浙教版第二章特殊三角形知识点、考点及练习

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点一、轴对称要点一、轴对称图形1、轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：（1）轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2、轴对称与轴对称图形的区别与联系（1）轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质1、轴对称、轴对称图形的性质（1）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二、等腰三角形性质定理要点一、等腰三角形的定义1、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.（2）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2、等腰三角形的作法（1）已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1、作线段BC=a；2、分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3、连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3、等腰三角形的对称性（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）∠B＝∠C；（3）BD＝CD，AD为底边上的中线.（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4、等边三角形（1）三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.（3）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.（4）等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．（2）推论：等边三角形的各个内角都等于60°.（3）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2、等腰三角形的性质的作用（1）证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3、尺规作图：已知底边和底边上的高（1）已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1、作线段BC=a.2、作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3、在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三、等腰三角形的判定定理要点一、等腰三角形的判定定理1、等腰三角形的判定定理（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.2、等边三角形的判定定理（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）等边三角形是中考中常考的知识点，需要记住一下数据：边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、命题与逆命题，定理与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．（2）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点诠释：（1）每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.要点三、线段垂直平分线定理的逆定理（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立．（2）当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．四、直角三角形要点一、直角三角形的概念（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：（1）三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.（2）含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定（1）两个角互余的三角形是直角三角形.（2）在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．五、勾股定理要点一、勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；（2）用于解决带有平方关系的证明问题；（3）利用勾股定理，作出长为的线段.六、勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理（1）如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：（1）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题（1）如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：（1）原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数（1）满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.（1）熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；七、直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.要点三、角平分线的第二个性质定理（1）角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.要点诠释：（1）这个性质定理和“角平分线上的点到角两边的距离相等”是互逆定理.它们的题设和结论交换了位置，运用的时候，一定要分清题设是什么，求证的结论又是什么.切不可发生混淆.。

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》知识点一：等腰三角形、腰、底边1、有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角。

知识点二：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．2、性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）。

知识点三：等腰三角形的判定定理1、定理内容及证明：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

知识点四：等边三角形1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形。

知识点五：等边三角形的性质1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°知识点六：等边三角形的判定1、等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．类型一：探究型题目【练1-1】如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB 的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，则：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．【1-练2】如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC 分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。

（在等腰三角形的两个底角处标明度数）【练1-3】已知等边△ABC 和点P，设点P 到△ABC3边的AB、AC、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h，（1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h，请简要说明理由；（2）当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由。

第二章特殊三角形上（等腰三角形）考点专练考点一：图形的轴对称1.下列图中不是轴对称图形的是（）2.如图,四边形ABCD 中,点M，N 分别在AB，BC 上, 将△BMN 沿MN翻折, 得△FMN ，若MF∥AD ，F N∥D C,则∠F=()A.115° B。

105°C。

95° D。

85°3.如图，请用三种方法，在已知图上再添一个小正方形后，使其成为轴对称图形，并画出对称轴.4.如图，已知E、F 分别是△ABC 的边AB、AC 上的两个定点，问在边BC 上能否找到一点M，使得△EFM 的周长最小？如果能，请作出来．5.如图，把△ABC 纸片的∠A 沿DE 折叠，点A 落在四边形CBDE 外，求∠1、∠2 与∠A 的关系考点二：等腰三角形结合代数1.等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）2.若△A BC 的三边a、b、c 满足（a-b）(b2-2b c+c2)(c-a)=0,那么△A BC 的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.锐角三角形3.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（）4.如图,△A BC 中,AB=BC=AD,D 在BC 的延长线上,则角α和角β的关系是()5.如图，AA′、BB′分别是∠E A B、∠D BC 的平分线，若AA′＝BB′＝A B，则∠B A C的度数为．考点三：等腰三角形结合几何定理1.如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，E 为AD 上任意一点，过点C 作CF∥AB 交BE 的延长线于点F，交AC于点G，连结C E.则下列结论正确的是()(1)AD 平分∠B A C;(2)B E＝C F;(3)B E＝C E;(4)△A E B≌△A E C;(5)若EG=CG，则△ECF 为等腰三角形;(6)若BE=5，GE=4，则GF=9/42.如图，在△ABC 中，BC=5cm，BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，PD∥AB，PE∥AC，求△PDE 的周长。

八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形の轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁の部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它の对称轴．2.有の轴对称图形の对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．3.折叠后重合の点是对应点，叫做对称点。

[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合の点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称の性质]①关于某直线对称の两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

[轴对称与轴对称图形の区别][线段の垂直平分线]（1）经过线段の中点并且垂直于这条线段の直线，叫做这条线段の垂直平分线．（2）线段の垂直平分线上の点与这条线段两个端点の距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等の点在这条线段の垂直平分线上．因此线段の垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等の所有点の集合．2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理[等腰三角形]★1. 有两条边相等の三角形是等腰三角形。

★2. 在等腰三角形中，相等の两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹の角叫做顶角，腰与底边の夹角叫做底角．[等腰三角形の性质]★性质1：等腰三角形の两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2：等腰三角形の顶角平分线、底边上の中线、底边上の高互相重合（三线合一）．特别の：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上の中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形の判定定理]★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对の边也相等（简写成“等角对等边”）．特别の：（1）有一边上の角平分线、中线、高线互相重合の三角形是等腰三角形．（2）有两边上の角平分线对应相等の三角形是等腰三角形．（3）有两边上の中线对应相等の三角形是等腰三角形．（4）有两边上の高线对应相等の三角形是等腰三角形．[等边三角形]三条边都相等の三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形の性质]★等边三角形の三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形の判定方法]★（1）三条边都相等の三角形是等边三角形；★（2）三个角都相等の三角形是等边三角形；★（3）有一个角是60°の等腰三角形是等边三角形．2.5 逆命题和逆定理[逆命题和逆定理]命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确の判断の句子叫做命题。

八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形の轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁の部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它の对称轴．2.有の轴对称图形の对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．3.折叠后重合の点是对应点，叫做对称点。

[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合の点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称の性质]①关于某直线对称の两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

[轴对称与轴对称图形の区别][线段の垂直平分线]（1）经过线段の中点并且垂直于这条线段の直线，叫做这条线段の垂直平分线．（2）线段の垂直平分线上の点与这条线段两个端点の距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等の点在这条线段の垂直平分线上．因此线段の垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等の所有点の集合．2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理[等腰三角形]★1. 有两条边相等の三角形是等腰三角形。

★2. 在等腰三角形中，相等の两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹の角叫做顶角，腰与底边の夹角叫做底角．[等腰三角形の性质]★性质1：等腰三角形の两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2：等腰三角形の顶角平分线、底边上の中线、底边上の高互相重合（三线合一）．特别の：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上の中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形の判定定理]★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对の边也相等（简写成“等角对等边”）．特别の：（1）有一边上の角平分线、中线、高线互相重合の三角形是等腰三角形．（2）有两边上の角平分线对应相等の三角形是等腰三角形．（3）有两边上の中线对应相等の三角形是等腰三角形．（4）有两边上の高线对应相等の三角形是等腰三角形．[等边三角形]三条边都相等の三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形の性质]★等边三角形の三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形の判定方法]★（1）三条边都相等の三角形是等边三角形；★（2）三个角都相等の三角形是等边三角形；★（3）有一个角是60°の等腰三角形是等边三角形．2.5 逆命题和逆定理[逆命题和逆定理]命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确の判断の句子叫做命题。

期末复习(二) 特殊三角形01 知识结构特殊三角形⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧图形的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧轴对称图形轴对称轴对称和轴对称图形的性质等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧轴对称性性质定理判定定理逆命题和逆定理⎩⎪⎨⎪⎧互逆命题互逆定理线段垂直平分线定理的逆定理直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧性质定理判定定理勾股定理勾股定理的逆定理全等的判定角平分线的性质定理02 重难点突破重难点1 等腰三角形的性质及判定【例1】 (萧山区期中)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC .(1)若AC ＝BC ，∠B ∶∠C ＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明； (2)若AB ＋BD ＝AC ，求∠B ∶∠C 的比值、 【思路点拨】 (1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形；(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC －AB 或AB ＋BD 转化成一条线段，通过全等得到线段相等，从而得到角相等、解：(1)等腰三角形有3个：△ABC ，△ABD ，△ADC ，证明：∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形、 ∴∠B ＝∠BAC .∵∠B ∶∠C ＝2∶1，∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°， ∴∠B ＝∠BAC ＝72°，∠C ＝36°. ∵∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ＝36°，∴∠B ＝∠ADB ＝72°，∠DAC ＝∠C ＝36°. ∴AB ＝AD ，DA ＝DC .∴△ABD 和△ADC 是等腰三角形、(2)在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ， 又∵∠BAD ＝∠DAE ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AED .∴∠AED ＝∠B ，BD ＝DE .∵AB ＋BD ＝AC ，AC ＝AE ＋EC ， ∴BD ＝EC . ∴DE ＝EC .∴∠EDC ＝∠C .∴∠B ＝∠AED ＝∠EDC ＋∠C ＝2∠C . ∴∠B ∶∠C ＝2∶1.1、(上城区期中)如图，△AB C 、△ADE 中，C 、D 两点分别在AE 、AB 上，BC 与DE 相交于点F .若BD ＝CD ＝CE ，∠ADC ＋∠ACD ＝104°，则∠DFC 的度数为( C )A 、104°B 、118°C 、128°D 、136°2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在A B 、B C 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE .(1)求证：△DEF 是等腰三角形；(2)当∠A ＝40°时，求∠DEF 的度数、解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△BDE ≌△CEF (SAS )、∴DE ＝EF ，即△DEF 是等腰三角形、 (2)∵∠A ＝40°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝70°.由(1)知，△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∴∠DEF＝180°－∠BED－∠CEF＝180°－∠BED－∠BDE＝∠B＝70°.重难点2直角三角形的性质及判定【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.(1)求证：AD⊥BC(请用一对互逆命题进行证明)；(2)写出你所用到的这对互逆命题、【思路点拨】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因为∠ABF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，从而转化为∠CBF＋∠BED＝90°，从而AD⊥BC得证、解：(1)证明：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＝90°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF.∵∠AEF＝∠AFE，∠BED＝∠AEF，∴∠BED＝∠AFE.∴∠CBF＋∠BED＝90°.∴∠BDE＝90°.∴AD⊥BC.(2)互逆命题：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形、3、(庆元县岭头中学月考)已知，如图，B、C、D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD 上的一点，且AB＝CD，∠1＝∠2，请判断△ACE的形状并说明理由、解：△ACE是等腰直角三角形，理由：∵∠1＝∠2，∴AC＝CE.∵AB⊥BD，ED⊥CD，∴∠B＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△CDE中，⎩⎨⎧AC ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABC ≌Rt △CDE . ∴∠ACB ＝∠CED .∵∠CED ＋∠ECD ＝90°， ∴∠ACB ＋∠ECD ＝90°. ∴∠ACE ＝90°.∴△ACE 是等腰直角三角形、重难点3 勾股定理及其逆定理【例3】 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是AC 的中点，作∠ADB 的平分线DE 交AB 于点E .(1)求证：DE ∥BC ；(2)若AE ＝3，AD ＝5，点P 为线段BC 上的一动点，当BP 为何值时，△DEP 为等腰三角形？请求出所有BP 的值、【思路点拨】 (1)要证DE ∥BC ，可转化为证∠AED ＝∠ABC ＝90°，即证DE ⊥AB ，由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出；(2)△DEP 为等腰三角形，存在三种情况：DE ＝EP ，DP ＝EP ，DE ＝DP ，结合勾股定理可求得BP 的值、解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，点D 是AC 的中点，∴BD ＝AD ＝12AC .∵DE 是∠ADB 的平分线， ∴DE ⊥AB .又∵∠ABC ＝90°，∴DE ∥BC . (2)∵AE ＝3，AD ＝5，DE ⊥AB ， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝4. ∵DE ⊥AB ，AD ＝BD ， ∴BE ＝AE ＝3.①DE ＝EP 时，BP ＝42－32＝7； ②DP ＝EP 时，BP ＝12DE ＝12×4＝2；③DE ＝DP 时，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则DF ＝BE ＝3， 由勾股定理，得FP ＝42－32＝7， 点P 在F 下边时，BP ＝4－7，点P 在F 上边时，BP ＝4＋7，综上所述，BP 的值为7，2，4－7或4＋7.4、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度运动，设运动时间为t (s )、(1)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值； (2)当△ABP 为等腰三角形时，求t 的值、解：(1)∵∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，∴BC ＝4 cm .①当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4.②当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(t －4)2， 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， ∴52＋[32＋(t －4)2]＝t 2， 解得t ＝254.综上，当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.(2)①当BP ＝BA ＝5 cm 时，t ＝5.②当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，∴t ＝8.③当PB ＝P A 时，PB ＝P A ＝t cm ，CP ＝(4－t )cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2， ∴t 2＝32＋(4－t )2，解得t ＝258. 综上，当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或8或258.03 备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1、(上城区期中)下列四个图形中，是轴对称图形的是( C )2、下列各命题的逆命题成立的是( C )A 、全等三角形的对应角相等B、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C、两直线平行，同位角相等D、如果两个角都是45°，那么这两个角相等3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，那么∠DCB ＝( A )A、50°B、45°C、40°D、25°4、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( B )A、两条直角边对应相等B、两个锐角对应相等C、一条直角边和它所对的锐角对应相等D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等5、(永嘉县校级期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，如果△DAB的面积为10，那么DC的长是( B )A、4B、3C、5D、4.5第6题图第7题图7、如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC 于点D，连结BD，下列结论错误的是( D )A、∠C＝2∠AB、BD平分∠ABCC、图中有三个等腰三角形D、S△BCD＝S△BOD8、(萧山区期中)△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是( A )A、4.8B、4.8或3.8C、3.8D、59、(庆元县岭头中学月考)如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD 折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是( B )A、AC＝AD＋BDB、AC＝AB＋BDC、AC＝AD＋CDD、AC＝AB＋CD第9题图第10题图10、(河北中考)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)A、1个B、2个C、3个D、3个以上二、填空题(每小题4分，共24分)11、等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是35°、12、(永嘉县校级期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸(单位：cm)，计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm.第12题图第13题图13、如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是10、14、(萧山区期中)如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为32、第14题图第15题图15、(江山期末)如图，在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AC中点，点P是AD上一动点，则PC＋PE的最小值是3、16、(杭州期中)已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD ＝BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE ＝BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE ＋∠BCD ＝180°；③AD ＝EF ＝EC ；④BA ＋BC ＝2BF .其中正确的结论有①②④(填序号)、三、解答题(共46分)17、(10分)如图，请将下面两个三角形分成两个等腰三角形、(要求重新画图，且标出每个等腰三角形的内角的度数)解：如图：18、(10分)(杭州中考)如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM ＝2MB ，AN ＝2NC .求证：DM ＝DN .证明：∵AM ＝2MB ，AN ＝2NC ，AB ＝AC ， ∴AM ＝AN .∵AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD ＝∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎩⎨⎧AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ，∴△AMD ≌△AND (SAS )、 ∴DM ＝DN .19、(12分)(萧山区期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形，使得底边长为线段a ，底边上的高的长为线段b ，要求保留作图痕迹；(不要求写出作法)(2)在(1)中，若a ＝6，b ＝4，求等腰三角形的腰长、解：(1)如图，等腰三角形ABC 即为所求作三角形，其中AB ＝a ，OC ＝b . (2)由题意知AC ＝BC ，AO ＝BO ，CO ⊥AB ，且CO ＝4，AB ＝6， ∴AO ＝3.∴AC ＝OA 2＋OC 2＝5，即等腰三角形的腰长为5.20、(14分)如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC . (1)求C 点的坐标； (2)如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值、解：(1)过C 作CM ⊥x 轴于M 点，∵∠MAC ＋∠OAB ＝90°，∠OAB ＋∠OBA ＝90°， ∴∠MAC ＝∠OBA .在△MAC 和△OBA 中，⎩⎨⎧∠CMA ＝∠AOB ＝90°，∠MAC ＝∠OBA ，AC ＝BA ，∴△MAC ≌△OBA (AAS )、 ∴CM ＝OA ＝2，MA ＝OB ＝4.∴OM ＝OA ＋AM ＝2＋4＝6. ∴点C 的坐标为(－6，－2)、(2)过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE ＝OQ . ∴OP －DE ＝OP －OQ ＝PQ .∵∠APO ＋∠QPD ＝90°，∠APO ＋∠OAP ＝90°， ∴∠QPD ＝∠OAP .在△AOP 和△PQD 中，⎩⎨⎧∠AOP ＝∠PQD ＝90°，∠OAP ＝∠QPD ，AP ＝PD ，∴△AOP ≌△PQD (AAS )、 ∴PQ ＝OA ＝2， 即OP －DE ＝2.。

新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第三节 等腰三角形的性质【课本相关知识点】1、等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角 ，这个定理也可以说成，在同一个三角形中，2、推论：等边三角形的每个内角都等于3、等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的 、底边上的中线和高线互相 ，简称等腰三角形的【典型例题】【题型一】利用等腰三角形的性质求角度例1、（1）在△ABC 中，AB=AC ，若∠A=50°，则∠B=（2）若等腰三角形的一个角为80°，则顶角为（3）若等腰三角形的一个角为90°，则顶角为（4）若等腰三角形的一个底角为40°，则顶角为温馨提醒：一定要看清题目，是否要分类讨论。

多画图，有助于解题。

例2、如图所示，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，分别以两腰为边向外作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，已知∠DAE=∠DBC ，求△ABC 的三个内角的度数。

【题型二】三线合一中，知“一线”推“二线”（前提一定要在等腰三角形中） 例1、如图，已知△ABC（1）若AB=AC ，∠1=∠2，则 ，（2）若AB=AC ，AD ⊥BC ，则 ，（3）若AB=AC ，BD=DC ，则 ， 【题型三】运用等腰三角形的性质证明线段相等、垂直、角度相等例1、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是△ABC 的高，求证：∠BCE=∠CBD例2、如图所示，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。

（1）试说明AF ⊥CD（2）在（1）中的结论说明完毕后，还能得出什么新的结论？请你写出三个（不必说明理由）例3、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 在CA 的延长线上，∠AEF=∠AFE ，试说明EF ⊥BC 。

巩 固 练 习1、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是2、若等腰三角形的顶角等于50°，则一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A 25°B 30°C 45°D 65°注意：记住结论：等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半3、如图所示，已知P 、Q 是△ABC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠BAC=4、在△ABC 中，∠ACB=100°，AC=AE ，BC=BD ，求∠DCE 的度数5、如图所示，AB=AC ，D 是BC 边上的一点，AD=AE ，∠BAD=40°，求∠CDE 的度数6、如图所示，∠AOB 是一个钢架，且∠AOB ＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管________根 7、如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线，如果∠BAC=110°，那么∠PAQ=8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的BC 边上的高为h 。

^数学辅导教案时间：年级：八年级课时数：２学员姓名：辅导科目：数学学科教师：等腰三角形和直角三角形的性质与判定授课内容逆定理的运用、勾股定理教学目标学会利用本章所学知识证明三角形问题*等腰三角形性质与判定。

《>＝＝-》"！直角三角形的性质与判定考查类型一直角三角形的三边关系（勾股定理）解题思路：①勾股定理：a、b为直角边，c为斜边，则a²+b²=c²；②一个直角三角形斜边上有高，则可以利用等面积法，即等面积计算，两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积求解。

③普通三角形的三边关系同时适用于直角三角形。

1.如图，在锐角△ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，-求AB的长．2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB＝3，BC＝4，则求BD。

^3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．<4.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，且AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．5.一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高~(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗考查类型二直角三角形斜边上的中线的应用.解题思路：①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.②直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半.6.<7.如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。

求证：四边形OEFG是等腰梯形。

8.如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点求证：MN⊥DE"9.过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30度.求证：3OG=DC！10.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。

第二章复习知识讲解一、轴对称图形1.对称轴的性质：轴对称图形的对称轴垂直平分连接两个对称点的线段。

2.成轴对称的两个图形是全等图形。

3.折叠问题二、等腰三角形的性质及判定（一）性质1.等边对等角。

2.三线合一（同一顶点）。

3.两腰上的中线相等。

4.两底角平分线相等。

（二）判定满足以上四条性质即可判定为等腰三角形。

注：等边三角形的性质与等腰三角形的性质相似，但判定不可。

（二）等边三角形的判定1.有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。

2.三条边相等或两角为60°的三角形为等边三角形。

三、逆命题与逆定理1.逆命题：原命题的条件和结论互换位置的命题称为该命题的逆命题。

2.逆定理：一定是真命题。

3.定理一定是真命题，但不是所有的真命题都是定理。

四、直角三角形的性质1.两锐角互余。

2.斜边上的中线为斜边的一半。

3.30°角所对直角边为斜边一半。

且两直角边成3倍关系。

五、勾股定理1.a²+b²=c²，两直角边平方和等于斜边的平方。

2.常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；9,12,13.3.利用勾股定理会求第三边，会算距离，构建直角三角形，会算方向，会画出一些特殊线段。

六、直角三角形的判定1.有两个角互余的角为直角三角形。

2.如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（勾股定理的逆定理）3.一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）七、补充点1.垂直平分线逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

2.角平分线逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

典型例题例1 有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个例2 下列说法中正确的是（）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C.在Rt △ABC 中，∠C =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)D.在Rt △ABC 中，∠B =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)例3 如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（ ）A.2B.2C.3D.23例4 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是例5 已知等边三角形的高为23，则它的边长为例6 如图，已知∠BAC =130°，AB=AC ，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，则∠ADB=例7 如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD=一、选择题1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有()A. AD与BDB. BD与BCC. AD与BCD. AD，BD与BC2. 若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1，则此等腰三角形的周长为()A. 5B. 7C. 5或7D. 63.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于()A.44°B. 60°C. 67°D. 77°4.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里5.如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A.（1，2）B.（2，2）C.（3，2）D.（4，2）同步练习6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（）A.27B.18C.183D.937.如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3:4:5；(3)三边之比为5:12:13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为( )A．50° B．130° C．55°或130° D．50°或130°10.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A.0B.1C.2D.311.如图所示，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm，则△ODE的周长为()A. 10cmB. 8cmC. 12cmD. 20cm12.如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A.AE=EF B．E是AC的中点C.△ADF和△ADE的面积相等D.△ADE和△FDE的面积相等二、填空题1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是2.如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝3.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为5．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠2，则△ABC的边BC的长为AGE=30°，若AE=EG=3三、解答题1. 如图所示，已知AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．2.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是AC上的一点，CD=1.5，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连接AP（1）求AB的长度；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.（3）过点D做DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，能不能使得DE=CD？若能，请求出此时t的值，若不能请说明理由.3.如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．4.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD 的右侧．．作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图（1），当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90 °．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图（2），当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.∠α+∠β=180②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．α=β第二章复习第11页共11页。

新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第二节等腰三角形【课本相关知识点】1、有相等的三角形叫做等腰三角形。

（注意：数学中的“有”表示至少有，我们也曾见过“有且仅有”这样的语言描述）2、的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。

等边三角形是一类特殊的等腰三角形。

3、等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，它的对称轴是【典型例题】【题型一】作等腰三角形例1、如图所示，已知线段a，b，求作一个等腰三角形，使它的腰长为（b-a），腰长为a注意：对于作图题，若对于某些线段或角度分不清楚，通常可以先根据题意画出草图，然后再具体作出图形。

【题型二】等腰三角形中有关边的计算例1、一个等腰三角形，三边长分别是3x-2，4x-3，6-2x，求等腰三角形的周长。

【题型三】等腰三角形中的相关证明例1、求证：等腰三角形底边上一点到两腰的距离和等于一腰上的高。

巩固练习1、下列说法中正确的是（）A. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线B. 等腰三角形是轴对称图形，它有三条对称轴C. 等腰三角形的对称轴垂直平分底边D. 任何一条过底边中点的直线都是这个等腰三角形的对称轴2、关于等腰三角形和等边三角形的描述中，下列说法中不正确的是（）A. 等边三角形的范围比等腰三角形的大B. 等腰三角形包括等边三角形C. 等边三角形是等腰三角形的特殊情况D. 等边三角形具有等腰三角形的所有性质3、下列图形：①线段；②角；③数字；④圆；⑤等腰三角形；⑥直角三角形。

其中轴对称图形是4、已知一个等腰三角形的底边长为5，腰长为x，则x的取值范围是5、等腰三角形的两边长分别为4和5，则第三边长为6、若△ABC的三边关系满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC为（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不能确定7、把18根长度，相等的火柴首尾连接，围成一个等腰三角形，最多能围成个不同的等腰三角形。

8、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且AD=DB=BC。