人教版高中数学高二-根据函数图象求解析式

二次函数快速求解析式二次函数是高中数学中一个重要的知识点，对于学生来说，掌握二次函数的求解方法是非常必要的。

在学习二次函数时，我们需要掌握快速求解析式的方法，下面将详细介绍如何快速求解析式。

一、什么是二次函数？二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中x为自变量，y 为因变量。

其中a、b、c为常数，且a不等于0。

二次函数通常表示开口向上或开口向下的抛物线。

二、如何快速求解析式？1.已知顶点坐标和另一点坐标如果已知一个二次函数的顶点坐标和另一个点的坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x-h)²+k（2）根据另一个点的坐标代入上式，并解出a（3）将得到的a代入平移后的函数中即可得到原始函数例如：已知y=ax²+bx+c经过点（1,-2），顶点坐标为（-1,3），则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x+1)²+3（2）代入已知点（1,-2）得到-2=a(1+1)²+3，解出a=-1/4（3）将a=-1/4代入平移后的函数中即可得到原始函数：y=-1/4(x+1)²+32.已知两个点坐标和顶点坐标如果已知一个二次函数的两个点坐标和顶点坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x-h)²+k（2）根据另外两个点的坐标代入上式，并联立方程组解出a、h、k（3）将得到的a、h、k代入平移后的函数中即可得到原始函数例如：已知y=ax²+bx+c经过点（-2,7）、（0,3），顶点坐标为（-1,4），则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x+1)²+4（2）代入另外两个已知点得到如下方程组：7=a(-2+1)²+43=a(0+1)²+4联立方程组解出a=-2，h=-1，k=6（3）将a=-2，h=-1，k=6代入平移后的函数中即可得到原始函数：y=-2(x+1)²+43.已知三个点坐标如果已知一个二次函数的三个点坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据通用式y=ax²+bx+c，列出三元一次方程组（2）解出a、b、c，得到原始函数例如：已知y=ax²+bx+c经过点（-2,7）、（0,3）、（1,2），则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据通用式y=ax²+bx+c，列出如下三元一次方程组：4a-2b+c=7c=3a+b+c=2（2）解出a=-1，b=0，c=3，得到原始函数：y=-x²+3总之，在学习二次函数时，掌握快速求解析式的方法是非常必要的。

求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。

课题7：函数的概念（一）一、复习准备：1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：（一）函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A=∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。

显然，值域是集合B 的子集。

（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；（2）二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。

（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。

（二）区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；（3）满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。

【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．二、 ω值的确定方法：方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝Tπ2求得ω的值． 方法２：“特殊点坐标法”。

特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。

在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．三、 φ值的确定方法：方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。

方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2π)的图象，那么正确的是（ ）Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6π Ｃ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6π, 解：可用“筛选选项法”．题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0排除B 和D ，由A,C 知φ＝6π；ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点，∴ω·1211π+6π＝2π 解得ω＝２， 故选C ．例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,（A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2π））,求该函数的解析式．解法一：观察图象易得A ＝2,∴T ＝2×（87π-83π）＝π，∴ω＝ππ2＝2. ∴y ＝2sin(2x+φ).下面用“关键点对等法”来求出 图2φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”） 得φ＝4π∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4π)．说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2π求得φ的值；若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（83π，0）在图象上， ∴ Asin φ＝2 (1)1211π1211πxy0 2-XY 2Asin(2×83π+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)， 又φ∈（0，2π)， ∴只有K ＝1，得φ＝4π， 代人（1）得A ＝2.∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π)图象上的一部分如图3所示，则必定有（ ）(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π（D ）K ＝-2解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2 下面用“解方程组法”求φ与ω的值.∵ 图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ+2 图32=2sin(-6πω+φ)+2解得ω＝2，φ＝3π故选C.例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2π)图象的一段，求这个函数的解析式．解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ)下面用“特殊点坐标法”求φ，∵ 图象过点（1，2）∴2＝2sin(3π×1+φ)， 又 φ ＜2π图４ｘ２＋3ｙ０ ４ 6π-２0 1 4 2xy∴只有φ＝6π∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π).说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3π×1+φ＝2π 或3π×4+φ＝23π等均可求得φ的值．。

函 数 解 析 式 的 求 法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。

解：2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+xx2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x Q x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。

解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， Θ点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

函数解析式的求法高中数学解题方法一、单选题1．已知一次函数的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为（ ） A ．f (x )= -x B ．f (x )=x -1 C ．f (x )=x +1D ．f (x )= -x +12．已知函数()f x 满足()22124,xf x x +=⋅+则()f x =（ ）A ．2(1)22xx -+B ．2124x x ++ C ．21(1)22x x +-+ D ．2(1)24xx -+3．已知函数()2141f x x -=- ()x R ∈，若()15f a =，则a 的值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．84．已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．11x + B ．1x x+ C ．1x x + D ．1x +5．已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()2f 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．66．已知)1fx =+()f x 的解析式为（ ）A ．()()210f x x x =-≥ B ．()()211f x x x =-≥C ．()()20f x x x =≥D ．()()21f x xx =≥7．已知函数()()224f x x m x m =+-+是偶函数，()mg x x =在(),0-∞上单调递增，则实数m =（ ） A ．2-B ．4-C ．2D ．2±8．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，不等式()()30g x f x t --≥对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．332log 2-C ．2D ．33log 212- 9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221342f x x a x a a =-+--，若对任意x ∈R ，()()11f x f x -≤+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．66⎡-⎢⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．22⎡-⎢⎣⎦第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题10．若一次函数()f x 满足(())2f f x x =+，则()f x =_________．11．函数1)1f x =+，则()f x =__________（注明定义域） 12．已知函数()f x 满足221(tan )sin cos f x x x=，则()f x 的解析式为__________.13．已知()()222f x f x x x +-=+，则()f x 的解析式为________. 14．()f x 满足：12()1f x f x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，()f x =________. 15．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()()2f x x x =+，则当0x ≤时，()f x =________________.16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x = ________.三、双空题 17．已知f 1-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=x 2+21x，则函数f (x )=_______，f （3）=_______．四、解答题18．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，函数()y f x =的解析式为()21xf x =+.（1）求当0x <时，函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =在区间[]4,2--上的值域. 19．设a 是实数，2()21x f x a =-+(x ∈R ).（1）试证明：对于任意a ，()f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数.20．已知定义域为R 的函数()f x 和()g x ，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()12x f x g x ++=.（1）求函数()f x 和()g x 的解析式； （2）解不等式:()()2f x g x ；（3）已知实数0λ>，且关于x 的方程()()10x f x g λ-+=有实根，求λ的表达式(用x 表示)，并求λ的取值范围.21．已知函数())ln f x x =的图象关于原点对称.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性； （3）若[]0,1x ∈，不等式()()1144220xxxx f m f m -+-⎡⎤⎡⎤+++⋅->⎣⎦⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知()133x x b f x t--=+是定义在R 上的奇函数．（1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，且1a ≠，若对于任意[)1,x ∈+∞，存在[]2,1m ∈-，使得()21522m x x f a x +-+-≤成立，求a 的取值范围． 23．已知函数2()21g x x ax =-+且函数(1)y g x =+是偶函数，设()()g x f x x= （1）求()f x 的解析式：（2）若不等式()0f x mx -≥在区间[1,2]上有解，求实数m 的取值范围；（3）若方程2(21)2021xx f k-+-=-有三个不同的实数根，求实数k 的取值范围. 24．已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f xg x x=，且函数()2y f x =-是偶函数.（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()0g t nt -≥在[2,0)t ∈-上恒成立，求n 的取值范围；（3）若函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点.参考答案1．D 【分析】利用待定系数法可求出结果. 【详解】设f (x )=ax +b (a ≠0)，则有01a b b +=⎧⎨=⎩，，所以a = -1，b =1，所以f (x )= -x +1． 故选：D 2．D 【分析】 利用换元法可求. 【详解】令21,t x =+则12t x -=， 则()21221(1)24224t tt t f t ---⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭. 即()2(1)24xx f x -=+. 故选：D. 3．C 【分析】首先利用换元法求出函数的解析式，由解析式即可求解. 【详解】由()2141f x x -=-，()x R ∈， 令21x t -=，则12t x +=， 所以()141212t f t t +=⨯-=+， 所以()1152a a f =+=，解得7a =. 故选：C4．C 【分析】利用配凑法求函数的表达式. 【详解】111()111x f x x x==++， ∴()()01xf x x x=≠+； 故选：C ． 5．D 【分析】配方可得2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得出()f x 解析式，求出()2f . 【详解】2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22f x x ∴=+ ()22226f ∴=+=.故选：D. 6．B 【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数的定义域. 【详解】))2111fx ==+-，令11t =≥，()()211f t t t ∴=-≥，则()()211f x x x =-≥，故选：B.本题主要考查换元法求函数的解析式，遗忘函数定义域是易错点，属于基础题. 7．A 【分析】首先利用函数()()224f x x m x m =+-+是偶函数，得出2m =或2m =-，再检验是否满足()mg x x =在(),0-∞上单调递增即可.【详解】因为函数()()224f x x m x m =+-+是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()()()222244x m x m x m x m -+--+=+-+对于定义域内的x 恒成立，所以()2240m x -=，即240m -=，解得：2m =或2m =-，当2m =时，()2g x x =，在(),0-∞上单调递减，不符合题意，舍去.当2m =-时，()2g x x -=，此时是偶函数，满足在()0,∞+上单调递减，所以在(),0-∞上单调递增，复合题意， 所以2m =-， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由()()224f x x m x m =+-+是偶函数，求出m 的值，还要熟悉幂函数的图象和性质. 8．B 【分析】根据函数()y f x =为奇函数，函数()y g x =为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30gx f x t --≥得出()33231log 3xxt +≤，换元30x p =>，利用导数求出函数()321p y p+=的最小值，即可得出实数t 的最大值.函数()y f x =为奇函数，()y g x =为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，①()()()3log 31x f x g x -∴-+-=+，即()()()3log 31x f x g x --+=+，②①-②得：()()()33331312log log 31331x x x xx x f x x --++===++，()2x f x ∴=，()()3log 312x x g x ∴=+-， 由()()30gx f x t --≥得()()()()33323133log 312log 3xx xt g x f x x +-=+-=≤，令30x p =>，()321p y p +=，则()()2312p p y p +-'=.当02p <<时，0y '<，此时函数()321p y p+=单调递减；当2p >时，0y '>，此时函数()321p y p+=单调递增.所以，当2p =时，函数()321p y p +=取得最小值，即min 274y =， 3327log 32log 24t ∴≤=-. 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题． 9．C 【分析】根据绝对值的意义把函数写成分段函数，作出函数的图象，平移图象，寻找对应的条件求解. 【详解】当0x >时，()()2221342f x x a x a a =-+-- ∴当20x a <≤时，()()()2221134222f x a x a x a x x =-+--=-=-；当223a x a <≤时，()()()222221134222f x x a a x a a a =-+--=-=-.当23x a >时，()()()22222113428422f x x a x a a x a x a =-+--=-=-， 即()2222222222224,3,3,,34,3x a x a a a x a f x x a x a a a x a x a x a⎧+<-⎪-≤≤-⎪⎪=--<<⎨⎪-≤≤⎪⎪->⎩，画出其图象如下，要使对任意()(),11x R f x f x ∈-≤+，则将()f x 向右平移一个单位得到的()1f x -的图象， 将()f x 向左平移一个单位得到的()1f x +的图象，对任意x ∈R ，()()11f x f x -≤+成立，∴()1f x -的图象都在()1f x +的图象的下方，此时只需要A 点在B 点的左侧（或重合）即可，A 点的横坐标为241a -，B 点的横坐标为241a -+，即224141a a -≤-+， 即282a ≤，即214a ≤， 得1122a -≤≤，即实数a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：C . 【点睛】本题考查函数的表示方法和函数的奇偶性，考查函数的图象和图象变换，把不等式恒成立转化为图象位置关系是解决本题的关键．属于较难的题目. 10．1x + 【分析】设()f x kx b =+，利用(())2f f x x =+可得,k b 的值，从而可求()f x 的解析式. 【详解】设()f x kx b =+，则()()2(())1f f x k kx b b k k b =++=++，故21(1)2k k b ⎧=⎨+=⎩，故1,1k b ==，故()1f x x =+，故答案为：1x +. 11．222(1)x x x ++≥- 【分析】利用换元法可得函数()f x 的解析式. 【详解】1t =，则2(1)x t =+，1t ≥-， 所以22()(1)122f t t t t =++=++，1t ≥-， 所以2()22(1)f x x x x =++≥-. 故答案为：222(1)x x x ++≥-. 【点睛】方法点睛：本题考查了利用换元法求函数()f x 的解析式，换元时要注意新元的取值范围. 12．221()2f x x x=++（0x ≠） 【分析】利用同角三角函数的关系把221sin cos x x用正切表示，即可得到()f x 的解析式 【详解】由222222221sin cos 11(tan )sin cos sin cos cos sin x x f x x x x x x x+===+22222222sin cos sin cos 1tan 1+1+cos sin tan x x x x x x x x++=+=+221tan 2tan x x =++， 得221()2f x x x=++. 故答案为：221()2f x x x=++（0x ≠）【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，利用了221sin cos x x =+化简，属于基础题 13．()2123f x x x -= 【分析】由2()2()2f x f x x x +-=+，2()2()2f x f x x x -+=-，联立可求解． 【详解】因为2()2()2f x f x x x +-=+，（1） 所以2()2()2f x f x x x -+=-， 所以22()4()24f x f x x x -+=-，（2） （2）-（1）可得，21()23f x x x =-．故答案为：21()23f x x x =-．【点睛】本题主要考查方程法求函数的解析式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14．21133x x++()0x ≠ 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】12()1f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①用1x 替换x 可得()112()1f f x x x-=+，② 将①2⨯+②，可得()21133f x x x =++()0x ≠ 故答案为：21133x x++()0x ≠ 【点睛】本题考查了方程组法求解析式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 15．()2x x - 【分析】当0x <时，0x ->，利用()()f x f x =--可求得结果. 【详解】因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以当0x =时，(0)0f =，当0x <时，0x ->，[]()()(2)(2)f x f x x x x x =--=---=-， 综上所述：当0x ≤时，()(2)f x x x =-. 故答案为：()2x x - 【点睛】关键点点睛：根据奇函数的性质求解是解题关键. 16．()1x x - 【分析】设0x <，则0x ->，代入0x ≥的解析式， 由函数的奇偶性即可求解. 【详解】设0x <，则0x ->，由0x ≥时，()()1f x x x =+， 所以()()()1f x x x -=--，又函数为偶函数，即()()f x f x -=，所以()()()()11f x x x x x =--=-. 故答案为：()1x x - 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 17．22x + 11 【分析】利用换元法可求出()f x ，进一步可得(3)f . 【详解】 令1x t x -=，则222211()22x x t x x+=-+=+， 所以2()2f t t =+，所以2()2f x x =+， 所以2(3)3211f =+=. 故答案为：22x +；11.18．（1）()21x f x -=+；（2）[5,17]； 【分析】（1）由偶函数有()()f x f x =-，令0x <即有()21x f x --=+，即可知0x <时函数()y f x =的解析式；（2）根据函数解析式在[]4,2--上的单调性即可求值域. 【详解】（1）由函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，即()()f x f x =-， 令0x <，则0x ->，∴()21x f x --=+，即()21x f x -=+，（2）由（1）知：()21x f x -=+在(),0-∞上单调递减， ∴在区间[]4,2--上，(4)17f -=，(2)5f -=，故值域为[5,17]. 19．（1）证明见解析；（2）1a =.【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可； （2）由奇函数定义可得22()2121x xa a --=--++，化简后可求出a 的值 【详解】（1）证明：设12x x R ∈、，且12x x <， 则1212122222()()()()21212121x x x x f x f x a a -=---=-++++ 12122(22)(21)(21)x x x x ⋅-=+⋅+， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <， ∴1222x x <即12220x x -<，又由20x >得1210x +>，2210x +>，∴12())0(f x f x -<即12()()f x f x <， ∴此结论与a 取值无关，∴对于a 取任意实数，()f x 在R 为增函数； （2）解：若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即22()2121x xa a --=--++， 变形得222(21)2212121x x x xa -+=+=+++，解得1a =， ∴当1a =时，()f x 为奇函数. 【点睛】此题考查函数单调性的证明，考查奇函数的性质，属于基础题20．（1）()22xxf x -=-，()22xxg x -=+；（2）21log 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）2222121x x xλ+-=+，⎛ ⎝⎦. 【分析】（1）利用奇偶性，结合()()12x f x g x ++=，得到1()()2x f x g x -+-+=，联立方程解得()f x 和()g x 的解析式即可；（2）代入函数解析式并化简得到223x ≥，再结合指数函数单调性解不等式即可；（3）代入函数解析式并分离参数得到2222121x x xλ+-=+，再进行换元20x t =>，使22212111t t t t t λ+--==+++有正根，设2t m -=，则2m >-，转化成2145m m m λ=+++有2m >-的实根，最后对m 进行讨论，结合对勾函数的单调性研究值域问题即可.【详解】解：（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=，因为1()()2x f x g x ++=，所以1()()2x f x g x -+-+-=，即1()()2x f x g x -+-+=，联立两个方程，可解得1122()222x x x x f x +-+--==-，()22x x g x -=+；（2）2()()f x g x ≥可化为()22222x xx x ---≥+，化简得232x x -≥⨯，即223x ≥， 而2log 332=，所以22log 3x ≥，得21log 32x ≥， 所以不等式2()()f x g x ≥的解集为21log 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）关于x 的方程()()10f x g x λ-+=有实根，即()222210x x x xλ----++=有实根， 所以()()22212120x x x λ⎡⎤--++=⎢⎥⎣⎦有实根，则2222121x x xλ+-=+． 令20x t =>，则()22110t t t λ--++=有正根，所以22212111t t t t t λ+--==+++有正根， 因为222211(22)1(2)4(2)5t t t t t λ--=+=+-++-+-+，设2t m -=，则2m >-，2145mm m λ=+++．当0m =时，1λ=，此时22x t ==，方程有实根1x =；当0m ≠且2m >-时，方程即2145541m m m m mλ++==++-有2m >-的实根，则11λ-的值域，即是54m m++的值域.因为对勾函数5()4m m mϕ=++在(2,0)-上递减，在上递减，在)+∞上递增，故(2,0)m ∈-时，1()(2)2m ϕϕ<-=；(0,)m ∈+∞时()4m ϕϕ≥=+所以1112λ<--或141λ≥+-0λ>，故解得01λ<<或1λ<≤，综上所述：λ取值范围是⎛ ⎝⎦． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.21．（1）1a =；（2）()f x 在R 上单调递增；（3）()1,-+∞ 【分析】（1）易知()f x 为奇函数，可得()()0f x f x +-=，代入解析式，可求出a 的值； （2）先判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，再结合()f x 是定义在R 的奇函数，可推出()f x 在定义域上单调递增；（3）根据()f x 的奇偶性，可得()()44222x xx x f m f m --⎡⎤⎡⎤++>-⎣⎦⎣⎦在0,1上恒成立，再结合函数()f x 的单调性，可知()()44222x xx x m m --++>-在0,1上恒成立，进而令22(01)x x t x -=-≤≤，可得30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而不等式可转化为2220t mt m +++>在30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，进而分离参数可得22212t m t +>-+，求出2212t t +-+的最大值，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数， 所以()()0f x f x +-=，即))()22ln lnln ln 0x x x a x a +=+-==，解得1a =.（2）易知()f x 的定义域为R，令()g x x =，因为函数y =y x =都在[)0,+∞上单调递增，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，根据复合函数的性质，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增， 又因为()f x 是定义在R 的奇函数，所以()f x 在R 上单调递增. （3）由题意，()()1144220xxxx f m f m -+-⎡⎤⎡⎤+++⋅->⎣⎦⎣⎦在0,1上恒成立，等价于()()44222xxxx f m f m --⎡⎤⎡⎤++>-⎣⎦⎣⎦在0,1上恒成立，则()()44222x xx x m m --++>-在0,1上恒成立. 令22(01)x x t x -=-≤≤，显然22(01)x x t x -=-≤≤是增函数，则30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.()22442222x x x x t --+=-+=+，所以2220t mt m +++>在30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立.则22212t m t +>-+，令11222u t u ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，则229294112142u u t u u u t -++==+-≥=+，当且仅当94u u=，即32u =时，等号成立.所以22212t t +-≤-+ 所以22m >-，即1m >-， 故m 的取值范围为()1,-+∞. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．（1）()13331x x f x +-=+；（2）)10,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）利用函数是奇函数可得()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩解得,b t 的值，求出()f x ，再检验()()f x f x -=-成立即可；（2）构造函数()()()22561212312x g x f x x x x =-++=--++，利用函数的性质判断出()g x 的单调性，使得()21522m f x x x a +-++≤成立等价于()()max max g x h m ≤成立，即可求解. 【详解】解：（1）因为()133xx b f x t--=+是定义在R 上的奇函数，所以()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，即12103331b b b tt ---=⎧⎪⎨--=-⎪++⎩，解得131t b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则()11133313133x x xx f x +---==++经检验：()13331x x f x +-=+时，()()1133333113x x x xf x f x -++----===-++满足()f x 是R 上的奇函数， 所以()13331x xf x +-=+. （2）令()()2522g x f x x x =-++， 由（1）可知()()()22331656121312312x x x g x x x x -++=-++=--+++． 易证函数631xy =+与()2112y x =--+均是[)1,+∞上的减函数， 则()g x 是[)1,+∞上的减函数，且()()max 12g x g ==． 令()()121m h m am +=-≤≤，对于任意[)1,x ∈+∞，存在[]2,1m ∈-，使得()21522m f x x x a +-++≤成立等价于()()max max g x h m ≤成立， 即()max 2h m ≤成立．若01a <<，则()h m 在[]2,1-上单调递减，()()1max 12h m h a a-=-==， 故12a≥，解得102a <≤；若1a >，则()h m 在[]2,1-上单调递增， ()()2max 1h m h a ==，故22a ≥，解得：a ≥综上所述，a的取值范围为)10,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 23．（1）()()1()20g x f x x x x x ==+-≠；（2）1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）1(,1)2-. 【分析】（1）()g x 对称轴为x a =，(1)g x +对称轴为0x =，再根据图像平移关系求解；（2）分离参数m ，转化为求函数的最值；（3）令()210x r r =->，把方程有三个不同的实数根求参数的问题转化为二次函数根的分布问题求解. 【详解】(1) 函数2()21g x x ax =-+的对称轴为x a =， 因为()g x 向左平移1个单位得到(1)g x +， 且(1)y g x =+是偶函数， 所以1a = ， 所以()()1()20g x f x x x x x==+-≠. (2) ()0f x mx -≥， 即120m x xx -+≥- 又[1,2]x ∈ ，则2212111x x x m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭≤， 因为211014x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以实数m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(3) 方程2(21)2021x x f k -+⋅-=-， 即22120211122x x x k +-+-⋅-=--， 化简得221421120x x k ---+=+， 令()210x r r =->，则24120r r k -+=+， 若方程2(21)2021x x f k -+⋅-=-有三个不同的实数根， 则方程24120r r k -+=+必须有两个不相等的实数根12,r r ，且1201,1r r <<>或1201,1r r <<=， 令2()412h r r r k =-++，当1201,1r r <<>时，则(0)120(1)220h k h k =+>⎧⎨=-+<⎩， 即112k -<<， 当21r =时，1k =，2()43h r r r =-+，13r =舍去，综上，实数k 的取值范围是1(,1)2-. 【点睛】关键点睛：函数不等式能成立问题用参数分离法；把方程有三个不同的实数根求参数的问题转化为二次函数根的分布问题是解决本题的关键.24．（1）()()640g x x x x =-+≠（2）52n ≥-（3）6k =，零点为0，-2，2 【分析】（1）由(2)f x -是偶函数，求出m 后可得()g x ；（2）等式()0g t nt -≥在[2,0)t ∈-上恒成立，可用分离参数法转化为求函数最值；（3）可换元22log (4)p x =+，()()()22222log 490log 4y g x k x =++⋅-=+化为关于p （2p ≥）的方程，原函数有三个零点，即原方程有三个解，由对称性（或偶函数）知0x =是一个解，即2p =是新方程的一个根，由此可求得k ，从而求得另外的根，即求得函数的零点．【详解】（1）∴()()22f x x m x m =+--， ∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-.∴()2y f x =-是偶函数，∴60m -=，∴6m =.∴()246f x x x =+-，∴()()640g x x x x=-+≠. （2）∴()0g t nt -≥在[2,0)t ∈-上恒成立，∴2264646411t n t t t t tι-+=-+=-++. 令2641z t t =-++，1s t =，则12s ≤-，256412z s s =-++-，∴52n ≥-. （3）令()22log 4x p +=，则2p ≥，方程()()()22222log 490log 4g x k x ++⋅-=+可化为()290g p k p +⋅-=，即62490k p p p -++-=，也即()25260p p k p-+-=. 又∴方程()()()22222log 490log 4g x k x ++⋅-=+有三个实数根， ∴()25260p p k p-+-=有一个根为2，∴6k =.∴2560p p -+=，解得2p =或3p =. 由()22log 42x +=，得0x =，由()22log 43x +=，得2x =±， ∴该函数的零点为0，-2，2.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，考查函数的零点．解题中不断进行转化．不等式恒成立转化为求函数的最值，函数的零点转化为方程的解，对数型方程转化为一般分式型方程，从而易于求解．。

已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ） （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12【解析】选B.由图象可得最小正周期为2π3，于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，所以f(2π3)＝－f(π2)＝23.如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值 为（ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π【解析】选A. Q 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=. 已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________【解析】由图可知，()544,,2,1255T x πωπϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭把代入y=sin 有： 89,510ππϕϕ⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭1=sin已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。

【解析】由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4π时，f （x ）＝0，即2φπ+⨯43sin(）＝0，可得4πφ=，所以，712f π⎛⎫=⎪⎝⎭2)41273sin(ππ+⨯＝0。

）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域.【解析】（1）由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π，即T π=，222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故（2）7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈Q 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=即2x π=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )A.向右平移4π B.向左平移4π C.向右平移12π D.向左平移12π分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x 的系数相同.解：∵y ＝cos(3x ＋4π)＝sin(4π－3x )＝sin ［－3(x －12π)］∴由y ＝sin ［－3(x -12π)］向左平移12π才能得到y ＝sin(－3x )的图象.答案：D4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )＝sin(2x ＋3π) ＝sin(2x －3π) ＝sin(2x ＋32π) ＝sin(2x －32π)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.解：y ＝f (x )可由y ＝sin x ，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y ＝sin2(x ＋3π)，即f (x )＝sin(2x ＋32π).若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，则a ＝–1. 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵x 1＝0，x 2＝－4π是定义域中关于x ＝－8π对称的两点 ∴f (0)＝f (－4π) 即0＋a ＝sin(－2π)＋a cos(－2π)∴a ＝－1若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k πx －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )或4 或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k .解：∵T ＝3)3(,1263122=-++=+a a k k ππ又因每一周期内出现45值时有2次，出现4次取2个周期，出现45值8次应有4个周期.∴有4T ≥3且2T ≤3即得43≤T ≤23，∴43≤126+k ≤23 解得23≤k ≤27，∵k ∈Ｎ，∴k ＝2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角初相角有几个下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式. 错解： 由图知：A ＝5由23252πππ=-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝32∴y ＝5sin(32x ＋ϕ)将(π，0)代入该式得：5sin(32π＋ϕ)＝0由sin(32π＋ϕ)＝0，得32π＋ϕ＝k πϕ＝k π－32π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝－32π或ϕ＝3π∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(32x ＋3π)分析：由题意可知，点(4π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －32π)中，令x ＝4π，则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －32π)不合题意.那么，问题出在哪里呢我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴32π＋ϕ∈［2π＋2k π，32π＋2k π］(k ∈Z ) 由sin(32π＋ϕ)＝0得32π＋ϕ＝2k π＋π∴ϕ＝2k π＋3π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝3π正解二：(最值点法)将最高点坐标(4π，5)代入y ＝5sin(32x ＋ϕ)得5sin(6π＋ϕ)＝5∴6π＋ϕ＝2k π＋2π ∴ϕ＝2k π＋3π (k ∈Z )取ϕ＝3π正解三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx +ϕ=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角ϕ.由图象求得x 0=-2x,∴ϕ=-ωx 0=-32 (-2π)=3π. 正解四：(平移法)由图象知，将y =5sin(32x )的图象沿x 轴向左平移2π个单位，就得到本题图象，故所求函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(32x ＋3π).【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx 中的x ，模仿y=sinx 的五点法来作.ωx 1+φ=0⇒x 1=-ωΦ,ωx 2+φ=2π⇒x 2=ωπΦ-2ωx 3=π⇒x 3=ωπΦ-,ωx 4+φ=23π⇒x 4=ωπΦ-23,ωx 5+φ=2π⇒x 5=ωπΦ-2.即五点(-ωΦ,0),(ωπΦ-2,A),( ωπΦ-,0).(ωπΦ-23,-A).(ωπΦ-2,0)2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx 的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A ＞0,且A ≠1)的图像，可以看作是y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sin ωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx 的图像变换为y=sin ωx 的图像，其周期由2π变ωπ2.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx 的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x 变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx 的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k 的图像.事实上，设f 、t 、h 分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f →t →h;(2)f →g →t(3)t →h →f;(4)t →f →h;(5)h →f →t;(6)h →t →f=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0)与振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A ＞0,ω＞0),其中t ∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A ，ω，φ有如下物理意义.A 称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=ωπ2称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y 的最小正周期).f=T = π2称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x 轴对称. (2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y 轴对称. (3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f -1(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x 对称. 【重点难点解析】重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换. 难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx 的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程. 关键：理解A 、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1 函数y=3cos(2x -4π)的图像可以由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到 解：y=3cos(2x -4π)=3sin ［2π+( 2x -4π)］=3sin(2x +4π).先将y=sinx 的图像向右平移4π个单位，得到y 1=sin(x+4π)的图像.再将y 1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y 2=sin(2x +4π)的图像.再将y 2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(2x +8π)而不是y=3sin(2+4).例2用五点法作出函数y=4sin(2x+3π)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(2x+3π)的振幅A=4，周期T=4π,令2x+3π=0,得初始值x0=-32π(初始值指图像由x轴下方向上经过x轴时的横截距).列表：2x+3π02ππ23π2πx-32π3π34π37π310πy040-40评注：注意到五点的横坐标是从x0开始，每次增加周期的4，即x i=x i-1+4(i=1,2,3,4)可简化x的五个值的运算.例3设三角函数f(x)=sin(5kx+3π)(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T=52kπ=kπ10.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m ，必须且只须f(x)的周期≤1，即kπ10≤1,｜k ｜≥10π=,可见，k=32就是这样的最小整数.例4 已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)的一个周期的图像如图所示，试求函数的解析式.分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A ，ω，φ的值.由图像中三个已知点的坐标列出A ，ω，φ的方程组求解.若令X=ωx+φ,要注意x 0=-25π是初始值，对应于X=0,x=-π时对应于X=π.∴函数解析式为y=2sin(32x+35π).【难题巧解点拔】例1 指出将y=sinx 的图像变换为y=sin(2x+3π)的图像的两种方法.思路1 x →2x →2(x+6π)=2x+3π.解法 1 y=sinx 纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin2x −−−−−−−→−π单位向左平移6y=sin［2(x+6π)］=sin(2x+3π).思路2 x →x+3π→2x+3π.解法2y=sinx−−−−−−−→−π单位向左平移3y=sin(x+3π)纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin(2x+3π).说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即6π和3π)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.例2 函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2π个单位，所得到的曲线是y=21sinx 的图像，试求函数y=f(x)的解析式.分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=21sinx 变换到y=f(x);二是代换法，即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换分两步得：y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］,它就是y=21sinx ，即可求得A 、ω、φ的值.解法1：问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位，得y=21sin(x-2π);再将横坐标压缩到原来的21，得y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.例2 已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图)，试求解析式.解：(1)因为A=3，T=π,ω=2,φ=-ωx 0=-2(-52π)=54π,所以y=3sin(2x+54π).(2)A=2,当x=0时，y=1,所以2sin φ=1,又｜φ｜＜2π，所以φ=4π,当x=1211π时，y=0，即2sin(ω·1211π+4π)=0,所以ω=1121,所以y=2sin(1121x+4π).评析：若已知曲线与x 轴的交点的坐标，先确定ω=T π2；若已知曲线与y 轴的交点的坐标，先确定φ；若先确定ω则有φ=-ωx 0,其中x 0是离y 轴最近的递增区间的中心点的横坐标.1.如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一个周期的图像.(1)写出f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.2.试说明y=cosx 的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+2π)+1的图像3.已知y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为32π，最小值为-2，且过点(95π，0)，求它的表达式.1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,｜φ｜＜2π)的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0+3π，-2).(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的31(纵坐标不变)，然后再将所得图像向x 轴正方向平移3个单位，得到函数y=g(x)的图像.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像.例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 解：（1）T= 13π3－ π3 =4π． ∴ω=2πT = 12 ．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π3而得到的．∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)．(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）．点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值． 分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π8 (k ∈Z)时，y max =2 +2 ． 点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a 2+b 2 sin （x+φ）．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值．分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2(θ+π4)－1］=－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1=－2［cos(θ+π4)－14］2+98 ．∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π3］．∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2， ∴y 最小值 = 3 －12 ．点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题．解 令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2+1=(t+12)2+34，且t ∈［－ 2 ， 2 ］，∴y min =34 ，y max =3+ 2 ．点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12 ．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0， π3］时函数y 的最大值。