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2检测系统的误差合成解析

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03第三章第2节 随机误差的合成

03第三章第2节 随机误差的合成

用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形

2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）

2 a ii i 1
q
（3-36）

各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0

（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,

实验室测试中误差产生的原因及校正方法

实验室测试中误差产生的原因及校正方法

经济社会的发展对实验室测试工作提出了越来越高的要求，人们也越来越关注实验室测试数据的可靠性，对实验室的检验测试水平提出了更高的要求，为此越来越多的实验室需要通过提供准确测试数据资质评价来证明自己的实力。

由于实验室测试的数据起着至关重要的作用，不准确的测试结果不仅不能指导生产，还会给生产、生活造成损失，甚至造成生产事故危害人们的生命安全。

为此了解产生误差的原因，正确判断实验结果的可靠性以获得准确的测试数据，是实验室测试人员的基本功之一。

在实验室测试中都想得到准确的结果，即使选择最准确测试方法，使用精密度很高的仪器设备，技术熟练的人员操作，对同一样品进行多次重复性的操作，所得的结果也不会完全一致，不可能得到绝对准确的结果。

由于误差是客观存在的，因此，测试人员应该了解产生误差的原因及误差出现的规律，并采取相应的措施减少误差，保证测试结果尽可能地客观真实。

一、误差产生的原因根据误差产生的原因和性质可以分为系统误差和偶然误差。

（一）系统误差系统误差也称可测误差，由操作过程中某种固定原因造成，具有单向性，正负、大小都有一定的规律性并重复出现，找出原因即可设法减小到忽略的程度。

系统误差产生的原因有以下几方面。

1.方法误差，指实验方法本身造成的误差。

如滴定分析中反应进行不完全，指示剂的终点与化学计量点不符合以及副反应等，都会引起结果偏高或偏低。

2.仪器误差，使用的仪器本身不够精密所造成的误差，如使用的容量仪器刻度不准又未进行校正、砝码数值不准确等引起的误差。

3.试剂误差，试剂不纯或含有被测物等引起的误差。

4.操作误差，实验人员对操作不熟练，对刻度读数不正确的误差。

（二）偶然误差偶然误差也称随机误差，有某些难以控制，无法避免的偶然因素造成，大小、正负都是不固定的，如操作中温度、湿度等影响引起的数值波动。

图1正态分布曲线图偶然误差服从正态分布规律（如图1所示）。

1.在一定的条件下，有限次数测量中其误差的绝对值不会超过一定界限。

第二章 检测系统的误差合成

第二章 检测系统的误差合成

(4)准确度、精密度和精确度
测量中发现了粗大误差，数据处理时应将其剔除， 这样要估计的误差就只有系统误差和随机误差两 类。
(A A ) (x A) x A x
i
0
i
i
i
由上式可见，各次测量值的绝对误差等于系统误
差和随机误差的代数和 。
当系统误差远大于随机误差，此时按纯粹系统误 差处理；系统误差很小，已经校正，则可按纯粹 随机误差处理；系统误差和随机误差不多，此时 应分别按不同方法来处理。
基本误差通常有如下几种表示形式。 1.绝对误差
(2)随机误差
x A
i
i
lim A
n
1 n
n i 1
xi
在相同条件下多次重复测量同一被测
参量时，测量误差的大小与符号均无规
律变化，这类误差称为随机误差。
随机误差是测量值与数学期望之差，
表现测量结果的分散性，通常用精密度 表征随机误差的大小。随机误差越大， 精密度越低；反之，精密度就越高。测 量的精密度高，亦即表明测量的重复性 好。
(1)约定真值 (2)相对真值
3.标称值
计量或测量器具上标注的量值，称为标称值。
4.示值
检测仪器（或系统）指示或显。
2.1 .2 测量误差的分类
从不同的角度，测量误差可有不同的 分类方法。根据测量误差的性质(或出现 的规律)产生的原因通常可分为系统误差、 随机误差和粗大误差三类。
2.1 测量误差的基本概念
2.1 .1 名词术语
1.测量误差的定义
由于检测系统(仪表)不可能绝对精确，测量 原理的局限、测量方法的不尽完善、环境因素和 外界干扰的存在以及测量过程可能会影响被测对 象的原有状态等，使得测量结果不能准确地反映 被测量的真值而存在一定的偏差，这个偏差就是 测量误差。

清华大学出版社传感器课后习题参考答案

清华大学出版社传感器课后习题参考答案

传感器与检测技术思考题参考答案第一章1. 传感器由那几部分组成？并说明各组成部分的功能。

答:传感器一般由敏感元件、转换元件、转换电路等几部分组成。

敏感元件：它是直接感受被测量，并输出与被测量成确定关系的某一物理量的元件。

转换元件：敏感元件的输出就是它的输入，它把输入转换成电路参数。

转换电路：将转换元转换成的电路参数接入转换电路，便可转换成电量输出。

2. 什么是传感器动态特性和静态特性，简述在什么条件下只研究静态特性就能够满足通常的需要，而在什么条件下一般要研究传感器的动态特性？在时域条件下研究静态，在频域条件下研究动态 3. 请使用性能指标描述检测系统的静态特性。

（P9-P11）4. 某线性位移测量仪，当被测位移由4.5mm 变到5.0mm 时，位移测量仪的输出电压由3.5V 减至2.5V ，求该仪器的灵敏度。

解：该仪器的灵敏度为25.40.55.35.2−=−−=S mV/mm5. 某测温系统由以下四个环节组成，各自的灵敏度如下：铂电阻温度传感器： 0.45Ω/℃ 电桥： 0.02V/Ω放大器： 100(放大倍数) 笔式记录仪： 0.2cm/V 求：(1)测温系统的总灵敏度；(2)记录仪笔尖位移4cm 时，所对应的温度变化值。

解：（1）测温系统的总灵敏度为18.02.010002.045.0=×××=S cm/℃（2）记录仪笔尖位移4cm 时，所对应的温度变化值为22.2218.04==t ℃ 第二章 检测系统的误差合成1.什么是系统误差？产生系统误差的原因是什么？如何发现系统误差？减少系统误差有哪几种方法？答：系统误差是指在相同的条件下，多次重复测量同一量时，误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化的误差。

…2.服从正态分布规律的随机误差有哪些特性?答：服从正态分布规律的随机误差的特性有：对称性 随机误差可正可负，但绝对值相等的正、负误差出现的机会相等。

误差的合成与分配

误差的合成与分配

y2
2
n f f f f 2 2 xi 2 j 2 xn 2 2 x12 ... x1 xn xi x j 1 i j
2
2
yN 2
n f f f f 2 2 x1 N ... xnN 2 xiN jN 1 i j xi x j x1 xn
2 2 2 y x 1 x 2 , ..., xn
函数的极限误差: lim y 2 lim x1 2 lim x 2 , ..., 2 lim xn
一、函数误差 函数系统误差计算
例3-1 用弓高弦长法间接 测量最大直径 D，直接测得其 弓高 h 和 弦长 s ，然后通 过函数关系计算求得直径。 如果： h 50mm, lim h 0.05mm
s 500mm, lim s 0.1mm
h s
D
求测量结果。
s2 D= +h 4h
一、函数误差 误差间的相关
各误差间的相关性对计算结果有直接影响。函数随 机误差公式中的相关项反映了各随机误差相互间的线性关 联对函数总误差的影响大小。
2 2 2 2 2 y a12 x a2 x ... an x 2 ij ai a j xi xj
为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准 差公式，设对各个测量值皆进行了 N 次等精度测 量，其相应的随机误差为：
x1 : x11 , x12 , ..., x1 N
x2 : x21 , x22 , ..., x2 N
xn : xn1 , xn 2 , ..., xnN
则
一、函数误差 函数随机误差计算

误差的合成与分解

误差的合成与分解



1 f f f f f ( x1 x2 x3 x4 xn ) cos x1 x2 x3 x4 xn
同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。书中 59 页。 例题 3-1/p59 例题 3-2/p59
【例 6-1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓 高 h 50mm ，弦长 l 500mm ，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量
其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差 ）
（一）函数系统误差的计算
在间接测量中，函数的基本形式主要为初等函数，而且一般为多元函数，其
表达式为：
y f x1 , x2 , x3 ... xn
式中 x1,x2,…,xn -----各个直接测量值； y ----间接测量值。 对于多元函数，其增量可用函数的全微分来表示，则上式的函数增量 dy 为
dx3 ---- dxn ，从而可近似的得到函数的系统误差为：
y
f f f f f x1 x2 x3 x 4 x n x1 x 2 x3 x4 x n
（6-2）
式（6-2）称为函数系统误差公式，而 f / xi 为各个直接测量值的误差传递 函数。有些情况下的函数公式较简单，则可直接求得函数的系统误差。 例如：若函数形式为线性公式
直径的系统误差
f f l h 7.4mm l h 故修正后的测量结果 D D0 D 1300 7.4 1292.6mm D
二、函数随机误差的计算 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随误差， 也是用函数的标准偏差来评定。因此，函数的随机误差的计算，就是研究函 y 的标准偏差与各测量值 x1,x2,…,xn 的标准偏差之间的关系。 函数的一般形式为：y=f(x1,x2,…xn) 设对各测量值各进行 N 次等精度测量，其测量值为： 对 x1:x11,x12,…,xN 对 x2:x21,x22,…x2N ┆ 对 xn:xm,xn2,…xnN σ σ

A2自动检测技术2,测量误差及数据处理


Chongqing University of Science & Technology
‹#›/27
2、测量误差的表示 、
②相对误差：绝对误差占约定真值的百分比。 相对误差：绝对误差占约定真值的百分比。 相对误差分为示值相对误差和引用相对误差。 相对误差分为示值相对误差和引用相对误差。
●示值相对误差：绝对误差与被测量的百分比 ∆ ∆ γx = × 100% ≈ ×100% A0 Ax ●引用误差：测量仪表的绝对误差与仪表量程的百分比 ∆ γm = × 100% A max − A min
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2、测量误差的表示 、
例1：某温度表准确度等级为 ：某温度表准确度等级为1.5，量程为 ～500℃， ，量程为0～ ℃ 引用误差， 最大绝对误差， 求：①引用误差，②最大绝对误差，③测量值为 400℃时可能出现的最大示值相对误差 ℃ 解：①γm＝±1.5％ ％ 最大绝对误差△ Am＝ 1.5%× ②最大绝对误差△m＝ γm×Am＝±1.5%×500 ＝±7.5℃ 400×100%＝ ③ γx＝△m÷400×100%＝±1.875%
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4、测量结果的处理 、
1、随机误差 、 随机误差的统计特性： ●随机误差的统计特性： 集中性： ①集中性：大量的测量值集中于算术平均值附近
x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xn 1 n x= = ∑ xi n n i =1
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测量误差合成传递


ε = ε1 + ε 2 + K + ε m = ∑ ε i
i =1
由于所得结果是明确大小和方向的数值， 由于所得结果是明确大小和方向的数值 ， 故可直 接在测量结果中修正， 接在测量结果中修正 ， 在一般情况下最后测量结 果不应含有已定系统误差的内容。 果不应含有已定系统误差的内容。
（2）不确定系统误差的合成
若误差符号不确定：
∆y = ±( ∆x1 + ∆x 2
)
相对误差： ∆x1 ⋅ x1 ∆x 2 ⋅ x 2 ∆y ∆x1 ± ∆x 2 = γy = = ± (x1 ± x2 ) ⋅ x1 (x1 ± x2 ) ⋅ x2 y x1 ± x 2 x1 x2 = ⋅ γ x1 ± ⋅ γ x2 x1 ± x 2 x1 ± x 2
1 ∂2 f 1 ∂2 f 1 ∂2 f 2 2 2 (∆x1 ) + (∆x2 ) + K + (∆xn ) + K + 2 2 2 2 ∂x1 2 ∂x 2 2 ∂x n
1．函数误差传递的基本公式 ．
略去高阶项 绝对误差： 绝对误差：
n ∂f ∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + K + ∆x n = ∑ ∆xi ∂x1 ∂x 2 ∂x n i =1 ∂xi
∂f 2 ∂f σy = ∂x σ x1 + ∂x 1 2
∂f 2 = ∑ ∂x σ xi = i =1 i
n 2
2
∂f 2 σ x2 + K + ∂x n
部分误差
2
2 σ xn
1．函数误差传递的基本公式 ． 假设间接测量的数学表达式为： 假设间接测量的数学表达式为：

误差的合成与分配 (2)


误差理论与数据处理
第一节 函数误差
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 ya 1x 1 a 2x2 ... a nxn
系统误差公式
y a 1 x 1 a 2 x 2 ... a n x n
当 ai 1
y x 1 x2 ... xn
▪ 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测
量值系统误差之和
h 5 0 5 0 .1 0 .1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
误差传递系数为:
fh4lh 22145 05 00 22124 f l 500 5 l 2h 250
直径的系统误差:
Dflfh7.4m m l h
故修正后的测量结果:
D D 0 D 1 3 0 0 7 .4 1 2 9 2 .6 m m
▪ x第i i个直接测得量 的x i极限误差
误差理论与数据处理
三角形式的函第数随一机节误差公函式数误差
三角函数标准差计算
1） 正弦函数形式为:
si n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
▪
x第f i i个直接测得量
对x 间i 接量 在该y 测量点
处的误差传播系数
(x1,x2, ,xn)
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
y2 x f1 2
x1 2 x f2 2
2
x2 2 x fn
工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。
h
l D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型

误差理论第三章误差合成与分配


用弓高弦长法间接测量大直径。见书P56 例3.1 用弓高弦长法间接测量大直径。见书 用双圆球法检定高精度内锥角。见书P57 例3.2 用双圆球法检定高精度内锥角。见书 二、函数随机误差计算
函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各测量值 xi的标准 差之间的关系。 设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为：
7
2 2 2 2 3)对 tan ϕ = f ( x1 , x2 ,L , xn ) , σ ϕ = cos 2 ϕ a12σ x1 + a2σ x2 + L + anσ x2n 2 2 2 2 2 2)对 cot ϕ = f ( x1 , x2 ,L , xn ) , σ ϕ = sin 2 ϕ a12σ x1 + a2σ x2 + L + anσ xn
2 2
2
将上式两边同时除以N，则有：
n ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂f ∂f 2 σy = σ x1 + σ x2 + L + σ xn + 2 ∑ ∂x1 ∂x2 ∂xn 1<i < j ∂xi ∂x j 2 2 2
∑δ x
m =1
N
im
δ x jm
N
为第i个测量值 为第 个测量值 与第j个测量值 与第 个测量值 之间的误差相 关系数
令 kij =
∑δ x
m =1
N
im
δ x jm
N
2
, ρij =
2
kij
σ xiσ xj
⇒ kij = ρijσ xiσ xj
2
n ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂f ∂f σ = σ x1 + σ x2 + L + σ xn + 2 ∑ ρijσ xi σ x j 1<i < j ∂xi ∂x j ∂x1 ∂x2 ∂xn 2 y
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2 ( x L ) i i 1 n 2 i i 1 n
lim
n
n
lim
n
n
标准偏差σ（均方根误差）描述了随机 误差的分布范围， σ 值越大，曲线越平坦， 即随机误差分散性越大；反之，曲线越尖 锐，随机误差分散性越小。
2018/10/10 16
在实际测量时, 由于真值L是无法确切知道 的, 用测量值的算术平均值代替, 各测量值与算 术平均值差值称为残余误差, 即
1 y f ( ) e 2
y——概率密度; σ——均方根偏差（标准误差）;
2 2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
δ——随机误差（随机变量）, δ=x-L ; x——测量值（随机变量）; L——真值（随机变量x的数学期望） 。
2018/10/10 13
正态分布方程式的关系曲线如图所
示, 说明随机变量在x=L或δ=0处的附近 区域内具有最大概率。
正态分布曲线
2018/10/10 14
2．正态分布的随机误差的数字特征
1 1 n x ( x1 x2 xn ) xi n n i 1
算术平均值是诸测量值中最可信赖的, 它可以作为等精度多次测量的结果，它反 映了随机误差的分布中心。
2018/10/10
15
2．正态分布的随机误差的数字特征
x nu
式中 ：
x——被测量值; u——标准量, 即测量单位; n——比值（纯数）, 含有测量误差。
2018/10/10
2
测量方法
实现被测量与标准量比较得出比值 的方法, 称为测量方法。



直接测量、 间接测量与组合测量 偏差式测量、 零位式测量与微差式测量 等精度测量与不等精度测量 静态测量与动态测量
测量实践表明, 多数测量的随机误差具有 以下特征:
① 绝对值小的随机误差出现的概率大于 绝对值大的随机误差出现的概率。 ② 随机误差的绝对值不会超出一定界限。 ③ 测量次数n很大时, 绝对值相等、符号 相反的随机误差出现的概率相等。
2018/10/10 12
当测量次数足够多时, 测量过程中产生的误 差服从正态分布规律。分布密度函数为
2018/10/10
3
测量误差


测量的目的是希望通过测量获取被测量的 真实值。但由于种种原因, 例如, 传感器 本身性能不十分优良, 测量方法不十分完 善, 外界干扰的影响等, 都会造成被测参 数的测量值与真实值不一致, 两者不一致 程度用测量误差表示。 测量误差就是测量值与真实值之间的差值。
2018/10/10
10
随机误差的统计和处理


判断：在测量中, 当系统误差已设法消除 或减小到可以忽略的程度时, 如果测量数 据仍有不稳定的现象, 说明存在随机误差。 方法:用概率数理统计的方法来研究。 任务:从随机数据中求出最接近真值的值, 对数据精密度（可信赖的程度）进行评 定。
2018/10/10
11
1． 随机误差的正态分布曲线
4
1． 测量误差的表示方法
（ 1 ） 绝对误差：绝对误差可用下式 定义:
Δ=x-L
式中: Δ——绝对误差; x——测量值; L——真实值。
2018/10/10 5
1． 测量误差的表示方法
（2） 相对误差：相对误差的定义由下式 给出:
δ= L
×100
%
式中: δ——相对误差, 一般用百分数给出; Δ——绝对误差; L——真实值
检测系统的误差合成
1.1测量概论 1.2测量数据的估计和处理
随机误差及其处理 系统误差的处理 测量粗大误差的存在判定准则
1.3 测量系统误差计算方法
2018/10/10
1
1.1 测量概论 测量

测量是以确定被测量值为目的的一系列操作。 所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量 进行比较, 确定被测量对标准量的倍数。 它可 由下式表示:
2018/10/10 9
1.2 测量数据的估计和处理
测量数据中含有系统误差和随机误差, 有时还会含有粗大误差。它们的性质 不同, 对测量结果的影响及处理方法也 不同。 对于不同情况的测量数据, 首先要加以 分析研究, 判断情况, 分别处理, 再经综 合整理以得出合乎科学性的结果。

2018/10/10
vi xi x
用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差 估计值 n n
s
2018/10/10
2 ( x x ) i i 1
n 1

2 v i i 1
n 1
17
算术平均值的均方根偏差



通常在有限次测量时, 算术平均值不可能 等于被测量的真值L, 它也是随机变动的。 设对被测量进行m组的“多次测量”, 各 组所得的算术平均值也有一定的分散性, 也是随机变量。 算术平均值的精度可由算术平均值的均方 根偏差来评定。 关系如下:
2018/10/10 6
（ 3 ） 引用误差 : 相对仪表满量程的一种 误差, 一般用百分数表示，即
绝对误差 引用误差 100% 测量范围上限- 测量范围下限
（4） 基本误差:指仪表在规定的标准条件下所 具有的误差。 测量仪表的精度等级就是由基本误
差决定的。
（ 5 ） 附加误差 : 指当仪表的使用条件偏离额定
条件下出现的误差。
2018/10/10 7
2.误差的分类 误差分为三种:
系统误差
随机误差
粗大误差
（1）系统误差：对同一被测量进行多次重复 测量时, 如果误差按照一定的规律出现, 则把 这种误差称为系统误差。例如, 标准量值的不 准确及仪表刻度的不准确而引起的误差。
2018/10/10 8
（2）随机误差：对同一被测量进行多次 重复测量时, 绝对值和符号不可预知地随 机变化, 但就误差的总体而言, 具有一定的 统计规律性的误差称为随机误差。 （3）粗大误差：明显偏离测量结果的误差 称为粗大误差, 又称疏忽误差。这类误差是 由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变 化而引起的。对于粗大误差, 首先应设法判 断是否存在, 然后将其剔除。
x
2018/10/10
s
n
18
在有限次测量时,
n 2 3 4 5 6
/ s 的关系
7 8 20 ∞
/ s 1.25 1.13 1.09 1.06 1.05 1.04 1.03 1.01 1.00
2018/10/10