2016-2019年全国硕士研究生入学考试数学(数二)真题及答案解析精编

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案及解析一、选择题（1）设1231),1a x a a =，则（ ）.A. 123,,a a aB. 231,,a a aC. 213,,a a aD. 321,,a a a 【答案】B 【解析】21151362231101()22ln(1113x a x x x x a x x x a x +→=-=-=+==当时，所以，从低到高的顺序为a 2,a 3,a 1,选B.（2）已知函数2(1),1()ln ,1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）.A. 2(1),1()(ln 1),1x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩B. 2(1),1()(ln 1)1,1x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩C. 2(1),1()(ln 1)1,1x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩D. 2(1),1()(ln 1)1,1x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】D【解析】对函数()f x 做不定积分可得原函数，1ln ln ln xdx x x x dx x x x C x=-⋅=-+⎰⎰，因此选择D.（3）反常函数①121x e dx x -∞⎰，②1201x e dx x+∞⎰的敛散性为（ ）. A. ①收敛，②收敛 B. ①收敛，②发散 C. ①发散，②收敛 D. ①发散，②发散 【答案】B【解析】①111102011[lim lim ](01)1xxx x x x e dx e d e e x x--∞-∞→∞→=-=--=--=⎰⎰收敛。

②111110200011[lim lim ]xx x xxx x e dx e d e e e x x+∞+∞+∞→∞→=-=-=--=+∞⎰⎰发散。

所以，选B.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ）.A. 函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点B. 函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点C. 函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点D. 函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 【答案】B【解析】根据图像可知导数为零的点有3个，但是最右边的点左右两侧导数均为正值，因此不是极值点，故有2个极值点，而拐点是一阶导数的极值点或者是不可导点，在这个图像上，一阶导数的极值点有2个，不可导点有1个，因此有3个拐点.（5）设函数()(1,2)i f x i =具有二级连续导数，且0''()0(1,2)i f x i <=，若两条求曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =，则在0x 的某个邻域内，有（ ）. A. 12()()()f x f x g x ≤≤ B. 21()()()f x f x g x ≤≤ C. 12()()()f x g x f x ≤≤ D. 21()()()f x g x f x ≤≤ 【答案】A【解析】因y=f 1(x)与y=f 2(x)在(x 0,y 0)有公切线，则f 1(x 0)=f 2(x 0), f 1’ (x 0)=f 2’(x 0) 又y=f 1(x)与y=f 2(x) 在(x 0,y 0)处的曲率关系为k 1>k 2.10201233121222101010201020|''()||''()|,[1()][1()]"()0,"()0,"()"()0.f x f x k k f x f x f x f x f x f x ==++<<<<因又则从而在x 0的某个领域内f 1(x)与f 2(x)均为凸函数，故f 1(x)≤g(x), f 2(x)≤g(x),排除C,D. 令F(x)=f 1(x)-f 2(x),则F(x 0)=0，F ’(x 0)=0, F ”(x 0)<0. 由极值的第二充分条件得x=x 0为极大值点。

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .（D ）321,,a a a .【答案】（B ）【解析】当0x +→时，211(cos 1)~2a x x x =--,5362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2(1)1()()ln 1x x F x f x dx x x x Cx ⎧-<==⎨-+>⎩⎰，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1C ⇒=3、反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.（D ）①发散，②发散.【答案】（B ）【解析】11111020011(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111+2000011(lim lim )1lim 0x x x x x xx x x e dx e d e e e e x x++∞+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰⎰，发散故选B.4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答案】（B ）【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当→x 0时，若−x x tan 与x k是同阶无穷小，则=k A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】C【解析】−−x x x 3tan ~3，所以选C.2、设函数=+−y x x x x 22sin 2cos ()π3π的拐点 A. 22(,).ππB.(0,2).C.−,2).π( D. −22(,).π3π3【答案】C.【解析】令=−=''y x x sin 0，可得=x π，因此拐点坐标为（，）−2π. 3、下列反常积分发散的是A. ⎰−+∞x xx e d 0B. ⎰−+∞x xx e d 02C.⎰++∞x x x1d arctan 02D.⎰++∞x x x 1d 02【答案】D 【解析】⎰+=+=+∞+∞+∞x x x x 12d ln(1)1022，其他的都收敛，选D. 4、已知微分方程x ce =by +y ¢a +y ¢¢的通解为x e +x -e )x 2C +1C (=y ，则a 、b 、c 依次为A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，==−λλ112，故特征方程为（）+++λλλ1=21=022，所以==a b 2,1，又由于=y x e 是+='''y y y ce x +2的特解，代入得=c 4.5、已知积分区域=+D x y x y2{(,)|}π，⎰⎰=I x y d 1，2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析(官方）2d DI x y =⎰⎰，3(1d DI x y =−⎰⎰，试比较123,,I I I 的大小A. 321I I I <<B. 123I I I <<C. 213I I I << D. 231I I I <<【答案】C【解析】在区域D上2220,4x y π≤+≤∴≤，进而213.I I I <<6、已知(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2()g()lim0()x af x x x a →−=−是曲线(),()y f x y g x ==在x a =处相切及曲率相等的A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有2()g()()g ()()g ()limlim lim 0.()2()2x ax a x a f x x f x x f x x x a x a →→→''''''−−−===−−从而有()(),()(),()()f a g a f a g a f a g a ''''''===,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率322(1)y K y ''='+,其分子部分带有绝对值,因此()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=−;选A.7、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax =0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=.8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++ B. 222123.y y y +−C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−−【答案】C【解答】由22+=A A E ，可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=，解得，1λ=或2λ=−. 再由4=A ，可知1231,2λλλ===−，所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9. 2lim(2)x xx x →+=___________.【解析】022lim ln(2)lim(2)ex x x x xxx x →+→+=其中000221lim ln(2)2lim 2lim(12ln 2)2(1ln 2)x xx x x x x x x x→→→+−+==+=+所以222ln 22lim(2)e4x xx x e +→+==10.曲线sin 1cos x t t y t=−⎧⎨=−⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距___________.【解析】d sin d 1cos y tx t=−当32t π=时，3d 1,1,12d yx y xπ=+==−所以在32t π=对应点处切线方程为322y x π=−++所以切线在y 轴上的截距为322π+11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂___________.【解析】223222()()()z y y y y yf f x x x x x∂''=−=−∂2222222()()()()()z y y y y y y f yf f f y x x x x x x ∂''=+=+∂所以22()z z y x y yf x y x∂∂+=∂∂12.设函数ln cos (0)6y x xπ=的弧长为___________.【解析】弧长61d cos s x x x xπ===⎰6011ln |tan |ln 3cos 2x x π=+==13.已知函数21sin ()d xt f x xt t=⎰，则10()d f x x =⎰___________.【解析】设21sin ()d xt F x t t=⎰，则1100()d ()d f x x xF x x=⎰⎰112212000111()d [()]d ()222F x x x F x x F x ==−⎰⎰211220011sin ()d d 22x x F x x x xx '=−=−⎰⎰122100111sin d cos (cos11)244x x x x =−==−⎰14.已知矩阵1100211132210034−⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪⎝⎭A ，ij A 表示||A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A −=___________.【解析】11121100100021112111||3221312100340034A A −−−−−−−===−−−A 1111111210104034034−−−−=−==−三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0,xx x x f x x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩求()f x '，并求()f x 的极值.解:0x >时,2ln 2ln (0)(e)e (2ln 2)x xx x f x ''==+;0x <时,()(1)e x f x x '=+;又2ln 00()(0)e 1(0)lim lim0x x x x f x f f x x+++→→−−'==−002ln lim lim 2ln x x x xx x++→→===−∞, 所以(0)f '不存在,因此22(1ln ),0,()(1)e ,0.xxx x x f x x x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩令()0f x '=,得驻点1311,ex x =−=;另外()f x 还有一个不可导点20x =; 又(,1)−∞−为单调递减区间,(1,0)−为单调递增区间,1(0,)e 为单调递减区间,1(,)e+∞为单调递增区间;因此有极小值1(1)1e f −=−和极小值2e 1()e ef −=,极大值(0)1f =.16、（本题满分10分） 求不定积分2236d .(1)(1)x x x x x +−++⎰解:2222362321d []d (1)(1)1(1)1x x x xx x x x x x x ++=−++−++−−++⎰⎰ 232ln 1ln(1)1x x x C x =−−−++++−17、（本题满分10分）()y y x =是微分方程22e x y xy '−=满足(1)y =.（1）求()y x ；（2）设平面区域{(,}|12,0()}D x y x y y x =，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)2d d 2()e [e e d ]x x xx xy x x C −⎰⎰=+⎰2222e ()e )x x x C C =+=+;又由(0)y =得0C =,最终有22()e x y x =.(2)所求体积22222211πe )d πe d x x V x x x==⎰⎰2241ππe (e e)22x ==−.18、已知平面区域D 满足2234,()xy x y y +，求d x y ⎰⎰.解:由xy 可知区域D 关于y 轴对称,在极坐标系中,π3π44θ;将cos ,sin x r y r θθ==代入2234()x y y +得2sin r θ;由奇偶对称性,有2πsin 2π04sin d d 2d d r x y x y r r r==⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθππ52222ππ44sin d (1cos )dcos 120==−−=⎰⎰θθθθ19、设n 为正整数，记n S 为曲线e sin (0π)xy x x n −=与x 轴所围图形的面积，求n S ，并求lim n n S →∞.解:设在区间[π,(1)π]k k +(0,1,2,,1)k n =−L 上所围的面积记为k u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d k k x kx k k k u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22k kk k k k k u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)kk =−)因此π(1)π1ππ111e e e 221e n n n k n k k k S u −−+−−−==−==+=+−∑∑; π(1)πππππ1e e 1e 11lim lim21e 21e 2e 1n n n n S −−+−−−→∞→∞−=+=+=+−−−20、已知函数(,)u x y 满足222222330u u u u x y x y∂∂∂∂−++=∂∂∂∂，求,a b 的值，使得在变换(,)(,)e ax by u x y v x y +=下，上述等式可化为(,)v x y 不含一阶偏导数的等式.解:e e ax byax by x u v va x++∂'=+∂, 222e e e e ax by ax by ax byax by xx x x u v v a v a va x++++∂''''=+++∂2e 2ee ax by ax byax by xx x v av a v +++'''=++同理,可得ee ax by ax by y u v bv y++∂'=+∂,222e 2e e ax by ax by ax by yy y u v bv b v y +++∂'''=++∂; 将所求偏导数代入原方程,有22e [22(43)(34)(2233)]0ax by xx yy x y v v a v b v a b a b v +''''''−+++−+−++=,从而430,340a b +=−=,因此33,44a b =−=. 21、已知函数(,)f x y 在[0,1]上具有二阶导数，且1(0)0,(1)1,()d 1f f f x x ===⎰，证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）存在(0,1)η∈，使得()2f η''<−. 证明:(1)由积分中值定理可知,存在(0,1)c ∈,使得1()d (10)()f x x f c =−⎰,即()1f c =.因此()(1)1f c f ==,由罗尔定理知存在(,1)((0,1))c ∈⊂ξ,使得()0f ξ'=.(2)设2()()F x f x x =+,则有2(0)0,()1,(1)2F F c c F ==+=;由拉格朗日中值定理可得:存在1(0,)c ∈η,使得21()(0)1()0F c F c F c c −+'==−η;存在2(,1)c ∈η,使得22(1)()1()111F F c c F c c c−−'===+−−η;对于函数()F x ',由拉格朗然中值定理同样可得,存在12(,((0,1))∈⊂ηηη,使得22121212111(1)1()()()0c c F F c c F ++−−''−''===<−−−ηηηηηηηηη, 即()20f ''+<η;结论得证.22.已知向量组（Ⅰ）232111=1=0,=2443a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα，，（Ⅱ）21231011,2,3,313a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦βββ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将3β用23,,1ααα线性表示.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B . 因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫ ⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.23.已知矩阵22122002x −−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 与21001000y ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 相似， （Ⅰ）求,x y ；（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得1−P AP =B 解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。

2016年考研数学二真题及解析一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上.(1) 设11)a x =,2a =,31a =.当0x +→时,以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )(A)123,,a a a . (B)231,,a a a . (C)213,,a a a . (D)321,,a a a . 【答】应选B【解】2121~x a -，562~a x ，x a 31~3，则321,,a a a 从低阶到高阶排列应为132,,a a a 。

(2) 已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨⎩则()f x 的一个原函数是 (A)2(1),1()(ln 1),1x x F x x x x ⎧-<=⎨-⎩ (B)2(1),1()(ln 1)1,1x x F x x x x ⎧-<=⎨+-⎩(C)2(1),1()(ln 1)1,1x x F x x x x ⎧-<=⎨++⎩ (D)2(1),1()(ln 1)1,1x x F x x x x ⎧-<=⎨-+⎩【答】应选D .【解】由于原函数一定是连续，可知函数()F x 在1x =连续，而()A 、()B 、()C 中的函数在1x =处均不连续,故选D.(3) 反常积分121d xe x x -∞⎰①，1+201d x e x x ∞⎰②的敛散性为 （A ）①收敛，②收敛. （B ）①收敛，②发散. （C ）①收敛，②收敛. （D ）①收敛，②发散. 【答】应选B .【解】1101102=-=∞-∞-⎰x xe dx e x,故()1收敛.∞+∞+-=⎰11021x xe dx e x，由于10lim xx e +→=+∞，故()2发散.(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则( )（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点. （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点. （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点. （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答】应选（B ） 【解】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点.(5) 设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且0()0(1,2)i f x i ''<=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =的曲率，则在0x 的某个领域内，有 （A ）12()()()f x f x g x （B ）21()()()f x f x g x （C ）12()()()f x g x f x （D ）21()()()f x g x f x【答】应选A【解】 由于()0i f x "<可知，)(1x f 与)(2x f 均为凸函数，可知)(1x f y =，)(2x f y =的图像均在其切线下方，故)()(),(21x g x f x f ≤，由曲率公式232222232111))((1)(,))((1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=x f x f k x f x f k ，由21k k >可知，1020()()f x f x ""<，则)()(21x f x f <.(6) 已知函数(,)xe f x y x y=-，则（A ）0x y f f ''-=（B ）0x y f f ''+=（C ）x y f f f ''-=（D ）x y f f f''+=【答】应选(D)【解】()()22,,x x xx y x y e e e f f f f f x y x y x y ''''=-=+=---. (7) 设A ,B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是 （A ）T A 与T B 相似 （B ）1-A 与1-B 相似 （C ）T +A A 与T +B B 相似 （D ）1-+A A 与1-+B B 相似 【答】应选(C).【解】因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P ，使得1,P AP B -=两端取转置与逆可得：()1T T T T P A P B -=,111P A P B ---=,()111P A A P B B ---+=+,可知()A 、()B 、()D 均正确,故选择()C .(8) 设二次型222123123121323(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正、负惯性指数分别为1,2，则（A ）1a > （B ）2a <-（C ）21a -<< （D ）1a =与2a =- 【答】应选(C)【解】二次型矩阵为111111a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其特征值为1,1,2a a a --+，可知10,20a a -<+>，即21a -<<，故选择(C)二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 曲线322arctan(1)1x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 【答】应填2π+=x y .【解】由1lim=∞→xyn 知1=k ,又2)1arctan(lim 1lim ))1arctan(1(lim lim 22223π=+++-=-+++=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x y n n n n则斜渐近线方程为2π+=x y .(10) 极限2112lim (sin 2sin sin )n nn n n nn→∞+++= .【答】应填 cos1sin1-+.【解】221111211lim sin 2sin sin lim sin lim sin nn n n n i i n i i i n i n n n n n n n n n →∞→∞→∞==⎛⎫+++== ⎪⎝⎭∑∑ 1110001sin cos cos cos d cos1sin10x xdx xd x x x x x ==-=-+=-+⎰⎰⎰. (11) 以2xy x e =-和2y x =为特解的一阶非齐次线性微分方程为___________. 【答】应填=-'y y 22x x -.【解】由线性微分方程解的性质可知xxe e x x =--)(22为齐次方程的解， 可知齐次方程为0y y '-=.非齐次方程为)(x f y y =-'，将2x y =代入可得:22)(x x x f -=,故方程为=-'y y 22x x -.(12) 已知函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，且2()(1)2()d xf x x f t t =++⎰，则当2n 时，()(0)n f = .【答】应填125-⋅n【解】)(2)1(2)(,1)0(x f x x f f ++='=，则)(22)(,4)0(x f x f f '+=''='，则10)0(=''f . 两边同时求2-n 阶导可得)(2)()1()(x f x fn n -=.则12)1()(25)0(2)0(2)0(---⋅=''==n n n n f f f .(13) 已知动点P 在曲线3y x =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l .若点P 的横坐标时间的变化率为常数0v ，则当点P 运动到点(1,1)时,l 对时间的变化率是 . 【答】应填022v【解】6250625623,3,xx x x v dt dx dx dl dt dl x x x x dx dl x x l ++=⋅=++=+=,则0d d l t =.(14) 设矩阵111111a a a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与110011101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦等价，则a = . 【答】应填2. 【解】11011011001101101111011000，可知，11011211r 从而，1111211ar a a，可知，2a三、解答题：（15～23小题，共94 分.）(15) （本题满分10分）求极限41lim(cos 22sin )x x x x x →+.【解】由重要极限得,原式为()()2434444440111112221()()cos22sin 1224613limlimlim 3x x x x x x x x o x x o x x x x xx x eeee →→→⎛⎫-++--++ ⎪+-⎝⎭===.(16) （本题满分10分）设函数1220()d (0)f x t x t x =->⎰，求()f x '并求()f x 的最小值.【解】01x << 时，()()1222232041()33xxf x x t dt t x dt x x =-+-=-+⎰⎰当1x ≥时，()122201()3f x x t dt x =-=-⎰. 所以32241,0133()1,13x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩,从而2'42,01()2,1x x x f x x x ⎧-<<=⎨>⎩,由导数的定义可知'(1)2,f =，可知2'42,01()2,1x x x f x x x ⎧-<=⎨⎩ 易知，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0f x <；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0f x >；当()1,x ∈+∞时，'()0f x >.可知，()f x 的最小值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(17) （本题满分10分）已知函数(,)z z x y =由方程22()ln 2(1)0x y z z x y +++++=确定，求(,)z z x y =的极值. 【解】()()()()22221220112202z zxz x y x z x z zyz x y y z y ∂∂++++=∂∂∂∂++++=∂∂令0z z x y ∂∂==∂∂得11,x y z z =-=-代入方程可得，2ln 20z z-+=。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1[单选题]当x→0时，x-tanx与x k是同阶无穷小，则k=( )．A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：因为，若要x-tanx与x k是同阶无穷小，则k=3，故选C项。

2[单选题]y=xsinx+2cosx[x∈()]的拐点坐标是()．A.(0，2)B.(π，-2)C.(,)D.正确答案：B参考解析：y'=sinx+xcosx-2sinx，y”=-xsinx，令y”=0得x=0，x=π，又因为=-sinx-xcosx，将上述两点代入(π)≠0，所以(π，-2)是拐点。

3[单选题]下列反常积分发散的是()．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：对于A项：4[单选题]已知微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x+e x，则a，b，c 依次为()．A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4正确答案：D参考解析：由条件知特征根为λ1=λ2=-1，特征方程为(λ—λ1)(λ—λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=e x为特解，代入得c=4，故选D项。

5[单选题]已知平面区域，，则I1，I2，I3的大小关系为( )。

A.I3＜I2＜I1B.I2＜I1＜I3C.I1＜I2＜I3D.I2＜I3＜I1正确答案：A参考解析：因为6[单选题]已知f(x)，g(x)二阶导数存在且在x=a处连续，则是f(x)，g(x)相切于a且曲率相等的( )。

A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件正确答案：A参考解析：必要性：f(x)，g(x)相切于a，则f(a)=g(a)，f'(a)=g'(a)，f(x)与g(x)相切于点a，且曲率相等，故选A项。

7[单选题]设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是( )。

A.0B.1C.2D.3正确答案：A参考解析：因为Ax=0的基础解系中只有2个向量，所以4-r（A）=2，则r（A）=2．所以r(A*)=0，故选A项。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在 处无定义，且 所以 是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在， ，于是，存在，此时.当 时， ，=不存在， ，因此，在 连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是 的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。