1991年考研数二真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-r和向量2(2,1,1)l =r,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nx x x x n+-::, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--:: 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑L L1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+L L 212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑L L212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x :,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n r 的方向余弦,再求,,u u ux y z ∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ===r 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰L , 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰L ,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪+++ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M1111101121001000010a b a ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭M M M M ,所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭O , 其中0(1,2,)i i n λ>=L ,i λ是A 的特征值. 因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλL 由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++L 它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====；当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ:,所以可标准化得 2(0,1)X N σ-:,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OAC S S S a a π=+=+V 圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。

1991年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题（26个小题）．满分120分．一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内1．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．34- B ．43- C ．43 D ．34【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-，所以4tan 3α=-．2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．)1(82+=x y B ．)1(82+-=x y C ．)1(82-=x y D ．)1(82--=x y 【答案】D【解析】抛物线开口向左，且112p=+，所以4p =．3．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以最小正周期是π．4．(2,5)P 关于直线0x y +=的对称点的坐标是A ．(5,2)PB ．(2,5)P -C ．(5,2)P --D ．(2,5)P -- 【答案】C【解析】设(2,5)P 的对称点(,)P x y '，则250,2251,2x y y x ++⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得5,2,x y =-⎧⎨=-⎩．5．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．6．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．45π=x【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2x k k Z ππ=⋅-∈，显然1k =时2π-=x ．7．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等，所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心．8．已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a + 的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 【答案】A【解析】设公比为q ，则由题设可得22224442225a a a q q ++⋅=，即2241()25a q q+=，则41()5a q q+=，即355a a +=．9．已知函数651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠），那么它的反函数为 A ．651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠） B ．56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠）C ．165x y x -=+（x R ∈，且56x ≠-）D ．65x y x -=+（x R ∈，且5x ≠-）【答案】B【解析】65516x y y x x y ++=⇒=--，所以所求反函数为56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠），B 正确．10．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 A ．140种 B ．84种 C ．70种 D ．35种 【答案】C【解析】直接法：1221454570C C C C +=． 间接法：33374570C C C --=．11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么 A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意，乙⇒甲，丙⇒乙，但乙⇒丙，从而可得甲⇒丙，丙⇒甲．12． )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++ 2lim22n nn →∞==+．13．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过．．．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】A C y x B B =--，由于0AC <且0BC <，所以0,0A CB B->->，故D 正确．14．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是 A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】若[7,3]x ∈--，则[3,7]x -∈，()()f x f x -=-是增函数的最大值为(3)f -=(3)5f -=-．15．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【解析】圆的标准方程为222(1)(2)x y +++=，圆心(1,2)--到直线10x y ++=的距离为2，故与直线10x y ++=平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．16．双曲线以直线1x =-和2y =为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一焦点的坐标是 ． 【答案】(2,2)-【解析】根据题意一个焦点落在2y =上，为(0,2)，则另一焦点满足012m+=-，得2m =-，所以另一焦点的坐标是(2,2)-．17．已知sin x =sin 2()4x π-= ．【答案】2【解析】2sin 2()sin(2)cos 22sin 1242x x x x ππ-=-=-=-=-．18．不等式2lg(22)1x x ++<的解集是 ． 【答案】{}42x x -<<|【解析】由题设得21(1)110x ≤++<，即2280x x +-<，解得42x -<<．19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项．若实数1>a ，那么a = ．【答案】1015+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅，则4352772C a C a ⋅=⋅+347C a ⋅，化简得251030a a -+=，由于1>a ，所以1015a =+．20．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知顶点A 上三条棱长分别是23,2,．如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所成的角分别是,,αβγ，那么222cos cos cos αβγ++=． 【答案】2【解析】∵11B C ⊥面11ABB A ，∴1AC 与面11ABB A 所成的角为11C AB α∠=；同理1AC 与面11ADD A 所成的角为11C AD β∠=；1AC 与面ABCD 所成的角为1C AC γ∠=．∵不妨设12,2,3AB AD AA ===，∴1113,6,7,5AC AC AB AD ====， ∴11111756cos ,cos ,cos 333AB AD AC AC AC AC αβγ======．所以222cos cos cos 2αβγ++=．三、解答题：本大题共6小题；共60分．21．（本小题满分8分）求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值．【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++222(sin cos )2sin cos 2cos x x x x x =+++ ——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++ ——3分2sin 2cos 222sin(2)4x x x π=++=++． ——5分当sin(2)14x π+=时y 取得最大值，这时最大值等于22+． ——6分22．（本小题满分8分）已知复数i z +=1，求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++ ——2分1i =-． ——4分1i -的模221(1)2r =+-=．因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-， 所以辐角的主值74θπ=． ——8分23．（本小题满分10分）如图，在三棱台111A B C ABC -中，已知1AA ⊥底面ABC ，11111AA A B B C a ===，1B B BC ⊥，且1B B 和底面ABC 所成的角45︒，求这个棱台的体积．【解】本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．因为1AA ⊥底面ABC ，所以根据线面垂线的 定义有1AA BC ⊥．又1BC BB ⊥，且棱1AA 和1BB 的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC ⊥侧面11A ABB ， 从而根据线面垂线的定义又可得出BC AB ⊥． ∴ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠=︒．并且1ABB ∠就是1BB 和底面ABC 所成的角，145ABB ∠=︒． ——3分 作1B D AB ⊥交AB 于D ，则11//B D A A ，故1B D ⊥底面ABC ． ∵1Rt B DB ∆中145DBB ∠=︒， ∴ 11DB DB AA a ===，∴2AB a =． ——6分 由于棱台的两个底面相似，故111Rt ABC Rt A B C ∆≅∆．∵1111,2B C A B a AB a ===，∴2BC a =．∴21111122a S A B B C =⋅=上，2122S AB BC a =⋅=下． ——8分11()3V A A S S S S =⋅⋅+⋅+下下棱台上上2222317(22)3226a a a a a a =⋅+⨯+=． ——10分24．（本小题满分10分）设{}n a 是等差数列，1()2n an b =．已知123123211,88b b b b b b ++==．求等差数列的通项n a ． 【解】本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程（组）解决问题的能力．满分10分．设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．∴()111()2a n dn b +-=．1112222132111()()()222a a d a d b b b ++===． 由12318b b b =，得3218b =，解得212b =． ——3分代入已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=.82181321321b b b b b b ，整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ，解这个方程组得1312,8b b ==或131,28b b ==． ——6分 ∴11,2a d =-=或13,2a d ==-． ——8分 所以，当11,2a d =-=时1(1)23n a a n d n =+-=-．当13,2a d ==-时1(1)52n a a n d n =+-=-． ——10分25．（本小题满分12分）设0,1a a >≠，解关于x 的不等式42221()xx a a a->． 【解】本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分． 解法一：原不等式可写成4222x x a aa-->． ① ——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论：（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ② ——3分由于01a <<时，判别式2440a ∆=->，所以②式等价于2211x x ⎧>⎪⎨<⎪⎩——5分解③式得x <或x >解④式得x << ——7分 所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||．——8分（Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑤ ——9分由于1a >，判别式0∆<，故⑤式对任意实数x 成立，即得原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． ——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． 解法二：原不等式可写成2242a x x a a-->． ① ——1分（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ②——3分分解因式得22(110x x --<． ③即2210,10;x x ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩ 或2210,10.x x ⎧-+⎪⎨-->⎪⎩——5分解由④、⑤组成的不等式组得x<<x <<．——7分 由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；——8分 （Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑧ ——9分配方得222(1)10x a -+->， ⑨对任意实数x ，不等式⑨都成立，即1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．26．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q，且,OP OQ PQ ⊥=．求椭圆的方程． 【解】本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．解法一：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组22221,1.x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩将②式代入①式，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=，③ ——2分 设方程③的两个根分别为12,x x ，那么直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++． ——3分由题设,OP OQ PQ ⊥=，可得[]12122222121111()(1)(1)(.2x x x x x x x x ++⎧⋅=-⎪⎪⎨⎪-++-+=⎪⎩，整理得()()12122121221041650.x x x x x x x x +++=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，——6分 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=；，23412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=.21412121x x x x ，根据根与系数的关系，由③式得（Ⅰ）2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，；或（Ⅱ）2222222212(1)1.4a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩， ——10分资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分 解法二：同解法一得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=， ③ ——2分解方程③得 22222222222111b a b a ab a x b a b a ab a x +-+--=+-++-=，． ④ ——4分 则直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++．由题设OP OQ ⊥，得1212111x x x x ++⋅=-． ⑤ 将④式代入⑤式，整理得22222a b a b +=． ⑥由PQ =，得[]2222121()(1)(1)x x x x -++-+=，即2215()4x x -=．⑦ 将④式代入⑦式，整理得22222224(1)5()4a b a b a b +-=+． ⑧ 将⑥式、⑧式联立，整理得2222834.3a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解此方程得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分。

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）已知()()==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-a x x a x xosx x f x 处连续，则，在，，0002_____________.（2）设则,11ln2xxy +-==''=0x y _____________.（3）()=-⎰x x dx4_____________.（4）设=++⎰+∞284x x dx_____________. （5）已知向量组)2,5,4,0(,0,0,21,12,132,1--==-=ααα），（），（t 的秩为2，则t =_____________. 二、选择题 1.设n x xx e e x 与时，-→tan ,0是同阶无穷小，则n 为（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>记1231(),()(),[()()](),2baS f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-⎰则（ ） (A)123S S S << (B) 231S S S << (C)312S S S <<(D)213S S S <<(3)已知函数()x f y =对一切x 满足()()()()则若,00,1][3002≠='-='+''-x x f e x f x x f x x（ ）(A)()()的极大值是x f x f 0 (B)()()的极小值是x f x f 0(C)()）的拐点（是，x f y x f x =)(00(D)()()()()的拐点也不是曲线的极值，不是x f y x f x x f x f =)(,000 (4)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x （ ）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数（5）.设()()()为则][,0,0,,0,20,22x f g x x x x x f x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥-<=>+≤-=（ ） ⎧<+0,22x x ⎧<-0,22x x（C ）⎩⎨⎧≥-<-0,20,22x x x x（D ）⎩⎨⎧≥+<+0,20,22x x x x三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） （1）求极限.sin 114lim22xx x x x x +++-+-∞→（2）设()⎩⎨⎧=+-==52arctan 2te ty y t x x y y 由所确定，求.dx dy（3）计算.)1(tan 22dx x e x +⎰（4）求微分方程()()0223222=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A*为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是[]（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα （8）设()(1)f x x x =-, 则[]（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.（9）22lim (1)n nn→∞+等于[]（A ）221ln xdx ⎰. （B ） 212ln xdx ⎰.（C ） 212ln(1)x dx +⎰. （D ） 221ln(1)x dx +⎰（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 []（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. （D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 []（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于[]（A）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. （D ）2sin 200(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为[]（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有[]（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一． 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .[ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 [ ]（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ](A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.（5）01xdx x 02tan , 则 [ ](A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则[ ](A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xex⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）． 2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1lim 1cos n n →∞++=（ ）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--x dt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy eyx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）． 六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、 填空题1．2．3.4.5.二、选择题6. 7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16. 17.18.19.20.21.1999 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1998 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)。

1991考研数二真题及解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3) 21ln xdx x+∞=⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,则从时刻1t =秒到2t =点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米. (5) 1101lim x x xex e+→-=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数2 , 01,()2,12,x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )(A) 32, 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) 32, 013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (C) 322 , 013()2,1232x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D) 32, 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( )(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点 (C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x 都有0()()f x f x ≤ (4) 曲线2211x x e y e--+=-( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )(A) 02()l km dx a x μ--⎰(B) 20()l km dx a x μ-⎰ (C) 0222()l km dx a x μ-+⎰ (D) 2202()lkm dx a x μ+⎰三、(每小题5分,满分25分.)(1) 设cos sin x t t y t t =⎧⎨=⎩,求22d ydx .(2) 计算41⎰(3) 求 20sin lim(1)xx x xx e →--. (4) 求 2sin x xdx ⎰.(5) 求微分方程x xy y xe '+=满足(1)1y =的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.六、(本题满分9分)曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A 和D 分别是曲线x y e =和2x y e -=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且:2:1AB DC =,1AB <,求点B 和C 的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.八、(本题满分9分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx ππ⎰.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 331xdx -+ 【解析】由复合函数求导法则,即(())y f x ϕ=的微分为(())()dy f x f x dx ϕ''=,有1ln 33ln 3(1)1331xx xdy dx dx --=⋅⋅-=-++. (2)【答案】(【解析】求函数()y f x =的凹凸区间,只需求出y '',若0y ''>,则函数图形为上凹,若0y ''<,则函数图形为上凸,由题可知22(2)2,x x y e x xe --'=⋅-=-222212(2)(2)4()2x x x y e x e x e x ---''=-+-⋅-=-.因为240x e ->,所以当2102x -<时0y ''<,函数图像上凸,即21,222x x <-<<时, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为(. (3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.22111ln ln 1lim lim ln ()b b b b x x dx dx xd x x x+∞→+∞→+∞==-⎰⎰⎰ 11ln 11lim ()bb b x dx x x x →+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=---⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰分部1ln ln11ln 1lim lim ()111bb b b b b x b b →+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=-++-=-++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭.(4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在t t dt →+时刻的速度为2sin()t t ,则在dt 时间内的路程为2sin()ds t t dt =,所以从时刻1t =2t =212sin()t t s t t dt =⎰2221sin())2t dt t dt ==21111cos((cos cos )(10)22222t ππ=-=--=---=.(5)【答案】1-【解析】这是一个∞∞型未定式,分子分母同乘以1x e -,得1111011lim lim 1x x x x xxeex e xe++-→→---=++.为简化计算,令1t x =-,则1x t=-,原式可化为1101101limlim 10111t x t t x xee e xet+-→-∞→----===-+-++.二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对x 求导,得2y x a '=+,则该曲线在点(1,1)-处的导数为12x y a ='=+,3223y y xy y ''=+,即3223y y xy '=-,则曲线在点(1,1)-处的导数为321(1)1231(1)x y =-'==-⋅⋅-, 两导数相等,有21a +=,即1a =-.又因为曲线2y x ax b =++过点(1,1)-,所以有1111,1a b b b b -=++=-+==-. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分. 当01x ≤≤时,2()f x x =,所以2330011()()33xxxF x f t dt t dt t x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x <≤时,()2f x x =-, 所以121()()(2)xxF x f t dt t dt t dt ==+-⎰⎰⎰132201111112(2)(2)32322xt t t x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦271262x x =-+-.所以32,013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩,应选(B). (3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如()1f x x =--,在01x =处取极大值,但是01x =不是()1f x x =--的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于()|1|f x x =--,在01x =处取极大值,但01x -=-并非是()|1|f x x -=-的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为00x ≠,不妨设00x >,则0()f x 为极大值,则在0x 的某个领域内有00()()f x f x x >±∆；函数()y f x =--与函数()y f x =关于原点对称,所以必有00()()f x f x x --<--±∆,即在0x -的某个领域内0()f x --为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线. (5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则x x dx →+中,dx 长度的细杆的质量为dx μ,与质点的距离为a x -,故两点间的引力为2()km dx dF a x μ=-,积分得02()l km F dx a x μ-=-⎰,故选(A).同理应用微元法可知,若以l 的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2la +,故222()2l l km F dx l a x μ-=+-⎰； 若以l 的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)a l +,故20()lkm F dx a l x μ=+-⎰.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sin cos /cos sin dy dy dt t t tdx dx dt t t t+==-, 221sin cos 1()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t t dt+=⋅=⋅-- 2(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t--+++=⋅--2222232(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t tt t t +++-+=-232(cos sin )t t t t +=-. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则 ()()dy t dx t ϕφ'='. (2)【解析】用换元法求定积分.令t =,则2,2x t dx tdt ==,则422211111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰⎰⎰ 212142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当0x →时,有sin ,1xxx e x +,所以22232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim (1)3336x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)【解析】用分部积分法求不定积分.21cos 21sin (cos 2)22x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰⎰⎰ 21111cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111sin 2cos 2448x x x x C =--+. (5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1x y y e x'+=.通解为111()()dx dx xx x x y e e e dx C xe dx C x-⎰⎰=+=+⎰⎰111()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x=+=-+=-+⎰⎰.代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11x x y e x x-=+. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解为()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有1()ln(1)1ln 1ln()x f x x x x +'=++--=. 因1x >,故11x x+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x x x +>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x x x+>+成立.五、(本题满分9分)【解析】微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos x e x x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得10,2A B ==. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2x Y Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()x m f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k x m y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()mR x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =22x =,顶点坐标为31(,)24-. 方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周, 环柱体的体积为222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+其中2dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得2223112(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰ 234211122(0)442x x x πππ⎡⎤=--=+=⎢⎥⎣⎦. 方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即2221dV x dy x dy ππ=-其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >,把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得12314314,y y x x -+++==, 故旋转体体积为0221214()V x x dy π-=-⎰.把12,x x 的值代入化简,得30211443232314(14)43432V ydy y ππππ--⎡⎤=+=⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解.设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设 :2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =- 而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->, 所以梯形ABCD 的面积为122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=+-=+-23(3ln 2)2x x e -=-.求函数23(3ln 2)2x S x e -=-,(0x >)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有23(362ln 2)02x S x e -'=-+=, 得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223x =+是极大值点. 又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2x S x e -=-最大值点. 此时11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 面积最大, 故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.八、(本题满分9分)【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈, (2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈, 而 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰,对于2()f x dx ππ⎰,令t x π=-,则,x t dx dt π=+=,所以200()()(sin )f x dx f t dt t t dt πππππ=+=-⎰⎰⎰; 对于32()f x dx ππ⎰,令2t x π=-,则2,x t dx dt π=+=,所以3200()(2)f x dx f t dt tdt πππππ=+=⎰⎰⎰; 所以 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰ 00(sin )t t dt tdt ππ=-+⎰⎰ 002sin tdt tdt ππ=-⎰⎰ []2200cos 2t t πππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。

中科院遗传学考研真题分析中国科学院遗传研究所硕⼠学位研究⽣1991年⼊学考试普通遗传学试题⼀、名词解释（20分）剂量补偿作⽤组成性突变性选择压⼒渐渗杂交转染 F因⼦回⽂环异源多倍体反义核酸克隆（⽆性繁殖系）选择学说⼆、选择题（10分）1、某⼈是⼀个常染⾊体基因的杂合⼦Bb，⽽他带有⼀个隐性的X连锁基因d。

在他的精⼦中有多⼤⽐例带有bd基因。

(a)0；(b)1/2；(c)1/8；(d)1/16；（e）1/4。

2、有图谱系中，涂⿊者为带有性状的W个体，这种性状在群体中是罕见的。

如下哪种情况是于谱系中的传递情况⼀致的？●□●□□●■○●●●●■○(a)常染⾊体隐性；(b)常染⾊体显性；（c）X连锁隐性；（d）X连锁显性；（e）Y连锁。

3、在⼀个突变过程中，⼀对额外的核苷酸插⼊DNA内，会得什么样的结果？(a)完全没有蛋⽩产物；(b)产⽣的蛋⽩中有⼀个氨基酸发⽣变化。

(c)产⽣的蛋⽩中有三个氨基酸发⽣变化。

(d)产⽣的蛋⽩中有⼀个氨基酸发⽣变化。

(e)产⽣的蛋⽩中，插⼊部位以后的⼤部分氨基酸都发⽣变化。

4、假设某种⼆倍体植物的细胞质在遗传上不同于植物B。

为了研究核-质关系，想获得⼀种植株，这种植株具有A的细胞质，⽽细胞核却主要是B的基因组，应该怎样做？(a)A×B的后代连续⾃交(b)B×A的后代连续⾃交(c) A×B的后代连续与B回交(d) A×B的后代连续与A回交(e) B×A的后代连续与B回交；（f）B×A的后代连续与A回交。

三、问答题：1、某城市医院的94,075个新⽣⼉中，有10个是软⾻发育不全的侏儒（软⾻发育不全是⼀种充分表现的常染⾊体显性突变），其中只有2个侏儒的⽗亲或母亲是侏儒。

试问在配⼦中来⾃软⾻发育不全的突变频率是多少？（10分）2、某种介壳⾍的⼆倍体数为10，在雄性细胞中，5个染⾊体总是呈异染⾊质状态，另外5个染⾊体呈常染⾊质状态。

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)21ln xdx x+∞=⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,则从时刻1t =2t =过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.(5) 1101lim x x xex e+→-=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数2 , 01,()2,12,x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )(A) 32 , 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) 32, 013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C) 322 , 013()2,1232x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D) 32, 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( )(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点(C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x 都有0()()f x f x ≤ (4) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )(A)2()l km dx a x μ--⎰ (B) 20()l km dx a x μ-⎰(C) 0222()l km dx a x μ-+⎰ (D) 2202()lkm dx a x μ+⎰三、(每小题5分,满分25分.)(1) 设cos sin x t t y t t=⎧⎨=⎩,求22d y dx .(2) 计算41⎰(3) 求 20sin lim(1)xx x xx e →--. (4) 求 2sin x xdx ⎰.(5) 求微分方程xxy y xe '+=满足(1)1y =的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.六、(本题满分9分)曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A 和D 分别是曲线x y e =和2x y e -=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且:2:1AB DC =,1AB <,求点B 和C 的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.八、(本题满分9分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx ππ⎰.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 331xdx -+ 【解析】由复合函数求导法则,即(())y f x ϕ=的微分为(())()dy f x f x dx ϕ''=,有1ln 33ln 3(1)1331xx xdy dx dx --=⋅⋅-=-++. (2)【答案】( 【解析】求函数()y f x =的凹凸区间,只需求出y '',若0y ''>,则函数图形为上凹,若0y ''<,则函数图形为上凸,由题可知22(2)2,x x y e x xe --'=⋅-=-222212(2)(2)4()2x x x y e x e x e x ---''=-+-⋅-=-.因为240x e->,所以当2102x -<时0y ''<,函数图像上凸,即21,2x x <<<, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为(. (3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.22111ln ln 1lim lim ln ()b b b b x x dx dx xd x x x+∞→+∞→+∞==-⎰⎰⎰ 11ln 11lim ()bb b x dx x x x →+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=---⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰分部1ln ln11ln 1lim lim ()111bb b b b b x b b →+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=-++-=-++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭. (4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在t t dt →+时刻的速度为2sin()t t ,则在dt 时间内的路程为2sin()ds t t dt =,所以从时刻1t =2t =212sin()t t s t t dt =⎰2221sin())2t dt t dt ==21111cos((cos cos )(10)22222t ππ=-=--=---=.(5)【答案】1-【解析】这是一个∞∞型未定式,分子分母同乘以1x e -,得1111011lim lim 1x x x x xxeex e xe++-→→---=++.为简化计算,令1t x =-,则1x t=-,原式可化为 1101101limlim 10111t x t t x xee e xet+-→-∞→----===-+-++.二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等, 对两函数分别对x 求导,得2y x a '=+,则该曲线在点(1,1)-处的导数为12x y a ='=+,3223y y xy y ''=+,即3223y y xy'=-,则曲线在点(1,1)-处的导数为 321(1)1231(1)x y =-'==-⋅⋅-, 两导数相等,有21a +=,即1a =-.又因为曲线2y x ax b =++过点(1,1)-,所以有1111,1a b b b b -=++=-+==-. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分.当01x ≤≤时,2()f x x =,所以2330011()()33xxxF x f t dt t dt t x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x <≤时,()2f x x =-, 所以121()()(2)xxF x f t dt t dt t dt ==+-⎰⎰⎰132201111112(2)(2)32322xt t t x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 271262x x =-+-. 所以32,013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩,应选(B).(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如()1f x x =--,在01x =处取极大值,但是01x =不是()1f x x =--的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于()|1|f x x =--,在01x =处取极大值,但01x -=-并非是()|1|f x x -=-的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为00x ≠,不妨设00x >,则0()f x 为极大值,则在0x 的某个领域内有00()()f x f x x >±∆；函数()y f x =--与函数()y f x =关于原点对称,所以必有00()()f x f x x --<--±∆,即在0x -的某个领域内0()f x --为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则x x dx →+中,dx 长度的细杆的质量为dx μ,与质点的距离为a x -,故两点间的引力为2()km dx dF a x μ=-,积分得02()l km F dx a x μ-=-⎰,故选(A). 同理应用微元法可知,若以l 的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2la +,故 222()2ll km F dx l a x μ-=+-⎰；若以l 的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)a l +,故20()lkm F dx a l x μ=+-⎰.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sin cos /cos sin dy dy dt t t t dx dx dt t t t+==-, 221sin cos 1()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t tdt+=⋅=⋅-- 2(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t--+++=⋅-- 2222232(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t tt t t +++-+=- 232(cos sin )t t t t +=-. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则 ()()dy t dx t ϕφ'='.(2)【解析】用换元法求定积分.令t =则2,2x t dx tdt ==,则422211111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰⎰⎰212142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当0x →时,有sin ,1x x x e x + ,所以22232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim(1)3336x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)【解析】用分部积分法求不定积分.21cos 21sin (cos 2)22x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰⎰⎰ 21111cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111sin 2cos 2448x x x x C =--+. (5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1xy y e x'+=.通解为111()()dx dx x x xx y e e e dx C xe dx C x-⎰⎰=+=+⎰⎰111()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x=+=-+=-+⎰⎰. 代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11xx y e x x-=+. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有1()ln(1)1ln 1ln()x f x x x x+'=++--=.因1x >,故11x x+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)【解析】微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos x e x x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得10,2A B ==. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2xY Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k x m y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =22x =,顶点坐标为31(,)24-.方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周,环柱体的体积为222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+其中2dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得2223112(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰234211122(0)442x x x πππ⎡⎤=--=+=⎢⎥⎣⎦.方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即 2221dV x dy x dy ππ=-其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >, 把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得12x x ==, 故旋转体体积为0221214()V x x dy π-=-⎰.把12,x x 的值代入化简,得32114432323(14)43432V y πππ--⎡⎤==⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解.设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设:2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =-而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->,所以梯形ABCD 的面积为122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=+-=+-23(3ln 2)2x x e -=-. 求函数23(3ln 2)2x S x e -=-,(0x >)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有23(362ln 2)02x S x e -'=-+=, 得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223x =+是极大值点. 又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2x S x e -=-最大值点. 此时11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 面积最大, 故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.八、(本题满分9分)【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈,(2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈, 而3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰, 对于2()f x dx ππ⎰,令t x π=-,则,x t dx dt π=+=,所以200()()(sin )f x dx f t dt t t dt πππππ=+=-⎰⎰⎰; 对于32()f x dx ππ⎰,令2t x π=-,则2,x t dx dt π=+=,所以3200()(2)f x dx f t dt tdt πππππ=+=⎰⎰⎰; 所以 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰ 00(sin )t t dt tdt ππ=-+⎰⎰ 002sin tdt tdt ππ=-⎰⎰[]2200cos 2t t πππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。