关于不变子空间的矩阵求法

一个线性变换的所有不变子空间探讨摘 要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的所有不变子空间，在高等代数教材中也只是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论.本文首先给出了线性变换与不变子空间的定义，然后介绍线性变换以及不变子空间的性质，讨论了复数域及一般数域P 上的线性空间的线性变换的不变子空间.同时本文总结了求解一个线性变换所有不变子空间的方法，并且结合一些实例加以应用.关键词：线性变换，子空间，不变子空间引言线性变换与不变子空间是高等代数中的重要的概念，但是对于一个线性变换的所有不变子空间的探讨，在高等代数教材中也只是粗略的讲解一下.为了增加这方面的知识，本文首先给出了线性变换，子空间的定义和不变子空间的性质,由线性变换与不变子空间的相关定理,得出复数域上和一般数域P 上的线性变换的所有不变子空间. 这样对每一个具体的线性变换,我们能表示出它的不变子空间,所以本文尝试探究一个线性变换的所有不变子空间的求法，又给出了一些具体应用事例.本文如不特别指明,所考虑的线性空间V 都是某一数域P 上的线性空间V，线性空间V 上的线性变换的集合为L(V).一、预备知识（一）、线性变换和不变子空间定义定义1[1] 线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对于V 中任意的元素,αβ和数域P 中任意数k ，都有()()()σαβσασβ+=+()()k k σασα=定义2[1] 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间.如果W中的向量在σ下的像仍然在W 中,换句话说,对于W 中任意一个向量ξ,有(),W σξ∈我们W是σ的不变子空间,简称σ-子空间.（二）、不变子空间的性质性质1[2] 设()L V σ∈，1V ，2V 都是σ的不变子空间，则1212,V V V V + 都是σ的不变子空间. 性质2[2] 设()L V σ∈，若1V 为σ的不变子空间，则1V 也是()f σ的不变子空间，其中()f x 是数域P 上x 的多项式. 性质3[3] 设()L V σ∈，若σ可逆且1V 为σ的不变子空间，则1V 也为1σ-的不变子空间.性质4[3] 设W 是线性变换σ，τ的不变子空间，则W 在στ+，στ下也不变.二、复数域上线性变换的所有不变子空间我们来研究Jordan 块mmJ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ11定理4[2] 设V 是复数域上n 维线性空间，σ是V 的线性变换，在基1α，2α， ，n α 下的矩阵是一若当标准形11A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：σ有且仅有{}0和以下非零不变子空间1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in =证明 由不变子空间性质可知，{}0是σ的不变子空间.又由于A 中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第n 列，因此一维不变子空间仅有()n L α；A 中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第1n -，n 列的主子式，故二维不变子空间只有1(,)n n L αα-，以此类推可得，A中所在列的其他元素均为零的1n -阶主子式为第2,,n 列的主子式为111n λλλ-.因此σ的1n -维不变子空间仅有2(,,)n L αα ，而n 维不变子空间只有12(,,,)n V L ααα=综上，于是得到σ的非零不变子空间有且仅有n 个1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in = .注：由此证明了以下推论：推论1 V 中包含1α的σ的不变子空间只有V 自身； 推论2 V 中σ的任一非零不变子空间都包含n α； 推论3 V 不能分解成σ的两个非平凡不变子空间的直和；1111(,,,)ii i i in n jn j n n W L ααα---++++= ，(1,2,,)i jn =，(1,2,,)is = .定理4[1] 在复数域上 （1）如果线性变换σ是一个对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（2）如果线性变换σ是一个反对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（3）如果线性变换σ是一个酉变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.三、一般数域P 上的线性变换的不变子空间例1 对任意的()L V σ∈,V本身及零子空间都是σ的不变子空间,称为平凡不变子空间.例2 对任意的()L V σ∈,分别称 (){V V σα=∈︱,}V βασβ∃∈=1(0){Vσα-=∈︱0}σα=为σ的像与核.容易证得()v σ与1(0)σ-都是σ的不变子空间.例3[6] 设()L V σ∈，λ是σ的一个特征值，()L V ε∈为V的恒等变换，则称{VVα*=∈︱存在正整数k ，()0}kλεσα-=为σ的对应于λ的根子空间，Vα*∈称为σ的属于λ的高为k 的根向量，V λ*为σ的不变子空间. 证明 若∀,V λαβ*∈，其高分别为12,k k ，令12m a x {,}kk k =，则,a bP∈，()()[()()][()Kkka b a b λεσαβλεσαλεσβ-+=-+- 1122[()()()][()()()]k k kk k k a b λεσλεσαλεσλεσβ--=--+--12[()(0)][()(0)]k k k k a b λεσλεσ--=-+-= 0故V λ*为V 的子空间.又设Vα*∈且高为k ，则()()[()]kkλεσσαλεσσα-=- = [()]kσλεσα-=(0)σ= 0 故V λ*为σ的不变子空间.四、应用举例例4[8]设σ是2R 的线性变换，σ在基12,εε下矩阵2512A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求σ的所有不变子空间解 在V 中至少有以下四个σ的不变子空间：2R ，{0}，2()R σ，1(0)σ-，又A ≠，知σ为可逆的线性变换. 故，2()R σ=2R ，1(0)σ-={0}，此外若还有其它不变子空间必是一维的，因而应为特征向量所生成，但是由于σ的特征多项式2()1f λλ=+无实根，故σ在R 中无特征值，从而没有实特征向量，这表明σ仅有两个平凡的不变子空间.结论 （1）在求σ的所有不变子空间时，既不能漏掉也不能重复. （2）给定σ后，线性空间V 中至少有V ，{0}，()V σ，1(0)σ-四个不变子空间， 然后再设法去找其他的不变子空间.结束语本文在一个线性变换的所有不变子空间等知识具备的条件下，借助一定的数学思想方法，探讨与研究了一个线性变换的所有不变子空间，通过一些具体事例的求解,归纳、总结了求解线性变换的所有不变子空间的方法. 由于学习知识的有限,对求解线性变换的所有不变子空间的方法可能不够系统与全面，在以后的学习中我会继续加强对相关知识的学习与总结, 进而进一步加深对相关理论知识的理解.。

求不变子空间的方法
那啥是不变子空间呢？简单说啊，就是对于一个线性变换，有个空间在这个变换下，就像被保护起来似的，这个空间里的向量经过变换后还在这个空间里，这就是不变子空间啦。

一种常见的方法呢，就是从特征向量入手。

你想啊，如果一个向量是某个线性变换的特征向量，那由这个特征向量生成的一维子空间就是不变子空间哦。

比如说，对于线性变换T，向量v是它的特征向量，也就是T(v)=λv（这里λ是特征值），那{v}这个一维空间就是不变子空间啦。

还有啊，如果有一组线性无关的特征向量，那由它们张成的子空间也是不变子空间呢。

这就像是一群小伙伴，每个小伙伴自己就是个小不变子空间，合起来也是个大一点的不变子空间啦。

再就是从矩阵的角度看。

如果能把矩阵A化成块对角矩阵，那每一个对角块对应的列向量张成的子空间就是不变子空间。

这就好比把一个大的空间划分成了几个小空间，每个小空间都有自己的小规则，在变换下各自安好，不互相干扰。

另外呢，对于一些特殊的线性变换，比如投影变换。

投影到某个子空间的投影变换，那个被投影的子空间本身就是不变子空间呀。

就像光投影到墙上，墙这个空间就是光投影变换下的不变子空间呢。

宝子，求不变子空间其实也没那么难啦，只要抓住这些小窍门，多做几道题，就会慢慢有感觉的。

就像交朋友一样，刚开始觉得陌生，混熟了就好啦。

加油哦，宝子，我相信你肯定能掌握这个小知识点的！。

矩阵的不变子空间是指对于某个矩阵而言，其子空间中的向量在矩阵的作用下不会改变。

具体来说，对于一个矩阵A，如果存在一个子空间V，使得对于任意的向量x∈V，Ax仍属于V，则称V是A的不变子空间。

在矩阵的不变子空间中，矩阵A的行向量或者列向量形成的子空间是一个不变子空间。

这是因为，对于A的行向量形成的子空间，任意的向量x在该子空间中，Ax的各个分量仍然是A的行向量，因此Ax仍在子空间中。

同理，对于A的列向量形成的子空间，Ax的各个分量仍然是A的列向量，因此Ax仍在子空间中。

此外，如果A是可对角化的矩阵，那么其不变子空间可以是A的特征向量形成的子空间。

这是因为，对于A的每一个特征值λ和对应的特征向量x，有Ax=λx，因此特征向量x在A的作用下不会改变。

在矩阵理论中，矩阵的不变子空间有着重要的应用。

例如，在信号处理中，可以利用矩阵的不变子空间进行信号的滤波和变换。

此外，在控制理论中，矩阵的不变子空间也被用于描述系统的稳定性和行为。

矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析矩阵在数学和物理学中具有非常重要的作用，它们可以用来描述各种变换和表示数据。

在矩阵代数中，不变量是指在变换下保持不变的属性或特征。

本文将讨论矩阵在各种变换下的不变量及其在数学和物理学中的应用。

我们将重点讨论矩阵在线性变换、相似变换和正交变换下的不变量，并分析它们在几何变换、特征值问题和物理建模中的应用。

对于一个n×n矩阵A，在线性变换下的不变量是指在A作用下向量空间的结构和性质不变的向量或子空间。

如果一个向量在A作用下仍然保持在原来的子空间中，那么这个子空间就是A的不变子空间。

矩阵A的不变子空间可以通过A的特征值和特征向量来求得。

特征向量是指在A作用下保持方向不变的非零向量，而特征值则是A作用在特征向量上得到的标量。

特征值和特征向量是A在线性变换下的不变量，它们可以用来求得A的不变子空间，并且在求解物理问题中也有很多应用，比如在量子力学中描述物质的能级和波函数等问题。

在相似变换下，矩阵A和其相似矩阵B有相同的特征值，这意味着它们在线性变换下的不变子空间是相同的。

相似变换通常用来简化计算，因为通过相似变换可以将复杂的矩阵转化为对角矩阵，而对角矩阵的特征值就是它的对角元素，从而可以简单地求得矩阵的特征值和特征向量。

相似变换的不变量是矩阵的相似性质，它们在数学推导和计算中有广泛的应用，比如在求解微分方程和矩阵分解问题中。

在正交变换下，矩阵A的不变量是指在正交变换下保持不变的矩阵属性和特征。

正交变换不改变向量的长度和内积，因此A的特征值和特征向量在正交变换下也保持不变。

在几何变换中，正交变换可以用来保持几何图形的形状和大小不变，从而简化了几何分析和计算。

在物理建模中，正交矩阵可以用来描述对称性和不变性，比如在描述晶体结构和粒子运动中有很多应用。

证明不变子空间的方法(一)
证明不变子空间的方法
1. 线性变换的定义
•线性变换是指具有以下两个性质的函数：
–保持向量加法：对于任意向量u和v，有T(u+v) = T(u) + T(v)
–保持标量乘法：对于任意标量k和向量u，有T(ku) = kT(u)
2. 不变子空间的定义
•不变子空间是指在进行线性变换后仍然保持不变的向量空间。

即对于线性变换T，如果向量空间V的任意子空间U在作用T后仍
然保持不变，即T(U) ⊆ U，则U是V的一个不变子空间。

3. 证明不变子空间方法
利用定义证明
•通过直接应用线性变换的定义，可以证明对于给定的子空间U，线性变换T(U)是U的不变子空间。

要完成证明，需要分别证明两个条件：
1.对于U中的任意向量u，都有T(u) ∈ U
2.对于U中的任意向量u和标量k，都有kT(u) ∈ U
使用基向量证明
•如果给定子空间U的一个基向量组B={v1, v2, …, vn}，可以通过证明线性变换T对于基向量组B中的向量的作用结果仍然在U
中来证明T(U)是U的不变子空间。

利用零空间证明
•使用线性变换的零空间可以证明该线性变换对于某些子空间的作用结果是零向量或仅包含零向量，从而得出其不变子空间的证明。

利用子空间的性质证明
•利用子空间的性质，可以通过证明线性变换T对于某些子空间的作用结果满足子空间的性质来证明其为不变子空间。

4. 总结
•通过利用定义、基向量、零空间和子空间性质等方法，我们可以证明不变子空间的存在。

这些证明方法可以根据具体问题的需求
和特点来选取，使用不同的方法能够更加有效地证明不变子空间
的存在性。

矩阵论第1章 线性空间和线性变换1.1线性空间一个数域F 上的非空集合V ，V 的元素为a 、b 、c……，定义两种运算，一种是V 内元素的加法，一种是V 内元素与F 域上元素的数乘，这两种运算满足加法交换律、结合律、分配律。

线性空间中0元素唯一（具体形式未必是0），某元素的负元素唯一。

实线性空间、复线性空间最大线性无关组，基表示线性空间，维数，向量在某基下的坐标， a={α}X ，a={β}Y ，{β}={α}C ，∴X=CYN 维线性空间一组向量线性相关/无关，等价于在该空间某基下坐标线性相关/无关 子空间：V 中子集W ，W 的元素关于V 中的线性运算仍然构成一个线性空间 零空间N(A)={X|AX=0}，列空间R(A)=L{A1,A2,…,AN}都是Fn 的子空间 交空间、和空间，并运算的结果却未必是子空间直和子空间：线性无关组分成两部分组成两个子空间，W1∩W2={0}，直和子空间，0的表达唯一，即0=w1+w2，w1∈W1，w2∈W2。

1.2内积空间定义了内积的线性空间，内积的结果是数域上的元素。

内积运算的3个性质：对称性（共轭转置）、线性性、正定性。

实内积空间，欧式空间，向量长度欧几里得范数 复内积空间，酉空间两个向量在同一个基下不同的坐标X ，Y ，因此两个向量的内积通过坐标联系，并产生了一个矩阵A ，（α，β）=Y H AX ，该矩阵A 为共轭转置相等的矩阵，即Hermite 矩阵，而正定的Hermite 矩阵又成为Grame 矩阵。

正交补子空间 正交()1,,0,i j i ji j εε=⎧=⎨≠⎩夹角θ=acos[(α,β)/|α||β|] 内积与矩阵运算的转化： a={α}X=Σαixi ，b={α}Y=Σαiyi (a,b)=(,)i i x y i j αα∑∑=Y H AX1.3线性变化 T(α)，α，像与原像线性变换：加法和数乘零变换，把所有的向量变成零向量；恒等变换；微分变换是线性变换，而积分不是线性变换把线性相关组变成线性相关组，但不能保持线性无关性不变。

§7 不变子空间对于给定的n 维线性空间V ，A ∈)(V L ,如何才能选到V 的一个基,使A 关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的.因而问题也可以这样提出:在一切彼此相似的n 阶矩阵中,如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.定义7 设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的一个子空间.如果W 中的向量在A 下的像仍在W 中，换句话说,对于W 中任一向量ξ，有A W ∈ξ，就称W 是A 的不变子空间，简称A -子空间.例1 整个空间V 和零子空间{}0，对于每个线性变换A ，都是A -子空间. 例2 A 的值域与核都是A -子空间.例3 若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值都是A -子空间. 因为A 的多项式f (A )是和A 交换的，所以f (A )的值域与核都是A -子空间.例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设W 是一维A -子空间，ξ是W 中任何一个非零向量，它构成W 的一个基.按A -子空间的定义，A W ∈ξ,它必是ξ的一个倍数:A ξλξ0=.这说明ξ是A 的特征向量，而W 即是由ξ生成的一维A -子空间.反过来，设ξ是A 属于特征值0λ的一个特征向量，则ξ以及它任一倍数在A 下的像是原像的0λ倍，仍旧是ξ的一个倍数.这说明ξ的倍数构成一个一维A -子空间.显然，A 的属于特征值0λ的一个特征子空间0λV 也是A 的一不变子空间.A -子空间的和与交还是A -子空间.设A 是线性空间V 的线性变换, W 是A 的不变子空间.由于W 中向量在A 下的像仍在W 中，这就使得有可能不必在整个空间V 中来考虑A ，而只在不变子空间W 中考虑A ，即把A 看成是W 的一个线性变换，称为A 在不变子空间W 上引起的变换.为了区别起见，用符号A |W 来表示它；但是在很多情况下，仍然用A 来表示而不致引起混淆.必须在概念上弄清楚A 与A |W 的异同：A 是V 的线性变换, V 中每个向量在A 下都有确定的像；A |W 是不变子空间W 上的线性变换，对于W 中任一向量ξ，有(A |W )ξ=A ξ.但是对于V 中不属于W 的向量η来说，（A |W ）η是没有意义的.例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间0λV 上引起的变换是数乘变换0λ.如果线性空间V 的子空间W 是由向量组s ααα,,,21 生成的，即),,,(21s L W ααα =，则W 是A -子空间的充要条件为A 1α,A 2α,…, A s α全属于W .下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.1）设A 是维线性空间V 的线性变换，W 是V 的A -子空间.在W 中取一组基k εεε,,,21 ,并且把它扩充成V 的一组基n k k εεεεε,,,,,,121 +. (1)那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2311,,11,11,111,11110000A O A A a a a a a a a a a a a a nn k n n k k k kn k k kk k n k k . (2) 并且左上角的k 级矩阵1A 就是A |W 在的基k εεε,,,21 下的矩阵.2) 设V 分解成若干个A -子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21.在每一个A -子空间i W 中取基),,2,1(,,,21s i iin i i =εεε (3) 并把它们合并起来成为V 的一组基I .则在这组基下，A 的矩阵具有准对角形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A A 21 (4) 其中),,2,1(s i A i =就是A |W 在基(3)下的矩阵.反之，如果线性变换A 在基I 下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的子空间i W 是A -子空间.由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的. 下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V 按特征值分解成不变子空间的直和. 定理12 设线性变换A 的特征多项式为)(λf ，它可分解成一次因式的乘积s r s r r f )()()()(2121λλλλλλλ---=则V 可分解成不变子空间的直和s V V V V ⊕⊕⊕= 21其中{}V A V i r i i ∈=-=ξξελξ,0)(|.。

§7-7不变子空间定义7：设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的子空间。

如果W 中的向量在A 下的象仍在W 中，即W 中的任意向量ξ，有A W ∈ξ，就称W 是A 的不变子空间，简称A-子空间。

例1：举出不变子空间的例子（可采用学生讨论的方法）1）整个空间V 和零子空间{0}是任意线性变换A-子空间。

2）A 的值域和核都是A-子空间。

3）如果线性变换A 与B 可交换，则B 核与值域都是A-子空间。

4）由于线性变换A 与)(A f 是可交换的，所以)(A f 的值域是A-子空间。

5）任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。

6）A 的属于特征值0λ的特征子空间也是A-子空间。

7）A-子空间的和与交还是A-子空间。

当A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，W 是A-子空间，则可定义A 在不变子空间W 上引起的变换A|W 。

A 与A|W 的异同：A 是V 的线性变换，V 中每个向量在A 下都有有象：A|W 是不变子空间W 下的线性变换，对于W 中的任意向量ξ，都有（A|W ）=A W ∈ξ，但对于V 不属于W 的向量η来说η)|(W A 无意义。

如果W=L r ααα,,,(21 ),则W 是A-子空间的充分必要条件是),,2,1(,r i W A i =∈α.不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系：1．设A 是n 维线性空间V 的线性变换，W 是V 的A-子空间。

在W 中取一组基r εεε,,,21 ，把它扩充成V 的一组基n r εεεε,,,,,21则A 在这组基不的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++nn ni n i i i in ii ii i n i i a a a a a a a a a a a a 1111111111110000=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2310A A A ， 且1A 就是A|W 在W 的基r εεε,,,21 下的矩阵。

反之，如果A 在基n r εεεε,,,,,21 下的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2310A A A ，则由r εεε,,,21 生成的子空间是A 的不变子空间。

求不变子空间的例题在线性代数学科中，不变子空间是一个非常重要的概念，它是一类探索线性变换空间中满足一定条件的局部模块。

本文将以求不变子空间的例题来说明这一概念。

首先，要明确，不变子空间是一类探索线性变换空间中满足一定条件的局部模块，换句话说即为，当施加一定的线性变换后，不变子空间的结构不会发生变化。

因此在求不变子空间中，只要满足给定的线性变换，就可以求出不变子空间。

其次，在求不变子空间时，必须要确定求解问题的特定线性变换，以便进行特定的线性变换操作。

比如，当计算一个特定的线性变换时，可以知道以下内容：1、确定矩阵A，其内容如下：A= [1 2 3;2 5 6;3 7 9]2、确定保持不变的空间，即要求出不变子空间，一般情况下，可以将矩阵A的特征向量（即特征值的对应的特征向量）作为不变子空间的基向量，从而求出不变子空间的方程，如下：不变子空间方程为：x1=2x2+3x33、根据求出的不变子空间方程，可以确定其他变量，即可以确定不变子空间中别的变量，从而求出完整的不变子空间，如下：不变子空间为x1=2x2+3x3、x2+2x3=0，即可以确定完整的不变子空间。

最后，在求出不变子空间以后，可以继续进行特定线性变换，以求出其他变量，从而得到不变子空间的情况。

比如，当需要求解出一个矩阵的转置矩阵时，可以先求出矩阵的不变子空间，然后再运算出矩阵的转置矩阵。

以上就是关于求不变子空间的例子。

通过对不变子空间的求解，可以更好地理解线性变换空间中满足一定条件的局部模块，从而帮助我们深入地理解线性代数学科中的这一重要概念。

综上所述，不变子空间是一类探索线性变换空间中满足一定条件的局部模块，在求不变子空间的过程中，必须要确定求解问题的特定线性变换，根据给定的线性变换可以求出不变子空间的方程，再根据求出的不变子空间方程可以确定其他变量，从而求出完整的不变子空间。

有了这样的结果，就可以进一步深入理解线性代数学科中的这一重要概念。

线性代数中的特征空间与不变子空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换。

特征向量与特征值是线性代数中的重要概念，它们可以帮助我们更好地理解线性变换的性质。

特征空间与不变子空间是与特征值和特征向量相关的概念，本文将对这两个概念进行详细介绍和解释。

特征空间是指特征向量所张成的子空间。

在矩阵的运算中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ为标量，那么我们称向量v是矩阵A的一个特征向量，λ为特征值。

特征向量构成的集合称为特征空间。

特征空间的维数等于特征向量的个数，通常情况下，一个特征值对应一个特征向量，但也有可能存在多个线性无关的特征向量对应同一个特征值。

不变子空间是指矩阵在特定条件下不变的向量组成的子空间。

在线性代数中，如果一个向量空间V在一个线性变换T下被映射到它自身，即Tv∈V，那么这个向量空间V就是T的一个不变子空间。

换句话说，不变子空间是指在变换下保持不变的向量的集合。

不变子空间的一个简单例子是零空间，即对于任意矩阵A，零向量总是矩阵A的一个不变子空间。

特征空间与不变子空间是线性代数中的两个重要概念，它们都与矩阵的性质和变换有着密切的关系。

特征空间帮助我们理解矩阵的特征向量与特征值，从而更好地分析线性变换的效果和特点；而不变子空间则可以帮助我们找到线性变换下保持不变的向量空间，这对于求解矩阵方程和矩阵特征有着重要的应用。

总之，特征空间与不变子空间是线性代数中的重要概念，它们有助于我们更深入地理解向量空间和线性变换的性质。

通过对这两个概念的学习与理解，我们可以更好地应用线性代数知识于实际问题的求解与分析中，提高数学建模和问题求解的能力。

以上就是关于线性代数中的特征空间与不变子空间的详细介绍，希望对您有所帮助。

感谢阅读！。

不变子空间的交与不变子空间证明一、不变子空间的交在线性代数中，我们经常会接触到不变子空间的概念。

不变子空间是指在线性变换下保持不变的向量子空间。

而不变子空间的交，指的是两个线性变换的不变子空间的交集。

在这里，我们将探讨不变子空间的交的相关概念和性质。

1. 定义和性质当我们考虑两个线性变换T1和T2时，它们的不变子空间分别为V1和V2。

那么不变子空间的交V1∩V2就是同时属于V1和V2的向量的集合。

不变子空间的交是同时关于T1和T2的不变的向量的集合。

不变子空间的交有以下几个性质：- 不变子空间的交仍然是一个子空间；- 不变子空间的交的维数小于等于每个不变子空间的维数之和；- 如果T1和T2的不变子空间的交的维数等于它们的和，那么这两个不变子空间的交就是直和。

从性质上看，不变子空间的交具有一定的规律和特点，这为我们进一步的研究和应用提供了基础。

2. 应用和意义不变子空间的交在实际问题中具有重要的应用。

在矩阵的相似性问题中，我们需要考虑到矩阵的不变子空间以及它们的交，这对于我们判断矩阵相似性具有一定的帮助和指导。

在研究线性变换的结构和特性时，不变子空间的交也扮演着重要的角色。

我们可以通过研究不变子空间的交来理解线性变换的相互影响和作用，进而更深入地理解线性代数的相关理论。

二、不变子空间证明在线性代数的学习中，不变子空间的证明是我们经常遇到的问题之一。

要证明一个向量子空间是线性变换的不变子空间，需要我们进行严密的推理和论证。

下面，我们将介绍一些关于不变子空间证明的方法和技巧。

1. 直接证明法直接证明法是最常见的一种方法。

我们假设一个向量子空间W是线性变换T的不变子空间，然后通过对T(W)中的向量进行分解和推理，来证明T(W)也是W的子空间。

这种方法直接而且易于理解，是不变子空间证明的基本方式。

2. 矩阵表示法线性变换可以通过矩阵来表示，而不变子空间的证明也可以通过矩阵的运算来实现。

我们可以将线性变换表示为矩阵A，然后利用矩阵的运算性质和行列式的性质来证明不变子空间的性质。

第22讲线性变换与矩阵回顾，特征值与特征向量一、线性变换的概念和基本性质定义设σ: V→V 是线性空间V 到自身的一个映射(变换), 如果σ保持加法及数乘运算, 即对任意α, β∈V, 对任意常数k, 都有σ(α+β) = σ(α)+σ(β),σ(kα) = kσ(α),则称σ是线性空间V 的一个线性变换,称σ(α) 为向量α在线性变换σ下的象.我们用L(V)来表示线性空间V 的全部线性变换所作成的集合.12定理设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换, α1, α2,⋯,αn 是V 的一组基, 则V 中任一向量α的象σ(α)由基的象σ(α1), σ(α2),⋯, σ(αn ) 所完全确定.11112121212122221122()() (1)()n n n n n n n nn na a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩记σ(α1, α2,⋯, αn ) = (σ(α1), σ(α2),⋯, σ(αn )), A = (a ij )n ⨯n , 则(1)式可表示为σ(α1, α2,⋯, αn ) = (α1, α2,⋯, αn )A .n 阶矩阵A 叫做线性变换σ在基α1, α2,⋯, αn 下的矩阵. 其中A 的第j 列就是基向量αj 的象σ(αj ) 在这组基下的坐标.定理设线性变换σ在基α, α2,⋯, αn下的矩阵是A, 即1σ(α) = (α1, α2,⋯, αn)A,设向量α, σ(α) 在这组基下的坐标分别是X = (x1, x2,⋯, x n)T , Y = (y1, y2,⋯, y n)T, 则Y = AX.定理设α, α2,⋯, αn是n 维线性空间V 的一组基, 对任意1, β2,⋯, βn, 都存在线性变换σ, 使得给定的n 个向量β1σ(αi)= βi(i= 1, 2,⋯, n)., α2,⋯, αn, 是n 维线性空间V 的一组基, A = (a ij) 是定理设α1任一n 阶矩阵, 则有唯一的线性变换σ满足σ(α1, α2,⋯, αn) = (α1, α2,⋯, αn)A推论σ∈L(V) 是双射⇔σ对应的矩阵可逆.34定义设σ, τ∈L(V),:,; :,V V V V τ→αβσ→βγ 定义σ和τ的复合映射为:,.V V στ→αγ 定理线性变换的乘积(即复合映射)对应于矩阵的乘积.推论1 (1)线性变换乘法一般不满足交换律.(2)非零线性变换的乘积可以是零变换.(3)线性变换的乘法一般不满足消去律.二、线性变换的值域、核定义设σ是V 的线性变换, V中向量在σ的作用下全体象的集合称为σ的值域, 记为Imσ= σV = {σα|α∈V}.定理Imσ是V 的子空间.dim Imσ称为线性变换σ的秩.,ε2,…,εn是线性空间V的一组基，A 是σ在这组基下的矩阵设ε1(1) Imσ=L(σε1,…,σεn), (2) dimImσ=r(A)定义设σ是V 的线性变换,所有被σ映成零向量的向量的集合称为σ的核, 记为kerσ.定理kerσ是V 的子空间。

不变子空间.若当.最小多项式(简介)§7 不变子空间◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念.一、定义与例子1.定义：σ∈L(Vn)，W是σ的不变子空间⇔W是V的子空间，且∀ξ∈W,有σ(ξ)∈W.简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）2.例子：设σ∈L(Vn)，则下列子空间W都是σ的不变子空间： 1）W={0} 2）W=V 3）W=σ-1(0) 4）W=σ(V) 5）W=Vλ0={ξ∈V|σ(ξ)=λ0ξ}A与B是可交换的，则B的核与值域都是A-子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义：设W是σ∈L(Vn)的不变子空间，可只在W中考虑σ，记为σ|W.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V可分解为若干σ-子空间Wi的直和，那么对V的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间Wi的直和研究.2.区别：σ|W与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即ξ∈W⇒(σ|W)ξ=σξ；ξ∉W⇒(σ|W)ξ无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）V=W1⊕W2⊕ ⊕Ws，设V可分解为若干个σ-子空间的直和：在每个不变子空间Wi中取基εi,εi, ,εi，i=1,2, s，并把他们合并为V的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有12k⎛A1准对角形⎝⎫⎪⎪，其中Ai，i=1,2, s是A|Wi在对应基下的矩阵. As⎪⎭进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换σ∈L(Vn)的特征多项式f(λ)可分解成一次因式：f(λ)=(λ-λ1)r(λ-λ2)r (λ-λS)r,则V可以分解成不变子空间的直和： 12SV=V1⊕V2⊕⊕Vs,其中Vi={ξ∈V|(σ-λiE)iξ=0}.r§8 若当（Jordan）标准形介绍若当（Jordan）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎛λ 1J(λ,t)=0 ⎝000 1000λ 00λ10⎫⎪0⎪⎪（λ是复数；注意对角元相同）⎪0⎪⎪λ⎭2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵）【问题】若当形矩阵的特征值＝？.（若当块不计排列顺序）二、主要结论定理13：∀σ∈L(Vn(C))，在V中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论）三、若当标准形的求法（第八章介绍）【特例】若A可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.⎛0【第二届中国大学生数学竞赛预赛2019】设B= 00⎝100030⎫⎪2019⎪， 0⎪⎭证明X2=B无解，这里X为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan矩阵这个性质，并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知Hamilton-Cayley定理：方阵A的特征多项式是A的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义：ϕ(x)是方阵A的最小多项式⇔f(A)=0且ϕ(x)次数最低、首项系数为1. 例数量矩阵kE的最小多项式是二、基本性质引理1矩阵A的最小多项式必唯一. 证法带余除法引理2f(x)是A的零化多项式⇔f(x)是A的最小多项式ϕ(x)的倍式，即ϕ(x)|f(x). 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法带余除法⎛1例求A=⎝11⎫⎪2⎪的最小多项式. (x-1) 1⎪⎭【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？⎛a 1例 k阶若当块J=⎝a1⎫⎪⎪⎪的最小多项式是⎪a⎪⎭k⨯k（直接计算，(x-a)k）三、主要结论定理数域P上矩阵A可对角化的充要条件是A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积. 推论复数域上A可对角化的充要条件是A的最小多项式无重根.例设A是n阶幂等矩阵，且秩为r.试求A的相似标准形，并说明理由；求2E-A. 解法：由A2=A知A有最小多项式g(λ)=λ2-λ=λ(λ-1)且无重根，所以A相似于对角矩阵，且特征值只能是1或0.又r(A)=r，故存在可逆矩阵P使P⎛ErAP= 0⎝02En-r⎛ErAP= 0⎝0⎫⎪. 0⎪⎭从而 P-1(2E-A)P=2E-P-1⎫n-r⎪⇒2E-A=2. ⎪⎭矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P使得A=PBP进一步有：当ϕ(x)是多项式时，ϕ(A)=Pϕ(B)P-1.特例：当A相似于对角矩阵时，由Ak=PBkP-1容易计算方幂Ak. 2.求Fibonacci数列通项：an+2=an+1+an(a0=0,a1=1)⎛an+1⎫⎛1解法用矩阵形式表示递推关系式 a⎪⎪=⎝n⎭⎝1⎛1A= 1⎝-1，于是Ak=PBkP-1.1⎫⎛an⎫⎛1⎪ a⎪⎪= 0⎪⎭⎝n-1⎭⎝11⎫⎪0⎪⎭na⎝0⎫⎪⎪⎭'⎛⎫1⎫⎛λ11±51±5-1 ⎪⎪的特征值为λ1,2=，对应的特征向量为,1，PAP=⎪0⎪22⎭⎝⎝⎭⎫⎪λ2⎪⎭nn⎡⎛⎤⎫⎛⎫11+51-5n⎪- ⎪⎥. ⎢由此可求A，即得an=⎪ 2⎭2⎪5⎢⎝⎝⎭⎥⎣⎦3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？解设最初城市、农村人口分别为x0,y0，第k年末人口分别为xk,yk，则⎛x1⎫⎛0.9y⎪⎪=⎝1⎭⎝0.1⎛0.9记A= 0.1⎝0.2⎫⎛x0⎪⎪0.8⎭⎝y0⎛xk⎫⎛0.9⎫⎪，⎪ y⎪⎪= ⎝k⎭⎝0.1⎭0.2⎫⎛xk-1⎫⎪⎪⎪⎪0.8⎭⎝yk-1⎭x0.2⎫⎛xk⎫k⎛0⎫⎪⎪，可得⎪=A ⎪⎪⎪. 0.8⎭yy⎝k⎭⎝0⎭为计算Ak，可考虑把A相似对角化.特征多项式λE-A=(λ-1)(λ-0.7). λ=1对应的特征向量为α1=(2,1)'；λ=0.7对应的特征向量为α2=(1,-1)'取P=(α1,α2)= 1⎝k⎛21⎫1⎛1-1⎪ P=，得⎪-1⎭3⎝11⎫⎪⎪-2⎭A⎛1=P 0⎝0⎫1⎛2-1⎪P= 0.7⎪3⎝1⎭kk1⎫⎛1⎪ -1⎪⎭⎝00⎫⎛1⎪ k 0.7⎪⎭⎝11⎫⎪ -2⎪⎭1⎫1⎛2⎪= ⎪-2⎭3 ⎝22⎫⎪ 1⎪⎭k令k→∞，有0.7→0，得A1⎛2→3⎝11⎫⎛1⎪⎪-1⎭⎝00⎫⎛1⎪⎪0⎭⎝1⎛xk⎫1⎛2 ⎪ → 2 y⎪3⎝⎝k⎭⎛2⎫⎪2⎫⎛x0⎫3⎪⎪⎪=(x+y)00⎪⎪1⎭ 1⎪⎝y0⎭⎪⎝3⎭可见当k→∞时，城市与农村人口比例稳定在2:1.定理7：设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，使得T'AT=T-1AT为对角阵.（注意：对角元恰好是A的全体特征值）（常用于证明题）[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有n个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵A用两次正交相似变换化为对角阵.证明：设σ在n维欧氏空间V的标准正交基下的矩阵是A，则σ是对称变换. n=1时，V=L(α)，取e1=α/α∈V，则σ(e1)∈V，有σ(e1)=ke1，e1即为所求. 设n-1时命题成立（含义？），考虑n的情形.设法把Vn分解成V1+Vn-1，才能使用归纳假设：1）σ对称−引理−−→σ有实数特征值λ1（才能保证特征向量α1∈V(R)，正交矩阵要求实数矩阵）；2）取e1=α1/1，则是实特征向量.设V1是L(e1)的正交补，则V1是σ-子空间，维数为n-1，．且σ|V是V1的对称变换.于是利用归纳假设，V1有n-1个特征向量e2, ,en 标准正交，联合1e1,e2, ,en即为V的特征向量、标准正交基.另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：n=1显然. 设n-1时命题成立，A必有实数特征n值λ1（特征向量α1∈Rn），取e1=α1/α1，则也是实．特征向量.扩充成R的标准正交基e1,e2, ,en，以它们为列作n级矩阵T1，则T1正交，且T1'AT1=T1A(e1,e2, ,en)=T1(Ae1,Ae2, ,Aen)=(λ1T1e1,T1Ae2, ,T1Aen)-1-1-1-1-1注意到E=T1T1=T1(e1,e2, ,en)=(T1e1,T1e2, ,T1en)，故T1e1-1-1-1-1-1-1是E的第一列，于是T1'AT1形如⎛λ1⎝0C⎫⎪,而AB⎭对称，T1'AT1也对称，得C=0，且B是n-1级对称矩阵.λ2, ,λn)，取由归纳假设，存在n-1级正交矩阵Q，使得Q'BQ=dia(g1T2=⎛ 0⎝0⎫,T=T1T2Q⎪⎭⎛1T'AT=⎝可得T是正交矩阵，并且⎫⎛λ1⎪ Q'⎪⎭⎝⎫⎛1⎪ B⎪⎭⎝⎫⎪= =diag(λ1, ,λn)Q⎪⎭又T'AT=T-1AT与A相似，有相同的特征值，于是λ1, ,λn是A的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念1）内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基 7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T，使得T'AT=T-1AT为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补）2.内积与标准正交基有何联系？ 3.标准正交基有何作用？ 4.如何构造子空间的正交补？5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？四、例题选讲◎ A正定⇒A+E>1证1：A正定⇒特征值λi>0⇒A+E的特征值λi+1>1 于是A+E=(λ1+1)(λ2+1)(λn+1)>1⋅1 1=1 证2：A正定⇒T-1AT=diag(λ1, ,λn),λi>0A+E=Tdiag(λ1, ,λn)T-1+E=Tdiag(λ1+1, ,λn+1)T-1-1=T(λ1+1)(λ2+1) (λn+1)>1⋅1 1=1《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断二、复习依据作业（习题集）、例题、课外提高三、各章主线 1.线性空间2.线性变换、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵C3.Jordan标准形4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证）可验证）[可验证].区别第5章方法）四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系：……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵. 2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基） 3.可验证的几种计算类型特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或A'A=E）。