考研数二真题及解析
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考研数二真题及解析
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1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) 0
lim cot 2x x x →=______.
(2)
sin t tdt π
=⎰
______.
(3) 曲线0
(1)(2)x
y t t dt =
--⎰
在点(0,0)处的切线方程是______.
(4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =++⋅⋅+,则(0)f '=______.
(5) 设()f x 是连续函数,且1
()2
()f x x f t dt =+⎰
,则()f x =______.
(6) 设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x
⎧+≤⎪
=⎨>⎪
⎩在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是_____.
(7) 设tan y x y =+,则dy =______.
二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin x
y e -=,求y '.
(2) 求
2ln dx x x ⎰.
(3) 求10
lim(2sin cos )x
x x x →+.
(4) 已知2ln(1),arctan ,
x t y t ⎧=+⎨=⎩求dy dx 及22d y
dx .
(5) 已知1
(2),(2)02
f f '=
=及20()1f x dx =⎰,求120(2)x f x dx ''⎰.
三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)
设
x >时,曲线
1
sin y x x
=
( )
(A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线
(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2)
若
2350
a b -<,则方程
532340x ax bx c +++=
( )
(A ) 无实根 (B) 有唯一实根
(C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos ()2
2
y x x π
π
=-
≤≤
与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体
积为
( )
(A) 2
π
(B) π (C ) 22π (D)
2π
(4) 设两函数()f x 及()g x 都在x a =处取得极大值,则函数()()()F x f x g x =在x a
=处
(
)
(A) 必取极大值 (B ) 必取极小值
(C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定
(5) 微分方程1x
y y e ''-=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数) ( )
(A) x
ae b + (B) x
axe b + (C) x
ae bx + (D)
x axe bx +
(6) 设()f x 在x a =的某个领域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是( )
(A) 1
lim [()()]h h f a f a h
→+∞+-存在 (B) 0(2)()
lim h f a h f a h h
→+-+存在
(C) 0()()
lim 2h f a h f a h h →+--存在
(D) 0()()
lim h f a f a h h
→--存在
四、(本题满分6分)
求微分方程2(1)x
xy x y e '+-=(0)x <<+∞满足(1)0y =的解.
五、(本题满分7分)
设0
()sin ()()x
f x x x t f t dt =-
-⎰
,其中f 为连续函数,求()f x .
六、(本题满分7分)
证明方程0
ln 1cos 2x x xdx e π
=
--⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.
七、(本大题满分11分)
对函数2
1
x y x +=,填写下表:
单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹()区间 凸()区间
拐点 渐近线
八、(本题满分10分)
设抛物线2
y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线
1x =所围图形的面积为1
3
,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V
最小.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】
12
【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成0
型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一: 000cos 2lim cot 2lim lim cos 2sin 2sin 2x x x x x
x x x x x x
→→→==⋅
0011
lim lim sin 22cos 22
x x x x x →→==洛. 方法二: 00cos 2lim cot 2lim sin 2x x x
x x x x
→→=
0012121lim cos 2lim .2sin 22sin 22
x x x x x x x →→=⋅==
【相关知识点】0sin lim
x x x →是两个重要极限中的一个,0sin lim 1x x
x
→=.
(2)【答案】π
【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,
sin t tdt π
=
⎰
[]00
0(cos )cos (cos )td t t t t dt π
π
π
-=
---⎰
⎰分部法
[]00sin (00)t π
πππ=++=+-=.
(3)【答案】2y x =
【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()f x '. 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)y x x '=--. 由y '在其定义域内的连续性,可知0
(01)(02)2x y ='
=--=.
所以,所求切线方程为02(0)y x -=-,即2y x =. (4)【答案】!n