2n n n n n n n n c a b a b a b n -⎛⎫=-=+-=-⋅ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），1221111111135(23)(21)22222n n nn n i S c n n --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1231111111135(23)(21)222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上下两式错位相减得123111111112222(21)222222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1221111111(21)22222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1111121(21)12212n nn S n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭-，也即31116(21)22n n n S n --⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又11(21)2n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即3162n n n S c -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），又因为函数31()62n n n f n S c -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈）为单调递增函数，则31(1)662n n n f S c -⎛⎫≤+=-< ⎪⎝⎭，即26n n S c ≤+<【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19.如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围．【答案】（1）乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）（2）3916,2⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可 （2）讨论乙运动到AB,BC,CD 时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 的表达式，求函数最值，列不等式求解即可【详解】（1）如图．过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．因为四边形ABCD 为直角梯形，所以四边形EBCD 为矩形，则16BC ED ==，6EB CD ==， 又在直角三角形ABE 中，228AE AB BE =-=，即24AD AE ED =+=则由题意得，甲从A 地出发匀速前往D 地所需时间为24212t ==甲（小时）， 乙从A 地出发匀速前往D 地所需时间为32t v=乙（小时）， 由题意可知14t t -≤甲乙，即32124v -≤，解得12812897v ≤≤， 所求乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）．（2）设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 千米，由于乙先于甲到达D 地，所以3224012v -<，解得16v >， ①当010vt <≤时，即100t v<≤时，222296()(12)()212cos 1445f t t vt t vt BAE v v t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯∠=-+ ⎪⎝⎭因为29614405v v -+>，所以当10t v =时，()f t 取得最大值，且22max109610()1445f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得222max9610()144105f t v v v ⎛⎫⎛⎫=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得152v ≥，②当1026vt <≤时，即1026t v v<≤时， 22222()(10812)6(12)3612f t vt t v t v ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪-⎝⎭，因为16v >，所以21012v v <-，则当26t v=时，()f t 取得最大值， 且222max26262()(12)361012f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫==--+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤ ③当2632vt <≤时，即2632t v v<≤时， ()2222222()(10166)(81612)(3232=1)(24441)22f t vt t vt v t t v t ⎛⎫-+- =++-+⎪⎝⎭+-=-+-，因为16v >，所以3232216t v =<=， 则函数()f t 在区间2632,v v ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即当26t v =时，()f t 取得最大值，且222max261226()(3226)2410f t f v v ⨯⎛⎫⎛⎫==-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤， 由①②③同时成立可得153922v ≤≤，又因为16v >，所以39162v <≤即所求乙的速度v 的取值范围为3916,2⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题 20.设函数1()1x f x e=-，函数()f x '为()f x 的导函数． （1）若x ∀∈R ，都有()()f x mf x n '=+成立（其中,m n ∈R ），求m n +的值； （2）证明：当1x >-时，1()11f x x +≥+； （3）设当0x ≥时，11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0m n +=（2）证明见解析（3）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求导()xf x e '-=，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明1()11f x x +≥+等价证明1x e x ≥+，构造函数求最值即可证明 （3）讨论110,0,0,22a a a a =><≤>，11()(1)f x a ax a +≤+恒成立，转化为证明(1)()x x f x ≤+，构造函数()()()h x axf x f x x =+-，求导求最值，证明当0a <时不成立，当102a <≤时，利用（2）放缩证明h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数即可求解，当12a >时，构造函数，证明不成立即可求解【详解】（1）()1xf x e -=-，则()xf x e'-=因为x R ∀∈，()()f x mf x n '=+即1x x e me n ---=+恒成立（其中,m n R ∈），则1m =-，1n =，即110m n +=-+=，且()()1f x f x '=-+ （2）当1x >-时，要证1()11f x x +≥+即证1x e x ≥+， 令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x ≥时，()0g x '≥，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 当0x ≤时，()0g x '≤，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则当0x =时，min ()(0)0g x g ==，即当x ∈R 时，()(0)g x g ≥，也即1x e x ≥+， 所以当1x >-时，1()11f x x +≥+ （3）当0a =，本题无意义，11()(1)f x a ax a+≤+显然不成立，所以0a =不合题意， 当0a ≠时，11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，由题设0x ≥，此时有()0f x ≥， 当0a <时，若1x a >-，则有01x ax <+，此时()1x f x ax ≤+不成立，即11()(1)f x a ax a+≤+不成立，所以0a <不合题意，当0a >时，令()()()h x axf x f x x =+-， 则11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，即当且仅当()0≤h x ，()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，又由（1）得()()1f x f x '=-+，即()1()f x f x '=-，代入上式得：()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-，①当102a <≤时，由（2）知1()11f x x +≥+，即(1)()x x f x ≤+， 则()()()()()()(1)()()h x af x axf x ax f x af x axf x a x f x f x '=-+-≤-++-(21)()0a f x =-≤，此时函数h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则()(0)0h x h ≤=，即11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，此时符合题意，②当12a >时，令()()1x r x x f x x e -=-=-+，则1()1x xxe r x e e '--=-=，又0x ≥，则1()0x xe r x e'-=≥，即函数()r x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 即()(0)0r x r ≥=，也即()x f x ≥，则()()()()()()()()h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x '=-+-≥-+-(21)()a ax f x =--当210a x a -<<时，有()0h x '>，即函数()h x 在区间210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，所以()(0)0h x h >=，即11()(1)f x a ax a +>+，所以12a >不合题意，综上可得，所求实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，考查放缩法的合理利用，考查转化化归能力，合理构造函数是关键，是难题1、在最软入的时候，你会想起谁。

2019-2020年高三上学期期中数学试卷（文科）含解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B． C．D．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．812．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．已知，，则sinα+cosα=．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．16．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．20．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2015-2016学年内蒙古包头九中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：由补集的定义可得∁U M={2，3，5，6}，则（∁U M）∩N={2，3}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．【解答】解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】逐一分析四个答案中几何体的三视图，比照已知中的三视图，可得答案．【解答】解：A中，的三视图为：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是三视图的画法，能根据已知中的直观图，画出几何体的三视图是解答的关键．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】计算题；规律型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．【点评】本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B． C．D．【考点】函数的值． 【专题】计算题．【分析】利用f （x ）=1+，f （x ）+f （﹣x ）=2即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）==1+，∴f （﹣x ）=1﹣，∴f （x ）+f （﹣x ）=2；∵f （a ）=，∴f （﹣a ）=2﹣f （a ）=2﹣=．故选C ．【点评】本题考查函数的值，求得f （x ）+f （﹣x ）=2是关键，属于中档题．10．在△ABC 中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则•=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0， E ，F 为BC 边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B ．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．函数y=的图象与函数y=2sin πx （﹣2≤x ≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．已知，，则sinα+cosα=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】通过已知求出tanα，利用同角三角函数的基本关系式，结合角的范围，求出sinα，cosα的值即可．【解答】解：∵∴解得tanα=，∵，∵sin2α+cos2α=1…①tanα=，…②解①②得sinα=，cosα=﹣∴sinα+cosα==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=R2，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，=×R××R2=，∴V P﹣ABC即R3=9，R3=3，=×πR3=×π×3=4π．所以：球的体积V球故答案为：【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的范围，从而可求函数f（x）的值域．【解答】解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …=sin（2x﹣）+．…函数f（x）的最小正周期为T=π．…因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）分类讨论利用等差等比是列的定义公式得出当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q≠1时，化简得出：2q2﹣q﹣1=0，求解即可．（II）运用得出数列，等比数列的性质得出b n=na n．a n=n﹣1，再利用错位相减求和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}的前n 项和为S n，∴当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q≠1时，S n=，∵S1，S3，S2成等差数列∴2S3=S1+S2，化简得出：2q2﹣q﹣1=0，解得：，q=1（舍去）（Ⅱ）∵a1﹣a3=3，∴a1﹣a1=3，a1=4∵b n=na n．a n=n﹣1∴b n=na n=4n×（）n﹣1∴T n=4[1+2×（﹣）+3×（﹣）2+…+（n﹣1）（﹣）n﹣2+n（﹣）n﹣1]﹣T n=4[1×（﹣）+2×（﹣）2+3×（﹣）3+…+（n﹣1）（﹣）n﹣1+n（﹣）n]错位相减得出T n=4[1+（﹣）+（﹣）2+（﹣）3+n﹣1]nT n=4[﹣n×（）n]，T n=×（1﹣（﹣）n）n（﹣）nT n=（﹣）n n（﹣）n【点评】本题考查了等比等差数列的性质，错位相减法求解数列的和，考查了学生的计算化简能力，属于中档题．19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin（2C﹣30°）=1，结合C的范围可求C（2）由（1）C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求【解答】解：（1）∵，∴∴sin（2C﹣30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0∴sin=2sinA整理可得，即tanA=∴A=30°，B=90°∵c=3．∴a=，b=2【点评】本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用20．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，可证AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可证AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证AD⊥BD，可得，又三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，由=即可解得点C到平面ABD的距离．【解答】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC•∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•∴•∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，∴=∴可解得：h=．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…综上，a≥e﹣1…【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题．（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，【分析】根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解答】解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG【点评】本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【专题】计算题．【分析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．2016年3月9日。

高三期中数学卷一.填空题1.已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 4α=-，则x 的值为_________【答案】8【解析】【分析】直接利用三角函数定义得到答案.【详解】角α的终边经过点(,6)P x -，63tan 84x x α-==-∴=故答案为：8【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.2.函数y x=的定义域为_________【答案】[2,0)(0,2]- 【解析】【分析】定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，计算得答案.【详解】函数4x y x =的定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩解得22x -≤≤且0x ≠故答案为：[2,0)(0,2]- 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【解析】【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x =代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为：()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.4.(1n -展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为_________【答案】56-【解析】【分析】通过二项式系数和计算得到8n =，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】(1n 展开式的二项式系数之和为25682n n =∴=3188((1)r r rr rr T C C x+==-，当3r =时，3348(1)56T C x x=-=-故答案为：56-【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.5.已知cos()63πα-=，则5cos()6πα+=_________【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷上期中考试数学（文）试题及解析一、选择题1．“6πα=”是“tan 2α= ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：∵tan 22()=+()362k k k Z k Z πππααπα=⇔=+∈⇔∈，∴应是充分不必要条件，故选A ．【考点】1．三角函数的定义；2．充分必要条件．2．设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若,αββγ⊥⊥，则//αγB ．若,//m αββ⊥，则m α⊥C ．若,m n αα⊥⊥，则//m nD ．若//,//m n αα，则//m n【答案】C【解析】试题分析：A ：α，γ可能的位置关系为相交，平行，故A 错误；B ：m 可能在α上，可能与α斜交，故B 错误；C ：根据线面垂直的性质，可知C 正确；D ：m ，n 可能的位置关系为相交，平行，异面，故D 错误，故选C ． 【考点】空间中直线平面的位置关系．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112 【答案】C【解析】试题分析：根据三视图可该几何体为三棱锥与立方体的组合，如下图所示，故所求体积314443803V =+⨯⨯⨯=，故选C ．【考点】1．三视图；2．空间几何体的体积计算．4．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，351,1a a ==，则2326372a a a a a ++=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．8-【答案】A【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴22223263733553522()8a a a a a a a a a a a ++=++=+=，故选A ．【考点】等比数列的性质．5．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图象向右平移8π后关于y 轴对称，则满足此条件的ϕ值为（ ） A ．4π B ．38π C ．34π D ．58π 【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<关于直线8x π=-对称，∴2()()82k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，∴3()4k k Z πϕπ=+∈，又∵0ϕπ<<，∴31044k k -<<⇒=， ∴34πϕ=，故选C ．【考点】三角函数的性质．6．函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：∵是上的单调递减函数，∴，故选D．【考点】分段函数的单调性．【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是，将分段函数在上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升．7．已知定义在上的函数满足：①图象关于点对称；②；③当时，则函数在区间上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】试题分析：∵，∴的图象关于直线对称，又∵图象关于点对称，故如下图，画出在上的图象，以及的图象，由图可知，零点个数为5个，故选A．【考点】1．函数与方程；2．数形结合的思想．【思路点睛】解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．8．已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（）_科A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，设，，则，由题意可知，，，∴，由，∴，由函数在上单调递减，上单调递增，∴可知，故选B ．【考点】立体几何综合题．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解． 二、填空题9．已知全集，集合，集合，则；．【答案】，．【解析】试题分析：，∴，． 【考点】1．对数的性质；2．集合的运算． 10．若指数函数的图象过点，则；不等式的解集为．【答案】，．【解析】试题分析：设指数函数为且，∴，，即不等式的解集是．【考点】指数函数的性质． 11．向量22(,2m =，(sin ,cos ),(0,)n x x x π=∈，①若//m n ，则tan x =；②若m 与n 的夹角为3π，则x =．【答案】，．【解析】试题分析：①：∵//m n ，∴；②：显然，∴，即，∴，又∵，∴． 【考点】1．平面向量共线的坐标表示；2．平面向量数量积；3．三角恒等变形．12．数列{}n a 的前项和为，则；数列的前10项和．【答案】，．【解析】试题分析：当时，，当时，，∴，∴．【考点】1．数列的通项公式；2．数列求和． 13．求值．【答案】．【解析】试题分析：．【考点】三角恒等变形．14．已知数列{}a的各项均为正整数，其前项和为，若n且，则．【答案】．【解析】试题分析：∵为奇数，且当是奇数时，是偶数，∴，，中必有两个偶数，一个奇数，若为奇数，，是偶数：，，，，，，，∴从第四项起，数列是以3为周期的数列，而，∴．【考点】1．分类讨论的数学思想；2．数列求和．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解．15．已知三角形中，过中线的中点任作一条直线分别交边，于，两点，设，，则的最小值为．【答案】．【解析】试题分析：由题意可知，，，三点共线，故设，而，∴，即，∴，当且仅当时，等号成立，故的最小值是．【考点】1．平面向量的数量积；2．基本不等式．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．三、解答题16．设为等差数列的前项和，已知．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）将条件中的式子转化为只与，有关的方程，解出与，即可得到通项公式；（2）利用等差数列的前项和公式首先求出，再利用裂项相消法即可求得新数列的前项和，即可得证不等式．试题解析：（1）∵等差数列，，，∴；（2）由（1）可知，，∴，∴．【考点】1．等差数列的通项公式及其前项和；2．裂项相消法求数列的和．17．在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．18．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（1）求证：面；（2）求二面角的大小的正弦值；（3）求点到面的距离．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的中点，利用三角形的中位线性质产生线线平行，再利用线面平行的判定，进一步将其转化到线面平行即可；（2）根据已知条件，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再利用已知数据即可求解；（3）利用，从而即可求得所求距离．试题解析：（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，在中，；（3）∵，∴．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角的求解；3．体积法求线面距离．【方法点睛】立体几何大题通常会考查两条异面直线所成的角，求二面角的平面角，点到面的距离等，要综合运用平行垂直关系等判定定理，性质定理，及支线与平面所成角的概念，二面角的概念，作出相应的角，再通过平面几何知识进行计算，求点到平面的距离，通常可考虑体积法，此外，空间向量也是解决立体几何大题的一种方法．19．若满足，则称为的不动点．（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；（2）若函数的不动点，求的值；（3）若函数有不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）根据条件可知，没有不动点，等价于方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据零点定理求得的根所在的区间，即可求得的值；（3）有不动点，等价于有解，从而可知，从而问题进一步等价于关于的一元二次方程至少有一正根，利用韦达定理，即可求解的取值范围．试题解析：（1）由已知可得，问题等价于无实数根，即无实数根，∴，；（2）令，∴，即，令，在上递增，，，，；（3）令，则，又令，从而可得，故问题等价于关于的一元二次方程至少有一正根，若方程有一根为：此时，，，符合题意，若方程的根不为，考虑都为负根，由韦达定理可知，因此方程至少有一正根需，又∵或，∴实数的取值范围是．【考点】1．材料阅读；2．零点存在定理；3．韦达定理．【思路点睛】解决含有参数的动函数的常见方法有：1．参变分离，转化成固定函数在固定区间上的最值问题，2．对参数的讨论，与恒成立问题，根的分布问题相结合；3．零点的情况，与零点存在，唯一性相结合；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述；3．数形结合思想．20．已知函数（1）若函数在上无零点，请你探究函数在上的单调性；（2）设，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）若：在上无单调性，若：在上单调递增，若：在上单调递减，在上单调递增；（2）．【解析】试题分析：（1）根据条件在上无零点首先可求得的取值范围，再对求得的的取值范围分类讨论，从而可知相应的单调性；（2）问题等价于在上的最大值小于1即可，通过分类讨论结合二次函数的性质即可求得的取值范围．试题解析：（1）令，从而可知，∵，∴，故满足在上无零点的实数的取值范围是，若：，在上无单调性，若：，在上单调递增，若：则，∴在上单调递减，在上单调递增；（2），而在上恒成立等价于，∴实数的取值范围是．【考点】1．二次函数的性质；2．分类讨论的数学思想．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

西安市中学2020届高三上学期11月第二次月考数学（文）试卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.） 1．已知集合{}=13M x x 剟，{}2N x x =>，则集合()R M N =Ið（ ）A ．{}12x x 剟B ．{}1x x …C ．{}12x x <„ D ．{}23x x <„ 2．已知复数21i(1i)z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列四个结论： ①若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“000,sin cos 1x R x x ∃∈+<”的否定是“,sin cos 1x R x x ∀∈+≥”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件； ④当0α<时，幂函数y x α=在区间()0,+∞上单调递减.其中正确的是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④4．对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．(]2,2-D ．()2,2-5．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且11=b ，223+=b b ，534a a b +=，6452a a b +=，则20199a b +=（ ）A ．2027B ．2028C ．2275D ．25316．已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (,0)-∞ B ．()0,+∞ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞7．已知函数21()sin 3sin cos 2f x x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称8．如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u r x AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ） A ．32B ．2C ．92D ．99．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ． 90°D ． 120°10．已知函数)(x f 对定义域内任意x 都满足()(6)f x f x =- ，且)(x f 在[3,)+∞上单调递减，则 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>11．函数xax x f +=2)(（a ∈R ）的图像不可能．．．是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知)(x f '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当(,0]x ∈-∞时，1)(>'x f ，则不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为（ ）A ．(3,)+∞B ．[3,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,3)-∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。