人教B版数学高一版必修一本章整合学案第二章函数

高一数学人教B版必修一第二章函数 2.1 函数探索函数性质研究课教案
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预案1：列表、描点、作图．
预案2：函数图象叠加．
思路二：由数到形——先根据函数关系式进行代数分析，再根据得到的结果画出函数图象． 预案1：利用定义（单调性、奇偶型）进行证明．
预案2：利用和函数的相关结论．
活动2：交流展示，归纳性质．
总结函数1()f x x x
=-的性质并给予证明． 三、类比推广，简单应用
活动3：在活动2的基础上，探究函数()(0)b f x x b x 的性质．
练习：若关于x 的方程220x mx --=在区间(0,2]内有
实根，则m 的取值范围是_______________．
四、总结提升，归纳方法
1、知识
2、方法
作业：学案P39例3、P64例4
思考题：通过对函数()b
=+的研究，请你尝试
f x x
x
探索函数()b
=+的性质．
f x ax
x
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必修1函数复习 学案知识点解读：1、函数的定义、表示法：2、单调性：会用定义判断或证明函数的单调性 3、奇偶性：（1）奇函数在x=0时有定义，则必有f （0）=0 （2）偶函数f （x ）必有f （-x ）=f （x ）= f （︱x ︱） （3）会用定义证明、判断函数的奇偶性4、反函数：基础达标：1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2（B ）3（C ）4（D ）52、函数xx x f -+=11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则（A ）B B A = （B ）B A ⊆ （C ）B B A =（D ）B A =3、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(-(B))4,1(--(C))1,4(--(D))4,1(-4、已知函数)(x f y =的反函数)(1x f-的定义域为]1,0[，那么函数))((R m m x f y ∈+=的值域是（A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R5、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤<a （D ）03<≤-a6、已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是 (A) ]43,(--∞ (B) )0,43[-(C) ),0[+∞ (D) )1,(--∞参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.D能力提高：1．设()124+-=x x x f ，则()=-01f________2．函数),(1R x mx y ∈+=与)(2R n n x y ∈-=互为反函数的充要条件是___________3．若点)41,2(既在函数bax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__________________，b =_________________。

2018版高中数学第二章函数2.1.1 函数学案新人教B版必修1(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章函数2.1.1 函数学案新人教B版必修1(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2．1.1 第1课时变量与函数的概念1．理解函数的概念,了解函数构成的三要素．（难点）2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点）3．能正确使用区间表示数集．(重点)[基础·初探]教材整理1 变量与函数的概念阅读教材P29～P31“倒数第11行”以上部分,完成下列问题．1．函数的定义设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f（x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．2．函数的定义域在函数y＝f(x),x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A)叫做这个函数的定义域．3．函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x 。

所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．＝a判断（正确的打“√",错误的打“×")（1）函数的定义域和值域一定是无限集合．（）（2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( ）（3）f(a）表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．( ）【答案】(1）×（2)×(3）√教材整理2 区间的概念及表示阅读教材P31“倒数第10行”以下～P32“例1”以上的内容，完成下列问题．1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a＜x＜b｝开区间(a，b）｛x|a≤x＜b}半闭半开区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间（a,b]2.特殊区间的表示定义R{x|x≥a}｛x|x＞a｝｛x|x≤a｝{x|x＜a｝符号（－∞，＋∞)［a，＋∞)（a，＋∞)(－∞,a]（－∞，a）填空：（1）集合{x|1〈x≤3}用区间可表示为________；(2)集合｛x｜x>－2}用区间可表示为________；(3)集合{x｜x≤2｝用区间可表示为________．【答案】（1）(1,3] （2）（－2，＋∞）（3)(－∞，2］[小组合作型］函数的概念及应用(1)(2）下列各组函数是同一函数的是( )①f(x)＝错误!与g(x)＝x错误!；②f(x）＝x与g（x)＝x2；③f（x)＝x0与g(x）＝错误!；④f（x)＝x2－2x－1与g（t）＝t2－2t－1。

章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧ 几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a >b 且ab >0，则1a <1b ”，“a >b ，c <d ，则a －c >b －d ”，“a >b >0，c >d >0，则a d >bc ”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实数根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a(x 1<x 2) 有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2} {x |x ∈R ，x ≠－b2a}R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的{x |x 1<x <x 2}∅∅解集3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ca ，若bc＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．解析：方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x 2－x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，x 2－x －12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－2，x <－3或x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－3<x <4.解得x >4或－3<x <－2.所以原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}． 方法二：令(x ＋2)(x 2－x －12)＝0， 得x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝4. 将－3，－2,4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是 (1)将f (x )最高次项系数化为正数．(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f (x )＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2 解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．解析：原不等式可变形为x 2＋2x －3x 2－x －6>0，故原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；②⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.解①得x <－3或x >3；解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型 含参不等式恒成立问题的求解策略 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3 对于x ∈R ，不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．思路探究：不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，可转化为函数y ＝x 2－2x ＋3－m 图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.解析：不妨设y ＝x 2－2x ＋3－m ，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使y ≥0(x ∈R )恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m )≤0，解得m ≤2.故实数m 的取值范围为(－∞，2]．归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．解析：∵1<x <4，∴不等式ax 2－2x ＋2>0可转化为a >2x －2x 2，令y ＝2x －2x 2＝－2(1x －12)2＋12≤12.∵14<1x<1， ∴当1x ＝12，即x ＝2时，函数取得最大值12，∴a >12，即实数a 的取值范围为(12，＋∞)．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6. 解析：易知2＋x 2>0， 所以y ＝3(2＋x 2)＋162＋x 2－6≥23(2＋x 2)·162＋x 2－6＝83－6，当且仅当3(2＋x 2)＝162＋x 2，即x ＝±433－2时，等号成立，此时y min ＝83－6. 2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．解析：由0<x <1，可得y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，即x ＝22时，等号成立，此时y max ＝12. 3．技巧三：分子常数化典例7 设x ∈(0，＋∞)，求函数y ＝2xx 2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．解析：由题意知，y ＝2x x 2＋4＝2x ＋4x .∵x ∈(0，＋∞)，∴x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x 2＝4， 即x ＝2时，等号成立， 此时，y max ＝12.归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。

必修一第二章 函数--教学案2.1.1函数（一）变量与函数的概念 学习目标1. 了解并掌握函数的概念和函数的要素，并会求一些简单函数的定义域和值域，注意搜集日常生活中的实例，整理与分析量与量之间的关系，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2. 记录，了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点 自主学习1. 变量的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y,如果给定了一个x 值，相应的就确定唯一的一个y 值，那么就称y 是x 的函数。

叫自变量， 叫因变量。

例1、s=πr 2其中r 是 ，s 是 。

例2、 I =220R其中R 是 ，I 是 。

2. 函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数。

记作：y=f(x) , x ∈A 。

其中x 叫 。

3. 定义域：函数中自变量x 的允许取值范围 例3、求下列函数的定义域：1）y =2）y = 3）4、 函数的值域：如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作：y=f(a), 或y ︱x=a ，所有的函数值构成的集合{y ︱y=f(x),x A ∈},叫做这个函数的值域。

例4、求函数21()1f x x =+，x R ∈，在0,1,2x =处的函数值和函数的值域。

例5、已知函数f(x)=1－2x ,求f(0), f(-2), f(15)。

5、 函数的三要素：关于函数定义的理解：① 定义域、对应关系是决定函数的二要素，是一个整体，值域由定义域、对应法则唯一确定； ②f (x )与f (a )不同：f (x )表示“y 是x 的函数”;f (a )表示特定的函数值。

常用f (a )表示函数y =f (x )当x =a 时的函数值；③f(x)是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 的对应函数值，是一个整体符号，不能分开.符号f 可以看做是对”x ”施加的某种运算步骤或指令.例如，f(x)=3x 2，表示对x 施加“平方后再扩大3倍”的运算。

2.1.1 函数教学目标（1）知识与技能目标：会用集合与对应的语言描述函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单应用.（2）过程与方法目标：从生活实际和学生已有知识出发，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，在此基础上借助数字处理器的思想理解函数的实质.通过函数概念的学习，提高学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力.（3）情感、态度与价值观目标：通过对函数概念的教学，让学生体验到由具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的认知过程；使学生在初中数学学习的基础上，对数学的高度抽象性、概括性和广泛的应用性有进一步认识；通过课前预习、课上交流，培养学生良好的学习习惯，使学生获得成功体验，激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.教学重难点由于函数概念中的“对应”本质是后继学习映射、函数图像与性质、指对幂函数等知识的基础，而学生初中对函数的学习是在“变量”观点下的定义，所以本节课的教学重点是函数概念的理解.学生在初中函数学习中，只停留在对一些具体函数的感知，所以本节课的教学难点是对函数符号的理解.学生的理解障碍有两个：一是符号的高度抽象性，二是函数中的任意性，学生对取的理解有一定困难，所以要充分铺垫，循序渐进.学情分析及教学内容分析一、学情分析：由于初中函数的概念是“变量说”定义，学生对这种定义已经很熟悉，应用起来得心应手，受先入为主思想的影响对“对应说”定义引入的必要性认识不足，对函数的“对应说”定义接受起来多少有一种排斥心理；学生初中对函数的理解仅停留在一些具体函数的层面上，更确切的说是限于对函数具体解析式的理解，初中数学学习学生重计算、重例题，对抽象的函数符号理解有一定困难.另外，学生受前几届学生的影响，认为函数难学的畏难心理较重，对函数的学习存在或多或少的恐惧.不过，学生生活中已经积累了丰富的函数的实例素材，这为函数教学做好了准备.从学生的学习习惯上看，学生初入高中自主学习的目的性、主动性还不够，知识的接受基本在课堂，有的学生甚至还不会听课.所以高中数学教学还肩负着教会学生学习的任务.在课堂教学中采用课前预习、引导发现、学生合作交流的教学方法，通过课前预习，实现课堂教学效益的最大化（区间有关概念学生是可以自己解决的）；课堂教学通过创设问题情境，注意通过学生熟悉的实际生活问题，和已经具备的函数知识引入课题，注重创设情景，拉近数学与现实之间的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性，教师引导、启发，带领学生讨论交流，实现知识的内化、迁移.二、教学内容分析：函数是贯穿整个数学课程的一个基本脉络.本节课是在学生前面学习了集合的有关知识和初中已经学习了函数概念的基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，是接下来学习映射、函数的表示方法、函数的单调性、函数的奇偶性的基础.同时，函数概念的教学是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律.教学过程1．课前预习：（1）对照初中数学和高中数学函数概念，谈一谈两概念的相同点、不同点？（2）根据你对函数概念的理解和生活经验，在你的身边找两个函数实例.（3）区间的有关概念教学中并不急于让学生展示预习成果，原因是预习题（1）函数概念学生理解肯定有偏差，通过预习能知道初高中两定义中相同字眼“唯一确定”就可以了，让学生理解不同角度“变量”与“对应”是不现实的，借此讲解概念效果不好；预习题（2）所找的函数让学生在概念学习后去自省自悟；预习题（3）区间的有关概念真正体现学生自己能学会的不讲，达到课堂教学的效益最大化.2．情境导入：中考结束后，大家急切想知道自己的成绩，你是怎样知道自己的总分的？通过电话或者是网络查询，输入一个准考证号得到一个总分，这是不是一个函数？在这一过程中，我们不像初中函数那样关注成绩与准考证号这两个变量的依赖关系，研究一个变量随另一个变量变化而变化的规律性；而是注重两个量之间的对应关系.高中数学的函数就是从对应的角度定义函数的.通过这一实例使学生对抽象的概念消除了畏难情绪，为后继学习做好心理的准备.（“变量说”到“对应说”的提升——实现函数概念的第一次认识）3.新课讲授：问题1：中考成绩查询系统实质上就是一个数字处理系统，因此函数可以看作是一个数字处理系统，结合这个例子和预习情况你认为函数这样一个数字处理系统应包含哪几部分？结论1：两个数据库和一个处理器.问题2：数据库有什么要求？处理器在处理过程中遵循的规则是什么？结论2：前面一个非空数集，后面一个是由前面一个产生的.处理器在处理过程中遵循的规则（对应法则）是“任意”——“唯一”.这样降低了知识门槛，使学生觉得函数概念并不难，既便于理解，又帮助记忆，将函数看做数字处理系统，为下面讲解函数符号表示做好铺垫.使学生明白：函数不过是一个数据处理器的数学化.（函数是一个数字处理系统——实现函数概念的第二次认识）问题3：分析教材第29-30页所列的四个实例，是否是函数？对应法则是怎样给出的？你是怎样检验任意给定实数，都有唯一确定的与它对应的？结论3：（1）、（2）的对应法则是图像，（3）的对应法则是数表，（4）的对应法则是解析式；其中图像借助“画”，数表借助“查”，解析式借助“算”，为将来讲解函数的表示方法做好铺垫.交流讨论：分析课前自己找到的生活实例，判断是否是函数？（通过学生对自己和小组成员所找函数实例的辨析，让学生自省自悟，体会成功的愉悦，加深对函数概念的理解）.问题4：通过以上学习谈一谈对“任意实数”和“唯一确定”的理解.强化：这两点是函数的核心部分.讲解：对应法则的给出形式多样，我们用“”表示，记作，实现了图、表、数的高度抽象概括.由以上分析可知，函数就是一个数字处理系统，就是它的处理器.问题5：举例说明你在初中学过的函数的分别是什么？这样让学生将一个抽象的对应法则变为可以看得见的具体法则，并且有的可以用解析式表示有的不能用解析式表示，从而明确数学引进抽象符号的必要性.（对这一数字处理器的认识——实现函数概念的第三次认识）练习与巩固：教材第33页练习A第1题学生总结函数的概念并阅读教材第31页，小组讨论对函数概念的理解，并让小组代表发言，这是兵教兵的过程，又是对函数概念的内化过程，也是对函数概念的记忆过程.同时是对预习中函数值、定义域、区间等基础概念再一次强化的过程.学生独立完成教材第32页例1及第33页练习A第3题.教师强化解题格式，并小结求定义域的方法.例2.求函数，在处的函数值和值域.学生独立完成，教师适当点拨，简单总结求值域的方法.（针对初中一次函数、二次函数、反比例函数总结）练习与巩固：教材第33页练习A第3,7,8题.例3.（1）已知函数，求，，，；此题从特殊的2到再到最后到，使学生明确数字处理器既可以处理一个具体的数，也可以处理字母和代数式.（2）已知函数，求.此题让学生先独立思考，然后分组讨论、交流，启发学生运用整体代换进行变形.练习与巩固：教材第33页练习A第5，6题.4.课堂小结（师生共同完成）：（1）函数的有关概念.（2）确定一个函数的两个要素.（3）如何检验两个变量之间是否具有函数关系.5.课堂检测（活页练习）：⑴判断下列对应是否为函数：①②⑵求函数的定义域；⑶已知函数，求6.布置作业：（1）教材第33页练习B第3，4题，教材第52页习题A第4题,习题B第1题.（2）预习作业：什么叫映射？映射与函数有什么关系？（3）提高作业：①教材第33页练习B第1，2，5题；②若，求函数的解析式，并求的定义域和值域.分层布置作业，强化因材施教.教学反思：1.重视学生的亲身体验．借助学生印象深刻的生活经历，将新知识与学生的已有知识和生活经验联系起来．注意挖掘数学知识的现实背景，再现数学知识的抽象过程；问题情景的设置形成逐层深入环环相扣的问题链，以问题解决为线索，引导学生主动讨论、积极探索.2.体现学生学习方式的变革，倡导自主学习、合作学习、探究学习的学习方式；体现“以人为本”思想，强调课堂教学的有效性，不仅强调在实践中完成学生自身知识的建构，并要求在完成学习任务的同时有所感悟、有所创造.3.倡导课前预习，先学后教，以学定教，学生能课前自主解决的内容课堂不讲，增加课堂容量，追求课堂教学效益的最大化；引导学生学会阅读教材、理解教材，体会数学概念的形成过程，由具体实例到抽象知识再用抽象知识解决具体问题的认知过程，注重培养学生的自学能力和良好的学习习惯.4.在课件制作方面，并没有过多展示题目，而是设计了比较形象的“数字处理系统”，让学生看得见、摸得着，把抽象的函数概念形象化，效果很好.5.由于学生提前预习，先学后教，课堂教学中知识缺乏系统性、完整性；课堂容量大，时间有些紧，课堂留白不足.。

本章整合知识网络专题探究专题一 函数的定义域、值域问题 1．确定函数定义域的主要依据 (1)当f (x )是整式时，定义域为R ；(2)当f (x )是分式时，定义域是使分母不等于0的x 的取值集合； (3)当f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 的取值集合； (4)当f (x )是零指数幂时，定义域是使幂的底数非零的x 的取值集合；(5)当f (x )表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x 取值的实际意义． 2．函数的值域由函数的对应法则及定义域确定，求函数值域常用的方法(1)配方法；(2)分离常数法；(3)图象法；(4)换元法；(5)单调性法；(6)判别式法等． 【应用1】 求下列函数的定义域： (1)函数y0的定义域为__________；(2)若函数f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域为__________．解析：(1)∵由100x x x ≠⎧⎪⎨>⎪⎩＋，－，得x ＜0，且x ≠－1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)． (2)∵f (x ＋1)的定义域是[－2,3]， ∴－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4，即f(x)的定义域是[－1,4]．又∵－1≤2x－1≤4，∴0≤x≤5 2 .∴y＝f(2x－1)的定义域为5 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.答案：(1)(－∞，－1)∪(－1,0)(2)5 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【应用2】(1)函数y＝3121xx-+的值域为__________；(2)函数y＝2x－1的值域为__________．解析：(1)∵y＝3121xx-+＝35(21)2221xx+-+＝32－5221x+，又∵2x＋1≠0，∴5221x+≠0.∴y≠32.∴函数的值域为32y y⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.(2)由题意得函数的定义域为13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦.∵y＝2x－1在13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦在13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦上是减函数，∴y＝2x－1在13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦上为增函数，∴当x＝134时，y有最大值112.∴该函数的值域为11,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.答案：(1)32y y⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭(2)11,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦专题二函数图象的应用函数的图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，并且函数图象的应用正是体现了数形结合的重要思想，如果能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，就能促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．运用数形结合的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性的原则．【应用1】函数y＝|x＋2|－|x－2|的最小值为__________．解析：方法一：y＝|x＋2|－|x－2|＝42222 4 2.xx xx≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩－，－，，－，，其图象如图所示．由图象，得函数的最小值是－4.方法二：函数的解析式y＝|x＋2|－|x－2|的几何意义是：P是数轴上任意一点，函数y 的值是点P到－2,2的对应点A，B的距离的差，即y＝|P A|－|PB|，如下图所示．观察数轴可得，－|AB|≤|P A|－|PB|≤|AB|，所以函数的最小值为－4.答案：－4【应用2】对于任意的x∈R，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是__________．解析：首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示y＝－x＋3，y＝32x＋12，y＝x2－4x＋3中最大的一个．其次是找出函数f(x)的表达式，此时可利用函数图象来确定．如图，分别画出函数y=-x+3，y=32x+12，y=x 2-4x+3的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．从图象观察可得函数f(x)的表达式为f(x)=2243,0,3,01,31,15,2243, 5.x x x x x x x x x x ⎧-+≤⎪-+<≤⎪⎪⎨+<≤⎪⎪-+>⎪⎩ f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以函数f(x)的最小值是2. 答案：2专题三 函数的零点问题 求函数y=f(x)零点的方法 1．转化为求方程f (x )＝0的根．2．转化为求y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．将f (x )分解为h (x )－g (x )，则f (x )＝0化为h (x )－g (x )＝0，再化为h (x )＝g (x )，从而转化为两个函数y ＝h (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标．【应用1】 函数f (x )＝x 2－|x －1|零点的个数为__________．解析：本题可转化为函数y ＝x 2与函数y ＝|x －1|的图象交点个数问题，分别画出函数图象，易知交点为2个．答案：2【应用2】 设函数f (x )＝ax ＋2a ＋1(a ≠0)，在－1≤x ≤1上f (x )存在一个零点，求实数a 的取值范围．思路分析：先利用零点存在的判断方法将已知转化为f (－1)·f (1)≤0，再结合函数的图象解不等式即可．解：因为函数f (x )在－1≤x ≤1上存在一个零点， 所以f (－1)·f (1)≤0，即(－a ＋2a ＋1)·(a ＋2a ＋1)≤0， 即(a ＋1)(3a ＋1)≤0.令g (a )＝(a ＋1)(3a ＋1)＝0，得函数g (a )的两个零点是a 1＝－1，a 2＝－13. 作出g (a )的图象如图所示．由图象可知，g (a )≤0时，可得a 的取值范围是－1≤a ≤－13. 专题四 函数的性质及应用研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及解析式等方面入手，通过对函数性质的研究使问题得以解决．抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，由于这类函数可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在历年的高考中，以抽象函数为载体，综合考查函数的性质的题经常出现，应引起重视．【应用1】 定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．思路分析：应用函数的奇偶性，将变量1－m 和m 转化到同一个单调区间上，利用函数的单调性求解．解：∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)． ∴f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)．∴原不等式等价于2221222|1|m m m m ⎧≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩－－，－，－，解得－1≤m ＜12. ∴实数m 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【应用2】 已知函数f (x )＝223mx x n++是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．解：(1)∵函数f (x )＝223mx x n++是奇函数，∴对定义域内任意x ，都有f (－x )＝－f (x )，即223mx x n +-+＝－223mx x n++， 比较式子两边得，n ＝0. 又∵f (2)＝53，∴426m +＝53，解得m ＝2. 故实数m 和n 的值分别是2和0.(2)由(1)得f (x )＝2223x x+.此函数在区间(－∞，－1]上是增函数，在区间(－1,0)上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝222223x x +－211223x x +＝2112122()(1)3x x x x x x --.当x 1＜x 2≤－1时，x 1x 2＞1， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0.∴函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数； 当－1＜x 1＜x 2＜0时，x 1x 2＜1， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴函数f (x )在(－1,0)上是减函数．【应用3】 已知f (x )是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )．(1)求f (0)，f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论．思路分析：题目中给出的是抽象函数，而要求的是比较特殊的值，可以考虑用赋值法，给出具体的值，再根据题意进行判断．解：(1)令a ＝b ＝0，代入f (ab )＝af (b )＋bf (a )，得f (0)＝0·f (0)＋0·f (0)，则f (0)＝0. 令a ＝b ＝1，代入f (ab )＝af (b )＋bf (a )，得f (1)＝1·f (1)＋1·f (1)，则f (1)＝0. (2)f (x )是奇函数．证明如下：由f (1)＝f [(－1)2]＝－f (－1)－f (－1)，得f (－1)＝0.令a ＝－1，b ＝x ，则f (－x )＝f (－1·x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )．又f (x )的定义域为R ，关于原点对称，∴f (x )为奇函数．专题五 闭区间上二次函数的最值问题对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在某个区间[m ，n ]上的最值问题主要分为以下三种情况：1．区间及对称轴均确定的二次函数的最值问题(简称轴定区间定)(1)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，在区间[m ，n ]上的最值(若顶点固定，区间也固定)有以下结论：①当－2ba＜m 时，f (x )在[m ，n ]上是增函数，最小值为f (m )，最大值为f (n )； ②当m ≤－2b a ≤n 时，最小值为f 2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝244ac b a -，最大值为f (m )或f (n )（m ，n 离-2ba较远的一处对应的函数值为最大值）； ③当－2ba＞n 时，f (x )在[m ，n ]上是减函数，最小值为f (n )，最大值为f (m )． 当a ＜0时，可仿此讨论．(2)二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得．(3)可画出草图帮助分析解决问题，体现数形结合的思想．【应用1】 二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2，当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )． 思路分析：因为对称轴固定，区间不定，此题可从三个方面进行讨论：①区间在对称轴左侧；②区间在对称轴右侧；③对称轴在区间内．解：二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴方程为x ＝1. 当t ＞1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， 则g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g (t )＝f (1)＝1－2＋2＝1； 当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1.综上，g (t )＝2222110110.t t t t t t ⎧>⎪≤≤⎨⎪<⎩－＋，，，，＋， 【应用2】 设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(3)求函数的最值．思路分析：解答本题首先根据f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，然后讨论x的范围写出相应解析式，画出函数图象，根据图象判断单调区间，求最值．解：(1)证明：f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，且定义域[－3,3]关于原点对称，所以f(x)是偶函数．(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；当－3≤x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝22(1)203 (1)230. x xx x⎧≤≤⎪⎨≤<⎪⎩－－，，＋－，－根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．(3)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；当－3≤x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2.所以f(x)的最大值为2，最小值为－2.专题六函数的实际应用数学建模就是把现实生活中具体实例所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，使实际问题得到合理解决．其思想及操作程序如下：【应用1】某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：(1)t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？思路分析：由图象和表格可直接写出函数关系式，由(1)(2)问的函数关系式相乘，可得第(3)问的函数关系式，再求最大值即可．解：(1)由题图知，前20天的函数图象是上升的，且过点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P＝15t＋2；从20天到30天的函数图象是下降的，且过点(20,6)，(30,5)，求得方程为P＝－110t＋8，故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为P＝120205182030.10t t tt t t⎧≤≤∈⎪⎪⎨⎪<≤∈⎪⎩NN ＋，，，－＋，，(2)由表格，易知Q与t满足的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N.(3)由(1)(2)，可知y＝12(40)020518(40)203010t t t tt t t t⎧⎛⎫+≤≤∈⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩NN－＋，，，－＋，，＝221(15)12502051(60)402030.10t t t t t t ⎧≤≤∈⎪⎪⎨⎪<≤∈⎪⎩N N －－＋，，，－－，，当0≤t ≤20时，y max ＝125，此时t ＝15， 当20＜t ≤30时，y 随t 的增大而减小， 且此时y ＜110×(20－60)2－40＝120， 所以在这30天中的第15天，日交易额最大，其值为125万元．。

2.1.1函数(二)自主学习学习目标1．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．2．知道函数与映射的关系．自学导引1．映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B 中________________________________元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的________________．这时，称y是x在映射f作用下的________，记作________，x称作y 的________．2．一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的______________，在集合A 中都________________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______________．3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是________概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________________．对点讲练知识点一映射的概念例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．规律方法判断对应f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同．变式迁移1 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}，f ：a →b ＝(a －1)2； (3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．知识点二 象与原象例2 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)．(1)求A 中元素(1,2)的象； (2)求B 中元素(1,2)的原象．规律方法 解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．变式迁移2 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的原象．知识点三 映射的个数问题例3 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )．求满足条件的映射的个数．规律方法 求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论．变式迁移3 若将本例中的条件改为“B ＝{－1,0,1}，f (a )·f (b )＝f (c )”，这样的映射有几个？本节学习的主要内容是映射的概念，重点是对映射的理解，难点是映射的判定，在学习中要注意下列三个方面的问题：1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原象，则不作要求.课时作业一、选择题1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有象 B ．B 中每一个元素在A 中必有原象 C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象 D ．A 中不同元素的象必不同2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，对于以下对应的关系中，不是A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →12xB ．f ：x →13xC ．f ：x →14xD ．f ：x →16x3．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1,3)4．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；②M＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．()A．3个2个1个B．3个3个2个C．4个2个2个D．2个2个1个5．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有() A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题6．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→12y＋1，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为________．7．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：映射f的对应法则如下：映射g的对应法则如下：则f[g(1)]的值为________．8．根据下列所给的对应关系，回答问题．①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；②A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；④A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋|x|，x∈A，y∈B.上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．三、解答题9．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象．10．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应关系f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．2．1.1 函数(二) 答案自学导引1．有一个且仅有一个 映射 象 f (x ) 原象2．任意一个元素 有且只有一个原象 一一对应关系 一一映射3．函数 非空数集 对点讲练例1 解 (1)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射，又B 中的每一个元素在A 中都有唯一的原象与之对应，故f ：A →B 也是一一映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射，故不是一一映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射，又B 中某些元素1、2、4、5……在A 中没有原象与之对应，故f ：A →B 不是一一映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故法则f 是从A 到B 的映射，但对于B 中某些元素在A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f ：A →B 不是一一映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故法则f 不是从A 到B 的映射．变式迁移1 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数． (3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．例2 解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9. 故A 中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝14x ＋3y －1＝2， 得⎩⎨⎧x ＝617y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝⎛⎭⎫617，917.变式迁移2 解 将x ＝2代入对应关系，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54， 得x ＝12.所以2在B 中的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应的原象为12. 例3 解 (1)当A 中三个元素都对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有一个映射；(2)当A 中三个元素对应B 中两个时， 满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个， 分别为2＋0＝2,0＋2＝2， (－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A 中的三个元素对应B 中三个元素时，有两个映射， 分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0. 因此满足条件中的映射共有7个．变式迁移3 解 由于f (a )、f (b )、f (c )的取值属于{－1,0,1}，故f (a )·f (b )＝f (c )时，f (a )，f (b )，f (c )f (a ) f (b ) f (c ) 1 －1 －1 －1 1 －1 1 1 1 －1 －1 1 －1 0 0 0 －1 0 0 0 0 1 0 0 01由表可知这样的映射有课时作业1．A 2.A 3.B 4.C5．B [由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．]6.13解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，而1在C 中象为12×1＋1＝13.7．1解析 g (1)＝4， ∴f [g (1)]＝f (4)＝1. 8．①③ ①解析 ①对x ∈A ，在f ：x →y ＝3x ＋1作用下在B 中都有唯一的象，因此能构成映射，又A 、B 均为数集，因而能构成函数；②当x ＝1时，y ＝|x －1|＝|1－1|＝0∉B ，即A 中的元素1在B 中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数．③对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数．④当x ≤0时，|x |＋x ＝0，从而1|x |＋x 无意义，因而在x ≤0时，A 中元素在B 中无象，所以不能构成映射．9．解 当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的象是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2. 因为0∉A ，所以－1的原象是2.10．解 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝1. 故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的象是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的象是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。

第二章 等式与不等式2．1 等 式2．1.1 等式的性质与方程的解集1.常用乘法公式(1)公式： 公式名称符号表示 文字表示 平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差完全平方 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2两数和(或差)的平方，等于公式这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍其他恒等式①(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；②(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac(2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项依次相乘后再求和得到．(3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值．(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍．2．十字相乘法具体形式：①二次项系数为1时：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)②二次项系数不为1时：acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)记忆口诀：拆两头，凑中间．十字相乘法分解因式的关键是什么？提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．3.方程的解集(1)定义：方程的解(根)能使方程左右两边相等的未知数的值方程的解集一个方程所有解组成的集合的不同．(3)应用：求解方程的解(或解集).把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( ×)提示：(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).( ×)提示：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y).(3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( ×)提示：若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.2．分解因式：x2＋2xy＋y2－4＝．【解析】x2＋2xy＋y2－4＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2).答案：(x＋y＋2)(x＋y－2)3．(教材例题改编)已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为______．【解析】由方程x2－17x＋66＝0得：(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.答案：6类型一常用乘法公式的应用(数学运算)1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为()A．5 B．－5C．11 D．－11【解析】选A.由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是()A．8x2－8y2B．8y2－8x2C．8(x＋y)2D．8(x－y)2【解析】选B.方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.3．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为______.【解析】a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.答案：7常用乘法公式的应用技巧(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．类型二十字相乘法分解因式(数学运算)【典例】把下列各式因式分解．(1)x2＋3x＋2.(2)6x2－7x－5.(3)5x2＋6xy－8y2.【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项系数即可．【解析】(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)1×2＋1×1＝3(2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)2×(－5)＋3×1＝－7(3)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y)1×(－4y)＋5×(2y)＝6y十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于二次三项式ax 2＋bx ＋c 中一次项的系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1是图中上面一行的两个数，a 2，c 2是下面一行的两个数．分解下列各因式：(1)8x 2＋26xy －15y 2；(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2.【解析】(1)8x 2＋26xy －15y 2＝(2x －y)(4x ＋15y).(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2＝(7a ＋7b ＋2)(a ＋b －1).【拓展延伸】齐次式的因式分解(1)齐次式是指合并同类项后，每一项关于x ，y 的次数都是相等的多项式．次数为一次就是一次齐次式，次数为二次就是二次齐次式．如x －2y 是一次齐次式；x 2＋xy 是二次齐次式．(2)二元二次齐次式是高中最常见的齐次式之一，通常可以写为ax 2＋bxy ＋cy 2的形式，常见的因式分解方法有两种，一是将原式中的y 看作参数直接进行因式分解；二是在解决此类问题的等式时可以同除以y 2转化为x y 的二次形式后利用因式分解进行分解或求值． 【拓展训练】x 2－13xy －30y 2分解因式为( )A ．(x －3y)(x －10y)B ．(x ＋15y)(x －2y)C ．(x ＋10y)(x ＋3y)D ．(x －15y)(x ＋2y)【解析】选D .x 2－13xy －30y 2＝(x －15y)(x ＋2y)1×2y ＋1×(－15y)＝－13y类型三 方程的解集(数学运算)一元一次方程的解集【典例】若x ＝－3是方程3x －a ＝0的解，则a 的值是( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6【思路导引】方程的解定能满足方程，代入求解即可．【解析】选C .把x ＝－3代入方程3x －a ＝0得：－9－a ＝0，解得：a ＝－9.一元二次方程的解集【典例】解下列一元二次方程：(1)2x 2＋7x ＋3＝0；【思路导引】(1)(2)直接利用十字相乘法解方程，(3)(4)移项合并同类项后，再利用十字相乘法解方程．【解析】原方程化为(2x ＋1)(x ＋3)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12 . (2)2x 2－7x ＋3＝0；【解析】原方程化为(2x －1)(x －3)＝0，解得x ＝12 或x ＝3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3 . (3)－3x 2－4x ＋4＝0；【解析】原方程化为3x 2＋4x －4＝0，即(3x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝23 或x ＝－2，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，23 . (4)6x(x ＋2)＝x －4.【解析】原方程化为6x 2＋11x ＋4＝0，即(2x ＋1)(3x ＋4)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－43 ，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，－43 . 分类讨论思想的应用【典例】解方程ax 2－(a ＋1)x ＋1＝0.【思路导引】把二次项系数分为a ＝0和a≠0两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程．【解析】当a ＝0时，原方程可化为－x ＋1＝0，所以x ＝1，当a≠0时，对于ax 2－(a ＋1)x ＋1来说，因为a×1＝a ，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1).如图所示：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)，所以原方程可化为(ax －1)(x －1)＝0，所以ax －1＝0或x －1＝0，所以x ＝1a 或x ＝1.1．利用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边进行因式分解；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解一元一次方程，得到方程的解．2．对于二次三项式分解因式的注意事项对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数．注意，交叉相乘横着写．3．形如ax 2＋bx ＋c ＝0(含参)的方程的解法方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为0时，解一元二次方程．1．多项式x ＋5与2x －8互为相反数，则x ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】选C.根据题意得：x ＋5＋2x －8＝0，移项合并得：3x ＝3，解得x ＝1.2．求下列方程的解集： (1)5x 2－2x －14 ＝x 2－2x ＋34 .(2)12x 2＋5x －2＝0.【解析】(1)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0.因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0.于是得2x ＋1＝0或2x －1＝0，即x ＝－12 或x ＝12 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 . (2)分解因式得：12x 2＋5x －2＝(3x ＋2)(4x －1)3×(－1)＋4×2＝5因为12x 2＋5x －2＝0，所以(3x ＋2)(4x －1)＝0，所以3x ＋2＝0或4x －1＝0，即x ＝－23 或x ＝14 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23，14 . 3.解方程12x 2－ax －a 2＝0.【解析】当a ＝0时，原方程可化为：12x 2＝0，所以x ＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a ＝－a 2，3×a ＋4×(－a)＝3a －4a ＝－a ，如图所示所以12x 2－ax －a 2＝(3x －a)(4x ＋a)，所以原方程可化为(3x －a)(4x ＋a)＝0.所以3x －a ＝0或4x ＋a ＝0，所以x 1＝a 3 ，x 2＝－a 4 .【补偿训练】(2020·苏州高一检测)若方程(x －2)(3x ＋1)＝0，则3x ＋1的值为( )A ．7B ．2C ．0D ．7或0【解析】选D .由方程(x －2)(3x ＋1)＝0，可得x －2＝0或3x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13 ，当x ＝2时，3x ＋1＝3×2＋1＝7；当x ＝－13 时，3x ＋1＝3×(－13 )＋1＝0.备选类型 方程的解的应用(数学建模、数学运算)【典例】我市某楼盘准备以每平方米15 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格按同一百分率经过连续两次下调后，最终以每平方米12 150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是( )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%【思路导引】设出每次下调的百分率，根据原价及两次下调后的价格列出关系式，求得方程的解．【解析】选C .设平均每次下调的百分率为x ，则：15 000·(1－x)·(1－x)＝12 150，所以(1－x)2＝0.81，所以1－x ＝0.9或1－x ＝－0.9，解得x＝0.1或x＝1.9.因为x＜1，所以x＝1.9(舍)，所以x＝0.1.所以平均每次下调的百分率为10%.解决实际问题的一般步骤(1)审清题意，理顺问题的条件和结论，找到关键量．(2)建立文字数量关系式．(3)转化为数学模型．(4)解决数学问题，得出相应的数学结论．(5)返本还原，即还原为实际问题本身所具有的意义．甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率．(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10 000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？【解析】(1)设这种商品平均降价率是x，依题意得：40(1－x)2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)；故这个降价率为10%.(2)设降价y元，则多销售(y÷0.2)×10＝50y件，根据题意得(40－20－y)(500＋50y)＝10 000，解得：y＝0(舍去)或y＝10，答：在现价的基础上，再降低10元．1．已知等式3x ＋2y ＋6＝0，则下列等式正确的是( )A ．y ＝－32 x －3B ．y ＝32 x －3C ．y ＝－32 x ＋3D ．y ＝32 x ＋3【解析】选A.由等式3x ＋2y ＋6＝0，可得y ＝－32 x －3.2．(2021·青岛高一检测)一元二次方程(x ＋3)(x －3)＝3(x ＋3)的解集是( )A ．{3}B ．{6}C ．{－3，6}D ．{－6，3}【解析】选C.(x ＋3)(x －3)－3(x ＋3)＝0，即(x ＋3)(x －3－3)＝0，所以x ＋3＝0或x －3－3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝6.3．(教材练习改编)多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－2【解析】选D.因为(x －5)(x －b )＝x 2－(5＋b )x ＋5b ＝x 2－3x ＋a ， 所以5＋b ＝3，a ＝5b ，所以b ＝－2，a ＝－10.4．(2021·南昌高一检测)一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x 2＋px ＋q 可分解为( )A ．(x ＋1)(x －2)B ．(2x ＋1)(x －2)C ．2(x －1)(x ＋2)D ．2(x ＋1)(x －2)【解析】选D.因为一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，所以2(x＋1)(x－2)＝0，所以2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2). 5．若x＝3是方程2x－10＝4a的解，则a＝______．【解析】因为x＝3是方程2x－10＝4a的解，所以2×3－10＝4a，所以4a＝－4，所以a＝－1.答案：－1。

示范教案整体设计教学分析本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体．三维目标通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①函数的基本知识．②含有字母问题的研究．③抽象函数的理解．教学难点：①分类讨论的标准划分．②抽象函数的理解．课时安排1课时教学过程导入新课函数的概念和性质以及二次函数是高考的必考内容之一，为了系统掌握本章知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题画出本章的知识结构图.讨论结果：应用示例思路1例1求函数y ＝3x x 2＋4的最大值和最小值． 分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值．解：(判别式法)由y ＝3x x 2＋4得yx 2－3x ＋4y ＝0， ∵x ∈R ，∴关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0必有实数根．当y ＝0时，则x ＝0，故y ＝0是一个函数值；当y≠0时，则关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0是一元二次方程，则有Δ＝(－3)2－4×4y 2≥0，∴0＜y 2≤916.∴－34≤y ＜0或0＜y≤34， 综上所得，－34≤y≤34. ∴函数y ＝3x x 2＋4的最小值是－34，最大值是34. 点评：形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c dx 2＋ex ＋f(d≠0)，当函数的定义域是R (此时e 2－4df ＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2＋nx ＋k ＝0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x 的方程mx 2＋nx ＋k ＝0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2－4mk≥0即关于y 的不等式，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n 2－4mk≥0，m≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．例2函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f(x)x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 的对称轴是直线x ＝a ，由于函数f(x)在开区间(－∞，1)上有最小值，所以直线x ＝a 位于区间(－∞，1)内，即a ＜1.g(x)＝f(x)x ＝x ＋a x－2，下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．设1＜x 1＜x 2，则g(x 1)－g(x 2)＝(x 1＋a x 1－2)－(x 2＋a x 2－2)＝(x 1－x 2)＋(a x 1－a x 2) ＝(x 1－x 2)(1－a x 1x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2， ∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1＞0.又∵a ＜1，∴x 1x 2＞a.∴x 1x 2－a ＞0.∴g(x 1)－g(x 2)＜0.∴g(x 1)＜g(x 2)．∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值．故选D.答案：D点评：定义法判断函数f(x)的单调性步骤是：①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中差的符号确定函数的单调性．注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D 上没有最大值，也没有最小值．例3求函数f(x)＝x2－1的单调区间．分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．解：函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．设y＝u，u＝x2－1，当x≥0时，u＝x2－1是增函数，y＝u也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．当x≤0时，u＝x2－1是减函数，y＝u也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f(x)＝x2－1在(－∞，－1]上是减函数．即函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]．点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y＝f[g(x)]，如果y＝f(u)，u ＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f[g(x)]为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，则函数y＝f[g(x)]为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断出复合函数的单调性或写出其单调区间．注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是[0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]．其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则．思路2例1某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b1；在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b2，其中k＜0，b1＞0，b2＞0且k、b1、b2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)＝0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题：(1)填写表格中空格的内容：(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？分析：(1)销售总利润y＝销售量r(x)×每件利润，每件利润＝标价－进价；(2)转化为求二次函数y＝f(x)的最大值，由条件②③求出b2与k的关系，应用二次函数的知识求解．解：(1)在销售旺季，y＝(kx＋b1)(x－100)＝kx2－(100k－b1)x－100b1；在销售淡季，y＝(kx＋b2)(x－100)＝kx2－(100k－b2)x－100b2.故表格为：(2)∵k ＜0，b 1＞0，b 2＞0，∴－b 12k ＞0，－b 22k＞0. ∴50－b 12k ＞0,50－b 22k＞0. 则在销售旺季，y ＝kx 2－(100k －b 1)x －100b 1，∴当x ＝100k －b 12k ＝50－b 12k时，利润y 取最大值；在销售淡季，y ＝kx 2－(100k －b 2)x －100b 2，∴当x ＝100k －b 22k ＝50－b 22k时，利润y 取最大值．由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．因此在销售旺季，当标价x ＝50－b 12k＝140时，利润y 取最大值．∴b 1＝180k. ∴此时销售量为r(x)＝kx －180k.令kx －180k ＝0，得x ＝180，即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为180×23＝120元/件． 可见在销售淡季，当标价x ＝120元/件时，销售量为r(x)＝kx ＋b 2＝0.∴120k ＋b 2＝0.∴b 2k＝－120. ∴在销售淡季，当标价x ＝50－b 22k＝50＋60＝110元/件时，利润y 取得最大值． 即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．点评：在应用问题中，需解决利润最大、成本最少、费用最少等问题时，常常通过建立数学模型，转化为求函数最值的问题．其步骤是：①阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；②引进数学符号，建立数学模型．如果条件中没有设未知数，那么要设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为求函数最值问题，即所谓建立数学模型；③利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；④将所得结果再转译成具体问题的答案．例2求函数y ＝|x ＋2|－|x －2|的最小值．分析：思路1：画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路2：利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值．解：方法1(图象法)：y ＝|x ＋2|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，2x ，4， x≤－2，－2<x<2，x≥2.其图象如下图所示．由图象得，函数的最小值是－4，最大值是4.方法2(数形结合法)：函数的解析式y ＝|x ＋2|－|x －2|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±2的对应点A 、B 的距离的差，即y ＝|PA|－|PB|，如下图所示，观察数轴可得－|AB|≤|PA|－|PB|≤|AB|，即函数y ＝|x ＋2|－|x －2|有最小值－4，最大值4.点评：求函数最值的方法：图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值．其步骤是：①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值．数形结合法：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义，结合图形利用其几何意义求最值．其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值．例3定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：对任意x 、y ∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y 1＋xy)． (1)求证：函数f(x)是奇函数；(2)若当x ∈(－1,0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1,1)上是减函数．分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x ＝－y 是解题关键；(2)定义法证明，其中判定x 2－x 11－x 1x 2的范围是关键． 证明：(1)函数f(x)定义域是(－1,1)，由f(x)＋f(y)＝f(x ＋y 1＋xy )，令x ＝y ＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0＋01＋0)， ∴f(0)＝0.令y ＝－x ，得f(x)＋f(－x)＝f(x －x 1－x 2)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减，令0＜x 1＜x 2＜1，则f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2)＝f(x 1－x 21－x 1x 2)＝f(－x 2－x 11－x 1x 2)， ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＞0.∴x 2－x 11－x 1x 2＞0. 又(x 2－x 1)－(1－x 1x 2)＝(x 2－1)(x 1＋1)＜0，∴0＜x 2－x 1＜1－x 1x 2.∴－1＜－x 2－x 11－x 1x 2＜0.由题意知f(－x 2－x 11－x 1x 2)＞0， ∴f(x 1)＞f(x 2)．∴f(x)在(0,1)上为减函数．又f(x)为奇函数，∴f(x)在(－1,1)上也是减函数．点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性．知能训练1．已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x ＋1)－f(x)＝2x.(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．分析：(1)由于已知f(x)是二次函数，用待定系数法求f(x)；(2)结合二次函数的图象，写出最值．解：(1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，由f(0)＝1，可知c ＝1.而f(x ＋1)－f(x)＝[a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c]－(ax 2＋bx ＋c)＝2ax ＋a ＋b.由f(x ＋1)－f(x)＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0.因而a ＝1，b ＝－1.故f(x)＝x 2－x ＋1.(2)∵f(x)＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34， ∴当x ∈[－1,1]时，f(x)的最小值是f(12)＝34，f(x)的最大值是f(－1)＝3. 2．已知函数f(x)对任意x 、y ∈R 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且x ＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)判断函数f(x)的奇偶性．(2)当x ∈[－3,3]时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由． 分析：本题中的函数f(x)是抽象函数，则用定义法判断f(x)的奇偶性和单调性．(1)首先利用赋值法求得f(0)，再利用定义法判断f(x)的奇偶性；(2)利用定义法判断函数f(x)在[－3,3]内的单调性，利用单调法求出最值．解：(1)∵f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(0)＝f(0)＋f(0)．∴f(0)＝0.而0＝x －x ，因此0＝f(0)＝f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0f(－x)＝－f(x)．∴函数f(x)为奇函数．(2)设x 1＜x 2，由f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，知f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)，∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.又当x ＞0时，f(x)＜0，∴f(x 2－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0.∴f(x 2)＜f(x 1)．∴f(x 1)＞f(x 2)．函数f(x)是定义域上的减函数，当x ∈[－3,3]时，函数f(x)有最值．当x ＝－3时，函数有最大值f(－3)；当x ＝3时，函数有最小值f(3)．f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴当x ＝－3时，函数有最大值6；当x ＝3时，函数有最小值－6.拓展提升问题：某人定制了一批地砖．每块地砖(如图甲所示)是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图乙所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH 是正方形；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？甲 乙分析：(1)由于四块地砖拼出了四边形EFGH ，只需证明△CFE 、△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形即可；(2)建立数学模型，转化为数学问题．设CE ＝x ，每块地砖的费用为W ，求出函数W ＝f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题．解：(1)图乙可以看成是由四块图甲所示地砖绕点C 按顺时针旋转90°后得到，则有CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴△CFE 为等腰直角三角形．同理可得△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形，∴四边形EFGH 是正方形．(2)设CE ＝x ，则BE ＝0.4－x ，每块地砖的费用为W ，设制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a(元)，W ＝12x 2·3a ＋12×0.4×(0.4－x)×2a ＋[0.16－12x 2－12×0.4×(0.4－x)]a ＝a(x 2－0.2x ＋0.24)＝a[(x －0.1)2＋0.23](0＜x ＜0.4)．由于a ＞0，则当x ＝0.1时，W 有最小值，即总费用为最省，即当CE ＝CF ＝0.1米时，总费用最省．课堂小结本节课总结了第二章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法．作业已知函数y＝f(x)的定义域是R，且对任意a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，并且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立，f(1)＝－1.(1)证明函数y＝f(x)是R上的减函数；(2)证明函数y＝f(x)是奇函数；(3)求函数y＝f(x)在[m，n](m、n∈Z，m＜n)的值域．分析：(1)利用定义法证明函数的单调性；(2)定义法证明函数的奇偶性，只需证明f(－x)＝－f(x)；(3)利用单调法求函数的的值域．解：(1)设x1、x2∈R，且x1＜x2，由题意得f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)．∴f(x1)－f(x2)＝－f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0恒成立，∴f(x2－x1)＜0.∴f(x1)－f(x2)＞0.∴函数y＝f(x)是R上的减函数．(2)令a＝x，b＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)．令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0.∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)由(1)得函数y＝f(x)在[m，n]上是减函数，则有f(n)≤f(x)≤f(m)．∵对任意a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，∴f(m)＝f[(m－1)＋1]＝f(m－1)＋f(1)＝f(m－2)＋2f(1)＝…＝mf(1)＝－m，同理有f(n)＝－n.∴函数y＝f(x)在[m，n](m、n∈Z，m＜n)上的值域是[－n，－m]．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，教材中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结．备课资料知识点总结——函数概念及性质1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．求出不等式组的解集即为函数的定义域．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)．函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟练掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等．3．函数图象知识归纳定义：在平面直角坐标系中，以函数y＝f(x)(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y＝f(x)(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y＝f(x)，反过来，以满足y＝f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上．即记为C＝{P(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成．画法：①描点法：根据函数解析式和定义域，求出x、y的一些对应值并列表，以(x，y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x，y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来．②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换．作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误．4．区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”．给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b 的原象．注意：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，(1)集合A、B及对应法则f 是确定的；(2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；(3)对于映射f：A→B来说，则应满足：①集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象．6．函数表示法函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据．解析法：必须注明函数的定义域．图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征．列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值．分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．复合函数：如果y＝f(u)(u∈M)，u＝g(x)(x∈A)，则y＝f[g(x)]＝F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数．7．函数单调性增函数：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．区间D 称为y＝f(x)的单调增区间．如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．区间D称为y＝f(x)的单调减区间．注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)．图象的特点：如果函数y＝f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的．函数单调区间与单调性的判定方法：定义法，任取x1、x2∈D，且x1＜x2；作差f(x1)－f(x2)；变形(通常是因式分解和配方)；定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；下结论〔指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕．图象法(从图象上看升降)；复合函数的单调性，复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u＝g(x)，y＝f(u)的单调性密切相关，其规律如下：注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．8．函数的奇偶性偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数；若对称再根据定义判定．有时判定f(－x)＝±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(－x)±f(x)＝0或f(x)f(－x)＝±1来判定，利用定理，或借助函数的图象判定．9．函数的解析表达式函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域．求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)．10．函数最大(小)值方法利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；利用函数单调性；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．(设计者：张新军)。