交错级数敛散性判定20110414

专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （Λ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （Λ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。

注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。

对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。

定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。

由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。

（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。

总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。

若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。

（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。

若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。

（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。

若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。

例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。

解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。

判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。

对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。

以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。

即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。

这个方法常用于证明一些级数的发散。

2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。

-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。

如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。

-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。

如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。

比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。

3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。

极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。

4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。

即，级数与积分的敛散性相同。

积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。

5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。

如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。

序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。

以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。

在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。

需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。

浅谈交错级数敛散性的判定
交错级数是一种特殊的无穷级数。

在交错级数中，每一项的符号需要交替出现。

即正负交替，或者负正交替。

例如，交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-
1)^n\frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+\cdots$$
交错级数的判定方法分为三种：莱布尼茨判别法、比较判别法和积分判别法。

1.莱布尼茨判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果该级数满足以下两个条件，则级数收敛：
（1）$a_n>0$；
（2）$a_n$单调递减，即$a_n>a_{n+1}$。

这个判别法不适用于非交错级数。

2.比较判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果$|a_{n+1}|<|a_n|$，则级数收敛。

如果$|a_{n+1}|\geq|a_n|$，则级数发散。

3.积分判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$ 如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$收敛，则级数收敛。

如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$发散，则级数发散。

怎么判断级数敛散性先判断这是正项级数还是交错级数一、判定正项级数的敛散性1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）.若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.二、判定交错级数的敛散性1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定.2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.3.一般情况下,若级数发散,级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散.4.有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定.三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由或求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径.四、求幂级数的和函数与数项级数的和1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和.2.求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.五、将函数展开为傅里叶级数将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系.。

交错级数敛散性判别探究摘要: 交错级数是数学分析重要内容之一，对交错级数敛散性的判别方法在教材中并不多，关于交错级数的敛散性判别文中总结出一些判别准则，包括教材以外的其它判别准则，利用其中一些准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性，而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条件收敛，并选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验．关键词: 交错级数；判别准则；收敛；发散Convergence and Divergence of Alternating SeriesExploring DiscriminateAbstract Alternating series is one of important contents in mathematical analysis, at the present, there are not many criterions about convergence or divergence of alternating series. Established several criterions to decide convergence or divergence of alternating, during phase criterions, some of them are outside the teaching material. Based on these convergence criterions can decide not only convergence or divergence but also absolute convergent or conditional convergent of alternating series. Selected some examples to test the feasibility of the proposed criterion.Key words alternating series; criterion; convergence; divergence1 引言及预备知识在许多数学分析和高等数学教材中，对级数敛散性的判别是一个重要内容，特别介绍了一类特殊级数．定义1 考虑如下的级数11121(1)(1)n n n n n u u u u ∞--=-=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑（其中0n u ≥） （1）我们称这样的级数为交错级数．交错级数是数学分析重要内容之一，对于交错级数敛散性的判别在许多数学分析教材中给出了莱布尼玆判别法．引理1 （莱布尼玆判别法）对于交错级数（1）若满足两个条件： ①数列{}n u 单调递减；②0n →时0n u →， 则交错级数（1）收敛．对于莱布尼玆判别法的证明在教材中都已给出，在这里就不作介绍，但在应用莱布尼玆判别法时应注意以下两点：第一注意莱布尼玆判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件，如果数列{}n u 不满足单调递减性时不能判定级数（1）式发散．第二根据莱布尼玆判别法我们需要判别数列{}n u 是否单调递减，判别数列{}n u 是否单调递减常用的方法有3种：一是讨论1n n u u --的的符号情况；二是讨论比值1n n u u -与1的大小情况；三是构造函数()u x 使得()n u x u =，利用函数的单调性得到数列{}n u 的单调性．但莱布尼玆判别法在使用是存在着局限性，对于交错级数敛散性的判别除了我们比较熟悉的莱布尼玆判别法之外,还有其它一些判别方法．2 最一般情形的判别方法对交错级数敛散性的判别最一般情形的判别方法就是满足所有级数敛散性判别的方法，常见的方法有定义法，即判断级数部分和数列{}n S 是否收敛来判断交错级数是否收敛．同时，柯西收敛准则的推论也是非常有用的，即级数收敛的必要条件是：如果lim 0n n u →∞≠，则级数发散．例1 判别级数121012011001nn ⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数，因为1lim 01001100n n n u n →∞==≠+，所以级数111(1)1001n n n ∞-=-+∑发散．例2 判别级数2(1)(1)nnn n ∞=-+-∑的敛散性． 解 此级数为交错级数，但不满足1n n u u +≥，设2n S 为级数的部分和，先证2n S 单调递减，再证其有下界．2111111()()()3254212n S n n =-+-++-+⋅⋅⋅，括号内各项均小于0，因而2n S 单调递减，又因为21111111()()234212212n S n n n =-+-++-+-+⋅>-⋅⋅，即2n S 有下界，故2lim n n S →∞存在，设2n S S=又1lim lim0(1)n n n n u n →∞→∞==+-，因此2221lim lim()n n n n n S S U S +→∞→∞=+=，从而2lim n n S S →∞=，故原级数收敛．例3++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅的敛散性． 解 此级数为交错级数,设2n S 为级数的部分和．2112(1)2n S n ⋅⋅⋅+=++=+⋅⋅++⋅而级数11n n∞=∑发散，故211lim lim 2(1)2n n n S n →∞→∞⋅=⋅++⋅+=+∞，所以原级数发散．3 绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别根据文献[1]与[2]中介绍的绝对收敛的级数一定收敛，则可以把判别交错级数（1）的敛散性转变为判别正项级数的敛散性，在文献[1]与[2]中对正项级数敛散性的判别方法 介绍了很多种，比如定义法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等．例4 判别级数111(1)2n n n n∞--=-∑的敛散性．解 1111||112lim lim lim 1||222n n n n n nn n u n n u n ++→∞→∞→∞-++==<，因为112n n n ∞-=∑收敛，所以原级数收敛．例5 判别级数1(1)()21n nn n n ∞=-+∑的敛散性． 解1lim 1212n n n n n →∞===<+，因为1()21nn n n ∞=+∑收敛，故原级数收敛． 例6 判别级数 ln 12(1)3nnn n ∞=-∑的敛散性．解ln 022lim 2133n n n n n→∞====>，因为ln 123n n n ∞=∑发散，则原级数是否收敛需用其他方法进行讨论．4 不绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别利用绝对收敛的情形只能判定交错级数在绝对收敛的情况下收敛，如果交错级数不绝对收敛，那么我们并不能判定交错级数的敛散性，下面我们将以定理的形式介绍另一种在已知交错级数不绝对收敛的情况下如何判定交错级数敛散性的方法．为了证明定理先看引理．引理2 设有级数1n n u ∞=∑若：①当n →∞时此级数的通项趋于0；②通过重新组合已给级数各项，但不改变级数各项原有顺序所得的某一新的级数1n n A ∞=∑也收敛；③在和式111231()n p n in A u pp p +-==<<<⋅⋅⋅∑中相加项i u 的数目是有限的，则级数1n n u ∞=∑收敛．证明 设n A 中相加项的数目不超过某一固定的自然数m ，即1||(1,2,)n n p p m n +-≤=⋅⋅⋅，任给0ε>，考察121m εε=+由于0n u →（当n →∞时），于是存在自然数'N ，使得当'n N ≥时有1||n u ε<，再由1n n A ∞=∑收敛性知存在'1N N >，使得当1n N ≥及p 为任意自然数时有11||n n n p A A A ε++⋅⋅+⋅++<，取1N N p =，当n N ≥时对任意自然数s ，考虑1ns n n n s u u u ++∆⋅⋅+⋅=++，注意到每一个i u 必属于某一个k A ，记n A 的项i u 的集合为n A ，即知：当i j >时，若i k u A ∈，j l u A ∈,则必有k l ≤在n ∆中，显然(0)n N r u A r +∈≥，再看以后的各项便有11'1ns N r N r q B A A B ++++∆=++⋅⋅⋅++，其中111N n p r B u u ++=+⋅⋅⋅+-，11'N r q p n s B u u ++++=+⋅⋅⋅+，显然，B 是1N r A +中一部分之和，'B 是11N r q A +++中一部分之和，于是(记'1n N N N ≥≥≥)．1111||()N r N r B p p m εε+++≤-≤，11'2111||()N r q N r q B p p m εε++++++≤-≤，1111||N r N r q A A ε+++++⋅⋅⋅+<从而11'11||||||||(21)ns N r N r q B A A B m εε++++∆≤++⋅⋅⋅++<+=，由柯西收敛准则知级数1n n u ∞=∑收敛．定理1 如果交错级数（1）满足（a ）lim 0n n u →∞=；（b ）1n n u ∞=∑发散则有：①若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则级数（1）也收敛.②若2121()n n n u u ∞-=-∑发散，则级数（1）也发散．证明 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，lim 0n n u →∞=，2(21)1n n --=，即和式相加项数有限，由引理知级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，若2121()n n n uu ∞-=-∑发散，利用反证法，假设11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，由收敛级数的性质知2121()n n n uu ∞-=-∑也收敛，这与已知条件矛盾,故定理成立．推论1 交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑依次k 项添加括号构成的级数记作（*）若满足条件：①级数（*）收敛于A ；②lim 0n n u →∞=，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑必收敛于A ，若级数（*）发散或lim 0n n u →∞≠，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑发散．例7++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，该项的绝对值级数为2n ∞=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=∑， 显然该级数是发散的．考察2121111()n n n n n u u n ∞∞∞-===-==∑∑∑为发散级数，由定理知原级数为发散级数．例8 判别级数1111234a a -+-+⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，则该级数的绝对值级数为111111111()23421(2)21(2)a a a an n n n n ∞=++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=+--∑， 因为1121n n ∞=-∑发散，则111()21(2)a n n n ∞=+-∑发散．考察2121111()()21(2)n n an n u u n n ∞∞-==-=+-∑∑． 当1a =时，级数212111111()()2122(21)n n n n n u u n n n n ∞∞∞-===-=-=--∑∑∑为收敛级数，故原级数收敛． 当1a >时，21211111()21(2)n n an n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑,因为1121n n ∞=-∑发散，故 21211111()21(2)n n a n n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑ 发散，则原级数发散．当1a <时，2121111()()(2)21n n a n n u u n n ∞∞-==-=--∑∑，因为111(2)21lim 12a a n a n n n→∞--=，而11an n ∞=∑(1)a <发散，所以由定理知原级数发散．由上讨论可知，级数1111234aa -+-+⋅⋅⋅当1a =时为条件收敛，1a ≠时发散．5 拉贝判别法下面以定理的形式介绍一种新的判别方法，该方法不仅能判定交错级数的敛散性，而且还能判别它是绝对收敛还是条件收敛，该定理的判别模式是极限的形式，运用起来极为方便，定理2（拉贝判别法）对于级数（1）若1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=则 ①当1ρ>时，级数（1）绝对收敛； ②当01ρ<<时，级数（1）条件收敛； ③当0ρ<时，级数（1）发散；④当0ρ=时，级数（1）可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛；⑤当1ρ=时，级数（1）收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛．证明上述定理将用到两个引理．引理3（拉贝审敛法）对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，若1lim (1)n n n un u ρ→∞+-=则①当1ρ>时，级数1n n u ∞=∑收敛；②当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑发散；③当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛也可能发散．引理4 若0(1,2,3,)n u n >=⋅⋅⋅且1lim (1)n n n u n u ρ→∞+-=，则1()(0)n u nρεοε-=>． 对于引理3在[1]与[2]中已给出，引理4在[5]中也有介绍，这里就不作证明，下面证明定理．证明 由引理3知道若0n u >及1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=，则当1ρ>时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当1ρ<时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散，当0ρ>时，取0ε>使得0ρε->，则存在自然数N ，使得当n N ≥时有1(1)n n u n u ρερε+-<-<+或1111n n u n u nρερε+-+<+<<+，因此当n N ≥，时有1n n u u +≥，且n u 单调递减．由引理4知1()(0)n u n ρεοε-=>，取2ρε=，于是n →∞时有0n u →，因此当1ρ>时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑绝对收敛；当01ρ<<时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑条件收敛；当0ρ<时，级数（1）发散；当1ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛；当0ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛．例如111(1)ln n n n ∞-=-∑收敛，111(1)(1)n n n ∞-=-+∑发散．例9 判别级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑的敛散性．解 因为1(21)!!1(2)!!lim (1)lim (1)0(21)!!2(22)!!n n n n n u n n n n u n ρ→∞→∞+-=-=-=>++， 故级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑条件收敛．例10 判别级数 11()[(1)](1)(0,0,0)()[(1)]n n a a d a n d a b d b b d b n d ∞-=⋅++-->>⋅⋅⋅⋅⋅>++-∑的敛散性． 解 1()lim (1)lim (1)lim n n n n n u b nd n b a b an n u a nd a nd dρ→∞→∞→∞++--=-=-==++，由定理可得：当01b a d -<<即a b a d <<+时原级数条件收敛；当1b ad->即b a d >+时原级数绝对收敛；当1b ad -=即b a d =+时原级数收敛，此时原级数为11(1)n n a a nd ∞-=-+∑为条件收敛；当0b a d -<即b a <时原级数发散；当0b ad -=即b a =时原级数为11(1)n n ∞-=-∑发散．综上可得原级数当b a ≤时发散，当a b a d <≤+时条件收敛，当b a d >+时绝对收敛．6 其它判别方法下面以定理的形式介绍两个新的判别交错级数敛散性的方法，最后通过例子说明这两个方法在判别交错级数敛散性的可行性．定理3 对于交错级数（1）若1lim nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，级数（1）发散．证明上述结论用到如下引理．引理5 对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，令1n n n n u H u +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若1lim lim nn n n n n u H u ρ→∞→∞+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则当e ρ>时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当e ρ<时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散．下面证明定理.证明 当1ρ>时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有：1n n u u +> (2)又1lim 1n n n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，取0r >，而1lim 1nr r n e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则11lim 10n nr r n n n u e u n ρ→∞+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤-+=->⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭，所以存在自然数N ，当n N >时有：111nnr n n u u n +⎡⎤⎡⎤>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,即1111r r n n u n u n n ++⎡⎤⎡⎤>+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以11rn n u n u n +⎡⎤<⎢⎥+⎣⎦因此有 11110...11111rrrrrrrn n n N N n n n n n N N u u u u u n n n n n N n +---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤<<<<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 又因为0r >，则lim 01rN n N u n →∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，由夹逼定理得：1lim 0n n u +→∞= （3）由(2)和(3)两式知数列{}n u 单调递减，且lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知级数（1）收敛．再由引理知：①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有1n n u u +<，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知级数（1）发散．定理4 对于交错级数（1）满足条件：存在自然数N ，当n N ≥时，11n n u au n+=+，a 为常数，则①当0a >时，交错级数（1）收敛；②当0a ≤时，交错级数（1）发散． 证明 由于改变级数有限项后，不改变级数的敛散性，不妨设11(1,2,)n n u an u n+=+=⋅⋅⋅，当0a >时，因为111n n u au n+=+>，所以数列{}n u 单调递减，又因为 111223.(1)(1)(1)121n n n u u u u a a a u u u u n -=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+-,lim(1)(1)(1)121n a a a n →∞++⋅⋅⋅+=+∞-， 所以lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知,交错级数（1）收敛．当0a ≤时，111(1,2,)n n u an u n+=+≤=⋅⋅⋅所以数列{}n u 为单调递增数列，故lim 0n n u →∞≠，所以交错级数（1）发散．例11判别级数11(1)n n ∞-=-∑的敛散性．解令n u =,则22212221212nnnn n n u n n n H u n n n +⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由于2111(21)(2).112222211lim lim 11212n n n nn n n H e n n n ρ+-+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤==++=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，则由定理知原级数条件收敛．例12 判别级数11!(1)456(3)n n n n ∞-=-⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+∑的敛散性．解 令!456(3)n n u n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+,则1313143111n nnn n n u n H u N n ⋅+-+⎡⎤+⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由于131333lim lim 11n n n n H e e n ρ+⋅-→∞→∞⎡⎤==+=>⎢⎥+⎣⎦，则由定理知原级数绝对收敛． 例13 判别级数11(1)!n n n n n ∞-=-∑的敛散性． 解 令!n n n u n =则1(1)(1)nn n n n n n H n n -⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，由于1lim lim (1)01nn n n n H n ρ-→∞→∞⎡⎤==+=<⎢⎥⎣⎦由定理知原级数发散．例14 判别交错级数121(2)!(1)4(!)n n n n n -∞=-⋅∑的敛散性． 解 因为1221(2)!4[(1)!]22114(!)(22)2121n n n n u n n n u n n n n ++⋅++=⋅==+⋅+++，即对于任意的自然数0N >，只要n N ≥就有1021n >+，根据定理4得原级数收敛．7 一类特殊交错级数敛散性的判别在许多教材中，对莱布尼玆判别法只介绍了一种简单的形式，对于交错级数1(1)nn n u ∞=-∑，只要满足：①10(1,2,)n n u u n +≥≥=⋅⋅⋅；②lim n n u →∞=+∞时级数也是收敛，下面我们将以此为基础介绍关于一类特殊交错级数敛散性判别的方法．定理5 设交错级数1(1)nn n u ∞=-∑收敛，0n u >，1,2,n =⋅⋅⋅，lim 0n n nv u →∞=，若级数21||n n n v u ∞=∑收敛，则级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛．证明 考察级数 11(1)(1)(1)()n n n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤----=⎢⎥++⎣⎦∑∑ （4） 级数1(1)nn nu ∞=-∑收敛，故级数1(1)n n n u v ∞=-+∑收敛的的充要条件是（4）收敛．由级数21||n n n v u ∞=∑收敛及2|(1)()|lim 1n n n n n n n n v u u v v u →∞-+=，知级数（4）绝对收敛，于是级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛． 定理6 设10n n u u +≥≥，0n v >(1,2,)n =⋅⋅⋅，lim n n u →∞=+∞，lim 0n n nvu →∞=，则级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是21n n n v u ∞=∑． 证明 考虑级数11(1)(1)(1)((1))n nn n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤---=⎢⎥+-+-⎣⎦∑∑ （5） 级数1(1)n n n u ∞=-∑是收敛的，因此级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是（5）收敛．注意到，当n 充分大时，级数（5）一般项非负，而2((1))lim lim 1(1)n n n n n nn n n n n nn v u u v u v u u v →∞→∞⎡⎤⎡⎤+-==⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，因此，级数（5）收敛的充要条件是21n n nvu ∞=∑收敛． 例15 讨论级数1(1)(0)(1)npnn p n ∞=->+-∑的敛散性． 解 在本题中pn u n =，1n v =，22111n p n n n v u n∞∞===∑∑，当12p >时该级数收敛，12p ≤时发散，由定理知级数1(1)(0)(1)n p nn p n ∞=->+-∑，当12p >时收敛，当12p ≤时发散． 例16 讨论级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑的敛散性． 解 22212221n p p n n n n v n u n n ∞∞∞-=====∑∑∑，由定理知级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑当1p >时收敛，当1p <时发散．例17 讨论级数1(1)n p n nn v ∞=-+∑的敛散性，这里{}n v 为任意有界数列．解 因为{}n v 有界，则存在常数M ，使得||n v M ≤，级数2211||||n n p n n n v v u n∞∞===∑∑，又22||n p pv Mn n ≤于是当12p >时，级数21||n p n v n∞=∑收敛，当12p <时21||n p n v n ∞=∑发散，即12p >时原级数收敛，当1p 时，原级数发散．28 结束语本文以莱布尼兹判别法及交错级数自身特征，探究总结出了一些判别准则，利用其中一些准则不仅能判定交错级数的敛散性，还能判定其是绝对收敛还是条件收敛，且有些判别方法的判别模式是用极限形式，用起来极为方便有效，同时克服了莱布尼兹判别法的种种缺陷．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,2006:17-19.[2]刘玉琏.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,1988:26-27.[3]吉米多维其.数学分析(下册)[M].费定晖,周学圣,译.济南:山东科学技术出版社,2005:81-83.[4]华中师范大学数学系.数学分析(下册)[M].武汉:华中师范大学出版社,2001:243-245.[5]范新华.关于交错级数敛散性判别法的一些探讨[J].常州工学院学报,2007,20(5):57-59.[6]肖清风.交错级数敛散性的探究[J].黄山学院报,2004,6(3):3-7.[7]周玉霞.关于交错级数敛散性判别法的补充[J].高等数学研究,2007,10(3):40-42.[8]骆汝九.交错级数敛散性的一个判别定理[J].盐城工学院学报,2000,13(1):73-75.[9]江莹茵.交错级数收敛准则的探讨[J].甘肃联合大学学报(自然科学报),2005,19(2):6-7.[10]郑玉敏.交错级数敛散性判别法[J].大学数学,2009,4(2):192-194.[11]刘晓玲,张艳霞.交错级数敛散性的一个判别法[J].高等数学研究,2007,10(3):51.[12]张建军,宋业新.关于交错级数敛散性判别的探究[J].高等数学研究,2009,12(3):38-40.[13]杨志忠.关于一类交错级数敛散性的一种判别方法[J].青海师专学报,2009,6(5):42-44.。

浅谈正项级数与交错级数敛散性的判别方法摘要：级数的敛散性在数学分析占有比较重要的版块，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。

数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题。

本文在已有文献的基础上，先对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，然后在已有判别方法的基础上推广了几种新的判别方法，这些推广的新的判别法降低了原判别法的使用要求，使其更具一般性，适应性更广。

关键词：正项级数；交错级数；敛散性On the Positive Series and Alternating Series Criterion for Convergence andDivergenceAbstract: Convergence and Divergence of Series in mathematical analysisplays the more important pages, determine the convergence of series as a series of issues are often the most important issue. Convergence and Divergence of a number of the discriminant is an important and interesting mathematical topics. In this paper, based on the literature, the first of several series of various important Criterion for Convergence and Divergence of a simple system of induction, then discrimination method has been popularized on the basis of several new discrimination method, which promotion of the new Criterion Criterion reduce the use of the original request, to make it more general, wider adaptability.Keywords:Positive series; Alternating series; Convergence and divergence1 引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。

浅谈交错级数敛散性的判定摘要：交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判别，本文给出了几个有用的结论来判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。

归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时,提供了判定交错级数敛散性的方法。

关键词：交错级数 收敛 莱布尼兹审敛法 单调递减1引言在数学分析中,对级数敛散性的判别是一个重要的内容。

级数敛散性的柯西判别准则虽然给出了判断级数收敛的充要条件,从逻辑上讲,它适应于一切级数敛散性的判断,但是通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的,因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。

特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。

在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少,一般地只有莱布尼茨判别法。

莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判别存在困难。

在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程中,验证两个条件成立有一定的难度。

在两个条件失效时,那么该如何判断呢？下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。

2基本概念及定理定义1： 若级数的各项符合正负相间，即：1112341...(1)....(1)n n n n n u u u u u u ∞--=-+-+-+=-∑（n>0,n=1,2,3,4……）则称级数11(1)n n n u ∞-=-∑为交错级数。

定义2：若级数1nn u∞=∑通项的绝对值构成的级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑为绝对收敛；若级数1n n u ∞=∑收敛而1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑为条件收敛。

定理 1：（交错级数收敛的必要条件）若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑（n u >0）收敛，则有lim 0n n u →∞=。