四年级上册数学讲义(共6讲)--第5讲 加法原理(二) 全国通用(含答案)

知识要点【课前引入】在做加、乘原理的题时，我们经常会遇到为地图涂色的题目。

关于为地图涂色有一个看起来简单，但证明过程却十分复杂的题目——四色猜想。

四色猜想是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1878~1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。

不久，泰勒的证明也被人们否定了。

后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。

于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。

1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。

第21讲加法原理（二）我们通常解题；总是要先列出算式；然后求解。

可是对有些题目来说；这样做不仅麻烦；而且有时根本就列不出算式。

这一讲我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。

例1小明要登上10级台阶；他每一步只能登1级或2级台阶；他登上10级台阶共有多少种不同的登法？分析与解：登上第1级台阶只有1种登法。

登上第2级台阶可由第1级台阶上去；或者从平地跨2级上去；故有2种登法。

登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去；或者从第2级台阶上去；所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和；共有1+2＝3（种）……一般地；登上第n级台阶；或者从第（n—1）级台阶跨一级上去；或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。

根据加法原理；如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法；则登上第n级有（a＋b）种方法。

因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法；就可以依次推算出登上以后各级的方法数。

由登上第1级有1种方法；登上第2级有2种方法；可得出下面一串数：1；2；3；5；8；13；21；34；55；89。

其中从第三个数起；每个数都是它前面两个数之和。

登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个；即89。

也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。

例2在左下图中；从A点沿实线走最短路径到B点；共有多少条不同路线？分析与解：题目要求从左下向右上走；所以走到任一点；例如右上图中的D点；不是经过左边的E点；就是经过下边的F点。

如果到E点有a种走法（此处a＝6）；到F点有b种走法（此处b＝4）；根据加法原理；到D点就有（a＋b）种走法（此处为6＋4=10）。

我们可以从左下角A点开始；按加法原理；依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图）；最后得到共有35条不同路线。

例3左下图是某街区的道路图。

从A点沿最短路线到B点；其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？分析与解：本题可以同例2一样从A标到B；也可以将从A到B分为三段；先是从A到C；再从C到D；最后从D到B。

第五讲 加法原理与乘法原理1. 例题1答案：9种详解：小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以这是出行方式分成了三类，即加法原理，有4329++=种出行方式．2. 例题2答案：16种详解：房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有2种颜色可以选择，接下来给烟囱染色，也有2种颜色可以选择，再接下来给门染色，也有2种颜色可以选择，最后给窗染色，同样有2种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有222216⨯⨯⨯=种不同的染色方法．3. 例题3答案：17种详解：分成“甲→乙→丙”和“甲→丁→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有339⨯=种走法．类似地，对于“甲→丁→丙”这类路线，共有248⨯=种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9817+=种走法．4. 例题4答案：35种详解：标数法，如下图：5. 例题5答案：81000种详解：一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一个减数．被减数是三位数，三位数的总个数有两种算法，方法一：最小的三位数是100，最大的三位数是999，所以一共有9991001900-+=个三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字，1~9有9种选择，再给十位选择一个数字，0~9有10种选择，最后给百位选择一个数字，0~9有10种选择，一共分了三步即乘法原理，一共有91010900⨯⨯=个三位数．两位数的总个数算法和三位数一样，一种是9910190-+=个两位数，另一种是91090⨯=个两位数．要组成一个减法算式，先从三位数中选择1个作为被减数，一共有900种选择，再从两位数中选择1个作为减数，一共有90种选择，分了两步即乘法原理，共有9009081000⨯=种不同的写法．AB 1 1 1 1 1 1 1 1 23 4 5 36 10 15 410 20 356. 例题6答案：30种；750种；275种详解：（1）从所有的书中任取1本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类中选择1本，加法原理，共有1510530++=种不同的取法；（2）从每一层中各任取1本，可以先在第一层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有15105750⨯⨯=种不同的取法；（3）从中取出2本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所以先取小说再取漫画，有1510150⨯=种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以先取漫画再取科普，有10550⨯=种不同的取法；在第三类小说和科普必须各有一本，所以先取小说再取科普，有15575⨯=种不同的取法，三类是加法原理，共有1505075275++=种不同的取法．7. 练习1答案：18种详解：从小说、漫画中任意取一本即可，即加法原理，有81018+=种取法．8. 练习2答案：8种详解：先给眼睛染，有2种方法；再给嘴巴染，有2种方法；最后给身子染，有2种染法，分三步，乘法原理，所以共有2228⨯⨯=中不同的染法．9. 练习3答案：11种简答：分成“甲→乙→丙”和“甲→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有339⨯=种走法．而对于“甲→丙”这类路线，共有2种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9211+=种走法．10. 练习4答案：10种简答：标数法：11. 作业1答案：54000种．简答：乘法原理，30404554000⨯⨯=种．12. 作业2A B1 1 1 1 1 1 23 4 36 10答案：27种简答：乘法原理，33327⨯⨯=种．13. 作业3答案：（1）60种；（2）6000种简答：（1）加法原理，30201060++=种．（2）乘法原理，3020106000⨯⨯=种．14. 作业4答案：26种简答：分三类：水墨、油画，4312⨯=种选法；油画、水彩，326⨯=种选法；水墨、水彩，428⨯=种选法，所以一共有126826++=种选法．15. 作业5答案：25种简答：标数法，如下图所示．A B 1 1 1 1 1 112 3 4 5 3 6 10 15 10 25。

1、植树问题的类型和方法是什么？2、园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？导入：生活中常有没有过这样的情况：在做同一件事时，有许多不同的方法？是的，所以印证了一句经典名言-条条大路通罗马。

一、同步知识梳理知识点1：加法原理的定义完成一件工作共有N类方法。

在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。

这就是加法原理．知识点2：加法原理运用的范围完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。

知识点3：运用加法原理的分类方法分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．知识点4：加法原理解题三部曲1、完成一件事分N类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加知识点5：比较特殊的加法计数法（1）枚举法枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．AB引入：除了刚才做每一件事情都有不同的方法之外，做每一件事情的每一步骤也可以有不同的方法哦，你可以举例说一说吗？知识点1：乘法原理的定义完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有m n种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×m n种方法。

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远辉教育奥数班第六讲——乘法原理与加法原理主讲人：杨老师学生:四年级电话：62379828一、学习要点：Ⅰ乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时,又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机,而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法,即:第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法:注意到 3×1=3．如果此人到大连后,可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中,我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中,完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤,其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么,完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．Ⅱ加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中,又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法,就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津,有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现,此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候,只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法，…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法．这就是加法原理．二、典例剖析：Ⅰ乘法原理例1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？例2 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本,有多少种不同的取法？例4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里,并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法?例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张,壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么,共可以配成多少种不同的钱数？Ⅱ加法原理例1 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法?例2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？例3 如右图,从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走,从甲地到丙地有3条路可走．那么,从甲地到丙地共有多少种走法？例4 如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点,要求任何点和线段不可重复经过．问:这只甲虫有多少种不同的走法?例5 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？例6 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?例7如下页左图，要从A点沿线段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？模拟测试1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地,现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法?2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点(且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？2．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？3．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数?④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？7．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？8．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿)，有多少种不同的拿法？9．如下图中,沿线段从点A走最短的路线到B,各有多少种走法?10．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？11．在1~500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个?12．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。

四年级精品课程讲义基本原理部分2012 2011 2010 2009 2008加乘原理2填空1填空1大题1填空抽屉原理2填空1填空容斥原理1填空1填空板块一、加法原理和乘法原理知识点：1、加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关2、染色问题解决方法：先解决最麻烦的部分，依次类推，是否需要分类，是当你考虑问题到了最后发现某块区域的染色方式不是固定的，而是有不同的染色导致不同的结果，那么这时才考虑分类。

例题精讲例1．某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，相同两个车站往返车票不同，那么，这样需要增加多少种不同的车票？若相同的两个车站的票价是相同的，不同的两个车站之间票价不同，那么现在铁路局共需要制定多少种票价？例2．12个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？例3．如右图，有一个4×8的棋盘，现将一枚棋子放在棋盘左下角格子A 处，要求每一步只能向棋盘右上或右下走一步（如从C 走一步可走到D 或E），那么将棋子从A走到棋盘右上角B 处共有______种不同的走法。

【巩固】如图，中国象棋的棋子“车”按象棋中走法规则沿着棋盘路线的最短路径从左下角走到右上角，一共有多少种不同的走法？（注：中国象棋中，“车”每一步可以沿直线移动任意多格）【巩固】一楼梯共13级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第13级，且要求第8级楼梯不能登上，共有多少种不同走法？例4．用1，1，2，3，4排在连续的四个格子里，能形成多少个不同的四位数。

例5．用五种颜色染下面的图形，相邻两块不同色，有（）种方法。

例6．五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。

如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。

例7．如图1所示，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成.小兔要从A处走到B处。

如果它在圆上只能顺时针方向走，在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道路最多走一次。

一、加法原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．完成一件事，有n 类方法可以用。

在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。

二、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类方法；2、每类方法中找数量；3、类类相加。

三、加法原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．（2）在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．第六讲加法原理知识要点加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．【例 1】 王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？（2级）【例 2】 从益智中心到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从益智中心到张老师家有3条路可走，那么从益智中心到张老师家共有多少种走法？（2级）【巩固】 如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？（2级）丁丙乙甲【例 3】 小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品11种，那么如果选两类（每类一件）不同的东西作为生日礼物，小宝买生日礼物可以有多少种不同的选法？例题精讲【例 4】从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？（2级）【例 5】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？（4级）【例6】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？（6级）【例 7】如图，将1，2，3，4，5分别填入图中15的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．【走进美妙数学花园少年数学邀请赛】（6级）【例 8】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个? （6级）【例 9】直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？（6级）【巩固】直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？（4级）【例10】如图，从A点到B点的最近路线有多少条？（4级）BA【例 11】如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同走法．（6级）A【例 12】如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？（6级）【例13】如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C，走到D的不同的最短路线有条.（8级）ArrayA【例 14】在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？（6级）AB 【例 15】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？（6级）CB A【例 16】(第三届“希望杯”2试试题)右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法.（6级）杯杯杯杯杯望望望望希希希爱爱我【例 17】图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码走到小号码，从1号房间走到10号房间共有多少种不同的走法？（8级）。

加法原理考试要求1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．3.理解标数法加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．知识结构一、加法原理在生活中做一件事情的时候常常会有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法。

那么，考虑完成这件事情所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决。

例如：春节期间康康要从北京去天津看奶奶。

他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有四趟长途汽车从北京到天津。

那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，康康去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有两大类走法：第一类乘火车，有五种走法；第二类乘汽车，有四种走法。

上面的每一种走法都可以从北京到天津，故有5+4=9种不同的走法。

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法，在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成，并且两大类方法是互无影响的。

那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数。

一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……，第K类方法中有m K种不同的做法，则完成这件事共有：N= m1+ m2+……m K种不同的方法。

这就是加法原理。

二、加法原理的运用加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．重难点（1）选取合适的分类标准；（2）标数法。

第五讲加法原理与乘法原理“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子：餐厅里有4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨．点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有+=种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是加法原理．426如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有2种：（红烧鱼块，土豆炖牛肉）、（红烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有2种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜⨯=种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖排骨）．合在一起就有428炖菜．这就是乘法原理．例题1小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？「分析」选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？练习1书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？例题2用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？「分析」要给四个部分染色，我们很容易想到要依次染每个部分，这是分类还是分步呢？只染一个部分能完成这件事情吗？练习2用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事．这种情况下一般要用到加法原理．分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事．这种情况下一般要用到乘法原理．例题3从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？「分析」要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两地之一．“甲→乙→丙”与“甲→丁→丙”这两类路线各有多少条呢？练习3任意两地之间的路线都已在下图中标示出来，如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别．加法原理类与类之间会满足下列要求：1. 只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；2. 类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．比如例题1中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能到达目的地了．乘法原理步与步之间满足下列要求：1. 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；2. 步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，……，直到最后．比如例题2中，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系．在这里，衣服和帽子先选哪种都可以．但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在日后会接触到．加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系．这时应该分清主次关系，弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类”．如果是某一大类里面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例题3．当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来．在本讲的最后，我们来介绍标数法．标数法是解决路径条数问题的重要方法． 如下图所示，我们要计算蚂蚁从A 点沿箭头的方向爬到B 点的不同路线有多少条．由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把A 点处标上1，表示蚂蚁从A 点出发到达A 点，只有原地不动这一种方式）．我们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示．容易看出，蚂蚁可以从C 点或者D 点到达E 点，而且只有这两类不同的方式，那么我们可以在E 点处标上数字112+=（把C 点与D 点的数字相加），表示蚂蚁到达E 点有两条路线．同样道理，蚂蚁可以从E 点或者F 点到达G 点，那么蚂蚁到达G 点就有213+=条路线（把E 点与F 点的数字相加）．最后可以得到蚂蚁到达B点有4条路线，如下图所示．例题4 在下图中，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？「分析」标数法其实就是要找到前一步可能在的所有点，把它们的方法数加起来．练习4 在下图中，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？例题5 老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数．请问墨莫共有多少种不同的写法？「分析」被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式吗？写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？例题6书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相同．请问：（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？「分析」从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书，这三件事对于前两问来说是分类还是分步？A BAB课堂内外加减乘除的由来加减乘除（＋、－、×、÷）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们．别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成．法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D 表示加法，用M表示减法．这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过，用“─”表示不足．到1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示减法．1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“─”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用．以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的．他于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法．据说是由加法符号“＋”变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的．后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“•”表示乘号，这样，“•”也得到了承认．除法符号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号．符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广．除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”．至此，四则运算符号齐备了．作业1.题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加．请问报名的情况有多少种？3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书．（1）墨莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？（2）墨莫三种书都要各借1本，有多少种不同的选择？4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？5.在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？BA第五讲 加法原理与乘法原理1. 例题1答案：9种详解：小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以这是出行方式分成了三类，即加法原理，有4329++=种出行方式．2. 例题2答案：16种详解：房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有2种颜色可以选择，接下来给烟囱染色，也有2种颜色可以选择，再接下来给门染色，也有2种颜色可以选择，最后给窗染色，同样有2种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有222216⨯⨯⨯=种不同的染色方法．3. 例题3答案：17种详解：分成“甲→乙→丙”和“甲→丁→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有339⨯=种走法．类似地，对于“甲→丁→丙”这类路线，共有248⨯=种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9817+=种走法．4. 例题4答案：35种详解：标数法，如下图：5. 例题5答案：81000种详解：一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一个减数．被减数是三位数，三位数的总个数有两种算法，方法一：最小的三位数是100，最大的三位数是999，所以一共有9991001900-+=个三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字，1~9有9种选择，再给十位选择一个数字，0~9有10种选择，最后给百位选择一个数字，0~9有10种选择，一共分了三步即乘法原理，一共有91010900⨯⨯=个三位数．两位数的总个数算法和三位数一样，一种是9910190-+=个两位数，另一种是91090⨯=个两位数．要组成一个减法算式，先从三位数中选择1个作为被减数，一共有900种选择，再从两位数中选择1个作为减数，一共有90种选择，分了两步即乘法原理，共有9009081000⨯=种不同的写法．AB 1 1 1 1 1 1 1 1 23 4 5 36 10 15 410 20 356. 例题6答案：30种；750种；275种详解：（1）从所有的书中任取1本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类中选择1本，加法原理，共有1510530++=种不同的取法；（2）从每一层中各任取1本，可以先在第一层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有15105750⨯⨯=种不同的取法；（3）从中取出2本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所以先取小说再取漫画，有1510150⨯=种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以先取漫画再取科普，有10550⨯=种不同的取法；在第三类小说和科普必须各有一本，所以先取小说再取科普，有15575⨯=种不同的取法，三类是加法原理，共有1505075275++=种不同的取法．7. 练习1答案：18种详解：从小说、漫画中任意取一本即可，即加法原理，有81018+=种取法．8. 练习2答案：8种详解：先给眼睛染，有2种方法；再给嘴巴染，有2种方法；最后给身子染，有2种染法，分三步，乘法原理，所以共有2228⨯⨯=中不同的染法．9. 练习3答案：11种简答：分成“甲→乙→丙”和“甲→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有339⨯=种走法．而对于“甲→丙”这类路线，共有2种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9211+=种走法．10. 练习4答案：10种简答：标数法：11. 作业1答案：54000种．简答：乘法原理，30404554000⨯⨯=种．12. 作业2A B1 1 1 1 1 1 23 4 36 10答案：27种简答：乘法原理，33327⨯⨯=种．13. 作业3答案：（1）60种；（2）6000种简答：（1）加法原理，30201060++=种．（2）乘法原理，3020106000⨯⨯=种．14. 作业4答案：26种简答：分三类：水墨、油画，4312⨯=种选法；油画、水彩，326⨯=种选法；水墨、水彩，428⨯=种选法，所以一共有126826++=种选法．15. 作业5答案：25种简答：标数法，如下图所示．A B 1 1 1 1 1 112 3 4 5 3 6 10 15 10 25。

备课说明：1、加法原理与乘法原理是计数中最常用、也是最基本的两个原理，本讲共5道例题和练习，2道思考题，重点为加法原理，例1为加法原理基础题，目的在于是学生理解加法原理，例2、例3为加法原理的应用，可由学生先自由发挥，思考分类方法，教师再总结可行的方法，再解决问题（45分钟左右）；由于例4、例5有涉及到乘法原理。

因此例3讲完后，教师可口头增加一些如搭配衣服之类的问题，简单介绍乘法原理，也为后一讲数图形做准备。

计数时，要做到不重复不遗漏，合理分类十分重要，因此例题讲解时，怎样分类可让学生多做思考，找到合理的分类方法（50分钟）。

最后2道思考题给足学生自主思考的时间（20分钟）。

注：对于一些班级，本讲题量可能篇少，教师可适当添加几道备用题。

2、重点：理解并能运用加法原理；难点：计数时合理分类。

加法原理：做一件事，完成它有n 类办法，其中第一类办法中有1m 种方法，第二类办法中有2m 种方法，……，第n 类办法中有n m 种方法，那么完成这件事共有n m m m m N ++++= 321种不同的方法。

加法原理的关键在于分类，它与乘法原理是计数中最常用、也是最基本的两个原理。

书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任意取出一本书有多少种不同的取法？分析：在这个问题上，要从中选出一本书有两类方法，要么选数学书、要么选语文书，所以应该用加法原理计算。

解：1156=+ (种)答：有11种不同的取法。

从A 城到B 城有三种交通工具：火车、汽车、飞机。

坐火车每天有2个班次，坐汽车每天有3个班次，乘飞机每天只有一个班次。

那么从A 城到B 城共有多少种方法？解：6132=++ (种)答：从A 城到B 城共有6种方法。

某班级有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任意选出一个人去领奖，有 种不同的选法。

解：945=+ (种)有许多面值为1元、2元、5元的邮票，用这三种邮票构成10元邮资，有多少种方法？解：只取1元：1种；只取2元：1种；只取5元：1种；取1元和2元：4种；取1元和5元：1种；取2元和5元：0种；取1元和2元和5元：2种；所以共有102014111=++++++ (种)旗杆上最多可以挂三面信号旗，现有红色、蓝色、黄色和绿色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，不用考虑旗子顺序，最多能表示出多少种不同的信号？分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为三类。

小学四年级数学：加法乘法原理一、什么是加法原理？完成一件事情，可以有n类方法。

在第一类方法中有m1种不同的方法；在第二类方法中有m2种不同的方法；..........；在第n类方法中有m n种不同的方法。

那么完成这件事情一共有：m1+m2+........+m n种不同的方法。

这就是加法原理。

要点：①每一类方法是完全独立；②每类方法之间互不相干；③每类方法都可以单独完成这件事情。

1、小明要去旅游，现在有武当山，华山，黄山三个风景区。

小明可以选择去1个景区，也可以选择去2个景区，当然也可以选择去3个景区。

问小明要做一个选择，小明一共有多少种选择呢？2、现在有1、2、3、4四个数字，问可以组成多少个不含重复数字的数？3、数字和是4的四位数有多少个？4、1到20中，每次取2个不同的自然数相加，和大于20的取法有多少种？5、用20元钱购买1元，2元或者4元的练习本若干册，没有剩余的钱。

一共有多少种买法？6、设有长度为1、2、3、4......、9的线段若干条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，一共有多少种不同的取法？规定线段除了端点外不可以重叠，线段也不能折断，弯折。

7、某人射击10枪，命中了5枪，其中刚好4枪是连在一起的，问一共有多少种不同的情况？二、什么是乘法原理？完成一件事情，需要n个步骤。

在第一步中有m1种不同的方法；在第二步中有m2种不同的方法；..........；在第n步中有m n种不同的方法。

那么完成这件事情一共有：m1×m2×........×m n种不同的方法。

要点：①每一步都不是单独的；②几个步骤相辅相成；③几个步骤一起做完才能做完这件事情。

1、现在小明早上起来需要准备一套文具。

包含1个文具盒，1支钢笔，1支铅笔，1块橡皮，1把尺子。

已知，文具盒有5个不同的，10支钢笔，铅笔有4支不同的，橡皮有4块不同的，尺子有10把不同的，问小明选择一套文具有多少种选法？2、周末，小熊同学要去爸爸单位体验上班生活。

小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

第六讲加法及乘法的交换律、结合律一、知识梳理：考点1 加法交换律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

字母表示为：a+b=b+a 考点2 加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。

字母表示为：（a+b）+c=a+(b+c)。

考点3 连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。

字母表示为：a-b-c=a-(b+c)考点4 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

字母表示为：a×b=b×a考点5 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。

字母表示为：（a×b）×c=a×(b×c)二、课堂精讲：（一）加减混合运算例1．李叔叔骑自行车旅行，今天上午骑了 40 千米，下午骑了 56 千米，李叔叔今天一共骑了多少千米？【随堂演练一】【A 类】1、计算下面各题。

13+22+17 104+88+96 42+39+5839+163+261 951-68+49 501+36+4992、中心小学四（1）班图书角原来有故事书 228 本，上午借出 150 本，下午购进 72 本。

现在图书角有多少本故事书？3、小东看一本故事书，第一天看了 225 页，第二天看了 197 页，还有 203 页没有看。

这本故事书一共有多少页？4、一根铁丝第一次用去了 39 米，第二次用去了 30 米，剩下的比第一次用去的铁丝长 31 米，这根铁丝全长多少米？（二）加法结合律例2．李叔叔骑自行车旅行，第一天骑了 88 千米，第二天骑了 104 千米，第三天骑了 112 千米。

李叔叔这三天一共骑了多少千米？【随堂演练二】【B 类】1、计算下面各题。

64+73+37 87+42+58 56+78+4491+89+11 582-157-182 168+250+322、妈妈给小明买了一件上衣 149 元，一条裤子 85 元，一双鞋子 51 元，妈妈一共用去多少元？3、向阳小学四年级五位同学身高分别为 148 厘米，149 厘米，150 厘米，151 厘米，152 厘米，求这五位同学的身高一共多少厘米？4、装配一批自行车，第一天装了 209 辆，第二天装了 175 辆，还剩 91 辆没有装，这批自行车一共多少辆？5、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20（三）连减的性质例3．小东有 100 元零花钱，买了一副乒乓球拍花了 69 元，买了一盒乒乓球用去了 11 元，小东还剩多少钱？【随堂演练三】【A 类】1.计算下列各题。

（ （第五讲 加法原理与乘法原理“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子：餐厅里有 4 种炒菜和 2 种炖菜，4 种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2 种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨．点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有4 + 2 = 6 种点菜方法，其中 4 代表 4 种炒菜，2 代表 2 种炖菜．这就是加法原理．加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有 2 种： 红烧鱼块，土豆炖牛肉）、 红烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有 2 种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）．合在一起就有4⨯2=8种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是乘法原理．乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．例题1小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？「分析」选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？练习1书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？例题2用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？「分析」要给四个部分染色，我们很容易想到要依次染每个部分，这是分类还是分步呢？只染一个部分能完成这件事情吗？练习2用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？“分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事．这种情况下一般要用到加法原理．分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事．这种情况下一般要用到乘法原理．例题 3从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 3 条路， 从甲地到丁地有 2 条路，从丁地到丙地有 4 条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到 丙地共有多少条不同的路线？「分析」要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两地之一． 甲→乙→丙”与“甲→丁→丙”这两类路线各有多少条呢？练习 3任意两地之间的路线都已在下图中标示出来，如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？甲 丁乙 丙甲乙丙通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别．加法原理类与类之间会满足下列要求：1. 只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；2. 类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．比如例题 1 中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能到达目的地了．乘法原理步与步之间满足下列要求：1. 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；2. 步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步， ……，直到最后．．比如例题 2 中，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系．在这里，衣服和帽子先选哪种都可以．但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在日后会接触到．加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系．这时应该分清主次关系，弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类” 如果是某一大类里面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例题 3．当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来．在本讲的最后，我们来介绍标数法．标数法是解决路径条数问题的重要方法．如下图所示，我们要计算蚂蚁从 A 点沿箭头的方向爬到 B 点的不同路线有多少条．CE G BAD F H由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把A 点处标上 1，表示蚂蚁从 A 点出发到达 A 点，只有原地不动这一种方式）．我们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示．C 1E G BA 1D 1 F 1 H 1容易看出，蚂蚁可以从 C 点或者 D 点到达 E 点，而且只有这两类不同的方式，那么我们可以在 E 点处标上数字1 + 1 = 2（把 C 点与 D 点的数字相加），表示蚂蚁到达 E点有两条路线．同样道理，蚂蚁可以从 E 点或者 F 点到达 G 点，那么蚂蚁到达 G 点就有 2 +1= 3 条路线（把 E 点与 F 点的数字相加）．最后可以得到蚂蚁到达 B点有4条路线，如下图所示．C1E2G3B4D1F1H1A1例题4B在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？「分析」标数法其实就是要找到前一步可能在的A所有点，把它们的方法数加起来．练习4B 在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？A例题5老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数．请问墨莫共有多少种不同的写法？「分析」被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式吗？写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？例题6书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相同．请问：（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？「分析」从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书，这三件事对于前两问来说是分类还是分步？课堂内外加减乘除的由来加减乘除（＋、－、×、÷）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们．别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成．法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D 表示加法，用M表示减法．这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过，用“─”表示不足．到1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示减法．1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“─”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用．以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的．他于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法．据说是由加法符号“＋”变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的．后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“•”表示乘号，这样，“•”也得到了承认．除法符号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号．符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广．除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”．至此，四则运算符号齐备了．作业1.题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加．请问报名的情况有多少种？3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书．（1）墨莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？（2）墨莫三种书都要各借1本，有多少种不同的选择？4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？5.在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？BA第五讲加法原理与乘法原理1.例题1答案：9种详解：小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以这是出行方式分成了三类，即加法原理，有4+3+2=9种出行方式．2.例题2答案：16种详解：房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有2种颜色可以选择，接下来给烟囱染色，也有2种颜色可以选择，再接下来给门染色，也有2种颜色可以选择，最后给窗染色，同样有2种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有2⨯2⨯2⨯2=16种不同的染色方法．3.例题3答案：17种详解：分成“甲→乙→丙”和“甲→丁→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有3⨯3=9种走法．类似地，对于“甲→丁→丙”这类路线，共有2⨯4=8种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9+8=17种走法．4.例题4答案：35种详解：标数法，如下图：1 1 1 A1432110631201041351551B5.例题5答案：81000种详解：一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一个减数．被减数是三位数，三位数的总个数有两种算法，方法一：最小的三位数是100，最大的三位数是999，所以一共有999-100+1=900个三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字，1~9有9种选择，再给十位选择一个数字，0~9有10种选择，最后给百位选择一个数字，0~9有10种选择，一共分了三步即乘法原理，一共有9⨯10⨯10=900个三位数．两位数的总个数算法和三位数一样，一种是99-10+1=90个两位数，另一种是9⨯10=90个两位数．要组成一个减法算式，先从三位数中选择1个作为被减数，一共有900种选择，再从两位数中选择1个作为减数，一共有90种选择，分了两步即乘法原理，共有900⨯90=81000种不同的写法．1B（（6.例题6答案：30种；750种；275种详解：1）从所有的书中任取1本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类中选择1本，加法原理，共有15+10+5=30种不同的取法；（2）从每一层中各任取1本，可以先在第一层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有15⨯10⨯5=750种不同的取法；3）从中取出2本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所以先取小说再取漫画，有15⨯10=150种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以先取漫画再取科普，有10⨯5=50种不同的取法；在第三类小说和科普必须各有一本，所以先取小说再取科普，有15⨯5=75种不同的取法，三类是加法原理，共有150+50+75=275种不同的取法．7.练习1答案：18种详解：从小说、漫画中任意取一本即可，即加法原理，有8+10=18种取法．8.练习2答案：8种详解：先给眼睛染，有2种方法；再给嘴巴染，有2种方法；最后给身子染，有2种染法，分三步，乘法原理，所以共有2⨯2⨯2=8中不同的染法．9.练习3答案：11种简答：分成“甲→乙→丙”和“甲→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有3⨯3=9种走法．而对于“甲→丙”这类路线，共有2种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9+2=11种走法．10.练习4答案：10种简答：标数法：36101 A121314111.作业1答案：54000种．简答：乘法原理，30⨯40⨯45=54000种．12.作业2答案：27种简答：乘法原理，3⨯3⨯3=27种．13.作业3答案：（1）60种；（2）6000种简答：（1）加法原理，30+20+10=60种．（2）乘法原理，30⨯20⨯10=6000种．14.作业4答案：26种简答：分三类：水墨、油画，4⨯3=12种选法；油画、水彩，3⨯2=6种选法；水墨、水彩，4⨯2=8种选法，所以一共有12+6+8=26种选法．15.作业5答案：25种简答：标数法，如下图所示．1025B132631041551A11111。

第五讲相遇问题一、专题简析：相遇问题是两个物体，从不同的地点做面对面的运动，即相向运动，相向运动会使两物体在途中相遇。

其路程、速度和、相遇时间的关系为：路程=速度和×相遇时间速度和=路程÷相遇时间相遇时间=路程÷速度和说明：（1）公式的推导可以利用乘法分配律来推导；（2）在相遇问题里，我们要使用以上公式，必须有个前提：“两物体两物体运动时将相同，更多时候体现在两物体同时出发”。

如果它们的时间不等，可以加以适当变形，使之相等，再用公式。

解决行程问题的关键是找出题中隐藏较深的关系，找关键的关键又在于画出示意图二、典型例题例1：两列火车同时从甲乙两地相向而行，快车每小时行80㎞，慢车每小时行60㎞，两车4小时后在途中相遇，两地相距多少㎞？（用两种方法解题）练一练：甲乙两车同时从相距108米的两地相向而行，8分钟后两人相遇。

已知甲每分钟行65米，求乙的速度。

例2：甲乙两人同时从相距600米的两地相向而行，5分钟后相遇，已知甲每分钟比乙每分钟多行20米，求甲乙两人的速度各是多少？练一练：甲乙两人同时从相距600米的两地相向而行，5分钟后相遇，已知甲的速度是乙的速度的3倍，求甲乙两人的速度各是多少？例3：甲乙两人分别AB两地同时出发，在距中点24千米的地方相遇，已知甲的速度为60千米，乙的速度为48千米。

问甲乙两地相距多少千米？练一练：甲乙两人分别从相距480千米的AB两地同时相向而行。

8小时后两人相遇，已知甲每小时比乙多少走2千米。

问：甲乙两人在哪儿相遇？例4．甲乙两地相距300千米，客车和货车同时从甲地出发驶向乙地。

货车每小时行60千米，客车每小时行40千米，货车达到乙地后立即以原速度返回，从甲地出发后多少小时两车相遇？练一练：甲乙两人同时从学校出发到少年宫，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回，在距离少年宫300米的地方与乙相遇，此时他们已经离开学校30分钟了。