例析立体几何中的排列组合问题

1 / 4word.立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）A. 12对B. 24对C. 36对D. 48对解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有16C 种; 第二步, 从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B.二．分类求解例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( )A. 30种B. 33种C. 36种D. 39种解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有30335C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.2 / 4word.解 分三类：①如果用5种颜色有55A 种染色方法.②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A 、C 同色，只要考虑染S 、A 、B 、D 四顶点，有45A 种染法，而B 、D 同色仍有45A 种染法，用四色共有245A 种染法.③如果用3种颜色，A 、C 同色，B 、D 同色，只要考虑S 、A 、B 三个顶点，有35A 种染法.由加法原理知共有55A ＋245A ＋35A ＝420种染法. 三、剔除求解例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B.147种C.144种D.141种解 从10个点中任取4点，有410C 种取法，再剔除掉共面的取法.① 共面的四点在四面体的某一个面内，有46C 种取法，4个面共有446C 种；② 每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.故不共面的取法共有410C －446C －6－3＝141种，故选D.例5 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A 1B 异面的有多少条？解 （1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体48C -12＝58个.图1BADCS图2ABC DB 1D 1C 1 A 13 / 4word.（2）如图2， A 1BD 这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A 对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题意的三点取法共有38C －8＝48种.（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB 1A 1中的两点组合有24C 个，再去掉过A 1不在面ABB 1A 1内的四条直线与过B 的4条直线，还要去掉与之平行的D 1C.所以共有1442428----C C ＝13条. 四、构造模型求解例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解 由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解 构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到1743)12(48=⨯-C 对异面直线.五、联想有关命题求解例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（ ）A.0B.6C.8D.24解 联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.六、综合有关知识求解例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ） A.200个 B.190个 C.185个 D.180个图3CE C 14 / 4word.解 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成410C ＝210个四面体，其中四点在同一平面内的有三类： ① 每一底面的5点中选4点的组合方法有452C 个. ② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有25C 个.③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB ∥E 1C 1），这样共面的四点共有152C 个.故四面体的个数为15254541022C C C C ---＝180个，故选D.例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解 结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有245C 15C 个. ②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有15C 16C 个. ③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有15C 16C 个.④以图3中ABC 1E 1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有215C 16C 个. 故可构成的四棱锥共有245C 15C ＋15C 16C ＋15C 16C ＋215C 16C ＝170个.例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？解 本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关. ①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有48C －6－2＝62个. ② 若底面是梯形，则有48C －6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有48C －6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word 文本 --------------------- 方便更改。

例析立体几何中的排列组合问题春晖中学过月圆在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。

立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。

立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。

1 点1．1 共面的点例1（1997年全国高考（文））四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）A．30种 B．33种 C．36种 D．39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。

点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。

所以与点A共面的四点组合共有个。

答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。

1．2 不共面的点例2（1997年全国高考（理））四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种 B．147种 C．144种 D．141种解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。

答案：D。

点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对 B．24对 C．30对 D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。

考点聚焦
⑦
排歹 Ｉ Ｉ 组合在厂 Ｌ 何中ｃ Ｉ Ｉ ｌ 应用
■ 陈 明 字
排列组合和立体几何 题的结合在高考 中已屡见 不鲜 ，现在我们拿出几道 比较有代表性 的高考题加 以分析 ， 帮助我们拓展这方面 的解题思路 ： 例１ ， 如图 ， 一个 地区分为５ 个行政 区域 ， 现给地 图着色 ， 要求 相邻地 区不得使用 同一颜色 ， 现有４ 种 颜 色可供选择 ， 则不 同的着色方法共有 种（ 以 数字 作 答 ） 色的灯进行安装 ， 分３ 步进行 ， 第一步 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ 三点选 三种颜色灯泡共有Ａ ； 种选 法 ； 第二 步 ， 在Ａ 、 。 、 Ｃ 中 选一个装第４ 种颜色的灯泡 ， 有３ 种情况 ； 第三步 ， 为剩下的两个灯选颜色 ， 假设剩下 的为 Ｂ 、 Ｇ 。 ， 若 ８ 。 与Ａ同色 ， 则ｃ 只能选Ｂ点颜色 ； 若曰 ， 与ｃ 同色 ， 则（ 。 有』 ４ 、 曰 处两种颜色可选． 故为Ｂ 、 Ｃ 选 灯 泡 共有 ３ 种选法 ， 得到剩下的两个灯有３ 种情况 ， 则共有
有ｃ ・ Ａ ： ＝ ４ ８ 种所 以不 同的着 色方法 共有４ ８ ＋ ２ ４ ＝ ７ ２
种； 故答案为７ ２ 。
例２ ， 如图 ， 一 环形花 坛分 成Ａ， Ｂ， ｃ， Ｄ四块 ， 现 有４ 种不 同的花供选种 ， 要求在每块里种１ 种花 ， 且相 邻 的２ 块 种 不 同 的 花 ，则 不 同 的 种 法 总 数 为 （ 用数字作答 ）
— —
ｃ （ ｃ ｊ ） ＝ １ ４ ４ （ 种） ； ②用 第四种颜色替换 掉六个顶 点 中两个 ，显然被替换掉 的两个顶点的颜色编号不 能相 同 ， 否则 与（ １ ） 重复， 被替换掉 的两个顶点 也不 能在 同一底面上或同一侧棱上 ，因此被替换掉的两 个顶 点与被保 留的两个 同颜色顶点在 同一侧面上 ， 如 图（ 丁） ， 此 时相当于在（ １ ） 的条件下 ， 保 留一个侧 面上 的对角线 ， 考虑到重复情况 ， 不 同的涂色方法共

排列组合中的几何问题和图形问题
排列组合中的几何问题和图形问题是数学中非常重要的一类问题。

它们不仅包括几何形状和图形，还包括组合的概念。

下面我们将具体讨论排列组合中的几何问题和图形问题。

首先，让我们来讨论几何问题。

几何问题是数学中最基本的一类问题，它们的答案包含许多几何形状，如三角形、正方形、圆形等。

比如，给定三个点，如何确定这三个点是否可以组成一个三角形？又比如，如何确定两个正方形是否有公共边？这类问题可以用简单的数学公式来解答，但要求我们掌握一定的几何知识。

其次，我们可以讨论图形问题。

图形问题可以看作是几何问题的一种更抽象的形式，它们涉及到组合的概念。

比如，给定一些点，如何确定它们能否组成一个多边形？又比如，给定一些点，如何确定它们能否组成一个图形？这类问题往往都需要我们利用图形算法来解决，因此，需要我们掌握一定的组合知识。

最后，我们来讨论一下排列组合中的几何问题和图形问题的重要性。

几何问题和图形问题是数学中最基本的问题，它们不仅涉及到几何形状和图形，还涉及到组合的概念。

因此，它们在数学中有非常重要的作用，能够帮助我们深入理解数学，解决实际问题，发现新的知识。

总之，排列组合中的几何问题和图形问题是数学中非常重要的一类问题，它们涉及到几何形状和图形，以及组合的概念。

它们在数学中有非常重要的作用，能够帮助我们深入理解数学，解决实际问题，发现新的知识。

例析立体几何中的排列组合问题过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。

立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。

立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。

1 点1．1 共面的点11997年全国高考（文））（例A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，每个面上的个顶点，个点共面。

点条棱有34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333点与这条棱对棱的中点共面。

条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在A共面的四点组合共有个。

所以与点B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的算在内。

1．2 不共面的点21997年全国高考（理））（例104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141种．种．种．种．410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。

形，它的个顶点共面，有以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。

D答案：。

点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。

立体几何与排列组合1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的六个面都是菱形，则D 1在面ACB 1上的射影是∆ACB 1的 （ ） A 重心 B 外心 C 内心 D 垂心2．长方体三条棱分别为a,b,c,若长方体所有的棱长度之和为24，一条对角线为5，体积为2，则cb a 111++等于 （ ） A411 B 114 C 211 D 112 3．已知，正四棱锥侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为1θ，相邻两侧面所成的二面角为2θ，则 （ ）A212θπθ-=B 2221θπθ-=C21θθ= D 221θθ=4．在北纬450圈上，有甲、已两地。

它们的经度分别为东经1400和西经1300，地球的半径是R ，则甲、已两地球面距离是 （ ） AR π21 B R π41 C R π23 D R π31 5．若三棱锥A －BCD 的侧面ABC 内一动点P 与底面BCD 的距离与到AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ）6．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB =CF ：FD = λ （0＜ λ ＜1 ＝ 设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （ ） A.大于90°B.小于90°C.等于90°D.与 λ 的值有关7.12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ） A ．2686C A B ．2283C AC ．2286C AD ．2285C A8.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为 （ ）(A)96 (B) 84 (C) 60 (D)489、将5明志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ( )A. 540B.300C.180D.15010.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案为（ ）A 100B 110C 120D 18011.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 （ ） （A ）24种 (B)36种 （C ）48种 （D ）72种 12. 若9290129(13)......x a a x a x a x -=++++，则129......a a a +++=13、若=+++++++++=-5432101223344555,)2(a a a a a a x a x a x a x a x a x 则_________；14．已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AA 1=AB=2，若棱AB 上存在点P ，使PC P D ⊥1，则棱AD 的长的取值范围是______15．已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλADAF AC AE（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？16．在四面体ABCD 中，1,,,==⊥⊥⊥BC AB CD BC BD AB BC AB 且。

几何有关的排列组合题的解法在几何学中，排列组合是一种常见的解决问题的方法。

通过对图形的排列和组合，我们可以探索出许多有趣和实用的结论。

本文将介绍几何有关的排列组合题的解法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

一、组合问题组合问题是指从一组元素中选取若干个元素，并按照一定规则组合在一起的问题。

在几何学中，常见的组合问题包括圆排列、线排列等。

下面以圆排列为例进行说明。

1. 圆排列问题圆排列是指将若干个不同的圆按一定规则排列在平面上的问题。

一般来说，圆排列可以分为两类：相离圆排列和相切圆排列。

相离圆排列问题是指将若干个不相交的圆排列在平面上的问题。

在解决相离圆排列问题时，我们可以利用排列组合的方法进行求解。

假设有n个圆，我们可以选择其中的m个圆进行排列。

圆的排列数量可以通过组合数公式求得，即C(n,m)。

相切圆排列问题是指将若干个相切的圆排列在平面上的问题。

在解决相切圆排列问题时，我们可以利用等比数列的性质进行求解。

假设有n个圆相切，我们将最大的圆设为第一个圆，其半径为r，那么第i个圆的半径为r/i。

通过求解前n项的和，即可得到圆的总面积。

二、排列问题排列问题是指将一组元素按一定顺序排列的问题。

在几何学中，常见的排列问题包括点线面的排列等。

下面以点线面的排列为例进行说明。

1. 点线排列问题在点线排列问题中，我们需要计算在给定的几何形状中，将若干个点或线按一定规则排列的情况。

这种情况下，排列的顺序非常重要。

例如，给定一个正方形的四个顶点，我们需要计算在这四个顶点中选择若干个点排列成线段的情况。

我们可以根据线段的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。

2. 点面排列问题在点面排列问题中，我们需要计算给定的若干个点和若干个面排列成几何形状的情况。

这种情况下，排列的顺序也非常重要。

例如，给定一个平面上的四个点和一个矩形，我们需要计算在这四个点中选择若干个点作为矩形的顶点的情况。

我们可以根据矩形的边的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。

立体几何中组合问题的几种解法解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。

1 直接求解法例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种?分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。

解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。

∴所求方法N=210-60-3-6=141(种)本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1]例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥?解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。

根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。

解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。

其余的任4点都能构成一个三棱锥。

因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。

2 从几何概念上求解［2］例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个?此题易错解，仿上例。

错解一：从共面的6个点中任取1个、2个、3个、4个点，与从另外4个不共面的点中任取4个、3个、2个、1个点可构成的四棱锥有Ｃ1■Ｃ4■＋Ｃ2■Ｃ■■＋Ｃ■■Ｃ2■=6+60=120+60=246(个)。

高中数学排列组合总结及例题解析内容总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n mn m m m==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或 四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C典例分类讲解：一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

的棱的中点也共面， ４ ｊ 种不同的取法． 共有 ＸＣ ＝８
故不同的取法共有 ４ ＋８ ；５ 种 ． ０ ＋８ ６
例 １ 不共面的 ４个定点 到平 面 口的距离 都相 等， 这样 的平面 ａ共有 Ａ． ３个 解析 Ｂ４ ．个 Ｃ ６个 ． Ｄ． ７个 （０ ５年全 国卷 Ⅲ） ２０ 事实上 ， 平面 ａ可 以分为两类 ： 一类 是在 （ ）
很好 的锻炼 ， 他们是全面发展 的一个群体 ， 但数学 不
３ 国际 ２ 世 纪教 育委 员会 ． １ 联合 国教 科 文组织 总
部 中文科译 ． 育—— 财富蕴藏其 中． 京： 教 北 教育
科 学出版社 ．９ ６ １９
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例 ３ 过三棱柱 任意两个 顶点 的直线共 １ ５条 ， 其中异面直线有
Ａ １对 ８ Ｂ２ ４对 Ｃ３ ．Ｏ对 Ｄ．６对 ３
（
）
（０ ５年全 国卷 Ｉ） ２０
解析
大家知道一个三棱锥可 以确定 ３对异 面
例 ２ 在四棱锥 Ｐ—Ａ Ｃ 中， ．Ｄ Ｂ 顶点为 Ｐ 从其 直线， ， 一个三棱柱可以组成 Ｃ — ＝１个三棱锥， ３３ ２ 故
他的顶点和各棱的 中点 中取 ３ ， 们和 点 Ｐ在 个 使它
同一 平面上 ， 不同的取法有 （ ） ． 种 （０ ５年高考模 拟题 ） ２０ 解析 如图 ２ 满足题设 的取法可分为 ３类 ： 。
Ａ ．０ Ｂ． ８ Ｃ．６ Ｄ． ２ ４ ４ ５ ６
共有 ３ ６对异 面直线 ． 故选 Ｄ．
６ ［ Ｇ Ａ 戴维斯， ． ， 美］ ． ． Ｓ Ｂ 里姆． 杨庭郊译． 英才教

高中数学排列组合的方法与例题分析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法，它涉及到许多实际问题的解决。

本文将介绍排列组合的基本概念、计算方法以及一些常见的例题分析，帮助读者更好地理解和应用排列组合。

一、排列组合的基本概念排列和组合是两个不同的概念，它们在解决问题时有着不同的应用场景。

排列是指从一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序排列的方式。

当元素个数为n，取出的元素个数为m时，排列的计算公式为A(n,m) = n!/(n-m)!。

其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。

组合是指从一组元素中取出若干个元素，不考虑其顺序的方式。

当元素个数为n，取出的元素个数为m时，组合的计算公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)。

二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法：a) 当元素个数n与取出的元素个数m相等时，即n=m时，排列数为n!。

b) 当元素个数n大于取出的元素个数m时，排列数为A(n,m)。

c) 当元素个数n小于取出的元素个数m时，排列数为0，因为无法满足条件。

2. 组合的计算方法：a) 当元素个数n与取出的元素个数m相等时，即n=m时，组合数为1。

b) 当元素个数n大于取出的元素个数m时，组合数为C(n,m)。

c) 当元素个数n小于取出的元素个数m时，组合数为0，因为无法满足条件。

三、例题分析1. 例题一：从10个人中选出3个人组成一支篮球队，问有多少种不同的组队方式？解析：根据题目可以知道，这是一个组合问题，因为不考虑选出的顺序。

根据组合的计算公式，可以得到C(10,3) = 10!/(3!*(10-3)!) = 120 种不同的组队方式。

2. 例题二：某班有10个学生，要从中选出3个学生参加数学竞赛，问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可以知道，这是一个排列问题，因为考虑选出的顺序。

根据排列的计算公式，可以得到A(10,3) = 10!/(10-3)! = 720 种不同的选取方式。

排列组合中的几何问题和图形问题
作者：朱海东
来源：《中学生理科应试》2015年第12期
一、几何问题
在几何图形中涉及到排列组合的问题主要有三
大类：有关空间四面体；平面三角形；两直线的交点.
解决这些问题，主要的思路是：充分利用几何图形的特点，排除不符合题意的情况，对所求问题进行分
类.
问题1 （1）求以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体的个数？
（2）求以正方体的顶点为顶点的四面体有多少个？
（3）四面体的顶点和各棱的中点共10点.求以这些点为顶点的四面体有多少个？
分析这一组题目都要求确定四面体的个数，一般都可以采用排除法，把四点共面的情况排除.在排除时要充分考虑图形的特点，不能遗漏.在问题（1）中，四点共面的情况比较清楚，只有三个侧面，所以共有四面体：C46-3=12个.在问题（2）中，正方体中的四点共面可分为两类：一类是侧面；另一类是对角面.侧面有6个，对角面也有6个，所以共有四面体；C48-6-6=58个.在问题（3）中，四点共面的情况很容易遗漏，最容易发现的是在四侧面上的四点共面，有4C46种；其次是由各边中点所组成的四点共面，有3种；最隐蔽的是一条棱上的三点和它对棱中点所确定的四点共面，有6种.共有：C410-4C46-3-6=141个四面体.。

例谈立体几何背景下排列组合问题的不同解题思路排列数问题
穷举法：穷举法的核心是将所有可能性均列出来，为了避免数多或数漏，多采用树状图方法。

分类讨论法：①分清元素、位置和限制条件；②决定是从位置还是元素开始讨论（哪个少就从哪个开始讨论）；③从限制最多的开始讨论，随后是限制条件次多的，逐一进行讨论。

正难则反法：①不看限制条件求全集②求限制条件反面的子集，③全集减子集。

捆绑法：①把相邻元素捆绑处理②将捆绑后的元素当做一个整体进行排序。

插书法：①先考虑不受限值元素的排列②再将不相邻的元素插在前面元素排列在空位中。

组合数问题
分类数数问题：该类型题的主要难点是不要出现重复计数和遗漏计数的问题，常用的解题技巧是最大值法和正难则反法。

分组排序问题：
①每组所含元素个数一样多，又称之为平均分组，策略为：取取取后再去序；
②每组所含元素个数均不一样，策略为：取取取；
③每组所含元素个数有一样多的也有不一样多的，策略为：取取取后对于元素个数相等的组之间要去序。

涂色问题：①对要涂色的区域进行分组，涂几种颜色就分几组，分组的原则是同组的区域互不相邻，这一步是重点，通常采用的是穷举法；②进行排序，每组填一种颜色，就是颜色种类的全排列。

插棍问题：①正整数解问题②非负数整数解。

立体几何组合问题的处理方法与立体几何有关的组合问题，以灵活、有一定难度等特点使学生不易掌握.现结合具体例子谈谈这类问题的几种处理方法.1.直接求解例1.从平面α上取6点，从平面β上取4点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？ “和”的思路：要想使这10个点构成的三棱锥最多，除α上6点共面，β上4点共面外，应再无四点共面及三点共线.所以可从平面α上6个点中任取一个与平面β上4个点中任取3个构成三棱锥，有3416C C 个；也可以从平面α上6个点中任取2个与平面β上4个点中任取2个构成三棱锥，有2426C C 个；还可从平面α上6个点中任取3个与平面β上4个点中任取1个构成三棱锥，有1436C C 个.根据加法原理共有143624263416C C C C C C ++=194（个）.“差”的思路：先不考虑共面的点，从10个点中任取4点，可构成C 410个三棱锥，去掉在平面α上有C 46个，在平面β上有C 44个，要想达到最多应再无四点共面及三点共线，故最多可构成C 4446410C C --=194（个）.2.结合立几概念例2.空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，此外设有任四个点共面，则这些点可以组成四棱锥的个数有多少个.错解一（“和”的思路）：依题意，可从共面六个点中任取1个、2个、3个、4个点与从另外4个点中任取4个、3个、2个、1个点都可构成四棱锥，所以共有1446243634264416C C C C C C C C +++=264（个）.错解二（“差”的思路）：先不考虑共面，从10个点中任取5个点，可构成C 510个，去掉六点共面有C 56个，故有C 510－C 56=246（个）.正解：由立几中四棱锥的定义知：四棱锥的底面是平面四边形.故四棱锥底面的四点，只能从共面的6个点中选取，有C 46种，顶点可从另外4个点任取一个，有C 14种，由乘法原理有C 46C 14=60（个）.3.结合立几图形例3.（1991年全国高考题）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）A.12对B.24对C.36对D.48对解：结合六棱锥图形知：六棱锥的6条侧棱交于一点，底面六边形的6条边共面，因而只能将侧棱与底边相搭配，从6条侧棱中任取一条有C 16种.再从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条，有C 14种，由乘法原理共有C 16C 14=24对，选B. 例4.（1990年全国高考题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A.70个B.64个C.58个D.52个解：先不考虑四点共面的情况，从正方体8个顶点中任取4个有C 48种取法，再结合图形去掉四点共面的情况.易知有6个表面，6个对角面，故所求四面体个数为C 48－12=58个，选C.例5.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？ 此题笔者见许多资料中都给出110个，这答案是错的.现结合图形给出正解. 解：结合正五棱柱的图形，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：（1）以棱柱底面为四棱锥底面的共有2C 1545C ； （2）以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有1615C C ； （3）以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有1615C C ；（4）以如图中ADC 1B 1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有21615C C ，所以可构成的四棱锥共有2C 1545C +1615C C +1615C C +21615C C =170（个）.4.构造几何模型例6.与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解：由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个.故共有7个平面.例7.在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解：因四面体的6条棱可构成3对异面直线，故可构造四面体，为此只需求出正方体八个顶点可构成多少个四面体即可，而这恰是例4.故可得（C 48－12）×3=174对异面直线.。

第五讲 立体几何立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容。

竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算。

解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法。

一、立体几何中的排列组合问题。

例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（A ）4； （B ）8； （C ）12； （D ）24。

分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线。

考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现112224C =次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为2483=个。

例二、（1995年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 。

分析：就四棱锥P —ABCD 而言，显然顶点P 的颜色必定不同于A 、B 、C 、D 四点，于是分三种情况考虑：① 若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：3560A =（种） ② 若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：1425240C A ⋅=（种）③ 若使用五种颜色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为：55120A =（种）故不同染色方法种数是：420种。

二、与角有关的计算。

立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种。

其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是[]0,90︒︒；二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面相交；②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；③根据三垂线定理或逆定理。

排列与组合问题的解题思路与示例解析在数学中，排列与组合是一类常见的问题类型，需要运用一定的思维方法和技巧来解决。

本文将介绍一些解题思路和示例解析，帮助读者更好地理解和应用排列与组合的知识。

一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定顺序进行排列的方式。

解决排列问题的关键在于确定元素的选取顺序和确定每个位置的元素个数。

1.1 顺序问题在解决排列问题时，首先需要确定元素的选取顺序。

例如，有6个人参加一场比赛，需要确定他们的名次。

这是一个顺序问题，因为名次的不同会导致结果的不同。

解决这类问题时，可以使用乘法原理。

即，第一个位置有6种选择，第二个位置有5种选择，以此类推，直到最后一个位置有1种选择。

因此，总的排列方式为6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720种。

1.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决排列问题时需要考虑重复元素的影响。

例如，有4个字母A、B、C、D，需要排列成3位的字符串。

解决这类问题时，可以使用分情况讨论的方法。

首先，考虑第一位的选择，共有4种选择。

然后，考虑第二位的选择，由于第一位已经选择了一个元素，所以只剩下3种选择。

最后，考虑第三位的选择，由于前两位已经选择了两个元素，所以只剩下2种选择。

因此，总的排列方式为4 × 3 × 2 = 24种。

二、组合问题组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序。

解决组合问题的关键在于确定元素的选取个数和确定元素的组合方式。

2.1 选取个数问题在解决组合问题时，首先需要确定元素的选取个数。

例如，有8个人参加一场晚会，需要从中选取3个人组成一个小组。

解决这类问题时，可以使用组合数的公式。

即，从8个人中选取3个人的组合数为C(8,3) = 8! / (3! × (8-3)!) = 56种。

2.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决组合问题时需要考虑重复元素的影响。

几何图形中的排列组合问题福建省福鼎市民族中学 杜学炼关键词：排列组合 分类、列举法 反面排除法 寻找递推法 排列组合是高中数学的重要内容、是高考必考内容之一，它对培养学生分类讨论的数学思想方法和解决实际问题的能力与技巧有着重要的意义。

排列组合与几何图形的整合问题更是常见的题型，在此知识的交汇处命题历来受各类考试命题者的青睐。

面对解决这样的问题，不少同学感到无从下手，本文将通过一些例子的剖析总结几个常用的方法，以期对同学们在学习相应知识时有所帮助。

一、分类、列举法当所研究的问题数量较少时，我们可以通过分类，将它们逐一列举出来，从而得出结果。

但需做到不重不漏。

例1、（05年江苏卷， 理）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0解：如图1，由题意，因仅有4个仓库可存放这8种化工产品， 故一棱放一仓库的情况不符合题意，易知棱AB 只能与棱CD 或DE 放在同一仓库内。

1）若AB 与棱CD 放在同一仓库内：则可放在同一仓库内的还有：AE 与BC 、AD 与BE 、AC 与DE ；2）若AB 与棱DE 放在同一仓库内： 则可放在同一仓库内的还有：AC 与BE 、AD 与BC 、AC 与CD 。

于是安全存放的不同方法种数为：44248A ，故选（B ）。

点评：本题只需仔细观察图形，稍作分类、列举，再应用排列知识即可解决问题。

例2、如图2，在某城市中，M 、N 两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ） （A ）14种 （B ）10种 （C ）8种 （D ）6种解：如图2，从点M 到达N 必须经过H 或I 点，而到达A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 、I 点的路线分别有1种、2种、3种、3种、1种、6种、4种，于是到达N 点的路线共有6+4=10种。