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一. 质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kx A x 2sin =ψ的状态上，求其动量pˆ与动能T ˆ的取值几率分布及平均值。
解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为m p T x p2ˆˆ ;d d i ˆ2=-=显然，两者相互对易，有共同完整本征函数()⎪⎭⎫⎝⎛=px x p i ex p 21πϕ 且满足()()()()x mp x T x p x pp p p p ϕϕϕϕ2ˆˆ2== 将()x ψ向()x p ϕ展开，即()()p x c x p p d ϕψ⎰∞∞-=展开系数()()()()()()()()[]()()()()[]()()()[]k p p k p Ax x x x x A x kx kx x A xkx kx x A xx x c k k p p pp p 202224d 224d i 2exp 2i 2exp 4d i 2i exp i exp d 202**2**++----=+--=-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅==-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-⎰⎰⎰⎰δδδπϕϕϕπϕϕϕψϕ只有当 k p 2,0±=时，0≠p c 。
利用归一化条件12=∑ppc可知，归一化常数为π34=A于是有61 ;32 ;61202-==-=-k k c c c动量的取值几率为()()()612 ;320 ;612=-===== k p W p W k p W平均值为()0==∑pp pW p动能的的取值几率与动量相同，而平均值为()m k p W m p T p322222 ==∑ 二. 质量为m 的粒子处于如下一维势阱中()⎪⎩⎪⎨⎧>>≤≤<∞=a x V ax x x V )0(0 ,00 .0若已知该粒子在此势阱中存在一个能量20V E =的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于002V V E <=的情况，三个区域中的波函数分别为()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+==x C x B x kx A x x ααψδψψexp exp sin 0321 其中，()E V m mE k -==02 ;2α 由∞→x 处，()03=x ψ，可知0=C 。
量子力学考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子的什么物理量？A. 动量B. 能量C. 位置D. 概率密度答案：D2. 以下哪项是海森堡不确定性原理的表述？A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程描述的是：A. 经典力学B. 电磁学C. 量子力学D. 热力学答案：C4. 泡利不相容原理适用于：A. 光子B. 电子C. 质子D. 中子答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据量子力学，一个粒子的波函数可以表示为 \(\psi(x, t)\)，其中 \(x\) 代表粒子的________，\(t\) 代表时间。
答案：位置2. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出________的性质，也表现出粒子的性质。
答案：波动3. 量子力学中，一个粒子的能量可以表示为 \(E =\frac{p^2}{2m}\)，其中 \(p\) 代表粒子的________。
答案：动量4. 量子力学中的隧道效应是指粒子可以穿过________的势垒。
答案：经典物理认为不可能三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述德布罗意波的概念及其在量子力学中的意义。
答案：德布罗意波是指物质粒子（如电子）具有波动性，其波长与粒子的动量成反比。
在量子力学中，这一概念是波函数理论的基础，它表明粒子的行为不能完全用经典力学来描述，而是需要用波动方程来描述。
2. 描述一下量子力学中的量子态叠加原理。
答案：量子态叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加，直到进行测量时，系统才会坍缩到其中一个特定的状态。
这一原理是量子力学的核心特征之一，它导致了量子力学的非经典行为和概率解释。
3. 解释什么是量子纠缠，并给出一个实际应用的例子。
答案：量子纠缠是指两个或多个量子粒子之间存在的一种非经典的强关联，即使它们相隔很远，一个粒子的状态改变会即时影响到另一个粒子的状态。
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
2001年量子力学考研试题一. （见2003第2题）设氢原子处于 ()()()()()()()ϕθϕθϕθϕθψ,Y R 21,Y R 21,Y R 21,,112110311021---=r r r r的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。
解：选{}z L L H ,,2为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为()()()ϕθϕθϕμ,Y R ,,12 224lm nl nlm n r r n e E =-= 其中，量子数的取值范围是ll l l l m n l n -+---=-==,1,,2,1,1,,2.1,0,3,2,1利用归一化条件求出归一化常数为5421412121=⎪⎭⎫⎝⎛++=-c主量子数n 的可能取值只有两个，即3,2=n ，于是()()515441 ,18 54542121 ,8 32432242=⋅=-==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=E W e E E W e Eμμ2424249 5118 548 e e e E μμμ-=⋅-⋅-=角动量量子数l 的可能取值只有一个，即1=l ，故有()222222213 ,2====L L W L角动量磁量子数m 的可能取值有两个，即0,1-=m ，于是()()535441210 ,0525421 ,=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+====⋅=-=-=z z z z L E L L E L 52-=z L二. 作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()x V p H +=μ2ˆˆ20时，能级是0nE ，如果哈密顿算符变成μαp H H ˆˆˆ0+=（α为实参数），求变化后的能级n E 。
解：视α为参变量，则有μαpH ˆˆ=∂∂利用费曼-海尔曼定理可知n p n n H n E n ˆ1ˆμαα=∂∂=∂∂又知[]()αμαμ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==p p p x H x t x ˆ1ˆ2ˆ,i 1ˆ,i 1d d 2在任何束缚态n 下，均有[]0ˆˆi 1ˆ,i 1d d =-==n x H H x n n H x n n t x n所以，α-=n pn ˆ 进而得到能量本征值满足的微分方程μαα-=∂∂n E 对上式作积分，得到c E n +-=μα22利用0=α时，0ˆˆH H =，定出积分常数 0n E c =最后，得到Hˆ的本征值为 μα22-=n n E E三. 质量为μ的粒子处于如下的一维位势中 ()()()x V x c x V 0+-=δ 其中，()⎩⎨⎧>≤=0 ,0,010x V x x V且 0>c ，01>V , 求其负的能量本征值。
量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。
4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。
量子力学练习题解决波函数和测量问题量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，该领域的研究通常涉及到波函数和测量问题。
在本文中，我们将通过解决一些练习题来进一步理解并解决这些问题。
在解答过程中，我们将遵循合适的格式，以确保文章排版整洁美观，语句通顺，并在内容上满足题目描述的需求。
【题目一】考虑一个自旋1/2的粒子，其纯态波函数表示为|ψ⟩= (1/√3)|↑⟩ + (√2/√3)|↓⟩，其中|↑⟩和|↓⟩分别表示自旋向上和向下的状态。
请回答以下问题：1. 这个粒子处于自旋向上和向下状态的概率分别是多少？2. 这个粒子的自旋在x轴和z轴方向的期望值分别是多少？3. 如果对这个粒子进行自旋z方向的测量，测量结果有哪些可能性？每个结果的概率是多少？【解答一】1. 这个粒子处于自旋向上和向下状态的概率分别是 |⟨↑|ψ⟩|²和|⟨↓|ψ⟩|²。
根据题目中给出的波函数，可以计算得到概率分别为：|⟨↑|ψ⟩|² = (1/√3)² = 1/3 和 |⟨↓|ψ⟩|² = (√2/√3)² = 2/3。
2. 对于自旋在x轴和z轴方向的期望值，可以使用对应的算符来计算。
自旋在x轴的算符为σₓ = |↑⟩⟨↓| + |↓⟩⟨↑|，自旋在z轴的算符为σ₃ = |↑⟩⟨↑| - |↓⟩⟨↓|。
期望值⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩。
代入波函数和算符，我们可以计算得到自旋在x轴的期望值⟨σₓ⟩ = ⟨ψ|σₓ|ψ⟩= ((1/√3)(√2/√3) + (√2/√3)(1/√3))= 0。
同样地，自旋在z轴的期望值⟨σ₃⟩ = ⟨ψ|σ₃|ψ⟩ = (1/3 - 2/3) = -1/3。
3. 当进行自旋z方向的测量时，测量结果有两种可能性：测量得到自旋向上的状态|↑⟩或测量得到自旋向下的状态|↓⟩。
根据波函数的线性叠加性质，可以计算得到各自的概率。
测量得到自旋向上的概率为|⟨↑|ψ⟩|² = (1/√3)² = 1/3，测量得到自旋向下的概率为 |⟨↓|ψ⟩|² =(√2/√3)² = 2/3。
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 中运动，若0=t 时，粒子处于状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 （1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为 能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 其中，在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有此即能量满足的超越方程。
当021V E -=时，由于故40ππ-=n a mV， ,3,2,1=n最后，得到势阱的宽度三.（20分）设厄米特算符Hˆ的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3） 计算迹(){}n m U,ˆTr ； （4） 若算符A ˆ的矩阵元为nm mn A A ϕˆ=，证明 解：（1）对于任意一个态矢ψ，有 故（2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== （3）算符的迹为（4）算符 而四. （20分）自旋为21、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2=x s 的状态，（1） 求出0>t 时的波函数；（2） 求出0>t 时x sˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。
1992年量子力学考研试题一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n maE n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为1312=c于是，归一化后的波函数为()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为()()()133;134;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. 一个电子被禁闭在线谐振子基态，若在此态上有 ()m 10102-=-x x求激发此电子到其第一激发态所需要的能量（用eV 表示）。
提示：利用维里定理。
解：已知线谐振子的本征解为ω ⎪⎭⎫⎝⎛+=21n E n ；n由维里定理知，对于任意束缚态有V r T ∇⋅=21而线谐振子的位势为()2221x m x V ω= 于是，V T = 对于线谐振子基态而言，ω 210=+=V T E进而可知ωω 412122=x m利用已知条件及0=x ，得到220m 102-⋅=mω 由基态激发到第一激发态所需的能量为()3.78e VeV 106.111006.6m 10kg 1011.92s J 1005.1m 102191922031224220201=⨯⨯⨯=⋅⨯⨯⋅⨯=⋅==------mE E ω三. 设厄米特算符Hˆ的本征矢为n ，{}n 构成正交归一完备系，定义一个 算符()nm n m U ϕϕ=,ˆ （1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq,ˆ,ˆ,ˆδ=+； （3） 计算迹(){}n m U ,ˆT r； （4） 若算符A ˆ的矩阵元为nm mn A A ϕϕˆ=，证明 ()n m U A A nm m n ,ˆˆ,∑=(){}q p U A A pq,ˆˆTr += 解：（1）对于任意一个态矢ψ，有()[]()()()()()()ψψψψϕϕψϕϕψψψn m UE E n m U E n m U E H H H n m U n m U Hn m U Hn m n m nm n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=故()[]()()n m U E E n m U H nm ,ˆ,ˆ,ˆ-= （2）()()()p m U q p U n m U nq p q n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+ （3）算符的迹为(){}()mn m n k n km kkkk n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆT r（4）算符()n m UA A A A nm mn nn m nm m m mm ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ而()(){}q p U Aq p U A A A A A k kk kkp q k qk kk p q p pq ,ˆˆT r ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ四. 自旋为21、固有磁矩为sγμ=（其中γ为实常数）的粒子，处于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2=x s 的状态，（1） 求出0>t 时的波函数；（2） 求出0>t 时x sˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。
2.2.3 2008年真题【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有，写出一个来；如果没有，请说明为什么【解题】没有，^^^,x y z L L i L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不对易，故无共同本征态【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。
属于基础概念的考核。
对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。
【题目】2. 已知哈密顿量221()2H V r μ=-∇+的本征值为n E ，相应的本征函数为()n r ϕ，求222()2H V r C μ=-∇++的本征值和本征函数（C 为常数）。
【解题】^1^^^211()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==+=+=+=+ 由上式知，^2H 的本征函数为()n r ϕ，本征值为nE C +【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出相关结果【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1）22^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,,,,()()()0z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=----=--+-=（2）^^^^^^^^^,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。
【解题】2222(),()x x x p p p =-=-对线性谐振子0x p ==2222,x x p p ∴==2^2^2222112222p p H m x m x m m ωω=+=+利用22a bab x p +≤≥且 有22222min 12222p H m x x p m ωωω=⋅=⋅=【分析】了解一个力学量的差方平均值等于该力学量算符平方的平均值与平均值平方之差，再利用两算符满足的对易关系，通过不等式得出最小的线性谐振子能量即为它的基态能量。
【题目】5. 设A 和B 为两个厄米算符，[,]C i A B =。
证明：在A 或B 的本征态中，算符C 的平均值为零。
【解题】设^11A a ϕϕ=由于^A 、^B 都为厄米算符有：^^^^,A A B B ++==那么：^^^^^^^111111^^^^^^^^11111111^^1111,()0C i A B i A B B A i A B i B A i A B i B A ia B ia B ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦=-=-=-=同理，对^B 的本征态也有相同的结果所以在A 或B 的本征态中，算符C 的平均值为零。
【分析】可以设出算符A 或者B 的本征态，并且利用厄米算符的性质，直接利用算符C 的平均值表达式证明出结果。
【题目】6. 证明：对于一维定态薛定谔方程，与任一能量本征值相应的线性独立解最多只有两个（即任何能及的简并度最大为2）。
【解题】用反证法证明：假设对应于能量本征值0E 存在三个线性独立的本征波函数1()x ψ、2()x ψ和3()x ψ，则有：''12211()()()()x x x x c ψψψψ-=''13312()()()()x x x x c ψψψψ-=用2c 乘以第一式，减去1c 乘以第二式，有''''2122111331()()()()()()()()0c x x x x c x x x x ψψψψψψψψ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦ 得出[]'''1221322131()()()()()()0x c x c x c x c x x ψψψψψψ⎡⎤---=⎣⎦令2213()()()x c x c x ϕψψ=-，则上式可化为：''11()()()()x x x x ψϕϕψ=积分后1ln ()ln ()x x cϕψ=+即31()()x c x ϕψ=于是得到 2112333()()()c cx x x c c ψψψ=- 上式表明1()x ψ是2()x ψ和3()x ψ的线性组合，显然这与1()x ψ、2()x ψ和3()x ψ相互独立的假设是矛盾的。
【分析】井孝功老师的教材上有原题，主要考察定理证明过程，此部分应当引起重视，考试中出现的次数相对较多。
【题目】二．一质量μ为的例子在一维无限深势井中运动0()00x U x x a x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪∞>⎩t=0时，其归一化的波函数为8(,0)(1cos )sin 5x x x a a aππψ=+求：（1）t>0时，粒子的状态波函数(,)x t ψ；（2）t=0及t=t0时系统的平均能量；（3）t=0及t=t0时，在02ax ≤≤的区域内发现粒子的概率。
【解题】 （1）128(,0)(1cos )sin5881241sin sin ()()55255x xx a a ax x x x a a a a ππππψψψ=+=+=+其中2()sin n n xx a aπψ=120001241(,)()()55E E i t i t x t e x e x ψψ--∴ψ=+22222n n E ua π=（2）t=0及t=t0时系统的平均能量为22122414555E E E ua π=+=（3）当t=0时2201(0)(,0)2a P t x dx ==ψ=⎰ 当t=t0时222020023116()(,)cos2152a t P t t x t dx ua ππ==ψ=+⎰【分析】 先将题中的波函数向哈密顿算符的几个本征函数（这些本征函数的形式最好记住，能节省时间）作展开，再乘以相关的时间因子就得到了任意时刻的粒子状态波函数；系统的平均能量直接用能量值乘以它出现的概率再相加就可得到；在什么区域发现粒子的概率直接将波函数的平方积分，此题中的积分变量为坐标，注意积分上下限。
【题目】三．已知l=1时，z L 的本征函数在坐标表象中用球函数表示为1,11,01,1333sin ,cos ,sin 848i i Y e Y Y e ϕϕθθθπππ--===-，写出l=1时，x L 和y L 的全部本征函数。
【解题】^z L 自身表象下为对角矩阵，可表示为 ^10000001z L ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相应的本征解为 11,00z L ψ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭00,10z L ψ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭10,01z L ψ-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭即11,101,011,111,10,11Y Y Y ψψψ--======-对于算符ˆxL 、ˆy L 而言，需要用到升降算符，即 ()()1ˆˆˆ21ˆˆˆ2ix y L L L L L L +-+-=+=-而()()ˆ11,1L lm l l m m l m ±=+-±±当1,1,0,1l m ==-时，显然，算符ˆxL 、ˆy L 的对角元皆为零，并且，ˆˆ1,11,11,11,10ˆˆ1,11,11,11,10x yxyL L L L -=-=-=-=只有当量子数m 相差1±时矩阵元才不为零，即ˆˆˆˆ1,11,01,01,11,01,11,11,02i ˆˆ1,01,11,11,02i ˆˆ1,11,01,01,12x x x x y yy yL L L L L L L L -=-===-==--==于是得到算符ˆxL 、ˆy L 的矩阵形式如下 0100i 0ˆˆ101; i 0i 220100i 0x y L L -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭yL ˆ满足的本征方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321321 0ii 0i 0i 02c c c c c c λ相应的久期方程为2i 02i 2i 02i =-----λλλ将其化为023=-λλ得到三个本征值分别为-===321 ;0 ;λλλ将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i 2i 21 ;10121 ;i 2i 21321ψψψˆxL 满足的本征方程为 112233010101 2010c c c c c c λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭相应的久期方程为202202λλλ--=-将其化为023=-λλ得到三个本征值分别为-===321 ;0 ;λλλ将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为1231111112; 0; 2222111ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】本题可在坐标表象中用矩阵求解，利用Z L 与球谐函数的关系写出它的矩阵形式，注意三个本征函数的相关顺序（因为顺序的不同也会导致矩阵的形式发生变化，一定要注意这点），然后利用升降算符对Z L 三个本征函数的作用求出x L 与y L 的矩阵形式，再通过久期方程得到它们各自的本征值和本征函数。
【题目】四．某力学量的算符A 有两个归一化的本征函数1ϕ和2ϕ，相应的本征值分别为1α和2α；另一力学量的算符B 也有两个归一化的本征函数1χ和2χ，相应的本征值分别为1β和2β，已知：11221211(43);(34)55ϕχχϕχχ=+=- 在某种状态下，测量力学量A 后得到的结果为1α；若在此之后在测量力学量B ，接着在测量力学量A,则第二次测量A 得到的结果仍为1α的概率是多少？【解题】在某种状态下，测量力学量A 后得的结果为1α时，波函数为1121(43)5ϕχχ=+由11221211(43);(34)55ϕχχϕχχ=+=+ 可知：11221211(43);(34)55χϕϕχϕϕ=+=+所以第二次测量A 结果仍为1α的概率为22224433337()()()()5555625P =⨯+⨯=【分析】此题主要看考生能否分析出每次测量后它的态函数发生了什么样的变化，倘若知道它以后的状态那么问题就迎刃而解了，我们可以这样判定，只要测量某个力学量，那么波函数就往这个力学量的本征状态坍塌，此时若要求其它力学量的某个值的概率，那就将已有的这个力学量的本征态向所求的力学量的本征函数作展开，其系数的平方就是概率（另外记得乘以已有的这个力学量的本征态所出现的概率，因为是它为前提而存在的）。
