工程物理基础 第1篇 声学基础 第2章 弹性体的振动

2.2 棒的纵振动
我们这里所讨论的棒是均匀的细棒（密度均匀，粗细均 匀）。“细”的意思是说它的横截面直径d比在其中传播之 弹性波的波长 小得多，即 ，因而振动沿着轴线方向 传播。在棒振动中，恢复力主要是棒的劲度。我们知道，在 弦振动中的恢复力主要是弦的张力。 棒振动可分为三类，即纵振动，横振动和扭转振动。因 为振动沿棒轴传播，因此做纵振动时，棒上各点振动方向与 轴平行；横振动时，质点振动方向与轴垂直；而做扭转振动 时，质点绕轴振动。本节只研究棒的纵振动，其他两种振动 形式可参看有关书籍。
由于是小振动，垂直位移
很小，因此
和
很小为 ，则元段的质量为 牛顿第二定律就可以得到该元段弦的运动方程
，于是根据
所以
其中
因为元段的选择具有任意性，所以式（2-1-3）可以用来描述 弦上任意位置的振动规律，称之为弦的振动方程．
2.1.2 弦振动方程的一般解
弦振动方程（2-1-3）是一个二阶偏微分方程，它的解应 是两个独立变量x和t的函数，设该方程的解具有下列形式：
这表明在经过t2 －t1的时间后， 在t=t1，x=x1处弦的位移状态 没有变化地向x的正方向由x1 点移到x2点，而移动的速度 为c，因为位移的选择是任意 的，因此每个横向波均以相 同的速度向x正向移动。这意 味着扰动的形状保持不变； 函数f1（ ct－x ）表示了一个 在x正方向传播的波动过程， 称为波函数。
在
腹）。
处振幅极大（波
由式（2-1-17）可求得第n次振动方式的波节与波腹，令
得到波节位置为 可以看出n次振动有n+1个波节。 令 ，则波腹位置为
由此式可以看出第n次简正振动有n个波腹。从上面的讨论 得出，对于一定的振动方式，波节和波腹的位置是固定的，可 见在弦上的振动是驻波方式．
每一个简正振动都是方程（2-1-3）的一个特解，因而该 方程的一般解应是所有简正振动方式的线性迭加，因此弦上的 总位移是
根据胡克定律，邻段A作用在B段右端面上之力，指向x 轴正方向，为
而邻段C作用在B段左端面上之力，指向x轴负方向（其中E是 表示物质劲度的一个常数，称杨氏模量，而s是棒的横截面 积），为 由牛顿第二定律得元段B的运动方程：
式中
为棒之密度。上式可以改写为
式（2-2-1）就是棒作纵向自由振动的振动方程。
因此，只要 的 具体函数形式给定就可以求出 Cn，Dn，从而定出Bn， ， 于是弦的振动位移就可以完全 确定。 例 如图2-5所示，一两端固 定的弦，设在 t＝ 0时，在中 央位置 x＝ l／2处把弦拉开一 位移 ，然后就释放，任其 自由振动。求解弦的振动位移。
初始条件可写为
将上述条件代入式（2-1-24）可得
得到纵振动沿x轴方向之传播速度为
把棒的纵振动方程与弦的振动方程相比，可以发现它们在形 式上完全类似。因而我们不必再进行重复的求解过程，可参 照弦振动方程的求解结果（2-1-12），直接写出方程（2-2-1） 的解为
式中 为波数。同弦的振动讨论相似，棒的振动也要受 到边界条件和初始条件的制约。下面就来讨论边界条件对棒 的纵振动的影响。
第2章 弹性体的振动
2.1 弦的振动 2.2 棒的纵振动 2.3 模的振动
在第1章中，我们曾假定振动系统的质量是集中在一 点的，弹簧的压缩与伸长是均匀的，描述系统性质的一 些参数（如质量、弹性系数、力阻等）都与空间位置无
关，这种系统称为集中参数系统。但实际上不少振动系
统质量在空间有一连续分布，并且空间某一部分的质量 本身还包含弹性和阻尼性质，这种系统称为分布参数系 统，具有这种性质的物体称为弹性体。实际中的弹性体 是多种多样的，我们仅选择几何形状比较简单，具有一
式中， 波长。
称为第n次振动方式的波数，
为相应的
现在我们来研究初始条件对弦振动的影响。我们假定在 t＝0时刻有一般形式的位移和速度
此处 是x的任意函数，为了处理方便，我们将 式（2-1-21）改写成为
其中 （2-1-21）代入可得
仍为待定系数，将条件式
对上面两个等式分别乘以 弦函数的正交性可得
，从0到l积分，利用正
式（2-1-17）称为第n次振动方式，或简正振动方式，Bn， 由初始条件给定，当Bn， 一确定，则对应的每一简正频率 的振动情况便完全确定。 图24是按式（2-1-17）计算出来 的较低阶的（ n＝ 1，2，3）振 动方式的振幅分布图。从图中 可以看到，当弦以基频振动时， 除在两固定端位移振幅为零以 外（波节），弦的其他位置振 幅都不为零，并且有一定分布，
2.2.2 两端固定的棒的振动
两端固定的棒，其长为l
边界条件
用分离变量法解（2-2-3）式，并把边界条件代入，经过运 算后可得到
式中An，Bn为任意常数，由初始条件决定。
是t的周期函数，表示一振动过程，当x取某些值
时， 等于零。因此不管t为何值， 恒等于
零（节点）。可见式（2-2-5）所表示的是一种“驻波”形 式的振动过程。每一个n对应于一种振动方式：n＝1的振动 称为基波，n＞1的各次振动称为n次谐波． 棒做纵向自由振动之固有频率 第n次谐波频率fn为基频f1的n倍，波长 节点位置由 所决定，即
其中A、B、
是待定常数。
如果弦的两端固定，对任何时间t满足下列边界条件
将边界条件代入式（2-1-12）中得到
因为A＝0，所以B ≠0，否则整个弦都不振动，显然没有意义。 因此要有非零解就必有 ，则
用一新符号
代替
，于是
由式（2-1-12）可知，弦的位移对时间函数来说是一个简谐函 数，因而 应代表振动的固有频率，而fn代表弦振动频率。 从式（2-1-16）可知，对于两端固定的弦，振动频率具有一系 列特定的数值 ，并且仅与弦本身的固有力 学参数有关，因而称为弦的固有频率。它与质点系统不同， 一个单振子系统仅有一个固有频率，而弦的固有频率不止一 个，而有n个，即无限多个，并且固有频率的数值不是任意的， 变化也不是连续的，而是按n＝1，2，3，…次序离散变化的， 因而称弦的这种固有频率为简正频率。
说，这一自身的劲度与张力相比很小，可以忽略。这是理想 弦的一个重要特点。因为弦的振动过程是一种较为直观的波 动过程的模型，对这种振动过程的理论处理方法也是研究声 学问题的基础。
2.2.1 弦振动方程
设有长为l，两端固定并被张紧的细绳，它的横截面积与 密度都是均匀的，在静止时弦处于水平平衡位置，维持其平 衡的力是张力T，以N为单位。如果弦上的某点突然被移动， 偏离其平衡位置，并被释放，可以观察到，在它的初始位置 上的位移并没有保持固定，而是代之以沿弦传播的两个方向 各自扰动，一个向左一个向右，具有相等的速度，如图2-1所 示。最后弦上形成一定的振 动形状，即产生一定的振动 方式。因为弦的各部分振动 与弦长垂直，而振动的传播 是沿弦长方向，因而弦的这 种振动方式称为横振动。
上式的左边仅与x有关，右边仅与t有关，x和t都是独立变量， 如果式（2-1-7）对任何x和t成立，则其等号两边应恒等于一个 与x和t都无关的常数，令该常数为 ，那么式 （2-1-7）可以写成
上述二方程的解分别为
At，Bt，Ax，Bx均为待定常数，将式（2-1-10）、（2-1-11） 代入式（2-1-6）中合并得
2.2.1 棒的纵振动方程
以下的讨论，将顺着这个顺序： 从推导振动的微分方程开始， 然后根据特定的边界条件得出 相应的解，最后再返回到物理 问题的讨论。 一均匀棒，只要在棒中一 小段有纵向位移或振速，则必 然会引起邻段的压缩或伸长， 这种伸缩的传播即为纵振动沿 棒轴的传播。如图2-6所示． 以 表示棒上各点的位移。在腰上切出一元段 B，其两 端静止时的坐标各为 x和x＋ dx。纵振动时， x端位移为 ； x＋ dx端位移为 ，因而 B段棒的伸长为
这里的f1和f2是自变量（ct－x），（ct＋x）的任意函数。将f1 代入方程（2-1-3），可以证明它确实是方程（2-1-3）的解， 现在我们来研究函数f1（ ct－x ）的物理意义。
在t1时刻，x1处弦的横向位移由f1（ ct1－x 1）给出，在较后的一 个时刻t2，我们观察点移到x＝x2，这时弦的位移f1（ ct2－x 2） ， 见图2-3。如果在经过t2 －t1 的时间后，在x2处观察到原来（t=t1， x=x1）的状态，则必须满足： ct1－x 1 ＝ ct2－x 2 ，则
由前面讨论可知，弦中的振动传播速度为
即弦振动的传播速度是一个仅同弦的固有力学参数有关的常 数，弦的张力T愈大（即弦张的愈紧）或线密度愈小（即密 度愈小或截面积愈细），则传播速度c就愈大。类似地可以 证明f2（ct＋x）是一个沿x负方向，以传播速度c传播的波动 过程。 在上面的弦振动的一般解中，出现了两个沿不同方向传 播的波函数。这就是说假定在初始时刻，对弦某位置施加一 扰动，则这一扰动就会向两个相反方向传播。
2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解
上一节我们讨论了弦振动的一般解，一般说弦总是有限 长度的，因此当弦受到某一扰动时，这个扰动就会向两个相 反的方向传播，到达边界时就会被反射回来，在弦上形成一 定形式的波．下面我们来讨论它的具体振动方式，我们用分 离变量法来求解弦振动方程。设方程（2-1-3）的解可以写成 下列形式： X（x）是仅包含位置变量x的函数，T（t）是仅包含时间变 量t的函数，将式（2-1-6）代人方程（2-1-3）可得
所以，弦振动的位移为
其中 当n为偶数时 当n为奇数时
，再根据正弦函数的性质可以确定，
对这例子进行分析可以发现一个有趣的规律，因为对应于偶数 项的一些振动方式，在中央位置x＝l/2处应是波节，而这一点 恰好在初始时刻被拔动，因而波节条件遭到破坏，所以就不能 在中央位置产生具有波节的一些谐频振动方式。这在数学上就 必然导致与其对应的常数Bn等于零。据上分析可以知道，如 果在初始时刻拔动弦的其它位置，则一定会有另外一些振动方 式被抑制。也就是说，如果同一根弦，初始时拔动的位置不同， 那么弦所产生的振动也各不相同，因此由弦发出的声音的‘音 色”也就不相同。