托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题(二)(1)

初中几何压轴题神器--托勒密定理
托勒密定理虽然不是课本上讲的知识点。

但是经常出现在初中的几何
压轴题中。

下面介绍下，我们常用的知识点。

（1）必备知识点，四点共圆
四点共圆是非常高效的倒角方法。

主要有下面两种常见情况
第1种：对角互补四边形，四点共圆。

即如果出现了一个四边形，对
角互补，那么这四个顶点一定在一个圆上。

我们可以做出辅助圆，用圆的
图形帮助倒角。

这个其实就是圆内接四边形对角互补的逆命题，这是真命题。

第2种：八字角图形，四点共圆。

即如果出现八字角图形，对应的八
字角相等，那么也四点共圆
这个其实就是圆周角定理推论的逆命题，这是真命题。

如下图
1定理内容
2图形表示
3定理证明
证明过程是通过构建两组相似三角形证明的可以不必要掌握证明过程，了解就好。

4用法
初中的用法就是求四点共圆四边形的边的长度关系，例如下图
实战应用：例如下题的最后一问的最后一种解法：。

专题：三角之托勒密定理知识梳理克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号。

即圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．精选例题习题1.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=42，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.8B.16C.83D.1632.克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC=()A.30°B.45°C.60°D.90°3.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC,BD是其两条对角线，BD=8，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.83B.163C.243D.3234.数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“cos2a=1-2sin2a”所用的几何图形，已知点B,C在以线段AC为直径的圆上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE=AB,点F为EC的中点.设AC=2r,∠DAC=a,那么下列结论:①DC=2r cos a,②AB=2r cos2a,③FC=r1-cos2a,④DC2=r2r-AB.其中正确的是()A.②③B.②④C.①③④D.②③④5.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是以其名字命名的重要定理，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，AC=2，△BCD为正三角形，则△ABD面积的最大值为；四边形ABCD的面积为.(注：圆内接凸四边形对角互补)6.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=4，且△ACD为正三角形，则△ABC面积的最大值为，四边形ABCD的面积为.(注：圆内接凸四边形对角互补)7.托勒密定理指“圆内接凸四边形ABCD两组对边乘积的和等于两条对角线的积”.若直径AC=2，AB=2AD=1，则BD=，cos A=.8.托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家.托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形ABCD的四个顶点在同一圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，△BCD的三个内角所对的圆弧长均相等，且AC=4米，则四边形ABCD的面积为平方米.9.托勒密定理是数学奥赛中的常用定理，该定理指出：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图，已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AD=CD，cos∠ACD=35，BD=5，则四边形ABCD的面积为.10.托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC,BD是其两条对角线，AB=AD，∠BAD=120∘，AC=6，则四边形ABCD的面积为．。

托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题（二）【教学重难点】1．圆中托勒密定理；对角互补模型：旋转视角、托勒密视角2．婆罗摩笈多定理3．例题探究【模块一圆中托勒密定理】古希腊最伟大的天文学家，数学家、天文学家伊巴谷（约公元前190年－公元前125年），最早提出了，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，后称托勒密定理．古罗马著名的天文学家、光学家克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），从伊巴谷的书中将其摘出并完善．托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质，故从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式．1．基本图形与结论：如图1，当A、B、C、D四点共圆，则AC×BD=AB×DC+AD×BC．2．简单证明：在线段BD上取一点E，连AE，使∠AEB=∠ADC，易得△AEB∽△ADC，AC CD=⇒⨯=⨯①AC BE AB CDAB BE旋转一拖二得△ABC∽△AED，AC BC=⇒⨯=⨯②AC DE BC ADAD DE由①＋②得：AC×（BE＋DE）=AC×BD=AB×DC＋AD×BC．3．模型识别：具体情境中出现四点共圆，且四点构成的四边形边长、对角线长信息较多，可以尝试用托勒密定理进行计算．※4．广义托勒密定理：对于任意凸四边形ABCD，则有AC×BD ≤AB×DC+AD×BC．证明从略···【模块二对角互补模型→旋转视角】1．基本图形与模型识别：如图2，对角互补且一组邻边相等．．．．．．．．．．．的四边形，可通过旋转变换将四边形转化为等腰三角形（等腰思旋转）．2．四类常见对角互补模型：①模型一：等边60°对120°型条件：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°结论：（1）CA平分∠BCD；（2）BC+CD=AC．证明：证明：如图，将△ACD绕点A逆时针旋转60°至△AMB，使AD，AB重合，则△ACD≌△AMB，∴∠ADC=∠ABM，AC=AM，CD=BM，∠ACD=∠M，∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC +∠ABM =180°， ∴M ，B ，C 三点共线， ∵∠MAC =∠BAD =60°，∴△MAC 为等边三角形，∴MC =AC ，∠M =∠ACD ，∴MB +BC =AC ，∠ACB =∠ACD ，∴CA 平分∠DCB ，CB +CD =AC ．②模型二：等腰直角对直角型条件：如图4，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =∠BCD =90°．结论：（1）CA 平分∠DCB ；（2）CB +CD =2AC ．证明：略···③模型三：等腰顶角120°对60°型条件：如图5，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠BCD =60°．结论：（1）CA 平分∠BCD ；（2）CB +CD =3AC ．证明：略···※④模型四：同侧双直角型条件：如图6，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，∠BCD =90°．结论：CB －CD =2AC ．证明：略···【模块三 对角互补模型→托密视角】1．等腰△三角函数计算：如图7，2cos 2cos BC AB m αα=⋅=⋅2．托勒密定理应用：①如图8，对角互补型：2cos 2cos ma mb c m a b c αα+=⋅⋅⇒+=⋅结论：当α=60°时，a ＋b =c当α=45°时，a ＋b =2c当α=30°时，a ＋b =3c※利用角平分线性质也可直接得2cos a b c α+=⋅②如图9，同侧等角型：2cos 2cos a m mb mc c b a αα⋅⋅+=⇒-=⋅结论：当α=45°时，c －b =2a···【模块四婆罗摩笈多定理】婆罗摩笈多（约公元598－约660年）是一位印度数学家和天文学家，他出身于古印度的婆罗门种姓，婆罗门掌管着解释和预言天象的权力，掌握着天文学知识，以及测量和计算天体运行的工具——数学．婆罗摩笈多著有两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的．婆罗摩笈多还提出了著名的婆罗摩笈多定理，简称“婆氏定理”．若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．1．简单证明：已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD 于点F，求证：F是AD中点．证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF，∴AF=DF即F是AD中点．2．婆罗摩笈多逆定理请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，试证明婆罗摩笈多逆定理：（1）如图1，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，F为AD中点，连接FM并延长交BC 于点E，求证：ME⊥BC．（2）如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD 交BC于点P，作ON⊥CD于点N，连接并延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA，并求PN的长．3．共顶等腰直模型（婆罗摩笈多模型）已知：如图，两个等腰直角三角形Rt△ABO和Rt△CDO，顶点重合，连接AC，BD．结论：①如果F是AC中点，那么一定有EF⊥BD；②如果EF⊥BD，那么一定有F是AC中点；③S△BOD=S△AOC；④2FO=BD．证明：（1）法一：（外）弦图构造法，如图1（2）法二：导角构造→全等构造法，如图2【例1】如图3所示,试证明：上述共顶等腰直模型中①②结论．【例2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、ACFG：（1）过A作AH⊥BC于H，AH与EG交于M，求证：①EM = MG，②BC = 2AM．（2）若M为EG的中点，求证：AH⊥BC．【模块四真题探究】【例3】（改编）如图1，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）试探究线段P A，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大? 求出最大面积．【例4】（2013·成都中考改编）如图2，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，AB BC=，点E在BC上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A'重合，点B与B'重合，连接EB'，EC，EA'．设EB'=b，EC=c，EA'=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c；请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=__________；当n=8时，p=__________；当n=12时，p=__________．（参考数据：62sin15=cos75=4-︒︒，62cos15=sin75=4+︒︒）本讲反思：。

托勒密定理及应用托勒密定理，也被称为定理于托勒密或托勒密定律，是一个在三角形中严格的几何定理。

该定理与中学三角学和圆的几何性质密切相关，在数学教学中有广泛的应用。

托勒密定理是提出了一种关于四边形的特殊情况，并解释了四边形特殊情况的几何性质。

托勒密定理表述为：在任意一个四边形中，如果四个顶点连成的对角线相交于一点，那么这个四边形的两组对边的乘积之和等于另外一组对边的乘积之和。

具体表达式为：AB×CD + BC×AD = AC×BD。

托勒密定理的应用非常广泛，以下介绍了一些常见的应用：1. 判断四边形是否为一个圆的内接四边形：通过托勒密定理，如果一个四边形的对角线乘积之和等于一组对边的乘积之和，那么这个四边形可以被证明是一个圆的内接四边形。

2. 求解边长或角度的问题：在一些特定的几何问题中，根据给定的条件，可以利用托勒密定理来解决边长或角度的问题。

例如，已知一个四边形的边长和某个角度，可以通过托勒密定理推导出其他边长或角度的值。

3. 延长线或外接圆的构造：通过托勒密定理，可以利用已知的边长和角度来构造延长线或外接圆。

这在一些复杂的几何问题中非常有用。

4. 平面几何中的证明问题：托勒密定理可以用于平面几何中的证明问题。

通过应用托勒密定理，可以推导出一些几何命题的证明过程。

5. 解决三角函数问题：托勒密定理可以用于解决一些三角函数相关的问题。

通过托勒密定理，可以建立各种三角函数之间的关系式，从而解决一些复杂的三角函数问题。

总结来说，托勒密定理在数学教学和实际应用中都有广泛的应用。

通过应用托勒密定理，我们可以解决各种几何问题，推导证明命题，以及解决一些与三角函数相关的问题。

托勒密定理的重要性不仅体现在它本身的几何性质，还在于它在数学教学中的应用广泛，能够帮助学生掌握几何和三角学的基本概念和技巧，为他们建立数学思维提供了一个很好的平台。

圆中婆罗摩笈多定理
圆中婆罗摩笈多定理是一个在圆内接四边形中对角线互相垂直的特殊情况下的定理。

在圆内接四边形中，如果对角线互相垂直，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点。

这个定理可以应用于许多领域，包括几何、代数等。

在几何学中，这个定理可以帮助我们解决一些与圆和四边形相关的问题，例如确定四边形的形状、计算角度等。

在代数中，这个定理可以用于解决一些涉及到二次方程、不等式等问题。

此外，婆罗摩笈多定理还可以与其他数学知识结合使用，例如倍长中线、三垂直模型等，以解决更为复杂的问题。

例如，在解决一些与圆和三角形相关的问题时，我们可以使用婆罗摩笈多定理来找到三角形的高或者中线，然后利用倍长中线或者三垂直模型等知识来解决问题。

总之，圆中婆罗摩笈多定理是一个非常有用的定理，可以应用于许多领域。

通过掌握这个定理，我们可以更好地解决一些与圆和四边形相关的问题，提高自己的数学素养。

高一数学竞赛班二试讲义第1讲 平面几何中的26个定理班级 姓名一、知识点金1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理： 设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。

AB AE AC ADBC ED AC AD==⇒又4. 西姆松定理：若从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。

西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。

若,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。

5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。

证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ，，OY ，OM ，SM ，MT 。

∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∴∠OMX+∠OSX=180°∴O，S ，X ，M同理，O ，T ，∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6． 坎迪定理：设AB 是已知圆的弦，M 是AB 上一点，弦,CD EF 过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则1111LM MN AM MB-=-。

托勒密定理1．托勒密定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则AC BD AB CD AD BC⋅=⋅+⋅．DCBA2．证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，易证△AEB∽△ADC，∴AB BEAC CD=，即AC BE AB CD⋅=⋅，当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，易证△ABC∽△AED，∴AD DEAC CB=，即AC DE AD BC⋅=⋅，∴AC BE AC DE AB CD AD BC⋅+⋅=⋅+⋅，∴AC BD AB CD AD BC⋅=⋅+⋅．3．推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，有AC BD AB CD AD BC⋅≤⋅+⋅AB CD证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，易证△ABE∽△ACD，∴AB BEAC CD=，即AC BE AB CD⋅=⋅①，图1图2连接DE，如图2，∵AB AEAC AD=，∴AB ACAE AD=，又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴AD DEAC BC=，即AC DE AD BC⋅=⋅②，将①+②得：AC BE AC DE AB CD AD BC⋅+⋅=⋅+⋅，∴()AC BD AC BE DE AB CD AD BC⋅≤⋅+=⋅+⋅即AC BD AB CD AD BC⋅≤⋅+⋅，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．4．托勒密定理在中考题中的应用（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有：DB AC AD BC AB CD⋅=⋅+⋅，又等边△ABC有AB=AC=BC，故有结论：DB DA DC=+．图1证明：在BD 上取点E 使得DE =DA ，易证△AEB ∽△ADC ，△AED ∽△ABC ，利用对应边成比例，可得：DB DA DC =+．如图2，当点D 在弧BC 上时，结论：DA =DB +DC ．图2【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别． （2）当△ABC 是等腰直角三角形，如图3，当点D 在弧BC 上时，根据托勒密定理：AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅， 又::AB ACBC =BD CD =+．图3如图4，当点 D 在弧AC 上时，根据托勒密定理：AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅， 又::AB ACBC =BD CD =+．图4（3）当△ABC 是一般三角形时，若记BC ：AC ：AB =a ：b ：c ， 根据托勒密定理可得：a AD b BD c CD ⋅=⋅+⋅1．（2019·仙桃）已知ABC ∆内接于O ，∠BAC 的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ． （1）如图①，当120BAC ∠=︒时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ；（2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若5BC =，4BD =，求ADAB AC+的值．图3图1图22．（2019·威海）（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ⋯ 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =⋯ 请你选择一种方法证明． （2）类比探究 【探究1】如图②，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论． 【探究2】如图③，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是 ．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是 ．图4图3图2图13．（2017·临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，若60ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ，证得△ABE ≌△ADC ，从而容易证明ACE ∆是等边三角形，故AC CE =，所以AC BC CD =+． 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转60︒，使AB 与AD 重合，从而容易证明ACF ∆是等边三角形，故AC CF =，所以AC BC CD =+． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“60ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒”改为“45ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明． （2）小华提出：如图5，如果把“60ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒”改为“ACB ACD ABD ADB α∠=∠=∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．图5ABCD图4DBA 图3FDBAEDBA图1ABD图24．（2016·淮安中考）问题背景：如图①，在四边形ADBC 中，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将BCD ∆绕点D ，逆时针旋转90︒到AED ∆处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图②)，易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且CDE ∆是等腰直角三角形，所以CE，从而得出结论：AC BC +=． 简单应用：（1）在图①中，若ACBC =CD = ． （2）如图③，AB 是O 的直径，点C 、D 在上，AD BD =，若13AB =，12BC =，求CD 的长．拓展规律：（3）如图④，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，若AC m =，()BC n m n =<，求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）（4）如图⑤，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 为AB 的中点，若点E 满足13AE AC =，CE CA =，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是 ．图5图1图2图3图4ACDAB BED CB AA BCD。

托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、C D、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到：(a? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b?d) ，两边取，运用得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的形式。

二、设ABCD是。

在BC上，∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

证明托勒密(ptolemy)定理【最新版】目录1.托勒密定理的定义与概述2.托勒密定理的证明方法概述3.纯几何法证明托勒密定理4.托勒密定理的应用5.总结正文托勒密定理是数学中的一个重要定理，该定理描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。

具体来说，定理指出：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。

本文将介绍托勒密定理的证明方法，并简要讨论其应用。

一、托勒密定理的定义与概述托勒密定理最早由古希腊数学家托勒密提出，他在《几何原本》一书中详细阐述了该定理。

托勒密定理在数学中有着广泛的应用，尤其是在几何学、代数学以及数论等领域。

二、托勒密定理的证明方法概述托勒密定理的证明方法有很多，如三角法、复数法、纯几何法等。

下面我们将详细介绍纯几何法的证明过程。

三、纯几何法证明托勒密定理纯几何法是利用几何图形的性质来证明托勒密定理。

具体证明过程如下：1.在圆内接四边形 ABCD 中，作 AE 垂直于 BC，交 BC 于点 E。

2.根据垂直平分线定理，得到 AE 是 BC 的垂直平分线，即 AE=EC。

3.同理，作 AF 垂直于 CD，交 CD 于点 F，得到 AF=FD。

4.由于 AE=EC，AF=FD，所以四边形 AEFC 是矩形。

5.根据矩形的性质，得到 AC=EF，BD=AE。

6.因此，AC×BD=EF×AE，即 AC×BD=AB×CD。

四、托勒密定理的应用托勒密定理在数学中有广泛的应用，下面举一个简单的例子：已知一个圆内接四边形 ABCD，其中 AB=3，BC=4，CD=5，AD=6。

求 AC 的长度。

根据托勒密定理，有 AC×BD=AB×CD，代入已知数值，得到 AC×6=3×5，解得 AC=2.5。

五、总结托勒密定理是数学中的一个基本定理，它描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。

通过纯几何法的证明，我们可以更好地理解该定理的含义。

托勒密定理托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．推论1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、推广托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD注意：1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD塞瓦定理塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。

具体内容塞瓦定理在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1塞瓦定理推论.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(B D/B C)*(C E/A E)*(G A/D G)=1因为(B C/C D)*(D G/G A)*(A F/F B)=1，（塞瓦定理）所以(B D/C D)*(C E/A E)*(A F/F B)=K（K为未知参数）且(B D/B C)*(C E/A E)*(G A/D G)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(B D/C D)*(C E/A E)*(A F/F B)=1所以(B D/B C)*(C E/A E)*(G A/D G)=12.塞瓦定理角元形式A D,B E,C F交于一点的充分必要条件是：(s i n∠B A D/s i n∠D A C)*(s i n∠A C F/s i n∠F C B)*(s i n∠C B E/s i n∠E B A)=1由正弦定理及三角形面积公式易证3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线A D,B E,C F交于一点的充分必要条件是：(A B/B C)*(C D/D E)*(E F/F A)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

圆中的重要模型之阿基米德折弦(定理)模型、婆罗摩笈多(定理)模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(阿基米德折弦(定理)模型、婆罗摩笈多(布拉美古塔)(定理)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如图1所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD 。

图1图2图3图4常见证明的方法：1)补短法：如图2，如图，延长DB 至F ，使BF =BA ；2)截长法：如图3，在CD 上截取DG =DB ；3)垂线法：如图4，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。

1(2023·山西·九年级专题练习)定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB >BC ，M 是弧ABC 的中点，MF ⊥AB 于F ，则AF =FB +BC ．如图2，△ABC 中，∠ABC =60°，AB =8，BC =6，D 是AB 上一点，BD =1，作DE ⊥AB 交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则∠EAC =°．2(2023·浙江温州·九年级校考阶段练习)阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC 为⊙O 的直径，AB 为一条弦(BC >AB )，点M 是ABC上的点，MD ⊥BC 于点D ，延长MD 交弦AB 于点E ，连接BM ，若BM =6，AB =4，则AE 的长为()A.52B.94C.125D.1353(2023·山东济宁·校考二模)阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．在1964年出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．【定理模型】如图①，已知AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是⊙O 的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，那么从M 向弦BC 作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．下面是运用“补短法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程：如图②，延长DB 至点F ，使BF =BA ，连接MF ，AB ，MC ，MA ，AC ，⋯【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．【问题解决】如图③，△ABC 内接于⊙O ，已知AB =AC =22，D 为AC上一点，连接AD ，DC ，∠ABD =45°，∠CBD =15°，求△ABC 的周长．4(2022上·江苏盐城·九年级统考期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ 、QN 组成折线段MQN ．若点P 在折线段MQN 上，MP =PQ +QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O 的半径为2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点．若∠APO =30°，则PB =；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC 的中点，从M 向BC 作垂线，垂足为D ，求证：D 是折弦ABC 的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M 是AC的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC 是⊙O 的直径，点A 为⊙O 上一定点，点D 为⊙O 上一动点，且满足∠DAB =45°，若AB =8，BC =10，则AD =．5(2023·江苏·九年级期中)小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；(3)如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是优弧ACB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．模型2.婆罗摩笈多(定理)模型【模型解读】婆罗摩笈多(Brahmagupta)是七世纪时的印度数学家。

圆（圆幂定理、根轴，托勒密定理、帕斯卡定理、牛顿定理
Ⅰ、Ⅱ）
一、圆幂定理、根轴
1. 圆幂定理：
圆幂定理为以下三个定理的统称，即
相交弦定理（Ⅰ:AP·PB=CP·PD）
割线定理（Ⅱ：PA·PB=PC·PD）
切割线定理（Ⅲ：PA2=PC·PD）
2. 根轴：
到两圆幂相等的点的集合为一条垂直于两圆圆心连线的直线
且：若两圆相交则根轴为公共弦所在直线
若两圆相切则根轴为公切线
同心圆无根轴
二、几条重要的定理
1. 托勒密定理
凸四边形 ABCD 中有
AC · BD ≥ AB · CD + AD · BC
等号当且仅当四边形 ABCD 是圆内接四边形时成立
2. 帕斯卡定理
圆内接六边形三组对边所在直线交点共线
3. 牛顿定理Ⅰ
圆外切四边形的对角线交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重
合
4. 牛顿定理Ⅱ
圆外切四边形两条对角线中点和该圆圆心，三点共线
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§4托勒密定理与西姆松定理托勒密（∕Vo∕e/切定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）.即：定理：在四边形ABCZ）中，有：AB CD + AD BC≥AC BD 证：在四边^ABCD内取点E, ^ZBAE = ZCAD, ZABE = ZACD4 R RF贝Ij: AABE和AACD相似 A-一 =——=>AB∙CD = AC BEAC CDΛD ΛJ7乂•••——=-一HZBΛC = ZEAD :. SABC和ΔAED相似AC ADBC ED——=——GADBC = ACEDAC ADAB CD +AD BC = AC （BE+ ED）・・・AB∙CD + ADBC≥ACBD且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当久B、G D四点共圆时成立; 并且当且仅当四边形ABCM接于圆时，等式成立；一、直接应用托勒密定理例1、如图2, P是正AABC外接圆的劣弧EC上任一点（不与B、C重合），求证：PA二PB+ PC.分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗.B若借助托勒密定理论证，则有PA ∙ BC二PB ∙ AC + PC ∙AB, T AB=BC=AC..∙.PA=PB+PC.二、完善图形借助托勒密定理例2、证明“勾股定理”：在RtΔABC中，ZB=900 ,求证：AC2=AB2+BC2证明：如图，作以RtΔABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是圆内接四边形.由托勒密定理有AC ∙ BD=AB ∙ CD+ AD ∙ BC.①又-/ABCD 是矩形，.∙.AB二CD, AD=BC J AC=BD. ②把②代人①，得AC2=AB2+BC2.例3、如图，在AABC中，上A的平分线交外接圆于D,连结BD, 求证：AD ∙ BC=BD(AB+ AC).证明：连结CD5依托勒密定理有AD ・BC = AB ∙ CD+ AC ∙ BD.•/Z 1 = Z2, .∙. BD=CD.FC故AD ∙ BC=AB ・BD + AC ∙ BD=BD(AB + AC).三、构造图形借助托勒密定理例 4 若 o 、b 、x 、y 是实数，且 α2 + b 2=l, x 2 + y 2=l.求证：ax + by≤ 1. 证明:如图作直径AB 二1的圆,在AB 两边任作RtΔACB 和RtAADB,使AC = O,BC 二b,BD = x, AD = y.由勾股定理知。

托勒密定理及圆的其它定理托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理提出定理的内容。

摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理内容指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式： (a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b −d) ，两边取模，运用三角不等式得。

托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

)在任意四边形ABCD 中，作△ ABE 使∠ BAE=∠ CAD ∠ ABE=∠ ACD 因为△ ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC, 即BE·AC=AB·CD (1)而∠ BAC=∠ DAE，，∠ ACB=∠ ADE所以△ ABC∽△AED 相似.BC/ED=AC/AD 即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2), 得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD(仅在四边形ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)所以命题得证复数证明用a、b、c、d 分别表示四边形顶点A、B、C、D 的复数，则AB、CD、AD、 B C、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式：(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D 四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD 是圆内接四边形。

在弦BC 上，圆周角∠BAC = ∠ BDC，而在 A B 上，∠ ADB = ∠ ACB。

托勒密定理内容：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

证明：在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD∴BE/CD=AB/AC,即B E·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,∴△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又∵BE+ED≥BD∴AB×CD+AD×BC≥AC×BD塞瓦定理在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=1所以CD、AE、BF交于一点用同一法证点D,E,F分别为三角形ABC三边BC,AC,AB上的点，若AF/BF*BD/DC*CE/AE=1，则AD,BE,CF 三点共线逆命题证明证明：设BE,CF交与点O，AO交BC于点P。

则由赛瓦定理可知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1。

由已知AF/BF*BD/DC*CE/AE=1知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1=AF/BF*BD/DC*CE/AE。

推出BP/PC=BD/DC,所以BD/BC=BP/BC,故BD=BP。

所以D点与P点重合。

则AD,BE,CF三点共线，命题得证。

梅涅劳斯定理如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/Y A)=1 。