江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析）
题型一：平面向量的共线定理
（1）平面内有一个ABC ∆和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是
BC EF ,
的最小值为______.
（3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______.
（4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3
AOC π
∠=，
且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______.
（5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______；
y = ．
（6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．
（7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，
1
4
AM AB m AC =
+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 .
答案：（1）()()
111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()
1
2
FM a c b =+-，()
1
2
GN a b c =
+- ABC ∆M BC N AM 3
1
=),(R ∈+=μλμλμλ+
（2）21 （3）1
2
-
（4
1
（5）
11,26
- （6）
12
（7）3-
（8）
（9）1344
m <<
解析：如图所示，设1
4
AE AB =
，过点E 作//EP AC ，分别交,AD BC 于点,Q P ，分别过,Q P 作//,//QR AE PF AE 交AC 于,R F ．则13
,,44
AR AC AF AC ==∵
1
4
AM AB m AC =+⋅，M 在ACD ∆的内部（不含边界），
∴点M 在线段QP 上（不含点,Q P ），当点M 取点Q 时，
1144AM AQ AB AC ==
+，可得1
4
m =，而M 在ACD ∆的内部（不含边界），因此1
4
m >．当点M 取点P 时，
1344AM AB AC =+，此时可得3
4
m =，而M 在ACD ∆的
内部（不含边界），因此34m <．∴13
44
m <<．所以答案应
填：1344m <<．
题型二： 坐标法在向量中的应用
（1）已知1
,,AB AC AB AC t t
⊥== ，若P 点是
ABC ∆ 所在平面内一点，且
41
4AB AC AP AB
AC
=
+
，则PB PC ⋅ 的最大值等于________．
（2）在等腰直角ABC ∆中，
90=∠ABC ，2==BC AB ，N M 、为AC 边上两个动点，且满足2||=MN ，则⋅的取值范围为 . （3）如图，在直角梯形中，，，
，是线段上一动点，是线段上
一动点，，，则的取值范围是___________．
（4）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=_________．
（5）如图，在等腰直角三角形ABC 中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则
AN MP 的取值范围为_____________．
（6）已知点A ，B ，C 在圆2
2
1x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为_________．
（7）在ABC ∆中，2,6CA CB ==，60ACB ∠=. 若点O 在ACB ∠的角平分线上，满足OC mOA nOB =+，,R m n ∈，且20
1
41-≤≤-
n ，则OC 的取值范围是 ． （8）设四边形ABCD 为平行四边形，||6AB =，||4AD =，
若点,M N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=________．
答案：（1）13
（2）3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
解析：如图，分别以,BC BA 所在边的直线为轴,y 轴建立直角坐标系,则
(0,2),(0,0),(2,0)A B C ,直线AC 的方程为20x y +-=，设(,2)M t t -，(1,1)N t t +-,
ABCD //AB CD 2AB =1AD DC ==P BC Q DC DQ DC λ=
(1
)
CP CB λ=-AP AQ
