贵阳一中理科实验班招生考试数学电子版图文稿

贵阳一中2018届第一次月考卷——理科数学一、选择题1.已知集合2{|23}A x y x x ==--，2{|0}2x B x x +=≤-，则A B =（ ） A. [2,1]-- B. [1,2)- C. [1,1]-- D. [1,2)2.复数32(1)(1)i i +-在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限 3.已知()f x 在其定义域[1,)-+∞上是减函数，若(2)()f x f x ->，则（ ） A. 1x > B. 11x -≤< C. 13x <≤ D. 13x -≤≤ 4.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A. 2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C. 6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. (3,0) 5.某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（ ） A.89 B. 49 C. 29 D. 8276.若方程2(1)10x k x --+=有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.已知,αβ都是锐角，且sin cos cos (1sin )αβαβ=+，则（ ） A. 32παβ-=B. 22παβ-=C. 32παβ+=D. 22παβ+=8.如图1.由曲线21y x =-，直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ） A. 220(1)x dx -⎰ B. 220(1)x dx -⎰C. 2201x dx -⎰D.122211(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰9.设直线2a x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点，若OAB ∆是直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A.22 B. 33 C. 63D. 1210.已知数列{}n a 满足：111,21(2)n n a a a n -==+≥，为求使不等式123n a a a a k ++++<的最大正整数n ，某人编写了如图2所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出框输出的表达式分别为（ ） A. ,S k i < B. ,1S k i <- C. ,S k i ≥ D. ,1S k i ≥-11.为得到函数22()2sin cos 3(sin cos )f x x x x x =++的图象，可以把函数()2cos(2)3g x x π=-的图象（ ）A. 向左平移4π个单位B. 向左平移2π个单位C. 向右平移4π个单位D. 向右平移2π个单位12.图3是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的 棱的长度为（ ） A. 32 B. 19 C. 22 D. 33二、填空题13. 61(12)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式的常数项是 （用数字作答）.14.已知变量,x y 满足条件,230,29,x y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤-⎩则23x y -的最小值等于 .15.如图4，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，2AD DB = ，若CD CA ⊥ ，2CD =，则CD CB ⋅= .16.已知,,a b c 分别为锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin )()sin b A sinB c b C +-=-，则ABC ∆周长的取值范围为 .三、解答题17.已知数列{}n a 满足：1111,(2)21n n n a a a n a --==≥+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列1{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 18.为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图5是统计结果的频率分布直方图.（Ⅰ）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（Ⅱ）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X ，求X 的分布列和期望.19.如图6，在三棱锥K ABC -中，,,D E F 分别是,,KA KB KC 的中点，平面KBC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥， KBC ∆是边长为2的正三角形，3AC =.（Ⅰ）求证：BF ⊥平面KAC ； （Ⅱ）求二面角F BD E --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，12,F F 是椭圆的左、右焦点， P 是椭圆上的一点，12PF PF ⋅的最小值为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，圆E 是以1F 为圆心椭圆C 的长轴长为半径的圆，过2F 且与l 垂直的直线与圆E 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.设2()(ln 1)(2),f x x x a x x a R =-+-∈. （Ⅰ）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（Ⅱ）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l 的极坐标方程为：2sin()33πρθ+=，曲线C 的参数方程为：3cos ,23sin ,x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），其中[0,2)απ∈. （Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； （Ⅱ）若A 、B 为曲线C 与直线l 的两个交点，求AB .23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 设()231f x x x =-++.（Ⅰ）求不等式()4f x x <+的解集；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax =+有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACCCBCBCCBCC【解析】1． 函数223y x x =--的定义域为(1][3+)A =-∞-∞，，，不等式202x x +-≤的解集为[22)B =-，，所以[21]AB =--，，故选A.2．复数32(1i)(1i)+-1i =--，对应点为(11)--，，位于第三象限，故选C. 3．由单调性及定义域得12x x --<≤，解得13x <≤，故选C. 4．双曲线焦点在x 轴上，22213122a b c ==⇒=，，右焦点为602⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，故选C. 5．23434C A 3643819P ===，故选B.6．问题等价于方程11x k x +=-在(2)+∞，有解，而函数1y x x=+在(2)+∞，上递增，值域为52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以k 的取值范围是72⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+，故选C. 7．πsin cos cos (1sin )sin()cos sin 2αβαβαβαα⎛⎫=+⇒-==- ⎪⎝⎭，即2αβπ-=2，故选B.8．阴影部分面积为12221[(1)]d (1)d x x x x ⎰--+⎰-，而222101|1|112x x x x x ⎧--=⎨-<⎩，，，，≤≤≤ 故选C.9．2a x =代入椭圆方程得32y b =±，222363()223a cb ac a a =⇒-=⇒=，故选C. 10．判断的条件为S k <；输出的结果为1i -，故选B. 11．ππ()2sin 22sin 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π()2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 212x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．12．几何体ABCD 为图1中粗线所表示的图形，最长棱是AC ，图1AC =C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6216C r rr T x -+=，6203621r r r -=⇒=-=-；无解，所以展开式的常数项为36C 20=.15．由已知3122CB CD CA =-，0CD CA =，231622CD CB CD CD CA =-=.16．由已知()()()a b a b c b c +-=-，即2221cos 2b c a bc A +-=⇒=得60A =︒，由正弦定理，三角形的周长为π24sin 26B C B ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，ππ62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，πsin 16B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦⎝，周长的取值范围为(26]+.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：111112111(2)2(2)21n n n n n n n a a a n n a a a a -----+=⇒==++≥≥，所以1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩是以2为公差的等差数列，11111a a =⇒=，所以121nn a =-，所以数列{}n a 的通项公式为121n a n =-. ………………………………（6分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭， 11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.…………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导，则(70)0.02(9070)0.0050.2x -⨯+-⨯=，得65x =（分钟），所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导. …（6分）（Ⅱ）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2，~(40.2)X B ，， 44()C 0.20.8(01234)k k kP X k k -===，，，，， 0.8EX =. ……………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，建立空间直角坐标系，则(103)K ，，， 33022BF CK ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，(103)(030)CA =-，，，，，， 0BF CK =，BF CK ⊥得BF CK ⊥， 0BF CA =，BF CA ⊥得BF CA ⊥，CA ，CK 是平面KAC 内的两条相交直线， 所以BF ⊥平面KAC.……………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：平面BDF 的一个法向量(103)m =，，， 平面BDE （即平面ABK ）的一个法向量为(323)n =-，，， 3cos 4m n 〈〉=，， 所以二面角F BD E --的余弦值为34. ………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）已知12c a =，12PF PF ⋅的最小值为222b c -=，又222a b c =+, 解得2243a b ==，，所以椭圆方程为22143x y +=． ………………………（6分） （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为1122(1)(0)()()y k x k M x y N x y =-≠，，，,.由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=．则221212228412+4343k k x x x x k k -==++，.所以212212(1)|||43k MN x x k +-=+．过点2(1)F ，0且与l 垂直的直线1(1)m y x k =--：，1F 到m，所以||PQ == 故四边形MPNQ的面积1||||2S MN PQ == 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，． 当l 与x 轴垂直时，其方程为1||3||8x MN PQ ===，，，四边形MPNQ 的面积为12． 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，． …………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()ln 22f x x ax a '=-+， 可得()ln 22(0)g x x ax a x =-+∈+∞，，， 则112()2axg x a x x-'=-=， 当0a ≤时，(0)x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当0a >时，102x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，12x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(0)+∞，， 当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为12a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，. ………………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(1)0f '=. ①当a ≤0时，()f x '单调递增，所以当(01)x ∈，时，()0()f x f x '<，单调递减， 当(1+)x ∈∞，时，()0()f x f x '>，单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由（Ⅰ）知()f x '在102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，可得当(01)x ∈，时，()0f x '<，112x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，所以()f x 在(0，1)内单调递减，在112a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1)+∞，内单调递减， 所以当(0)x ∈+∞，时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<， 当112x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. ………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵π2sin 33ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 3ρθθ+=，直线l 的直角坐标方程：30y +-=．曲线C ：3cos 23sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)， 消去参数可得曲线C 的普通方程为：22(()29x y -+=．………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22(()29x y +-+=的圆心为D (2)，半径为3． 设AB 中点为M ，连接DM ，DA ， 圆心到直线l 的距离|323|22d -+-==，所以2DM =，又因为3DA =，所以MA ||AB = ………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）． …………………………（5分） （Ⅱ）利用图象可得533a -<<-.…………………………………………（10分）。

贵州省贵阳市第一中学2017届高三数学下学期第五次适应性考试试题理（扫描版）贵阳第一中学2017届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由于{|01}M x x x =<>或，{|1}N y y =-≥，∴{|01}M x x =R ≤≤ð，(){|01}M N x x =R ≤≤ð，故选A ．2．((2i))(5)7f f f -==，故选B ． 3．∵“函数2211()cos sin 22f x x x ωω=-的最小正周期为4π”1||2ω⇔=，故选A． 4．π()sin 3n f n =的最小正周期为6，而(1)(2)(6)f f f +++=，当2017n=时，0336S =⨯=，故选B ． 5．要求三个数字排四位数，且同一数字不能相邻出现，千位数字有3种选法，百位有2种，十位有2种，个位有2种，共322224⨯⨯⨯=种，故选C ．6．由题意，10980101(12)22222112⨯-++++==--，故选C ． 7．由已知，1a b =，，双曲线的渐近线方程为y =，直线030l x -+=：与渐近线1l y x =：平行，要让双曲线右支上的动点P 到直线30x -+=的距离大于c 恒成立，即c 恒小于动点P 到该直线的距离，即c 小于平行直线0l 与直线1l 之间的距离，故选D ．8．由已知，可得cos(π)cos(π)cos(π)321ac B ab C bc A k ---===，则 22223a c b ac ac +-= 2222222221a b c b c a ab bc ab bc k +-+-==-，222222222642a c b k a b c k b c a k ⎧+-=-⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩，，，得25a k =-， 23b k =-，24c k =-，（k <0），∴222435c b a =：：：：，∴2c b a =：：C ． 9．由已知，(23)0.50.15870.341P X =-=≤≤，(13)20.34130.6826P X =⨯=≤≤，所以1σ=，1(01)(0.95440.6826)0.13592P X =⨯-=≤≤，∴阴影区域内估计有10000−1359=8641个点，故选B ． 10．如图1，目标函数52z x y =+在直线522z y x =-+与1x =的 交点A 处取得最小值4，代入得点A 坐标为112A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 52z x y =+在直线522z y x =-+与24x y +=的交点B 处 取得最大值16，代入得点B 坐标为132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点A ，B 在直线0ax by c ++=上，代入得22c a b a =-⎧⎨=-⎩，，∴3a b c a ++=-，故选A ． 11．由已知，该四面体的对棱相等，补形为长方体，四面体的六条棱恰为该长方体的面对角线，如图2．则22222251132310x y x y z y z x z ⎧+==⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，，，，，该四面体的外接球即为该长方体的外接球，2R =R =24π14πS R ==表，故选C ． 12．当0x >时，()()(())0xf x f x xf x ''+=>，故函数()()g x xf x =在(0)+∞，上递增，又()f x 是定义域为R 的连续奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()y g x =∴是R 上的偶函数，且在(0)+∞，上递增，在(0)-∞，上递减，要使()(12)(21)0xf x x f x +-->成立，即使()(21)g x g x >-成立，即要|||21|x x >-，解得113x <<，故选D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．52x y 的项为22222152531C C ()C ()30y x x x y -=-．14．由已知，得c =，2a =，1b =，由椭圆定义，得12||||4PF PF +=，由余弦定理得222221212121212(||||)||||2||||(2)2||||(1cos )4PF PF PF PF PF PF c PF PF F PF +=++=++∠=，得12122||||1cos PF PF F PF =+∠，又1212121||||sin 2F PF S PF PF F PF =∠=△，解得122π3F PF ∠=，12||||4PF PF =，故122PF PF =-．15．该四面体如图3，则112122323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．16．由已知21n n n a a a +=+，得210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 为递增数列．又2111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a +===-+++，得11111n n n a a a +=-+，则20171120181111n n a a a ==-+∑201812a =- ，又234a =，321116a =>，那么201831a a >>，故20171120182018111121n n a a a a ==-=-+∑(12)∈，，故整数部分为1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，得22⨯列联表如下：……………………………………………………………………………（3分）22120(10703010)3 2.706408020100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯∵，所以有90%的把握认为能否连续战胜五名对手与年龄有关． ……………（6分） （Ⅱ）这9名选手中年龄在21~30岁的有3人，31~40岁的有6人．从中抽3人，记年龄在21~30岁的人数为随机变量X ，则X =0，1，2，3．……………………………………………………………（8分） X 服从超几何分布H (9，3，3)，X 的分布列为……………………………………………………………（11分） ∴()1E X =.……………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图4，设M 为AB 中点，连接DM ，则DM ∥AC且122DM AC ==．在△ADM 中， 由余弦定理，得2222cos AD AM DM AM DM AMD =+-∠，因为AD =，cos BAC ∠=，可得1AM =，故2AB =， ………………（3分）从而2222cos 16BC AC AB AC AB BAC =+-∠=，∴4BC =，……………（4分）∴222cos 2BC AC AB C BC AC +-==． …………………………………………（6分） （Ⅱ）∵BE 是ABC ∠的角平分线，记ABE CBE θ∠=∠=，由正弦定理，得sin sin AE AB BEA θ=∠①，sin sin CE BC BECθ=∠②， 且sin sin BEA BEC ∠=∠， 由①②得：12AE AB EC BC ==， …………………………………………（9分）∴AE =，∴2222cos 4BE AB AE AB AE BAC =+-∠=，……………………（11分） ∴2BE =．…………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：设1AB =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，B (1，1，0)，E (1，1，1)，A (1，0，0)，D 1(0，0，2)， 1002F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， …………………………………………（2分） 1102BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，1(102)AD =-，，，(011)AE =，，，设平面AD 1E 的法向量()n x y z =，，，图4则1200n AD x z n AE y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，，取2x =，得(211)n =-，，， …………………………………………………（4分） 1100BF n =-++=∵， …………………………………………………………（5分）且BF ⊄平面AD 1E ，∴BF ∥平面AD 1E ． …………………………………（6分）（Ⅱ）解：C (0，1，0)，(011)AE =，，，(110)AC =-，，，设平面AEC 的法向量()m a b c =，，，则00m AE b c m AC a b ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，，取1a =，得(111)m =-，，， …………………………………………………（9分）又平面AD 1E 的法向量(211)n =-，，，2110m n =--=，故m n ⊥，∴二面角D 1−AE −C 的大小为90︒．……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知，过椭圆C 的右焦点的直线与椭圆C 相交所得的弦长最小值为通径长， 即223b a =，又椭圆的离心率12c e a ==， 所以21a c ==，，22222413a c b a c ===-=，，． 椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ……………………………………………（4分） （Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．设点B 坐标为()B B x y ，， 由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，化简得2222(43)1616120k x k x k +-+-=，B x 和2是它的两实根， 由韦达定理，得221612243B k x k -=+，故228643B k x k -=+，21243B k y k -=+． …………（6分） 点F 坐标为(10)，，设点H 坐标为(0)H y ，， 则(1)H FH y =-，，22249124343k k FB k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，， 又BF HF ⊥，故0FH FB =，得2224912104343H k k y k k ---+=++，解得29412H k y k -=． ………………………………………………………（8分）又1l l ⊥，所以1l 的方程为294112k y x k k--=-， 设点M 坐标为()M M x y ，，2(2)19412y k x k y x k k =-⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，由， 得2220912(1)M k x k +=+． ……………………………………（10分） 在△MAO 中，||||MOA MAO MA MO ∠∠⇔≤≤，即2222(2)M M M M x y x y -++≤，即22(2)M M x x -≤，化简得1M x ≥， 即22209112(1)k k ++≥，解得k k ≤， 所以直线l 的斜率k的取值范围是6⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭，，．…………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解： 0a ≠，21()2121a f x x x ax a x a '=--=--++． …………………（1分） 由已知，函数()f x 在0x =处取得极值，故(0)0f '=，得1a =， ………………（2分） ∴2()ln(1)(1)f x x x x x =+-->-，1(23)()2111x x f x x x x -+'=--=++， 由下表：…………………………………………………………（3分） ∴函数()f x 的单调增区间为(10)-，，单调减区间为(0)+∞，．………………（4分） （Ⅱ）解：方程5()2f x b x =-在区间(02)，上有两个不等实根，等价于方程2()52f x x b +=在区间(02)，上有两个不等实根．记2()2()52ln(1)23g x f x x x x x =+=+-+，2(45)(1)()4311x x g x x x x -+-'=-+=++，∴在区间(02)，上，而(0)0(1)2ln 21(2)2ln320g g g ==+=->，，，所以2ln3222ln21b -<<+，1ln31ln 22b -<<+， ∴1ln31ln 22b ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，． …………………………………………………（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当0x >时，函数()f x 单调递减，(0)0f =，∴2ln(1)0x x x +--<，2ln(1)x x x +<+，取1()x n n *=∈N ，得211ln n n n n++⎛⎫< ⎪⎝⎭， 累加得222231231ln ln ln 1212n n n n +++++<+++， 所以222231ln(1)12n n n++++>+对n *∈N 成立． …………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为0)y x x =-00y -=， ………（1分） 曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，即22(1)1x y +-=， ………………（2分） 因为|MN |=2，所以直线l 过圆心(01)，，……………………………（4分）代入l 的方程得0x =． ……………………………（5分）（Ⅱ）曲线C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，，（θ为参数）， 则(cos 1sin )P θθ+，， ……………………………………………………………（7分）则πsin cos 114x y θθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， ……………………………（9分）所以[11x y +∈．…………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）22221()222p q r p q r pq qr rp =++=+++++∵ …………………（2分） 222222422pq r pq qr rp pq r qr rp ++++=+++≥，当且仅当p q =时等号成立，………………………………………………………………………………………（4分） 21422pq r qr rp -++∴≥． ………………………………………………………（5分） （Ⅱ）222222222q r p r p q qr pr pq p q r p q r+++++++≥ ……………………………（7分） qr pq pq pr pr qr r p q r p q q p r p r r q q p p r r q q p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……（9分） 2222q p r ++=≥，当且仅当p q r ==时等号成立． …………………………（10分）。

2025届贵州省贵阳第一中学高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-3．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg5．函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．7．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 8．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝9．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3410．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．4311．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 12．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页。

考试结束后，请将答题卡交回。

满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，则的实部与虚部之和是（ ）AB ．1C ．－1D ．02．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（）A ．1B C ．2D ．3．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．平面内有不共线的三个点到平面的距离相等，则C ．若，则D ．若与不相交，则4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设名全是男生名全是女生恰有一名男生至少有一名男生，则下列关系不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若，则（ ）21ii i z +=+z A B C D '''',,a b c ,,αβγ,αββγ⊥⊥αγ∥α,,A B C βαβ∥,a b a c ⊥⊥b c∥,,,,a b c c αβαγβγγ=⊃=⊂∥ ,αβc a b∥∥{2A =},{2B =},{C =},{D =}A D⊆B D =∅A C D= A B B D= ()1sin1,lg tan1,2a b c ===A ．B ．C ．D ．6．已知向量满足，且，则（ ）A ．3BCD ．57．设，则“”是“”的（ ）条件。

A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要8．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的直径为4，则面积的最大值是（ ）ABC ．D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年贵州省贵阳一中高考数学适应性试卷（理科）（六）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知{2A =-，1-，0，1，2}，{|0}2xB x N x +=∈-，则(A B = )A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1}2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足(1)2z i i +=，则(z = ) A ．1i +B ．1i -C ．22i -+D ．22i --3．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （﹣x ），，则等于（ ） A ．3B ．6C ．9D ．不确定4．（5分）32(1)(13)x x-+的展开式中2x 的系数为( )A ．18B ．27C ．27-D ．95．（5分）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，前3项和为13，324a a a =⋅，则4(a = ) A ．13B ．19C ．1D ．36．（5分）已知曲线x lnxy ae x=+在(1,)ae 处的切线方程为y ex x b =++，则( ) A ．a e =，1b =-B ．1a =，0b =C ．1a =，1b =-D ．a e =，0b =7．（5分）已知在ABC ∆中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，则(AD BM ⋅= ) A ．3B ．2C ．4D ．18．（5分）6个实习老师去3个学校实习，每个学校至少去一人，每人去一个学校，有多少种安排方法？( ) A ．540B ．630C ．450D ．7209．（5分）已知()33cos f x x x =+在[a -，]a 上单调递增，则a 的最大值为( ) A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 10．（5分）已知圆C 的方程为22680x y x y +--=，过点(1,2)P 的直线与圆相交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，则直线方程为( )A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．30x y ++=D ．30x y +-=11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线上，且34MF MN =，||16MN =，则(p = )A ．4B ．6C ．8D ．1212．（5分）若393log 92log a b a b +=+，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题（木大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a ，b 为单位向量，||||a b a b +=-，若23c a b =-，则cos ,a c <>= ． 14．（5分）记n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，若123n n S n T n +=+，则79a b = ． 15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16．（5分）已知椭圆E 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为21，2，若A ，B ，C 为椭圆上三个不同的点，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积为 ．三、解答题（具70分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ．C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22sin()(sin sin )sin sin A C B C A C +-=-． （1）求A ； （2）求cb的取值范围． 18．（12分）2020年1月26日4点，篮球巨星湖人队名宿科比⋅布莱恩特在加州坠机身亡，享年41岁．对于很多篮球迷来说是巨大的悲痛，也是对这个世界最大的损失，但是科比留给我们的是他对比赛的积极备战的态度，毫无保留的比赛投入，夺冠时的疯狂庆祝；永不言弃的精神是科比的人生信条，他的这种精神被称为“曼巴精神”，热情、执着、严厉、回击和无惧就是“曼巴精神”的内涵所在．现如今这种精神一直鼓舞着无数的运动员和球迷们．这种精神也是高三的所有学子在学习疲惫或者迷茫时的支柱．在美国NBA 篮球比赛中，季后赛和总决赛采用的赛制是“7场4胜制”，即先赢4场比赛的球队获胜，此时比赛结束．比赛时两支球队有主客场之分，顺序是按照常规赛的战绩排名的，胜率最高的球队先开始主场比赛，且主客场安排依次是“主主客客主客主”，且每场比赛结果相互独立．在2019~2020NBA 赛季总决赛中，詹姆斯和戴维斯带领的洛杉矶湖人队以4:2战胜迈阿密热火队，获得队史第17个NBA 总冠军，詹姆斯也荣获职业生涯的第4个FMVP ．如果在总决赛开打之前，根据大数据和NBA 专家的预测，以常规赛战绩排名，湖人队先开始主场比赛，且湖人队在主场赢球概率为34，客场赢球概率为12（说明：篮球比赛中没有平局，只有赢或者输），根据上述预测：（1）分别求出只进行4场比赛和湖人队4:1获胜的概率； （2）如果湖人队已经取得2:0的开局，求最终夺冠的概率． 19．（12分）如图甲为直角三角形ABC ，2B π=，4AB =，43BC =，且BD 为斜边AC 上的高，将三角形ABD 沿BD 折起，得到图乙的四面体A BCD -，E ，F 分别在DC 与BC 上，且满足||||1||||2DE BF EC FC ==，H ，G 分别为AB 与AD 的中点．（1）证明：直线EG 与FH 相交，且交点在直线AC 上；（2）当四面体A BCD -的体积最大时，求平面ABC 与平面EFHG 所成角的余弦值． 20．（12分）设点P 为直线3y x =-上的动点，过点P 作抛物线22x y =的两条切线，切点为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ，求点P 的坐标和圆的方程． 21．（12分）已知函数()f x ax lnx b =-+． （1）若0a b +=，且()0f x ，求a 的值； （2）证明：2*23(1)()2(1)n ln ln ln n n N n ++++>∈+．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），曲线1C 经过伸缩变换:2x xy y ϕ'=⎧⎨'=⎩，得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若A ，B 为曲线2C 上的两点，且满足OA OB ⊥，证明：2211||||OA OB +为定值，并求出此定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1||1|f x x x =++-．（1）求()f x 的最小值，并在图中画出()f x 的图象； （2）若()||f x a x 恒成立，求实数a 的取值范围．2021年贵州省贵阳一中高考数学适应性试卷（理科）（六）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知{2A =-，1-，0，1，2}，{|0}2xB x N x +=∈-，则(A B = )A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1}【解答】解：{2A =-，1-，0，1，2}，{|02}{1}B x N x +=∈<=，{1}AB ∴=．故选：D ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足(1)2z i i +=，则(z = ) A ．1i +B ．1i -C ．22i -+D ．22i --【解答】解：设z x yi =+，x ，y R ∈，(1)2z i i +=，(∴x yi -)(1)2i i +=，化简可得()2x y x y i i ++-=，0x y ∴+=且2x y -=， 解得1x =，1y =-，1z i ∴=-， 故选：B ．3．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （﹣x ），，则等于（ ） A ．3B ．6C ．9D ．不确定【解答】解：∵f （x +2）＝f （﹣x ）， ∴y ＝f （x ）关于x ＝1对称， ∴，故选：B ．4．（5分）32(1)(13)x x-+的展开式中2x 的系数为( )A ．18B ．27C ．27-D ．9【解答】解：由于3330(13)(3)k k k x C x =+=∑，分别令2k =与3k =，可得32(1)(13)x x-+的展开式中2x 的系数为2233333232722727C C ⋅-⋅⋅=-⨯=-，故选：C ．5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，前3项和为13，324a a a =⋅，则4(a = ) A ．13B ．19C ．1D ．3【解答】解：324a a a =，又0n a >， 31a ∴=，3332113a a S q q=++=， 又0q >，∴13q =，∴4313a a q ==， 故选：A ．6．（5分）已知曲线x lnxy ae x=+在(1,)ae 处的切线方程为y ex x b =++，则( ) A ．a e =，1b =- B ．1a =，0b = C ．1a =，1b =- D ．a e =，0b =【解答】解：x lnx y ae x =+的导数为21x lnxy ae x -'=+， 可得x lnxy ae x=+在(1,)ae 处的切线的斜率为1ae +， 由切线的方程y ex x b =++， 则11ae e +=+，解得1a =， 则切点坐标为(1,)e ， 代入切线方程得1e b e ++=， 解得1b =-， 故选：C ．7．（5分）已知在ABC ∆中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，则(AD BM ⋅= ) A ．3B ．2C ．4D ．1【解答】解：令AB a =，AC b =， 易得1()2AD a b =+，12BM b a =-，111()()222AD BM a b b a ⋅=+⋅-22111111141624cos6014242244a b a b b a =⋅-+-⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯︒=， 故选：D ．8．（5分）6个实习老师去3个学校实习，每个学校至少去一人，每人去一个学校，有多少种安排方法？( ) A ．540B ．630C ．450D ．720【解答】6个人分成3组，有(2，2，2)，(4，1，1)，(3，2，1)三种情况，按(2，2，2)分组，有422364233390C C C A A ⋅⋅⋅=种， 按(3，2，1)分组，有32136313360C C C A ⋅⋅⋅=种， 按(4，1，1)分组，有411362132290C C C A A ⋅⋅⋅=种， 故一共有540种方法， 故选：A ．9．（5分）已知()3cos f x x x =+在[a -，]a 上单调递增，则a 的最大值为( ) A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π【解答】解：()3cos )3f x x x x π+=+，令[232x k πππ+∈-，2]2k ππ+，k Z ∈，则5[26x k ππ∈-，2]6k ππ+，k Z ∈，()f x 在[a -，]a 上单调递增，∴令0k =，则()f x 在5[6π-，]6π上单调递增， a ∴的最大值为6π． 故选：A ．10．（5分）已知圆C 的方程为22680x y x y +--=，过点(1,2)P 的直线与圆相交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，则直线方程为( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．30x y ++=D ．30x y +-=【解答】解：圆22:680C x y x y +--=，即22(3)(4)25x y -+-=的圆心为(3,4)C ， 当ACB ∠最小时，CP 和AB 垂直，AB ∴直线的斜率等于31142--=--， 用点斜式写出直线l 的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=， 故选：D ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线上，且34MF MN =，||16MN =，则(p = )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：令||3MF t =，则||NF t =， 过N ，M 作准线:2pl x =-的垂线，垂足为N '，M '，过N 作NH MN '⊥，垂足为H ， 如图，易得||2MH t =，∴在Rt MNH ∆中，60NMH ∠=︒，∴直线MN 的倾斜角为60θ=︒，焦点弦22||sin pMN θ=， 6p ∴=，故选：B ．12．（5分）若393log 92log a b a b +=+，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【解答】解：设3()3log x f x x =+，易知()f x 在(0,)+∞上单调递增，2333log 3log a b a b +=+，∴22333(2)3log 23log 3log ()b b a f b b b a f a =+>+=+=，2b a ∴>，故选：B ．二、填空题（木大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a ，b 为单位向量，||||a b a b +=-，若23c a b =-，则cos ,a c <>= 213．【解答】解：根据题意，a ，b 为单位向量，||||a b a b +=-，则有22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，变形可得0a b ⋅=， 若23c a b =-，则22||(23)13c a b =-=，即||13c =，2(23)232a c a ab a a b ⋅=⋅-=-⋅=，则213cos ,||||13a c a c a c ⋅<>===， 故答案为：213． 14．（5分）记n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，若123n n S n T n +=+，则79a b = 1437． 【解答】解：n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，123n n S n T n +=+， ∴不妨设(1)n S n n =+，(23)n T n n =+，2n ∴时，776786714a S S =-=⨯-⨯=；99892181937b T T =-=⨯-⨯=，则791437a b =． 故答案为：1437． 15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为83．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥C ABD -，放入长方体中，如图所示：结合图中数据，计算该三棱锥的体积为： 118422323C ABD V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭三棱锥．故答案为：83．16．（5分）已知椭圆E 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为21，2，若A ，B ，C 为椭圆上三个不同的点，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积为36． 【解答】解：21221a c a c c a⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪=⎩⎪⎩1b =， ∴椭圆为2212x y +=，当直线AB 的斜率不存在时，设直线:AB x t =，不妨令2(1)2t A t -，2(,1)2t B t --，由0OA OB OC ++=，得2c x t =-，0c y =，故(2,0)C t -， 将(2,0)t -代入椭圆方程，可得212t =，2||t =所以2136213||22ABCt S t ∆=⨯-=； 当直线AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+，代入2222x y +=， 得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122412kmx x k +=-+，21222(1)12m x x k -=+，设3(C x ，3)y ，由0OA OB OC ++=，得31224()12kmx x x k =-+=+，3121222()[()2]12my y y k x x m k =-+=-++=-+，代入2222x y +=，得22124k m +=，12|||AB x x =-，O 到直线AB的距离d =，所以11|||||22OABS d AB m m ∆=⨯⨯===，∴3ABC OAB S S ∆∆==三、解答题（具70分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ．C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22sin()(sin sin )sin sin A C B C A C +-=-． （1）求A ； （2）求cb的取值范围． 【解答】解：（1）22sin()(sin sin )sin sin A C B C A C +-=-． 整理得：22sin (sin sin )sin sin B B C A C -=-． 利用正弦定理222b bc a c -=-，整理得：2221cos 22b c a A bc +-==，由于0A π<<， 所以3A π=．（2）在锐角ABC ∆中，由于3A π=，所以23B C π+=， 所以2B π<，232C B ππ=-<， 故62B ππ<<，故21sin()sin sin 1322sin sin sin 2B B Bc Cb BB B π-+====，由于62B ππ<<，所以tan B >，112 22<+<，所以1(,2)2cb∈．18．（12分）2020年1月26日4点，篮球巨星湖人队名宿科比⋅布莱恩特在加州坠机身亡，享年41岁．对于很多篮球迷来说是巨大的悲痛，也是对这个世界最大的损失，但是科比留给我们的是他对比赛的积极备战的态度，毫无保留的比赛投入，夺冠时的疯狂庆祝；永不言弃的精神是科比的人生信条，他的这种精神被称为“曼巴精神”，热情、执着、严厉、回击和无惧就是“曼巴精神”的内涵所在．现如今这种精神一直鼓舞着无数的运动员和球迷们．这种精神也是高三的所有学子在学习疲惫或者迷茫时的支柱．在美国NBA篮球比赛中，季后赛和总决赛采用的赛制是“7场4胜制”，即先赢4场比赛的球队获胜，此时比赛结束．比赛时两支球队有主客场之分，顺序是按照常规赛的战绩排名的，胜率最高的球队先开始主场比赛，且主客场安排依次是“主主客客主客主”，且每场比赛结果相互独立．在2019~2020NBA赛季总决赛中，詹姆斯和戴维斯带领的洛杉矶湖人队以4:2战胜迈阿密热火队，获得队史第17个NBA总冠军，詹姆斯也荣获职业生涯的第4个FMVP．如果在总决赛开打之前，根据大数据和NBA专家的预测，以常规赛战绩排名，湖人队先开始主场比赛，且湖人队在主场赢球概率为34，客场赢球概率为12（说明：篮球比赛中没有平局，只有赢或者输），根据上述预测：（1）分别求出只进行4场比赛和湖人队4:1获胜的概率；（2）如果湖人队已经取得2:0的开局，求最终夺冠的概率．【解答】解：（1）由题意知，湖人队4:0获胜或者0:4失败，则()4331111115 4422442232P=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=进行场比赛，()4:13111333113922 442244422432P=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=湖人获胜．（2）湖人队最后夺冠的情况有4:0，4:1，4:2，4:3，4:0夺冠的概率：1111 224P=⨯=，4:1夺冠的概率：211332 2248P=⨯⨯⨯=，4:2夺冠的概率：311111131522242224232P=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，4:3夺冠的概率：4111131131393224242242464P=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，所以湖人队最终夺冠的概率为12345964P P P P +++=． 19．（12分）如图甲为直角三角形ABC ，2B π=，4AB =，43BC =，且BD 为斜边AC 上的高，将三角形ABD 沿BD 折起，得到图乙的四面体A BCD -，E ，F 分别在DC 与BC 上，且满足||||1||||2DE BF EC FC ==，H ，G 分别为AB 与AD 的中点．（1）证明：直线EG 与FH 相交，且交点在直线AC 上；（2）当四面体A BCD -的体积最大时，求平面ABC 与平面EFHG 所成角的余弦值． 【解答】（1）证明：由题意知：2//3EF BD ，1//2GH BD ，//EF GH ∴，但EF GH >，所以直线EG 与FH 相交， 设交点为P ，因为FH ⊂平面ABC ，P FH ∈，P ∴∈平面ABC ，同理P ∈平面ADC ，又因为平面ABC ⋂平面ADC AC =， 所以P AC ∈．（2）解：由题意知，2AD =，23BD =6CD =， 当四面体A BCD -的体积最大时，AD ⊥平面BCD ，又BD CD ⊥，则以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则(0A ，0，2)，(23,0,0)B ，(0C ，6，0)，(0D ，0，0)，(0E ，2，0)，43(F ，(0G ，0，1)，(0,6,2)AC =-，(23,6,0)BC =-，43(FE =，(0,2,1)GE =-， 设(,,)n x y z =为平面ABC 的一个法向量，则620 02360y zAC nx yBC n⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩，取(3,1,3)n=，同理可得平面EFHG的一个法向量为(0,1,2)m=，则765cos,||||m nm nm n⋅〈〉==，所以平面ABC与平面EFHG所成角的余弦值为765．20．（12分）设点P为直线3y x=-上的动点，过点P作抛物线22x y=的两条切线，切点为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求点P的坐标和圆的方程．【解答】（1）证明：(,3)P m m-，1(A x，1)y，2(B x，2)y，因为212y x=，所以y x'=，所以1113APy mk xx m-+==-，化简得1130mx y m--+=，同理2230mx y m--+=，故直线AB的方程为30mx y m--+=，即(1)3y m x=-+，所以过定点(1,3)．（2）解：由（1）得直线AB的方程为(1)3y m x=-+，联立2(1)312y m xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，可得22260x mx m-+-=，所以1226x x m=-，2212121()(3)4y y x x m==-，因为若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，所以0OA OB ⋅=，即2121226(3)0x x y y m m +=-+-=， 解得1m =或3m =，当1m =时，AB 的中点坐标为(1,3)M ，所以||r OM ==22(1)(3)10x y -+-=，(1,2)P -； 当3m =时，AB 的中点坐标为(3,9)M ，所以||r OM ==则圆的方程为22(3)(9)90x y -+-=，(3,0)P ． 21．（12分）已知函数()f x ax lnx b =-+． （1）若0a b +=，且()0f x ，求a 的值； （2）证明：2*23(1)()2(1)n ln ln ln n n N n ++++>∈+．【解答】（1）解：由题意知()f x ax lnx a =--，11()(0)ax f x a x x x-'=-=>， 当0a 时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上递减，又f （1）0=，所以不符合题意； 当0a >时，令1()0f x x a '>⇒>，所以()f x 在1(0,)a 上递减，1(,)a+∞上递增，所以1()()1f x f a lna a=-+，令g （a ）1a lna =-+，则11()1(0)a g a a a a-'=-+=>， 当(0,1)a ∈时，g '（a ）0>，所以g （a ）递增； 当(1,)a ∈+∞时，g '（a ）0<，所以g （a ）递减， 所以g （a ）g （1）0=，而10a lna -+， 所以1a =．（2）证明：方法一：由（1）知，当1a =时，()10f x x lnx =--， 所以1x lnx -， 令21(1)x n =+，则221112(1)(1)(1)ln ln n n n ->=-+++， 所以211112(1)111()(1)(1)1ln n n n n n n +>->-=--+++， 所以1221(1)2ln >--，11231()23ln >--，⋯，112(1)1()1ln n n n +>--+，累加得212[23(1)](1)111n n ln ln ln n n n n n n ++++>--=-=+++，所以223(1)2(1)n ln ln ln n n ++++>+，*n N ∈． 方法二：由（1）知，当1a =时，()10f x x lnx =--， 所以1x lnx -， 令11x n =+，则111(1)11ln ln n n n ->=-+++，即1(1)111n ln n n n +>-=++， 所以122ln >，233ln >，⋯，(1)1nln n n +>+， 累加得(1)121212223(1)231111112n n n n n n ln ln ln n n n n n n n ++++++++>++++++===++++++，又21022(1)21n n n n n -=⋅>++，所以222(1)n n n >+， 所以223(1)2(1)n ln ln ln n n ++++>+，*n N ∈． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），曲线1C 经过伸缩变换:2x xy y ϕ'=⎧⎨'=⎩，得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若A ，B 为曲线2C 上的两点，且满足OA OB ⊥，证明：2211||||OA OB +为定值，并求出此定值．【解答】（1）解：由已知得cos (22sin x x y y ααα'==⎧⎨'==⎩为参数），从而2C 的普通方程为2214y x +=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线2C 的极坐标方程为2222sin cos 14ρθρθ+=，即22244cos sin ρθθ=+． （2）证明：设(AA ρ，)θ，(,)2B B πρθ±，则22214cos sin 4A θθρ+=，222224cos ()sin ()14sin cos 2244B ππθθθθρ±+±+==，则22222211115cos 5sin 5||||44A B OA OB θθρρ++=+==， ∴2211||||OA OB +为定值，此定值为54． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1||1|f x x x =++-．（1）求()f x 的最小值，并在图中画出()f x 的图象； （2）若()||f x a x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）函数()2|1||1|f x x x =++-，则()f x 的图象如图， 所以()f x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增， 所以当1x =-时，()f x 取到最小值为(1)2f -=． （2）由图可知，当0a 显然成立；当0a >时，由函数()||g x a x =的对称性，只需(1)(1)g f --即可，所以02a <， 综上可得(a ∈-∞，2]．。

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}3,4{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A.B.1y x =-2ln y x=C. D.32y x =e xy x =3.已知等差数列满足，则（）{}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为A ()2:20C y px p =>A A x 4，则（ ）p =A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“()23f x -[]2,3()f x (),21x A f -B ”是“”的（ ）x A ∈x B ∈A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x 是奇函数，则的最小值为（）()h x ()f x A. B.C.D.e2e7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）51x ⎫+⎪⎭A. B. C. D.253513238.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径221:220C x y x y +--=x y M N 2C为，且与圆相外切，则的最大值为（）1C22C M C N ⋅A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）X ,m n X 20242025Pm nA. B.服从两点分布1m n +=X C.D.()20242025E X <<()D X mn=10.已知函数，下列说法正确的是（ ）()()214log 21f x ax ax =-+A.的定义域为，当且仅当()f x R 01a <<B.的值域为，当且仅当()f x R 1a C.的最大值为2，当且仅当()f x 1516a =D.有极值，当且仅当()f x 1a <11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足R ()f x ()g x ()f x '()g x '，且为奇函数，则下列说法正确的是（）()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +A.B.的图象关于直线对称()00f =()g x 2x =C.的一个周期是4 D.()f x 20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.()0,0(0x y a a =>1)a ≠13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩ 123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==则的最大值为__________.()()()112233x f x x f x x f x ++四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形n n n a 中实心区域的面积为.nb （1）写出数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）设，证明.121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，111A B C ABC -111A B C ABC 为线段的中点，为线段上的点.111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC HBC （1）若点为线段的中点，求证：平面；H BC 1A B ∥1C GH （2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角1C GH 111A B C ABC -2:5的正弦值.11C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m -=M 的焦距为.()2,2,N （1）分别求和的方程；M N （2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D ，，判断l M ,A B N C ABCD=直线与圆的位置关系.l 222:O x y a +=18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠22⨯0.01α=产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；P （ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人P 注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.3sin33sin 4sinθθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<（i ）求的取值范围；a （ii ）若，证明：.1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义1y x =-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，的定义域为，该函数在定()0,∞+32y x==[)0,∞+义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定()1,x ∞∈-+0y '>xe y x ∴=(),1∞--()1,∞-+义域内不单调，故选C.3.，故选B.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= 4.设点，则整理得，解得或，故选C.()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =5.的定义域为.当时，的定义域为，()23f x - []2,323x ()1233,x f x -∴ []1,3即.令，解得的定义域为，即.[]1,3A =1213x- ()12,21x x f ∴- []1,2[]1,2B =“”是“”的必要不充分条件，故选B.,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x x f x -=+，当且仅当，即时，等号成立，()3e2e xxf x -=+3e 2e x x -=12ln 23x =C.min ()f x ∴=7.设的二项展开式的通项公式为，51x ⎫+⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有3,4,50,2,4k =1,3,5k =理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.223326C C 2C 5+=8.由题，，即圆心为，且，为的221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C()()2,0,0,2M N MN 1C 直径.与相外切，由中线关系，有1C 2C 12C C ∴==，当且()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.22C M C N=22C M C N⋅二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 对于D 选项，令，则服从两点分布，，2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn=-=，正确，故选ACD.()()()2024D X D Y D Y mn∴=+==10.令，对于A 选项，的定义域为或()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R ，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩ ()f x ()g x ⇔R ，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩ ()f x ()2g x ⇔为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔且，故D 选项错误，故选BC.()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得()1g x +()10g =()()11g x f x --=，故A 错误；对于B 选项，由可得()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'为常数，又由，可得，则()()3,f x g x C C=++()()11g x f x --=()()11g x f x --=，令，得，所以，所以()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +所以，所以，所以()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=是一个周期为4的周期函数，，()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以()f x ()1g x +，又，又是周期为4的周期函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x ，故D 正确，故选BCD.20251()(1)0k g k g ===∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案e14433e 6-【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln xy a a x =⋅(),tt a ln t ta a t a ⋅=切点纵坐标为.1log e,ln a t a ==∴elog e t a a a==13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其22A 13C 余元素共有种排法，故共有种不同的方案.44A 214234A C A 144⋅⋅=14.设，由的函数图象知，，又，()()()123f x f x f x t===()f x 23t < 1232,ln x x x t +=-=.令()()()3112233e ,2e t tx x f x x f x x f x t t =∴++=-+在上单调递增，则()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴ (]2,3，的最大值为.()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；{}n a 11133n n n a --=⨯=数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.{}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因为，2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，所以.413n n c a <43n n na c a < 16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，1A C 11A C C G O⋂=1,HO A G三棱台，则，又，111A B C ABC -11A C ∥AC 122CG AC ==四边形为平行四边形，∴11A C CG 则.1CO OA =点是的中点，H BC .1BA ∴∥OH 又平面平面，OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 平面.1A B ∴∥1C HG （2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，1C GH 111A B C ABC -2:5所以，11127C GHC AB V V B C ABC-=-即，()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅++⋅ 化简得，12GHC ABC S S =此时点与点重合.H B ，1190C CA BCC ∠∠== 且都在平面，则平面，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC 又为等腰直角三角形，则.ABC BG AC ⊥又由（1）知，则平面，1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC 建立如图2所示的坐标系,G xyz -则，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --设平面的法向量，1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 则令，解得，220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 设平面的法向量，1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 则令，解得.20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 设二面角的平面角为，11C GH B --θ，cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== 所以，sin θ==所以二面角.11C GH B --17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为N =解得，即双曲线.21m =22:12y N x -=因为双曲线与双曲线的离心率相同，M N 不妨设双曲线的方程为，M 222y x λ-=因为双曲线经过点，所以，解得，M ()2,242λ-=2λ=则双曲线的方程为.M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为l l ，()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+联立消去并整理得22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=此时可得，()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <当时，由韦达定理得；2λ=212122224,22kt t x x x x k k --+==--当时，由韦达定理得，1λ=234342222,22kt t x x x x k k --+==--则，ABCD====化简可得，222t k +=由（1）可知圆，22:2O x y +=则圆心到直线的距离，Ol d ====所以直线与圆相切或相交.l O 18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；[)0,200.00252020010⨯⨯=在）内有（只）；[20,400.006252020025⨯⨯=在）内有（只）；[40,600.008752020035⨯⨯=在）内有（只）；[60,800.025********⨯⨯=在内有（只）[]80,1000.00752020030⨯⨯=由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），10253570++=所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.0H 根据列联表中数据，得.220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.0.01α=（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”A =B =，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.C =记事件发生的概率分别为，则，,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====.()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.0.9P =（ii ）由题意，知随机变量，()100,0.9X B ~所以.()1000.990E X np ==⨯=又，设时，最大，()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩解得，因为是整数，所以.089.990.9k 0k 090k =19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--.()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，()233f x x a =-'当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；0a ()0f x ' ()f x (),∞∞-+当时，令，得；令，得0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<令，得()0f x '>x <x>所以在上单调递减，在上单调递增.()f x ((),,∞∞-+有三个零点，则即解得，()fx (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<当时，，04a <<4a +>且，()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a+=+-++=++++>所以在上有唯一一个零点，()fx )4a +同理()2220,g a -<-=-=-<所以在上有唯一一个零点.()f x (-又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，()f x (()f x 综上可知的取值范围为.a ()0,4（ii ）证明：设，()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---则.()212301f a x x x ==-=又，所以.04a <<1a =此时，()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>方程的三个根均在内，3310x x -+=()2,2-方程变形为，3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令，则由三倍角公式.ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=因为，所以.3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。

2022学年高考数学模拟测试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦2．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．23．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．84．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件50y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B 1CD 16．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．07．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A ．32B ．12C ．34D ．748．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．9．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．710．函数52sin ()([,0)(0,])33x xx xf x x -+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．11．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．212．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A．2B．2-C ．12D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

贵阳一中2013年理科实验班招生考试数学本试卷满分100分;考试时间120分钟一．选择题共9小题;每小题4分1．计算：=BA．B．C．D．2．如图;在梯形ABCD中;一直线分别交BA、DC的延长线于E、J;分别交AD、BD、BC于F、G、H、I;已知EF=FG=GH=HI=IJ;则等于A．B．C．D．3．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览;要求每个城市有一人游览;每人只游览一个城市;且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览;则不同的选择方案共有A．300种B．240种C．144种D．96种4．方程组的正整数解的组数是A．1B．2C．3D．45．函数y=a|x|a＞1的图象是A．B．C．D．6．①在实数范围内;一元二次方程ax2+bx+c=0的根为；②在△ABC中;若AC2+BC2＞AB2;则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△AB1C1中;a、b、c分别为△ABC的三边;a1、b1、c1分别为△AB1C1的三边;若a＞a1;b＞b1;c＞c1;则△ABC的面积大S于△AB1C1的面积S1．以上三个命题中;真命题的个数是A．0B．1C．2D．37．设AB是⊙O的一条弦;CD是⊙O的直径;且与弦AB相交;记M=|S△CAB﹣S△DAB|;N=2S△OAB;则A．M＞N B．M=NC．M＜N D．M、N的大小关系不确定8．若点Psinα﹣cosα;tanα在第一象限;则在0;2π内α的取值范围是B．C．D．A．*9．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点;若四边形AF1BF2为矩形;则C2的离心率是A．B．C．D．二．填空题共6小题;每小题5分10．设x为正实数;则函数y=x2﹣x+的最小值是_________．11．如图;已知△ABC;∠B的平分线交边AC于P;∠A的平分线交边BC于Q;如果过点P、Q、C的圆也过△ABC的内心R;且PQ=1;则PR的长等于_________．12．反比例函数的图象在第二、四象限;则n的取值范围为_________;A2;y1;B3;y2为图象上两点;则y1 _________y2用“＜”或“＞”填空．13．把x2﹣x+16展开后得a12x12+a11x11+…a2x2+a1x1+a0;则a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=_________．14．小明和小刚在长90米的游泳池的对边上同时开始游泳;小明每秒游3米;小刚每秒游2米;他们来回游了12分钟;若不计转向的时间;则他们交汇的次数是_________．15．将边长为1m正三角形薄片;沿一条平行于底边的直线剪成两块;其中一块是梯形;记;则S的最小值是_________．三．解答题共3小题;16题10分;17、18题;每题12分16．给定整数n≥3;证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S;使得对S的任意两个不同的非空子集A;B;数与是互素的合数．这里与|X|分别表示有限数集X的所有元素之和及元素个数．17．如图;CD为△ABC外接圆的切线;AB的延长线交直线CD于点D;E、F分别为弦AB与弦AC上的点;且BC AE=DC AF;B、E、F、C四点共圆．1证明：CA是△ABC外接圆的直径；2若DB=BE=EA;求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．18．如图;EFGH是正方形ABCD的内接四边形;两条对角线EG和FH相交于点O;且它们所夹的锐角为θ;∠BEG与∠CFH都是锐角;已知EG=k;FH=l;四边形EFGH的面积为S;1求证：；2试用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．。

贵阳一中2018届月考(一)理科数学试卷及解析三个项目都有人参加的概率为（ ） A. 89 B. 49C.29D. 8276.若方程2(1)10xk x --+=有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ） A.7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.已知,αβ都是锐角，且sin cos cos (1sin )αβαβ=+，则（ ） A. 32παβ-= B. 22παβ-=C.32παβ+=D.22παβ+=8.如图1.由曲线21y x =-，直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A. 220(1)x dx -⎰B. 220(1)x dx-⎰C. 2201x dx-⎰D. 122211(1)(1)x dx x dx--+-⎰⎰9.设直线2a x =与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>交于,A B 两点，若OAB∆是直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.2B.3C.1210.已知数列{}na 满足：111,21(2)nn a aa n -==+≥，为求使不等式123n a a a a k++++<的最大正整数n ，某人编写了如图2所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出框输出的表达式分别为（ ）A. ,S k i <B. ,1S k i <-C. ,S k i ≥D. ,1S k i ≥- 11.为得到函数22()2sin cos cos )f x x x x x =++的图象，可以把函数()2cos(2)3g x x π=-的图象（ ）A. 向左平移4π个单位 B. 向左平移2π个单位C. 向右平移4π个单位 D. 向右平移2π个单位12.图3是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的 棱的长度为（ ） A.D. 二、填空题 13.61(12)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式的常数项是（用数字作答）. 14.已知变量,x y 满足条件,230,29,x y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤-⎩则23x y -的最小值等于 .15.如图4，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，2AD DB = ，若CD CA ⊥ ，2CD =，则CD CB ⋅= .16.已知,,a b c 分别为锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin )()sin b A sinB c b C+-=-，则ABC ∆周长的取值范围为 . 三、解答题17.已知数列{}n a 满足：1111,(2)21n n n a a a n a --==≥+.（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}n n a a +的前n项和为n T ，求证：12n T <.18.为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图5是统计结果的频率分布直方图.（Ⅰ）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？ （Ⅱ）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X ，求X 的分布列和期望.19.如图6，在三棱锥K ABC -中，,,D E F 分别是,,KA KB KC 的中点，平面KBC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥， KBC ∆是边长为2的正三角形，3AC =. （Ⅰ）求证：BF ⊥平面KAC ； （Ⅱ）求二面角F BD E --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，12,F F 是椭圆的左、右焦点， P 是椭圆上的一点，12PF PF ⋅的最小值为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,M N两点，圆E 是以1F 为圆心椭圆C 的长轴长为半径的圆，过2F 且与l 垂直的直线与圆E 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.设2()(ln 1)(2),f x x x a x x a R =-+-∈.（Ⅰ）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间； （Ⅱ）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l的极坐标方程为：2sin()33πρθ+=，曲线C 的参数方程为：3cos ,23sin ,x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），其中[0,2)απ∈.（Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若A 、B 为曲线C 与直线l 的两个交点，求AB .23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 设()231f x x x =-++.（Ⅰ）求不等式()4f x x <+的解集；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax =+有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 1． 函数y =(1][3+)A =-∞-∞，，，不等式202x x +-≤的解集为[22)B =-，，所以[21]AB =--，，故选A.2．复数32(1i)(1i)+-1i =--，对应点为(11)--，，位于第三象限，故选C.3．由单调性及定义域得12x x --<≤，解得13x <≤，故选C.4．双曲线焦点在x 轴上，22213122a b c ==⇒=，，右焦点为0⎫⎪⎪⎝⎭，故选C.5．23434C A 3643819P ===，故选B.6．问题等价于方程11x k x+=-在(2)+∞，有解，而函数1y x x=+在(2)+∞，上递增，值域为52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以k的取值范围是72⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+，故选C.7．πsin cos cos (1sin )sin()cos sin 2αβαβαβαα⎛⎫=+⇒-==- ⎪⎝⎭，即2αβπ-=2，故选B.8．阴影部分面积为122201[(1)]d (1)d x x x x⎰--+⎰-，而222101|1|112x x x x x ⎧--=⎨-<⎩，，，，≤≤≤ 故选C.9．2a x =代入椭圆方程得y =，2223()2a c a c a a =⇒-=⇒=，故选C.10．判断的条件为S k <；输出的结果为1i -，故选B.11．ππ()2sin 22sin 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π()2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 212x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．12．几何体ABCD 为图1中粗线所表示图1的图形，最长棱是AC ，AC =C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6216C r rr Tx-+=，6203621r r r -=⇒=-=-；无解，所以展开式的常数项为36C20=.15．由已知3122CB CD CA=-，CD CA =，231622CD CB CDCD CA =-=.16．由已知()()()a b a b c b c+-=-，即2221cos 2b c a bc A +-=⇒=得60A =︒，由正弦定理，三角形的周长为π24sin 26B C B ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，ππ62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，πsin 16B ⎤⎛⎫+∈⎥⎪⎝⎭⎦⎝，周长的取值范围为(26]+.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：111112111(2)2(2)21n n n n n n n a a a n n a a a a -----+=⇒==++≥≥，所以1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩是以2为公差的等差数列，11111a a =⇒=，所以121nn a =-，所以数列{}n a 的通项公式为121n a n =-.………………………………（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭， 11112212n T n ⎛⎫=-<⎪+⎝⎭.…………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导，则(70)0.02(9070)0.0050.2x -⨯+-⨯=，得65x =（分钟），所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导. …（6分）（Ⅱ）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2，~(40.2)X B ，， 44()C 0.20.8(01234)k k kP X k k -===，，，，，0.8EX =. ……………………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，建立空间直角坐标系，则(10K ，， 3302BF CK ⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭，，，(10(030)CA =-，，，，0BF CK =，BF CK ⊥得BF CK ⊥，BF CA =，BF CA ⊥得BF CA ⊥，CA ，CK 是平面KAC 内的两条相交直线， 所以BF ⊥平面KAC.……………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：平面BDF 的一个法向量(10m =，， 平面BDE （即平面ABK ）的一个法向量为(32n =-，，3cos 4m n 〈〉=，，所以二面角F BD E--的余弦值为34.………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）已知12c a =，12PF PF ⋅的最小值为222bc -=，又222ab c =+,解得2243a b ==，，所以椭圆方程为22143x y +=． ………………………（6分）（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为1122(1)(0)()()y k x k M x y N x y =-≠，，，,.由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=．则221212228412+4343k k x x x x k k -==++，.所以212212(1)|||43k MN x x k +=-=+．过点2(1)F ，0且与l 垂直的直线1(1)m y x k=--：，1F 到m所以||PQ =故四边形MPNQ的面积1||||2S MN PQ ==可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，．当l 与x 轴垂直时，其方程为1||3||8x MN PQ ===，，，四边形MPNQ 的面积为12．综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()ln 22f x x ax a '=-+， 可得()ln 22(0)g x x ax a x =-+∈+∞，，， 则112()2axg x a x x-'=-=，当0a ≤时，(0)x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当a >时，102x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，12x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(0)+∞，， 当a >时，函数()g x 的单调递增区间为102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为12a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(1)0f '=. ①当a ≤0时，()f x '单调递增，所以当(01)x ∈，时，()0()f x f x '<，单调递减， 当(1+)x ∈∞，时，()0()f x f x '>，单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a>，由（Ⅰ）知()f x '在102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，可得当(01)x ∈，时，()0f x '<，112x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>， 所以()f x 在(0，1)内单调递减，在112a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1)+∞，内单调递减，所以当(0)x ∈+∞，时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意.④当12a >时，即1012a<<， 当112x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. ………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵π2sin 33ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 3ρθθ+=，直线l30y +-=．曲线C ：3cos 23sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩ (α为参数)，消去参数可得曲线C 的普通方程为：22(()29x y -+=．………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22(()29x y +-+=的圆心为D (2)，半径为3．设AB 中点为M ，连接DM ，DA ， 圆心到直线l 的距离|323|22d -+-==，所以2DM =，又因为3DA =，所以MA =，所以||AB =．………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）． …………………………（5分）（Ⅱ）利用图象可得533a -<<-.…………………………………………（10分）。

贵州省贵阳第一中学2020届高三适应性月考卷（一）数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|760,M x x x x =-+<∈Z ，(1,5)N =，则M N =（ ）A. (1,5)B. {2,3,4}C. (1,6)D. {}5『答案』B『解析』由()()276610x x x x -+=--<解得16x <<，由于x ∈Z ，所以{}2,3,4,5M =，所以{}2,3,4M N =.故选：B.2.在复平面内，复数z 满足(1)|1|z i +=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. 1 B. i -C. iD.1-『答案』A『解析』由(1)|1|2z i +=+=得()()()()2121211112i i z i i i i ⋅-⋅-====-++-，所以1z i =+，虚部为1. 故选：A.3.已知命题p ：“2,10x R x ∀∈+”的否定是“2,10x R x ∀∈+<”；命题q ：函数22()x f x x =-有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. p q ∨C. q ⌝D. ()p q ∧⌝『答案』B『解析』对于命题p ，“2,10x R x ∀∈+”的否定是“2,10∃∈+<x R x ”，所以p 为假命题.对于命题q ，令()0f x =得22x x =，画出2,2xy x y ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，所以()f x 有三个零点，即q 为真命题. 所以p q ∨为真命题.B 选项正确，其它选项均为假命题.4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上为减函数的是（ ） A. cos()y x =- B. sin y x x =+C. 2yx D. sin()y x =-『答案』D『解析』对于AC 选项()cos cos y x x =-=为偶函数，2y x 也是偶函数，所以AC 两个选项不符合题意.对于B 选项，'1cos 0y x =+≥，所以函数在(0,1)上递增，不符合题意.对于D 选项，'cos y x =-在区间(0,1)上满足'cos 0y x =-<，所以函数在区间(0,1)上为减函数符合题意. 故选：D5.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则3m n =的概率为（ ） A.118B.112C.19D.16『答案』A『解析』将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为6636⨯=种，满足第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，且3m n =的有：()()3,1,6,2共两种，所以概率为213618=.6.若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为8，则其渐近线方程为（ ）A. 18y x =±B. 12y x =±C. 14y x =±D. 4y x =±『答案』C『解析』依题意28a =，4a =，所以双曲线方程为22116x y -=，则其渐近线方程为14y x =±.故选：C7.某四棱锥的三视图如图所示，则侧面四个三角形中，最小三角形面积为（ ）A. 2B.C.D. 1『答案』B『解析』由三视图可知该几何体是四棱锥A DCBE -是正方体的一部分， 正方体的棱长为2，E 为所在棱中点，如图，则最小三角形面积是ABE ∆,∴112222ABES.故选B .8.将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴为（ ） A. x π= B. 8x π=C. 6x π=D. 2x π=『答案』D『解析』将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位得到11sin sin 26624y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .由1242x k πππ+=+解得()22x k k Z ππ=+∈，令0k =，求得函数的一条对称轴为2x π=.故选：D9.若向量,a b 满足||||3a b ==，a 与b 的夹角为60°，则a 在向量b a -上的投影等于（ ）A.B.C.D.『答案』C『解析』a 在向量b a -上的投影为()a b ab a⋅--，()(22333cos603322a b a a b a ⋅-=⋅-=⨯-=-=-.()222232b a b aa ab b -=-=-⋅+=-==所以()3223a b a b a-⋅-==--.故选：C10.已知5(2)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. 99- B. 97 C. 96D. 98-『答案』C『解析』解法1：因为()52345(2)(1)(2)1510105ax x ax x x x x x ++=++++++，所以2x 的系数为205a +，所以20525a +=，解得1a =， 所以5260126(2)(1)x x a a x a x a x ++=++++，令1x =，得01696a a a +++=.解法2：由乘法分配律知5(2)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为21552205C aC a ⋅+=+所以20525a +=，解得1a =，所以5260126(2)(1)x x a a x a x a x ++=+++⋯+ 令1x =，得01696a a a +++=.故选：C11.若不等式1ln x m m e x +-≤+（e 为自然对数的底数）对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 22,2e e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭ B. 2221,22e e e ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭C. 2221,22e e e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D. [1,)+∞ 『答案』A『解析』解法1：设211()ln ,,1f x x x x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则22111()0x f x x x x -'=-=<，所以()f x 在21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()1,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦，所以21ln 1,2x m m e m x ⎡⎤+-∈---⎣⎦，为使不等式1ln x m m e x +-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，则max1ln x m m e x +-≤+ 而{}2max1ln max |1|,2x m m e m x +-=---， 所以21|2|m m e e m m e -≤+⎧⎨--≤+⎩，解得21222e m e e m -⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩ 所以22,2e e m ⎡⎫--∈+∞⎪⎢⎣⎭，故选A. 解法2：设211()ln ,,1f x x x x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则22111()0x f x x x x -'=-=< 所以()f x 在21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()1,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦ 为使不等式1ln x m m e x +-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立 即()m e m f x m e --≤-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立 所以()2f x e m -≥对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，即2max ()222f x e e e m ---≥=所以22,2e e m ⎡⎫--∈+∞⎪⎢⎣⎭，故选A. 解法3：设211()ln ,,1f x x x x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则22111()0x f x x x x -'=-=< 所以()f x 在21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()1,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦ 为使不等式1ln x m m e x +-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立 即不等式||m t m e -≤+对21,2t e ⎡⎤∈-⎣⎦成立当1m 时，t m m e -≤+对21,2t e ⎡⎤∈-⎣⎦成立，即2max222t e e e m ---⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，不符 当22m e ≥-时，m t m e -≤+对21,2t e ⎡⎤∈-⎣⎦成立，显然恒成立当212m e <<-时，2,1(),2m t t mg t t m t m m t e -≤<⎧=-=⎨-<≤-⎩只需{}2max 1,2m e m e --≤+，即212m m e e m m e-≤+⎧⎨--≤+⎩ 所以22,2e e m ⎡⎫--∈+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A .12.已知函数2()1f x x a =-++（1,x e e e≤≤是自然对数的底数）与()2ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 20,3e ⎡⎤-⎣⎦B. 21,3e ⎡⎤-⎣⎦C. 21,2e ⎡⎤-⎣⎦D. 2,2e e ⎡⎤-⎣⎦『答案』A『解析』根据题意，若函数2()1f x x a =-++（1,x e e e≤≤是自然对数的底数）与()2ln g x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则方程212ln x a x -++=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解.212ln x a x -++=-，即212ln a x x +=-∴方程212ln a x x +=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设函数2()2ln h x x x =-（1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）其导数()2212()2x h x x x x-'=-=，又1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴()0h x '=在1x =有唯一的极值点易知：当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '≤，()h x 为减函数，当[1,e]x ∈时，()0h x '≥，()h x 为增函数∴函数2()2ln h x x x =-有最小值(1)1h =.又22112,()2h h e e e e ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较得(1)h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭∴函数2()2ln h x x x =-有最大值2()2h e e =-∴函数2()2ln h x x x =-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，若方程212ln a x x +=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，必有2112a e ≤+≤-，即203a e ≤≤-，∴实数a 的取值范围是20,3e ⎡⎤-⎣⎦.故选：A二、填空题13.设a ∈R ，函数()x x a f x e e=+的导数是()f x '，且()f x '是偶函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是52，则切点的横坐标为________. 『答案』0ln 2x =或0ln 2x =-. 『解析』∵()xxa f x e e'=-且()f x '是偶函数，∴1a =- .设切点为()00,x y ，则()000152x x f x e e '=+= 解得0ln 2x =或0ln 2x =-. 故答案为：0ln 2x =或0ln 2x =-14.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =________..『答案』83.『解析』设Q 到抛物线准线的垂线段为MQ ，则MQ QF =.抛物线焦点到准线的距离为4，如图，由抛物线定义及3FP FQ =得||243MQ =，83MQ =.∴8||||3QF MQ ==.故答案为：83三、解答题15.已知函数22()cos 212sin ,()3f x x x x R π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =，,,b a c 成等差列，且9AB AC ⋅=，求边a 的值.解：（1）1()2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈.∴()f x 的单调增区间为,,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）由1()2f A =，得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵22666A πππ<+<π+，∴5266A ππ+=，∴3A π=.由b ，a ，c 成等差数列得2a b c =+，∵9AB AC ⋅=，∴cos 9bc A =，∴18=bc ，由余弦定理得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，∴22454a a =-，∴a =.16.某大学生自主创业，经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润800元，未售出的产品，每1t 亏损200元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该大学生为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X （单位：,100150t X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于94000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100110)，的频率），求T 的均值.解：（1）由题意得，当[100,130)X ∈时，800200(130)100026000T X X X =--=-，当[130,150)x ∈时，800130104000T =⨯=， ∴100026000,[100,130)104000,[130,150]X x T X -∈⎧=⎨∈⎩.（2）由（1）知，利润T 不少于94000元，当且仅当120150X .由直方图知需求量[120,150]X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于94000元的概率的估计值为0.7.（3）依题意可得T 的分布列，所以790000.1890000.2990000.31040000.497000ET =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是ADC ∠为钝角的平行四边形，四边形AFED 为直角梯形，//,AF DE AF AD ⊥且2,4,2,2AF DE BF AB BC =====.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若点F 到平面DCE ，求直线EC 与平面BDE 所成角的正弦值.（1）证明：在ABF 中，2,AF AB BF ===AB AF ⊥ 又因为AF AD ⊥，所以AF⊥平面ABCD ，因为//AF DE所以DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥，在平行四边形ABCD 中，且2AB BC ==，所以平行四边形ABCD 为菱形 于是,AC BD BD DE D ⊥⋂=所以AC ⊥平面BDE ，而BE ⊂平面BDE ，所以AC BE ⊥.（2）解：因为AC ⊥平面BDE 且垂足为O ，所以CEO ∠为直线EC 与平面BDE 所成角. 因为//,AF DE AF ∉平面CDE ，DE ∈平面CDE ，所//AF CDE ， 所以F 到平面DCE 的距离为A 到平面DCE 的距离.,ED AD ED AB ⊥⊥ 所以ED ⊥平面,ABCD ED ∈平面ECD 所以平面ABCD ⊥平面ECD 且交线为CD过A 作AH CD ⊥，则AH ECD ⊥，所以2AH AD ==所以3ADH π∠=，所以1,32BDC OC CD π∠===在DEC中，EC ==所以sin OC OEC EC ∠==.所以直线EC 与平面BDE18.已知函数21()ln 2f x ax x =+. （1）若1a =-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(0,1]上的最大值是3-，求a 的值；（3）记()2()(1)ln 1g x f x a x =+-+，当2a ≤-时，若对任意式12,(0,)x x ∈+∞，总有()()1212g x g x k x x -≥-成立，试求k 的最大值.解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，211()x f x x x x-+'=-+=，令()0f x '=，则121,1x x ==-（舍去），当(0,1)x ∈时，()0f x '>，故()f x 在(0,1)上是增函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(1,)+∞上是减函数.（2）∵21()ln 2f x ax x =+，则211()(01)ax f x ax x x x+'=+=<≤，①当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上是增函数， 故在(0,1]上的最大值为1(1)32f a ==-，显然不合题意：②若0,1,a <⎧≥即10a -≤<时，(0,1]⎛⊆ ⎝，则()f x 在(0,1]上是增函数，故在(0,1]上的最大值为1(1)32f a ==-，不合超意，舍去；③若0,1,a <⎧<即1a <-时，则()f x在⎛ ⎝上是增函数，在⎫⎪⎭上是减函数，故在在(0,1]上的最大值为132f =-+=-，解得5a e =-，符合， 综合①②③得5a e =-.（3）()2()(1)ln 1g x f x a x =+-+，则2121()2a ax a g x ax x x+++'=+=， 当2a ≤-时，()0g x '<，故2a ≤-时，()g x 在(0,)+∞上是减函数， 不妨设120x x <≤，则()()21g x g x ≤，故()()1212g x g x k x x -≥-等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在(0,)+∞上为减函数，由2()(1)ln 1x a x ax kx ϕ=++++，得221()0ax kx a x xϕ+++'=≤，故(1)2a k ax x-+≤-+恒成立，∵(1)2a ax x-+-+≥()2(1)h a a a =+在(,2]-∞-上单调递减 ∴()(2)4h a h ≥-=，∴(1)24a ax x-+-+≥≥，∴4k ≤. 故2a ≤-时，k 的最大值为4.19.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上动点M 到点F 的最远距离和最11. （1）求椭圆的方程；（2）设, A B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，若10AC DB AD CB ⋅+⋅=，O 为坐标原点，求OCD 的面积. 解：（1）设(,0)F c -，由已知，1,1a c a c +=-=-.∴1a c ==.∴2222b a c =-=.则椭圆的方程为22132x y +=. （2）解法1：设:(1)(0)l y k x k =+≠.与椭圆联立得222(1)132x k x ++=.化简得()()2222326320kx k x k +++-=.设()()1122,,,C x y D x y ，由韦达定理，有()212221226323232k x x k k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪⋅=⎪+⎩.又()()111AC x k x =+，()()221DB x k x =-+-+. ()()()()22113,1,1AD x k x CB x k x =++=-+-+.∴()2121212262110AC DB AD CB x x kx x x x ⋅+⋅=-+-+++=.则()()22212122262210k x x k k x x -++--+=.联立得225k =. 则21612240555x x +-=即24360x x +-=.∴1212||4y y k x x -=-==. ∴121||2OCDSOF y y =-=. 解法2：设:(1)(0)l y k x k =+≠.()()1122,,,C x y D x y ，与椭圆联立得222(1)132x k x ++=.化简得()()2222326320k x k x k +++-=.其两个分别为12,x x ，∴()()()()()22222123263232k x k x k k x x x x +++-=+--.①又()()11223,,AC x y DB x y =+=--..()()22113,,AD x y CB x y =+=-+-.∵10AC DB AD CB ⋅+⋅=.化简得到12122x x y y +=-.② 在①中，令0x =，得()21223232k x x k -=+.③令1x =-，()()()21243211k x x -=+++.∴()2212432k k y y -=+，2122432k y y k -=+.④ 将③、④代入②得()222232423232k k k k --+=-++.解得225k =. 则21612240555x x +-=.即24360x x +-=.∴1212||544y y k x x-=-=⨯=∴121||28OCDSOF y y =-=. 20.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-（1）求圆C 的圆心到直线l 的距离；（2）己知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11||||PA PB +的值. 解：（1）由直线l 的参数方程为1x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，可得10x -=.圆C极坐标方程为4cos ρθ=-，即4cos ρθ=-，∴圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=，则圆心(2,0)C - ∴圆心(2,0)C -，到直线l 的距离|21|322d --==（2）已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B两点，将112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=，得250t ++= 设A ，B 对应参数为1t ，2t，则12t t +=-125t t ⋅= ∵120t t ⋅>，120t t +<，∴12,t t 是同为负号.∴()12121212121111||||t t t t PA PB t t t t t t +-++=+=== 21.已知函数()|3|3,()||()f x x g x m x m R =-+=∈. （1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围. 解：（1）由题；()|3|35f x x =-+>，所以|3|2x -> 故32x -<-或32x ->，即1x <或5x >. 所以原不等式的解集为{|15}x x x <>或. （2）解法1：分离参数由题()()f x g x ≥对任意x 均成立，故|3|3||x m x -+≥ ①当0x =时，不等式|3|3||x m x -+≥恒成立； ②当0x ≠时，|3|3||x m x -+≤对任意非零实数恒成立，而|3|3|33|1||||x x x x -+-+≥=，故1m 综上：1m 解法2：分类讨论由题|3|3||x m x -+≥恒成立；①当0x =时，不等式|3|3||x m x -+≥恒成立； ②当3x =时，1m ；③当3x >时，33x mx -+≥，故1m ；④当03x <<时，33x mx -+≥，故(1)6m x +≤，故3(1)6m +≤，即1m ； ⑤当0x <时，33x mx -+≥-，故(1)6m x -≤恒成立. 即：线性函数在0x <时恒小于6，故(1)0m -≥，解得：1m 综上：1m 解法三：由题()()f x g x ≥对任意x 均成立，故|3|3||x m x -+≥ 即为|||3|3(1)||0x x m x ---+-≤而|||3|3(1)||33(1)||(1)||x x m x m x m x ---+-≤-+-=- 转化为(1)||0101m x m m -≤⇒-≤⇒≤。

贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{2345}M=，，，，故选B．2．因为(1i)|1|z+=+，所以22(1i)1i1i(1i)(1i)z-====-+-+，z的共轭复数为1i+，故选A.3．p假q真，故选B．4．sin()y x=-是奇函数，在区间(01)，上为减函数，故选D．5．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，基本事件总数有6636⨯=种，事件“3m n=”包含的基本事件有(31)，，(62)，共2个，所以事件“3m n=”的概率为213618P==，故选A．6．双曲线的实轴长为8，得4a=，又1b=，所以双曲线的渐近线方程为14y x=±，故选C．7．由三视图知该几何体是四棱锥A BCDE-，如图1，则最小三角形面积为ABES=△B．8．将函数πsin6y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得1πsin26y x⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向左平移π6个单位，所得函数1πsin24y x⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D．9．以a b，为邻边作菱形ABCD︒=C．10．5(2)(1)ax x++的展开式中2x的系数为25，即21552C C25a+=，1a=，设523450123456(2)(1)x x a a x a x a x a x a x a x++=++++++，令1x=，得5012332a a a a=+++ 45696a a a+++=，故选C．图111．设1ln t x x =+，由211e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则2[1e 2]t ∈-，，当2e 12m -≤时，2max ||e 2t m m -=-- e m +≤，解得2e e 22m --≥；当2e 12m ->时，max ||1e t m m m -=-+≤恒成立，综上知，当2e e 22m --≥时，不等式1ln e x m m x +-+≤对211e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，成立，故选A ． 12．根据题意，若函数2()1f x x a =-++1e e e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤，是自然对数的底数与()2ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程212ln x a x -++=-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，212ln x a x -++=-，即212ln a x x +=-，即方程212ln a x x +=-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，设函数2()2ln h x x x =-，其导数222(1)()2x h x x x x -'=-=，又1e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()0h x '=在1x =有唯一的极值点，分析可得：当11ex ≤≤时，()0h x '≤，()h x 为减函数，当1e x ≤≤时，()0h x '≥，()h x 为增函数，故函数2()2ln h x x x =-有最小值(1)1h =，又由221e e1h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2(e)e 2h =-，比较得)1e (e h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故函数2()2ln h x x x =-有最大值2(e)e 2h =-，故函数2()2ln h x x x =-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域为2[1e 2]-，，若方程212ln a x x +=-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，必有211e 2a +-≤≤，则有20e 3a -≤≤，即a 的取值范围是2[0e 3]-，，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由线性约束条件画出可行域（如图2所示），由23z x y =+，过点(11)A ，时，z 最小，最小值为5.14．圆的方程为22(1)(2)16x y ++-=，故直线过圆心，22201a b a b --+=+=，，1111()=a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 2 4.b a a b++≥ 15．()e e x x f x a -'=-且()f x '是偶函数，1a =-.设切点为00()x y ，，图2则0005()e e 2x x f x -'=+=，解得0ln 2x =或0ln 2x =-. 16．如图3，由抛物线定义和3FP FQ =，得||243MQ =，8||||3FQ MQ ==. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）1()2cos 2sin 226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令222()6k x k k ππππ-+π+∈22Z ≤≤， ()f x 的单调递增区间为()6k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥3⎣⎦Z ，. ………………………………（6分） （2）由1()2f A =，得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 522266666A A A ππππππ<+<π++==3∵，∴，∴. 由b a c ，，成等差数列，得2a b c =+，9AB AC =∵，cos 9bc A =∴，18bc =∴，由余弦定理，得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，224318a a =-⨯∴，a =∴. ………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）当[100130)X ∈，时，800200(130)100026000T X X X =--=-；当[130150]X ∈，时，800130104000T =⨯=，所以100026000100130104000130150.X X T X -<⎧=⎨⎩，≤，，≤≤ ………………………………（4分） （2）由（1）知利润T 不少于94000元，当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量[120150]X ∈，的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于94000元的概率的估计值为0.7. …………（8分）（3）依题意可得T 的分布列为图3所以()790000.1890000.2990000.31040000.497000E T =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：2AF AB ==∵，BF =222AF AB BF +=∴，90FAB ∠=︒∴，即AF AB ⊥.//AF DE ∵，//AB CD ，∴DE DC ⊥.∵四边形AFED 为直角梯形，AF AD ⊥，DE AD ⊥∴，DE ⊥∴平面ABCD ，DE AC ⊥∴，①由已知得，四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥∴，②由①②，且DE BD D =，AC ⊥∴平面BDE ，AC BE ⊥∴. ………………………………………（6分） （2）解：设AC BD O =，如图4，连接OE .由（1）AC ⊥平面BDE ，OE ∴是EC 在平面BDE 内的射影， EC ∴与平面BDE 所成的角为CEO ∠.//AF DE ∵，AF ⊄平面DCE ，DE ⊂平面DCE ， //AF ∴平面DCE ，∴点F 到平面DCE 的距离等于点A 到平面DCE 的距离.在平面ABCD 内作AH CD ⊥，交CD 延长线于H ，∵平面ABCD ⊥平面DCE ，AH ⊥∴平面DCE ，AH =∴（或转化为点B 到平面DCE 的距离）图42AD =∵，60ADH ∠=︒∴，∴在菱形ABCD 中，60BDC ∠=︒，OC ==∴在Rt DEC △中，EC =sin OC OEC CE ∠===∴， EC ∴与平面BDE. ……………………………………（12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）()f x 的定义域是(0)+∞，，211()x f x x x x-+'=-+=，令()0f x '=， 则1211x x ==-，（舍去），当(01)x ∈，时，()0f x '>，故()f x 在(01)，上是增函数； 当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，故()f x 在(1)+∞，上是减函数. ……………………（4分）（2）①当0a ≥时，()f x 在(0)+∞，上是增函数，故在(01]，上的最大值是1(1)32f a ==-，显然不合题意；②若01a <⎧，， 即10a -<≤时，(01]0⎛⊆ ⎝，，则()f x 在(01]，上是增函数， 故在(01]，上的最大值是1(1)32f a ==-，不合题意，舍去；③若01a <⎧<，， 即1a <-时，()f x在0⎛ ⎝上是增函数，在1⎫⎪⎪⎭上是减函数，故在(01]，上的最大值是132f =-+=-，解得5e a =-，符合， 综合①，②，③，得5e a =-. ………………………………………………（8分）（3）2()(1)ln 1g x a x ax =+++，则2121()2a ax a g x ax x x +++'=+=， 当2a -≤时，()0g x '<，故2a -≤时，()g x 在(0)+∞，上是减函数， 不妨设210x x >≥，则21()()g x g x ≤，故1212|()()|||g x g x k x x --≥等价于1221()()()g x g x k x x --≥， 即1122()()g x kx g x kx ++≥，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在(0)+∞，上为减函数，由2()(1)ln 1x a x ax kx ϕ=++++，得221()0ax kx a x xϕ+++'=≤， 故(1)2a k ax x -+-+≤恒成立，(1)2a ax x-+-+∵≥()2(1)h a a a =+在(2]-∞-，上单调递减，(1)()(2)424a h a h ax x -+-=-+∴≥，∴≥，4k ∴≤. 故当2a -≤时，k 的最大值为4. ………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由题意知11a c a c +=-=和， 又222a b c =+，可解得b =，1c =，a = 所以椭圆的方程为22132x y +=. ………………………………………………（4分） （2）由（1）可知(10)F -，，则直线CD 的方程为(1)y k x =+， 联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y 得2222(23)6360k x k x k +++-=.设1122()()C x y D x y ，，，， 所以221212226362323k k x x x x k k -+=-=++，.又(0)0)A B ，，所以AC DB AD CB +11222211()(3)(3)(3)x y x y x y x y =+--++--，，， 1212622x x y y =--21212622(1)(1)x x k x x =--++22212126(22)2()2k x x k x x k =-+-+-2221261023k k +=+=+，解得k = 从而1234x x +=-，1232x x =-，所以12||x x -=1212|||()|y y k x x -=-=， 所以OCD △的面积为121211|||||()|22S OF y y k x x =-=-=. …………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由直线l的参数方程为1()x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，，消去参数t ，可得10x -=． 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-． ∴圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=．则圆心(20)C -，．∴圆心(20)C -，到直线l 的距离|21|322d --==. ………………………………（5分） （2）已知(10)P ，，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，将1()x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，，代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=，得2450t ++=． 设A ，B 对应参数为1t ，2t，则121254t t t t +==g ，12120t t t t >∵，，是同号．121111||||2||2||PA PB t t +=+=∴ …………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）由()5f x >，得|3|2x ->，即32x -<-或32x ->，1x <∴或5x >，故原不等式的解集为{|15}x x x <>或． …………………………………（5分）（2）由()()f x g x ≥，得|3|||3x m x --≥对任意x ∈R 恒成立， 当0x =时，不等式|3|||3x m x --≥成立， 当0x ≠时，问题等价于|3|3||x m x -+≤对任意非零实数恒成立， |3|3|33|1||||x x x x -+-+=∵≥， 1m ∴≤，即m 的取值范围是(1]-∞，． …………………………………………（10分）。

绝密★启用前重点高中提前招生模拟考试数学试卷（5）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共10小题，每题4分）1．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣1D．﹣22．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．已知函数y=x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（）A．2B．1C．D．4．方程组的解的个数为（）A．1B．2C．3D．45．对于一个正整数n，若能找到正整数a，b使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有（）A．8个 B．10个C．12个D．13个6．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）A．B．C．D．7．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（）A．44千米B．48千米C．30千米D．36千米8．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=AF?DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．10．若方程x2+x﹣1=0的二根为α、β，则α2+2β2+β的值为（）A．1B．4C．2D．0.5第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共10小题）11．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是．12．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2，两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB所围成图形面积S的最大值是．13．a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，则（a﹣b）2=．14．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上整点个数有个．15．三个（不一定各不相同）正整数的和等于100，将它们两两相减（大的减去小的）可得三个差数，则这三个差数的和的最大可能值为．16．一次函数y=x+m和y=nx﹣4都过点A（，），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC面积S=．17．如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4．若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作a、b作为点A的横、纵坐标，则点A（a，b）在函数y=2x的图象上的概率为．18．关于x的方程|x2﹣2x﹣3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是．19．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．20．王老师家准备用边长相等的正四边形和正八边形的地面砖铺客厅，铺设图案如图所示．购买这两种正多边形地砖的数量之比约为．三．解答题（共15小题）21．按照某学者的理论，假设一个生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和8元，设产品A、B的单价分别为m A元和m B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h．（1）求h关于m A、m B的表达式；（2）设m A=3m B，求甲的综合满意度h的最大值（当a、b均为正数时，可以使用公式a+b≥2）．22．如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．23．如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC 同侧，A、C在BO异侧），且AB=2，AO=4．（1）求∠CAO的值；（2）求tan∠ACB的值；（3）求正方形BCEF的面积．24．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B 相切．25．某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数（k为非零常数）的图象上的一动点．（1）如图1过动点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M、N，求证：矩形OMAN的面积是定值；（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y 轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y 轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）26．已知，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣4）x﹣a+3=0（a＜0）．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y是关于a的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a的方程y+a+1=0的解．重点高中提前招生模拟考试数学试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣1D．﹣2【考点】HF：二次函数综合题．【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得．【解答】解：过点Q作QC⊥AB于点C，∵AQ⊥BQ∴AC2+QC2+CB2+QC2=AB2，设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2，依题意有（x1﹣n）2++（x2﹣n）2+=（x1﹣x2）2，化简得：n2﹣n（x1+x2）++x1x2=0．有n2+n++=0，∴an2+bn+c=﹣a．∵（n，）是图象上的一点，∴an2+bn+c=，∴﹣a=，∴a=﹣2．故选：D．【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】MB：直线与圆的位置关系．【分析】根据已知画出正确图形，进而得出圆与△ABC的三条边的公共点的个数．【解答】解：如图所示：以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有4个，故选：C．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，能够根据已知画出正确图形是解题关键．3．已知函数y=x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（）A．2B．1C．D．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】利用点到直线的距离公式即可求解．【解答】解：y=x+1即x﹣y+1=0则点P到直线的距离是：=．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，正确记忆公式是关键．4．方程组的解的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】15：绝对值；98：解二元一次方程组．【分析】由于x、y的符号不确定，因此本题要分情况讨论．【解答】解：当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：，解得；由于y≤0，所以此种情况不成立．当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：，解得．当x≥0，y≥0时，，无解；当x≤0，y≤0时，，无解；因此原方程组的解为：．故选：A．【点评】在解含有绝对值的二元一次方程组时，要分类讨论，不可漏解．5．对于一个正整数n，若能找到正整数a，b使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有（）A．8个 B．10个C．12个D．13个【考点】#B：整数问题的综合运用．【分析】由n=a+b+ab，可变形为n+1=（a+1）（b+1），所以，只要n+1是合数，n就是好数．【解答】解：由n=a+b+ab，得，n+1=（a+1）（b+1），所以，只要n+1是合数，n就是好数，20以内的好数有：3、5、7、8、9、11、13、14、15、17、19、20；【点评】本题考查了整数问题，由原式变形，可得出n+1数的性质，利用n与n+1的关系，可解答本题．6．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．故选：D．【点评】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．7．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（）A．44千米B．48千米C．30千米D．36千米【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，则可得出x+2=2（x﹣2）从而得出船在静水中的速度，然后设甲乙两地相距y千米，根据来回公用12小时可得出方程，解出即可．【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，由题意得：x+2=2（x﹣2），解得：x=6千米/小时；则可得顺流时的速度为8千米/小时，逆流时的速度为4千米/小时，设乙两地相距y千米，则+=12，解得：y=26，y+18=44，即甲、丙两港间的距离为44千米．故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，属于航行问题，根据题意求出船在静水中的速度是解答本题的关键，另外要掌握船航行时间的表示方法．8．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=AF?DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对折的性质可得AE=EF，∠DAF=∠DFA，∠EAF=∠AFE，∠BAC=∠DFE，据此和已知条件判断图中的相等关系．【解答】解：①由题意得AE=EF，BF=FC，但并不能说明AE=EC，∴不能说明EF 是△ABC的中位线，故①错；②题中没有说AB=AC，那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故②错；③易知A，F关于D，E对称．那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故③对；④∠BDF=∠BAF+∠DFA，∠FEC=∠EAF+∠AFE，∴∠BDF+∠FEC=∠BAC+∠DFE=2∠BAC，故④对．正确的有两个，故选B．【点评】翻折前后对应线段相等，对应角相等．9．如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【考点】@2：面积及等积变换．【分析】首先作出图形，由等腰直角三角形性质可知S2=S6，S1=S5，所以S阴=S ，设PA=x，CO2=y，利用勾股定理求出y的值，进而求出阴影的面积．直角梯形DEAP【解答】解：如图，由等腰直角三角形性质可知S2=S6，S1=S5，所以S阴=S直角梯形DEAP，设PA=x，CO2=y，x+2y=2，x=2﹣2y，连接O1O2，（x+y）2+1=（y+1）2，解得y=，S阴=×2×2﹣×﹣2×1×=．故选：D．【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，此题难度不大．10．若方程x2+x﹣1=0的二根为α、β，则α2+2β2+β的值为（）A．1B．4C．2D．0.5【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到：α+β＝﹣1，α?β＝﹣1，再根据方程解的定义得到α2+α﹣1=0，β2+β﹣1=0，即α2=﹣α+1，β2=﹣β+1，然后代入α2+2β2+β，即可得到α2+2β2+β＝﹣（α+β）+3=1+3=4．【解答】解：根据根与系数的关系得到：α+β＝﹣1，α?β＝﹣1，∵α、β是方程x2+x﹣1=0的二根，∴α2+α﹣1=0，β2+β﹣1=0，∴α2=﹣α+1，β2=﹣β+1，∴α2+2β2+β＝﹣（α+β）+3=1+3=4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了方程解的定义．三．填空题（共10小题）11．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是（）米．【考点】MK：相切两圆的性质；T7：解直角三角形．【分析】最高点到地面的距离是两条半径之和+以圆心为顶点的等边三角形的高．【解答】解：连接各圆心可得到边长为1的等边三角形，此等边三角形的高为1×sin60°=，那么其最高点到地面的距离=1+米．【点评】解决本题需得到最高点到地面的距离的表达式，需注意外径指的是外直径．12．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2，两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB所围成图形面积S的最大值是2﹣．【考点】@2：面积及等积变换．【分析】先判断出当r=1时两圆外切，再根据切线的性质可知四边形ABEF是长方形，由S最大=S长方形ABEF﹣S扇形ACF﹣S扇形BCE，即可得出结论．【解答】解：∵AB=2，∴当r=1时两圆正好外切，显然当两圆外切时圆弧AC，CB与线段AB所围成图形面积S的值最大，∴过C作CD垂直AB，过点C作EF∥AB，分别过点AB作AF⊥EF，BE⊥EF，则四边形ABEF是长方形，则S最大=S长方形ABEF﹣S扇形ACF﹣S扇形BCE=2×1﹣2×π=2﹣．【点评】本题考查的是面积及等积变换，涉及到切线的性质、长方形的面积、扇形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．13．a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，则（a﹣b）2=13．【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据已知条件推知ab、a+b是方程x2﹣8x+15=0，即（x﹣3）（x﹣5）=0的两个根，然后通过解方程求得①ab=3，a+b=5；②ab=5，a+b=3；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值．【解答】解：∵a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，∴ab+（a+b）=8，ab?（a+b）=15，∴ab、a+b是方程x2﹣8x+15=0，即（x﹣3）（x﹣5）=0的两个根，∴x=3或x=5；①当ab=3，a+b=5时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=25﹣12=13，即（a﹣b）2=13；②当ab=5，a+b=3时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣20=﹣11＜0，即（a﹣b）2＜0，不合题意；综上所述，（a﹣b）2=13；故答案是：13．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．注意：解答此题需要分类讨论．14．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上整点个数有15个．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．【解答】解：将该二次函数化简得，y=﹣（x﹣3）2+4令y=0得，x=1或x=5则在红色区域内部及其边界上的整点为（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）．共有15个．故答案为：15．【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．15．三个（不一定各不相同）正整数的和等于100，将它们两两相减（大的减去小的）可得三个差数，则这三个差数的和的最大可能值为194．【考点】#B：整数问题的综合运用．【分析】设三个数为a≤b≤c，根据题意可知a+b+c=100，c﹣b+c﹣a+b﹣a=2（c ﹣a）≤2×（98﹣1）=194，答案即求出．【解答】解：设三个数为a≤b≤c，a+b+c=100，c﹣b+c﹣a+b﹣a=2（c﹣a）≤2×（98﹣1）=194，所以最大可能值为194，三个数为1、1、98．故答案为194．【点评】本题主要考查整数的综合运用的知识点，解答本题的关键是根据题意列出不等式，此题比较简单．16．一次函数y=x+m和y=nx﹣4都过点A（，），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC面积S=．【考点】FF：两条直线相交或平行问题．【分析】把点A的坐标代入两函数解析式分别求出m、n的值，然后求出点B、C的值，然后求出BC的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，×（﹣）+m=，﹣n﹣4=，解得m=2，n=﹣2，∴两函数解析式是y=x+2和y=﹣2x﹣4，当x=0时，y=2，和y=﹣4，∴点B、C的坐标分别是B（0，2），C（0，﹣4），∴BC=|﹣4﹣2|=6，∴S=BC?|x A|=×6×=．故答案为：．【点评】本题考查了相交线的问题，根据点A的坐标求出两直线的解析式然后求出点B、C的坐标是解题的关键．17．如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4．若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作a、b作为点A的横、纵坐标，则点A（a，b）在函数y=2x的图象上的概率为．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：列表得：1234ab1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）因此，点A（a，b）的个数共有16个；若点A在y=2x上，则b=2a，可得P（b=2a）==．因此，点A（a，b）在函数y=2x图象上的概率为．故答案为：．【点评】考查了一次函数图象上点的坐标特征和列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．关于x的方程|x2﹣2x﹣3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是a=0或a＞4．【考点】&9：含绝对值符号的一元二次方程．【分析】先将原绝对值方程转化为|（x﹣1）2﹣4|=a，据此作出该方程的图象；然后根据图象填空．【解答】解：由原方程，得|（x﹣1）2﹣4|=a，∴该函数图象为：根据图示知，实数a的取值范围是a=0或a＞4．故答案是：a=0或a＞4．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元二次方程．本题采用了“数形结合”的数学思想．19．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是m=1或m＞2．【考点】AB：根与系数的关系．【分析】分1﹣m2=0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．【解答】解：当1﹣m2=0时，m=±1．当m=1时，可得2x﹣1=0，x=，符合题意；当m=﹣1时，可得﹣2x﹣1=0，x=﹣，不符合题意；当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1=0，[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]=0，∴x1=，x2=．∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1=0的所有根都是比1小的正实数，∴0＜＜1，解得m＞0，0＜＜1，解得m＞2．综上可得，实数m的取值范围是m=1或m＞2．故答案为：m=1或m＞2．【点评】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1﹣m2=0，1﹣m2≠0两种情况讨论求解．20．王老师家准备用边长相等的正四边形和正八边形的地面砖铺客厅，铺设图案如图所示．购买这两种正多边形地砖的数量之比约为1：1．【考点】L4：平面镶嵌（密铺）．【分析】观察图形，根据镶嵌的条件作答．【解答】解：由铺设图案和镶嵌的条件可知购买边长相等的正四边形和正八边形这两种正多边形地砖的数量之比约为1：1．【点评】解这类题，要学会观察图形并掌握平面镶嵌的条件和规律．三．解答题（共6小题，共70）21．按照某学者的理论，假设一个生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和8元，设产品A、B的单价分别为m A元和m B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h．（1）求h关于m A、m B的表达式；（2）设m A=3m B，求甲的综合满意度h的最大值（当a、b均为正数时，可以使用公式a+b≥2）．【考点】@A：几何不等式．【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式即可；（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果即可．【解答】解：（1）甲：买进A的满意度为h A1=，卖出B的满意度为h B1=；所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲===；（2）当m A=3m B时，h===≤=﹣1．【点评】本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以．22．如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．【考点】H7：二次函数的最值；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】（1）先作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，△OBF是直角三角形，利用勾股定理有AB=2=4，易求OF，易知四边形FOEM是矩形，从而有OE2+OF2=OM2=5，易求OE=0，那么CD是直径等于6，从而易求四边形ADBC的面积；（2）先设OE=x，OF=y，则x2+y2=5，根据（1）可得AB=2，CD=2，从而易知S四边形ADBC=AB×CD=2×，结合x2+y2=5，可得S四边形=2，从而可求四边形ADBC的面积的最大值．ADBC【解答】解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，那么AB=2=4，∴OF=，又∵OE2+OF2=OM2=5，∴OE=0，∴CD=6，∴S四边形ADBC=AB×CD=12；（2）设OE=x，OF=y，则x2+y2=5，∵AB=2，CD=2，∴S四边形ADBC=AB×CD=2×=2=2，∴当x2=时，四边形ADBC的最大面积是13．【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理、二次函数的最值、矩形的判定．解题的关键是作出辅助线，求出OE，并能用OE、OF表示AB、CD．23．如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC 同侧，A、C在BO异侧），且AB=2，AO=4．（1）求∠CAO的值；（2）求tan∠ACB的值；（3）求正方形BCEF的面积．【考点】LE：正方形的性质；T1：锐角三角函数的定义．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，可以得到∠ACB=∠BOH，根据三角函数的定义即可求解；（3）根据三角函数即可求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长，则正方形的面积即可求解．【解答】解：（1）∠CAO=∠CBO=45°；（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，则∠BAH=45°∴AH=2，BH=2∴tan∠BOH==又∠ACB=∠BOH∴tan∠ACB=．（3）∵tan∠ACB=，又AB=2∴AC=6∴BC2=80∴正方形BCEF的面积是80．【点评】本题考查了正方形的性质，以及三角函数，正确作出辅助线求得AC的长度是解题关键．24．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B 相切．【考点】MK：相切两圆的性质；SE：射影定理．【分析】要证MP分别与⊙A和⊙B相切，如图示，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得PA2=AC2=AE?AB，PB2=BD2=BF?AB．两式相减可得PA2﹣PB2=AB（AE﹣BF），又PA2﹣PB2=（PA+PB）（PA﹣PB）=AB（PA﹣PB），于是有AE﹣BF=PA﹣PB，即PA﹣AE=PB ﹣BF，所以PE=PF，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形CDEF 的中位线，于是得MP⊥AB，进而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．【解答】证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F∴CE∥DF，∠AEC=90°，∠BFD=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角，∴△ACB∽△AEC，∴AC：AB=AE：AC即PA2=AC2=AE?AB，同理PB2=BD2=BF?AB．两式相减可得PA2﹣PB2=AB（AE﹣BF），∴PA2﹣PB2=（PA+PB）（PA﹣PB）=AB（PA﹣PB），∴AE﹣BF=PA﹣PB，即PA﹣AE=PB﹣BF，∴PE=PF，∴点P是线段EF的中点．∵M是CD的中点，∴MP是直角梯形CDEF的中位线，∴MP⊥AB，∴MP分别与⊙A和⊙B相切．【点评】这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，同学们应熟练掌握．25．某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数（k为非零常数）的图象上的一动点．（1）如图1过动点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M、N，求证：矩形OMAN的面积是定值；（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y 轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y 轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）设出点A的坐标，按照矩形的面积公式求解即可；（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），根据直线l与双曲线有唯一公共点，可求出A点是CD的中点，继而得出答案；（3）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），可利用几何法和代数法进行求解．【解答】解：（1）图中点A在第一象限，设A（x A，y A），OM=x A，ON=y A，S OMAN=OM?ON=x A?y A=k（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），则点C，D（（0，b），，，∴，∴A是CD中点，由（1）中结论得S△OCD=2k．（3）几何方法：如图（2），过点A、B分别向坐标轴作垂线段由（1）中的结论得AE?AF=BG?BH，∴，．代数方法：设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），，，，得AF=CG，再可由全等证得DA=BC．利用图3（2）时注意点B的坐标符号，其它方法略．【点评】本题考查了反比例函数的知识，难度不大，注意善于总结这类综合题的解题思路和方法．26．已知，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣4）x﹣a+3=0（a＜0）．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y是关于a的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a的方程y+a+1=0的解．【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；G2：反比例函数的图象；G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根，就是证明方程的判别式△＞0即可；（2）由求根公式及两根关系确定x1，x2代入求得y．即可求得函数解析式；（3）a＜0及一次函数，反比例函数的作图法求出a的值．【解答】解：（1）△=（a﹣4）2+4（a﹣3）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2∵a＜0，∴（a﹣2）2＞0．∴方程一定有两个不相等的实数根；（2），∴x=a﹣3或．∵a＜0，x1＜x2，∴x1=a﹣3，x2=﹣1，∴（a＜0）；（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出（a＜0）和y=﹣a﹣1（a＜0）的图象．由图象可得当a＜0时，方程y+a+1=0的解是a=﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，利用求根公式正确求得方程的根，是解题的关键，并且本题利用函数的图象解题，体现了数形结合的思想．。

贵州省贵阳市第一中学2015届高考数学适应性月考卷（二）试题理（扫描版）贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）3．命题,23x x p x ∀∈<：R 为假命题；命题32,1q x x x ∃∈=-：R 为真命题，∴p q ⌝∧为真命题，故选C ．4．由题知，这个几何体是圆柱， =S S S ∴+侧全底2113=2π2π1π222⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B ．5．2ππππ1cos cos sin 36263⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ααα，故选C ．6．2522215C 1010T y x -+==⋅=，1(0)y x x ∴⋅=>，故选D ．7．由题知，40,320,432,x y x y x y x y ++>⎧⎪+->⎨⎪++>+-⎩即40,320,3,x y x y x ++>⎧⎪+->⎨⎪<⎩作出不等式组表示的平面区域如图1阴影部分所示，要x y -<λ恒成立，只需max ()x y -<λ即可．设z x y =-，则y x z =-．由图知当直线y x z =-经过点B 时，截距最小，此时z 最大．由40,3,x y x ++=⎧⎨=⎩解得(3,7)B -，10z x y =-=，但取不到，10∴≥λ，故选C ．8．()2f x x b '=+，=(1)23k f b '∴=+=切，1b ∴=．图1211111,()(1)1f n n n n n n n ∴===-+++ 2014111111111(1)(2)(2014)22320142015S f f f ∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-120141,20152015=-= 故选D ． 9．设(2cos ,2sin ),(1,0),(1,0),P M N -αα=(12cos ,2sin )PM ∴---αα，(12cos ,2sin )PN =--αα，2=(12cos )(12cos )4sin PM PN ∴⋅---+ααα2214cos 4sin 143,=-++=-+=αα故选A ．10．OA OB OA OB +=-，∴以OA ，OB 为邻边的平行四边形为矩形，∴OA ⊥OB，所以AB =，∴圆心(0,0)到直线x ya +=，解得a =2或−2，故选C ．11．把四面体ABCD 构补成一个长方体，如图2所示，设长方体的长，宽，高分别为x ，y ， z ，由22222241,34,25,x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩得22250x y z ++=，四面体ABCD 的外接球的直径等于长方体的对角线长，2R ∴24π50πS R ==球，故选B ．12．构造函数3()2sin f x x x x =++，明显()f x 是奇函数，又2()32cos f x x x '=++> 0恒成立，∴函数()f x 在R 上是增函数.3(1)(1)22sin(1)3f x x x x -=-+-+-=， 3(1)(1)22sin(1)3f y y y y -=-+-+-=-，(1)(1)0x y ∴-+-=，2x y ∴+=，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）图25），（5，1），（5，3），（5，5），共有9种可能，∴mn 是奇数的概率为91364=，因此mn 是偶数的概率为13144-=． 14．由正弦定理得，sin sin c C b B =，tan 2sin cos 2sin 110tan cos sin sin A c A B CB b A B B++=++=，cos sin sin cos 2sin cos 0A B A B C A ∴++=，即sin()2sin cos 0A B C A ++=，sin 2sin cos 0C C A ∴+=，sin 0C ≠，1cos 2A ∴=-，2π3A =. 15．根据题意，22,1,(),11,2, 1.x x f x x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤若函数()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，即直线y m =与()y f x =有两个交点，故01m m <=或． 16．3517213215171211121168141861881412111211()()22()()22a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++++++===++++++++，而1211122221211122227221312235a a a a Sb b b b T ++⋅+====+++．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：121n n n a a a +=+，111111222n n n na a a a ++∴==+⋅, 1111112n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又123a =，11112a ∴-=，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列．………………………………（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知111111222n nn a -⎛⎫-=⋅=⎪⎝⎭，即1112n n a =+，2n n n n n a ∴=+．设231232222n n nT =++++，① 则231112122222n n n n nT +-=++++，② 由①-②得21111111111122112222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---，11222n n nn T -∴=--．又(1)1232n n n +++++=， ∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)222n n n n n S ++=-+．……………………………………（12分）18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“这2人来自同一区域”为事件E ，那么22222010515250C C C C 2()C 7P E +++==， 所以这2人来自同一区域的概率是27．…………………………………………………（4分） （Ⅱ）随机变量X 可能取的值为0，1，2，且215235C 3(0)C 17P X ===，112015235C C 60(1)C 119P X ===，220235C 38(2)C 119P X ===，……………（8分） 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为360388()012171191197E X =⨯+⨯+⨯=．…………………………（12分）19.（本小题满分12分）方法一：（Ⅰ）证明：如图3，设1AB 与1A B 相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 的中点，D 为AC 的中点，∴PD //1B C ．又PD ⊂平面1A BD ，∴1B C //平面1A BD ．……………………………………………（4分） （Ⅱ）解：1AA ⊥底面ABC ，∴AD 是1A D 在平面ABC 内的射影.又BD AC ⊥，1A D BD ∴⊥，图3∴1A DA ∠就是二面角1A BD A --的平面角.在Rt△A 1AD中，1AA =，112AD AC ==,∴11tan AA A DA AD =∠，∴1π3A DA =∠, 即二面角1A BD A --的大小是π3．……………………………………………………（8分） （Ⅲ）解：如图3，由（Ⅱ）作1AM A D ⊥，M 为垂足. BD AC ⊥，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC 平面ABC =AC ，∴直线1AB 与平面1A BD．…………………………………（12分） 方法二：（Ⅰ）同方法一．（Ⅱ）如图4建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A，1(1,0,A，(0,0)B，1(0,B ，∴1(1,A B =-，1(1,0,A D =--，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B x n A D x ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩则有,0,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(3,0,1)n =-，由题意知，1(0,0,AA =是平面ABD 的一个法向量．图4设n 与1AA 所成角为θ，则111cos 2n AA n AA ⋅==⋅θ，∴π3=θ， ∴二面角1A BD A --的大小是π3．……………………………………………………（8分） （Ⅲ）由已知，得1(1,AB =-，(3,0,1)n =-，设1AB 与平面1A BD 所成角为α，则1121sin n AB n AB ⋅==⋅α ∴直线1AB 与平面1A BD ．……………………………………（12分） 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．1PF ，12F F ，2PF 构成等差数列，121224PF PF F F ∴+==，而由椭圆定义，122PF PF a +=，24a ∴=，2a =． 又1c =，23b ∴=．∴椭圆C 的方程为22143x y +=．…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）如图5，将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得222(43)84120k x kmx m +++-=．……………………………………………………（5分） 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=， 化简得：2243m k =+． 设11d FM =2d …………………………………………（8分）方法一：当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为q ， 则12tan d d MN q -=⨯， 12d d MN k-∴=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+ 2281314m m m m ==-++，…………………………………………………………………（10分） 2243mk =+，∴当0k ≠，1m m +>=，S <． 当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，S =．图5所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为．………………………………………（12分）方法二：2222212222()2(53)11m k k d d k k +++==++，21223331k d d k +=+．=．四边形12F MNF 的面积12121())2S MN d d d d =+=+，………………………（10分） 2222121222211612(2)1(1)k S d d d d k k +=++=++ 2211642121k ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭≤．当且仅当0k =时，212S =，S =max S =，所以四边形12F MNF 的面积S 的最大值为．………………………………………（12分）（Ⅱ）2()()ln 2y f x g x x x x ax =+=-+-，则ln 21y x x a '=-++， 题意即为ln 210y x x a '=-++=有两个不同的实根1x ，212()x x x <， 即ln 21a x x =-+-有两个不同的实根1x ，212()x x x <，等价于直线y =a 与函数()ln 21G x x x =-+-的图象有两个不同的交点． 1()2G x x '=-+，()G x ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，当min 1()ln 22a G x G ⎛⎫>== ⎪⎝⎭时，1x ，2x 存在，且21x x -的值随着a 的增大而增大，而当21ln 2x x -=时，由题意1122ln 210,ln 210,x x a x x a -++=⎧⎨-++=⎩ 两式相减可得2211ln2()2ln 2x x x x =-=，214x x ∴=， 代入方程21ln 2x x -=可得2144ln 23x x ==，此时2ln 2ln 2ln 133a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以，实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln 133a ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．…………………………………（12分） 22. （本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：AC ∥DE ，∴∠CDE=∠ACD. 又DE 切圆O 于点D ，∴∠CDE=∠CBD ， ∴∠CBD=∠ACD ，而∠ACD=∠ABD ，∴∠ABD=∠CBD ，即BD 平分∠ABC ．………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ABD=∠CBD ，又∠CBD=∠CAD ， ∴∠ABD=∠CAD ，又∠ADH 为公共角， ∴△ABD ∽△HAD ，∴AH AD AB BD=. AB =4, AD =6, BD =8，∴AH =3．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由点M的极坐标为π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得点M 的直角坐标为（4，4），所以直线OM 的直角坐标方程为y x =．………………………………………………（5分）（Ⅱ）将曲线C的参数方程1,,x y ⎧=+⎪⎨⎪⎩θθ（q 为参数），化成普通方程为：22(1)2x y -+=，圆心为(1,0)A，半径为r =．………………………………………………………（8分） 由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C上的点的距离的最大值为5MA r +=．………………………（10分）。

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．集合{|(3)0}{|03}{0123}{|22}A x x x x x B x x =∈-=∈==-N N ≥≤≤，，，，≤≤，则集合A B ={012}，，，故选B ． 2．根据复数i 1(i 1)(3i)331i 3i (3i)(3i)1010aa a a z +++-+===+--+是纯虚数，得30310a a -=⎧⎨+≠⎩，， 解得3a =，故选A ．3．πcos 3cos 22sin cos(π)αααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+∵，sin 3cos tan 32sin cos tan 1a a a a a a --==++∴，∴解得tan 5a =-，故选D ． 4．安排三位同学分别站在前3排（每两人均不在同一排）基本事件总数为6，甲或乙在第一排有4种，甲或乙站第一排的概率为4263=，故选A ． 5．根据三视图可知几何体是一个是三棱台，上、下底面分别是直角边为2、4的等腰直角三角形，高为2，由棱台体积公式12128()33V S S h ==，故选C ．6．21111()2()22f x x x f x x x ⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭，∴，从而模拟程序运行，可得程序框图的功能是求111111112511232221242S k k k k ⎛⎫⎛⎫=-++-=+--> ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭时k 的值，解得6k =，则输出k 的值是6，故选C ．7．圆O 的方程为221x y +=，表示以(00)，为圆心、半径1r =的圆．当l 的斜率不存在时，l 的方程为1x =，1x =与圆O ：221x y +=相切，当l 的斜率存在时，设l 的方程为(1)y k x -，即0kx y k -=，圆心O 到直线l 的距离1d ==，得k =，则“直线l ”是“l 与圆O 相切”的充分不要条件，故选A ．8．记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则求14151617a a a a +++的值，设从第2天开始，每天比前一天多织d 尺布，则3030293053902S d ⨯=⨯+=，解得1629d =，∴141516a a a ++17a +=11111161314151645845585229a d a d a d a d a d +++++++=+=⨯+⨯=，故选B ． 9．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得()f x =2sin 46x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再向左平移π24个单位长度，可得函数2sin 4246y x ⎡ππ⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 43x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．故()g x 的周期为242ππ=，排除A ，B ；令12x π=-，求得()0g x =，可得()g x 的一个对称中心点为012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故C 满足条件；在区间63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，43x π+∈ 53π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，，函数()g x 没有单调性，排除D ，故选C ． 10．由椭圆C ：22221()x y a b a b+=>>0的两焦点为1(0)F c -，，2(0)F c ，，P 为椭圆C 上的一点，且2PF x ⊥轴，可得12||2F F c =，由x c =，可得2b y a =±=±，即有22||b PF a =，由椭圆的定义可得，21||2b PF a a=-，由已知得G 为直角12PF F △的内切圆圆心，∴212121211||||(||||||)22PF F F r F F PF PF =++，可得12PF F △的内切圆半径221222b ca r c a c ==+，即有22222()()b ac a a c =-=+，整理得2a c =，椭圆C 的离心率为12c e a ==，故选B ． 11．作出可行域如图1，∵平面区域内存在点00()M x y ，，满足0026x y +=，∴直线26x y +=与可行域有交点，26326x y x y +=⎧⎨-=⎩，，得332P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴点P 在直线2x y a -=上或在直线2x y a -=的下方，即3322a -⨯≥，解得0a ≤，故选A ．图112．由()g x 是周期为2的奇函数，又[01]x ∈，时，234()l o g (1)g x xx =-+，可得函数()g x 在R 上的图象如图2，由图可知，函数()()()F x f x g x =-的零点个数为6个，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．202x x mx ∀>+-，≤0．14．因为向量(1)(11)a s t b =-=，，，，且a b ⊥，所以10a b s t =+-=，即1s t +=，所以2()144s t st +=≤，当且仅当s t =时取等号，所以st 的最大值为14．15．4211212AFBFp AF BF ⎧=⎪⎪=⎨⎪+==⎪⎩，，，15(44)1422AF A S ===，，，．16．由题，11b =，221212+b b + (2)2(1)+2n n n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，221212+b b +…21(1)+n n b --2(1)2n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，两式相减得1n b n =，1223b b b b ++…11+1n n n nb n b b n b ++==+成立，①正确；当1n =时，②不正确；1222+12b b +...23311+12n b n =++ (33111)+1231n <++ (1515)+(1)(1)42(1)4n n n n n =-<-++，③正确；1211b b ++…11(1)1+22n n n n n b b b ++==成立，④正确． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵sin sin B C =，1)(sin sin )2sin A B C -=， ∴sin sin 1)sin A B C -=，图2∴由正弦定理可得：b c =，1)a b c -=，得a =，∴222222cos 2a c b B ac +-==又∵(0)B ∈π，， ∴6B π=． …………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵ABC △的面积为∴2111sin 222ac B =⨯=，解得4c =，∴由（Ⅰ）可得4b a ==， …………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）先求得a 为9，b 为0.40. 估计高二学生的数学平均成绩为：550.04650.18750.4850.32950.0676.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………（4分）（Ⅱ）这14人数学成绩的平均分为：5027077528037014x ⨯+⨯+⨯+⨯==，∴这14人数学成绩的方差为：222221575[2(5070)7(7070)2(7570)3(8070)]147s =-+-+-+-=． ……………（8分）（Ⅲ）（i ）由频数分布表知，成绩在[5060]，内的人数有2人，设其成绩分别为x ，y ； 在(90100]，内的人数有3人，设其成绩分别为a ，b ，c ， 若[5060]M N ∈，，时，只有()x y ，一种情况；若(90100]M N ∈，，时，有()a b ，，()b c ，，()a c ，三种情况； 若M N ，分别在[5060]，和(90100]，内时，有：共6种情况，∴基本事件总数为10种，事件“||30M N ->”所包含的基本事件有6种， ∴63(||30)105P M N ->==．……………………………………………………（10分） （ii ）事件3600MN ≤的基本事件只有()x y ，这一种， ∴1(3600)10P MN =≤． …………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，连接CE 交BD 于点H ，连接HF ， 因为四边形BCDE 是菱形， 所以点H 为CE 的中点， 又点F 是AE 的中点，所以//AC HF ，又因为AC ⊄平面BDF ，且HF ⊂平面BDF ，所以//AC 平面BDF . ……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：如图4，取BC 的中点O ，连接OA ，OE ，CE ， 因为等边ABC △的边长为2，则在BOE △中，1260OB BE CBE ==∠=︒，，， ∴90BOE ∠=︒， 即OE BC ⊥，因为ABC △是等边三角形，所以OA BC ⊥， 因为平面ABC ⊥平面BCDE ， 又因为平面ABC平面BCDE BC =，且OA ⊂平面ABC ，所以OA ⊥平面BCDE ，在BCE △中，2BC BE ==，60CBE ∠=︒，图3图4所以BCE S =△在ABE △中，因为2AB BE AE ===，，所以ABE S =△ 设点C 到平面ABE 的距离为d ，则由A BCE C ABE V V --=，得1133BCE ABE S AO S d ⨯⨯=⨯⨯△△，解得d =， 所以点C 到平面ABE…………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）双曲线的焦点(0)C s ，， 圆心C 到直线3410x y ++=的距离|41|15s d +=，得1s =， 故圆C 的标准方程为22(1)5(01)x y C +-=，，， 双曲线M 的上焦点为(01)，， ∴2221122a b c ===，双曲线M 的标准方程为221122y x -=1． ………………………………………………（6分）（Ⅱ）设()P x y ，，∵||||||PD PO PE ，，成等比数列，222(2)x x y -+，整理得222x y -=，故222(2)(2)42(1)PD PE x y x y x y y =-----=-+=-，，，由于P 在圆C 内，则2222(1)52x y x y ⎧+-<⎪⎨-=⎪⎩，，得210y y --<y <， 则220y <⎝⎭≤∴22(1)[21y -∈-+，， 则PD PE的取值范围是[21-+，． …………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()ln (0)k f x x k x =+>，2()x k f x x-'=， (1)1f k '=-，由切线斜率为1-，得11k -=-，解得2k =，则(1)2f =，∴函数()f x 在1x =处的切线方程是2(1)y x -=--，即30x y +-=． …………（6分）（Ⅱ）即函数()f x 在区间[1e]，上有最小值2． 由（Ⅰ）知，2()[1e]x k f x x x -'=∈，，， ①当1e k <<时，在区间[1]k ，上有()0f x '≤，函数()f x 在区间[1]k ，上单调递减； 在区间(e]k ，上有()0f x '>，函数()f x 在区间(e]k ，上单调递增，∴()f x 的最小值是()ln 1f k k =+，由ln 12k +=，得e k =，与1e k <<矛盾；②当e k =时，()0f x '≤，()f x 在[1e]，上递减， ∴()f x 的最小值是(e)2f =，符合题意；③当e k >时，显然()f x 在区间[1e]，上递减， 最小值是(e)12ek f =+>，与最小值是2矛盾； 综上，e k =． ………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）依题意，设(2cos 2sin )P t t ，，则点P 到直线l 的距离2cos d t π⎛⎫==+ ⎪4⎝⎭，当2t k π+=π+π4，即2t k 3π=π+4，k ∈Z时，min 2d =， 故点P 到直线l的距离的最小值为2. ……………………………………（5分）（Ⅱ）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t ϕ+>-2tan a ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中恒成立，4，又0a >，所以0a <<故a的取值范围为(0，. …………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当4a =时，22|4||1|x x x +>---.34()|4||1|251431x g x x x x x x -⎧⎪=---=-+<<⎨⎪⎩，≥，，，，≤， …………………………………………（1分）①当4x ≥时，223x +>-恒成立，∴4x ≥； …………………………………（2分）②当14x <<时，2225x x +>-+，即2230x x +->，即1x >或3x <-.综合可知：14x <<； ……………………………………………………（3分）③当1x ≤时，223x +>，则1x >或1x <-，综合可知：1x <-. …………………（4分）由①②③可知：{|1x x <-或1}x >. …………………………………………（5分）（Ⅱ）当1a >时，1()12111a x a g x a x x a a x -⎧⎪=+-<<⎨⎪-⎩，≥，，，，≤， ()g x 的最大值为1a -， 要使12()()f x g x ≥，故只需21a -≥， 则3a ≤，∴13a <≤； ………………………………………（7分）当1a ≤时，11()2111a x g x x a a x a x a -+⎧⎪=--<<⎨⎪-⎩，≥，，，，≤， ()g x 的最大值为1a -， 要使12()()f x g x ≥，故只需21a -≥， ∴1a -≥，从而11a -≤≤. ……………………………………………………（9分）综上讨论可知：13a -≤≤. ……………………………………………………（10分）。