中南大学 机械振动复习材料

中南大学考试试卷（A卷）2015 - 2016学年上学期时间110分钟《机械振动基础》课程 32 学时 2 学分考试形式：闭卷专业年级：机械13级总分100分，占总评成绩 70 %注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上1、简述机械振动定义，以及产生的内在原因。

（10分）答：机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。

（5分）产生机械振动的内在原因是系统本身具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。

（5分）2、简述随机振动问题的求解方法，随机过程基本的数字特征包括哪些？（10分）答：随机振动问题只能用概率统计方法来求解，只能知道系统激励和相应的统计值（5分）。

随机过程基本的数字特征包括：均值、方差、自相关函数、互相关函数。

（5分）3、阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？（10分）答：阻尼消耗振动系统的能量，它使自由振动系统的振动幅值快速减小（5分）。

增加黏性阻尼量，可使指针快速回零位（5分）。

4、简述求解周期强迫振动和瞬态强迫振动问题的方法。

（10分）答：求解周期强迫振动时，可利用傅里叶级数将周期激励力转化为简谐激励力，然后利用简谐激励情况下的周期解叠加，可以得到周期强迫振动的解（5分）。

求解瞬态强迫振动的解时，利用脉冲激励后的自由振动函数，即单位脉冲响应函数，与瞬态激励外力进行卷积积分，可以求得瞬态激励响应（5分）。

周期强迫振动和瞬态强迫振动，也可以通过傅里叶积分变换、拉普拉斯积分变换来求解。

5、如图1所示，系统中质量m 位于硬质杆2L （杆质量忽略）的中心，阻尼器的阻尼系数为c ，弹簧弹性系数为k ，（1）建立此系统的运动微分方程； （5分） （2）求出临界阻尼系数表示式； （5分） （3）阻尼振动的固有频率表示式。

（5分）答：（1）可以用力矩平衡方法列写平衡方程，也可以用能量方法列写方程，广义坐标可以选质量块的垂直直线运动，也可以选择杆的摆角，以质量块直线运动坐标为例，动能212TE mx =&，势能21(2)2U k x =，能量耗散212D cx =&，由222,,T T ij ij ij i j i j i jE D Um c k x x x x x x ∂∂∂===∂∂∂∂∂∂，得到：40mx cx kx ++=&&&；（2）e c ==（3）d n ω==6、如图2所示系统，两个圆盘的直径均为r ，设I 12，k 12，k 3=3k ， （1）选取适当的坐标，求出系统动能、势能函数； （5分） （2）求出系统的质量矩阵、刚度矩阵； （5分） （3）写出该系统自由振动时运动微分方程。

2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t 2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=所以：7(/)0.2n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。

2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有：由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=即：n ω=系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩20012m gx x m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+ 其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪⎩20001n m g A x x A即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k 2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

2009--2011中南大学考试试卷一、填空题（本题15分，每空1分）1、按不同情况进行分类，振动系统大致可分成，线性振动和（非线性振动）；（确定性振动）和随机振动；自由振动和（强迫振动）；周期振动和（瞬态振动）；（连续系统）和离散系统。

2、(惯性)元件、(弹性)元件、(阻尼)元件是离散振动系统的三个最基本元素。

3、系统固有频率主要与系统的（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。

4、研究随机振动的方法是（概率统计），工程上常见的随机过程的数字特征有：（均值），（方差），（自相关函数）和（互相关函数）。

二、简答题（本题40分，每小题8分）1、简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。

（10分）答：机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近往复弹性运动。

振动系统发生振动的原因是由于外界对系统运动状态的影响，即外界对系统的激励或作用。

2、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。

答：实际阻尼是度量系统消耗能量的能力的物理量，阻尼系数c是度量阻尼的量；临界阻尼是c2enm ω=；阻尼比是/eccξ=（8分）3、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？答：共振是指振动系统在激励频率约等于系统的固有频率时的振动状态。

在此过程中，激励力与阻尼力平衡，弹性力与惯性力平衡。

即动能与势能相互转化，激励力提供阻尼消耗。

4、简述线性系统在振动过程中动能和势能之间的关系。

（8分）5、简述刚度矩阵[K]中元素k ij的意义。

答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kij（8分）三、计算题（45分）3.1、（10分）求如图1所示的扭转系统的固有频率。

图13.2、（15分）如图2所示系统，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。

中南大学考试试卷2012 - 2013学年上学期时间110分钟《机械振动基础》课程 32 学时 1.5 学分考试形式：闭卷专业年级：机械10级总分100分，占总评成绩 70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、填空题（本题15分，每空1分）1.1 图1为小阻尼微振系统，右图为该系统与激励、响应三者之间的关系图，根据图1填空：1）图1所示的系统运动微分方程为（），用力分析方法建立该微分方程是依据（）定理。

2）在时域内该系统的激励是（），与之对应的响应是（）。

3）如果F(t)=kA cosωt，则该系统稳态响应的频率为（），而系统的固有频率为（）4）如果F(t) 为t=0时刻的单位脉冲力，则系统的响应h(t)称为（）。

5）如果F(t)为非周期激励，可以采用（）、（）或（）等方法求系统响应。

1.2 图2是多自由度线性振动系统，根据图2填空：1）该系统有（）个自由度，如果已知[M],[K],[C]，系统运动的矩阵微分方程通式是（）。

2）如果F(t)作用在第二个自由度上，则微分方程中系统的激励向量是（），对应的响应向量是（）；3）如果系统的刚度矩阵为非对角矩阵，则微分方程存在（）耦合，求解微分方程需要解耦。

二、简答题（本题40分，每小题8分）2.1（8分）在图1中，若F(t)是频率为ω的简谐激励，写出系统放大因子计算公式，分析抑制系统共振的方法；2.2 （8分）在图1中，如果已知x(t)=AH(ω)cosωt，分析系统（在垂直方向）作用在基础上的弹簧力FS(t)，阻尼力Fd(t)，分析二者的相位差，证明合力的峰值为kAH(ω2.3 （8分）当系统受非简谐周期激励作用时，简述系统响应的求解方法，分析该类激励引起系统共振的特点。

2.4 （8分）简述振型的物理含义，振型矩阵的构成方法，振型矩阵的作用。

2.5 （8分）简述随机振动与确定性振动求解方法的区别，随机过程有那些基本的数字特征，各态遍历随机过程的主要特点。

机械振动全章复习资料一、简谐运动的基本概念1.定义物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F回= -kx（判断一个振动是否是简谐运动的方法）⑴振动的位移必须是指偏离平衡位置的位移（实质与位置对应）。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

简谐运动的位移随时间变化的规律是正弦函数（判断一个振动是否是简谐运动的方法）。

⑵回复力是一种效果力。

是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）⑷F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

例1.简谐运动的判断方法。

两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。

试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。

证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。

设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx.所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。

要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。

然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。

机械振动第1讲一、高考夺分要点：1、机械振动——物体（或物体一部分）在某一中心位置附近所做的往复运动 2.回复力：振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力，使物体返回平衡位置的力 注意：①恢复力不一定是物体所受的合力，如单摆②回复力的意义是指向平衡位置方向上的合力③恢复力是根据效果命名的3．平衡位置：回复力为零的位置，并非合外力为零的位置。

例如单摆。

4．位移：是离开平衡位置的位移5．简谐运动——物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F = -kx6．振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱，无正负之分。

7．周期和频率：表示振动快慢的物理量。

完成一次全振动所用的时间叫周期，单位时间内完成全振动次数叫频率，大小由系统本身的性质决定，所以叫固有周期和频率。

任何简谐运动都有共同的周期公式：km T π2= 8.简谐振动的方程：)sin(ϕω+=t A x ，其中A 为振幅，ω为圆频率，ϕ为初相位。

二、考点精讲：1.（2009•天津）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为t A x 4si n π=则质点（ ）A ．第1s 末与第3s 末的位移相同B ．第1s 末与第3s 末的速度相同C ．3s 末至5s 末的位移方向都相同D ．3s 末至5s 末的速度方向都相同 2.（2011•静安区二模）如图所示，一弹簧振子在B 、C 两点间做机械振动，B 、C 间距为12cm ，O 是平衡位置，振子每次从C 运动到B 的时间均为0.5s ，则下列说法中正确的是（ ）A ．该弹簧振子的振幅为12cmB ．该弹簧振子的周期为1sC ．该弹簧振子的频率为2HzD ．振子从O 点出发到再次回到O 点的过程就是一次全振动3.（2004•天津）公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T ．取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即t=0，其振动图象如图所示，则（ ）A.4Tt =时，货物对车厢底的压力最大 B.2Tt =时，货物对车厢底的压力最小C.43T t =时，货物对车厢底的压力最大D.43T t =时，货物对车厢底的压力最小三、随堂练习：1.（2014•东城区模拟）一弹簧振子的位移y 随时间t 变化的关系式为t y π5.2sin 1.0=，位移y 的单位为m ，时间t 的单位为s ．则（ ） A ．弹簧振子的振幅为0.2m B ．弹簧振子的周期为1.25sC ．在t=0.2s 时，振子的速度为零D ．在任意0.2s 时间内，振子的位移均为0.1m2.（2012•黄埔区模拟）某质点做简谐运动，下列说法中正确的是（ ） A ．质点通过平衡位置时，速度最大，加速度最大B ．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值C ．质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也不一定相同D ．质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同3.（2014•徐汇区二模）如图所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在A 、B 两点之间做简谐运动．以向左为正，振子的位移x 随时间t 的变化如图所示，则由图可知（ ）A ．t=0.2s 时，振子在O 点右侧6cm 处B ．t=1.4s 时，振子的速度方向向右C ．t=0.4s 和t=1.2s 时，振子的加速度相同D ．t=0.4s 到t=0.8s 的时间内，振子的速度逐渐增大四、课后练习：1.（2012•重庆）装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示．将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是（ ）A. B.C. D.2.(2013•新课标Ⅱ)如图，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a 、b 两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A 0，周期为T 0．当物块向右通过平衡位置时，a 、b 之间的粘胶脱开；以后小物块a 振动的振幅和周期分别为A 和T ，则A A 0（填“＞”、“＜”或“=”），T T 0（填“＞”、“＜”或“=”）．3.（2014•奉贤区二模）一弹簧振子做简谐运动的振动图象如图所示，则弹簧振子沿x 轴正方向的最大速度的位置是图中的（ ）A.aB.bC.cD.d4.（2012•普陀区一模）有一作简谐运动的弹簧振子，周期为2秒．如果从弹簧振子向右运动通过平衡位置时开始计时，则在t=3.4秒至t=3.5秒的过程中，摆球的（ ）A ．速度向右在增大，加速度向右在减小B ．速度向 左在增大，加速度向左也在增大C ．速度向左在减小，加速度向右在增大D ．速度向右在减小，加速度向左也在减小5.（2014•嘉定区二模）某质点作简谐振动时的位移x 随时间t 变化的规律如图所示，该质点在t 1与t 2时刻（ ）A ．振幅不同B ．加速度方向相同C ．在t 1时刻速度较大D ．在t 2时刻向x 正方向运动机械振动第1讲参考答案一、考点精讲：1.AD A 、由关系式可知，，将t=1s 和t=3s 代入关系式中求得两时刻位移相同．故A 正确．B 、画出对应的位移-时间图象，由图象可以看出，第1s 末和第3s 末的速度方向不同．故B 错误．C 、由图象可知，3s 末至5s 末的位移大小相同，方向相反．故C 错误．D 、由图象可知，3s 末至5s 末的而速度是大小相同，方向也相同．故D 正确．2.D A 、质点通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，A 错误；B 、若位移为负值，质点远离平衡位置时速度方向为负值，B 错误；C 、质点每次通过平衡位置时，加速度为零，速度不一定相同，C 错误；D 、质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同，D 正确； 3.C A 、4Tt =在时刻，由图看出，货物的位移为正向最大，则货物的加速度为负向最大，即加速度向下最大，根据牛顿第二定律可知，货物受到的弹力最小，则货物对车厢底板的压力最小．故A 错误． B 、在2Tt =时刻，货物的位移为零，加速度为零，弹簧的弹力大小等于货物的重力，而在4Tt =时刻，货物的弹簧小于货物的重力，说明在2Tt =时刻，弹簧的弹力不是最小，则货物对车厢底板的压力不是最小．故B 错误．C 、D 在T t 43=时刻，由图看出，货物的位移为负向最大，则货物的加速度为正向最大，即加速度向上最大，根据牛顿第二定律可知，货物受到的弹力最大，则货物对车厢底板的压力最大．故C 正确，D 错误．二、随堂练习：1.C A 、质点做简谐运动，振动方程为t y π5.2sin 1.0=，可读出振幅A=0.1m ，故A 错误；B 、质点做简谐运动，振动方程为t y π5.2sin 1.0=，可读出角频率为2.5π，故周期s T 8.05.222===ππωπ，故B 错误；C 、在t=0.2s 时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C 正确；D 、根据周期性可知，质点在一个周期内通过的路程一定是4A ，但四分之一周期内通过的路程不一定是A ，D 错误； 2.C 根据简谐运动的表达式为x=Asin （ωt+φ），A 为振幅，等于8cm ．故A 错误；简谐运动的表达式为x=Asin （ωt+φ），ω为圆频率,s T 4222===ππωπ，故B 错误；C 、由题目中的公式可得，当t=0时，x=0物体处于平衡位置；当t=1s 时，质点运动了1/4周期，到达最大位置，该过程中质点的位移增大，速度减小．故C 正确；D 、由题目中的公式可得，当t=2s 时，x=0物体处于平衡位置，在1～2s 内，质点从最大位移处向平衡位置运动，物体的速度增大，动能逐渐增大．故D 错误．3.D A 、t=0.2s 时，振子在O 点左侧；故A 错误；B 、1.4s 时，振子在O 点右方正向平衡位置移动，故速度方向向左；故B 错误；C 、0.4s 和1.2s 时振子分别到达正向和反向最大位置处，加速度大小相等，但方向相反；故C 错误；D 、0.4s 到0.8s 内振子在向平衡位置移动，故振子的速度在增大；故D 正确； 三、课后练习：1.D 根据题中规定的正方向，开始计时时刻位移为正的最大值，由于t A x 4si n π=,简谐运动的图象是正弦或余弦曲线，可知D 正确．2.＜，＜ 当物块向右通过平衡位置时a 、b 之间的粘胶脱开，a 向右做减速运动，b 向右匀速运动，弹簧振子总的机械能将减小，振幅减小，即有A ＜A 0．根据弹簧振子简谐运动的周期公式kmT π2=，知，振子的质量减小，周期减小，则有T ＜T 0．故答案为：＜，＜3.D A 、C 、弹簧振子经过平衡位置时速度最大，此时振子的位移为0．故AC 错误．B 、D 、根据振动图象切线的斜率等于速度，可知b 对应的速度为负向最大，d 对应的速度为正向最大，故D 正确，B 错误．4.C 由题，弹簧振子的周期是2s ，一个周期分成四个41周期，从单摆向右运动通过平衡位置时开始计时，则在t=3.4秒至t=3.5秒的过程中，单摆是由平衡位置向左向最大位移处运动，所以速度向左在减小，加速度方向向右在增大．C 正确．5.D A 、振幅是振子能达到的最大位移，故振幅不变；故A 错误；B 、由图可知，两时刻时振子的位移大小相等，方向相反；故加速度方向相反；故B 错误；C 、由图可知，t 1时刻距平衡位置的距离大小t 2时刻距离平衡位置的距离，则可知t 2时刻的速度要大于t 1时刻的速度；故C 错误；D 、振动图象随时间延伸，由图可知，t 2时刻向x 轴正方向运动；故D 正确；。

机械振动复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●通过观察和分析，理解简谐运动的特征。

能用公式和图像描述简谐运动的特征；●通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系；●知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。

会用单摆测定重力加速度。

●通过实验，认识受迫振动的特点。

了解产生共振的条件以及在技术上的应用。

重点难点：●简谐运动的特点与图像。

学习策略：●简谐运动是一种新的运动形式。

要把握起受力特点和运动热点及其内在关系，并能运用能量的观点解决、分析问题。

二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？1、请尝试整理本章的知识脉络。

2、简述简谐运动图像的应用？知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

详细内容请学习网校资源ID：#65002#414653要点一、简谐运动1．定义表达式为：______F =，是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在__________。

（2）回复力是一种效果力，是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态。

）要点诠释：简谐运动的位移大小和方向都是相对平衡位置来说的，是从平衡位置指向所在位置的矢量。

机械振动一、机械振动（1）定义：中心位置；往复运动（2）条件：回复力；阻力足够小。

（3）特点：中心位置；往复运动例1下列属于机械振动选择完整的是（）①乒乓球在地面上的来回上下运动；②弹簧振子在竖直方向的上下运动；③秋千在空中来回的运动；④竖于水面上的圆柱形玻璃瓶上下振动A、①②B、②③C、③④D、②③④二、简谐运动1.定义:物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F= -kx（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

（2）回复力是一种效果力。

是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以不处于平衡状态）（4）F = -kx 是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

1．怎样判断某一振动是简谐运动：方法一：从动力学：证明物体在运动方向上所受合力F =-kx 。

方法二：从运动学特点：例1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐运动.解析：如图9—1—1所示，设振子的平衡位置为O ，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为x 0,根据胡克定律及平衡图9—1—1mg －kx 0=0当振子向下偏离平衡位置xF 回=mg－k (x +x 0)将①代入②得：F 回=－kx ，故重物的振动满足简谐运动的条件.说明：分析一个振动系统是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足：其大小随着位移的变化作正比变化，其方向总与位移方向相反.应理解F =－kx 式中的k 值是由振动系统本身条件所决定，不要将F =－kx 简单理解为胡克定律中的弹力，在这里就理解为产生简谐运动的回复力的定义和重力的合力.是否满足F =－kx . 例2 如图所示，m 和M 叠放在一起，弹簧的作用下相对静止一起运动。

物理课程之动学到机械振动复习资料(doc 32页)第一讲 运动学一.内容提要（一）高考涉及的运动学知识1．基本概念（1）机械运动、平动和转动．（2）质点（3）参照物（系）．为描述运动而假定不动的物体．（4）时间和时刻．（5）速度和速率．（6）加速度 t v v t v a t 0-=∆∆= 注意0v v t -为矢量差，若在一条直线上，则设定正方向后，用正负号来表示其方向．2．直线运动的有关规律（1）变速运动的平均速度s v t = s ：位移．平均速度是矢量．（2）匀变速直线运动：1．绝对速度、相对速度和牵连速度通常．．取地球参照系为静系，相对于地球参照系的速度称为绝对速度．令地球参照系为a，b物体相对于地球运动的速度为v ba，c物体相对于b物体的速度为v cb．则c对a的速度v ca = v ba＋v cb（注意此加法应依照矢量合成的平行四边形法则进行）其中,v ca 称为绝对速度；v cb称为相对速度；v ba称为牵连速度．(这一规律可记为：丙物体对甲物体的速度，等于丙物体对乙物体的速度和乙物体对甲物体的速度的合成．)位移和加速度也有类似的规律：s ca = s ba＋s c b a ca = a ba＋a cb 2．斜抛物体运动一般的抛体运动,通常是指初速度与加速度的夹角不为900、00和1800的情形．解决这类问题还是分解到两个方向来考虑．(1) 平面直角坐标分解法：即沿加速度a的方向和垂直a的方向分解，两个分运动分别是相互垂直的匀速运动和匀变速运动．（2）沿初速度v0和加速度a的方向分解法：两个分运动分别是速度为v0的匀速运动和初速度为0、加速度为a的匀加速运动．二．练习题1．关于速度和加速度的关系，下列说法正确的是()A．加速度方向为正时，速度一定增加B．速度变化得越快，加速度就越大C．加速度方向保持不变，速度方向也保持不变D．加速度大小不断变小，速度大小也不断变小2. 从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是()A．从飞机上看，物体静止B．从飞机上看，物体始终在飞机的后方C．从地面上看，物体做平抛运动 D．从地面上看，物体做自由落体运动3．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离随时间变化的关系为x＝5＋2 t3(m)，它的速度随时间t变化关系为v＝6t2(m/s)．该质点在t＝0到t＝2 s间的平均速度和t＝2 s到t＝3 s间的平均速度大小分别为()A．12 m/s，39 m/s B．8 m/s，38 m/s C．12 m/s，19.5 m/s D．8 m/s，2 m/s4.在2008年8月16日，牙买加选手博尔特在国家体育场“鸟巢”进行的北京奥运会男子100米决赛中以9秒69的成绩夺得金牌并打破9秒72的世界纪录．设高度为H的博尔特正在进行100米短跑且就要到达比赛的终点处，如图所示，有一摄影记者用照相机拍摄下了运动员冲刺的一幕．已知摄影记者使用的照相机的光圈(控制进光量的多少)是16，快门(曝光时间)是1/60秒，得到照片后测得照片中人的高度为h，胸前号码布上模糊部分的宽度是ΔL.则由以上数据可以知道运动员的( )①100米成绩②冲刺速度③100米内的平均速度④冲刺时1/60秒内的位移A．①②B．①③C．②④D．③④5．一个小石块从空中a点自由落下，先后经过b点和c点，不计空气阻力．已知它经过b点时的速度为v，经过c点时的速度为3v，则ab段与ac段位移之比为()A．1∶3 B．1∶5 C．1∶8D．1∶96．静止置于水平地面的一物体质量为m＝57 kg，与水平地面间的动摩擦因数为0.43，在F＝287 N的水平拉力作用下做匀变速直线运动，则由此可知物体在运动过程中第5个7秒内的位移与第11个3秒内的位移比为()A ．2∶1B ．1∶2C ．7∶3D ．3∶77．如图所示，光滑斜面AE 被分成四个长度相等的部分，即AB ＝BC＝CD ＝DE ，一物体由A 点由静止释放，下列结论正确的是A ．物体到达各点的速率2:3:2:1:::=E D CB v v v v B ．物体到达各点所经历的时间3222DC B E t t t t ===C ．物体从A 运动到E 的全过程平均速度B v v =D ．物体通过每一段的速度增量均相等8． 在水平面上有a 、b 两点，相距20 cm ，一质点在一恒定的合外力作用下沿a 向b 做直线运动，经过0.2 s 的时间先后通过a 、b 两点，则该质点通过a 、b 中点时的速度大小为( )A ．若力的方向由a 向b ，则大于1 m/s ，若力的方向由b 向a ，则小于1 m/sB ．若力的方向由a 向b ，则小于1 m/s ；若力的方向由b 向a ，则大于1 m/sC ．无论力的方向如何，均大于1 m/sD ．无论力的方向如何，均小于1 m/s9．2009年3月29日，中国女子冰壶队首次夺得世界冠军，如图所示，一冰壶以速度v垂直进入三个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是()A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1 B．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1C．t1∶t2∶t3＝1∶2∶ 3 D．t1∶t2∶t3＝(3－2)∶(2－1)∶110．甲、乙两质点在一直线上做匀加速直线运动的v－t图象如图所示，在3 s 末两质点在途中相遇，两质点出发点间的距离是()A．甲在乙之前2 m B．乙在甲之前2 mC．乙在甲之前4 m D．甲在乙之前4 m 11．一遥控玩具小车在平直路上运动的位移—时间图象如图所示，则()A．15 s末汽车的位移为300 mB．20 s末汽车的速度为－ 1 m/sC．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2D．前25 s内汽车做单方向直线运动12．一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示．取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图象正确的是()13．将一小物体以初速度v0竖直上抛，若物体所受的空气阻力的大小不变，则小物体到达最高点的最后一秒和离开最高点的第一秒时间内通过的路程为x1和x2，速度的变化量为Δv1和Δv2的大小关系为()A．x1>x2B．x1<x2C．Δv1>Δv2D．Δv1<Δv214.如图为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是()A．D点的速率比C点的速率大B．A点的加速度与速度的夹角小于90°C．A点的加速度比D点的加速度大D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减15.随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐．如图所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L的A穴．则()A．球被击出后做平抛运动B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为2h gC．球被击出时的初速度大小为L 2g hD．球被击出后受到的水平风力的大小为mgh/L 16.如图所示，在斜面顶端a处以速度v a水平抛出一小球，经过时间t a恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度v b水平抛出另一小球，经过时间t b恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是()A．v a＝v b B．v a＝2v b C．t a＝t b D．t a＝2t b17.甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划距为233船速度均为v ，出发时两船相H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示，已知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是( )A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同B ．v ＝2v 0C ．两船可能在未到达对岸前相遇D ．甲船也在A 点靠岸18．汽车在第一个红绿灯处由静止启动，沿平直公路驰向车站并停在车站，运行的距离为s ，若汽车加速时,加速度大小恒为a 1，减速时,加速度大小恒为a 2，由此可知汽车在这段路上运行的最短时间是多少?19．公共汽车从车站由静止匀加速开出，沿平直公路驶向下一站，两站间相距1000m ，已知汽车加速度为21m/s ，加速到10m/s 后就做匀速运动，当汽车开出车站20s 后，一下车的乘客突然发现有东西遗留在车上，马上雇了摩托车追汽车，若摩托车匀加速启动，在城市中限速12m/s ，那么要在汽车到达下一站前追上汽车，摩托车的加速度至少多大？20．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B．当两球球心间的距离大于L时，A球以速度v o做匀速运动，B静止．当两球球心间的距离等于或小于L时，A球做加速度大小为2a的匀减速运动，同时B球开始向右做初速度为零的加速度为a的匀加速运动，如图所示．欲使两球不发生接触，则必须满足什么条件?21．在动物世界里经常看到猎豹捕杀羚羊的情景．羚羊从静止开始奔跑，经过s1＝50m距离能加速到最大速度v1＝25m／s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过s2＝60 m距离能加速到最大速度v2＝30 m／s，以后只能维持这个速度4.0s．设猎豹距羚羊x m时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑．试求：(1)猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊，x应在什么范围?(2)猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x应在什么范围?22．如图所示，汽车以恒定的速度滑定滑v通过绕过光轮的轻绳拉动湖中的小船，开始时车与滑轮间的绳子竖直，车尾与滑轮间的距离为h，车尾与船头等高，连接到小船的绳子与水平面夹角为030，绳子绷直．当连接到小船的绳子与水平面夹角为037时，求小船的速度和汽车的位移．23．如图所示，某滑板爱好者在离地h＝1.8m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移S1＝3m，着地时由于存在能量损失，着地后速度变成v＝4m／s，并以此为初速圆水平地面滑行S2＝8m后停止．已知人与滑板的总质量m＝60kg，求：（1）人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小；（2）人与滑板离开平台时的水平速度．（空气阻力忽略不计，g＝10m/s2）24．一条宽度为L的河,设河中各处水流速度均为v1,船在静水中的速度为v2,若v1＞v2,那么船渡河的最短距离和与之对应的时间分别是多少?25．如图所示，子弹从枪口水平射出，在枪口的正前方，放有两块竖直到纸板A和B．第一块距枪口水平距离为s，两块挡板间距为l．子弹击穿两块纸板后，在板上留下弹孔C和D，且C和D的高度差为h．试用s、l和h来表示子弹从枪口射出时的速度．26．在离地面h=7.2m的阳台上以v=5m/s的速度抛出一个物体,问抛射角为多大时,水平位移有最大值?此最大值为多少?不计阻力．第二讲牛顿运动定律与物体平衡一、力和物体平衡（一）、力的概念的理解1、物质性2、相互性和同时性3、矢量性（二）、力学中三种不同性质的力1、重力和重心重力实际上是地球对物体引力的一个分力。

机械振动第2讲一、高考夺分要点：1. 简谐运动的能量：物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和2. 简谐运动的能量说明：①简谐运动物体的能量变化规律：只有动能和势能相互转化，对弹簧振子，机械能守恒.②简谐运动的能量跟振幅有关，振幅越大，振动能量越大•③在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小，经过最大位移处，势能最大，动能最小.3. 简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化规律：式：T =2~1（惠更斯）1为摆长，g为\g当地的重力加速度.二、考点精讲：1. （2014?宣城模拟）如图所示，是简谐运动的回复力随时间变化规律的图象，根据图象以下说法正确的是（）A. 0至t i时间内，质点向着远离平衡位置方向运动，速率越来越大B. t 1至t 2时间内，质点的加速度方向与运动方向相反C. t2至t 3时间内，质点向着靠近平衡位置方向运动，速率越来越小D. t3至t 4时间内，质点的加速度方向与运动方向相同2.如图为一-弹簧振子的振动图象，由此可知（11W rA. 在11时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大'B. 在12时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小C. 在t 3时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小D. 在t 4时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大I3. （2014?张掖模拟）如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是（）A. 甲、乙两单摆的摆长相等B. 甲摆的振幅比乙摆大C. 甲摆的机械能比乙摆大D. 在t=0.5s 时有正向最大加速度的是乙摆E.由图象可以求出当地的重力加速度三、随堂练习：4.专自摆周期公A 0 B0O-*&A大彷0増大最大减小0最大方冋向左问右问左回宴力卩0最丸0方冋向右向左向右度3大彷0增大最大0方向向右问左向右最丸御卜°増大最丸0方冋冋匚向左向左动能培七战大0:社最大0弹臣罰不■0减小D机挾能不变不变不变不变不变1. （2014?虹口区二模）一质点作简谐运动的振动图象如图所示，则该质点A. 在0至0.01s 内，速度与加速度反 方向B. 在0.01s 至0.02s 内，速度与回复 力同方向C. 在0.04s 时刻，速度最大，回复力 为零D. 在0.025s 时刻，速度与加速度均沿 x 轴正方向B. 在振动过程中，物体A 机械能守恒C. A 在C 点时，物体与弹簧构成的系 统势能最大，在O 点时系统势能最小D. B 点时物体A 的机械能最小谐运动的位移-时间图象如图所 示.关于此单摆 的振动，下列说0.5 1A <5 h.h £1法中正确的是........ \u( )A. 0.25s 和1.25s 摆球的重力势能相 同B. 0.25s 和1.25s 摆线拉力的大小不 相等力势能向动能转化D .在 1.0s 〜2.0s 时间内，摆球重力课后练习：1. （ 2015?成都模拟）做简谐运动的弹 簧振子，每次通过平衡位置与最大位 移处之间的某点时，下列哪组物理量 完全相同（ ） A. 回复力、加速度、速度 B. 回复力、加速度、动能 C. 回复力、速度、弹性势能 D. 加速度、速度、机械能2. （ 2012?奉贤区二模）一弹簧振子振 幅为A ,从最大位移处经过时间t o 第 一次到达平衡位置，若振子从平衡位 置处经过直时的加速度大小和动能分3别为a 1和E 1,而振子位移为A 时加速3度大小和动能分别为a 2和E 2,则a 1、 a 2和E 1、E 2的大小关系为（ ）A.a1 > a2 , E 1 v E 2 B . a 1 > a 2, E 1 > E 2 C.a 1< a 2,E 1 v E 2 D . a 1 v a 2, E 1 > E 23. （ 2013?日照一模）如图所示是甲、 乙两个单摆 做简谐运动 的图象，贝U 1 下列说法中 正确的是 -1 （ ）A. 甲、乙两摆的振幅之比为2: 1B. t=2s 时，甲摆的重力势能最小，乙 摆的动能为零C. 甲、乙两摆的摆长之比为4: 1D. 甲、乙两摆摆球在最低点时向心加 速度大小一定相等4. （ 2014 ?金山区一模）如图，房顶上 固定一根长2.5m 的细线沿竖直墙壁垂 到窗沿下，细线下端系了一个小球（可 视为质点）.打开窗子，让小球在垂 直于窗子的竖直平面内小幅摆动，窗 上沿到房顶的高度为1.6m ,不计空气2阻力，g 取10m/s ，则小球从最左端运 动到最右端的最短时间为（）A . 0.2 n sB . 0.4 n sC . 0.6 n sD . 0.8 n s质弹簧拉住静止于O 点，如图所示， 现将A 沿斜面拉到B 点无初速释 放，物体在BC 范 围内做简谐运 ”/二L动，则下列说法 正确的是（）A . OB 越长，振动能量越大2.光滑斜面上物块A 被平行斜面的轻机械振动第2讲参考答案一、考点精讲：1. D A、简谐运动运动回复力F=-kx , 0至t i时间内，回复力逐渐增加，故位移不断增加，物体远离平衡位置，速度不断减小，故A错误；］B、t 1至t 2时间内，回复力减小，故位移减小，物体向平衡位置做加速运动，加速度方向与运动方向相同，故B错误；C、t 2至t 3时间内，回复力逐渐增加（负号表示方向），故位移不断增加，物体远离平衡位置，速度不断减小，故C 错误；=D、t 3至t 4时间内，回复力减小（负号表示方向），故位移减小，物体向平衡位置做加速运动，加速度方向与运动方向相同，故D正确2. B A、在11时刻，振子的位移最大，振子处于最大位移处，动能最小，所受的弹性力最大.故A错误.B、在t2时刻，振子的位移为零，动能最大，所受的弹性力最小.故B正确.C、在13时刻，振子的位移最大，振子处于最大位移处，动能最小，所受的弹性力最大.故C错误.D、在t4时刻，振子的位移为零，动能最大，所受的弹性力最小•故D错误.3. ABD A、由图看出，两单摆的周期相同，同一地点g相同，由单摆的周期公式T =2兀」L得知，甲、乙两单摆\g的摆长L相等.故A正确.B、甲摆的振幅为10cm，乙摆的振幅为7cm，贝U甲摆的振幅比乙摆大•故B正确.C、尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长也相等，但由于两摆的质量未知，无法比较机械能的大小.故C错误.D、在t=0.5s 时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度.故D正确.E、由单摆的周期公式得T = 2二L得所以不能求得重力加速度.故E错误二、随堂练习：1. D A、在0至0.01s 内，图象切线的斜率为负值，速度沿负向，位移为kx正，由加速度a ，可知，加速度m沿负向，速度与加速度同向，故A错误.B、在0.01s 至0.02s 内，图象切线的斜率为负值，速度沿负向，位移为负，由F=-kx，可知，回复力沿正向，速度与回复力反方向，故B错误.C、在0.04s时刻，质点到达最大位移处，速度为零，回复力最大，故C错误.D、在0.025s时刻，图象切线的斜率为正值，速度沿x轴正方向，位移为Lkx负，由加速度a —,可知，加速度m沿x轴正方向，故D正确.2. ACD A、OB越长，振动的幅度越大，故振动的能量越大，故A正确；B、在振动过程中，物体A和弹簧系统机械能守恒，由于弹性势能是变化的，故物体A的机械能不守恒，故B错误；C、物体A和弹簧系统机械能守恒；物体在C点时，动能为零，最小，故物体与弹簧构成的系统势能（重力势能和弹性势能之和）最大；在0点时，动能最大，故势能最小；故C正确；|D、物体A和弹簧系统机械能守恒；B点时弹簧的弹性势能最大，故物体A的机械能最小；故D正确；3. A、由图知，0.25s 和1.25s 摆球的位移大小相等，方向相反，说明在这两个时刻摆球的位置关于竖直方向对称，则摆球的重力势能相同，故A正确；4二2L由于单摆的摆长不知道，相等，故B错误；C、在1.0s 〜1.5s时间内，位移不断增大，摆球远离平衡位置，速度减小，动能减小，重力势能增加，则摆球的动能向重力势能转化•故C错误；D、由于重力做功之于高度差有关，故D正确.三、课后练习：1. B 速度是矢量，有方向.2. A从平衡位置到最大位移处运动, 速度减小，加速度增大，所以经过勺,A通过的位移大于一，所以a i> a2, E iv E2.故A正确，B、C、D错误.3. BCD 单摆做简谐振动，通过同一点，回复力相同，所以加速度相同，速度大小相等，动能相同.高度一定相同，所以重力势能一定相同.5. AB A、由图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，故选项A正确；B、t=2 s 时，甲摆在平衡位置处，乙摆在振动的最大位移处，故选项B正C、由单摆的周期公式T =2二，得\ g到甲、乙两摆的摆长之比为1 : 4，故选项C错误；D、因摆球摆动的最大偏角未知，故选项D错误；7.由单摆周期公式知，t =匸卫=0.4兀，所以选BT^2-― -摆球从左到右的时间为。

机械振动复习与巩固编稿：小志【学习目标】1．通过观察和分析，理解简谐运动的特征。

能用公式和图像描述简谐运动的特征。

2．通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系。

3．知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。

会用单摆测定重力加速度。

4．通过实验，认识受迫振动的特点。

了解产生共振的条件以及在技术上的应用。

【知识网络】【要点梳理】要点一、简谐运动1．定义物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

－，是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方表达式为：F kx向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

2．几个重要的物理量间的关系要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x 、回复力F 、加速度a 、速度v 这四个矢量的相互关系。

（1）由定义知：F x ∝，方向与位移方向相反。

（2）由牛顿第二定律知：a F ∝，方向与F 方向相同。

（3）由以上两条可知：a x ∝，方向与位移方向相反。

（4）v 和x F a 、、之间的关系最复杂：当v a 、同向（即 v F 、同向，也就是v x 、反向）时v 一定增大；当v a 、反向（即 v F 、反向，也就是v x 、同向）时，v 一定减小。

3．从总体上描述简谐运动的物理量振动的最大特点是往复性或者说是周期性。

因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A 来描述；在时间上则用周期T 来描述完成一次全振动所需的时间。

（1）振幅A 是描述振动强弱的物理量。

（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）（2）周期T 是描述振动快慢的物理量。

周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。

任何简谐运动都有共同的周期公式：2T =（其中m 是振动物体的质量，k 是回复力系数，即简谐运动的判定式F kx =－中的比例系数，对于弹簧振子k 就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。