等角螺旋线

MathStudio for iPad使用方法入门（37）对数螺线面面观（1）2016年6月12日对数螺线亦称等角螺线★等角螺线极坐标方程式：ρ=a*bθ=a*e ln(b)*θ=a*e k*θk=ln(b)等角螺线是笛卡儿在1638年发现的；也称为对数螺线★设 C 为以原点为圆心的任意圆，C 与等角螺线相交的角(倾斜度)为φ因为tanφ=ρ/d(ρ)=ae k*θ/a*k*e k*θ=1/k，所以k=cot(φ),或φ=arccot(k)即等角螺线与过极点射线的交点夹角φ永远相等，而其值为arccot(k)★等角螺线是什么样子的曲线？等角螺线是一条“无头无尾”的曲线，当k > 0时，它始于设定的θ最大值，θ可以是无限大，终端趋近极点，但永远到不了极点0对数螺线是一种奇特怪异的曲线族，说它奇特，因为它的形状：千姿百态-φ角在不同数域，有不同的图形跳跃转向-k为正值时，螺线是顺时针绕极点转动，θ由外向内减小k为负值时，螺线是逆时针绕极点转动，θ由外向内增大藕断丝连-ρ=a*e k*θ与ρ=a*e-k*θ两支曲线不像阿基米德螺线那样互相嵌套，而是内外包容，首尾“相连”疏密有序-当k趋近0（φ趋近π/2），曲线趋于密集，反之则稀疏；任意缩放依然故我–对数螺线两端都无止境，且有等比性，故任意缩放其形不变变化多端难以捉摸–当φ角=0时，k为不定值，什么图形都没了当φ角=±π/2时，k=0,螺线“消失”了，圆出现了当φ角=±π时，k=∞ ，什么图形都没了万变不离其宗–等角性、等比性是对数螺线的基本特性继续看，欣赏一下对数螺线的奇异幻境吧p=±π/2=±1.571附近是对数螺线的“活跃区”，“敏感区”a为正，顺时针方向a为负，逆时针方向上图p=-1.582 < -1.571红色螺线在外，蓝色螺线在内外层螺线顺时针绕极点转动内层螺线逆时针绕极点转动下图p=-1.552 > -1.571蓝色螺线在外，红色螺线在内p=1.558 < 1.571红色螺线在外，蓝色螺线在内p=1.588 > 1.571蓝色螺线在外，红色螺线在内两种极端情况左图p=0 右图p=πa=NaN →∞ a →∞当对数螺线与射线交角为0或π时，没有图形显示p = 3.028 <π 交角接近πa = -8.7655 >-∞螺线近似直线没有典型对数螺线的样子ρ=e -a*θ什么原因成这样子？ρ=e 8.7655*θ公比=e 8.7655*2π =8.2963*1023 巨大的公比使我们无法得到与之适应的放大图，只看到它近似直线迅速趋近0b = 2.124a = -0.6175公比= 0.02θ = 1.043b = 2.124a = -0.6175公比= 0.02θ = 31.355 ≈ 10π螺线逆时针快速趋近0，θ由外向内增大b = 1.688a = -0.1177公比=0.48 比1小得多，较稀疏b = 1.628a = -0.0573公比=0.7 接近1 较密集左图图中a=0时，等角螺线变为圆这儿a=cot(b)即b=acot(a)=acot(0)=π/2=1.5708右图b=1.571(=π/2)时等角螺线“消失”，变为圆φ=π/2=1.571 cot(φ)=0 图形为圆直线θ=π/3与圆的交点，可以是多点重合，依θ的取值范围而定θ=1.043θ=7.34=1.043+2πθ=19.9=1.043+6πb=1.583 >1.571a=-0.0122<0逆时针方向，公比=0.93 曲线较密集θ由外向内增大b=1.565 < 1.571 a=0.0058 >0顺时针方向θ由外向内减小公比=1.04 接近1曲线密集能看出来不是等距离φ=0.782 a=cot(0.782)=1 与X轴交点θ=4πρ=sqrt(x2+y2)=314243a=ln(ρ)/θ=ln(314243)/4π≈1φ=acot(1)=0.785=π/4³180/π=45°这是φ=0.782时的等角螺线及φ=π/3直线相交图形a=cot(0.782)=1.0068≈1曲线自外向内顺时针绕极点迅速趋近极点公比= 558.87曲线稀疏Trace显示数据与按公式计算数据基本一致过极点射线φ=π/3,与等角螺线交点Y 轴与等角螺线交点φ=0.782 等角螺线ρ=sqrt(x 2+y 2)=1501773a=ln(ρ)/θ=ln(1501773)/4.5π=1φ=acot(1)=0.785=π/4×180/π=45°ρ=sqrt(x 2+y 2)=897714a=ln(ρ)/θ=ln(897714)/4.3π=1φ=acot(1)=0.785=π/4×180/π=45°Trace 显示数据与按公式计算数据基本一致观察对数螺线与过极点直线各交点间的间距状况这是φ=1.505时的等角螺线及φ=π/3直线相交图形曲线自外向内顺时针绕极点旋转起点x=10π，终点趋近0φ=1.505=1.505×180/π=86°a=cot(1.505)=0.0659ρ1=sqrt(x2+y2)=5.64看一看φ=1.505 的螺线与θ=π/3射线的各交点数据ρ2 =sqrt(x 2+y 2)=3.72ρ3=sqrt(x 2+y 2)=2.45ρ4 =sqrt(x 2+y 2)=1.62ρ5 =sqrt(x 2+y 2)=1.07ρ1=sqrt(x 2+y 2)=5.64 θ1=26.18 = 8π + π/3ρ2 =sqrt(x 2+y 2)=3.72 θ2=19.9 = 6π + π/3ρ3=sqrt(x 2+y 2)=2.45 θ3=13.6 = 4π + π/3ρ4 =sqrt(x 2+y 2)=1.62 θ4=7.34 = 2π + π/3ρ5 =sqrt(x 2+y 2)=1.07 θ5=1.04 = π/3ρ1 –ρ2 =1.92 = 1.27×1.51ρ2 –ρ3 =1.27 = 0.83×1.53ρ3 –ρ4 =0.83 = 0.55×1.51ρ4 –ρ5 =0.55ρ1、ρ2、ρ3、ρ4、ρ5 是等比级数公比=e 2πa = e 2π*cot（1.505）Trace 显示数据与按公式计算数据基本一致b=1.687 a=-0.1167 <0 公比=e 2πa =0.48b=1.687 a=-0.1167 <0 公比=e 2πa =0.48b=1.687 a=-0.1167 <0 公比=e 2πab=1.687a=-0.1167 <0公比=e 2πa =0.48逆时针方向θ由外向内增大Trace显示数据与按公式计算数据基本一致π/2 – b = 0.003红色螺线在外顺时针绕极点蓝色螺线在内逆时针绕极点增大θ取值范围0～72π ρ=e±aθ，两条对数螺线曲线φ 取邻近π/2 的值b=1.568 < 1.571b = 1.558a =0.0128公比=1.0837b = 1.548a =0.0228公比=1.154π/2 – b = 0.013蓝色螺线只能看到一个小圆π/2 – b = 0.023蓝色螺线只能看到一个小点b=1.578 > 1.571π/2 - b = -0.007a=-0.0072公比=0.9558b > π/2蓝色螺线在外顺时针绕极点红色螺线在内逆时针绕极点b=1.598>1.571a=-0.0272公比=0.8429b=1.588>1.571a=-0.0172公比=0.8976π/2 – b = -0.027红色螺线看不到了π/2 – b = -0.017红色螺线只能看到一个点π/2 两侧是“敏感区”，φ角微变，图形大变！用了半个多月时间，探索对数螺线的奥秘，现在该告一段落了。

等角螺线及其它▪何谓等角螺线▪等角螺线的方程式▪趣史一则▪等角螺线上的相似性质▪黄金分割与等角螺线▪等角螺线的弧长▪等角螺线的再生性质▪其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。

曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。

这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。

在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。

基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。

在内容方面，笔者首先选上曲线。

因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。

例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。

何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。

狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。

一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。

假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。

更进一步地，由于在A1点的甲狗系冲向在B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。

或者说，甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。

同理，图一乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。

奥数对数螺旋
奥数中的对数螺旋是一个令人着迷的数学概念，它将指数函数与螺旋形状完美结合，揭示出自然界中隐藏的美丽和秩序。

对数螺旋，也被称为等角螺旋或等角螺线，是一种特殊的曲线，其特点是在任意一点上的切线方向与半径之间的角度保持不变。

在数学上，对数螺旋的方程可以表示为 r = ae^(bθ)，其中 r 是从原点到曲线上一点的距离，θ是该点与正x轴之间的夹角，a 和 b 是常数。

这个方程描述了曲线如何随着角度θ的变化而展开，形成了一个无限延伸的螺旋形状。

对数螺旋的美妙之处在于它与指数函数的紧密联系。

指数函数是数学中一种基本而重要的函数，它描述了增长和衰减的过程。

而对数螺旋则将这种增长和衰减的过程转化为一种优美的几何形状。

除了数学上的美丽，对数螺旋还在自然界中广泛存在。

例如，在植物学中，许多植物的叶子和花朵的排列都呈现出对数螺旋的形式，如向日葵的花瓣和菠萝的鳞片。

这种排列方式有助于植物最大化地利用阳光和空间，展现出自然界的智慧和优雅。

此外，对数螺旋还在艺术和设计领域得到广泛应用。

建筑师和艺术家们常常利用对数螺旋的形状和特性来创造出富有动感和美感的作品。

例如，一些现代建筑的外墙和雕塑作品就采用了对数螺旋的形状，让人在欣赏的同时也能感受到数学和自然的魅力。

总之，奥数中的对数螺旋是一个充满神秘和美丽的数学概念。

它不仅揭示了自然界中的秩序和智慧，也为我们提供了一种全新的视角来欣赏和理解数学、艺术和自然界中的美。

等角螺线及其它赵文敏▪何谓等角螺线▪等角螺线的方程式▪趣史一则▪等角螺线上的相似性质▪黄金分割与等角螺线▪等角螺线的弧长▪等角螺线的再生性质▪其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。

曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。

这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。

在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。

基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。

在内容方面，笔者首先选上曲线。

因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。

例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。

何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。

狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。

一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。

假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。

更进一步地，由于在A点的甲狗系冲向在B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。

或者说，甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。

同理，图一乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。

d代数螺线
D代数螺线：数学之美与自然的和谐
当我们深入探索数学与自然的交融时，D代数螺线以其独特的形式和深远的意义引起了我们的注意。

D代数螺线，这一数学概念的魅力，不仅在于其精确的数学描述，更在于其在自然界中的广泛存在。

D代数螺线，也被称为对数螺线或等角螺线，是一种特殊的曲线，其特性在于任何一点到原点的距离与该点到原点的连线与正x轴之间的夹角成正比。

这种独特的性质使得螺线在视觉上呈现出一种连续而流畅的旋转效果，仿佛在诉说着宇宙的奥秘。

在自然界中，我们可以找到许多D代数螺线的实例。

例如，在植物界，许多植物的叶子和花朵的排列都遵循着这种螺线规律，如向日葵的花盘和松树的松针。

而在动物界，蜗牛壳的螺旋形状也是D代数螺线的一个生动体现。

这些自然现象的螺线结构，不仅美观，而且有助于植物和动物在生长和生存中达到最优的效果。

除了自然界，D代数螺线在科技和工程领域也有着广泛的应用。

在建筑设计中，螺线结构被用于创造既美观又坚固的建筑，如著名的巴黎艾菲尔铁塔。

在机械工程中，螺线齿轮和螺线弹簧等部件的设计和制造都离不开D代数螺线的理论支持。

D代数螺线的数学描述和其在自然界、科技领域的应用，都体现了数学与自然的和谐统一。

它让我们看到，数学不仅仅是一种抽象的符号体系，更是一种揭示自然规律、指导科技发展的有力工具。

D代数螺线，无疑是数学与自然完美结合的典范之一。

数学的有趣图形-等⻆螺线
定义
极坐标⽅程
pyt h on画图
⾃然现象
等⻆螺线、对数螺线或⽣⻓螺线是在⾃然界常⻅的螺线，在极坐标系(r, θ)中，这个曲线可以写
为
或
因此叫做“对数”螺线
⼀般
的
取
定义
极坐标⽅程
python画图
1from matplotlib import pyplot as plt 2import numpy as np
3import math
4i = np.linspace(0,4*math.pi,500)
5r=np.power(1.2,i)
6x=r*np.cos(i)
7y=r*np.sin(i)
8plt.plot(x,y)
⾃然现象
鹦鹉螺的⻉壳像等⻆螺线
菊的种⼦排列成等⻆螺线
鹰以等⻆螺线的⽅式接近它们的猎物
昆⾍以等⻆螺线的⽅式接近光源
蜘蛛⽹的构造与等⻆螺线相似
旋涡星系的旋臂差不多是等⻆螺线。

银河系的四⼤旋臂的倾斜度约为 12°。

低⽓压(热带⽓旋、温带⽓旋等)的外观像等⻆螺线。

浅谈等角螺旋线作者：09公管丁刘泽隆王海玥阚萍摘要：本文主要对等角螺线（logarithmic spiral）进行了研究，建立了等角螺线的数学模型，探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用。

关键词：等角螺线黄金比应用引言：等角螺线又叫对数螺线（logarithmic spiral ）是由笛卡儿在1683年发现的。

雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli‎)后来重新研究之。

他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。

他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem‎mutata‎re surgo)。

可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。

等角螺线用指数形式表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。

为了讨论方便，我们把e 或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。

等角螺线在自然界规律和工业生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。

已有的文献和成果：文献《螺线》等。

一、模型的建立(1) 螺线特别是美学意义可以用指数的形式来表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角（polar angle），ρ是极径（polar Radius），e是自然对数（ natural logarithm）的底。

为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。

因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。

(2)如何得到一条等角螺线-----等角螺线与黄金比（golden ratio）首先画一个黄金矩形ABCD，即一个长比宽为φ的矩形，。

如果拿掉最大的正方形ABEF，我们能得到一个新的小黄金矩形FECD。

（证明略）数学提供给我们的生活经验以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见。