中考总复习：32特殊三角形--知识讲解(提高)

特殊三角形知识点归纳及练习三角形是几何学中的重要概念，它有许多种类和特殊性质。

在学习三角形时，特殊三角形的知识点是我们必须掌握的内容之一。

本文将对特殊三角形的知识点进行归纳总结，并提供一些练习题供读者巩固所学知识。

一、等腰三角形等腰三角形是指两边相等的三角形，它具有以下特点：1. 两个底角相等，即底边上的两个角度相等。

2. 两个底边的中线相等。

3. 两个底边的高相等。

练习题：1. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，AB的中线DE = 6cm，求底边BC的长。

2. 在等腰三角形ABC中，BC = 8cm，角A的度数为60°，求角B 的度数。

二、等边三角形等边三角形是指三个边都相等的三角形，它具有以下特点：1. 三个内角都是60°。

2. 三条高、三条中线、三条角平分线均相等且重合。

1. 在等边三角形ABC中，AB = 6cm，求高的长度。

2. 在等边三角形ABC中，三个内角的度数分别为60°，求三条角平分线的长度。

三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90°的三角形，它具有以下特点：1. 有且仅有一个直角（90°）。

2. 两条边的平方和等于第三边的平方，即勾股定理。

练习题：1. 在直角三角形ABC中，角A = 90°，BC = 5cm，AC = 13cm，求AB的长。

2. 在直角三角形ABC中，角C = 90°，AC = 7cm，BC = 24cm，求角A的度数。

四、等腰直角三角形等腰直角三角形是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形，它具有以下特点：1. 具有一个直角（90°）和两个底角相等。

2. 两个等边相等。

1. 在等腰直角三角形ABC中，AB = AC，角C = 90°，AC = 10cm，求AB的长。

2. 在等腰直角三角形ABC中，AB = BC，角A的度数为45°，求AC的长。

五、等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指既是等腰三角形又是锐角三角形的三角形，它具有以下特点：1. 两个底角相等且小于90°。

《特殊三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；4．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们；5．理解直角三角形的概念及性质的广泛应用，掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．6．掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形．7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】要点一、图形的轴对称1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形.2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小.作法：1.作点A关于直线a的对称点A′；2.连接A′B,交直线a与点C;3.连接AC.点C就是所求作的点.下面给出证明：设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．．．．AP+BP=A′P+BP≥A′B，A′B=A ′C+BC=AC+BC，即AP十BP≥AC+BC，所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．要点诠释：1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（一个等腰三角形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形.2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的.3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧. 要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定1.等腰三角形的定义及其对称性有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形.2.等腰三角形的性质与判定定理性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”）．推论：等边三角形的各个内角都等于60°；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边”）.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的相等得出边的相等..等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.3.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.4.角平分线性质的第二个定理角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.5.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理的逆定理逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、直角三角形性质及判定直角三角形的性质性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.性质定理2的逆命题也同样正确，在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点五、勾股定理及其逆定理1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.2.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法——斜边，直角边定理由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

中考复习专用三角形与特殊三角形在中考的数学世界里，三角形与特殊三角形是一个非常重要的考点。

今天，咱们就来好好梳理一下这部分知识，为即将到来的中考做好充分准备。

首先，咱们来聊聊三角形的基本概念。

三角形是由三条线段首尾相连组成的封闭图形。

它有三个内角，内角和为 180 度。

这是一个非常重要的性质，在很多题目中都会用到。

比如，已知两个内角的度数，求第三个内角的度数。

三角形的三条边也有很多有趣的性质。

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

这在判断三条线段能否组成三角形时特别有用。

如果给了三条线段的长度，咱们只需要比较两条较短边的和是否大于最长边，就能判断它们能否组成三角形啦。

接下来，咱们重点说说特殊三角形。

特殊三角形主要有等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

等腰三角形有两条边相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边。

等腰三角形的两个底角相等。

如果知道了顶角的度数，就能很容易地求出底角的度数，反之亦然。

而且，等腰三角形“三线合一”的性质也很重要，就是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

等边三角形就更特殊啦，它的三条边都相等，三个内角也都相等，都是60 度。

因为它的特殊性，所以在很多题目中一旦出现等边三角形，往往能给我们提供很多有用的信息。

再说说直角三角形。

直角三角形有一个角是 90 度。

它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。

比如，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那么斜边就是 5，因为 3²＋ 4²＝ 5²。

除了勾股定理，直角三角形还有很多重要的性质。

比如，斜边上的中线等于斜边的一半。

在解决与三角形和特殊三角形相关的题目时，我们经常需要用到全等三角形的知识。

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

判断两个三角形全等的方法有“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）和“斜边、直角边”（HL）。

中考总复习：特殊三角形—知识讲解【考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1. 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2．性质：(1) 具有三角形的一切性质；(2) 两底角相等(等边对等角)；(3) 顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4) 等边三角形的各角都相等，且都等于60°．要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3．判定：(1) 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) ；(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；(3) 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：(1) 腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2) 等边三角形是特殊的等腰三角形．考点二、直角三角形1. 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2 性质：(1) 直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3) 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4) 勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5) 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6) 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：1直角三角形中，SRS ABC=ch=ab ,其中a、b为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高；2 圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3判定：（1）两内角互余的三角形是直角三角形;（2）—条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；（3）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.特殊三角形的性质（含勾股定理）中考要求：A级：等腰三角形（等边三角形）、直角三角形的有关概念；C级：等腰三角形（等边三角形）的性质判定；应用勾股定理解决简单问题，用勾股定理的逆定理判定直角三角形；D级：直角三角形的性质、判定;教学过程：一、回忆知识点学生活动：以小组为单位完善第一轮中考总复习P.87回忆知识点1〜乙建立知识结构图（要求课堂展示）师生活动：①交流知识结构图；②明确重点；③重要知识点的简单应用；1、在Rt△ ABC 中，/ A=36 °，则/ B=2、如图：在Rt△ ABC 中，/ A=30° , AB=4,则AC=—BC= ___ ，斜边上中线CD= —;,△ ABC中三边长分别为3、4、5,试判断△ ABC形状？4、如图：已知AD=CD=BD，试判断厶ABC形状？5、如图：已知AB为圆0的直径，试判断厶ABC -形状？.「B二、理解知识点学生活动：校对第一轮中考总复习P.87理解知识点师生活动：①有无分类讨论思想?②有无方程思想？③在交流过程中有哪些困难?三、整合知识点1、△ ABC 是等腰三角形，BAC=90 ,AB=AC,AD丄BC,图中有几个等腰直角三角形？2、如图，若有一个Rt / EDF顶点为D点，两边分别与AB AC相交于E、F，试问△ DEF是怎样特殊的三角形？为什么？3、在第二题中，若BE=2 CF=3求EF的长。

三角形及特殊三角形知识点(经典完整版)
三角形及特殊三角形知识点（经典完整版）
三角形定义
三角形是一个由三条边和三个内角组成的图形。

根据边长关系，三角形可以分为以下三种情况：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等。

3. 普通三角形：三条边的长度都不相等。

三角形内角和
三角形的三个内角之和始终为180度。

根据角度大小，三角形
可以进一步分类：
1. 直角三角形：一个内角为90度。

2. 钝角三角形：一个内角大于90度。

3. 锐角三角形：三个内角都小于90度。

三角形特性
三角形还有一些重要属性和特性：
1. 垂心：垂心是三角形三条高的交点，即垂直于三边的线段的交点。

2. 重心：重心是三角形三条中线的交点，即三角形三个顶点与对边中点的连线的交点。

3. 外心：外心是三角形外接圆的圆心，即可以过三角形三个顶点的圆的圆心。

4. 内心：内心是三角形内切圆的圆心，即可以切三角形三个边的圆的圆心。

特殊三角形
除了普通的三角形外，还有一些特殊的三角形：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等，内角均为60度。

2. 等腰直角三角形：一个内角为90度，且两条直角边的长度相等。

3. 等腰钝角三角形：一个内角大于90度，且两条等腰边的长度相等。

4. 等腰锐角三角形：三个内角都小于90度，且两条等腰边的长度相等。

以上是关于三角形及特殊三角形的一些知识点。

掌握这些概念可以帮助我们更好地理解三角形的性质和特点。

特殊三角形基本知识点整理好嘞，以下是为您整理的关于特殊三角形基本知识点：在我们学习数学的道路上，三角形就像是一群性格各异的小伙伴，其中有几个特别的家伙，那就是特殊三角形。

今天咱们就来好好唠唠它们。

先来说说等腰三角形。

等腰三角形啊，就像是一个有两个“双胞胎”边的家伙。

这两条相等的边叫做腰，剩下的那条边叫做底边。

顶角呢，就是两腰的夹角，底角就是底边与腰的夹角。

而且等腰三角形有个很重要的特点，就是两底角相等。

我记得有一次在课堂上，老师让我们自己动手做一个等腰三角形。

我找了一张纸，小心翼翼地对折，然后沿着折痕剪下来，一个等腰三角形就出现在我眼前啦。

我拿着它，左看看右看看，心里别提多高兴了。

等腰三角形的性质在生活中也有很多应用呢。

比如说，我们常见的等腰三角形的衣架，它的两边长度相等，挂衣服的时候能保持平衡，不会让衣服歪歪扭扭的。

再来说说等边三角形。

等边三角形那可是三角形中的“小明星”，因为它的三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是60 度。

想象一下，它就像一个完美的“三胞胎”，每一部分都一模一样。

有一次我在路上看到一个正六边形的地砖，我突然想到，把正六边形分成六个相等的部分，每个部分不就是一个等边三角形嘛！这让我更加深刻地理解了等边三角形的特点。

直角三角形也很特别。

它有一个角是直角，也就是 90 度。

直角所对的边叫做斜边，剩下的两条边叫做直角边。

著名的勾股定理就和直角三角形有关，那就是两条直角边的平方和等于斜边的平方。

我记得有一次在家里装修，爸爸要做一个直角的架子。

他就拿着尺子和笔，在木板上量来量去，嘴里还念叨着勾股定理。

我在旁边好奇地看着，感觉数学在这一刻变得特别实用。

直角三角形在建筑中可是经常出现的。

比如说那些高楼大厦的框架，很多都是由直角三角形组成的，这样才能保证建筑的稳固和安全。

等腰直角三角形就更特别啦，它既是等腰三角形，又是直角三角形。

它的两个底角都是 45 度，斜边的长度是直角边长度的根号 2 倍。

特殊三角形知识点三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，这些线段分别称为三角形的边。

三角形的分类有很多种形式，其中特殊三角形是指具有特殊性质的三角形。

在本文中，我们将重点介绍三种特殊三角形：等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

1. 等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

具体来说，等腰三角形的两条边的长度相等，而第三条边（底边）可以与两条相等的边不相等。

根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下事实：- 等腰三角形的两个底角（底边所对应的两个角）的度数相等。

- 等腰三角形的高线（从底边的中点垂直上方的线段）与底边垂直，并且将底边分为两段长度相等的线段。

2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

等边三角形拥有以下性质：- 所有的内角都为60度。

- 任意两个角的和为120度。

- 等边三角形的高线、角平分线和中位线都重合，同时也是三角形的对称轴。

等边三角形是一种特殊的等腰三角形，该三角形的三个角都是相等的，每个角是60度，因此也是一种特殊的等腰三角形。

3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

具体来说，直角三角形的两个边可以称为直角边，而第三条边称为斜边。

在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，也就是著名的勾股定理。

直角三角形也可以通过三边的长度来进行分类：- 等腰直角三角形：两条直角边的长度相等。

- 等腰直角等边三角形：两条直角边的长度相等且等于斜边的长度。

总结：特殊三角形在几何学中具有重要的地位，它们的性质和特点可以帮助我们解决各种数学问题。

等腰三角形的两边相等，等边三角形的三边相等，直角三角形则具有特殊的角度和边长关系。

深入理解和熟练运用这些特殊三角形的知识对于数学学习和应用具有重要意义。

希望本文能够为读者提供有关特殊三角形的基本知识点，并帮助读者更好地理解和应用这些概念。

【数学】初中数学中的特殊三角形、特殊四边形中重要知识点总结01特殊三角形一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。

2、性质：（1）等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)（2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)（3）等腰三角形的两底角的平分线相等。

(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)（4）等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。

（5）等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证)（7）等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。

二、等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。

(注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形)。

2、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。

⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

三、直角三角形全等1、直角三角形全等的判定有5种：(1)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)(3)三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)(4)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(AAS)(5)斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等;(HL)2、在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4、垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。

中考内容中考要求ABC等腰三角形与直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩定义等边对等角等腰三角形性质三线合一等腰三角形判定定义特殊三角形等边三角形性质判定定义直角三角形性质判定一、 等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫做腰，第三边为底．2、性质：(1)轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴． (2)定理1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”．(3)定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”． 3、判定：如果一个三角形有两角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”．知识精讲中考大纲 特殊三角形知识网络图【补充】1、等腰三角形两腰上的高相等；2、等腰三角形两腰上的中线相等；3、等腰三角形两底角的平分线相等；二、等边三角形1、定义：三边相等的三角形是等边三角形．2、性质：(1)轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴．(2)等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3、判定：(1)判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)判定2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、线段的垂直平分线1、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．2、性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．3、判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4、实质构成：线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合．四、直角三角形1、直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题方法技巧1、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．AC 2、等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行3、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．如图，即DE DF BG +=．本结论可以用面积列等式推得．ABCABCDE F G4、等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高．5、要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得到两边相等．1、遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分．2、遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．3、等腰三角形三线合一定理没有逆定理，定理的逆推论需要用全等去证明．易错点辨析题型一：等腰三角形的性质与判定【例1】 已知ABC △中，AB AC =．36A ∠=︒，则C ∠______． 【例2】 等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______． 【例3】 等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________． 【例4】 已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm【例5】 在等腰ABC △中，AB AC =，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是__________．（2014年玉林中考）【例6】 如图，在ABC △中，AB AC =，且D 为BC 上一点，CD AD =，AB BD =，则B ∠的度数为__________．（2014年南充中考）DCBA【例7】 如图，在Rt ABC △中，D E ，为斜边AB 上的两个点，且BD BC AE AC ==，，则DCE ∠的大小为__________．（2014年天津）EDCBA【例8】 如图，ABC ∆中，30A ∠=︒，CD 是BCA ∠的平分线，ED 是CDA ∠的平分线，EF 是DEA ∠的平分线，DF FE =，求B ∠.ABCDEF特殊三角形习题集课堂练习【例9】 如图，P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD BC ⊥点D ，求证：PE PF AD +=．ABCE D PF【例10】 如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?ABCEDP F【例11】 如图所示，已知ABC △中，D 、E 为BC 边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =．AB CD E【例12】 如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可）等式：①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠． 已知：____________________ 求证：AED △是等腰三角形． 证明：【例13】 如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且2AB AD =．（1）判断ABC △的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC △固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明； （3）保持图2中ABC △固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．（2010年临沂）题型二：等腰三角形的作图题【例14】 已知ABC ∆中，90A ∠=︒，67.5B ∠=︒.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.CB ACB A【例15】 已知菱形ABCD 中，72A ∠=︒，请设计两种不同的分法，将菱形ABCD 分割成四个三角形，使得分割成的每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，例如第20题图，不要求写出画法，不要求证明.）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.36︒36︒36︒18︒18︒54︒72︒72︒72︒54︒DCBAA分A BC D分法2A BC D分法1题型三：等边三角形的性质【例16】 如图，DAC △和EBC △均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① ACE DCB △≌△；②CM CN =；③AC DN =．其中正确结论的个数是_____ A ． 3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个NM ED BA【例17】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（1）求证：AD CE =； （2）求DFC ∠的度数．FE DCBA【例18】 如图，已知ABC △为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的．F EDCBA【例19】 已知，如图，延长ABC △的各边，使得BF AC =， AE CD AB ==，顺次连接D ，E ，F ，得到DEF △为等边三角形．求证：(1)AEF △≌CDE △； (2)ABC △为等边三角形．F DECB A【例20】 如下图，ABC ∆是等边三角形，122CBF ACD BAE ∠∠∠=∶∶∶∶，38DEF DFE ∠-∠=︒．求出DEF∆的每个内角度数．FEDCBA【例21】 如图，三角形ABC 中，AB BC CA ==，AE CD =，AD ，BE 相交于P ，BQ 垂直AD 于Q ，求证：2BP PQ =．P QA BC DE【例22】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．(1)求证：AD CE =；(2)求DFC ∠的度数．FE DCBA题型四：直角三角形的性质与判定【例23】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6cm BC AB +=，则AB =_______cm ．【例24】 如图，在Rt ABC ∆中，9060B ACB D ∠=︒∠=︒，，是BC 延长线上一点，且AC CD =，则:BC CD =_________．DCBA【例25】 若AD 为ABC ∆的高，且1AD =，1BD =，DC BAC ∠=____________．【例26】 已知：如图，在ABC △中，AB BC =，90ABC ∠=︒．F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接AE 、EF 和CF ． （1）求证：AE CF =；（2）若30CAE ∠=︒，求EFC ∠的度数．FECBA【例27】 如图，在ABC ∆中，BF AC ⊥于F ，CG AB ⊥于G D E ，，分别是BC FG ，的中点．求证：DE GF ⊥．GFE D CB A【练1】 等腰三角形的一边长为3cm ，另一边长为4cm ，则它的周长是 ___________．【练2】 如图，ABC ∆和BDE ∆都是等边三角形，AB BD <，若ABC ∆不 动，将BDE ∆绕点B 旋转，则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为( )．A ． AE CD =B ． AE CD >C ． AE CD < D ． 无法确定EDCBA【练3】 MON ∠是一个钢架，10MON ∠=︒，在其内部添加一些钢管BC ，CD ，DE ，EF ，FG ，…添加的钢管长度都与OB 相等．（1）当添加到第五根钢管时，求FGM ∠的度数．（2）假设OM 、ON 足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?D NMFEO CBG【练4】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外的一点，且60ABD ∠=，60ACD ∠=．求证：BD DC AB +=．DCBA课后作业【练5】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，CA BA =，15DAC DCA ∠=∠=，求证：BA BD =．DACB【练6】 如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F .⑴说明BE CF =的理由；⑵如果AB a =，AC b =，求AE ，BE 的长.GFE DC BA。

特殊三角形1.三角形中的主要线段（1）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．（2）中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．(4)中位线：连接三角形两边的中点的线段。

2.三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o． 3.三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形4.特殊三角形（1）直角三角形性质①角的关系：∠A+∠B=900；②边的关系：222a b c +=③边角关系：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

⑤b a h c s *21*21==面积（2）等腰三角形性质①角的关系：∠A=∠B ； ②边的关系：AC=BC ；③AC BC AD BDCD AB ACD BCD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩ ④轴对称图形，有一条对称轴。

⑤等腰三角形“三线合一”（中线、高线、角平分线） （3）等边三角形性质①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：AC=BC=AB③AB AC BD CD AD BC BAD CAD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩； ④轴对称图形，有三条对称轴。

补充：（4）三角形中位线：12AD BD DE BCAE BE DE BC ⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=⎭⎪⎩∥ 5.特殊三角形的判定 6.两个重要定理： （1）角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）（2）垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点。