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第七节 指数函数与对数函数1．理解指数函数和对数函数的概念，并理解指数函数和对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．2．知道指数函数和对数函数是两类重要的函数模型．3．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)．知识梳理一、指数函数与对数函数的关系同底的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．二、指数函数与对数函数的图象所经过的定点1．指数函数y ＝a x 的图象经过定点(0,1)，函数y ＝a x－m 的图象经过定点________，函数y ＝a x －m ＋n 经过定点______． 2．对数函数y ＝log a x 的图象经过定点(1,0)，函数y ＝log a (x －m )的图象经过定点________，函数y ＝n ＋log a (x －m )经过定点________．二、1.(m,1) (m,1＋n ) 2.(m ＋1,0) (m ＋1，n )基础自测1．(2013·温州八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ＜0，ln x ，x ＞0，则f (f (e 1))＝( ) A.1eB ．eC ．－1eD ．－e解析：由题意得，f (f (e1)) ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1e ＝f (－1)＝e －1＝1e . 答案：A2．(2013·山东滨州一模)“10a ＞10b ”是“lg a ＞lg b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由10a ＞10b 得a ＞b ，由lg a ＞lg b 得a ＞b ＞0，所以“10a ＞10b ”是“lg a ＞lg b ”的必要不充分条件，故选B.答案：B3. 若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝______.解析：由于互为反函数的关系，f (x )过点(－1,2)，代入得a －1＝2⇒a ＝12. 答案：12解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log a (－1＋b )＝0，log a b ＝1，∴a ＝b ＝2∴y ＝log 22x ＝1＋log 2x ，增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．(2012·天津卷)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则函数y ＝log b 2x 的单调增区间为________.解析：b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8＜21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522＜log 55＝1＜20.8＝b ，故c ＜b ＜a . 答案：A2．(2013·湖南卷)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析： 二次函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象开口向上，在x 轴上方，对称轴为x ＝2，g (2) ＝ 1; f (2) ＝2ln 2＝ln 4>1.所以g (2)<f (2), 从图象上可知交点个数为2 .故选B.答案： B1．(2012·大连市双基测试)为了得到函数y ＝3⎝⎛⎭⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度 解析：因为y ＝3⎝⎛⎭⎫13x ＝⎝⎛⎭⎫13x －1，所以将y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象向右平移1个单位长度即可．故选D.答案：D2．(2013·揭阳一模)已知集合A ＝{x |y ＝log 2(x ＋1)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ＞0，则A ∩B ＝( )A ．(1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(0，＋∞)D ．(0,1)解析：由A ＝{x |y ＝log 2(x ＋1)}＝{x |x ＞－1}＝(－1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ＞0＝{y |0＜y ＜1}＝(0,1)，所以A ∩B ＝ (－1，＋∞)∩(0,1)＝(0,1)．故选D.答案：D。
课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·某某调研)函数y ＝log 232x －1的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．答案：(－∞，－2)3．(2016·某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案：a ＝b >c4．(2015·某某高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－15．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为________． 解析：在同一坐标系中分别作函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象如图所示．由图可知y ＝|x －2|与y ＝ln x 有2个交点，所以函数f (x )零点的个数为2.答案：22．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝331-log 2＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：53．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .答案：a >b >c4．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：15．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)6．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图象上，从而由2＝2，得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x上，从而y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．(2016·某某四市调研)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值X 围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 2．(2016·某某中学月考)已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值X 围为(－∞，－3)．。
第七节 指数函数与对数函数1.(2013·德州二模)函数y ＝|x |axx(a ＞1)的图象大致形状是( )解析：当x ＞0时，y ＝a x(a ＞1)为增函数．当x ＜0时，y ＝－a x (a ＞1)与y ＝a x关于x 轴对称．故选B.答案：B2. 已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)的图象如右图所示，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2xB ．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ． g (x )＝log 12xD ．g (x )＝log 2x解析：由图象知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)过点(2，－1)，∴log a 2＝－1.∴a ＝12.∵函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝g (x )与y ＝f (x )互为反函数．∴g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.故选B.答案：B3．(2013·河北省高三质监)函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3解析：由3x －a ＞0得x ＞a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，得a ＝2. 故选A. 答案：A4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12x C.12x D ．x2解析：f (x )＝log a x ，点(a ，a )在其图象上，∴a ＝log a a ，即a a＝a 12，解得a ＝12.∴f (x )＝log 12x .故选B.答案：B5．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．0解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f (2 014)＝a log 212 014＋b log 312 014＋2＋a log 22 014＋b log 32 014＋2＝4，∴f (2 014)＝0. 答案：D6. (2013·洛阳质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，g x ，x ＞0.若f (x )是奇函数，则g (2)的值是( )A ．－12 B.12 C ．－ 14 D.14解析：令x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝2－x，又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )＝－2－x ，∴g (x )＝－2－x, ∴g (2)＝－2－2＝－14. 故选C.答案：C7．(2013·汕尾二模)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x，ln x x ＞，则g (g (0))＝________.解析：∵当x ＝0时，g (x )＝e x ，∴当x ＝0时，g (0)＝e 0＝1， ∴g (g (0))＝g (1)，∵当x ＞0时，g (x )＝ln x ，∴当x ＝1时，g (1)＝ln 1＝0，∴g (g (0))＝0，故答案为0.答案：08．定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案：39．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图象恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数．下列函数中为一阶格点函数的序号是________________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x－1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①、④都有无数个格点，②有两个格点(1,1)、(－1，－1)，而③y ＝e x－1除了(0,0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．填③.答案：③10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象与函数g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝g (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列命题：①h (x )的图象关于原点对称；②h (x )为偶函数；③h (x )的最小值为0；④h (x )在(0,1)上为减函数．其中正确命题的序号为____________(将所有正确命题的序号都填上)．答案：②③ 11. (2013·抚顺月考)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解析：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求．12．已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)若函数f (x )为奇函数，求a 的值．(2)若a ＝2，则是否存在实数m ，n (m ＜n ＜0)，使得函数y ＝f (x )的定义域和值域都为[m ，n ]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.∴a ＝1.(2)(法一)不存在实数m ，n 满足题意．易知f (x )＝2－22x＋1. ∵y ＝2x在R 上是增函数，∴f (x )在R 上是增函数． 假设存在实数m ，n (m ＜n ＜0)满足题意， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2－22m ＋1＝m ，①2－22n＋1＝n ，②∵m ＜0，∴0＜2m＜1.∴0＜2－22m ＋1＜1.而①式左边＞0，右边＜0，故①式无解． 同理②式无解．故不存在实数m ，n 满足题意． (法二)不存在实数m ，n 满足题意．易知f (x )＝2－22x ＋1.∵y ＝2x在R 上是增函数，∴f (x )在R 上是增函数． 假设存在实数m ，n (m ＜n ＜0)满足题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m ，f (n )＝n ，即m ， n 是方程f (x )＝x 的两个不等负根．由2－22x＋1＝x ，得2x＋1＝－2x －2. 令h (x )＝2x＋1，g (x )＝－2x －2.∵函数g (x )在(－∞，0]上单调递增， ∴当x ＜0时，g (x )＜g (0)＝1. 而h (x )＞1，∴h (x )＞g (x )．∴方程2x＋1＝－2x －2在(－∞，0)上无解．故不存在实数m ，n 满足题意．。
教学过程一、课堂导入问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，依此类推，当细胞个数为x时，细胞分裂次数y与x之间的关系式是什么？y是关于x的函数吗？问题2：《庄子-天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，试问当木棰剩余部分长度为x时，被截取的次数y 与x之间的关系式是什么？二、复习预习1.指数幂的运算法则2.指数函数的概念、指数函数的图象与性质3.与指数函数有关的复合函数问题的处理方法三、知识讲解考点1 对数的定义如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．考点2 对数的性质与运算(1)对数的性质(a>0且a≠1)：①log a1＝0；②log a a＝1；③a log a N＝N.(2)对数的换底公式：log a b＝log c blog c a(a，c均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(M·N)＝log a M＋log a N，②log a MN＝log a M－log a N，③log a M n＝n log a M(n∈R)．考点3 对数函数的图象与性质考点4 反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．四、例题精析【例题1】【题干】求解下列各题：(1)12lg3249－43lg 8＋lg 245＝________；(2)若3a＝2，则2log36－log316＝________；(3)已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且log x m＝24，log y m＝40，log xyz m＝12，则log z m的值为________．【答案】(1)12(2)2－2a (3)60【解析】 (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)因为3a ＝2，所以a ＝log 32.故2log 36－log 316＝2(log 33＋log 32)－log 324＝2(1＋a )－4log 32＝2＋2a －4a ＝2－2a . (3)由已知可得log m x ＝124，log m y ＝140，log m (xyz )＝112， 于是log m z ＝log m (xyz )－log m x －log m y ＝112－124－140＝160， 故log z m ＝60.【例题2】【题干】（1）已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0（2）设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【答案】（1）B （2）A【解析】（1）由题意知，x 0是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 和y ＝log 3x 的图象交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，由图知，⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 1>log 3x 1，所以f (x 1)的值恒为正数．（2）如图，在同一坐标系中，作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝2x ，y ＝log 2x 和log 12x 的图象． 由图象可知a <b <c .【例题3】【题干】已知函数f(x)＝lg(x＋1)(1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈[1,2])的解析式．【解析】(1)由⎩⎨⎧ 2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1. 由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1<1 得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13.由⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 即函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式为g (x )＝lg(3－x )，x ∈[1,2]．【例题4】【题干】(2012·新课标全国卷)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)【答案】B【解析】 ∵0<x ≤12，∴4x >1又4x <log a x ，∴a ∈(0,1)则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图所示．∴只需满足log a 12>2即可，解之得a >22，∴22<a <1.四、课堂运用【基础】1．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)等于()A.1b B．－1bC．－b D．b解析：选C易知f(x)的定义域为(－1,1)，则f(－x)＝lg 1＋x1－x＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．∴f(－a)＝－f(a)＝－b.2．已知函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则() A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：选B因为f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数f(x)＝log a|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．3．(2013·丹东模拟)函数y＝log2(x2＋1)－log2x的值域是() A．[0，＋∞) B．(－∞，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x＝ log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥log 22＝1(x >0)．【巩固】4．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lg x．若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.解析：∵f(x)＝lg x，f(ab)＝1.∴lg(ab)＝1.∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2lg a＋2lg b＝2lg(ab)＝2. 答案：25．若不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，∴0<a <1，且14<log a 12.∴⎩⎨⎧ 0<a <1，a 14>12，解得116<a <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1【拔高】6．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．解：(1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )，∴log 4(4x ＋1)＋2kx ＝log 4(4－x ＋1)－2kx ，即log 4 4x ＋14－x ＋1＝－4kx . ∴log 4 4x ＝－4kx ， 即x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0，对一切x ∈R 恒成立．∴k ＝－14.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4 4x ＋12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ， ∵2x ＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝12. 故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.7．设函数y＝f(x)且lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)．(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域；(3)讨论f(x)的单调性．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，∴lg y ＝3x ·(3－x )．∴f (x )＝103x (3－x )且⎩⎨⎧3x >0，3－x >0，⇒0<x <3. (2)∵f (x )＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，则f (x )＝10u ，当x ＝32∈(0,3)时，u max ＝274， ∴u ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，274.∴f (x )∈(1,10274]． (3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274是增函数， 而y ＝10u 为增函数，∴在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32上，f (x )是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3上，f (x )是减函数．课程小结1.在运用性质log a M n＝n log a M时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a M n＝n log a|M|(n∈N*，且n为偶数)．2．对数值取正、负值的规律：当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，log a b<0.3．对数函数的定义域及单调性：在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝log a x的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．。
