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福建省泉州一中高一数学：直线与平面垂直的性质课件

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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)

直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这

直线与平面垂直的性质课件

直线与平面垂直的性质课件

又 E 为 AD 的中点，∴MN 綊 DE. ∴四边形 DENM 为平行四边形． ∴EN∥DM.且 DM⊂平面 PDC. ∴EN∥平面 PDC. (2)∵四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，且∠BAD＝60°， ∴BE⊥AD. 又∵侧面 PAD 是正三角形，且 E 为中点，∴PE⊥AD， ∴AD⊥平面 PBE.又∵AD∥BC， ∴BC⊥平面 PEB.
[知识点二] 两平面垂直的性质定理
知识点
名称
面面垂直的性质定理
定理内容
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线 的直线与另 一个平面 垂直
符号语言
α⊥β
α∩β＝m
l⊂α
⇒l⊥β
l⊥m
图示语言
[思考] 4．α⊥β，a⊂α，则a⊥β对吗？ 提示：不对．只有当a与α、β的交线垂直时，a与β才垂直． 5．α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，则a⊥β对吗？ 提示：不对．只有a⊂α时，a与β才垂直． 6．线面垂直的常用判定方法有哪些？ 提示：(1)线面垂直的判定定理；(2)线面垂直的性质定理的推论；(3)面面垂直的性质定理．
[题型一] 线面垂直性质的应用 [例 1]如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点， N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC. 求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点．
[思路点拨] (1)要证线线平行， 则先证线面垂直，即证 AD1⊥平面 A1DC. (2)可证 ON＝AM，ON＝12AB.
直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
1．直线与平面垂直，则与平面内的 任何一条 直线垂直． 2．直线与平面垂直，则 经过 该直线的平面与已知平面垂直．
[知识点一] 直线与平面垂直的性质定理

直线与平面垂直的判定PPT课件

直线与平面垂直的判定PPT课件

例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；

直线与平面垂直的判定定理与性质定理 ppt课件

直线与平面垂直的判定定理与性质定理 ppt课件

D． A1 C1
ppt课件
9
3．(2016·邢台摸底考试)已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推 出 m⊥β 的是( C ) A．α ⊥β 且 m⊥α B．α ⊥β 且 m∥α C．m∥n 且 n⊥β D．m⊥n 且 n∥β
ppt课件
10
4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线 b 在 平 面 β 内 ， 且 b⊥m ， 则 “α⊥β” 是 “a⊥b” 的 __充__分__不__必__要____条件．(填“充分不必要”或“必要不充分” 或“充要”或“既不充分也不必要”)
ppt课件
30
ppt课件
31
ppt课件
32
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
ppt课件
33
M
N
ppt课件
27
4．(2016·青岛质检)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB＝BC， DB⊥AC，点M是棱BB1上一点． (1)求证：B1D1∥平面A1BD； (2)求证：MD⊥AC； (3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
N
O
ppt课件
28
ppt课件
29
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
l⊂β l⊥α
⇒α

⊥β
α ⊥β l⊂β α ∩β l⊥a
＝a⇒l⊥α
ppt课件
4
3.空间角 (1)直线 与平面所成的角
① 定 义 ： 平 面 的一 条 斜 线和 它 在 平 面上 的 射 影 所成 的 ___锐__角___， 叫做这 条直线和 这个平面 所成的 角，如图， __∠__P_A_O__就是斜线 AP 与平面 α 所成的角．

(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件

(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直

直线与平面垂直判定完整版课件

直线与平面垂直判定完整版课件

绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。

高一数学(人教B版)直线与平面垂直的判定与性质-课件

高一数学(人教B版)直线与平面垂直的判定与性质-课件
（1）解：VE PAD VP ADE S ADE PA .
3
3
练习2 如图，PA 平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，
PA=AB 1, AD 2 ，点 F是 PB的中点，点 E 是 BC上动点．
（2）证明：无论点 E 在边 BC的何处，都有 AF PE ．
B为垂足， l ，且 l BC ．
求证：l AC．
线面垂直
线线垂直

例2 已知如图，AC 是平面 的斜线，C为斜足，AB ，
B为垂足， l ，且 l BC ．
求证：l AC．
证明：因为 AB , l ，所以 AB l ，
又 l BC ．且 AB BC B，所以 l 面 ABC，
并说明理由．
课堂小结
1、线面垂直的判定定理
2、线面垂直的性质定理
3、体会转化思想：线面垂直线线垂直
直线与平面垂直的判定与性质
高一年级 数学
所以 AC 平面SOB，SB 平面SOB，故 AC SB.
例1 如图在三棱锥 S ABC中，AB BC，且 AB =BC =2，
SA SB SC = 6，求三棱锥的体积.
变式2：在例1中 S 在底面的射影为O ，若E , F 分别是 AB, BC的
中点，试判断 EF与平面 SOB 是否垂直；
且 AC BD，BD BB1 B，
所以 AC 平面 BB1 D，所以 AC B1 D．
例题3 如图，在正四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中，E是 DD1的中点．
AA1
（2）若 B1 D 平面 ACE ，求 的值．
AB
（2）解：连接A1 D．因为B1 D 平面ACE，

直线与平面垂直的判定PPT课件

直线与平面垂直的判定PPT课件

42
典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O
(1)P到三顶点距离相等
O是 ABC的 外心
(2)侧棱两两垂直
O是 ABC的垂心
(3)P到三边AB、BC、AC距离相等
O是 ABC的内心
2019/10/20
43
例：四面体P-ABC中，PA BC, PB AC
求证：PC AB
O是垂心
直线和平面垂直的画法:
L
P

通常把直线画成和表示平面的平 行四边形的一边垂直。
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16
深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平
面内所有的直线都垂直.
（）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，
那么它与平面垂直.
7
A
B
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A
B
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A
B
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A
B
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A
B
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12
A
B
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α 内过点B的直线⊥AB所在直线 α 内不过点B的直线⊥AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A
α
B1
B C
求证：a⊥AB
线面垂直 线线垂直
A a
CB
三垂线定理:在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的一条斜线的 射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
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变C、:如B分图别，是已垂知足A和C、斜A足B，分a别是平，面a⊥α。A的B垂线和斜线,

直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件(优质课)

直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件(优质课)

在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质对于确保机械部件的稳定性和精 确性至关重要。例如，在制造精密仪器或高精度机械设备时，需要严格控制各个部件之间 的垂直关系。
电子设备
在设计和制造电子设备如电视、电脑和手机时，需要利用直线与平面垂直、平面与平面垂 直的性质来确保设备的稳定性和可靠性。
C. 平行于同一条直线的两条直线一定 平行
基础习题
4、题目：下列说法正确的是( )
A.垂直于同一平面的两直线平行 B.平行于同一平面的两直线平行
C.若直线$a$不垂直于平面$beta$内的无数条直线，则$a$也不垂直于平 面$beta$ D.若直线$a$不垂直于平面$beta$，则直线$a$与平面$beta$ 有斜交
解析：根据空间线面位置关系的定义及判定定理得D正确．在A中，过 $a$上任一点 $P$作直线 $c/backslash/$ $a$，则 $c,b$相交或为异面直线，故A错误；在B中， 可取 $a/backslash/b$判断B错误；在C中，可取 $a,b$都垂直于第三个平面判断C 错误．故选D．
THANKS
直线与平面垂直的性质定理
性质定理一
如果一条直线与平面垂直， 那么这条直线与平面内的任 意一条直线都垂直。
性质定理二
如果一条直线与平面垂直， 那么这条直线上任意一点到 平面的距离都相等。
性质定理三
如果两条直线分别与同一 个平面垂直，那么这两条 直线平行。
Part
02
平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的定义
A. 若直线与平面有两个公共点，则该直线在平面内
进阶习题
B. 若直线 l 上有无数个点不在 平面 α 内，则 l ∥ α

直线与平面垂直的判定教学课件

直线与平面垂直的判定教学课件
径，C是⊙O 上的任一点，求证：PCCB．
直线与平面垂直的判定教学课件
直线与平面垂直的判定教学课件
练习1:如图，点P 是平行四边
形ABCD 所在平面外一点，O 是 对角线AC与BD的交点，且PA =PC PB =PD .求证：PO⊥平面ABCD
B 证明 PA = PC ,点O是AC 的中点 PO AC 又 PB = PD ,点O是BD的中点 PO BD 又 AC BD = O PO 平面 ABCD
P
A
D
O C
直线与平面垂直的判定教学课件
直线与平面垂直的判定教学课件
练习2: 已知 =l，PA 于A，PB 于B，AQl
于点Q ，求证：BQl．
直线与平面垂直的判定教学课件
直线与平面垂直的判定教学课件
课堂练习
1．选择题
（1）“直线L垂直于平面内的无数条直线”是“L⊥”的（ B）
（A）充分条件
（B）必要条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（2）如果一条直线L与平面的一条垂线垂直，那么直线L与平面
的位置关系是（ D ）
（A）L （B）L⊥ （C）L∥ （D）L或L∥
2．填空题
（1）过直线外一点作直线的垂线有_无_数___条；垂面有_一__个；平 行线有一__条；平行平面有_无__数__个. （2）过平面外一点作该平面的垂线有_一__条；垂面有_无__数_个；平
条件时，ACBD ？(只能添加一个合适的条件)
A
D
解:底面ABCD可以是菱形, 正方形, 或者是对角线相互 垂直的任意四边形．
B C
A
D
B
C
直线与平面垂直的判定教学课件
直线与平面垂直的判定教学课件

高中直线与平面的垂直判定的课件

高中直线与平面的垂直判定的课件

高中直线与平面的垂直判定的课件高中直线与平面的垂直判定的课件目录：1. 引言2. 直线与平面的垂直判定2.1 垂直判定的条件2.2 判定过程与思路3. 实际应用3.1 垂直相交线的特性3.2 垂直平面的应用场景4. 总结5. 参考文献1. 引言直线与平面的相互关系在几何学中起着重要的作用。

在实际生活中，我们常常需要判断一条直线是否与一个平面垂直相交。

本课件将介绍高中数学中的直线与平面的垂直判定方法，以及其在实际应用中的运用。

2. 直线与平面的垂直判定2.1 垂直判定的条件直线与平面垂直相交的判定条件为：直线上的任意一条向量与平面的法向量垂直。

设直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0，平面的方程为Ex + Fy + Gz + H = 0。

则垂直判定的条件为：A*E + B*F + C*G = 0。

2.2 判定过程与思路根据垂直判定的条件，我们可以进行如下的判定过程：1. 求取直线的系数A、B、C，以及平面的系数E、F、G。

2. 计算A*E + B*F + C*G的值。

3. 若A*E + B*F + C*G = 0，则直线与平面垂直相交；否则，直线与平面不垂直相交。

通过上述思路，我们可以方便地判断一条直线与一个平面的垂直相交关系。

3. 实际应用3.1 垂直相交线的特性根据直线与平面的垂直判定，我们可以得出一些垂直相交线的重要性质。

例如，垂直相交线的斜率乘积为-1，即斜率互为倒数且异号。

这一特性在建筑设计、道路规划等方面有着广泛的应用。

3.2 垂直平面的应用场景垂直平面在几何学中有着重要的应用。

例如，在三维空间中，我们常常需要判断一条直线是否与地面垂直，以及平面上的直线是否和墙壁垂直等。

这些判断都可以通过直线与平面的垂直判定来实现。

4. 总结本课件主要介绍了高中数学中直线与平面的垂直判定方法。

垂直判定的条件为：直线上的任意一条向量与平面的法向量垂直。

通过判断A*E + B*F + C*G的值是否为0，可以判断直线与平面是否垂直相交。

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2. 3. 3直线与平面垂直的性质
问题提出
1.直线与平面垂直的定义是什么? 如何判定直线与平面垂直？
2.直线与平面垂直的判定定理,
解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得
到哪些结论?
知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理
如图，长方体ABCD—A1BGD] 中，棱AAp BB P CC P DD]所在直线与底fflABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？
Ci
D
思考2:如果直线a，b都垂直于同一条直线2,那么直线a，b的位置关系如何？
b
一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？
如果直线a，b都垂直于平面a,由观察可知a//b,从理论上如何证明这个结论？
根据上述分析，得到一个什么结论？
上述定理通常叫做
•用蒋号语言可表述为：•该定理有什么功能作用？
设a，b为直线，a为平面，若
知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究a丄a , b//a,贝！|b与a的位置关系如何？为什么？
设a，b为直线，a为平面，若a丄a, b//a,则a与b的位置关系如何？为什么？
b
设2为直线, 若/丄a 9 a // B，系如何？为什么？
a, B为平面，则Z与B的位置关
设Z为直线，a、B为平面，若LLa，LLB,则平面a、B的位置关系如何？为什么？
■ I ■•
/[
:
理论迁移
例1如图，已知
于点于点B，求证：
"丄丄a. a <z a.
例2如图，已知求证：
B A
翊3如图，已知矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证：(1)
(2)若，求证：MN面PCD
Pi
/I II
作业：
P?i练习：1, 2.
（做书上）。