一元一次方程-第8讲补充资料

第08讲一元一次方程的概念与解法（8大考点）一、方程和一元一次方程的概念 1）方程：含有未知数的等式。

如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。

如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程 三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。

即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。

即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a cb c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子）例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。

四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程 方法：1）合并同类项；2）系数化为1 五、移项解一元一次方程 （1）移项 例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3） 2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ） -2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。

3.8解一元一次方程（三）— 去分母学习目标：会运用等式性质，正确去分母解一元一次方程学习重点：去分母解方程。

学习重点：去分母时，不含分母的项会漏乘公分母，及没有对分子加括号学习过程一 探究新知1.求下列各数的最小公倍数：（1）2，3，4 （2）3，6，8 （3）3，4，18在上面的题中，可以保留分母，也可以去掉分母，得到整数系数，这样做比较简便。

所以若方程中含有分母，则应先去掉分母，这样过程比较简便。

2.解方程：（1）95)3(+=--x x （2）)212(22--=-x x 3.①解方程：43312-=-x x 解：两边都乘以 ，去分母，得 ，依据： 去括号，得 ，依据：移项，得 ， 依据：合并同类项，得 ，依据：系数化为1，得 依据：练习：解方程：655314+=-x x ②解方程：31241213--+=-+x x x x 解：两边都乘以 ，去分母，得 ，依据：去括号，得 ，依据：移项， 得 ，依据：合并同类项，得 ，依据：系数化为1， 得 ，依据：练习：解方程：632141+-=+-x x 4.解一元一次方程的一般步骤为：①分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤ 系数化为15.去分母的方法：①找出各分母的 ；②方程的两边同 各分母的最小公倍数，把所有的分母都约去 去分母时要注意的事项：①方程的两边同乘以各分母的最小公倍数，就是方程的 都乘以各分母的最小公倍数，包括没有分母的项,不要漏掉任何一项；②当某一项的分子是多项式时，要用 把分子括起来；③各项的符号保持不变二 自我测试1.方程13733x x x -+-=-的解是（ ）A x=17／3 B x=19／3 C x=23／3 D x=25／3 2.m= ，代数式3152--m m 的值与代数式27m -的值的和等于5 3.解方程：（1）5131+=-x x （2）51131+=--x x （3）1625543312-+=++-x x三 达标测评1.对方程2152311364y y y -++-=-去分母时，正确的是（ ）A 4（2y-1）-2×5y+2=3y+1-12B 4（2y-1）-2（5y+2）=3（3y+1）-1C 4（2y-1）-2（5y+2）=3（3y+1）-12D 4（2y-1）-2（5y+2）=3×3y+1-12 2.将方程 1.20.310.30.2x x -=+中分母化为整数，正确的是（ ） A 101231032x x -=+ B 10123132x x -=+ C 1.20.31032x x -=+ D 1.20.3132x x -=+ 3.解方程：（1）4232+=-x x （2）21141+=--x x （3）223131x x --=--（4）32213415x x x --+=- （5）162312=+-+x x （6）5124121223+--=-+x x x（7）5222123--=--x x x （8）5246+-x x -1＝468435+-++x x x （9）2233534--+=+-+y y y y4.k 取何值时，代数式31+k 的值比213+k 的值小15.当m 取什么整数时，关于x 的方程1514()2323mx x -=-的解是正整数6.学校图书管理员整理一批图书，由一个人做要80小时完成，现在计划由一部分人先做8小时，再增加2人和他们一起做16小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应该先安排多少人工作8小时？四 课内小结。

第08讲 实际问题与一圆一次方程考点·方式·破译1．会思路实际问题中地数量关系,从而建立数学模型•2．熟练掌握运用方程解决实际问题•经典·考题·赏析【例１】（贵阳）由调查地统计,个体服装店销售衣服只要高出进价地20%便可盈利,但老板们常以高出进价50%～100％标价,假如购买一件衣服标价为300圆地服装,应在什么范围内还价？【解法指导】市场营销中涉及地数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝商品进价商品利润。

⑶商品售价＝进价×（1+利润率）解：设原进价为x 圆,由题意得①当利润为50%时：（1+50%)x ＝400 解得x ＝3800②当利润为100%时：（1+100%)x ＝400 解得x ＝200所以：3800×（1+20%）＝320（圆） 200×（1+20%）＝240（圆）答：应在240～320圆范围内还价•【变式题组】01．（黑龙江）某超市推出如下地优惠方案：⑴一次性购物不超过100圆不享受优惠。

⑵一次性购物超过100圆但不超过300圆一律九折。

⑶一次性购物超过300圆一律八折•王波两次购物分别付款80圆，252圆•假如王波一次性购买与上两次相同地商品,则应付款（ ）A ．288圆B ．322圆C ．288或316圆D ．332或363圆02．（北京市海淀区）白云商场购进某种商品地进价是每件8圆售价是每件10圆•为了扩大销售量把每件商品地售价降低百分之x 出售要求卖出一件所获得地利润是降价前所获得地利润地百分之90,则x 等于（ ）A ．1B ．1.8C ．28D ．2903．（菏泽）某书店把一本新书按标价地九折出售,仍可获利20%,若该书地进价为21圆,则标价为（ ）A ．26圆B ．27圆C ．28圆D ．29圆【例２】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车地停车费为6圆/辆,小型汽车地停车费为4圆/辆,某天有45辆中小型车中，小型汽车,这些车共缴纳停车费230圆,停车场中，小型汽车各有多少辆？【解法指导】本题中地等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费•解：设中型车辆有x 辆,则小型车辆有(50－x )辆,由题意得6x +4(50－x )＝230,解得x ＝15 50－x ＝35答：中小型车辆分别是15辆，35辆•【变式题组】01．(东营)学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划多1人,则要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是（ ）A ．144 人B ．72人C ．48 人D ．36人02．(湖南)某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生地积极响应,实际赠书3780册其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校初，高中原计划各赠书多少册？03．(佛山)小敏准备用21圆钱买笔和笔记本,已知每只笔3圆,每本笔记本2圆2角,他买了两本笔记本之后,还可以买几支笔（ ）A ．1支B ．2支C ．3支D ．4支【例3】(北京)京津城际铁路于2008年8月1日开通运营,预计高速列车在北京，天津间单程直达运行地时长为半小时•某次试车时,试验列车有北京到天津地行驶时长比预计时长多用了6分,由天津返回北京地行驶时长与预计时长相同•假如这次试车时,由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米,那么这次是车是由北京到天津地平均速度是每小时多少千米？【解法指导】在行程问题中,通常要运用“路程＝速度×时长”关系探求数量关系和相等关系解：设这次试车时,由北京到天津地平均速度是每小时x 千米,由天津返回北京地平均速度是每小时(x +40)千米由题意得2160630=+x （x +40）解得x ＝200答：这次试车时,由北京到天津地平均速度是每小时200千米•【变式题组】01．(长沙)汽车在中途受阻耽误了6分钟,然后将时速由原来地每小时40千米提为每小时50千米,那么要想将耽误地时长补上,则需要这样走（ ）A ．10千米B ．20千米C ．40千米D ．50千米02．(南昌)某市出租车地收费标准时：起步价5圆,（即路程不超过3km 地车费为5圆）,3km 后每千米收费1.2圆,某人乘出租车共付了11圆,那么此人坐车行驶地路程最多是（ ）A ．8kmB ．9kmC ．6kmD ．10km03．(南宁) 小李骑自行车从A 地到B 地,小明骑自行车从B 地到A地二人都均速前进,已知二人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36km ,到中午12时,二人又相距36km ,求A ，B 两地间地路程•【例４】(课本变形题)有一些相同地房间需要粉刷墙面,一天3名一级技工去粉刷8个房间,结果其中有50平方米墙面未来地及粉刷。

第八讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．例题讲解【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题)思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．链接：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ； (天津市竞赛题)思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如e d c b ax =+++的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如d cx b ax +=+的方程求解．【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．【例6】方程431=-++x x 的整数解有（ ）．A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．基础训练一、基础夯实1.方程3(│x │-1)= ||5x +1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____. 2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.4.关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是______;关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x 的值是( ). A.-2 B.0 C. 23D.不存在 6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m 的值是( ). A.10或25 B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题) 8.若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程│││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值. (“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.答案：1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.提高训练1．若方程32100210021002=-x 的解分别是1x 、2x ，则21x x +=______．（希望杯邀请赛试题）2．方程11213=++--x x x 的解是______． （希望杯邀请赛试题）3．已知：有理数x 、y 、z 满足0<xy ，0>yz ，并且3=x ，2=y ，21=+z ，则z y x ++=______． (北京市迎春杯竞赛题)4．已知13+=x x ，则=++20092)94864(x x ________． （广东省竞赛题）5．方程133=+-x x 的解是_________． （山东省竞赛题）6．满足方程123422-=--x x 的所有解的和为______． (新加坡竞赛题)7．若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 （重庆市竞赛题） ★8．如果关于x 的方程a x x =-++11有实根，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．0≥aB ．0>aC ．1≥aD ．2≥a （CASIO 杯武汉市选拔赛试题）9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 、b 0(≠a ，)1≠a ，有a ⊕b =a a b a -+220042003，已知2004⊕x =2，求x 的值． （北京市迎春杯竞赛题）。

当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．【例1】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵【巩固】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵； ⑶【例2】（1）x=2是方程2x+a-9=0的解，则a 的值是 。

（2）已知方程2（x+1）=3(x-1)的解为x=a+2,则a 的值是 。

x ax b =xn c m=+y 21y ax -=xm n y-=0ay b c -+=模块一 参数模块二 同解方程含字母系数的一元一次方程知识精讲典型例题若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【例3】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同． 解析：法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-.法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解， 把解代入另一个方程．【例4】（1）已知方程3（x-1）=4x-5与关于x 的方程2x+a-9=0的解相同，求a 的值。

（2）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-9=0的解相同，求a 的值（3）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-2=0的解互为相反数，求a 的值知识精讲典型例题（4）已知关于x 的方程3（x-1）=4x-a 的解比方程2x+a-9=0的解大2，求a 的值【例5】若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．⑴当时，，原方程有唯一解； ⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解； ⑶当且时，原方程无解．分类讨论产生的原因→等式的性质②等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式， 所得结果仍是等式．若，则，． ax b =a b 0a ≠bx a=0a =0b =0a =0b ≠a b =am bm =a bm m=(0)m ≠模块三 解含参的一元一次方程知识精讲能力提升由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。

第十三讲 一次方程和一次方程组一、基础知识1．方程的概念2．方程的解与解方程3．一元一次方程及求解 关于x 的方程ax=b 的解的情况是：4、含有绝对值符号的方程5、二元一次方程组求解：二、各种一次方程（组）求解举例：例1：解方程1}8]6)432(51[71{91=++++x例2解方程0,3≠=--+--+--abc ba c x a cb xc b a x 且⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 设有二元一次方程组：方程可取一切数。

时且当方程有无解时且当方程有唯一解时当,00,00,0==≠==≠b a b a a b x a例3解关于x 方程)1(12+=+x m x m例4解关于x 方程26)13(4)2)(1(2a a a a a =--+--例5已知关于x 方程,02)1(22=++--m m x m？无解？有无穷多解？取何值时方程有唯一解当m例6解含绝对值的方程234=-+-x x例7若x 、y 的值满足方程组的值求42245419928975431771103457323y y x x y x y x ++⎩⎨⎧=+=+例8方程组，但是由于看错了系数的解应为m y x y mx by ax ,1082242062⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=+ 的值。

求而得到的解为m b a y x ++⎩⎨⎧==,611例9若满足下列方程组和、、、54321x x x x x962482242122625432154321543215432154321=++++=++++=++++=++++=++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 试求：的值5423x x +。