2019-2020学年高中数学 2.1指数函数教学设计 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中数学《指数函数》教案10 新人教A版必修1一、教学内容分析教材地位:指数函数是中学教材中的一个基本内容，是最重要的初等函数之一；它在反函数概念及对数函数概念的引入和学习中起关键作用；是高中教材中应用于实际最广泛的数学模型。

对培养学生的数学能力、特别是形成正确的数学观念有非常积极的作用.教学重点:指数函数的应用.教学难点:指数函数模型的建立.二、教学目标设计理解指数函数的意义，能描绘指数函数的图像，掌握指数函数的基本性质；通过实际应用，使学生获得实际问题数学化的过程体验，增强数学应用意识和能力，体会指数函数的应用价值.三、教学流程设计四、教学过程设计1.情境设置回忆指数函数的概念、图像及性质。

①指数函数①，②，③，④的图像，请按从小到大的次序排列a1，a2，a3，a4，0，1六个数.③揭示指数函数图像特征与底数的依赖关系.2.探索研究①提供生活中符合指数函数关系的丰富背景。

②研究以下问题第88页例4——放射性物质的残留量问题.③研究以下问题第88页例5——存、贷款利率问题.④研究以下问题第89页例6——人口增长问题.3.演练反馈第90页练习4.2（2）（进行简单分析，得到数学模型即可）.说明:①可以将练习问题分别搭配在例1,例2,例3上以此完成,起到减低难度,逐步提高的目的.②可以让学生充分列举生活中遵循指数函数规律的其他现象和事实.4.总结提炼①应用的领域②应用的方法、步骤③模型的计算技巧五、教学评价设计①继续完成课内没有完成的练习.②习题4.2——A组第7题；B组.六、教学设计说明①设置恰当的问题情境是引起“探究”的逻辑起点，问题情境应具有足够的吸引力②活动的控制要有张有弛，做到高潮迭起，否则会使课堂“有效思维”量减少③由于书上现成的结论对学生的探究会造成实质性干扰，所以探究性教学需不需要预习呢？（可能的结论是：概念性、初始性的课不预习有利于探究，其他悉听尊便）④在指数函数的性质探究过程中，学生归纳出了大量的结论，很多是课本上没有的，有些可以说是真知灼见，也颇有用处，该给这样的结论以什么样的地位或“身份”呢？（我的办法是给它们命名——就用发现者的名字——如指数函数的“马小可性质”等）⑤探究性教学设计不宜写详案，但“故事”发展的情节和脉络一定要勾画清楚，对探究活动可能的发展趋向要有预见性⑥探究性教学的价值显而易见，但其慢节奏将以牺牲进度为代价，而后者往往是不可调和的，咋办？（这说明，探究学习只能有选择地在部分内容中施行，而要其成为主流教学方式，还有待进一步的努力！）2019-2020年高中数学《指数函数》教案10 新人教B版必修1一．教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B版）第三章第一节第二课《指数函数》。

2019-2020学年新人教A 版必修一 指数函数 教案指数函数的性质及应用|高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属于低档题． 归纳起来常见的命题探究角度有：1．比较指数式的大小．2．与指数函数有关的奇偶性及应用．3．探究指数型函数的性质．探究一 比较指数式的大小1．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b <a <c ，故选C.答案：C探究二 与指数函数有关的奇偶性及应用2．(2015·高考山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x ＋12x －a，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C. 答案：C探究三 指数型函数的性质应用3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.指数函数的性质及应用问题三种解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．4.换元法解决与指数函数有关的值域问题【典例】 函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[思路点拨] 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝t 2，这样原函数就可转化为二次函数． [解析] 因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57.[答案] ⎣⎡⎦⎤34，57[方法点评] 与指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化．[跟踪练习] 已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________． 解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12， ∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52. 答案：52A 组 考点能力演练1．已知函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b <0D ．0<a <1，b >0解析：由图象呈下降趋势知，0<a <1，又a －b <1＝a 0，故－b >0，即b <0.答案：C2．函数y ＝2x －2－x 是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析：根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C ，D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x 都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x －2－x 是R 上的增函数，故选A.答案：A3．(2015·日照模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13解析：∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫2－23＝f ⎝⎛⎭⎫43，又∵x ≥1时，f (x )＝3x －1为单调递增函数，且43<32<53， ∴f ⎝⎛⎭⎫43<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫53，即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13，故选B.答案：B4．已知实数a ，b 满足等式2a ＝3b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ＝0.其中有可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：依题意，在同一坐标系下画出函数y ＝2x ，y ＝3x 的图象与直线y ＝t ，平移直线y ＝t ，通过观察可知，直线y ＝t 分别与函数y ＝2x ，y ＝3x 的图象的交点的横坐标a ，b 的大小关系可能是a <b <0；a ＝b ＝0；0<b <a ，因此其中有可能成立的关系式共有3个，故选C.答案：C5．(2015·济宁三模)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2，故选D.答案：D6．计算：⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－⎝⎛⎭⎫－2323＝________. 解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝a x －1＋1(a ≠0)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标是________． 解析：由题意，因为a 为变量，所以只有当a x －1为定值时，函数的图象才过定点，所以x ＝1，y ＝2，定点A (1,2)．答案：(1,2)8．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________． 解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a 2.即a (2a －3)＝0. ∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32. 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a 2.∴a (2a －1)＝0， ∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32. 答案：12或329．已知2x 2－x ≤⎝⎛⎭⎫14x －1，求函数y ＝2x －2－x 的值域． 解：由2x 2－x ≤⎝⎛⎭⎫14x －1＝2－2x ＋2，得x 2－x ≤－2x ＋2，即x 2＋x －2≤0解得－2≤x ≤1.令t ＝2x ，t ∈⎣⎡⎦⎤14，2，则y ＝t －1t ，易知y ＝t －1t在区间⎣⎡⎦⎤14，2上是增函数， 所以，函数y ＝t －1t的值域为⎣⎡⎦⎤－154，32，即函数y ＝2x －2－x 的值域为⎣⎡⎦⎤－154，32. 10．(2016·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立 ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0， 又⎝⎛⎭⎫t ＋12≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12， ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x解析：对于选项A ，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠f (x )f (y )＝x 3y 3，排除A ；对于选项B ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 在其定义域内是单调增函数，B 正确；对于选项C ，f (x ＋y )＝x ＋y ≠f (x )f (y )＝x 12y 12＝xy ，排除C ；对于选项D ，f (x ＋y )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫12x ⎝⎛⎭⎫12y ＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在其定义域内是减函数，排除D.故选B.答案：B2．(2015·高考山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32. 答案：－323．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．解析：不等式2x 2－x <4可转化为2x 2－x <22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．答案：(－1,2)4．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示，因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.答案：1。

2.1.1（1）指数函数（教学设计）教学目标1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.教学重点和难点重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.难点是认识底数对函数值影响的认识.教学过程一、复习回顾，新课引入问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗?由学生回答:与之间的关系式,可以表示为.问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系.由学生回答:.在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.二、师生互动，新课讲解：1.定义:形如的函数称为指数函数.2.几点说明(1) 关于对的规定:教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解为若会有什么问题?如,此时,等在实数范围内相应的函数值不存在.若x a对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.(2)关于指数函数的定义域教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值.(3)关于是否是指数函数的判断学生课堂练习1：根据指数函数的定义判断下面函数是否是指数函数.(1), (2), (3)(4), (5).解：指出只有(1)和(3)是指数函数,其中(3)可以写成 ,也是指数图象.最后提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.3.归纳性质（1）在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象.列表如下：（2）一般地，指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象和性质如下表所示．（3）指数函数的图象的特征与性质例1（课本P56例6）：已知指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象经过点（3，π），求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值． 例2（课本P57例7）：比较下列各题中两个值的大小： （1）35.27.1,7.1 （2）2.01.08.0,8.0-- （3）1.70.3，0.93.1解：利用函数单调性 ①5.27.1与37.1的底数是1.7，它们可以看成函数 y=x 7.1，当x=1.7和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=x7.1在R 是增函数，而2.5<3，所以，5.27.1<37.1；②1.08.0-与2.08.0-的底数是0.8，它们可以看成函数 y=x8.0，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=x8.0在R 是减函数，而-0.1>-0.2，所以，1.08.0-<2.08.0-；③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：3.07.1>1；1.39.0<1；3.07.1>1.39.0小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.变式训练2：（1）比较下列各组数的大小1) 与; 2) 与; 3)与1 ；4)与解:在上是增函数,且<.⑵已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）n m)32()32(>；（2）n m 1.11.1<. 三、课堂小结，巩固反思：1、理解并掌握指数函数的图像与性质。

指数与指数函数教学设计知识与技能：了解根式及指数函数的概念，并能结合指数函数的图象，，概括函数性质.过程与方法：通过作图并观察、总结指数函数的性质，培养学生的作图能力，观察、分析、归纳总结的能力，体会类比在研究问题中的作用，渗透数形结合的思想.情感态度与价值观：体验轻松学习的喜悦，降低畏难情绪；增强数学应用意识.教学重点：指数函数的概念和性质.教学难点：指数函数的概念和性质.突破难点的关键：引导学生将新知识转化为旧知识，降低问题难度；帮助学习有困难的学生更直观的观察指数函数图象，归纳指数函数的性质. .教学方式与教学手段说明：教学方式：学生自主探究与合作学习相结合；教学手段：自制多媒体课件，帮助学生通过指数函数的图象更直观的理解其性质，几何画板动态演示，激发学生学习热情，投影展示学生作品，让学生树立学好数学的信心.学习目标：1.理解n 次方根及根式的概念.2.理解根式的运算性质.3.理解分数指数幂的意义.4.理解指数函数的概念和意义5.掌握指数函数的有关性质．教学过程：一．自主学习：1.根式的概念(1)a 的n 次方根：如果________，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n＞1，且n∈N*.当n 是奇数时，a 的n 次方根表示为________，a∈________；当n 是偶数时，a 的n 次方根表示为________，a∈___________.(2)叫做________，这里n叫做______练习1：8 的 3 ______，16 的 4 次方根是设计意图设计练习设计意图:掌握分数指数幂的运算性质。

4.指数函数：定义：一般地，函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数指数函数的图象归纳出指数函数的性质指数函数概念的理解和应用函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有()A ．a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝1或a ＝2D ．a ＞0且a ≠1解析：由a 2－3a ＋3＝1，解得：a ＝1或a ＝2，但a ≠1，则a ＝2.答案：A自测自评1．指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(2)·f(4)的值为()A．64B．256C．8D．16课堂小结1.理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化熟练运用有理指数幂的运算性质。