1989考研数二真题及解析

1989考研数二真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.)

(1) 0

lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿.

(2) 0

sin t tdt π

=

⎰

＿＿＿＿＿＿.

(3) 曲线0

(1)(2)x y t t dt

=--⎰在点(0,0)处的切线方程是＿

＿＿＿＿＿.

(4) 设

()(1)(2)()

f x x x x x n =++⋅⋅+L ,则

(0)f '=

＿＿＿＿＿＿.

(5) 设()f x 是连续函数,且1

()2()f x x f t dt

=+⎰,则()f x =＿

＿＿＿＿＿. (6) 设

2,0()sin ,0a bx x f x bx

x x

⎧+≤⎪

=⎨>⎪

⎩在0x =处连续,则常数a 与b 应

满足的关系是＿＿＿＿＿. (7) 设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿.

二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin x

y e -=求y '.

(2) 求2

ln dx

x x

⎰. (3) 求1

lim(2sin cos )x

x x x →+.

(4) 已知

2ln(1),arctan ,

x t y t ⎧=+⎨

=⎩求dy dx

及

22

d y dx . (5) 已知1(2),(2)02f f '==及20

()1f x dx =⎰

,求12

(2)x

f x dx

''⎰.

三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出

的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设

x >时,曲线

1

sin

y x x

=

( )

(A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线

(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若2350

a b -<,则方程532340

x ax bx c +++=

( )

(A) 无

实根

(B) 有唯一实根

(C)

有

三

个

不

同

实

根

(D) 有五个不同实根

(3) 曲线cos ()22

y x x ππ=-≤≤与x 轴所围成的图形,绕x

轴旋转一周所成的旋转体的体积为

( )

π(B) π

(A)

2

π (D) 2π

(C) 2

2

(4) 设两函数()

g x都在x a=处取得极大值,则

f x及()

)

(A) 必取极大值

(B) 必取极小值

(C) 不可能取极值

(D) 是否取极值不能确定

(5) 微分方程1x

''-=+的一个特解应具有形式

y y e

(式中,a b为常数) ( )

(A) x ae b+ (B) x axe b+ (C)

x

+ (D) x axe bx+

ae bx

(6) 设()

f x在

f x在x a=的某个领域内有定义,则()

x a

=处可导的一个充分条件是( ) (A) 1lim [()()]h h f a f a h

→+∞

+-存在 (B) 0

(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在

(C) 0

()()lim 2h f a h f a h h →+--存在

(D) 0

()()lim h f a f a h h →--存在

四、(本题满分6分)

求微分方程2(1)x

xy x y e

'+-=(0)

x <<+∞满足(1)0y =的

解.

五、(本题满分7分)

设0

()sin ()()x f x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求

()

f x .

六、(本题满分7分)

证明方程0

ln 1cos 2x

x xdx

e π=--⎰

在区间(0,)+∞内有且

仅有两个不同实根.

七、(本大题满分11分)

对函数2

1x y x +=,填写下表：

单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹(U )区间 凸(I )区间 拐点 渐近线

八、(本题满分10分)

设抛物线2

y ax

bx c

=++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,

又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为13,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】12

【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成00

型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一： 0

cos 2lim cot 2lim lim cos 2sin 2sin 2x x x x x x x x x x x

→→→==⋅ 0011

lim

lim sin 22cos 22

x x x x x →→==

洛.

方法二： 0

cos 2lim cot 2lim sin 2x x x x x x x

→→= 0012121lim cos 2lim .2sin 22sin 22

x x x x x x x →→=⋅==

【相关知识点】0

sin lim x x

x

→是两个重要极限中的一个,0

sin lim 1x x x

→=. (2)【答案】π

【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,

sin t tdt π=

⎰

[]00

0(cos )cos (cos )td t t t t dt π

π

π

-=

---⎰

⎰分部法